【三维设计】高中数学北师大版必修五配套课件应用创新演练阶段质量检测（全套54份）

模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列不等式中，解集为R的是(　　)
A．x2＋4x＋4＞0　　　　　 B．|x|＞0
C．x2＞－x D．x2－x＋≥0
解析：A的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，B的解集是(－∞，0)∪(0，＋∞)，C的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，D等价于(x－)2≥0，故解集为R.
答案：D
2．(2012·洋浦高二检测)在△ABC中，若a＝2，b＝2，∠A＝30°，则∠B为(　　)
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
解析：根据正弦定理得sin B＝＝＝，∴B＝60°或120°，∵b＞a，故两解都符合题意．
答案：B
3．(2011·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝(　　)
A．1 B．9
C．10 D．55
解析：由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.
答案：A
4．在数列{an}中，已知前n项和Sn＝7n2－8n，则a100的值为(　　)
A．69 200 B．1 400
C．1 415 D．1 385
解析：法一：Sn＝7n2－8n，所以S1＝7－8＝－1，
an＝Sn－Sn－1
＝7n2－8n－7(n－1)2＋8(n－1)
＝14n－15(n≥2)．
因为n＝1时，a1＝－1，
所以an＝14n－15(n∈N＋)．
所以a100＝14×100－15＝1 385.
法二：a100＝S100－S99＝7×1002－8×100－7×992＋8×99
＝7(100＋99)(100－99)－8(100－99)＝1 385.
答案：D
5．(2012·宿州高二检测)数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＝2n－1.
答案：A
6．在△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是，则△ABC的面积是(　　)
A. B.
C. D.
解析：依条件a＝b＋2，b＝c＋2，
∴a＝c＋4.∴sin A＝，∴A＝120°.
cos 120°＝＝
＝＝－，
∴c＝3，从而b＝5.
∴S△ABC＝bcsin A＝.
答案：A
7．设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为8，则a＋b的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：不等式组表示的区域是一个四边形，4个顶点分别是(0,0)，(0,2)，(，0)，(1,4)，易求出目标函数在(1,4)点取得最大值8，所以8＝ab＋4?ab＝4.所以a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．所以a＋b的最小值为4.
答案：D
8．已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a＝4，b＋c＝5，A＝60°，则△ABC的面积为(　　)
A. B．3
C. D.
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，∴16＝(b＋c)2－2bc－2bccos 60°，∴bc＝3.∴S△ABC＝bcsin A＝×3×sin 60°＝.
答案：C
9．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运(　　)
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
解析：由图像知，函数过点(6,11)，可设y＝a(x－6)2＋11，把点(4,7)代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25.∴平均利润＝＝－(x＋)＋12≤－2 ＋12＝2.这时x＝即x＝5.
答案：C
10．(2012·佛山高二检测)已知点P(x，y)的坐标x，y满足，则x2＋y2－4x的取值范围是(　　)
A．[0,12] B．[－1,12]
C．[3,16] D．[－1,16]
解析：作出不等式组表示的平面区域如图，
x2＋y2－4x＝(x－2)2＋y2－4.令d＝表示可行域内的点到(2,0)的距离，由图可知，∴dmin是点(2,0)到直线x－y＝0的距离，∴dmin＝＝，又dmax是AB的长度，∴dmax＝4.∴x2＋y2－4x的范围是[－1,12]．
答案：B
二、填空题
11．不等式2x2＋2x－4≤的解集为________．
解析：∵2x2＋2x－4≤，
∴2x2＋2x－4≤2－1.∴x2＋2x－4≤－1.
即x2＋2x－3≤0，∴(x－1)(x＋3)≤0.
解得－3≤x≤1，故所求解集为[－3,1]．
答案：[－3,1]
12．(2012·石家庄高二检测)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足＝，则＝________.
解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则＝＝＝.
∵＝，∴＝＝＝＝＝.
13．a＞0，b＞0，c＞0，则(a＋b＋c)(＋)的最小值为________．
解析：(a＋b＋c)(＋)＝＋＋2≥2 ＋2＝4.当且仅当a＋b＝c时等式成立．
答案：4
14．(2011·安徽高考)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
解析：不妨设角A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝＝－，解得b＝10，所以S＝bcsin 120°＝15.
答案：15
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2(an＋1)，且a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝2－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n
＝－n
＝2n＋1－2－n..
16．(本小题满分12分)(2012·福州高二检测)已知不等式mx2＋nx－＜0的解集为{x|x＜－，或x＞2}．
(1)求m，n的值；
(2)解关于x的不等式：(2a－1－x)(x＋m)＞0，其中a是实数．
解：(1)依题意得m＝－1，n＝.
(2)原不等式为(2a－1－x)(x－1)＞0即[x－(2a－1)](x－1)＜0.
①当2a－1＜1，即a＜1时，原不等式的解集为{x|2a－1＜x＜1}．
②当2a－1＝1即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当2a－1＞1即a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜2a－1}．
17．(本小题满分12分)(2012·黄冈高二检测)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·＝·(－)，
所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
18．(本小题满分14分)(2011·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B(p∈R)，且ac＝b2.
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．
解：(1)当p＝，b＝1时，sin A＋sin C＝sin B且ac＝.由正弦定理得a＋c＝b＝.
解得或
(2)由条件可知a＋c＝pb，ac＝b2.
∵角B为锐角．
∴0＜cos B＜1.
当cos B＞0时，a2＋c2－b2＞0即(a＋c)2＞b2＋2ac.
