【三维设计】高中数学北师大版必修一 配套课件应用创新演练阶段质量检测（全套56份）

模块质量检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．下列表示错误的是 (　　)
A．{a}∈{a，b}　　　　　　　 B．{a，b}?{b，a}
C．{－1,1}?{－1,0,1} D．??{－1,1}
解析：A中两个集合之间不能用“∈”表示，B、C、D都正确．
答案：A
2．(2011·山东高考改编)设集合M＝{x|－3A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
解析：∵M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．
答案：A
3．(2011·广东高考)函数?(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是 (　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：由得x＞－1且x≠1，即函数?(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：C
4．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：∵a＞1，
∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，
∴loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，
∴a＝2，a＝4.
答案：D
5．要得到y＝3×()x的图像，只需将函数y＝()x的图像 (　　)
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：由y＝3×()x＝()－1×()x＝()x－1知，D正确．
答案：D
6．奇函数y＝f (x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为－5，那么f(x)在区间[－7，－3]上 (　　)
A．是增函数且最小值为5
B．是增函数且最大值为5
C．是减函数且最小值为5
D．是减函数且最大值为5
解析：∵y＝f(x)是奇函数，
∴y＝f(x)的图像关于原点对称．
∴f(x)在[－7，－3]上是增函数且有最大值为5.
答案：B
7．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则 (　　)
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：∵0＜log53＜log54＜1，log45＞1，
∴b＜a＜c.
答案：D
8．若函数f(x)＝ax2＋2x＋1至多有一个零点，则a的取值范围是 (　　)
A．1 B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．以上都不对
解析：当f(x)有一个零点时，若a＝0，符合题意，
若a≠0，则Δ＝4－4a＝0得a＝1，
当f(x)无零点时，Δ＝4－4a＜0，
∴a＞1.
综上所述，a≥1或a＝0.
答案：D
9．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则 (　　)
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)答案：B
10．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是(　　)
A．{x|x<－3，或0B．{x|－33}
C．{x|x<－3，或x>3}
D．{x|－3解析：∵f(x)是奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝0.
∵f(x)在(0，＋∞)是增加的，
∴f(x)在(－∞，0)上是增加的．
结合函数图像x·f(x)<0的解为0答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
11．设g(x)＝则g(g())＝________.
解析：g()＝ln<0，
∴g(g())＝eln＝.
答案：
12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是
(c，＋∞)，其中c＝________.
解析：A＝{x|0＜x≤4}，B＝(－∞，a)．
若A?B，则a＞4，即a的取值范围为(4，＋∞)，
∴c＝4.
答案：4
13．已知0＜a＜1,0＜b＜1，若alogb(x－3)＜1，则x的取值范围是________．
解析：alogb(x－3)＜1即alogb(x－3)∵0＜a＜1，∴y＝ax在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴logb(x－3)＞0.
∵0＜b＜1，∴y＝logbx在(0，＋∞)上是减函数，
∴0＜x－3＜1，解得3＜x＜4.
答案：(3,4)
14．函数f(x)＝的图像和函数g(x)＝log2x的图像有________个交点．
解析：作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．
答案：3
三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．
若?U∩B＝?，求m的值．
解：A＝{x|x2＋3x＋2＝0}＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A.
∵方程x2＋I(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(同＋1)2－4同＝(m－1)2≥0，
∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B{－1，－2}
①若B＝{－1}，则m＝1.
②若B＝{－2}，则－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立．
∴B≠{－2}．
③若B＝{－1，－2}．则－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2
由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
16．(12分)已知函数y＝1－2a－2ax＋2x2(－1≤x≤1)的最小值为f(a)，求f(a)的表达式，并指出当a∈[－3,0]时，函数Q＝logf(a)的值域．
解：y＝2(x－)2－－2a＋1，
所以当≤－1即a≤－2时，
y的最小值为1－2a－2a·(－1)＋2×(－1)2＝3.
当≥1即a≥2时，
y的最小值为1－2a－2a＋2＝－4a＋3.
当－1＜＜1即－2＜a＜2时，
y的最小值为－－2a＋1.
所以f(a)＝
因为当－3≤a≤－2时，f(a)＝3，
当－2＜a≤0时，f(a)∈[1,3)，所以f(a)∈[1,3]，
所以Q＝logf(a)的值域为[－1,0]．
17．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)是否存在实数a使得f(x)为奇函数？若存在，求出a的值并证明；若不存在，说明理由；
(2)在(1)的条件下判断f(x)的单调性并用定义加以证明．
解：(1)存在，a＝1时，f(x)为奇函数．
证明：假设存在满足题意的a值，由f(x)定义域为R知f(0)＝0所以：a＝1.
a＝1时，f(x)＝，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴a＝1时f(x)为奇函数；
(2)任取x1＜x2∈R.
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0,2x1－2x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递增．
18.(14分)根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系如图所示，日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示．
t/天
5
15
20
30
Q/件
35
25
20
10
(1)根据图像，写出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式；
(2)在所给的直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数解析式；
(3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销售金额＝每件产品销售价格×日销售量)
解：(1)根据图像，每件销售价格P与时间t的函数关系为：
P＝
(2)描出实数对(t，Q)对应点，如图所示．
从图像发现：点(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)可能在同一直线上．
设它们所在直线l的解析式为Q＝kt＋b(k、b为常数)，
将点(5,35)，(30,10)代入方程得
解得k＝－1，b＝40，所以Q＝－t＋40，
检验点(15,25)，(20,20)也适合该式，
因此日销售量Q与时间t的一个解析式为
Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N＋)；
(3)设日销售金额为y(元)，则
y＝
＝
若0＜t≤20，t∈N＋，
y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
所以当t＝5时，ymax＝1 225；
若20＜t≤30，t∈N＋，y＝－50t＋2 000是减函数，
所以y＜－50×20＋2 000＝1 000.
因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1 225元．

1．下列说法正确的是 (　　)
A．2011年深圳大学生运动会所有比赛项目组成一个集合
B．某个班年龄较小的学生组成一个集合
C．{?}是空集
D．1,0,5,1.5,2.5组成的集合有四个元素
解析：A项中因为标准确定所以可以构成一个集合，B项中“较小”标准不确定不能构成集合，C项表示一个单元素集合，不是空集． D项中组成的集合有五个元素．
答案：A
2．下列命题中正确的是 (　　)
①0与{0}表示同一个集合　②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}　③方程
(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}　④集合{x|4A．只有①和④　　　　　　 B．只有②和③
C．只有② D．以上命题都不对
解析：①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是有无数个元素，不能一一列举．
答案：C
3．给出下列关系：①∈R；②?Q；③|－3|?N＋；④|－|∈N.
其中正确的个数为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①②正确，③④错误．
答案：B
4．定义集合运算：A*B＝，设A＝，B＝，则集合A*B的所有元素之和为 (　　)
A．0 B．2
C．3 D．6
解析：x＝1，y＝0时，z＝0；x＝1，y＝2时，z＝2；
x＝2，y＝0时，z＝0，x＝2，y＝2时，z＝4.
根据元素的互异性知，A*B＝，所以A*B中所有元素之和为0＋2＋4＝6.
答案：D
5．已知集合A＝{x|∈N，x∈N}，则用列举法表示为________．
解析：根据题意，5－x应该是12的因数，故其可能的取值为1,2,3,4,6,12，从而可得到对应x的值为4,3,2,1，－1，－7.因为x∈N，所以x的值为4, 3,2,1.
答案：{4,3,2,1}
6．由实数x，－x，|x|，，所构成的集合最多有________个元素．
解析：|x|＝，＝x，讨论x的符号，故最多有两个元素．
答案：2
7．选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为；
(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
8．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解：(1)根据集合元素的互异性可知

即x≠0且x≠3，x≠－1；
(2)∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
又－2∈A，∴x＝－2.
课件40张PPT。第一章 集合理解教材新知
§1
集合的含义与表示把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二知识点三考点一考点二考点三 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民． 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”
问题1：数学家说的集合是指什么？
提示：网中的所有鱼的全体．
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
提示：不能． 一般地，指定的某些对象的 称为集合．集合常
用 标记．集合中的每个 叫作这个集合的元素．元素常用 标记.全体 大写字母A，B，C，D，…对象小写字母a，b，c，d…在知识点1的入门答辩所涉及的情景中．
问题1：网内的每一条鱼与集合的关系是什么？
提示：每一条鱼都是集合的元素，均在集合中．
问题2：网外面的鱼与集合的关系是什么？
提示：不是集合的元素． 1．元素与集合的关系
(1)若元素a在集合A中，就说元素a 集合A，记作
.
(2)若元素a不在集合A中，就说元素a 集合A，
记作 .属于a∈Aa?A不属于2．常用数集及表示符号NN＋ZQR给出下列集合：(1)小于10的所有正偶数组成的集合A；
(2)方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为B；
(3)所有奇数组成的集合为C.
问题1：将集合A中的元素一一列举出来．
提示：2、4、6、8.
问题2：集合B中的元素满足的条件是什么？
提示：x2＋x＋1＝0.
问题3：如何表示集合C ？
提示：C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z} ． 1．集合的表示方法
集合的常用表示法有列举法和描述法．
(1)列举法：把集合中的元素 出来写在大括号内的方法叫列举法．
(2)描述法：用 表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．一一列举确定的条件 2．集合的分类
集合可分为有限集和无限集，含 元素的集合叫作有限集，含 元素的集合叫作无限集．
不含有任何元素的集合叫作 ，记作 .有限个无限个空集? 1．集合中元素的特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素,要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合． 2．列举法与描述法
列举法适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集合时，只需把它的元素一一列举出来即可．同时，要注意自然语言与集合语言的区别．描述法多适用于元素个数有无穷多的集合，用描述法表示集合，关键在于确定代表元素及代表元素所满足的条件．
3．根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集． [例1]　考察下列每组对象能否组成一个集合？
(1)2011参加世界大学生运动会的所有国家；
(2)2010年上海世博会的所有漂亮的展馆；
(3)参加2012年五·四青年节联欢晚会的所有同学；
(4)直角坐标系中，接近原点的点．
[思路点拨]　根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判断． [精解详析]　(1)中“所有国家”，(3)“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．
(2)中“漂亮”展馆，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．
综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．
[一点通]　判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小 的
正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全
体；④正三角形的全体；⑤ 的近似值的全体．其
中能构成集合的组数是 (　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5答案：A2．判断下列对象能否构成集合．
①某中学里较胖的同学；②某中学里身高超过1.75米的
同学；③第29届奥运会中的所有比赛项目；④大于4且
小于8的偶数．
解：①中因为未规定胖的标准，即没有明确的标准划分
胖与不胖，所以①不能构成集合，而②③④中的对象是
确定的，所以能构成集合. [例2]　已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
[思路点拨]　分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．
[精解详析]　若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时， 集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
[一点通]　这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中未知的元素．3．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，
则△ABC一定不是 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a，
b，c不相等．
答案：D4．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，
求实数a的值．
解：∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1.
①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1，
与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意，
当a＝－2时，A中的元素为0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去．
综上所述，a＝0. [一点通]
1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．
2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．5．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为 (　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，∴x<3＋2＝5.
∵x∈N＋，
∴集合表示为{1,2,3,4}．
答案：B解析：①中含有两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，所以不正确；②代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同，所以正确；③中含有两个元素，是数集，所以不正确；④没有用“{}”括起来，不表示集合，所以不正确；⑤正确；⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，所以不正确．
答案：②⑤7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是
无限集．
(1)由所有非负奇数组成的集合；
(2)由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；
(3)方程x2＋x＋2＝0的实数解组成的集合；
(4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合． 1．组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．用列举法表示集合应注意：
①元素间用“，”隔开；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号；⑤“{}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，写为{实数集}、{全体实数}都是错误的． 3．用描述法表示集合应注意：
①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“或”“且”“非”；⑤所有描述的内容都要写在集合括号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确．点击下列图片进入应用创新演练
1．对于集合A，B，若B?A不成立，则下列理解正确的是 (　　)
A．集合B的任何一个元素都属于A
B．集合B的任何一个元素都不属于A
C．集合B中至少有一个元素属于A
D．集合B中至少有一个元素不属于A
解析：由于B?A不成立，所以集合B中存在元素不属于A，至于有没有元素属于A不能确定．
答案：D
2．已知非空集合P满足：①P?{1,2,3,4,5}，②若a∈P，则6－a∈P，符合上述条件的集合P的个数是 (　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．5
C．7 D．31
解析：由a∈P,6－a∈P，且P?{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选；2,4同时选；3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
答案：C
3．设A＝{x|－1a}，若AB，则a的取值范围是 (　　)
A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}
C．{a|a>3} D．{a|a<－1}
解析：
由AB，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能否取得－1是正确求解的关键．
答案：B
4．设集合M＝{x|x＝－，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则 (　　)
A．M＝N B．MN
C．M?N D．MN
解析：集合M的元素x＝π，是的奇数倍；集合N的元素x＝π，是的整数倍，由此可知MN.
法二：由于是选择题，因此可用特殊值法快速求解，取k＝1,2,3，…，得M＝{…，，，，…}，N＝{…，，，，…}．
由此可知MN.
答案：B
5．满足{a，b}?A{a，b， c，d}的集合A有________个．
解析：集合A可以是{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．
答案：3
6．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的值是________．
解析：因为集合A有且只有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0
(a∈R)仅有一个根．
当a＝0时，A＝{0}符合题意；②当a≠0时，要满足题意，需有Δ＝4－4a2＝0，即
a＝±1.
综上：a＝0，或a＝±1.
答案：0或±1
7．已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
解：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．
故所求实数a的值为1.
8．已知集合A＝{x|1解：(1)当a＝0时，A＝?，满足A?B.
(2)当a>0时，A＝，
又B＝{x|－1∵A?B，∴∴a≥2.
(3)当a<0时，A＝{x|∵A?B，∴∴a≤－2.
综上所述，实数a的取值范围是：a＝0或a≥2，或a≤－2.
课件46张PPT。第一章 集合理解教材新知
§2
集合的基本关系把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二知识点三考点一考点二考点三考点四 给出下面两个集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
提示：是的．
问题2：集合B中的元素都是集合A中的元素吗？
提示：不是．
问题3：集合B中的元素比集合A中的元素多，如用封闭图形表示两个集合，该怎样表示？
提示：1．子集任何一个元素a∈A，则a∈B包含于包含A?BB?A子集A?A 2．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的
表示集合，称为Venn图.内部给定两个集合A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
问题1：集合B能否用列举法表示出来？
提示：能，B＝{0,1}．
问题2：集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？
提示：完全相同． 1．集合相等
对于两个集合A与B，如果集合A中的 都是集合B中的元素，同时集合B中的 都是集
合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作
.
2．图形语言任何一个元素任何一个元素A＝B对于上面给出的两个集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A是集合B的子集吗？
提示：是的．
问题2：集合B是集合A的子集吗？
提示：不是．
问题3：集合A与集合B相等吗？
提示：不相等． 1．真子集
(1)含义：对于两个集合A与B，如果 ，并且 ，
我们就说集合A是集合B的真子集，记作 ．
(2)当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作 (或B?A)．A?BA≠BA?B(或B? A)A B 2．性质
(1)空集是任何集合的 ，对于任何一个集合A，都有 .
(2)对于集合A、B、C，若A?B，B?C，则 .子集??AA?C 1．子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都使A?B成立． [例1]　下列各式中，正确的个数是 (　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；
④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
A．1　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
[思路点拨]　首先要分清二者是元素与集合间的关系，还是集合与集合之间的关系．如果要是集合与集合之间的关系，还需要分清是包含、真包含、不包含等关系． [精解详析]　对于①，是集合与集合的关系，应为
{0}? {0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?? {0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，{0}是含有单元素0的集合，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．
[答案]　B [一点通]　判断集合之间的关系其基本方法是转化为判定元素和集合间的关系．首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B，若是，则A?B，否则
A B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A，若是，则B?A，否则BA.最后下结论：若A?B，B?A，则A＝B；若A?B，B A，则A? B，若A B，B?A，则B? A，若上述三种情况均不成立，则A B，
B A.1．下列结论正确的是 (　　)
A．集合{x|x3＋1＝0，x∈R}＝?
B．已知M＝{(1,2)}，N＝{(2,1)}，则M＝N
C．已知M＝{(2,3)}，N＝{2,3}，则有M?N
D．已知A＝{x|x＝5k，k∈N}，B＝{x|x＝10n，n∈N}，
则有B? A
解析：x＝－1时，x3＋1＝0，∴A错；(1,2)与(2,1)是不
同的解，∴B错；∵(2,3)为有序数组，2,3为数，∴C错．
答案：D2．已知集合A＝{高一 · 三班同学}，B＝{高一 · 三班二组
成员}，则 (　　)
A．A?B B．A?B
C．A? B D．B? A
解析：由集合中元素的特点可知，D正确．
答案：D3．指出下列各对集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
②A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
③A＝{－1,1}，B＝{?，{－1}，{1}，{－1,1}}；
④A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
⑤A＝{x|－1(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A? B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A? B. [一点通]　根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程(或方程组)．要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要注意将方程(或方程组)的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去．答案：C5．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，则实
数b的值为________．
解析：∵M＝N，∴b＝b2.解得b＝1或b＝0(舍去)，
∴b＝1.
答案：1 [例3]　试写出满足条件?? M? {0,1,2}的所有集合M.
[思路点拨]　欲求M，首先需弄清条件“? ? M?{0,1,2}”的含义．由“?? M”说明M为非空集合，即M中至少含有一个元素；由“M ?{0,1,2}”知，M中至多含有2个元素，因此M中元素个数为1或2，故可根据元素个数逐一列出集合M. [精解详析]　∵?? M? {0,1,2}，∴M为{0,1,2}的非空真子集．
∴M中的元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；
当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；
∴M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．
[一点通]　解答本题应根据子集、真子集的概念求解，在写集合的子集或真子集时，一般按元素由少到多的顺序一一列举，可避免重复和遗漏．6．集合A＝{ x|0≤ x<3，且x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．16 B．8
C．7 D．4
解析：A＝{0,1,2}∴真子集为：?，{0}，{1}，{2}，
{0,1}，{0,2}，{1,2}共7个．
答案：C7．设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，
并指出其中哪些是它的真子集．
解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0因式分解得(x－4)
(x＋1)(x＋4)2＝0，则可得方程的根为x＝－4或x＝－1
或 x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，其子集为?，{－4}，
{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，
真子集为?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，
{－1,4}. [例4]　设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤
2m＋1}，已知B?A.求实数m的取值范围．
[思路点拨]　由B?A可得集合B＝?或B中的任何一个元素都在集合A中，可借助数轴解决．
[精解详析]　当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝?，符合题意．
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠?.
