2021-2022学年内蒙古赤峰市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年内蒙古赤峰市高二（下）期末数学试卷（理科）
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
设是虚数单位，且满足，则实数( )
A. B. C. D.
我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清嘉颗粒和胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出两种，则这两种全部是“药”或者全部是“方”的概率为( )
A. B. C. D.
执行如图的程序框图，若输入的，，则输出的为( )
A.
B.
C.
D.
设随机变量服从正态分布，若，则实数( )
A. B. C. D.
蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为和的直角三角形中均匀投点个．落入其内切圆中的点有个，则圆周率( )
A. B. C. D.
已知直线：，：，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
已知，则的值为( )
A. B. C. D.
过抛物线：上一点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线交轴于点，若的焦点是的中点，且，则( )
A. B. C. D.
在边长为的菱形中，，现将沿折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
已知是双曲线：右支上的一动点，是双曲线的右焦点，是圆：上任一点，当取最小值时，的面积为( )
A. B. C. D.
已知是定义在上的可导函数，且满足，，，若，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
的展开式中的系数为______．
年开始实施新高考考试方案，现模拟选科，其中语文、数学、英语为必选科目．物理、历史两科中选择一科，再从化学、生物、地理、政治四科中任选二科，组合成“”模式．若小王同学在政治和化学这两科中至多选一科，则他选择的组合方式有______种．用数字作答
设的分布列为：
又，则______．
已知函数，若有四个不同的零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82分）
圆内有一点，为圆的过点且倾斜角为的弦．
当时，求的长；
当弦最短时，求直线的方程．
汽车尾气中含有污染物，且汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物浓度会出现增大的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实行强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了人，所得数据制成如下列联表：
不了解 了解 合计
女性
男性
合计
Ⅰ若从这人中任选人，选到女性的概率为，问：是否有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？
Ⅱ该环保组织查得某型号汽车的使用年数与排放的尾气中浓度的数据如下．若该型号汽车的使用年数不超过年，可近似认为与线性相关．试确定关于的回归直线方程，并预测该型号的汽车使用年时排放的尾气中浓度是多少．
附：，其中．
在线性回归方程中，，．
如图，在正方体中，，分别为，的中点．
证明：平面；
设平面与平面的交线为，求二面角的正弦值．
设椭圆的左、右焦点分别为、，点，为椭圆上任意两点，且，若的周长为，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
设椭圆内切于矩形椭圆与矩形四条边均相切，求矩形面积的最大值．
已知函数．
证明：；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
将曲线的极坐标方程化为参数方程；
设点的直角坐标为，若直线与曲线交于、两点，求的值．
已知，，求证：
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，命题：，为特称命题，
其否定为：，，
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题
3.【答案】
【解析】解：从“三药三方”中随机选出两种，共有种，
这两种全部是“药”共有种，
这两种全部是“方”共有种，
故所求概率为；
故选：．
从“三药三方”中随机选出两种，共有种，这两种全部是“药”共有种，这两种全部是“方”共有种，利用古典概率模型求概率即可．
本题考查了古典概率模型求概率的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：模拟程序的运行，可得
，
执行循环体，，
执行循环体，，
执行循环体，，
执行循环体，，
此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出相应变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，
可得曲线关于直线对称，
若，则，
解得，
故选：．
运用正态分布曲线的对称性，解方程可得所求值．
本题考查正态分布曲线的对称性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即，
由几何概型得，从而．
故选：．
根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果．
本题考查几何概型的计算公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：直线：，：，
，解得，，即交点为，
由题意可设，所求直线的方程为，
则，解得，
故所求的方程为．
故选：．
根据已知条件，先求出两直线的交点，再结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
，
所以，解得，
所以，
故选：．
由，得，求导得，计算，进而可得．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：如图，因为焦点是的中点，所以，解得，
故，
因为，所以，解得．
故选：．
利用，解得，求得，即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，
取的中点为，连接，，则，
设，分别为，外接圆的圆心，
为三棱锥的外接球的球心，
则在上，在上，且，
且，平面，平面，
平面平面，平面平面，
平面，，
平面，，同理，
四边形为平行四边形，
平面，平面，
，即四边形为矩形，
，
，
外接球半径，
外接球的表面积为．
故选：．
当三棱锥的体积最大值时，平面平面，即可求出外接圆的半径，从而求出外接球表面积．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由双曲线的方程可得，圆：的圆心为，半径为．
设，，则，
，
当时，即时，有最小值为．
所以，取最小值为，此时，，共线，
直线的方程为，即．
所以，点到直线的距离为，
所以，的面积为．
故选：．
由题意可得，圆心为，半径为，由圆的性质可知，取最小值为，求出直线的方程，并利用点到直线的距离求出到直线的距离，最后利用三角面积公式求解即可．