∴p2b2＞b2＋b2，也就是p2＞.
又由a＋c＝pb知p＞0，
∴p＞.
当cos B＜1时，a2＋c2－b2＜2ac.
即(a＋c)2＜b2＋4ac
∴p2b2＜b2＋b2，也就是p2＜2.
∴0＜p＜.
综上可知p的取值范围是(，)．
课件17张PPT。章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测核心要点归纳一、等差数列与等比数列 二、数列通项公式的求法
1．公式法：若数列{an}是等差(比)数列，可代入通项公式求解．
2．观察法：若给出了数列的前几项，可用观察法求通项公式 三、数列求和
1．公式法：
如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．
2．拆项求和法：
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成， 并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑利用拆项求解． 3．倒序相加法：
如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序求和法． 4．裂项相消法：
裂项相消法就是数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的． 5．错位相减法：
若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列{anbn}，当求该数列前n项和时，常采用错位相减法．点此进入(时间90分钟，满分120分)课件49张PPT。§1
数
列1.1
数
列
的
概
念理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列知识点一知识点三考点一考点二知识点二1．1　数列的概念 小山想利用电子邮箱发送一个e-mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3 4 5 6 7 8；(2)4 6 8 7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4. 问题1：这三组数字有什么异同之处？
提示：都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．
问题2：小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？
提示：数字的排列顺序．1．数列及其相关概念一定次序每一个数第1项a1第n项an?2．数列的表示
①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…
②字母表示：上面数列也记为 .{an} 当n分别取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成一个数列：－1,1，－1,1，…；当n分别取1,2,3，…，10时，(－1)n的值排成一个数列：－1,1，－1，…，1.
问题1：这两个数列是同一数列吗？
提示：不是同一数列．
问题2：这两个数列的区别是什么？有什么联系？
提示：第一个数列有无穷多项，第二个数列共有10项，这10项是恰好是第一个数列的前10项．根据数列的项数可以将数列分为两类有限无限 看这样一个数列：2,4,8,16,32，…
问题1：这个数列的第n项an与n之间能否用一个函数式表示？怎样表示？
提示：可以．函数式可表示为an＝2n.
问题2：从函数的观点来看，这是一个什么样的函数？
提示：从函数的观点来看中，这个函数的定义域是正整数集N＋，其图像是一群孤立的点，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的函数值就是这个数列． 问题3：an＝2n与f(x)＝2x有什么关系？
提示：函数f(x)中的x为全体实数，数列{an}中的n取正整数．函数f(x)的图像为一条指数函数曲线，数列{an}的图像是一群孤立的点，分布在这条指数函数曲线f(x)＝2x上． 1．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
2．数列可以看作定义域为
的函数，当自变量 依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．an＝f(n)从小到大正整数集N＋(或它的有限子集) 1．an与{an}是两个不同的概念．前者是指数列{an}的第n项，后者是指数列a1，a2，a3，…，an，….
2．数列是一个特殊的函数，其定义域是正整数集N＋或其子集{1,2，…，n}，它的图像是一些孤立的点．
3．数列既然是特殊的函数，那么它既可用解析式表示，也可以用列表法和图像法表示． [思路点拨]　分析各数列中项与项之间的关系规律，根据各项的结构特点，归纳出一般性的结论，然后通过验算，确认正确的答案．
[精解详析]　(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． [一点通]
1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系．
具体可参考以下几个思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号．
(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 2．常见的几个数列
(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是an＝(－1)n；数列1，－1,1，－1，…的通项公式是an＝(－1)n＋1或(－1)n－1.
(2)数列1,2,3,4，…的通项公式是an＝n.
(3)数列1,3,5,7，…的通项公式是an＝2n－1.
(4)数列2,4,6,8，…的通项公式是an＝2n.
(5)数列1,2,4,8，…的通项公式是an＝2n－1.
(6)数列1,4,9,16，…的通项公式是an＝n2.解析：可利用代入验证法．
答案：D解析：可通过取n＝1,2,3，…代入验证的方法．
答案：C [一点通]　数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n就可以求出数列的相应项，反过来，判断一个数是不是一个数列中的项，其方法是由通项公式等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项．6．已知数列的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)写出数列{an}的第6项；
(2)4是否是数列中的项？若是，是第几项？ 解：(1)由于an＝n2－5n＋4，
∴a6＝62－5×6＋4＝10.
即数列{an}的第6项是10.
(2)令n2－5n＋4＝4，即n2－5n＝0.
∴n＝0或5.
∵n∈N＋，∴n＝5.
