第一讲 平面向量的线性运算
考点1：向量概念辨析
【例1】（2020·全国高一）下列各量中是向量的是（ ）
A．时间 B．速度 C．面积 D．长度
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）下列量不是向量的是（ ）
A．力 B．速度 C．质量 D．加速度
2．（2020·全国高一课时练习）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【例2】（（1）（城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是
A．① B．③ C．①③ D．①②
（2）（北碚区期末）下列命题中，正确的个数是
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若，，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例3】（2020·全国）如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有________；
（2）图中与相等的向量有________；
（3）图中与模相等的向量有_________________；
（4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）；
（5）与相等吗？
考法一 向量的加法运算
【例1-1】（2021·重庆市大学城）向量﹒化简后等于（ ）
A. B.0 C. D.
【一隅三反】
（多选）（2020·全国高一）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.化简
(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. (4)(＋)＋＋.
考法二 向量的减法运算
【例2-1】（2020·全国高一课时练习）化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【一隅三反】
1．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形中（如图），（ ）
A． B． C． D．
2．化简
（1）(－)－(－) (2)－＋； (3)＋＋－－．
考法三 向量的数乘的运算
【例3-1】（2020·全国高一课时练习）如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示．
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
考法四 向量的共线定理
【例4-1】（2020·全国高一课时练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):
(1); (2); (3).
【例4-2】（2020·全国高一课时练习）(1)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求k的值.
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量,是否共线（其中是两个非零不共线向量）．
（1）； （2）； （3）．
2．（2020·新泰市第二中学高一期中）设是不共线的两个非零向量.
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若，且三点共线，求实数的值.
3．（2020·洛阳市）为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
拔高题组
（1）（栖霞市模拟）在中，为线段上一点，且，则
A． B．
C． D．
（2）（泰安模拟）在中，为中点，，，则
A．1 B． C． D．
（3）（临汾二模）设、、分别为三边、、的中点，则
A． B． C． D．
（4）（宜昌期末）已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为
A． B． C． D．
课后作业：
1．（临淄区校级月考）在中，点，分别为边，的中点，则如图所示的向量中，相等向量有
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
2．（上饶一模）已知是不共线的向量，，，，若、、三点共线，则、满足
A． B． C． D．
3．（朝阳区期末）如图，在正方形中，是边的中点，设，，则
A． B． C． D．
4.（2020·全国高一课时练习）设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．第二讲 平面向量的数量积
考法一 向量的数量积
【例1】（1）（2021·巴音郭楞蒙古自治州）已知，，与的夹角为60°，则________.
（2）（2021·江苏高一）已知是边长为6的正三角形，求=____________
（3）（2020·江西宜春市·高一期末）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则
【一隅三反】
1．（2020·全国高一）在中，，，，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2020·全国高一）若，，则的最大值为________.
3．（2020·福建泉州市·高一期末）平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
4．（2021·江苏高一）在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．
考法二 向量的夹角
【例2】（1）（2021·广东潮州）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
（2）（2021·河南信阳市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·胶州市）已知，，则与的夹角为_________.
2．（2021·河南）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为
3．（2021·陕西西安市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．
考法三 向量的投影
【例3】（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·江西宜春市·高一期末）已知，为单位向量，，则在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·合肥市第六中学高一月考）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·江西省崇义中学）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为( ) A．1 B． C． D．
3．（2020·全国高一专题练习）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·安徽蚌埠市·高一期末）设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－ B．－ C． D．
考法四 向量的模长
【例4】（2020·河北邢台市·）已知，，且向量与的夹角为，则（ ）
A． B．3 C． D．
【一隅三反】
1．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）已知、满足：，，，则_________.
2．（2020·广东佛山市·高一期末）已知，，则的最大值等于
考法五 平面向量运算的综合运用
【例5-1】（2020·全国高一）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．-5 D．5
【一隅三反】
1．（2020·湖北高一期末）已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江高一期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
课后作业
1．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
2．在正方形中，为边上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量的夹角是，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足：，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知 ，为单位向量，且，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．第三讲 平面向量加、减运算的坐标表示
知识点一 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
一、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
二、用基底表示向量
例2 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，，.
1.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为( )
A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2
C.e1－3e2 D.3e1－e2
2.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
3.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于( )
A. B. C.3 D.
4.(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是( )
A.{e1－e2，e2－e1} B.{2e1－e2，e1－e2}
C.{2e2－3e1，6e1－4e2} D.{e1＋e2，e1＋3e2}
5.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为______________.
6.已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________.(用a，b表示)
7.若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于( )
A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b
C.λa＋b D.a＋b
8.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
知识点二 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知识点三 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？
答案
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点四 平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
一、平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标.