由B?A，借助数轴表示如图所示． [一点通]　已知集合间的关系，求参数范围的步骤：
(1)化简所给集合．
(2)用数轴表示所给集合．
(3)根据集合间的关系，列出关于参数的不等式(组)．
(4)求解．
注意：①列关于参数的不等式(组)时，等号能否取到．
②在处理A?B(B≠?)的含参数问题时，不要忽视A＝?
这种情况．8．设A＝{x|1< x<2}，B＝{ x|x 取值范围是 (　　)
A．a≥2 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤2解析：A＝{x|1则应有a≥2.答案：A9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，B＝{1,2}，
且A? B，求实数a的取值范围．解：∵B＝{1,2}，A? B，
∴A可以是?，{1}，{2}．
当A＝?时，Δ＝a2－4<0，即－2当A＝{1}时，方程有两个相等的实数根，Δ＝a2－4＝0
且1＋a＋1＝0，所以a＝－2；
当A＝{2}时，方程有两个相等的实数根，Δ＝a2－4＝0
且4＋2a＋1＝0，此时不能成立，舍去．
综上所述，a的取值范围为{a|－2≤a<2}． 1．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2．?与0，{0}，{?}的区别与联系3．判断两集合间的关系的方法
判断两个集合之间的关系，主要有以下三种方法：点击下列图片进入应用创新演练
1．已知集合M＝{x|－3A．?　　　　　　　　　　 B．{x|x≥－3}
C．{x|x≥1} D．{x|x<1}
解析：借助数轴，易知选D.
答案：D
2．(2011·新课标全国卷)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有 (　　)
A．2个　　　　　　　　　　 B．4个
C．6个 D．8个
解析：易知P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有22＝4个．
答案：B
3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1解析：在数轴上表示出集合A、B即可选．
答案：C
4．集合A＝{a2，a＋1，－1}，B＝{2a－1，|a－2|,3a2＋4}，A∩B＝{－1}，则a的值是
(　　)
A．－1 B．0或1
C．2 D．0
解析：由A∩B＝{－1}，得－1∈B.因为|a－2|≥0,3a2＋4>0，所以2a－1＝－1，这时
a＝0，这时A＝{0,1，－1}，B＝{－1,2,4}，则A∩B＝{－1}成立．
答案：D
5．(2011·江苏高考)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0, 2}，则A∩B＝________.
解析：由题意得A∩B＝{－1,2}．
答案：{－1,2}
6．定义A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.
解析：关键是理解A－B运算的法则，
N－M＝{x|x∈N，且x?M}，
∴N－M＝{6}．
答案：{6}
7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
解：∵B?(A∪B)，
∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5.
解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．
8．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x>a}．
(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B≠?，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
解：(1)如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，
可得a≥－2.即实数a的取值范围是：a≥－2.
(2)由于A∩B≠?，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a<4.所以实数a的取值范围是：－2≤a<4.

1．(2011·安徽高考)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(?UT)等于(　　)
A．{1,4,5,6}　　　　　　　　 B．{1,5}
C．{4} D．{1,2,3,4,5}
解析：S∩(?UT)＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．
答案：B
2．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(?UB)]∪[B∩(?UA)]等于 (　　)
A．? B．{x|x≤0}
C．{x|x>－1} D．{x|x>0，或x≤－1}
解析：由题可知?UA＝{x|x≤0}，
?UB＝{x|x>－1}，
∴A∩(?UB)＝{x|x>0}，
B∩(?UA)＝{x|x≤－1}，
∴[A∩(?UB)]∪[B∩(?UA)]＝{x|x>0，或x≤－1}．
答案：D
3．已知全集U＝{x|－1A．a<9 B．a≤9
C．a≥9 D．1解析：由题意知，集合A≠?，所以a>1，
又因为A是U的子集故需a≤9，
所以a的取值范围是1答案：D
4．设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x?P}，则M－(M－P)等于 (　　)
A．P B．M
C．M∩P D．M∪P
解析：由于给出的新定义，以及所解决的问题中的集合都是抽象的集合，这时若类比于实数的运算，则得出错误结论，而用图示法，同时有助于对新定义的理解(形象化)，其答案也一目了然(如图)．
答案：C
5．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：∵?UA＝{1,2}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根．
∴3＝－m.即m＝－3.
答案：－3
6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2m的取值范围为________．
解析：由已知A＝{x|x≥－m}，
∴?UA＝{x|x<－m}．
∵B＝{x|－2∴－m≤－2，即m≥2.
∴m的取值范围是m≥2.
答案：m≥2
7．已知全集U＝R，集合A＝{a|a≥2，或a≤－2}，B＝{a|关于x的方程ax2－x＋1＝0有实数根}，求A∪B，A∩B，A∩(?UB)．
解：对于方程ax2－x＋1＝0，
当a＝0时，x＝1，满足题意．
当a≠0时，要使该方程有实数根，则Δ＝1－4a≥0，
∴a≤.
综上知：a≤.∴B＝{a|a≤}．
∴A∪B＝{a|a≤或a≥2}，A∩B＝{a|a≤－2}．
又∵?UB＝{a|a>}，
∴A∩(?UB)＝{a|a≥2}．
8．设全集U＝R，A＝{x∈R|a≤x≤2}，B＝{x∈R|2x＋1≤x＋3，且3x≥2}．
(1)若B?A，求实数a的取值范围；
(2)若a＝1，求A∪B，(?UA)∩B.
解：(1)B＝{x|x≤2，且x≥}＝{x|≤x≤2}，
又∵B?A，
∴a≤，即实数a的取值范围是：a≤.
(2)若a＝1，则A＝{x|1≤x≤2}，
此时A∪B＝{x|1≤x≤2}∪{x|≤x≤2}
＝{x|≤x≤2}．
由?UA＝{x|x<1，或x>2}，
∴(?UA)∩B＝{x|x<1，或x>2}∩{x|≤x≤2}＝{x|≤x<1}．
课件35张PPT。第一章 集合理解教材新知
§3
集合的基本运算把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三3.1
交集与并集 对于给定的两个集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{5,8,12}，C＝{8}．
问题1：集合A、B与C中的元素之间有什么关系？
提示：C是由集合A和集合B的公共元素组成．
问题2：集合C与集合A、B的关系各是什么？
提示：C? A，C ?B. 1．交集的定义
一般地，由 的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作 (读作“A交B”)，即A∩B＝{x| }．既属于集合A又属于集合BA∩Bx∈A，且x∈B2．图形表示3．运算性质
A∩B＝ ，A∩B A，A∩B B；
A∩A＝ ，A∩?＝ .B∩A??A? A＝{x|x是希望中学2012年9月入学的高一的男同学}.
B＝{x|x是希望中学2012年9月入学的高一的女同学}.
C＝{x|x是希望中学2012年9月入学的高一的学生}．
问题：集合A、B、C中的元素之间有什么关系？
提示：C是由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合． 1．并集的定义
一般地，由 的所有元素
组成的集合，叫作A与B的并集．记作 (读作
“A并B”)．即 ＝{x|x∈A，或x∈B}．属于集合A或属于集合BA∪BA∪B2．图形表示3．运算性质
A∪B＝ ，A A∪B，B A∪B；
A∪A＝ ，A∪?＝ .B∪A??AA 求集合的并集、交集是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，求两个集合的交集就是确定两个集合的公共元素，使之组成新的集合，或是由同时具有两个集合元素性质的元素组成新的集合．
求两个集合的并集，就是将两个集合中的元素合并在一起，但是要注意，重复元素在并集中只能出现一次． [例1]　已知集合A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1 [思路点拨]　已知集合A，B都是无限集合，要求A∩B，A∪B，可借助数轴直观求解．
[精解详析]　分别在数轴上表示集合A和B，如图所示 根据A∩B和A∪B的定义，由图知A∩B＝{ x|－1< x<2}．
A∪B＝{ x|－4≤x≤3}．
[一点通]　在进行集合的交集，并集运算时常借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，注意端点值的取舍．1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝(　　)
A．{0}　　　　　　　　B．{1,2}
C．{1,2,3,4} D．{0,1,2,3,4}
解析：A∪B＝{0,1,2,3}∪{1,2,4}＝{0,1,2,3,4}．
答案：D2．若集合A＝{x|－2< x<1}，B＝{x|0< x<2}，则集合
A∩B＝ (　　)
A．{x|－1< x<1} B．{x|－2< x<1}
C．{x|－2< x<2} D．{x|0< x<1}
解析：A∩B＝{x|－2< x<1}∩{x|0< x<2}＝{x|0< x<1}．
答案：D [例2]　设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值． [思路点拨]　 [一点通]
1．解决此类问题要熟练掌握A∩B＝B?A∪B＝A?B?A.
2．在B?A时，注意B＝?的情形不能漏掉．
3．分类讨论时要不重不漏．3．下列4个推理：①a∈(A∪B)?a∈A；②a∈(A∩B)?
a∈(A∪B)；③A?B?A∪B＝B；④A∪B＝A?
A∩B＝B.其中正确的个数是 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：a∈(A∪B)?a∈A或a∈B，∴①是错误的．
A∈(A∩B)?a∈A且a∈B?a∈(A∪B)，∴②是正确的．
③④是交集与并集的性质，故都是正确的．
答案：C4．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实
数a的取值范围． [例3]　已知集合A＝{x|2< x<4}，B＝{x|a< x<3a}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3< x<4}，求a的取值范围．
[思路点拨]　(1)就B＝?和B≠?分类讨论，列出关于
a的不等式求解；(2)借助数轴，在数轴上画出集合A和集合A∩B就可以看出a的值． [精解详析]　
(1)如图所示，有两类情况，
一类是B≠?，首先a >0.
①B在A的左边，②B在A的右边．
B的位置均使A∩B＝?成立，即3a≤2或a≥4， (2)因为A＝{x|2A∩B＝{x|3 集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时，B＝{x|3 [一点通]　此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意．5．A＝{x| x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a< x<4}，若A∪B＝R，
则实数a的取值范围是 (　　)
A．3≤a<4 B．－1 C．a≤－1 D．a<－1
解析：利用数轴，
若A∪B＝R，则a≤－1.
答案：C6．若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，
A∪B＝B，则m的取值范围是________．解析：∵A∪B＝B，∴A?B，如图所示，答案：－2≤m≤－1 1．并集的性质
(1)①A?(A∪B)，B?(A∪B)；②A＝A∪A，A＝A∪?；③A∪B＝B∪A.
(2)若A?B，则A∪B＝B；反之若A∪B＝B，则A?B.由于A＝A∪?，因此，A∪B＝B中的A可以为空集，这一点是要特别注意的． 2．交集的性质
(1)①(A∩B)?A，(A∩B)?B；②A＝A∩A，A∩?＝?；③A∩B＝B∩A.
(2)若A?B，则A∩B＝A；反之若A∩B＝A，则A?B.由于A∩?＝?，因此，A∩B＝A中的A可以为空集．空集的这一特殊性要特别注意．
3．在解决集合的有关运算时，常借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观表示出来，体现了数形结合的思想．点击下列图片进入应用创新演练课件31张PPT。第一章 集合理解教材新知
§3
集合的基本运算把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.2
全集与补集设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，C＝{1,3,5}．
问题1：集合B∪C等于什么？
提示：B∪C＝A.
问题2：集合B与集合C的交集是什么？
提示：B∩C＝?. 1．全集
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的 ，这个给定的集合叫作全集．常用符号U表示．
2．补集
(1)设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中所有 A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集
(或余集)，记作 .
(2)符号表示：?UA＝ ． 子集不属于?U A{ x| x∈U，且x?A}(3)Venn图表示3．补集的性质
(1)A∪(?UA)＝ ；
(2)A∩(?UA)＝ .U? 1．全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．
2．补集的定义可以解释为：如果从全集U中取出A的全部元素，则所剩下的元素组成的集合就是?UA. [例1]　(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0 (2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求?UA、?UB.
[思路点拨]　(1)先求出?UA和?UB，利用数轴解决．
(2)先写出集合U和集合B，再利用交集、补集的定义或Venn图求解． [精解详析]　(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0?UB＝{x|3结合数轴(如图)．可知(?UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，
∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示则?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}． [一点通]　
1．在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解答过程中注意边界问题．
2．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于Venn图求解．1．(2011·四川高考)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，
则?MN＝ (　　)
A．?　　　　　　　　　　　B．{1,3,5}
C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：由题意知?MN＝{1,3,5}．
答案：B2．设全集U＝{x∈N＋|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，
则?U(A∪B)等于 (　　)
A．{1,4} B．{1,5}
C．{2,4} D．{2,5}
解析：U＝{x∈N＋|x<6}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，
∴?U(A∪B)＝{2,4}．
答案：C解：如图所示 [例2]　设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩(?UB)＝{3,5}，(?UA)∩B＝{7,19}，(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，求集合A，B.
[思路点拨]　利用列举法可求得集合U，然后利用Venn图处理．
[精解详析]　因为U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意画出Venn图，如图所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}． [一点通]　Venn图直观形象，特别是在有限集的运算中，效果比较明显，对集合A，B而言，有下图：用好此图，在解题中能起到事半功倍的效果．4．如果U＝{x| x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3,4}，
B＝{3,4,5,6}，那么(?UA)∩(?UB)等于 (　　)
A．{1,2} B．{3,4}
C．{5,6} D．{7,8}解析：如图所示，阴影部分为
(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{7,8}．答案：D5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓
球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动
但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的
人数为x，画出Venn图得到
方程15－x＋x＋10－x＋8＝30?x＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．答案：12 [例3]　已知集合A＝{x|2a－2< x [思路点拨]　先求出?RB，再分类讨论，由A? ?RB求出a.
[精解详析]　?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，∵A? ?RB，∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
(1)若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.∴a≤1.
综上所述，a的取值范围是：a≤1或a≥2. [一点通]　解答有关交、并、补集综合运算及含参数的问题，常借助Venn图和数轴，采用数形结合的思想给予解答，在解答过程中注意集合运算性质的等价转化及端点值的取舍．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝
{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且(?UA)∩B≠?，则实数k的
取值范围为 (　　)
A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3
C．0＜k＜3 D．－1＜k＜3
解析：∵?UA＝{x|1＜x＜3}，(?UA)∩B≠?，
∴1＜k＜3或1＜k＋1＜3，∴0＜k＜3.
答案：C7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋
b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，
求实数a、b的值． 1．补集的性质
①?UU＝?；②?U(?UA)＝A；③?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；④?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
2．当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往进行分类讨论，为了避免讨论，可以借助补集思想来求解，即从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应集合的补集．点击下列图片进入应用创新演练
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．下面说法中正确的个数是 (　　)
①集合N＋中最小的数是1；
②若－a?N＋，则a∈N＋；
③若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是由“2,2”组成的集合．
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：N＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N＋，且a?N＋，故②错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确．由集合元素的互异性知④是错误的，故①③正确．
答案：C
2．(2011·大纲全国)设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则?U(M∩N)＝(　　)
A．{1,2} B．{2,3}
C．{2,4} D．{1,4}
解析：M∩N＝{2,3}，则?U(M∩N)＝{1,4}．
答案：D
3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则 (　　)
A．M?N B．N?M
C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}
解析：∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，
∴选项A、B显然不对．
M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．M∩N＝{2,3}．
答案：C
4．已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则下列关系中正确的是 (　　)
A．MN B．M＝N
C．M≠N D．NM
解析：∵M＝{y∈R|y＝|x|}
＝{y∈R|y≥0}，
N＝{x∈R|x＝m2}＝{x∈R|x≥0}，
∴M＝N.
答案：B
5．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．A∩B
B．A∪B
C．B∩(?UA)
D．A∩(?UB)
解析：由Venn图可知阴影部分为B∩(?UA)．
答案：C
6．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)＝ (　　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1解析：∵B＝{x|x<1}，
∴?RB＝{x|x≥1}．
∴A∩?RB＝{x|1≤x≤2}．
答案：D
7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
解析：由题意知，或(无解)
∴a＝4.
答案：D
8．设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1
解析：借助数轴可知：
∴－3答案：A
9．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为 (　　)
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素．
答案：D
10．定义集合M与N的新运算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x?M∩N}，
则(M⊕N)⊕N＝ (　　)
A．M∩N B．M∪N
C．M D．N
解析：按定义，M⊕N表示右图的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x?(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示上图右边的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．
解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2>0，
∴M恒有2个元素，所以子集有4个．
答案：4
12．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：∵A∪B＝A，
即B?A，∴m≥2.
答案：m≥2
13．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x解析：∵A∪(?UA)＝U，
∴A＝{x|1≤x<2}．
∴a＝2.
答案：2
14．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
解析：当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；
当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.
即A⊙B＝{0,6,12}．
故集合A⊙B的所有元素之和为18.
答案：18
三、解答题(本大题共4个小题，共50分)
15．(12分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解：∵A∪B＝{x|2?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，
?R(A∩B)＝{x|x<3，或x≥7}，
(?RA)∩B＝{x|2A∪(?RB)＝{x|x≤2，或3≤x<7，或x≥10}．
16．(12分)已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，求当P∩Q＝?时，实数k的取值范围．
解：若Q＝?时，k＋1>2k－1，
∴k<2，P∩Q＝?成立．
若Q≠?，∴k＋1≤2k－1即k≥2.
由题意知或
∴k>4.
综上所述k的取值范围是k<2或k>4.
17．(12分)为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
解：将题目中的条件表示为如图的形式，记x为3项工作都参加的人数，则测绘队总人数为：
(10－x)＋(8－x)＋(6－x)＋4＋6＋8＋x＝42－2x.
显然，测绘队总人数随x的变化而变化，而x应满足x≥1，6－x≥0,8－x≥0,10－x≥0，
于是1≤x≤6，x∈N，
∴当x＝6时，测绘队人数最少，为42－12＝30(人)．
所以这个测绘队至少有30人．
18．(14分)若集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a的值，使得??(A∩B)与A∩C＝?同时成立．
解：B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}，
∴B∩C＝{2}．
∵??(A∩B)，A∩C＝?，∴3∈A.
将x＝3代入方程x2－ax＋a2－19＝0，
得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.
①若a＝5，则A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，此时A∩C＝{2}≠?，不符合要求，舍去；
②若a＝－2，则A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5,3}，满足要求．
综上可知，a的值为－2.