∴4是数列{an}中的第5项． 2．根据数列前几项写出数列的通项公式：
(1)要注意观察每一项的特点，找出各项共同的构成规律：横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的关系，必要时可使用添项、还原、分割等办法，寻找规律．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想． 3．数列与函数：
数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….点此进入课件37张PPT。1.2
数
列
的
函数特性§1
数
列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点三考点二1．2　数列的函数特性数列是一种特殊的函数，观察以下几个数列：
①1,2,3,4,5，…；
②－2，－4，－6，－8，…；
③1,1,1,1,1，…；
问题：从函数的单调性上考查，以上三个数列有何特点？
提示：①递增数列；②递减数列；③常数列．数列的增减性大于第2项an＋1＞an第2项小于an＋1＜an相等 1．数列是一个特殊的函数，因此，与函数一样，数列也可以用图像、列表等方法来表示．数列的图像是一群孤立的点．
2．数列象函数一样，有些具备单调性，有些不具备单调性．判断数列的增减性主要有两种方法：
(1)图像法：利用数列的函数图像的升、降趋势进行判断．
(2)定义法：根据相邻两项an，an＋1的大小关系来判断. [精解详析]　图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的． [一点通]　数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性．解：(1)图像如图(1)，由图像知数列{an}为递减数列．
(2)图像如图(2)，由图像知数列{bn}为递增数列．
(3)图像如图(3)，由图像观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列．(1)　　　　　 　(2)　　　　　　 (3) [思路点拨]　根据数列单调性的定义．只需证明an＋1
－an>0. [一点通]　判断数列是递增数列或递减数列，关键是比较相邻两项an＋1与an的大小．通过本题可以发现，比较an＋1与an的大小，既可使用作差比较法，也可用作商比较法，但在作商比较法中，要注意an>0还是an<0.答案：an＋1＞an3．已知数列an＝(m2－m)(n3－2n)是递减数列，求实数m的
取值范围．(注(n＋1)3＝n3＋3n2＋3n＋1)解：∵数列为递减数列，∴an＋1an＋1－an
＝(m2－m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]
＝(m2－m)(3n2＋3n－1)<0.
∵n∈N＋，∴3n2＋3n－1>0.∴m2－m<0.
解得0an－an－1＝(－2n2＋9n＋3)－[－2(n－1)2＋9(n－1)＋3]＝－4n＋11，
当n≤2时，an－an－1>0，数列递增；
当n≥3时，an－an－1<0，数列递减．
又∵a2－a3>0，即a2>a3.
∴数列最大的项为a2＝13. 1．判断一个数列的增减性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．
(1)利用作差比较法：
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；
③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． 2．数列的三种表示方法各有优缺点：(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图像能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
3．有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题．点此进入课件49张PPT。§2.1
等差数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点三考点二第一课时
等差数列的概念及通项公式知识点一知识点二2．1　等差数列?第一课时　等差数列的概念及通项公式 对于数列2,4,6,8,10，….
问题1：该数列相邻的两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？
提示：等于同一个常数．an－an－1＝2(n≥2)或an＋1－
an＝2.
问题2：你能观察出这个数列的通项公式吗？能否给予证明？
提示：通项公式是an＝2n，证明如下：
由an＋1－an＝2，可知a2－a1＝2，a3－a2＝2，…，
an－an－1＝2，将它们相加，得an－a1＝2(n－1)，∴an＝2n. 问题3：观察该数列任意相邻三项，你能得出什么结论？
提示：在该数列任意相邻三项中，前后两项的和等于中间项的2倍．即an－1＋an＋1＝2an(n≥2)．
问题4：观察数列1,4,7,10，…….你能看出什么结论？
提示：后一项与前一项的差为同一个常数3. 1．等差数列的概念及通项公式第2项同一个常数常数da1＋(n－1)d2．等差中项及性质a，A，bb－A 对于数列2,5,8,11，…，26.
问题1：你能观察出这个数列的通项公式吗？该数列的 增减性如何？
提示：an＝3n－1，n∈{1,2,3，…，9}．∵an＋1－an＝3>0，∴该数列为递增数列． 问题2：将该数列顺序颠倒过来后成为数列：26,23，20，…，2.这还是等差数列吗？那么它的通项公式如何？增减性怎样？
提示：还是等差数列，an＝29－3n，n∈{1,2，…，9}．∵an＋1－an＝－3，∴该数列为递减数列．
问题3：分析这两个数列通项公式的特点，等差数列的增减性与什么有关？
提示：只与公差d有关．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 1．对等差数列定义的理解应注意以下几点
(1)如果一个数列不是“从第2项起”，而是从第3项起或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是等差数列．
(2)定义中“每一项与前一项的差”指明了作差的顺序是后一项减前一项的差，且这两项必须相邻． (3)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于常数，这个数列不一定是等差数列，必须是“同一个常数”．
(4)公差d可用an＋1－an＝d求得．
2．对于通项公式的理解．
an＝a1＋(n－1)d?an＝nd＋(a1－d)，所以，当d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当d＝0时，等差数列{an}为常数列：a1，a1，a1，…，a1，… [例1]　(1)已知数列{an}为等差数列且a5＝11，a8＝5，求an；
(2)求等差数列10,8,6，…的第20项；
(3)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
[思路点拨]　解决本题中的每一小题，都要首先设出等差数列的两个基本量a1和d，根据等差数列的通项公式列方程求出a1和d，从而得出通项公式，然后再解决其他问题． (2)由于a1＝10，d＝－2，
∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
(3)由于a1＝2，d＝7，∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5.
由7n－5＝100，得n＝15.
∴100是这个数列的第15项． [一点通]　这类问题是等差数列的最基本问题．在等差数列中，首项a1和公差d是两个基本量，有关等差数列的计算问题，可以利用a1和d作桥梁，建立关于a1和d的方程组求解，这是解决等差数列问题的基本方法． 1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝4，则a4＋a5＋ a6 ＝
(　　)
A．16　　　　　　　　　　 B．17
C．18 D．19
解析：a3＝a1＋2d＝2＋2d＝4，∴d＝1.
∴an＝n＋1.∴a4＋a5＋a6＝5＋6＋7＝18.