跟踪训练1 已知点M(5，－6)，且＝(－3,6)，则N点的坐标为________.
二、平面向量加、减运算的坐标表示
例2 已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于( )
A.(－7，－4) B.(7,4)
C.(－1,4) D.(1,4)
跟踪训练2 在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，求的坐标.
1.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A.(－7,0) B.(7,6)
C.(6,7) D.(7，－6)
2.设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于( )
A.(1＋m,7＋n) B.(－1－m，－7－n)
C.(1－m,7－n) D.(－1＋m ，－7＋n)
3.已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________.
4.已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则＋的坐标是________.
1.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么a－b等于( )
A.(4,0) B.(0,4) C.(3，－6) D.(－3,6)
2.向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得到向量，则的坐标形式为( )
A.(10,1) B.(4，－11)
C.(7，－5) D.(3,6)
3.已知A，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
1.将向量a＝(－2，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为________.
课后作业
1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，
若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
(1，－2) B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8)
2.已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)
3．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于( )
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
4.在 ABCD中，A＝(1,2)，B＝(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝( )
A．(－2,4) B．(4,6) C．(－6，－2) D．(－1,9)
5.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．
6.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．第五讲 平面向量数量积的坐标表示
知识点 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
一、数量积的坐标运算
例1 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )
A.10 B.－10 C.3 D.－3
反思感悟
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
二、平面向量的模
例2 已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
跟踪训练2 已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A. B. C.5 D.25
三、平面向量的夹角、垂直问题
例3 (1)已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A. B. C. D.
(2)设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为( )
A.－1 B.1 C.2 D.3
跟踪训练3 已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
11.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于( )
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
12.已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A.(2,6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2,6)
13.设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”为m n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________.
15.已知向量a＝(1,1)，b＝(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.
C.∪(1，) D.(1，)
16.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.
1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A.3 B.－3 C. D.－
2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A.1 B. C.2 D.4
4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于( )
A.(－3,6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6,3)
5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于( )
A. B. C.2 D.10
1.设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A.|a|＝|b| B.a·b＝0
C.a∥b D.(a－b)⊥b
2.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，若a⊥b，则m的值为( )
A.－2 B.2 C. D.－
4.a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A.23 B.57 C.63 D.83
5.已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|等于( )
A.5 B.3 C.2 D.2
6.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________.
7.设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
8.设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
10.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.第四讲 平面向量数乘运算的坐标表示
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
一、平面向量数乘运算的坐标表示
例1 (1)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于( )
A.(1，－2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b； (2)a－3b； (3)a－b.
二、向量共线的判定
例2 下列各组向量中，共线的是( )
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6) B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14) D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
跟踪训练2 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( )
A.e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D.e1＝(2，－3)，e2＝
三、利用向量共线的坐标表示求参数
例3 (1)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
(2)已知点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).若向量与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________.
跟踪训练3 (1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为( )
A.－1或 B.1或－
C.－1 D.
(2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
定比分点坐标公式及应用
典例 (1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为λ，求P点的坐标.
解
(2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标.
解
[素养提升] (1)用有向线段的定比分点坐标公式可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.
1.已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于( )
A. B. C.－ D.－
2.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A.3 B.5 C.7 D.9
3.(多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(－3,7)表示出来的是( )
A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2) B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)
C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1) D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)
4.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A.k＝－2 B.k＝
C.k＝1 D.k＝－1
5.已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R).
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？
(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围.
解
6.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标.
解
1.如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A.±2 B.－2 C.2 D.0
2.下列向量中，与向量c＝(2,3)不共线的一个向量p等于( )
A.(5,4) B. C. D.
3.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于( )
A.(1,2) B.(－1，－2)
C.(－1,2) D.(1，－2)
4.向量a＝(1，－2)，a∥b，则b可能是( )
A.(4,8) B.(8,4)
C.(－4，－8) D.(－4,8)
5.已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.
6.已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1).若A，C，D三点共线，则k＝________.
7.已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________.
8.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值.
9.已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.章末检测试卷一
单项选择题
1.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)·(＋)＝0，则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
2.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.在△ABC中，若a2＝bc，则角A是( )
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
多项选择题
1.已知A(2，－3)，＝(3，－2)，点M为线段AB的中点，则下列点的坐标正确的是( )
A.B(5，－5) B.B(1,1)
C.M D.M(0,0)
2.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是( )
A.若a∥b且b∥c，则a∥c
B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C.若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D.(a·b)c＝a(b·c)
3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是( )
A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
4.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是( )
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是的△ABC面积的
填空题
1.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
2.在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝________.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，则A＝________；若m∥n，则A＝________.
4.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.
解答题
1.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
2.在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围.