课件9张PPT。第一章 集合核心要点归纳章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测 一、集合的含义与表示
1．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性．确定性是指元素是否属于集合是确定的；互异性指某一集合中的元素互不相同；无序性则是指集合中的元素没有顺序．
2．集合有四种表示方法：自然语言表示法、列举法、描述法和Venn图法．一般利用列举法和描述法表示集合，它们各有特点． 二、集合的基本关系
1．集合之间的关系是包含与被包含的关系，要区别于元素与集合间的关系．集合间关系使用符号“?、 、 、＝”，而元素与集合间的关系则使用“∈、?”．
2．含n个元素的集合的子集个数为2n个，非空子集为
2n－1个，真子集个数为2n－1个，非空真子集个数为2n－2个．
3．当集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝?的情况，切不可漏掉． 三、集合的交集、并集和补集
1．解答集合(或两个以上集合)交、并集的运算时，
(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交、并集的定义分别求出；(2)如果集合是连续的无限集，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题． 2．对于已知两个有限集的运算结果求参数值的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程求解．另外，在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求解结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性．
3．在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等，解答时应灵活处理．点击下列图片进入阶段质量检测
1．下列函数中，正整数指数函数的个数为 (　　)
①y＝1x；②y＝－4x；③y＝(－8)x.
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C． 2 D．3
解析：由正整数指数函数的定义知，A正确．
答案：A
2．函数y＝(a2－3a＋3)·ax(x∈N＋)为正整数指数函数，则a等于 (　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．以上都不对
解析：由正整数指数函数的定义，得a2－3a＋3＝1，
∴a＝2或a＝1(舍去)．
答案：B
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是 (　　)
A．增加7.84% B．减少7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
解析：设商品原价格为a，两年后价格为a(1＋20%)2，
四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a，
∴×100%＝7.84%.
答案：B
4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为 (　　)
A．a(1＋p%)元 B．a(1－p%)元
C.元 D.元
解析：设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，
∴x＝.
答案：C
5．计算(2ab2)3·(－3a2b)2＝________.
解析：原式＝23a3b6·(－3)2a4b2
＝8×9×a3＋4b6＋2＝72a7b8.
答案：72a7b8
6．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为________．
解析：20%＝0.2，当x＝1时，y＝1×(1－0.2)＝0.8；
当x＝2时，y＝0.8×(1－0.2)＝0.82；
当x＝3时，y＝0.82×(1－0.2)＝0.83；
……
∴光线强度y与通过玻璃板的块数x的关系式为y＝0.8x(x∈N＋)．
答案：y＝0.8x(x∈N＋)
7．若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－)x；(2)y＝x4；(3)y＝；
(4)y＝( )x；(5)y＝(π－3)x.
解：因为y＝(－)x的底数－小于0，
所以y＝(－)x不是正整数指数函数；
(2)因为y＝x4中自变量x在底数位置上，所以y＝x4不是正整数指数函数，实际上y＝x4是幂函数；
(3)y＝＝·2x，因为2x前的系数不是1，
所以y＝不是正整数指数函数；
(4)是正整数指数函数，因为y＝( )x的底数是大于1的常数，所以是增函数；
(5)是正整数指数函数，因为y＝(π－3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．
8．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10 000 m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2.
(1)写出x，y之间的函数关系式；
(2)求出经过10年后森林的面积．(可借助于计算器)
解：(1)当x＝1时，y＝10 000＋10 000×10%＝10 000(1＋10%)；
当x＝2时，y＝10 000(1＋10%)＋10 000(1＋10%)×10%＝10 000(1＋10%)2；
当x＝3时，y＝10 000(1＋10%)2＋10 000(1＋10%)2×10%＝10 000(1＋10%)3；
……
所以x，y之间的函数关系式是y＝10 000(1＋10%)x(x∈N＋)；
(2)当x＝10时，y＝10 000(1＋10%)10≈25 937.42，
即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2.
课件39张PPT。第三章 指数函数和对数函数理解教材新知§1
正整数指数函数把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 在初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质解决以下问题：
问题1：计算32·33的值．
提示：32·33＝35＝243.
问题2：计算(23)2和(22)3的值．
提示：(23)2＝82＝64，(22)3＝43＝64.
问题3：计算35÷32的值．
提示：35÷32＝33＝27. 若a>0，b>0，对于任意正整数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝ ；
(2)(am)n＝ ＝ ；
(3)(a·b)n＝ ；am＋nam·n(an)man·bnam－n1 一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，计划使利润每年比上一年增加20%.
问题1：在今后10年内，每年的利润是上一年的多少倍？
提示：1＋20%＝1.2(倍)．
问题2：在今后10年内每年的利润y随经过年数x变化的
函数关系式是什么？
提示：y＝a×1.2x. 函数 (a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.y＝ax 1．正整数指数幂的运算性质是学习指数函数的基础，在使用时，注意(ab)n与anam等的含义，才能正确地运算．
2．正整数指数函数是形式定义，与幂函数的定义既有联系又有区别．虽都具有幂的形式，但指数函数的底数为常数，指数是自变量x.只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)这种形式的函数才是正整数指数函数．1．下列各式运算错误的是 (　　)
A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
解析：A中，原式＝a7b8；B中，原式＝a3b3；C中，
原式＝－a6b6；D中，原式＝－a18b18.
答案：C 2．计算：
(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．
解：原式＝[2×(－6)÷(－3)]a3＋2＋1b－2－4＋5
＝4a6b－1. [一点通]　
正整数指数函数的图像特点：
(1)正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(2)当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．答案：C [例3]　(12分)某林区2011年木材蓄积200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求
y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？
[思路点拨]　根据增长率为5%，可分别列出经过1年、2年的木材蓄积量，然后列出y＝f(x)的表达式，第(2)问可根据正整数指数函数的图像来求．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像见下图，(8分) 作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万m3时)所经过的时间x年的值,因为8＜x0＜9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)．即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3.?
(12分) [一点通]　
1.人口、工地、复利、环境、细胞分裂等方面的问题是近几年高考的热点，应特别关注，涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式y＝a(1＋α)x来计算，其中a为初始值，
α为变化率，x为自变量，x∈N＋，y为x年变化后的函数值；
2.作函数的图像应先列表再作出图像，从左向右看，若图像上升，则函数是增函数；若图像下降，则函数是减函数，其实可总结出当a>0，α>0时，y＝a(1＋α)x是增函数．5．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2007年
某地区农民人均收入为3 150元(其中工资收入为1 800元，
其他收入为1 350元)，预计该地区自2008年起的5年内，
农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收
入每年增加160元．根据以上数据，2012年该地区农民
人均收入介于 (　　)
A．4 200元～4 400元 B．4 400元～4 600元
C．4 600元～4 800元 D．4 800元～5 000元解析：设自2008年起的第n年农民的工资收入为y＝1 800×
(1＋6%)n.其他收入为y2＝1 350＋160n，
则第n年的收入y＝y1＋y2＝1 800×(1＋6%)n＋1 350＋160n，
所以2012年农民人均收入为1 800×(1＋6%)5＋1 350＋160×5≈4 558.8(元)．
答案：B6．已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量
为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求
y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质
量．(可以用计算器)
解：镭原来质量为20克；
100年后镭的质量为20×95.76%(克)；
200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)；
300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)；
……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x(克)．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．
∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为
y＝20×(95.76%)10≈12.97(克)． 1．正整数指数幂的运算应注意以下几点：
(1)同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；
(2)正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分； (3)要注意运算律的逆用，如amn＝(am)n＝(an)m；
(4)运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂．
2．形如y＝N(1＋P)x的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P) x. 3．正整数指数函数y＝ax(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比点击下列图片进入应用创新演练
1．将 化为分数指数幂，其形式是 (　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2
C． 2－ D．－2－
解析： ＝(－2)＝(－2×2)
＝(－2)＝－2.
答案：B
2．(－x)2 等于 (　　)
A. B．－x
C．x D．x
解析：由 知x<0，又当x<0时，＝|x|＝－x，因此 (－x)2 ＝＝－x.
答案：B
3．计算(n∈N＋)的结果为 (　　)
A. B．22n＋5
C．2n2－2n＋6 D．()2n－7
解析：原式＝＝＝()2n－7.
答案：D
4．化简()4·()4的结果是 (　　)
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
解析：()4· ( )4＝()·()
＝(a)·(a)＝a×·a×＝a4.
答案：C
5．8－3－6 ＋＝________.
解析：原式＝8－6－2＋＝.
答案： 
6．若10x＝2,10y＝3，则10＝________.
解析：由10x＝2,10y＝3，
得10x＝(10x) ＝2，
102y＝(10y)2＝32.
∴10＝＝＝.
答案：
7．计算下列各式：
(1) (－3)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
(2)()－· (a>0，b>0)．
解：(1)原式＝(－1)－(3)－＋()－－＋1＝()－＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－；
(2)原式＝·a·a－·b＝a0·b＝b.
8．若x＋x－＝3，求的值．
解：由x＋x－＝3，
两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，
∴x2＋x－2－2＝45.
由x＋x—＝3，
两边立方得x＋3x＋3x－＋x－＝27，
∴x＋x－＝18.
∴x＋x－－3＝15.
∴＝.
另解：x＋x－＝(x)3＋(x－)3
＝(x＋x)(x＋x－1－1)＝3(7－1)＝18.
课件40张PPT。第三章 指数函数和对数函数理解教材新知§2
指数扩充及其运算性质把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 1．分数指数幂概念
给定 a，对于任意给定的 m、n(m、n互素)，存在唯一的正实数b，使得 ，把b叫做a的
次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．正实数整数bn＝am0没有意义指数运算的性质
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝am＋n，
(2)(am)n＝amn，
(3)(ab)n＝anbn. [一点通]　对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．解析：由于2所以2－a<0,3－a>0.
所以原式＝a－2＋3－a＝1.
答案：C [一点通]　进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．答案：A答案：ab－1[一点通]　解决此类问题的思路步骤如下：答案：B7．已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．
解：∵x－3＋1＝a，
∴x－3＝a－1，
又∵x－6＝(x－3)2，
∴x－6＝(a－1)2，
∴a2－2ax－3＋x－6
＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2
＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1. 1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．点击下列图片进入应用创新演练
1．下列结论正确的是 (　　)
A．对于x∈R，恒有3x>2x
B．y＝()－x是增函数
C．对a>1，x∈R，一定有ax>a－x
D．y＝2|x|是偶函数
解析：A.当x<0时，2x>3x；B.y＝()x＝ ()x在R上单调递减；C.当x＝0时，就有ax＝1，a－x＝1；D.符合偶函数的定义．
答案：D
2．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝3－0.2，则a，b，c三者的大小关系是 (　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：因为b＝53＞a＝30.2＞1，而0＜c＝3－0.2＜1，
所以b＞a＞c.
答案：B
3．函数y＝()的值域是 (　　)
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：由≥0且y＝()x是减函数，知0答案：B
4．函数f(x)＝的图像 (　　)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析：f(x)＝＝2x＋.
∴f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．
答案：D
5．(1)若0.2m>1>0.2n，则________>0>________(填m或n)．
(2)若()x<23x＋1，则x的取值范围是________．
解析：(1)由0.2m>1＝0.20>0.2n，得n>0>m.
(2)()x＝2－2x<23x＋1，
∴3x＋1>－2x，x>－.
答案：(1)n　m　(2)x>－
6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：a＝∈(0,1)，
故am>an?m答案：m7．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即
∴a＝±.
又a>1，∴a＝；
当0∴即解得a∈?.
综上所述，实数a的值为.
8．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)因为函数图像过点(2，)，
所以a2－1＝，
则a＝；
(2)由(1)知f(x)＝()x－1(x≥0)，
由x≥0得，x－1≥－1，
于是0<()x－1≤()－1＝2.
所以函数的值域为(0,2]．

1．函数y＝3x与y＝3－x的图像关于下列哪条直线对称 (　　)
A．x轴　　　　　　　　　　 B．y轴
C．直线y＝x D．直线y＝－x
解析：y＝3－x＝()x，
由y＝3x与y＝()x关于y轴对称，
所以y＝3x与y＝3－x关于y轴对称．
答案：B
2．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图像可能是 (　　)
解析：需要对a讨论：
当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的．②当0f(x)＝ax过原点且经过第一、三象限，斜率小于1，g(x)＝ax是减函数．显然B正确．
答案：B
3．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对于任意的实数x、y都有 (　　)
A．f(xy)＝f(x)·f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：∵f(x＋y)＝ax＋y，
f(x)·f(y)＝ax·ay＝ax＋y＝f(x＋y)．
答案：C
4．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：a＝0.80.7>0.80.9＝b，
a＝0.80.7<0.80＝1，∴b而c＝1.20.8>1.20＝1，
∴c>a>b.
答案：D
5．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．
解析：无论y＝ax在[1,2]上是增函数还是减函数，
一定在[1,2]的端点处取得最值，
∴a＋a2＝6，∴a2＋a－6＝0，
∴a＝2或a＝－3(舍去)，
∴a＝2.
答案：2
6．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析：当0要使得y＝2a与y＝|ax－1|有两个交点，需0<2a<1，故0　
(1)　　　　　　　　　　(2)　
当a>1时，如图(2)所示，
由于y＝2a>2，所以y＝2a与y＝|ax－1|不存在两个交点，故a的取值范围为0答案：07．定义运算a⊕b＝
若函数y＝2x⊕2－x.
求：(1)f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图像，并指出单调区间、值域以及奇偶性．
解： (1)由a⊕b＝，知
y＝2x⊕2－x＝
(2)y＝f(x)的图像如图：
在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，值域为(0,1]，为偶函数．
8．设a>0，f(x)＝＋(e>1)是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)依题意，对一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，
∴＋＝＋aex.
∴(a－)(ex－)＝0.
∴a－＝0，即a2＝1.
又a>0，∴a＝1；
(2)设0f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－
＝(ex2－ex1)( －1)
＝ex1(ex2－x1－1)·，
∵x2>x1>0，
∴x2－x1>0，x1＋x2>0，
又由e>1知y＝ex在R上为增函数，
∴ex2－x1－1>0,1－ex1＋x2<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
课件41张PPT。第三章 指数函数和对数函数理解教材新知§3
指数函数把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三
第一
课时
指数
函数
的概念及
图像
和性质
据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.
问题1：2004年我国的GDP可望是2000年的多少倍？
提示：(1＋7.3%)4倍．
问题2：记x年后，我国的GDP是2000年的y倍，x与y的关系式是什么？
提示：y＝(1＋7.3%)x＝1.073x(x∈N＋，00，且a≠1)．
问题1：根据指数幂的运算，当x>0时，ax的取值情况怎样？
提示：若x>0，当a>1时，ax>1，当0问题2：在a>1或0提示：a>1时，ax是增加的，0问题3：当x＝0时，y的值是多少？这说明图像的什么特点？
提示：x＝0时，y＝1，说明图像过定点(0,1)．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质R(0，＋∞)y＞1y＞1增函数减函数 2．对指数函数图像与性质的理解：
(1)底数a的取值范围确定函数的单调性；
(2)底数变化决定指数函数图像的变化：
指数函数y＝ax的图像如右图所示，
由指数函数y＝ax的图像与x＝1
相交于点(1，a)可知：
①在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；
②在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
图中的底数的大小关系为0 (2)底数不是常数，故不是指数函数；
(3)是－1与指数函数3x的乘积；
(4)中底数－3<0，故不是指数函数；
(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；
(7)中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义．
[一点通]　判断一个函数是否为指数函数，①底数要大于零且不等于1；②幂指数是自变量x；③系数为1，只是y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这样的形式．答案：③2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值． [一点通]　求与指数函数有关的函数定义域和值域时，要充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．对于解析式较复杂的函数，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得简洁，避免出错．答案：B [一点通]　
比较指数式大小的方法
(1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的图像和性质来判断．
(2)中间量法：比较不同底数且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小． 答案：D解：(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y＝0.9x的两个函数值，由于底数0.9<1，
所以指数函数y＝0.9x在R上是减函数，
因为0.1<0.2，
所以0.90.1>0.90.2；1．在指数函数定义中y＝ax具备的特点：2．对于函数y＝af(x)．
定义域：使f(x)有意义的x的取值范围．
值域：分两步求得：第一步求u＝f(x)的值域．
第二步利用y＝au的单调性求得此函数的值域． 3．比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．点击下列图片进入应用创新演练课件34张PPT。第三章
指数函数和对数函数§3
指数函数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三
第二
课时
指数
函数
的图
像和
性质
（习题课）
[一点通]　
1．平移规律
分左、右平移和上、下平移两种，遵循“左加右减，上加下减”．
若已知y＝ax的图像，把y＝ax的图像向左平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax＋b的图像；把y＝ax的图像向右平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax－b的图像；把y＝ax的图像向上平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax＋b的图像；向下平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax－b的图像． 2．对称规律
函数y＝ax的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称；
y＝ax的图像与y＝－ax的图像关于x轴对称；函数y＝ax的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．1．为了得到函数y＝2x－3－1的图像，只需把函数y＝2x的
图像上所有的点 (　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案：A2.如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx
的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为 (　　)
A．a B．b C．1 D．a答案：B3．函数y＝a|x|(0答案：C [例2]　求不等式a5x>ax＋8(a>0，且a≠1)的解集．
[思路点拨]　讨论a的取值根据单调性列不等式，最后解不等式得解集．
[精解详析]　(1)当a>1时，由a5x>ax＋8得5x>x＋8，解得x>2.
(2)当0ax＋8得5x 综上所述，当a>1时，此不等式的解集为{x|x>2}．
当0ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为4．若2x＋1<1，则x的取值范围是 (　　)
A．(－1,1)　　　　　　　　 B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：由2x＋1<20，函数y＝2t在R上是增函数，
所以x＋1<0，得x<－1.
答案：D5．已知ax＋5>ax＋8，则a的取值范围是________．
解析：∵x＋5ax＋8，由指数函数y＝ax
的性质知，当0 答案：(0,1) [一点通]
函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性及其特性，在这些性质中，定义域应优先求出，其求法分别如下：
(1)定义域：即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)．
(2)求函数的单调性有以下三种思路：①可借助于已知函数，如y＝－2x在R上单调递减；②可利用定义法；③若是复合函数，应利用复合函数的性质． (3)求值域的方法较多，到目前为止可以使用的方法有：①借助于已知函数；②利用单调性．
(4)对于奇偶性，应理解掌握它们的定义及式子的变形，如f(－x)±f(x)＝0.特别对于奇函数在原点处有定义时，有f(0)＝0.8．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，
求函数f(x)的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，
令t＝ax，
∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t＝ax≥1.