答案：C2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的
项？如果是，是第几项？
解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20得
a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的
通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由－401＝－4n－1得n＝100，即－401是这个数列
的第100项．3．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断
153是不是这个数列中的项，如果是，是第几项？4．已知数列{an}的通项公式，判断数列{an}是否是等
差数列．
(1)an＝4n－3；(2)an＝n2＋n. 解：(1)an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，
∴数列{an}是公差为4的等差数列．
(2)由an＝n2＋n，得a1＝2，a2＝6，a3＝12，
∴a2－a1≠a3－a2.
由此可知数列{an}不是等差数列．5．已知数列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式． 解：(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，
即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列． [思路点拨]　证明本题可以利用等差中项的概念来证．即a，b，c成等差数列?a＋c＝2b. [一点通]　利用等差中项判定一个数列是否是等差数列是一种重要的方法．一般地，若证明三项成等差数列，则采用等差中项，若是证明多项成等差数列，则采用定义an＋1－an＝d(常数)．
运用等差中项证明三个数成等差数列时，注意转化目标要明确，化简变形要恰当、正确．6．下列说法中正确的是 (　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成
等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等
差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列答案：C7．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，
则m与n的等差中项是________．答案：3 1．等差数列的通项公式：
等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中a1为首项，d为公差，n∈N＋.由等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d不难看出： (1)等差数列的通项公式由首项和公差确定；
(2)在等差数列中，已知a1，n，d，an这四个量中的三个，可以求得另一个量．2．等差数列的判定方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列．
(2)通项公式法：an＝kn＋b(k、b为常数)?{an}是等差数列．
(3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列．点此进入课件49张PPT。§2.1
等差数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点三考点二第二课时
等差数列性质的应用2．1　等差数列第二课时 等差数列性质的应用 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
问题1：将数列中的前m项去掉，其余各项按原来的次序组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
提示：是．首项为am＋1，公差为d. 问题2：取出数列中的所有奇数项，按原来的次序组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
提示：是．首项是a1，公差为2d.
问题3：2a5＝a3＋a7是否成立？2a5＝a1＋a9呢？
提示：两个等式都成立． 问题4：a3＋a10＝a2＋a11是否成立？若m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq成立吗？
提示：都成立．am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，∵m＋n＝p＋q，∴am＋an＝ap＋aq. 问题5：an＝am＋(n－m)d成立吗？数列{2an＋1}
是等差数列吗？
提示：都成立．∵an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋
(m－1)d.两式相减，∴an＝am＋(n－m)d.
又∵(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2(an＋1－an)＝2d.
∴{2an＋1}是等差数列． 等差数列的常用性质
(1)m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq；特别地若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列； (3)若数列{an}成等差数列，则an＝pn＋q(p、q∈R)；
(4)若数列{an}成等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列；
(5){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也是等差数列． 1．等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它反映了等差数列中，任意两项之间的关系，当等差数列给出其中两项时，使用非常方便．
2．等差数列性质的应用非常灵活，在解题中常能起到事半功倍的效果． [例1]　在公差为d的等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
[思路点拨]　解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题．也可以利用等差数列的性质来解决．[精解详析]　法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.
∴a13＝12. [一点通]　利用等差数列性质解题是处理等差数列问题的技巧方法，利用好性质可以使计算过程大大简化．
在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算；二是利用性质运算，运用等差数列的性质，往往会有事半功倍的效果．答案：A2．(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，
则a2＋a4＋a6＋a8＝____.
解析：依题意得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝
2(a3＋a7)＝74.
答案：743．数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝
－21，求数列{an}的通项公式．
解：∵a2＋a8＝2a5，
∴3a5＝9.
∴a5＝3.
∴a2＋a8＝a3＋a7＝6. ①
又a3a5a7＝－21，
∴a3a7＝－7. ②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.
由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13. [例2]　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[思路点拨]　根据题意，可以将该实际问题转化为一个等差数列问题进行求解． [精解详析]　设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N＋.所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差
d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损． [一点通]　解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．4．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，
中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计
算中间各级的宽度．解：设梯子的第n级的宽为an cm，其中最高一级为a1 cm，则数列{an}是等差数列．
由题意，得a1＝33，a12＝110，n＝12，
则a12＝a1＋11d.所以有110＝33＋11d.解得d＝7.
所以a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，…，a11＝96＋7＝103，
即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，
47 cm，54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm，
96 cm，103 cm.5．假设某市2011年新建住房400万平方米，预计在今后
的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年
增加50万平方米．那么从哪一年开始，该市每年新
建住房的面积大于820万平方米？ [一点通]　等差数列是一种特殊的数列，要熟练掌握等差数列的基本运算和性质并会判定或证明等差数列．
对于本题这种探索性问题，一般先假设其成立，然后按常规来解，如果得到的结果符合条件，则结论成立，否则结论不成立．6．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个
数之积为40，求这四个数．7．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都共有100项，
问它们有多少个共同的项？
解：设两个数列分别为{an}与{bk}(n≤100k≤100)．
则a1＝5，d1＝8－5＝3，
通项an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2.
b1＝3，d2＝7－3＝4.
通项bk＝3＋(k－1)·4＝4k－1.