本题考查圆与双曲线的综合，属于中档题，点到直线的距离公式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：设，定义域为，
所以，
因为，
所以，即，
所以在上的单调递减，
不等式可化为，即，
因为，
所以当时，，
因为，
所以当时，，
又因为，
所以当时，，
当时，，
因为，
所以，
因为，
所以当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以当时，，
当时，，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以当时，，
所以，
所以，
因为，即，
又因为在上单调递减，
所以，
所以的解集为，
故选：．
设，定义域为，求导得，又，推出在上的单调递减，不等式可化为，即，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
展开式中的系数为，
故答案为：．
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：分在政治和化学这两科中只选一科与没有选政治与化学这两科两类，
即他选择的组合方式有种，
故答案为：．
按小王选科情况分类讨论，结合组合数公式及分步乘法原理求解．
本题考查了组合数公式及分步乘法原理的应用，注意分类，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由分布列的性质可得，，解得，
则，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合分布列的性质，求出，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，，，；
当时，，，一，所以是偶函数．
若有四个不同的零点，即有两个解，即有两个解，
两边取自然对数，，即的图象与的图象有两个交点，
当直线与的图象相切时，设切点为，
，则，解得，
所以实数的取值范围是
故答案为：
根据函数，判断其奇偶性，数形结合零点问题转化为交点问题，求导找切点，求解即可．
本题考查了分段函数的应用，属于中档题，数形结合是解题关键．
17.【答案】解：直线的斜率，圆的半径．
则直线的点斜式方程为，即．
则圆心到直线的距离．
由垂径定理，得，
解得．
当弦最短时，为的中点，，
由题意，则．
则直线的点斜式方程为，即．
【解析】求出直线的方程求解圆心到直线的距离，结合垂径定理，求解弦长．
推出，则然后求解直线方程．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
18.【答案】解：Ⅰ从这人中任选人，选到女性的概率为，所以，
，，，，
，
故有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”．
Ⅱ，
，
故，
，所以所求回归方程为，
故预测该型号的汽车使用年时排放尾气中的浓度为．
【解析】根据从这人中任选人，选到女性的概率为，计算、、、的值，再计算出，对照临界值可得出结论；
由公式计算出和，从而得到关于的回归方程，把，代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用年排放尾气中的浓度，从而可得答案．
本题考查独立性检验，线性回归方程的运用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：如图做辅助线，连接交于点，再连接交于点，最后连接．．
因为，是，的中点，并且，．
所以可以得到：，．
故可以证明，即得到．
又平面，并且平面．
平面．
如图建立空间直角坐标系：．
设棱长为．
根据题干可以得到如下点坐标：
，，，，，．
故，，，．
设面的一个法向量为，
可得，即．
令，得．
设面的一个法向量为．
可得，即．
令，．
设，为，
故可得到：．
．
【解析】做辅助线：连接交于点，再连接交于点，最后连接，因为，是，的中点，并且，，进而证明，又平面，并且平面，故EF平面．
建立空间直角坐标系，求面的一个法向量和面的一个法向量，再利用二面角的公式求解即可．
本题主要考查利用空间直角坐标系求二面角的平面角的正弦值，属于难题．
20.【答案】解：由得、、三点共线，
因为三角形的周长为，所以，则，
当点为椭圆上或下顶点时的面积最大，即，
由，解得，
所以椭圆的方程为．
当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，
矩形的两条边长分别为，，
此时；
当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为：，则的方程为：，
的方程为：，的方程为：．
由，得，
令得，
同理得，
所以矩形的边长分别为，，
所以，当且仅当时取等号，
所以矩形面积的最大值是．
综上所述，矩形面积的最大值是．
【解析】由椭圆的定义可得的值，再结合当点为椭圆上或下顶点时的面积最大可求出的值，从而求出椭圆的标准方程．
份两种情况讨论，当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，此时易求矩形的面积，当矩形的边都不与坐标轴平行时，这时设直线的方程为，则的方程为，的方程为，的方程为，与椭圆方程联立，求出矩形的边长，，再结合基本不等式即可求出结果．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：令，．
令令，所以在单减，
在单增，所以的最小值为，
所以成立．
解：由题得在上恒成立，
即，恒成立．
因为，
若，令，，
则，所以在单调递增，且；
若，，
当时，，则，
取，则，
则存在，使得当时，，单调递减，
此时，不合题意．
若，，在上单调递增，，符合题意；
若，，在上单调递增，，符合题意；
综上，．
【解析】求出导函数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最值，转化求解即可．
构造函数，恒成立．求出函数的导数，通过的范围，判断函数的单调性，转化求解推出结果即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，是难题．
22.【答案】解：由，得，
又，，可得曲线的直角坐标方程为，
即，令，，
可得曲线的参数方程为为参数；
将直线的参数方程为参数转化为标准形式的参数方程为参数，
将标准形式的参数方程代入中，整理得．
设、对应的参数分别为，，
，可得．
【解析】由，得，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，进一步可得曲线的参数方程；
将直线的参数方程转化为标准形式的参数方程为参数，代入中，得到关于的一元二次方程，再由参数的几何意义及根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程化参数方程，考查运算求解能力，是基础题．
23.【答案】证明：因为，，，
所以，，
则，
当且仅当取等号．
证明：，
，
，
当且仅当且，即时取等号．
【解析】根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
结合基本不等式的“乘”法，即可求解．
本题主要考查不等式的证明，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键你，属于中档题．
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