∴由二次函数的图像可知y≥2，当0∴由二次函数的图像可知－1∴综上所述
当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)，
当0 1．(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0 (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的形式，利用图像求解． 2．在一些较复杂的函数问题中，基本函数的性质可以直接在解题过程中应用．同时注意将复杂函数问题转化为基本函数问题．点击下列图片进入应用创新演练
1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为 (　　)
A．a<且a≠1　　　　　 B．0C．a>0且a≠1 D．a<
解析：由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0答案：B
2．方程(lgx)2＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2lg3＝0的两根的积x1x2等于 (　　)
A．lg2＋lg3 B．lg2lg3
C. D．－6
解析：∵lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)，
∴lg(x1x2)＝－lg6＝lg6－1＝lg，
∴x1x2＝.
答案：C
3．设lg2＝a，lg3＝b，则等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：＝＝＝.
答案：C
4．已知2x＝9，log2＝y，则x＋2y的值为 (　　)
A． 6 B．8
C．4 D．log48
解析：由2x＝9，得log29＝x，
∴x＋2y＝log29＋2log2
＝log29＋log2
＝log264＝6.
答案：A
5．已知a＝(a>0)，则loga＝________.
解析：法一：∵a＝，∴loga＝，
∴2loga＝，∴loga＝，
∴＝3，∴loga＝3.
法二：∵a＝，∴a2＝，
∴a＝＝()3，
∴loga＝log()3＝3.
答案：3
6．计算： ＝________.
解析：原式＝
＝＝＝－4.
答案：－4
7．(1)已知lgx＋lg2y＝2lg(x－4y)，求log2；
(2)设a＝lg2，b＝lg3，试用a，b表示lg.
解：(1)由已知得lg(2xy)＝lg(x－4y)2，
∴2xy＝(x－4y)2，
∴2xy＝x2－8xy＋16y2.
∴x2－10xy＋16y2＝0，
∴x＝2y或x＝8y.
∵x>0，y>0，x－4y>0，
∴x＝2y(舍去)，
∴x＝8y，∴＝8，
∴log2＝log28＝3；
(2)∵108＝4×27＝22×33，
∴lg＝lg108＝lg(22×33)
＝lg22＋lg33＝lg2＋lg3＝a＋b.
8．已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)＝－2，当x∈R时，f(x)≥2x恒成立，求实数a，b的值．
解：由f(－1)＝－2得，1－(lga＋2)＋lgb＝－2，
∴lg＝－1＝lg，
∴＝，即a＝10b.
又f(x)≥2x恒成立，
∴x2＋(lga)x＋lgb≥0对x∈R恒成立，
∴(lga)2－4lgb≤0，
即(lg10b)2－4lgb≤0，
∴(1－lgb)2≤0，
∴lgb＝1，b＝10，从而a＝100，
故实数a，b的值分别为100,10.

1．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是 (　　)
A．a－2　　　　　　　　　 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．1＋3a－a2
解析：∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
答案：A
2.＋等于 (　　)
A．lg3 B．－lg3
C. D．－
解析：原式＝log＋log＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝.
答案：C
3．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为 (　　)
A. B．9
C．18 D．27
解析：由题意得··＝
＝log416＝log442＝2，
∴＝2，
即lg m＝2lg 3＝lg 9.
∴m＝9.
答案：B
4．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于 (　　)
A．2 B.
C．4 D.
解析：由根与系数的关系，
得lg a＋lgb＝2，lga·lgb＝，
∴(lg)2＝(lga－lgb)2
＝ (lga＋lgb)2－4lg a·lgb
＝22－4×＝2.
答案：A
5．(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5＝________.
解析：∵原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5
＝1×[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5) 2]＋3lg 2·lg 5
＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
答案：1
6．已知f(3x)＝2x·log23，则f(21 005)的值等于________．
解析：法一：令t＝3x，∴x＝log3t，
∵f(3x)＝2x·log23，
∴f(t)＝2·log3t·log23＝2··log23＝2·log2t，
∴f(x)＝2·log2x，
∴f(21 005)＝2·log221 005＝2×1 005＝2 010.
法二：令3x＝21 005，则x＝log321 005＝1 005log32
∴f(22 005)＝2×1 005log32×log23＝2 010.
答案：2 010
7．计算下列各式的值：
(1)log2·log3·log5；
(2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
解：(1)log2·log3·log5
＝log25－2·log32－3·log53－2
＝－12log25·log32·log53
＝－12···
＝－12.
(2)原式＝(log23＋log32)(log322＋log23＋log32)
＝log23·log32＝··log32＝.
8．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py的p的值；
(2)求证：＝－.
解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34；
(2)证明：－＝－
＝logk6－logk3
＝logk2＝logk4＝＝.
课件40张PPT。第三章
指数函数和对数函数理解教材新知§4
对数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.1
对数及其运算知识点一知识点二知识点三 一个细胞经过一次分裂变成2个细胞，经过两次分裂变成4个，……
问题1：经过4次分裂变成了多少个细胞？
提示：24＝16.
问题2：经过多少次分裂后，细胞的个数是512?
提示：9次．
问题3：经过x次分裂后，细胞个数是y，则y＝2x.如何用y表示x?
提示：x＝log2y. 1．对数的定义
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即 ，那么数b叫作以a为底N的对数．记作 .

其中，a的范围是 ，N的范围是 ，b的取值范围是 .ab＝NlogaN＝ba>0且a≠1N>0b∈R2．几种常见对数e10logaNlnNlgN根据对数的定义：ab＝N化成对数式为
b＝logaN.
问题1：计算logaa和loga1的值；
提示：logaa＝1，loga1＝0.
问题2：零和负数有对数吗？为什么？
提示：没有，因为N＝ab>0.b＝logaNN11零0 对数运算可以看成指数运算的逆运算．参照指数的运算性质，对数的运算性质有哪些呢？
问题1：计算下列各组对数值：
(1)log28，log216，log2(8×16)；
(2)log39，log381，log3 ；
(3)lg1 000,3lg10.
提示：(1)3,4,7.
(2)2,4，－2.
(3)3,3.1．如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga ＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 1．对数式logaN＝b可看作一种记号，表示关于b的方程ab＝N(a>0，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN＝b又可看作幂运算的逆运算．
2．在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范围(M>0，N>0，a>0，a≠1)，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．解析：对数式logaN中，要求底数a>0，且a≠1，真数N>0.　
答案：C[一点通]　
1．对数的基本性质为：loga1＝0，logaa＝1(a>0, 且a≠1)．
2．对数恒等式alogab＝b(a>0, 且a≠1，b>0)．
以上各式对符合题意的a，b均成立．3．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若
10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确
的是 (　　)
A．①③　　　　　　　　 B．②④
C．①② D．③④
解析：lg(lg10)＝lg1＝0；ln(lne)＝ln1＝0，故①、②正
确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；若e＝lnx，则
x＝ee，故④错误．
答案：C答案：C答案：5[一点通]　
对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．答案：A7．2log510＋log50.25＝ (　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝
log5(100×0.25)＝log525＝2.
答案：C 1．在指数式与对数式互化中，并非任何指数式都可直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log－39＝2，只有符合a>0，a≠1，且N>0时才有ax＝N?x＝logaN. 2．利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．点击下列图片进入应用创新演练课件34张PPT。第三章
指数函数和对数函数理解教材新知§4
对数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.2
换底公式对数的换底公式：logbN＝ (a，b>0，a，b≠1，N>0)． 换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为同底的对数，再运用运算性质进行运算．答案：C答案：D[例2]　已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
[思路点拨]　运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
[精解详析]　法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818 [一点通]　
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换．
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键．
(3)注意一些派生公式的使用．3．已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝__________.
(用p、q表示)4．已知log1227＝a，求log616的值． [思路点拨]　解答本题可先求强度值y与玻璃板x之间的函数关系，再解决第二个问题．[一点通]　解决对数应用题的一般步骤：5．测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的
常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日
本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，
1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是
8.3级的几倍？7.1级的几倍？(lg2＝0.3)解：由题意可设lgx＝8.9，lgy＝8.3，lgz＝7.1，
则lgx－lgy＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4，
从而lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)．
∴x＝4y.
lgx－lgz＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg26＝lg64，
从而lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)．∴x＝64z.
故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．6．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声
压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5
帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值
取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听
力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以
下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？
(3)2008年北京奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到90dB，试求此时鸟巢内的声压是多少？ 1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有两种思路：①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算．②直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算．点击下列图片进入应用创新演练
1．下列各组函数中，定义域相同的一组是 (　　)
A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lgx与y＝lg
D．y＝x2与y＝lgx2
解析：A中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax的定义域为(0，＋∞)；B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为[0，＋∞)；C中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D中
y＝x2的定义域为R，y＝lgx2的定义域是{x∈R|x≠0}．　
答案：C
2．已知集合M＝{x|x<3}，N＝{x|log2x>1}，则M∩N等于 (　　)
A．?　　　　　　　　　　 B．{x|0C．{x|1解析：由对数函数的单调性，求出集合N.∵log2x>1，
∴x>2.则M∩N＝{x|2答案：D
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：由题意知f(x)＝logax.
∵f(2)＝1，∴1＝loga2，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.
答案：A
4．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像是 (　　)
解析：∵a>1，不妨取a＝2，
找出函数y＝2－x与y＝log2x的图像即可．
答案：D
5．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由2－log2x≥0 ? log2x≤2,
∴0答案：( 0，4 ]
6．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
解析：∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝1.
答案：1
7．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝log(3x－1).
解：(1)要使此函数有意义，
则
∴x≠3且x＞4，故函数定义域为(4，＋∞)．
(2)要使此函数有意义，则
即故函数的定义域为(1，＋∞)．
8．已知f (x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)解：(1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)由图像知：当0∴所求a的取值范围为0
1．若log3a<0，()b>1，则 (　　)
A．a>1，b>0　　　　　　　 B．00
C．a>1，b<0 D．0解析：由函数y＝log3x，y＝()x的图像知，0答案：D
2．函数f(x)＝
若f(m)A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：函数f(x)的图像大致如图：
∴当f(m)∴m∈(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：C
3．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是 (　　)
解析：∵f(3)·g(3)<0，
∴a3·loga3<0，
∴loga3<0，
∴0答案：C
4．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是 (　　)
A．[，]
B．[－1,1]
C．[，2]
D．(－∞，]∪[，＋∞)
解析：－1≤2logx≤1，－≤logx≤，
log ()－ ≤logx≤log () ，
∵y＝logx是减函数，
∴() ≤x≤()－ .
≤x≤.
答案：A
5．若f(x)＝则f(f(－))＝________.
解析：f(f(－))＝f(4－)＝f()＝log2＝－1.
答案：－1
6．设0解析：由于y＝logax(0则ax>.
得ax>3或ax<－1，
由于0可得x答案：(－∞，loga)
7．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解：利用换元法，转化为二次函数问题来解决．
由y＝logx在区间[2,4]上为减函数知，
log2≥logx≥log4，
即－2≤logx≤－1.
若设t＝logx，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图像的对称轴为t＝，
且在区间(－∞，]上为减函数，
而[－2，－1]?(－∞，]．
所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，
此函数取得最小值，最小值为.
8．已知a>0且a≠1，f(logax)＝(x－)．
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围．
解：(1)令t＝logax(t∈R)，
则x＝at，且f(t)＝，
所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)；
(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
且x∈R，所以f(x)为奇函数．
当a>1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到>0，
所以这时f(x)为增函数．
当0所以f(x)在R上为增函数；
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，
所以f(1－m)因为f(x)在(－1,1)上为增函数，
所以
解之，得即m的取值范围是：(，1)．
课件40张PPT。第三章
指数函数和对数函数理解教材新知§5
对数函数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三
5.1
&
5.2
对数函数的概念
y=log2x
的图像和性质
知识点一知识点二 在前面我们讲过了指数函数：y＝ax(a>0，且a≠1)．
问题1：将指数式化成对数式得到什么？
提示：x＝logay.
问题2：在上述关系中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？
提示：y＝logax. 1．对数函数的概念
函数y＝ (a>0，a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的 ，x是自变量．
2．特殊的对数函数logax底数10y＝lgx无理数ey＝lnx 考察指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)．
问题1：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)x、y的范围是什么？
提示：自变量x∈(－∞，＋∞)，函数值y∈(0，＋∞)．
问题2：对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，x、y的范围是什么？
提示：x∈(0，＋∞)，　y∈(－∞，＋∞)． 问题3：这两个函数具有什么关系？
提示：它们的定义域和值域互反，即y＝ax的定义域是y＝logax的值域；y＝ax的值域是y＝logax的定义域． 指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，a≠1)之间的关系：y＝logaxy＝ax值域定义域值域定义域 1．对数函数是一个形式定义，只有形如y＝logax
(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax
(a>0且a≠1，x>0)互为反函数，它们定义域与值域互反． [一点通]　求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．答案：B解：(1)∵当1－x>0，即x<1时，函数y＝log3(1－x)有意义，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)； [一点通]　
反函数的求法：
(1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)．
(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax
(或y＝ax)．
(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．3．已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说
法不正确的是 (　　)
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内增减性相同
D．y＝ax的图像经过平行移动可得到y＝logax的图像.解析：由于y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于y＝x对称，知A、B正确，当a>1时，它们均为增函数，当0答案：D4．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的
图像只能是图中的 (　　)解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．
∵在y＝loga(－x)中，－x>0即x<0，
∴排除A、C.当0答案：B [例3]　根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．
[思路点拨]　可先作出y＝log2x的图像，利用图像考察单
调性解决问题． [精解详析]　函数y＝log2x
的图像如图．
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)>f(2)，即log2a>log22，
则a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)；
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227. [一点通]　函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式、求函数值域、比较对数值的大小．5．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，
f(x)等于 (　　)
A．－log2x B．log2(－x)
C．logx2 D．－log2(－x)
解析：∵x<0，∴－x>0.∴f(－x)＝log2(－x)．
又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－log2(－x)．
答案：D 1．解与对数有关的问题，要首先保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1.
2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们定义域与值域互反，图像关于直线y＝x对称．
3．应注意数形结合思想在解题中的应用．点击下列图片进入应用创新演练课件42张PPT。第三章
指数函数和对数函数理解教材新知§5
对数函数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三
5.3
对数
函数
的图
像和
性质
问题1：函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)，
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0；
0单调性：在(0，＋∞)上是增函数．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质(0，＋∞)R(1,0)＞＜＜＞(0，＋∞)(0，＋∞)非奇非偶函数 1．同底数的指数函数与对数函数的相同点及联系
(1)a>1时同为增函数，0 (2)互为反函数，图像关于y＝x对称；
(3)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域． 2．对数式logax的符号(x>0，a>0，且a≠1)
(1)当01，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，也就是为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,0(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)log67，log76；
(4)log3π，log20.8；
(5)log7 12，log8 12.[思路点拨]　①(1)(2)底数相同，可利用单调性比较；
②(3)与(4)可分别与“1”和“0”比较大小；
③(5)可结合图像比较大小．
[精解详析]　(1)考查对数函数y＝log2x，
∵2>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
∴log23.4∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8>log0.32.7；
(3)∵log67>log66＝1，log76∴log67>log76；
(4)∵log3π>log31＝0，log20.8∴log3π>log20.8； (5)在同一坐标系中作出
函数y＝log7x与y＝log8x的图
像，由底数变化对图像位置
的影响知：
log712>log812. [一点通]　
比较对数大小的思路：
(1)底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；
(2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”．答案：D答案：B [例2]　作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇偶性，并求出f(x)>0的解集．
[思路点拨]　先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集． 又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx
(x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数，f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)． [一点通]　
1．作函数图像的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)的图像在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图像，即可得到y＝f(|x|)的图像．y＝|f(x)|的图像可先作出y＝f(x)的图像，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图像．
2．如果只需要作出函数的大致图像时可采用图像变换．3．如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关
系是 (　　)A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b解析：y＝logax的图像在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a>1，函数y＝logbx，y＝logcx的图像在(0，＋∞)上都是下降的．因此b，c∈(0,1)，又易知c>b，故a>c>b.
答案：D4．若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，
则函数f(x)＝loga(x＋1)的图像大致是 (　　)答案：D5．方程a－x＝logax(a>0，且a≠1)的实数解的个数为
________．答案：1当0logat1，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(1，＋∞)单调递增．
当a>1时，logat2∴f(x)在(1，＋∞)单调递减．
∵奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
∴当0当a>1时，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减． [一点通]　
1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
2．判断函数的单调性利用单调性的定义．
3．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相反．6．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则
a的取值范围是 (　　)
A．01
C．10，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的增减性；
(3)当a取何值时，图像在y轴的左侧？
解：(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0，
当0 故当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当01时，任设x1ax1，
∴ax2－1>ax1－1，
∴loga(ax2－1)>loga(ax1－1)，
即f(x2)>f(x1)。
∴当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
同理，当0(3)∵图像在y轴的左侧，
∴定义域为(－∞，0)，
由(1)知此时0 (1)直接法：利用对数函数的单调性比较大小．
(2)作商法：将同号的两数相除，其商再与1比较大小．
(3)作差法：可利用对数的运算，比较其差与1的大小．
(4)搭桥法：主要根据对数函数值分析．借助于“0”和“1”比较大小． (5)图像法：主要利用不同底数在同一坐标系下的图像
位置关系．
(6)转化法：主要利用指数或对数的有关性质，将两数
作合理变形，转化为两个新数进行大小比较．
2．数形结合是重要的数学思想方法之一，因此解决对
数函数问题时，心中要时刻装有图像，对数函数图像是解决
相关问题的基础．
3．解决对数的综合问题时，要遵循“定义域优先”的原则．点击下列图片进入应用创新演练
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 (　　)
A．y＝100x　　　　　　　　 B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
答案：D
2．设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈Z)的图像在直线y＝x的上方，则p的取值范围是(　　)
A．p≥0 B．0C．p<1且p≠0 D．p>1
解析：当p<0时，f(x)＝xp＝()－p，在(0,1)上单调递减，
∴y>f(1)＝1在直线y＝x上面，故只有C正确．
答案：C
3．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 (　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：在同一坐标系中画图像可知，当x取较大值时指数函数y＝2x在上方，即2x值最大．
答案：D
4.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是 (　　)
A．①② B．①②③④
C．②③④⑤ D．①②⑤
解析：由于图像经过点(1,2)，所以2＝a1，即a＝2.
①正确．∴y＝2t.
当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确．
令y＝4，得t＝2.即第2个月浮萍蔓延的面积为4 m2.