设数列{an}的第n项与{bk}的第k项相同， 1．等差数列的“子数列”的性质：
若数列{an}是公差为d的等差数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；
(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列． 2．等差数列的设项技巧：
(1)若三项成等差数列，则可设为a－d，a，a＋d；
(2)若四项成等差数列，则可设为a－3d，a－d，
a＋d，a＋3d.点此进入课件70张PPT。第一课时
等差数列的前
n项
和2.2
等差数列的前
n
项和理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点三考点二第一章
数
列知识点一知识点二2.2 等差数列的前n项和 200多年前，德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
问题1：我们都知道高斯很快便计算出来了，他是怎样算出来的呢？提示：S＝1＋2＋3＋…＋100＝100＋99＋…3＋2＋1，
2S100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(100＋1)
＝101×100，
S100＝101×50＝5 050. 问题2：从这个算法中得到启发，如何计算1,2,3，…，n，…的前n项和呢？ 问题3：根据上面的启发，有一堆钢管，最上层4根，最下层11根，共8层，每一层比上一层多1根，问这堆钢管共多少根？等差数列的前n项和公式 已知等差数列{an}，首项为a1，公差为d.
问题1：在数列中，依次每4项之和a1＋a2＋a3＋a4，a5＋a6＋a7＋a8，a9＋a10＋a11＋a12，…能否构成等差数列？那么依次每k项之和呢？
提示：(a5＋a6＋a7＋a8)－(a1＋a2＋a3＋a4)＝16d，
(a9＋a10＋a11＋a12)－(a5＋a6＋a7＋a8)＝16d，依此类推可知，等差数列中每4项之和能构成等差数列．同理，依次每k项之和也能构成等差数列．第一课时　等差数列的前n项和 [思路点拨]　运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．法二：由S5＝5a3＝40，得a3＝8.
所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19.
得d＝3.
所以a10＝a3＋7d＝8＋7×3＝29. [一点通]　a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用．1．(2012·济南高二检测)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，
a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝ (　　)
A．138　　　　　　　　　 B．135
C．95 D．23答案：C2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7
＝30，则S9＝________.答案：543．等差数列{an}中，已知d＝2，S100＝10 000，求an，Sn. [例2]　等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
[思路点拨]　(1)利用基本运算，列出方程组求出a1，d，即可求S28；(2)灵活应用性质求解． [一点通]　对于等差数列前n项和Sn的性质应用问题，其思路灵活又多变，使用性质解题，既灵活又高效
(1)前n项和为Sn＝An2＋Bn的数列一定为等差数列，且公差为2A，记住这个结论，如果已知数列的前n项和可以直接写出公差．答案：A5．在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的
和为165，所有偶数项的和为150，则n＝ (　　)
A．9 B．10
C．11 D．12答案：B6．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝ 10，
a11＋a12＋…＋a20＝20，求a41＋a42＋…＋a50.法二：设b1＝a1＋a2＋…＋a10，b2＝a11＋a12＋…＋a20，b3＝a21＋a22＋…＋a30，b4＝a31＋a32＋…＋a40，
b5＝a41＋a42＋…＋a50.
∵数列{an}是等差数列，
∴数列{bn}也成等差数列，
其中b1＝10，公差D＝b2－b1＝20－10＝10.
∴a41＋a42＋…＋a50＝b5＝10＋4×10＝50. [例3]　(12分)等差数列{an}中，Sn为前n项和，且a1＝25，S17＝S9，请问数列前多少项和最大？
[思路点拨]　解答本题可用多种方法，根据S17＝S9找出a1与d的关系，转化为Sn的二次函数求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点，再求解．法三：∵S17＝S9，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0. (4分)
∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. (8分)
∵a1＝25>0，
∴当n≤13时an>0，当n≥14时，an<0.
∴S13最大． (12分)7．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则Sn取最
小值时n的值为 (　　)
A．17　　　　　　　　B．18
C．19 D．20解析：an＝2n－37，an＋1－an＝2＞0，
∴{an}为递增数列．由an＝2n－37≥0?n≥18.5.
∴a18＜0，a19＞0.
∴S18最小．
答案：B答案：C9．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，求该数列前多少
项的和最小．∵d＞0，∴Sn有最小值．
又∵n∈N＋，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
法二：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0.
∴3a11＝0.∴a11＝0.
∵a1＜0，∴前10项或前11项的和最小． (2)“知三求二”型：
在a1，an，Sn，n，d五个量中，已知其中的三个量，可以由通项公式和前n项和公式建立方程组，即可以求出另外的两个．
这两种类型是解决等差数列运算的基本方法． 2．等差数列前n项和的最值问题：
(1)类型．①若d>0，a1<0，则Sn有最小值；②若d<0，a1>0，则Sn有最大值．
(2)主要方法：
①二次函数法．用求二次函数的最值方法(配方法)来求其前n项和的最值，但要注意的是n∈N＋. ②图像法．利用二次函数图像的顶点及对称性来确定．
③通项法．当a1>0，d<0时，n为使an≥0成立的最大的正整数时，Sn最大．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1，即递增；当an<0时，Sn0时，则n为使an≤0成立的最大正整数时，Sn最小．点此进入课件41张PPT。2.2
等差数
列的前
n
项和第二课时
等差数列前n项和习题课把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点二考点三2.2 等差数列的前n项和第二课时 等差数列前n项和习题课 [思路点拨]　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求得数列的通项后，根据通项再作出判断．2．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，
求a2＋a3－a4＋a5＋a6.
解：∵Sn＝n2－2n
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2
(n－1)]
＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，
∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4
＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.3．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且
6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N＋，求{an}的通项公式． [一点通]
(1)对绝对值数列{|an|}出题时常常针对其前n项和，一般有两个方面：一是已知an；二是已知数列{an}的前n项和Sn.
