第九讲 概率 学案（Word版无答案）

第九讲 概率
一、互斥事件、对立事件与相互独立事件
1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.
2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
考点一：辨析
例1：从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1一10各10张）中，任取一张
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”：
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”：
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“轴出的牌点数大于9”.
例2：某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.
判断下列每组事件是不是互斥事件：如果是，再判断它们是不是对立事件：
A与C (2)B与E (3)B与A (4)B与C (5)C与E
例3：从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A.① B.②④ C.③ D.①③
变式：
某人在打靶时，射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是（ ）
抽查10件产品，事件“至少有2件次品”的对立事件是（ ）
（3）下列事件A，B是相互独立事件的是(　　)
A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”
D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用1 000小时”，B表示“灯泡能用2 000小时”
（4）从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
考点二：求概率
例1：甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率.
变式：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.
例2：计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
变式：三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
方程思想在相互独立事件概率中的应用
例3：甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.
变式：设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.
变式练习：
1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2(　　)
A.是互斥事件 B.是相互独立事件 C.是对立事件 D.不是相互独立事件
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　)
A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85
3.从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
A. B. C. D.
4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是(　　)
A.0.26 B.0.08 C.0.18 D.0.72
5.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.
古典概型
考点一、概率模型的多角度构建
例1　口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.
考点二、“正难则反”思想，利用对立事件求概率
例2　有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率.
考点三、古典概型的综合应用
例3　甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
例4 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时.
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率：
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率：
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
变式：某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.
1.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：克)的频数分布表如下：
分组 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]
频数 5 10 20 15
用分层随机抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.下列事件中是随机事件的有(　　)
A.如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b
B.某地1月1日刮西北风
C.当x是实数时，x2≥0
D.一个电影院某天的上座率超过50%
6.下列说法中错误的有(　　)
A.任何事件的概率总是在(0,1)之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
7.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是(　　)
A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D.事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次命中目标得2分，未命中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为________，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________.
9.一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b10甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机，设经该机打进的电话打给甲、乙、丙的概率依次为，，.若一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立，求：
(1)这三个电话是打给同一个人的概率；
(2)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率.