再过1.5个月，即t＝3.5时，y＝23.5＝2＝8 m2，故③错误．
前几个月浮萍的面积分别为2 m2,4 m2,8 m2,16 m2，显然浮萍每个月增加的面积不相等，故④错误．
若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，即2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，
则t1＝log22＝1，t2＝log23，t3＝log26，
又log26＝log2(2×3)＝log22＋log23，
∴t3＝t1＋t2，故⑤成立．
综上，①②⑤正确．
答案：D
5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2000年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2010年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.
答案：y＝15(1＋x)10
6．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg2＝0.301 0，lg4.1＝0.613)
解析：设距现在为x年，则有()＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7 400.
答案：7 400
7．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
解：(1)依题意：由有
解得a1＝4，b1＝－4，
∴f(x)＝4x2－4x＋6.
由有
解得a2＝，b2＝5，
∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5，
所以甲在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g(5)＝86万元， 故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等；
(2)作函数图像如下：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1g(x)；
当58．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)
解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数：
1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100.
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为
y＝100×x，x∈N＋.
由100×x>1010，得x>108，两边同时取以10为底的对数．得xlg>8，
∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46小时，细胞总数超过1010个．
课件43张PPT。第三章
指数函数和对数函数理解教材新知§6
指数函数、幂函数、对数
函数增长
的 比较把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例探究一下它们的差异．
问题1：这三种函数在(0，＋∞)上的单调性怎样？
提示：都是单调递增． 问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x 提示：2 问题3：当log2x取值范围是什么？
提示：04.
问题4：从三种函数图像的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？
提示：2x的值迅速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道． 当a＞1时，指数函数y＝ax是 ，并且当a越
时，其函数值的增长就越快．
当a＞1时，对数函数y＝logax是 ，并且当a越 时，其函数值的增长就越快．
当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是 ，并且当x>1时，n越 其函数值的增长就越快．增函数大增函数小增函数大 1．对数函数y＝logax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度平缓(越来越慢)．
2．指数函数y＝ax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度急剧(越来越快)，常用“指数爆炸”来形容．
3．幂函数y＝xn，当n>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度相对平稳．　 [例1]　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像，如图所示．
设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 (2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 010)，g(2 010)的大小．
[思路点拨]　先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．
[精解详析]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x； (2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．　
∴1 ∴x1<8 从图像上知，当x1 当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(2 010)>g(2 010)>g(8)>f(8)． [一点通]　底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比底数大于1的对数函数模型增长要快， 从这个实例我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增大的含义．解析：a、c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.
答案：C2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
答案：y2 (2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log20.3<0.32<20.3. [一点通]　解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性， 也可以借助幂函数与指数函数的图像．答案：D [例3]　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报
10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路点拨]　首先确立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．[精解详析]　设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图像如图： 由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表. ∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
[一点通]　解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系．5．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图：
那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝
数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ (　　)A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析：把t＝1,2,3代入验证易得结果．
答案：A6．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到
西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：
天)的数据如下表： (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；
Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述． 1．正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数增长差异．
直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上． 2．实际问题中对几种增长模型的选择
(1)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；
(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(3)而幂函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化规律．点击下列图片进入应用创新演练
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．化简[]的结果为 (　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－5
解析：[]＝()＝5×＝5＝.
答案：B
2．若log5·log36·log6x＝2，则x等于 (　　)
A．9 B.
C．25 D.
解析：由换底公式，得··＝2，
∴－＝2.
∴lg x＝－2lg 5＝lg .∴x＝.
答案：D
3．(2011·江西高考)若f(x)＝，则f(x)的定义域为 (　　)
A．(－，0) B．(－，0]
C．(－，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：f(x)要有意义，需log (2x＋1)>0，
即0<2x＋1<1，解得－答案：A
4．函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是 (　　)
A．|a|>1 B．|a|>2
C．a> D．1<|a|<
解析：由0∴1<|a|<.
答案：D
5．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是 (　　)
A．a>0 B．a>1
C．0解析：由ax－1≥0得ax≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x≤0时，ax≥1恒成立，∴0答案：C
6．函数y＝的图像的大致形状是 (　　)
解析：原函数式化为y＝
答案：D
7．函数y＝的值域是 (　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
解析：当x≤1时，0<3x－1≤31－1＝1，
∴－2<3x－1－2≤－1.
当x>1时，()x<()1，∴0<()x－1<()0＝1，
则－2<()x－1－2<1－2＝－1.
答案：D
8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像为
(　　)
解析：由题意知前3年年产量增大速度越来越快， 可知在单位时间内，C的值增大的很快，从而可判定结果．
答案：A
9．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是 (　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3)
解析：当x0≥2时，∵f(x0)>1，
∴log2(x0－1)>1，即x0>3；当x0<2时，由f(x0)>1得()x0－1>1，()x0>()－1，
∴x0<－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：C
10.函数f(x)＝loga(bx)的图像如图，其中a，b为常数．下列结论正确的是 (　　)
A．01
B．a>1,0C．a>1，b>1
D．0解析：由于函数单调递增，∴a>1，
又f(1)>0，即logab>0＝loga1，∴b>1.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若函数y＝则f(log3)＝________.
解析：∵－1＝log3∴f(log3)＝()log3＝3－log3＝3log32＝2.
答案：2
12．化简：·＝________.
解析：原式＝·
＝·
＝a·a＝a.
答案：a
13．若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1三图像无公共点，结合图像求b的取值范围为________．
解析：如图．
当－1≤b≤1时，此三函数的图像无公共点．
答案：[－1,1]
14．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．
解析：∵－1≤log3x≤1，
∴log3≤log3x≤log33，∴≤x≤3.
∴f(x)＝log3x的定义域是[，3]，
∴f(x)＝log3x的反函数的值域是[，3]．
答案：[，3]
三、解答题(本大题共4个小题，共50分)
15．(12分)设函数y＝2|x＋1|－|x－1|.
(1)讨论y＝f(x)的单调性，作出其图像；
(2)求f(x)≥2的解集．
解：(1)y＝
当x≥1或x<－1时，y＝f(x)是常数函数不具有单调性，
当－1≤x<1时，y＝4x单调递增，
故y＝f(x)的单调递增区间为[－1,1)，其图像如图．
(2)当x≥1时，y＝4≥2成立，
当－1≤x<1时，由y＝22x≥2＝2×2＝2，
得2x≥，x≥，∴≤x<1，
当x<－1时，y＝2－2＝<2不成立，
综上，f(x)≥2的解集为[，＋∞)．
16．(12分)设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，求a的取值范围．
解：∵logax＋logay＝3，∴logaxy＝3.
∴xy＝a3.∴y＝.
∴函数y＝(a>1)为减函数，
又当x＝a时，y＝a2，当x＝2a时，y＝＝，
∴?[a，a2]．∴≥a.
又a>1，∴a≥2.∴a的取值范围为a≥2.
17．(12分)若－3≤logx≤－，求f(x)＝(log2)·(log2)的最大值和最小值．
解：f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2＝(log2x－)2－.
又∵－3≤logx≤－，∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝时，f(x)min＝f(2)＝－；
当log2x＝3时，f(x)max＝f(8)＝2.
18．(14分)已知函数f(x)＝，
(1)证明函数f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)令g(x)＝，判定函数g(x)的奇偶性，并证明．
解：(1)证明：设x1，x2是R内任意两个值，且x10，y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝－＝＝，
当x10.
又2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴y2－y1>0，
∴f(x)是R上的增函数；
(2)f(x)＝＝1－，
∵2x＋1>1，∴0<<2，
即－2<－<0，∴－1<1－<1.
∴f(x)的值域为(－1,1)；
(3)由题意知g(x)＝＝·x，
易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝g(x)，
∴函数g(x)为偶函数．
课件13张PPT。第三章 指数函数和对数函数核心要点归纳章末小结
知识整合与
阶段检测阶段质量检测 一、正整数指数函数
函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫做正整数指数函数，其中x是自变量，a是常数，要注意x的取值范围是N＋.
二、指数概念的扩充
1．有理数指数幂的运算性质和实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的．能合理地使用运算性质进行指数幂的运算 三、指数函数和对数函数
1．指数函数与对数函数像幂函数一样都是形式定义，在判断时要根据函数式的特征进行判断．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其中一个函数的定义域和值域分别是另一个函数的值域和定义域．
3．互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称． 四、对数及其运算
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b可以相互转化．这里a>0且a≠1，N>0.
2．对数有三条性质，务必要记忆清楚．即①底的对数等于1，即logaa＝1；②1的对数等于0，即loga1＝0；
③零和负数无对数，即logaN中N>0. 3．对数的运算性质是对数运算的基础，不能混淆，不要使用错误的结论，还要注意性质成立的条件．
4．换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数和自然对数，然后查表求值．换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．化简中，要注意几个常见结论的使用． 五、指数函数的图像和性质
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是描述客观世界中许多事物发展变化的一类重要模型．研究指数函数应从a>1和0 2．指数函数的性质除了分两类情况外，应从以下几方面研究：①定义域；②值域；③函数值的变化；④单调性；⑤定点．
3．指数函数的图像在y轴右侧具有“图高底大”的规律． 六、对数函数的图像和性质
1．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是另一种重要的函数模型．研究对数函数也应从a>1和0 2．对数函数的性质也是从定义域、值域、函数值的变化、单调性和定点几方面展开讨论的．要记牢记准性质，才可灵活解题．
3．在处理对数函数和指数函数时，要注意两种数学思想，即数形结合的思想和分类讨论的思想，解题中应用非常广泛． 七、指数函数、幂函数和对数函数增长的比较
1．对于函数y＝ax(a>1)，y＝xn(x>0，n>1)，y＝logax
(a>1)尽管都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(x>0，n>1)的增长速度，而y＝logax
(a>1)的增长速度则越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax 2．了解指数函数、幂函数、对数函数的增长对比特点，弄清它们的增长速度的规律，对于在实际问题中的模型的选取与建立具有一定指导意义．点击下列图片进入阶段质量检测
1．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g (x)＝ (　　)
A．2x＋1　　　　　　　　　 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：由已知得g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，所以g(x)＝2x－1.
答案：B
2．下列图中，画在同一坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(a≠0，b≠0)函数的图像只可能是 (　　)
解析：本题可以假定一个函数图像正确分析另一个函数图像是否正确，如B项中由
y＝ax＋b的图像可知a<0，b>0，则判定y＝ax2＋bx开口向下，对称轴x＝－>0可知
B项正确．
答案：B
3．函数f(x)＝的值域是 (　　)
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
解析：作出y＝f(x)的图像．
由图像知，f(x)的值域 [0,2]∪{3}．
答案：D
4．已知符号函数sgnx＝则不等式(x＋1)sgnx>2的解集是(　　)
A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：原不等式可化为或
或
解集为x>1或x<－3.
答案：B
5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；
满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：f(g(1))＝f(3)＝1.
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
故f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.
答案：1　2
6．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析：由分段函数的解析式知f(0)＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝4＋2a.由4＋2a＝4a，得a＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数的图像．
解：(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∵－3<0，
∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
∵0<1<4，
∴f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，
即f(f(f(5)))＝－1.
(2)图像如图所示．
8．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元．超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠的金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
若某人在此商场购物总金额为x元，则可以获得的折扣金额为y元．
(1)试写出y关于x的解析式；
(2)若y＝30，求此人购物实际所付金额．
解：(1)由题意知：y＝
(2)∵y＝30>25，∴x>1 300，
∴0.1×(x－1 300)＋25＝30，解得x＝1 350.
又1 350－30＝1 320，
∴此人购物实际所付金额为1 320元．

1．下列两变量间的关系具有依赖关系但不具有函数关系的是 (　　)
A．人的体重与身高的关系
B．圆的面积与半径的关系
C．某十字路口，通过行人的数量与时间的关系
D．乘出租车时，车费与行驶里程的关系
答案：A
2．设f(x)＝，则等于 (　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C. D．－
解析：＝＝＝×(－)＝－1.
答案：B
3．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是 (　　)
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
解析：由于y＝f(x)与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同．所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．
答案：A
4．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 (　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：
图号
正误
原因
①
×
x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．
②
√
同时满足任意性与唯一性．
③
×
x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性．
④
×
x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
根据上述分析只有一个满足函数关系．
答案：B
5．若f(x)＝ax2－，a为一个正的常数，且f(f())＝－，则a＝________.
解析：∵f()＝a·()2－＝2a－，
∴f(f())＝a·(2a－)2－＝－.
∴a(2a－)2＝0.
∵a为一个正的常数，
∴2a－＝0，
∴a＝.
答案：
6．已知集合A＝{x|x≥4}，g(x)＝的定义域为B，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是________．
解析：由题可知，g(x)的定义域为{x|x要使得A∩B＝?，
则需要a＋1≤4，解得a≤3.
答案：a≤3
7．已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，若g(f(x))＝x2＋x＋1，求a的值．
解：∵f(x)＝2x＋a，
g(x)＝(x2＋3)，
∴g(f(x))＝g(2x＋a)
＝[(2x＋a)2＋3]
＝x2＋ax＋(a2＋3)．
又g(f(x))＝x2＋x＋1，
∴x2＋ax＋(a2＋3)＝x2＋x＋1，
解得a＝1.
8．已知函数y＝的定义域为A，函数y＝＋1的值域为B，求A∩B.
解：要使函数y＝有意义，
则|
即x≠1.
∴A＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵≥0，∴y＝＋1≥1.
∴B＝[1，＋∞)．∴A∩B＝(1，＋∞)．

1．设f：A→B是从A到B的映射，那么下列说法正确的是 (　　)
A．A中任何不同的元素必有不同的像
B．A中任何一个元素在B中的像是唯一的
C．B中任何一个元素在A中必有原像
D．B中一定存在元素在A中没有原像
解析：由映射的定义可知，B正确．
答案：B
2．设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是 (　　)
A．对集合A中的数开平方
B．对集合A中的数取倒数
C．对集合A中的数取算术平方根
D．对集合A中的数立方
解析：当a<0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A，C项错；当a＝0时，对a取倒数无意义，则B项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合A中的数立方能建立映射．
答案：D
3．下列各图中表示的由A到B的对应能构成映射的个数是 (　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：由映射的概念可知①、②、③正确．
答案：B
4．设f：A→B是集合A到B的映射，其中A＝{x|x>0}，B＝R，且f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋的像和B中元素－1的原像分别为 (　　)
A.，0或2 B．0,2
C．0,0或2 D．0,0或
解析：x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2(1＋)－1＝0.∴1＋的像为0；
又x2－2x－1＝－1时， x＝0或2，
∵x>0，∴x＝2，即－1的原像是2.
答案：B
5．设M＝N＝R，f：x→－x2＋2x是M到N的映射，若对于N中元素p，在M中恰有一个原像，则p的值为________．
解析：由题意知，关于x的方程－x2＋2x＝p有两相等实根，∴Δ＝4－4p＝0.
p＝1.
答案：1
6．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)在此映射下的原像是(3,1)，则k＝________，b＝________.
解析：当时，?
答案：2　1
7．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．
解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，
∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，
即a4＝10或a2＋3a＝10.
∵a∈N，
∴仅有a2＋3a＝10，得a＝2，a＝－5(舍)．
则有k的像是a4.
∴3k＋1＝24，得k＝5.
8．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
(2)判断这个映射是不是一一映射？
解：(1)假设存在元素(a，b)使它的像仍是(a，b)．
由得a＝0，b＝.
∴存在元素(0，)使它的像仍是自己；
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解，
这说明对B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，
所以映射f：A→B是A到B上的一一映射．
课件54张PPT。第二章 函数理解教材新知
§1
&
§2
生活中的变量关系
对
函数的进一步
认识
把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二知识点三考点一考点二考点三2.1
生活中的变量关系
函数
概念考点四2.1 生活中的变量关系 函数的概念 世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．
问题1：某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
提示：没有依赖关系，不是函数关系． 问题2：储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
提示：具有依赖关系，但不是函数关系．
问题3：在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？
提示：具有依赖关系，也是函数关系． 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有
的值时，才称它们之间具有函数关系.唯一确定 一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130 t－5 t2.
问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什么？
提示：A＝{t|0≤t≤26}． 问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B是什么？
提示：B＝{h|0≤h≤845}．
问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函数关系吗？为什么？
提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中的任意一个时间t，按照h＝130 t－5 t2，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应． 给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中 数x，在集合B中都存在 的数f(x)与之对应，那么就把 f叫做定义在集合A上的函数，记作 .此时，x叫作自变量，集合A叫做函数的定义域，集合 叫做函数的值域，习惯上称 .任何一个唯一确定对应关系f：A→B，或y＝f (x) x∈A{ f (x)| x∈A}y是x的函数1．区间[a，b][a，b][a，b][a，b] 2．无穷大
概念：实数集R可以用区间表示为 ，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x 2．对函数的理解：
(1)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为
x是自变量，它是对应法则所施加的对象；f是对应法则；
y是自变量的函数，当x取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”． (2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
3．区间是连续数集的另一种表示形式． [例1]　下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？
①正方形的面积和它的边长之间的关系；
②姚明罚球次数与进球数之间的关系；
③施肥量与作物产量之间的关系；
④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系． [思路点拨]　先分析是否存在依赖关系，再去判断是否有函数关系．
[精解详析]　①、②、③、④中两个变量都存在依赖关系，其中①、④是函数关系，②、③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系．
[一点通]　分析两个变量是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定的，还是不确定的．1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产
量为y千克，则 (　　)
A．x，y之间有依赖关系　　 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
解析：小麦总产量与施肥有关系，但这种关系又不是
确定的．
答案：A2．下列过程中，变量之间的关系是否为函数关系？
(1)公路上行驶的汽车在路程一定的条件下，时间与平均
车速之间的关系；
(2)化学实验中，加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之
间的关系．
解：(1)是函数关系．其中时间是自变量，速度是因变
量；反之也行；
(2)是函数关系．其中溶质是自变量，溶液浓度是因变
量；反之也行． [思路点拨]　判断函数的定义域和对应关系是否一致．
[精解详析]　(1)f(x)的定义域中不含有元素2，而g(x)定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数．
(2)f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数． (3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．
(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此不是同一函数．
[一点通]　函数有三个要素：定义域、值域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域和对应法则相同，这两个函数就是同一函数．答案：D4．如图所示，可表示函数y＝f(x)图像的只能是 (　　)解析：判断一个图像是否是某一个函数的图像，应看它是否符合函数的概念，即对定义域内的任意数x，按照某种确定的对应关系，都有唯一确定的数y与它对应．对于A、C中令x＝0，有两个y与之对应．而B中，当x取大于0的任意值时，也都有两个y值与之对应．
答案：D [思路点拨]　求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．[精解详析]　(1)显然定义域为{1,2,3,4,5}；所以x<0且x≠－1.