(2)对于这类数列的求和问题，一是要弄清{an}中哪些项为正，哪些项为负；二是要将绝对值和的问题转化为等差数列的求和问题．特别注意用分段函数的形式表示结果．4．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|
＋…＋|a15|＝________.答案：1535．在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}
的前n项和． [例3]　(12分)为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的通知．某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ [思路点拨]　把该实际问题转化为数列问题求解．因为每年投入资金都比上一年增加50万元，所以可考虑利用等差数列求解． [一点通]　有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：
(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征；
(2)是求数列{an}的通项还是求前n项和；
(3)列出等式(或方程)求解．6．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段公路上
一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开
始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑
从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来
领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两
个最佳坑位的编号为 (　　)
A．①和?　　　　　　　 B．⑨和⑩
C．⑨和? D．⑩和?解析：当放在最左侧坑时，路程和为0＋10＋20＋…＋190；当放在左侧第2个坑时，路程和为10＋0＋10＋20＋…＋180(减少了180米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为20＋10＋0＋10＋20＋…＋170(减少了160米)；依次进行，显然当放在中间的第10或11个坑时，路程和最小，为90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100＝1 000米．
答案：D7．甲、乙两人分别从相距70 m的两处同时相向而行，甲
第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每
分钟走5 m．如果甲、乙到达对方起点后立即折返，
甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，
那么开始运动后几分钟甲、乙第2次相遇？ 2．求数列{|an|}的前n项和需注意以下问题
(1)给出数列{an}，要求数列{|an|}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0或an＜0.
(2)当{an}的各项都为非负数时，{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和；当{an}的各项都为非正数时，{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和的相反数；当{an}的某些项为正，某些项为负时，要对n进行分类讨论，转化为{an}的前n项和求解，其结果用分段函数表示． 3．数列应用题的解法一般是：根据题设条件，建立数列模型，然后利用相关的数列知识解模．
(1)对于建模，首先要分析实际问题的对象结构特点，其次要找出所含元素的数量关系，从而确定为何种数学模型，建模的过程也是一个把文字语言翻译成数学符号语言的过程． (2)解模的过程就是运算的过程，首先判断是否为等差数列，确定首项、公差、项数是什么，能分清an，Sn，然后选用适当方法求解，最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．点此进入课件61张PPT。§3.1
等比数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点三考点二第一课时
等比数列的概念及通项公式知识点一知识点二知识点三3.1 等比数列第一课时 等比数列的概念及通项公式 问题1：这几个数列，从相邻项的关系上看，有什么共同特征？
提示：从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数．等比数列的定义及通项公式第2项同一个常数这个常数an＝a1qn－1 问题1：若数列2，a,4，b，…为等比数列，a，b的值分别是什么？问题2：在问题1的条件下，a,4，b存在的关系是什么？
提示：42＝ab.等比中项 问题：以上五个数列各有怎样的增减性？
提示：①递减数列；②常数列；③递增数列；④递增数列；⑤递减数列．递减数列递增数列递增数列递减数列 1．对等比数列定义的理解应注意以下几点：
(1)等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
(2)必须是“从第2项起”，每一项与它前一项的比 都等于同一个常数．
(3)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比是常数，这个数列不一定是等比数列，定义中“同一个”常数非常重要，切不可丢掉． (4)非零常数列既是等差数列，又是等比数列．
2．等比数列的增减性既与首项有关，也与公比q有关．
3．在a，b同号时，a与b才有等比中项，而且有两个，它们互为相反数；若a，b异号时，a与b没有等比中项． [思路点拨]　将已知条件转化为a1和q的方程或方程组，通过解方程或方程组求解a1，q，进而解决其他问题． [一点通]　
1．求等比数列通项公式的方法
(1)方程组法：用a1，q表示出已知两项→联立方程组→解方程组，得出a1，q→写出通项公式．
(2)通项公式变形法：观察已知两项是否有关系→用an＝am·qn－m(n，m∈N＋)来联系这两项→写出通项公式． 2．在等比数列通项公式an＝a1qn－1中，含有首项a1，第n项an，公比q，项数n四个量，如果知道其中的三个，便可求出另外一个．
3．在通项公式的有关计算中，要注意使用函数与方程及整体代换的思想的应用．解析：由通项公式得a1q5＝a q3，又a1＝2，
∴q2＝4.又an>0，∴q＝2.
答案：C
31答案：A3．已知等比数列{an}中，a5＝20，a15＝5，求a20.[例2]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式． (2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1. [一点通]　判断或证明一个数列是等比数列的常用方法是定义，证明时要注意定义中的条件，“任何一项不等于0”、“从第二项起”、“同一个”常数．4．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{a }；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an
＋an＋1}中等比数列的个数是 (　　)
A．1　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．43n答案：D5．已知数列{an}满足：lg an＝3n＋5，证明：数列
{an}是等比数列． [例3]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[思路点拨]　根据题意可以设前三个数得第四个数，也可以设后三个数得第一个数，还可以设前两个数得后两个数，然后建立方程组求解．所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. (12分)7．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分
别加上1,3,9就成为等比数列，求这三个数．8．已知四个数，前3个数成等差数列，后三个数成等比
数列，中间两个数之积为16，第一个数与第四个数之
积为－128，则如何求这四个数？由①得a2＝16q， ③
由②得a2(－1)·q＝－128.
将③代入得：q2－2q－8＝0，
∴q＝4或q＝－2.