所以函数的定义域为{x|x<0，且x≠－1}． [一点通]
1．求函数定义域的方法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
2．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．答案：B如图，即x<－3，或－3当然也可以表示为{x|x<－3，或－3又∵－5≤x≤－2，∴－4≤x＋1≤－1.
∴1≤(x＋1)2≤16.
∴－12≤4－(x＋1)2≤3.
∴所求函数的值域为[－12,3]． [一点通]　
函数的值域就是函数值构成的集合，即{f(x)|x∈A}，其中A为定义域．所以求函数的值域首先确定函数的定义域．
求函数的值域常常没有固定的方法，常见的有：
(1)观察法；
(2)由函数的图像，运用数形结合的方法确定值域； (3)化为二次函数，利用二次函数的最值确定所给函数的值域——配方法；
(4)利用二次三项式的判别式求值域——判别式法；
(5)采用换元法求值域；
(6)利用某些已知函数的值域，通过解不等式求得所给函数的值域．答案：C 1．集合表示法和区间表示法都是表示取值范围的方法．一般地，用哪种方法表示取值范围应该与原题的表示方法保持一致，在没有明确的要求下，一般选择比较简便的表示法．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法：
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内移动直线l； ③若l与图形有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不是函数． 3．函数的定义域是使表达式有意义的自变量的取值集合，一般转化为解不等式或不等式组的问题．
4．求函数的值域方法较多，常用的有配方法、换元法、分类讨论法和数形结合法．在利用换元法时，注意新元的范围．点击下列图片进入应用创新演练课件47张PPT。第二章 函数理解教材新知
§1
&
§2
生活中的变量关系
对
函数的进一步
认识
把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三2.2
函
数
的
表
示
法考点四 某汽车行驶的速度是60千米/小时，行驶t(t∈[0,5])小时的路程为s.
问题1：s关于t的表达式是什么？定义域是什么？
提示：s＝60t，t∈[0,5]．
问题2：还能用其他方法来表示该函数吗？
提示：可用函数图像，表示如下：函数的三种表示法解析表达式表格的形式图像(简称解析式) 如果笔记本数不超过5本时，每本按5元/本，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．
问题1：用列表法表示钱数y与笔记本数x的函数，怎样表示？
提示：问题2：该函数能用解析法表示吗？怎样表示？
提示：能． 在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着 对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．不同的三种表示法的特点 [例1]　作出下列函数的图像
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[思路点拨]　(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响． [精解详析]　(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分； (2)∵0≤x<3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段弧，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示． [一点通]
1．图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．
2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点． 1．如图，函数y＝|x＋1|的图像是 (　　)答案：A答案：C[一点通]
求函数解析式的常用方法：
(1)由实际问题建立函数关系式．
(2)待定系数法．
(3)换元法，注意新元的取值范围．
(4)构造方程法．
(5)代入法．3．已知f (x)＝x2－1，g(x)＝x＋1则 f (g(x))＝_______.
解析：f (g(x))＝(x＋1)2－1＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
4．求函数的解析式．
(1)已知f(x)是二次函数且f (0)＝－1，f (x＋1)－f (x)＝
2x＋2，求f (x)；
(2)已知af (x)＋f (－x)＝bx，其中a≠±1，求f (x)． [一点通]　
1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值；
2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．解析：f(1)＝3×1－6＝－3，
∴f(f(1))＝f(－3)＝－3＋5＝2.
答案：A答案：－1 [例4]　如图所示，从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求出其定义域． [思路点拨]　可由题意将长方体底面正方形的边长和高度表示出来，但要注意定义域x不但受解析式的影响，还受t的限制． [一点通]　此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．7.如图所示，用长为l的铁丝弯
成下部分为矩形，上部为半
圆形的框架，若矩形底边长
为2x，求此框架围成的面积
y与x的函数关系式，并指出其定义域．8．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图
所示．
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数
为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数
s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像．解：(1)阴影部分的面积为
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.这个函数的图像如图所示． 2．作函数图像时应注意以下几点：
(1)在定义域内作图；
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
3．分段函数是生产生活中的重要函数模型，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选取相应的对应关系．点击下列图片进入应用创新演练课件38张PPT。第二章 函数理解教材新知
§1
&
§2
生活中的变量关系
对
函数的进一步
认识
把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.3
映
射 函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”，现在把数集扩展到任意的集合．某校高二(16)班有60名同学， 同学们的姓名构成集合A.
问题1：若同学们的姓构成集合B.对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？
提示：是的． 问题2：若C＝{男，女}，那么A、C之间怎样对应？
提示：集合A中任意一个同学，C中有唯一的性别与之对应．
问题3：若同学们某次的成绩构成集合D.那么从集合D到集合A的对应与上面的对应一样吗？
提示：不一样，某个成绩可能有几名同学与之对应． 1．映射的定义
设A、B是两个非空集合，两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的 元素x，B中总有
的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作 .
A中的元素x称为 ，B中的对应元素y称为x的
，记作： .每一个唯一f：A→B原像像f：x→y2．一一映射
一一映射是一种特殊的映射，它满足：
(1)A中每一个元素在B中都有 的像与之对应；
(2)A中的不同元素的像 ；
(3)B中的每一个元素都有 ．唯一也不同原像 3．映射与函数
设A、B是两个 ，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．
在函数中， 的集合称为定义域， 的集合称为值域．非空数集原像像 1．对映射概念的理解
①映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中两个
(或多个)元素可能有相同的像；映射允许集合B中存在元素在A中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”． 2．对一一映射概念的理解
(1)一对一：一一映射f：A→B中，要求原像不同，像也不同，A，B中元素都不剩余．
(2)集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像．
3．映射与函数是不同的概念，函数是一种数集到数集的特殊的映射． [一点通]　
1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．解析：选项C中，集合M中有些元素没有像，比如5,6，因此不是映射，其他均是映射．
答案：C解析：①是映射，不是一一映射．因为集合B中有些元素(正整数)没有原像；②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数；③是映射，不是一一映射．因为集合A中有不同元素对应集合B中的同一个元素；④不是映射．因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和－2)；⑤是映射，是一一映射．因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是某一个等边三角形的内切圆．等边三角形边长不同，圆的半径也不同．
答案：D [一点通]　在求像和原像时要分清原像和像，特别由原像到像的对应关系，对A中元素求像，只需将原像代入对应关系即可．对于B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程(组)求解．答案：B4．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2，
3,4}，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像， 且
对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B
中的元素的个数是 (　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
答案：A [例3]　已知集合A＝{a，b}，集合B＝{c，d，e}．
(1)试建立一个从A到B的映射；
(2)从A到B的映射共有多少个？
[思路点拨]
根据映射的定义，建立从A到B的映射，
只要使A中的每一个元素在B中有唯一确定
的元素与之对应即可．用列举的方法，不难得出答案．
[精解详析]　(1)如图1所示．(答案不唯一) (2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A到B的映射有9种情况，如图2所示． [一点通]　对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．5．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满
足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数为 (　　)
A．2 B．3
C．5 D．8
解析：满足条件的映射有－1＋1＝0,1＋(－1)＝0,0＋0＝
0,3个．
答案：B6．若把本例(2)改为：从B→A的映射有________个．
解析：用列举法写出映射共有23＝8.
答案：81．映射和一一映射的区别与联系 2．映射个数：关于集合A到B构成映射的个数问题要充分利用映射定义，用分类讨论的思想，使得集合A中的任何一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，从而确定出映射个数．
3．在求像与原像问题上，有解析式的只要列出方程即可，要特别注意有图表情况的，要找好对应关系．点击下列图片进入应用创新演练
1．下列结论中，正确的是 (　　)
A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝在定义域内是减函数
D．y＝在(－∞，0)上是减函数
解析：当k<0时，y＝kx在R上是减函数；y＝x2在R上不单调；函数y＝只可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为减函数，只有D正确．
答案：D
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是 (　　)
A．y＝1＋　　　　　　　 B．y＝－x(x＋1)2
C．y＝ D．y＝x3
解析：y＝1＋在(－∞，0)上递减，对于y＝－x(x＋1)2≥0，当x＝－1时，y＝0，所以不具有单调性，y＝在(－∞，0)上无意义．
答案：D
3．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是 (　　)
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：f(x)＝|x|的递增区间是[0，＋∞)，
g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1的递增区间为(－∞，1]．
答案：C
4．y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2－a＋2)与f()的大小关系是 (　　)
A．f(a2－a＋2)≤f() B．f(a2－a＋2)≥f()
C．f(a2－a＋2)＝f() D．不确定
解析：a2－a＋2＝(a－)2＋≥.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(a2－a＋2)≤f()．
答案：A
5．函数f(x)＝的减区间是________．
解析：函数f(x)的图像如图所示．
则减区间是(0,1]．
答案：(0,1]
6．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则2a－1<0，∴a<.
答案：(－∞，)
7．讨论函数f(x)＝(－1解：任取－1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1x2＋1>0，x2－x1>0，x－1<0，x－1<0，
所以当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
此时f(x)在(－1,1)上是减函数；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)此时f(x)在(－1,1)上是增函数．
8．已知函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在(－2,2)上单调递增．若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求a的取值范围．
解：∵f(2＋a)＋f(1－2a)>0，
∴f(2＋a)>－f(1－2a)．
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(2＋a)>f(2a－1)，
由于f(x)在(－2,2)上单调递增，
∴?－∴a的取值范围是：(－，0)．
课件38张PPT。第二章 函数理解教材新知
§3
函
数
的
单
调
性把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二给定了几个函数的图像 问题1：从图像上升或下降的角度，你能描述一下上面几个函数的变化规律吗？ 提示：(1)中，从左向右是上升的．
(2)中，从左向右在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
(3)中，从左向右上升→下降→上升．
问题2：以上几个图像的升与降反映了函数值y与自变量x怎样的变化规律？
提示：在上升部分的图像上，y随x的增大而增大，在下降部分的图像上，y随x的增大而减小． 对于函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A，
(1)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1 ，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是 ．
(2)如果对于 两数x1，x2∈A，当x1 ，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是 ．f(x1)f(x2)递减的函数y＝f(x)在[－3,3]上的图像如下： 问题：该函数的图像在哪些区间上呈上升趋势？在哪些区间上呈下降趋势？
提示：在区间[－3，－2]，[2,3]上呈上升趋势，
在区间[－2,2]上呈下降趋势． 1．单调性
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为 ；如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
2．单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，分别称这个函数为 或 ，统称为单调函数．单调区间增函数减函数 1．单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．
2．单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1< x2；三是属于同一个单调区间． 3．单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x1x2)．
4．并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性． [一点通]　
用定义判断或证明单调性的步骤：
(1)设元：在指定区间内任取x1，x2且x1 (2)作差变形：计算f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(几个因式的积或几个完全平方和)．
(3)定号：确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论．
(4)判断：根据f(x2)－f(x1)的符号及定义判断函数的单调性．函数图像如图所示． 函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增函数；
函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减函数．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． [一点通]　利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或”连接，不能用“∪”连接．3．函数y＝|x|(1－x)的单调增区间为________．4．已知f(x)＝|x2－x－12|，求f(x)的单调区间． [一点通]　函数单调性的应用比较广泛，主要有：
(1)求参数的范围；(2)解不等式；(3)比较大小．解题时，注意分类讨论和数形结合思想的应用 .5．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则 (　　)
A．f(a)>f(2a)　　　　　　　 B．f(a2) C．f(a2－1) x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)＝________.答案：137．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1) x＋2在区间(－∞，4]上是减函
数，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3. (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0时单调减区间为(－∞，m]，
单调增区间为[m，＋∞)；a<0时单调增区间为(－∞，m]，单调减区间为[m，＋∞)．
(4)函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．
2．判断函数单调性的方法：①定义法；②图像法． 3．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可．点击下列图片进入应用创新演练
1．将函数y＝x2的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为
(　　)
A．y＝(x＋2)2＋1　　　　　 B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1
解析：由图像的平移规则可知C正确．
答案：C
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是(　　)
解析：选项A，y＝ax＋b中，a>0而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，矛盾；选项B，y＝ax＋b中，a>0，b>0，而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝－>0，矛盾；选项D，
y＝ax＋b中，a<0，b<0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．
答案：C
3．函数y＝x2－|x|－12的图像与x轴两个交点间的距离为 (　　)
A．1 B．6
C．7 D．8
解析：由y＝x2－|x|－12＝0得|x|＝4，∴x＝±4，
∴两交点间的距离为8.
答案：D
4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列之一，则a的值为 (　　)
A．1 B．－1
C. D.
解析：由第一个图像与第二个图像中与x轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x1＋x2＝－≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x1＋x2＝－＞0，又b＞0，故a＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a2－1＝0，解得a＝－1或a＝1(舍)．
答案：B
5．函数y＝x2＋m的图像向下平移2个单位，得函数y＝x2－1的图像，则实数m＝________.
解析：y＝x2－1的图像向上平移2个单位，得函数y＝x2＋1的图像，则m＝1.
答案：1
6．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)＝________.
解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴解得b＝4，c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
答案：x2＋4x＋2
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且
x＋x＝，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到的？
解：由题意可设所求抛物线的解析式为y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－
3＋k.
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
即4－＝.解得k＝.
∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝
－3(x－1)2＋，即y＝－3x2＋6x－.
8．已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图像？
解：(1)点A(1，m)在直线y＝－3x上，
∴m＝－3×1＝－3.
把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，
得a＋6－8＝－3，求得a＝－1.
∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8；
(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，
∴顶点坐标为(3,1)．
∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位后得到y＝－x2＋1的图像，再把
y＝－x2＋1的图像向下平移1个单位得到y＝－x2的图像．
课件43张PPT。第二章 函数理解教材新知§4
二次函数性质的再研究把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.1
二次函数的图像 给定下面几个函数
f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2(x－1)2＋1
问题1：由f(x)＝x2的图像如何得到f(x)＝2x2的图像？
提示：f(x)＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图像． 问题2：由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像？
提示：把f(x)＝2x2的图像沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位，即可得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像．
问题3：f(x)＝2x2与f(x)＝－2x2的图像有什么区别？
提示：开口大小相同，开口方向相反． 1．二次函数的定义
函数 叫做二次函数，定义
域为 .
2．二次函数的图像变换
(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的
坐标变为原来的 倍得到；
(2)从图中可以看出，二次函数y＝ax2(a≠0)中的a决定了
图像的 和在同一直角坐标系中的 ；f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)R纵a开口方向开口大小 (3)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图像的 及 ；h决定了二次函数图像的
，而且“h正 移，h负 移”；k决定了二次函数图像的 ，而且“k正 移，k负 移”．开口大小方向左、右平移左右上、下平移上下 作二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像有两种方法：一是将f(x)＝ax2＋bx＋c配方，然后利用列表、描点、连线的方法作出．二是先作出 f(x)＝x2的图像，然后通过图像变换得到 f(x)＝ax2＋bx＋c的图像． [例1]　在同一坐标系中作出下列函数的图像．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
[思路点拨]　对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．[精解详析]　(1)列表： 描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x
的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图像向右平移
1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，
然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移
2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像． 法二：先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移一个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图像，最后把y＝(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到
y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像． [一点通]　任意抛物线y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图像经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示． 即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．1．如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝x2的图像？因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．
(1)利用二次函数的对称性列表：[例2]　根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)、(4,0)、(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)、(0,2)、(3,5)．[思路点拨]　 [一点通]　
求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a、b、c为常数，a≠0的形式． (2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k
(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1)
(x－x2)(a为常数，且a≠0)．3．若将二次函数的图像向下、向右各平移2个单位得到图像
的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是 (　　)
A．y＝－(x－2)2＋2　　　　 B．y＝－(x＋2)2＋2
C．y＝－(x＋2)2－2 D．y＝－(x－2)2－2
解析：将y＝－x2的图像向左、向上各平移2个单位，即可
得到原函数的图像，即y＝－(x＋2)2＋2.
答案：B4．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)且过点(2,4)，则
f(x)＝________.
解析：设f(x)＝a(x－1)2－2，
因为过点(2,4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
答案：6x2－12x＋45．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值
如下表：求该函数的解析式． [例3]　已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；
(3) x为何值时，y>0，y＝0，y<0?
[思路点拨]　(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像； (2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0、x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；
(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y>0)时x的取值范围，y＝0与y<0时亦可得．
[精解详析]　(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，
∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．列表：描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像，如图所示；答案：B7．若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求
实数a的取值范围．解：令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a.
作出f(x)的图像如图所示．∵f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x2－2x－3＝a解的个数．
由图可知①当a<－4时，f(x)与g(x)无交点，即方程x2－
2x－3＝a无实根；②当a＝－4时，f(x)与g(x)有一个公共点，即方程x2－2x－3＝a有一个实根；③当a>－4时，f(x)与g(x)有两个公共点，即方程x2－2x－3＝a有两个实根．
缩上所述，当方程x2－2x－3＝a有两个实数解时，实数
a的取值范围是(－4，＋∞)． 1．y＝ax2(a≠0)的图像与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间进行变换时应先将y＝ax2＋bx＋c进行配方，平移时应注意平移的方向及单位长度．
2．求二次函数的解析式一般采用待定系数法，当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式． 3．在利用数形结合的思想解决与二次函数的图像有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可．点击下列图片进入应用创新演练
1．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2.则 (　　)
A．f(4)C．f(2)解析：函数f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小，
又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)>f(1)，
即f(2)答案：B
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于 (　　)
A．－4 B．－8
C．8 D．无法确定
解析：二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，由题意得函数的对称轴为x＝－2，则
＝－2.
∴m＝－8.
答案：B
3．函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．[－3,0] B．(－∞，－3]
C．[－3,0) D．[－2,0]
解析：(1)当a＝0时，显然正确．
(2)当a≠0时，f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在(－2，＋∞)上是减函数，应满
足 解得－3≤a<0.
由(1)(2)可知， a的取值范围是[－3,0]．
答案：A
4．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (　　)
A．[1，＋∞] B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
解析：因为二次函数的解析式已确定，而区间的左端点也确定，故要使函数在区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，只有画出草图来观察，如图所示．
因为f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
f(0)＝3，f(1)＝2，且f(2)＝3.
可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．
答案：C
5.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2－2x＋m＝0的根为________．
解析：由图知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1,0)．
所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.
答案：－1,3
6．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则b＝________.
解析：若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，∴a＋b＝2，
－＝1.
∴a＝－4，b＝2－a＝6.
答案：6
7．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车；
(2)设每辆车的月租金为x(x≥3 000)元，则租赁公司的月收益为
f(x)＝(100－)(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．
8．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5] .