又a2＝16q，∴q＞0.∴q＝4.∴a＝±8.
当a＝8时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.
当a＝－8时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32. 1．等比数列的项的符号有一定的规律：各项都是正值；各项都是负值；正负相间(此时所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同)．点此进入课件42张PPT。§3.1
等比数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点三考点二第二课时
等比数列的性质及应用3.1 等比数列第二课时 等数列的性质及应用 已知数列{an}是一个无穷等比数列，公比为q.
问题1：将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
提示：是．首项是ak＋1，公比仍是q. 问题2：取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
提示：是．首项是a1，公比为q2.
问题3：在数列{an}中，每隔k项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？
提示：是．公比是qk＋1.问题5：数列中a5与a8的关系怎样，an与am有何关系？
提示：a8＝a5q3，an＝amqn－m. [例1]　已知等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝7，
a1a2a3＝8.求an. [一点通]　等比数列的运算一般有两种：一种是基本运算，即转化为基本量，通过解方程或方程组求解的运算；一种是性质运算，巧妙避开解方程组，这种方法使问题简单化，起到事半功倍的效果．1．(2012·沈阳高二检测)已知等比数列{an}，若a1＋a2＝20，
a3＋a4＝80，则a5＋a6等于 (　　)
A．480　　　　　　　　　　B．320
C．240 D．120
答案：B3．已知等比数列{an}，a2a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. [例2]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值．
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[思路点拨]　根据题意，前后两年车的价值存在倍数关系，所以可建立等比数列模型来解决． [精解详析]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项
a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)由(1)得a4＝a1·q3＝13.5×0.93≈9.8(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到9.8万元．[一点通]　解等比数列应用题的步骤
(1)审题．解决数列应用题的关键是读懂题意；
(2)建立数学模型．将实际问题转化为等比数列的问题；
(3)解数学模型．注意隐含条件，数列中n的值是正整数；
(4)还原．即最后转化为实际问题作出回答．4．某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到
2012年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年
比上一年增长的百分率相同，则这个百分率是多少？
2011年生产这种零件多少万件？解：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2010年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，
a3＝a2(1＋x)．
即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．由100(1＋x)2＝121，得(1＋x)2＝1.21，
∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1(舍去)，
∴x＝0.1.
a2＝100(1＋x)＝110(万件)．
所以每年增长的百分率为10%,2011年生产这种零件110万件. [例3]　(12分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，
an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且
T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
[思路点拨]　(1)可借助Sn－Sn－1＝an(n≥2)来求出an；
(2)考虑方程的思想求出d，再求Tn. [精解详析]　(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， (2分)
两式相减，得
an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1. (4分)
故{an}是首项为1、公比为3的等比数列，
∴an＝3n－1. (6分)(2)设{bn}的公差为d，
由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5， (7分)
故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2. [一点通]　
1．证明一个数列为等比数列，要严格根据定义．本题中给出了Sn与an的关系，由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得出
an＝qan－1.从而可证明数列为等比数列．
2．当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．5．(2012·临沂高二检测)已知等比数列{an}满足a1＝3，
且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33 B．84
C．72 D．189解析：由4a1,2a2，a3成等差数列得，4a1＋a3＝4a2，即12＋3q2＝4×3q.解得q＝2，∴a3＋a4＋a5＝a1q2＋a1q3＋a1q4＝3(22＋23＋24)＝84.
答案：B 1．在解决与等比数列有关的计算问题时，我们首先想到的方法是通法，即通过解方程组求两个基本量首项a1和公比q，求解过程中要注意整体代换思想的运用，但有些问题合理地选择性质求解，可以减少运算量，提高解题效率．
2．解数列的实际应用问题时，首先要分清是等差数列，还是等比数列；是求某一项，还是求某些项的和，再用相应的公式求解．点此进入课件66张PPT。3.2
等比数列的前n项和理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点三考点二考点四3.2 等比数列的前n项和 对于等比数列1,2,22,23，…，2n，…
问题1：该数列的首项和公比分别是什么？
提示：首项是1，公比是2.
问题2：前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n　①，两边同乘以公比2得2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1　②，那么这两个等式右边有公共项吗？若用②式减去①式，会有什么结果？
提示：有公共项，②－①得Sn＝2n＋1－1. 问题3：对和式Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按问题②方法整理会怎样呢？等比数列的前n项和公式na1 2．等比数列前n项和公式与函数的关系
(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式可写成Sn＝－Aqn＋A的形式．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…Sn，…的图像是函数y＝－Aqx＋A图像上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3…，Sn，…的图像是正比例函数
y＝a1x图像上的一群孤立的点． [思路点拨]　根据等比数列的前n项和公式，结合通项公式，列方程或方程组求解，注意整体代换思想的应用．2．(2011·大纲全国高考)设等比数列{an}的前n项和为
Sn·已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn·3．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，
S4＝5S2，求{an}的通项公式． [例2]　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)的前n项和．
[思路点拨]　利用错位相减法求和，注意分a＝1和a≠1两种情况求解． [一点通]　所谓错位相减法是指在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列的求和问题，此种方法一般适用于形如数列{anbn}的求和，其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．4．求和：Sn＝x＋2x2＋3x2＋…＋nxn.解：(1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，
∴3a2＝12.∴a2＝4.