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数在[－5,5]上的最值；
(3)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值，即
f(x)min＝f(1)＝1.当x＝－5时，f(x)取得最大值，即
f(x)max＝f(－5)＝37；
(2)函数y＝f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为x＝－a.
①当－a≤－5，即a≥5时函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图像如图所示，由图像可得f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
③当0<－a≤5，即－5≤a<0时，函数图像如图所示，
由图像可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝2－a2；
④当－a≥5，
即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a；
(3)由(2)可知要使函数f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，需有－a≤－5或－a≥5，
即a≤－5或a≥5.
课件43张PPT。第二章 函数理解教材新知§4
二次函数性质的再研究把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.2
二次函数的性质对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24.
问题1：将该二次函数化成顶点式．
提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32.
问题2：该函数的单调区间是什么？
提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)．
问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？
提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质上下 配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴后，其图像的对称性及单调性就会较直观地反应在大脑中．[思路点拨] [一点通]
1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.
2．比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．答案：D2．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数
a的取值范围．
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求
实数a的值．
解：∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对
称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]，
由题意(－∞，a]?(－∞，2)，
∴a≥2.即实数a的取值范围是：[2，＋∞)
(2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2. [例2]　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[思路点拨]　(1)、(2)可就f(x)＝(x－1)2＋2的对称轴与区间的情况直接求最值，(3)可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系，就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论． [精解详析]　∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3；
(2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；(3)①当t>1时，
f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2. [一点通]　
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值．若对称轴在区间外，则 f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．4．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a
的取值范围是 (　　)
A．0≤a≤1　　　　　　　　B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是
________，最大值是________．答案：－3　96．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2ax＋a在区间[0,3]上的
最小值为－2，求a的值． [例3]　某企业生产的一种电器
的固定成本(即固定投资)为0.5万元，
每生产一台这种电器还需可变成本
(即另增加投资)25元，市场对这种
电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线表示如图．
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元) (1)写出如图的销售收入(k)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年生产量的函数关系式，并求年生产量是多少时纯收益最大？
[思路点拨]　解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式进而求出纯收益的最大值．[一点通]　解答实际问题的步骤为：7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：
万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为
销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆
车，则能获得的最大利润为 (　　)
A．45.606万元 B．45.56元
C．45.6万元 D．45.51万元解析：设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆，
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．
答案：C8．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空
间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当
的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨
和空闲率 的乘积成正比，比例系数为
k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；
(2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件． 1．已知二次函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围，应借助于函数的对称轴与区间的关系建立关于参数的不等式，从而求解得出参数的取值范围． 2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论，点击下列图片进入应用创新演练
1．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1,3　　　　　　　　　　 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
解析：定义域为R的函数中，α可取1,3，奇函数的函数中α可取－1,1,3，故α取1,3.故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝|x|是 (　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：f(x)＝|x|的定义域为R，
f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
∴f(x)＝|x|是偶函数．
答案：B
3．已知点(，)在幂函数y＝f(x)的图像上，则f(x)的表达式是 (　　)
A．f(x)＝3x B．f(x)＝x3
C． f(x)＝x－2 D．f(x)＝ ()x
解析：设f(x)＝xα，由于点(，)在函数图像上．
∴＝()α.
∴α＝3.
答案：B
4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 (　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上单调增，
∴f(π)>f(3) >f(2)，
即f(π)>f(－3)>f(－2)．
答案：A
5．若函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且是偶函数，则m＝________.
解析：由题意知m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－1＝－1，
函数为y＝x－1，不是偶函数；
当m＝－1时，m2－2m－1＝2，函数为y＝x2，是偶函数．
答案：－1
6.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值是________．
解析：由图像知f(2)＝.
∵函数y＝f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－.
答案：－
7．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？
解：(1)若f(x)为正比例函数，则
?m＝1；
(2)若f(x)为反比例函数，则
?m＝－1；
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝；
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
8．已知函数f(x)＝，令g(x)＝f()．
(1)如图，已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在
该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，请说明你的作图依据；
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0)．
解：(1)∵f(x)＝，
所以f(x)的定义域为R，又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
故f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示．
(2)证明：∵g(x)＝f()＝＝(x≠0)，
∴f(x)＋g(x)＝＋＝＝1，
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0)．
课件37张PPT。第二章 函数理解教材新知§5
简
单
的
幂
函
数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二 我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：
(1)如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y；
(2)如果正方形场地面积为x，其边长为y.
问题1：在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？
提示：y＝x3. 如果一个函数，底数是 ，指数是 ， 即y＝ ，这样的函数称为幂函数.自变量x常量αxα (1)一般地，图像关于 对称的函数叫作奇函数，图像关于 对称的函数叫作偶函数．
(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)一定是偶函数．
(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)一定是奇函数．原点y轴任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x) 1．幂函数的定义是一种形式上的定义，只有符合
y＝xα这种形式的函数才是幂函数．
2．奇偶性是函数在定义域上的对称性，是相对整个定义域来说的，是函数的整体性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．[答案]　B [一点通]　幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据之一．答案：A ∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图像如图，由图像可知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x) [一点通]　研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题．解析：x应满足x2－2x>0，解得x>2或x<0.
答案：B解析：因为幂函数y＝xα的图像恒过定点(1,1)，所以函数y＝(x－1)α恒过定点(2,1)．
答案：(2,1)(4)当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3
＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3
＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知，f(x)为奇函数． [一点通]　
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称．
(2)若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶．
若定义域关于原点对称，看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系．
(3)若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝ (　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，
∴f(－x)＝(－x＋1)(－x－a)＝f(x)恒成立．
∴x2＋(a－1)x－a＝x2－(a－1)x－a恒成立．
∴a－1＝0，即a＝1.
答案：C7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义
域为[a－1,2a]，求f(x)的值域． 3．判断函数的奇偶性的方法：
(1)定义法；
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，函数是偶函数．点击下列图片进入应用创新演练
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为 (　　)
A．{－1,0,3}　　　　　　　　 B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
解析：当x＝0时y＝0.
当x＝1时y＝－1.当x＝2时y＝0.
当x＝3时y＝3.值域为{－1,0,3}．
答案：A
2．函数f(x)＝－x的图像关于 (　　)
A．y轴对称　　　　　　　　 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析：∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∴其图像关于(0,0)对称．
答案：C
3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是 (　　)
解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.
答案：A
4．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)的交点有 (　　)
A．至多有一个 B．至少有一个
C．有且仅有一个 D．有一个或两个以上
解析：由函数的定义对于定义域内的任意一个x值，都有唯一一个y值与它对应，所以函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)至多有一个交点(当a的值不在定义域时，也可能没有交点)．
答案：A
5．若函数y＝f(x)，x∈R是奇函数，且f(1)A．f(－1)f(－2)
C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)
解析：∵f(1)∴－f(1)>－f(2)．
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(－1)>f(－2)．
答案：B
6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则有 (　　)
A．b≥0 B．b≤0
C．c≥0 D．c≤0
解析：作出函数y＝x2＋bx＋c的简图，对称轴为x＝－.
因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y轴及y轴左侧即可，故－≤0，所以b≥0.
答案：A
7.幂函数y＝f(x)图像如图，那么此函数为 (　　)
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
解析：可设函数为y＝xα，将(2，)代入得α＝.
答案：C
8．(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝2x2－x，
则f(1)＝ (　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
且x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
法二：设x>0，则－x<0，
∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，
∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
答案：A
9．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝ (　　)
A．－4或－2　　　　　　　 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
解析：当α＞0时，有α2＝4，
∴α＝2；当α≤0时，有－α＝4，
∴α＝－4，因此α＝－4或α＝2.
答案：B
10．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，又f(7)＝6，则f(x) (　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
解析：由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图像可以用右图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若函数f(x)＝则f(f(f(0)))＝________.
解析：f(0)＝－2，
f[f(0)]＝f(－2)＝(－2＋3)＝1，
f{f[f(0)]}＝f(1)＝1－＝1.
答案：1
12．(2011·浙江高考)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，
∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，
∴a＝0.
答案：0
13．函数y＝－x2＋2x＋3的值域为________．
解析：y＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x＋1)＋4
＝－(x－1)2＋4.
由二次函数的图像和性质可知y≤4，
∴值域(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
14.设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图像如图，则它在[－1,0]上的解析式为________．
解析：∵函数y＝f(x)过(1,1)，(0,2)，
y＝f(x)是偶函数，
∴函数y＝f(x)过(0,2)，(－1,1)．
设y＝kx＋b，
∴
∴k＝1.∴y＝x＋2.
答案：f(x)＝x＋2(－1≤x≤0)
三、解答题(本大题共4个小题，共50分)
15．(12分)已知f(x)是定义在[－1,2)上的增函数，若f(a－1)>f(1－3a)，求实数a的取值范围．
解：由题可得
即
解得16．(12分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1及f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最值．
解：(1)据题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x.即
解得a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1；
(2)f(x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∴f(x)在[－1,1]上f(x)min＝f()＝，
f(x)max＝f(－1)＝3.
即在区间[－1,1]上f(x)的最大值是3，最小值是.
17．(12分)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴＝－＝，
因此b＝－b，即b＝0.
又f(2)＝，
∴＝，
∴a＝2；
(2)由(1)知f(x)＝＝＋，
f(x)在(－∞，－1]上为增函数，
证明：设x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)
＝(x1－x2)·.
∵x1∴x1－x2<0，x1x2>1.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－∞，－1]上为增函数．
18．(14分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t·(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)．
∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.
即小张家距离景点150 km.
小张的车在景点逗留时间为
16－8－3＝5(h)．
∴当3小张从景点回家所花时间为＝2.5(h)，
故s(10.5)＝2×150＝300.
∴当8综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝
(2)当0≤t≤3时，
令－5t(t－13)＝60，得
t2－13t＋12＝0，
解得t＝1或t＝12(舍去)．
当8令60t－330＝2×150－60＝240，
解得t＝.
答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．
课件12张PPT。第二章 函数核心要点归纳章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测 一、对函数的进一步认识
1．函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应法则．函数的值域是由定义域和对应法则所确定的．
2．研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示． 3．函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．
4．分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．
5．函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像． 二、函数的单调性
1．函数的单调性是函数的一个重要性质．它具有突出的地位和作用，它从定义域或定义域的部分区间上反映了函数值的变化趋势．
2．有些函数在整个定义域上是增函数或减函数，有些函数是在定义域的某个子集上是增加的或减少的．要能从图像上写出函数的单调区间，更要能从定义理解上证明或判断函数的单调性． 三、二次函数性质的再研究
1．二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中(－h，k)为顶点；
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中(x1,0)，(x2,0)是函数的图像与x轴的两个交点坐标．并且只有抛物线与x轴有交点时才可写出两根式． 2．二次函数的图像有两种画法：即描点法和图像变换法．
3．研究二次函数的性质，主要包括图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． 四、简单的幂函数
1．幂函数是形式定义，只有具备形式y＝xα的函数才是幂函数．即三个特征：①幂底数为自变量x；②幂指数为常数α；③只有一项且系数为1.
2．函数的奇偶性是函数的另一重要性质，它从定义域整体上反映了函数的性质 . 3．判断函数的奇偶性首先观察定义域是否关于原点对称，若不对称，则称为非奇非偶函数．若对称，再通过研究f(－x)与f(x)的关系作出判断．
4．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．点击下列图片进入阶段质量检测
1．若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是 (　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
解析：根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上无法确定，可能有，也可能没有，如下图所示：
答案：C
2．函数f(x)＝的零点有 (　　)
A．0个　　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由f(x)＝＝0得：x＝1，
∴f(x)＝只有一个零点．
答案：B
3．下列函数不存在零点的是 (　　)
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：D
4．已知方程2x－1＝5－x，则该方程的解会落在哪个区间内 (　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：令f(x)＝2x－1＋x－5，则f(0)＝－<0，f(1)＝－3<0，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，f(4)＝7>0，由于f(2)·f(3)<0，故函数f(x)＝2x－1＋x－5在(2,3)上有零点，也即方程2x－1＝5－x在(2,3)上有解．
答案：C
5．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像可知a>1时两函数图像有两个交点，01.
答案：(1，＋∞)
6．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，在(0,2)内无零点，且在(2，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：由于f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0.
∵－2是它的一个零点，
∴2也是它的零点，故一共有3个零点，它们的和为0.
答案：3　0
7．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1.
解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得

(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
8．已知函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在定义域内为增函数；
(3)求函数f(x)的零点所在的大致区间，并求出零点的个数．
解：(1)由x＋1>0，得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)；
(2)证明：设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)
＝2x1＋lg(x1＋1)－2－[2x2＋lg(x2＋1)－2]
＝(2x1－2x2)＋[lg(x1＋1)－lg(x2＋1)]．
因为x1所以2x1－2x2<0，lg(x1＋1)－lg(x2＋1)<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以函数f(x)在定义域内为增函数；
(3)因为f(0)＝－1，f(1)＝lg2>0，所以f(0)f(1)<0，所以函数f(x)的零点所在的大致区间为(0,1)，又因为函数f(x)在定义域内为增函数，所以函数f(x)的零点只有一个．

1．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 (　　)
解析：二分法的理论依据是零点定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而图B零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，A、C、D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
答案：B
2．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为(0，)，(0，)(0，)，则下列说法中正确的是 (　　)
A．函数f(x)在区间(0，)内一定有零点
B．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点，或零点是
C．函数f(x)在(，a)内无零点
D．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点
解析：根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在(0，)或(，)中或f()＝0.
答案：B
3．设函数y＝x3与y＝()x－2的图像交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是 (　　)
A．(0,1)　　　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：令f(x)＝x3－()x－2，
f(1)＝1－()－1＝－1<0，f(2)＝8－()0＝7>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴x0∈(1,2)．
答案：B
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为 (　　)
A．1.2 B．1.3
C． 1.4 D．1.5
解析：由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.
答案：C
5．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0，则f(2)·f(2.5)<0，即下一个有根区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
6.已知y＝x(x－1)(x＋1)的图像如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，对于方程式f(x)＝0根的情况，以下说法正确的是________．(填上正确的序号)
①有三个实根；
②当x<－1时，恰有一实根；
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根．
解析：函数f(x)的图像可由y＝x(x－1)(x＋1)的图像向上平移0.01个单位即可，如图所示．由图像易知方程f(x)＝0有三个实根，当x<－1时，恰好有一根；当－11时，没有实根．所以只有①②正确．
答案：①②
7．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
解：函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，
得x5＝x＋1，
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图，显然它们只有1个交点．
两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，
∴函数的零点在区间(1,2)内．
8．求函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图).
x
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
f(x)
－1.25
2
2.25
1
－0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，
即f(－1.5)·f(－1)< 0，说明这个函数在区间
(－1.5，－1)内有零点．
同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域(－∞，－1.5)和(1，＋∞)内是增函数，所以它共有3个零点．
课件36张PPT。第四章 函数应用理解教材新知§1
函数与方程把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.1
利用函数
性质判定方程解的存在给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
提示：方程的根为－3,1. 问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？
提示：交点为(－3,0)，(1,0)．
问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？
提示：相等．
问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
提示：在每一点两侧函数值符号异号． 1．函数的零点
(1)函数的零点：函数y＝f(x)的 与
称为这个函数的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程 的解．
2．零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是 ，并且在区间端点的函数值 ，即 ，则在(a，b)内，函数y＝f(x) 零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．图像横轴的交点的横坐标f(x)＝0连续曲线符号相反f(a)·f(b)<0至少有一个 1．方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．f(a)·f(b)<0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图(2)．分别有4个零点和1个零点． 3．函数y＝f(x)在区间
(a，b)内存在零点，却不
一定推出f(a)·f(b)<0如图． [例1]　求下列函数的零点．
(1)y＝－x2－x＋20；
(2)f(x)＝x4－1.
[思路点拨]　先因式分解，再确定函数的零点．
[精解详析]　(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝
－(x＋5)(x－4)，
方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.
故函数的零点－5,4；(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1.
[一点通]　求函数的零点常用方法是解方程
(1)一元二次方程可用求根公式求解．
(2)高次方程可用因式分解法求根．1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数
g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，
∴3a－b＝0，
即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx
＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
答案：0，－1 [例2]　判断下列函数有几个零点？
(1)y＝ex＋2x－6；
(2)y＝log2x－x＋2.
[思路点拨]　借助函数的单调性和图像解答．
[精解详析]　(1)由于y1＝ex在R上单调递增，y2＝2x－6
在R上单调递增，∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增．
又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6－6＝e3>0.
∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一
个零点； (2)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.即求函数y＝log2x 与y＝x－2图像交点个数．
在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两个零点． [一点通]　
判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．答案：C答案：C5．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，且
f(6)<1，则f(x)＝1的根的个数为________．
解析：设g(x)＝f(x)－1，
由f(－6)>1及f(6)<1，
得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0，因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)内有零点．
又当a>0时，g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数．故g(x)仅有一个零点．
故方程f(x)＝1仅有一根．
答案：1 [例3]　当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？
[思路点拨]　当a＝0，a>0，a<0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．
[精解详析]　(1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意． [一点通]　
解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
(2)结合草图考虑三个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与 所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系．
(3)写出由题意得到的不等式．
(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意.这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值
范围．7．若把例题改为“方程的所有根为正数，求a的取
值范围”应如何处理？ 1．判断函数零点个数的方法有以下几种：
(1)转化为求方程的根，能直接解出．如一次、二次函数零点问题．
(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点．
(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定．
(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点． 2．函数的零点的作用：
(1)解决根的分布问题．
(2)已知零点的存在，求字母的范围．
3．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方面考虑：
(1)二次函数的开口方向　
(2)判别式　
(3)对称轴　
(4)特殊点对应的函数值点击下列图片进入应用创新演练课件41张PPT。第四章 函数应用理解教材新知§1
函数与方程把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.2
利用二分法求方程的近似解 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)： 问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
提示：首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.
问题2：在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？
提示：能． 对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数
y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二 二分法就是通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示零点．如图． [例1]　利用计算器，求方程lgx＝2－x的近似解．(精确到0.1)
[思路点拨]　解答本题可首先确定lgx＝2－x的根的大致区间，y＝lgx，y＝2－x的图像可以作出，由图像确定根的大致区间，再用二分法求解．
[精解详析]　作出y＝lgx，y＝2－x
的图像，可以发现，方程lgx＝2－x有
唯一解，记为x0，并且解在区间[1,2]内． 设f(x)＝lgx＋x－2，用计算器计算得
f(1)<0，f(2)>0?x∈[1,2]；
f(1.5)<0，f(2)>0?x∈[1.5,2]；
f(1.75)<0，f(2)>0?x∈[1.75,2]；
f(1.75)<0，f(1.875)>0?x∈[1.75,1.875]；
f(1.75)<0，f(1.812 5)>0?x∈[1.75,1.812 5]．在区间[1.75，1.812 5]中的值精确到0.1均为1.8.
∴近似解为1.8. [一点通]　用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算．1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在
x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则方程的根落在区间 (　　)
A．(1,1.25)内　　　　　　　 B．(1.25,1.5)内
C．(1.5,2)内 D．不能确定
解析：由题意知f(x)在(1,2)内连续且f(1.25)<0，f(1.5)>0，
所以方程的根在(1.25,1.5)内．
答案：B2．求方程x3－x－1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x3－x－1，
∵f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，
∴方程在[1,1.5]内有实数解，用二分法逐次计算，列
表如下： 至此，可以看出[1.312 5,1.343 75]内的所有值，若精确到0.1都是1.3，∴方程在区间[1,1.5]的实数解精确到0.1的近似解是1.3. [例2]　用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
[思路点拨] [精解详析]　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下： 因为区间[1.441 406 25,1.443 359 375]内的所有值，若精确到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值． [一点通]　
二分法求解步骤：
(1)确定区间[a，b]．验证f(a)·f(b)<0，初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次数．
(2)求区间[a，b]的中点c. (3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点．
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈[a，c])．
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈[c，b])．
(4)判断a，b的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复(2)～(4)步．特别注意要运算彻底．3．为求函数f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)内的零点的近似值
(精确到0.1)，已得到数据如下表：根据以上数据确定f(x)取(2,3)内的近似零点．
解：由表中数据可知区间[2.531 25,2.546 875]内的所有值若精确到0.1，都是2.5，所以2.5是函数f(x)＝lnx＋2x－6精确到0.1的零点近似值．4．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点
(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下： 由上表可知，区间[1.718 75,1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点. [例3]　如图，有一块边长为15 cm
的正方形铁皮，将其四个角各截去一个
边长为x cm的小正方形，然后折成一个
无盖的盒子．
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的
函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确到0.1 cm)．
[思路点拨]　先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解． [精解详析]　(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0 (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.
令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示． 由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程的近似解．
取区间[0,1]的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52.
因为f(0.5)·f(1)<0，所以x0∈[0.5,1]．
再取[0.5,1]的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈
－13.31. 因为f(0.75)·f(1)<0，所以x0∈[0.75,1]．
同理可得x0∈[0.75,0.875]；x0∈[0.812 5,0.875]；x0∈[0.843 75，0.875]；x0∈[0.843 75,0.859 375]；x0∈[0.843 75，0.851 562 5]；x0∈[0.843 75,0.847 656 25]，因为区间[0.843 75,0.847 656 25]内的所有值，若精确到0.1都是0.8，所以0.8就是所求函数的近似解．
同理可得方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7.
答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm. [一点通]　二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题中，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．5．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选
手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就
把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌
的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：
1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；
700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；
851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰
运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学
思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数，取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．6．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球
质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用一架天
平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说
明此球是偏轻还是偏重．如何称？
解：先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4球中．
再取此4球中的3球为一边，取3个好球为另一边，放
在天平上．①若仍平，则“坏球”为4球中未取到的那个球．将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重．任取其中2球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边较重．
从右边4球中取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3球之一且偏重；
②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重． 1．判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点(所谓变号零点即变量在零点两侧取值时函数值符号相反)．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，当达到一定精确度要求时，所得区间内的任意一点就是零点的近似值，在计算时要注意以下两点： (1)选好计算的初始区间，保证所选区间既要符合条件，又要使其长度尽量小．
(2)计算时要注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足这一精确度．
二分法的思想虽然简单，但是在具体使用时，有一定的局限性．①函数y＝f(x)在区间(a，b)内有几个零点时，使用二分法只能一次求得一个零点；②即使y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，f(a)·f(b)<0也未必成立． 点击下列图片进入应用创新演练
1．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数) (　　)
A．y＝a＋bx　　　　　　　　 B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
解析：在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
答案：B
2．某工厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是 (　　)
A. B.
C.－1 D.－1
解析：设该厂1月份产量为a，这一年中月平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，解得
x＝－1.
答案：D
3．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为 (　　)
A．2 B．6
C．8 D．10
解析：依题意有(100－10x)×70×≥112，
∴2≤x≤8.
答案：A
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为 (　　)
A．15　　　　　　　　　　 B．40
C．25 D．130
解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案：C
5．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是________．
解析：设新价为b，则售价为b(1－20%)．因为原价为a，所以进价为a(1－25%)．
依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，
化简，得b＝a.
∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，
即y＝x(x∈N＋)．
答案：y＝x(x∈N＋)
6．下表是某工厂产品的销售价格表：
一次购买
1～10件
11～50件
51～100件
101～300件
300件以上
每件价格
(单位：元/件)
37
32
30
27
25
某人有现金2 900元，则最多可购买这种产品______件．
解析：设件数为x，花费为y元．
则y＝
当y＝2 900时，x＝107.
答案：107
7．一用户到电信局打算上网开户，经询问，有三种月消费方式：①163普通方式：上网资费2元/小时，②163A方式：每月30元(可上网50小时)，超过50小时以上的资费为2元/小时；③ADLSD方式：每月50元，时长不限(其他因素均忽略不计)．(每月以30日计算)
(1)分别写出三种上网方式中所用月资费(y)与时间(x)的函数关系式；
(2)在同一坐标系内画出三种上网方式中所用资费与时间的函数图像；
(3)根据你的研究，给这一用户一个合理化的建议．
解：(1)163普通方式：y＝2x(0≤x≤720)，
163A方式：y＝
ADLSD方式：y＝50(0≤x≤720)；
(2)
(3)每月上网时间0～15小时，选消费方式1；
每月上网时间15～60小时，选消费方式2；
每月上网时间60小时以上，选消费方式3.
8．为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2008年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁员的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？
解：(1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.
∵200－x≥×200?x≤50，
∴x的取值范围为0(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，
∵0∴当x＝30时，y取得最大值209.
∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．
课件58张PPT。第四章 函数应用理解教材新知§2
实际问题的函数建模把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二 在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？
问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？
提示：指数函数模型． 问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？
提示：二次函数模型．
问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震级M，使用的是什么样的函数模型？
提示：对数函数模型．常用到的函数模型：
(1)正比例函数模型： ；
(2)反比例函数模型： ；
(3)一次函数模型： ；
(4)二次函数模型： ；
(5)指数函数模型：y＝m·ax＋b(a>0，且a≠1，m≠0)；
(6)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0，且a≠1)；
(7)幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0).y＝kx(k≠0)y＝kx＋b(k≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 某公司拟投资100万元获利，打算5年后收回本金和利息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率10%按单利计算；另一种是年利率9%按每年复利一次计算．
问题1：按单利(每年的本金不变，均为最初的投资)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
提示：100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 问题2：按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算，5年后收回的本金和利息是多少？
提示： 100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
问题3：该公司应该选择哪种方式投资？
提示：第二种．按复利投资． 用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程． 1．函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决．
2．解函数应用问题的步骤 [例1]　某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条拆线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示． (1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)；
写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天)
[思路点拨]　本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题． [一点通]　处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：
这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可
看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价
x之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价
与购进价的差)；
(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想
每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为
合适？最大销售利润为多少？解：(1)由题意，销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系为：y＝(x－42)(－3x＋204)，
即y＝－3x2＋330x－8 568；
(2)配方，得y＝－3(x－55)2＋507.
∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产
量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由． [例2]　截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
[思路点拨]　先根据增长率的意义列出y与x的函数关系式．[精解详析]　(1)1999年底人口数：13亿．
经过1年，2000年底人口数：
13＋13×1%＝13×(1＋1%)(亿)．
经过2年，2001年底人口数：
13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%
＝13×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2002年底人口数：
13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%
＝13×(1＋1%)3(亿)．
…
∴经过年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数：13×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x. (2)∵此问题以年作为单位时间．
∴x∈N＋是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
∵1＋1%>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13×(1＋%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长． [一点通]　
1．指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为指数爆炸．
2．对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1)，函数值增大的速度越来越慢．
注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型．
(2)平均增长(或减少)率问题的表示：y＝a(1＋p%)x(或y＝
a(1－p%)x)． 3．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小
的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震
能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这
就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝
lgA －lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准
地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？ [例3]　某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)
[思路点拨]　先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型． [精解详析]　设投资额为x万元时，
获得的利润为y万元．在直角坐标系中
画出散点图并依次连接各点，如图所示，
观察散点图可知图像接近直线和抛物线，
因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系． 设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；
一次函数的解析式为y＝bx.
把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，
得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示． 把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．
令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得
W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，
其中xA＋xB＝12. [一点通]　
此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：
(1)作图：根据已知数据作出散点图；
(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；
(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；
(4)利用所求得的函数模型解决问题．5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、
火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？解：由数值对应表作散点图如图．6．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中
发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如
下关系(见下表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写
出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元
时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据上表作图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)它们近似在同一条直线上，设直线(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润． 1．选择函数模型时，要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合．根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，再通过数据验证． 2.解函数应用问题的一般步骤?
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系.
（2）建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型.?
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论.?
（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.? 3．函数拟合问题
对于此类实际应用问题，首先是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．点击下列图片进入应用创新演练
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是 (　　)
A．(1，－4)　　　　　　　　　 B．(4，－1)
C．1，－4 D．4，－1
解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.
答案：D
2．今有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则体现这些数据关系的最佳函数模型是 (　　)
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D验证易知，C最近似．
答案：C
3．储油30 m3的油桶，每分钟流出 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为 (　　)
A．[0，＋∞) B．[0，]
C．(－∞，40] D．[0,40]
解析：由题意知Q＝30－t，又0≤Q≤30，即0≤30－t≤30，∴0≤t≤40.
答案：D
4．由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为 (　　)
A．2 400元 B．900元
C．300元 D．3 600元
解析：由题意得8 100×(1－)3＝2 400.
答案：A
5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 (　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－3＝－<0，
f(0)＝20＋3×0＝1>0.
∵y＝2x，y＝3x均为单调增函数，
∴f(x)在(－1,0)内有一零点．
答案：B
6．若函数y＝f(x)是偶函数，其定义域为{x|x≠0}，且函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有 (　　)
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则在(－∞，0)上也仅有一个零点．
答案：B
7．函数f(x)＝的零点个数为 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由f(x)＝0，得或
解之可得x＝－3或x＝e2，
故零点个数为2.
答案：C
8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费
(　　)
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：y＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x>0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.
答案：B
9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 (　　)
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)
解析：令g(x)＝0，则4x＝－2x＋2.画出函数y1＝4x和函数y2＝－2x＋2的图像如图，可知g(x)的零点在区间(0,0.5)上，选项A的零点为0.25，选项B的零点为1，选项C的零点为0，选项D的零点大于1，故排除B、C、D.
答案：A
10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是 (　　)
解析：A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：f(x)＝x3－2x－5，
f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，
∵f(2)·f(2.5)<0，
∴下一个有根区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
12．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当m＝0时，
由f(x)＝x－a＝0，
得x＝a，此时a∈R.
(2)当m≠0时，令f(x)＝0，
即mx2＋x－m－a＝0恒有解，
Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立，
则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，
即－1≤a≤1.
所以对m∈R，函数f(x)恒有零点，有a∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
13．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是________．
解析：从A地到B地，以60 km/h匀速行驶，x＝60t，耗时2.5个小时，停留一小时，x不变．从B地返回A地，匀速行驶，速度为50 km/h，耗时3小时，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325.
所以x＝
答案：x＝
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时)
高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0. 598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时)
低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
　 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．
答案：148.4
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
15．(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝x，N＝(x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？
解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得利润
y＝M＋N＝(8－x)＋.
令＝t(0≤t≤)，则x＝t2＋1，
∴y＝(7－t2)＋t＝－(t－)2＋.
故当t＝时，可获最大利润万元．
此时，投入乙种商品的资金为万元，
甲种商品的资金为万元．
16．(12分)判断方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？
解：令f(x)＝2ln x＋x－4.
因为f(1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f(e)＝2ln e＋e－4＝e－2>0，
所以f(1)·f(e)<0.
又函数f(x)在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，
所以函数f(x)在(1，e)内存在零点，即方程f(x)＝0在(1，e)内存在实数解．
由于函数f(x)＝2ln x＋x－4在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)在(1，e)内只存在唯一的一个零点．
故方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．
17．(12分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：
f(t)＝
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)＝－＋(0≤t≤100，t∈Z)．
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？
解：依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)＝f(t)·g(t)
＝
(1)若0≤t≤40，t∈Z，则
F(t)＝(＋22)(－＋)
＝－(t－12)2＋，
当t＝12时，F(t)max＝(元)．
(2)若40F(t)＝(－＋52)(－＋)
＝(t－108)2－，
∵t＝108>100，
∴F(t)在(40,100]上递减，
∴当t＝41时，F(t)max＝745.5.
∵>745.5，
∴第12天的日销售额最高．
18．(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
x
16
20
24
28
y
42
30
18
6
(1)能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系？若能，写出函数解析式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P(元)，求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值？最大值是多少？
解： (1)由已知数据作图如图，
观察x，y的关系，可大体看到y是x的一次函数，令
y＝kx＋b.当x＝16时，y＝42；x＝20时，y＝30.
得
由②－①得－12＝4k，
∴k＝－3，代入②得b＝90.
所以y＝－3x＋90，显然当x＝24时，y＝18；
当x＝28时，y＝6.
对照数据，可以看到y＝－3x＋90即为所求解析式；
(2)利润P＝(x－12)·(－3x＋90)＝－3x2＋126x－1 080＝－3(x－21)2＋243.
∵二次函数开口向下，
∴当x＝21时，P最大为243.
即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．
课件9张PPT。第四章 函数应用核心要点归纳章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测 一、零点与方程的根
1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数
y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，因此求函数y＝f(x)的零点，其实就是解方程f(x)＝0，求其根，方程有几个根，函数就有几个零点．
2．判断y＝f(x)零点的个数有三种方法：①解方程f(x)＝0，求根的个数；②画函数y＝f(x)的图像，看图像与x轴交点的个数；③将g＝f(x)转化为g(x)＝φ(x)，观察函数y＝g(x)和y＝φ(x)的交点的个数． 3．利用零点存在性定理判断零点时，要注意两个条件：
(1)函数在区间[a，b]上的图像不间断，(2)f(a)·f(b)<0，缺一不可.但该定理只能判断出函数在区间上存在零点，而不能确定零点的个数．
4．函数在区间[a，b]上的图像不间断，且函数在区间
(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a，b)上有且只有一个零点． 二、二分法
1．对于函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上不间断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．
2．运用二分法的前提条件是先判断函数零点所在的区间，且二分法仅对函数的变号零点适用．
3．求函数零点近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度要求越高，零点近似值所在的区间长度越小，计算过程越长．三、函数建模
1．解答函数应用题的一般步骤是： 2．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．点击下列图片进入阶段质量检测课件63张PPT。高考七大高频考点例析考点一考点三考点五考点二考点四考点六考点七 [例1]　(2011·浙江高考)若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则 (　　)
A．P?Q　　　　　　　 B．Q?P
C．?RP?Q D．Q??RP
[解析]　∵P＝{x|x<1}，∴?RP＝{x|x≥1}，
又Q＝{x|x>－1}，∴?RP?Q.
[答案]　C1．集合A＝，A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
解析：A的子集共23＝8个，含有元素0的和不含元素
0的子集各占一半，有4个．
答案：B2．已知集合A＝{x∈R|－2 则A与B之间的关系为 (　　)
A．A? B B．A?B
C．A＝B D．不确定解析：为便于考察A，B中元素的范围，利用数轴把A，B表示出来，如图所示．∵x－5<0，
∴x<5.因此B中元素不能都属于A，但A中元素都小于5(即都在B中)，由真子集的定义知A是B的真子集．
答案：A3．已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若
N?M，则实数m＝________.
解析：∵m－1∈N，N?M，∴m－1∈M.
∴m－1＝－8或m－1＝9，∴m＝－7或10.
答案：－7或10[答案]　A4．(2011·北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．
若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]　　　 B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：因为P∪M＝P，所以M?P，即a∈P，得a2≤1，
解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案：C5．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，
则A∩B＝ (　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．?
解析：A＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y＝x2，
x∈R}＝{y|y≥0}；所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．
答案：C6．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a2－1,4}，?UA＝
{2，a＋3}，则实数a＝________.答案：2A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)[答案]　D7．(2011·课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在
(0，＋∞)单调递增的函数是 (　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析：y＝x3为奇函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为
减函数，y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数．
答案：B答案：D9．(2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数
a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．
解：(1)当a＞0，b＞0时，因为a·2x、b·3x都单调递增，
所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x、b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减； [例4]　(2010·全国卷Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．[解析]　y＝x2－|x|＋a是偶函数，图像如图所示．10．已知函数f(x)＝x2－4x＋7，则f(4)、f(2)、f(1)的大小
关系是 (　　)
A．f(2)＜f(4)＜f(1) B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(2)＜f(1)＜f(4) D．f(1)＜f(4)＜f(2)解析：∵f(x)＝(x－2)2＋3是对称
轴为x＝2，且开口向上的抛物线，
画出图像如图所示，可知f(1)＝f(3)，
且[2，＋∞)为函数的递增区间，由
2＜3＜4，知f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．答案：C答案：A[答案]　C答案：A答案：A答案：B [例6]　(2011·山东高考)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.
[解析]　∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b＜0；
当x＝3时，f(x)＝loga3＋3－b>0，
∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，
∴n＝2.
[答案]　2 答案：C16．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．
若方程f(x)＝0有2 011个实数解，则这2 011个实
数解之和为________
解析：由f(－x)＝f(x)知，f(x)＝0有1 005对实数解
是成对出现的，它们互为相反数，还有一个根为0，
故这2 011个实数解之和为0.
答案：0据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，
那么，药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．18．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调
控等手段来达到节约用水的目的．某市用水标准为：
水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超
过最低限量a(m3)，只付基本费用8元和每月定额损耗
费c元；若用水量超过a(m3)时，除了付以上的基本费和
损耗费外，超出部分每m3付b元的超额费．已知每户每
月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度
的用水量和支付费用如下表所示，根据表中的数据，
求a、b、c的值.所以2a＝c＋19.　③
不妨设一月份的用水量也超过最低限量，即9＞a.
这时将x＝9代入②中，得9＝8＋2(9－a)＋c，
所以2a＝c＋17与③式矛盾，所以9≤a.
故一月份所支付的费用为8＋c＝9.所以c＝1，a＝10.
所以a，b，c的值分别为10,2,1.