又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，
∴a＝2a1·(a3＋1)．
即a＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，
解得，d＝3或d＝－4(舍去)，
∴a1＝a2－d＝1.故an＝3n－2. [例3]　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n；
(2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
[思路点拨]　解答本题可以列方程组求首项和公比，也可以利用等比数列的前n项和的有关性质求解． [一点通]　
1．在解方程组时除了常用的代入消元、加减消元外也可以考虑乘除消元、整体代入等策略．
2．在遇到公比不等于－1的等比数列连续和的题目时，常常利用性质“Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列”求解．
3．项数为2n的等比数列奇数项和与偶数项和之间的关系为：S偶＝S奇·q，运用此式能非常迅速地求出公比q.6．等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，
则S4为 (　　)
A．28 B．32
C．21 D．28或－21解析：∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列．
即7，S4－7,91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或S4＝－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2.
∴S4＝28.
答案：A7．等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6
＋…＋a80＝________.答案：24 [思路点拨]　从题意出发，从条件中提取有用的信息，分别列出第一年的投入，第二年的投入，一直到第n年的投入，构造出等比数列，可用等比数列的前n项和公式求解． [一点通]　在解数列应用题时，不要被题目的设计背景所干扰，应该把对题目的背景的阅读当成是一件快乐的事情，不应因应用题的阅读量大避而远之，要知道应用题的设计体现的就是人文关怀，解答时要分清等差数列与等比数列的不同表示语句，从而更好的解决问题．8．2010年底某市有待业人员10万人，根据测算该市在
今后的几年中平均每年新增待业人员8千人，市政府
积极地采取有效措施增加工作岗位，估计2011年可提
供新增岗位5千个，并且以后将以平均每年10%的速
度递增．问：
(1)2013年底待业人员比2012年底待业人员增加多少？
(2)到哪一年底社会上待业人员总量达到最多？(参考
数据1.15≈1.61,1.16≈1.77)解：设2011年为第一年，第一年底待业人员为a1万人，第n年底待业人员为an万人，
则an＝an－1＋0.8－0.5·(1＋0.1)n－1.
(1)a3－a2＝0.8－0.5·(1＋0.1)2＝0.195(万人)＝1 950(人)，即2013年底待业人员比2012年底增加1 950人．9．某商场今年销售计算机5 000台．如果平均每年的
销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年
起，大约几年可使总销售量达到30 000台(lg 1.6≈0.2，
lg 1.1≈0.04)? 1．等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯． 2．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前n项和有关的常用的性质有：①连续m项和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立)；②{an}为等比数列，且q≠1?Sn＝－Aqn＋A(A≠0)． 3．对于错位相减法求和：
(1)如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时需采用错位相减法来求．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便于下一步写出“Sn－qSn”的表达式．点此进入课件38张PPT。§4
数列在日常经济生活中的应用理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
数
列考点一考点三4考点二2011年8月某人存入银行1 000元，年利率为3.50%.
问题1：如果按照单利，第五年末的本利和是多少？
提示：本利和为：
1 000＋1 000×3.50%×5＝1175(元)．
问题2：如果按照复利，第五年末的本利和是多少？
提示：设各年的本利和为数列{an}，
a0＝1 000，r＝3.50%，a1＝1 000×1.035，a2＝1 000×1.0352，…，a5＝1 000×1.0355≈1 187.7(元)．
单利和复利本金×利率×存期P(1＋nr)P(1＋r)n 1．零存整取模型
所谓零存整取，是指开户时约定存期，分次每月固定存款金额，到期一次支取本利和的一种个人存款．
对于零存整取，在计算利息时，每次存入的钱不计复利．这种储蓄业务按单利利息．每期的本利和组成等差数列，它就是等差数列模型． 2．定期自动转存模型
所谓定期自动转存，是指储户与银行约定在存款到期日自动将本利和按原存期转入下一个存款周期，定期自动转存业务，在计算利息时，以复利计算，是等比数列模型．
3．分期付款模型：
分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品(或贷款)，还款时可以分期将款逐步还清． [例1]　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
[思路点拨]　明确储蓄类型，构建等差数列求解． [精解详析]　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}．
则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
… [一点通]　分期付款是一种常见的付款方式，与存款中的“零存整取”，都属于等差数列模型．解题的关键是确定首项、公差、项数．1．某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一
天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按
单利计息，那么实际取出多少钱？
解：实际取出的钱等于：本金＋利息．
到12月最后一天取款时：
第一个月存款利息：100×12×0.165%
第二个月存款利息：100×11×0.165%
… [例2]　某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)．若这笔款要分10次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少万元？(参考数据1.110≈2.594)
[思路点拨]　认真分析理解题意，构造等比数列模型解决问题． [精解详析]　法一：设每年还款x万元，需10年还清，那么各年还款利息情况如下：
第10年付款x万元，这次还款后欠款全部还清；
第9年付款x万元，过一年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)万元；
第8年付款x万元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2万元；
…法二：第1次还款x万元之后还欠银行
20(1＋10%)－x＝20×1.1－x，
第2次还款x万元后还欠银行
[20(1＋10%)－x](1＋10%)－x
＝20×1.12－1.1x－x，
… [一点通]　本题属于“复利”问题，是等比数列模型．根据还款的本利和等于贷款的本利和，建立方程是解题的关键．2．某人从2011年1月1日起，每年这一天到银行存一
年定期a元，若年利率r保持不变，且每年到期的
存款将本和利都再存入新一年的定期，到2015年1
月1日，将所有的存款利息全部取回，他可取回
的钱数为________． [例3]　(12分)某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元1.110≈2.594，1.310≈13.786)
[思路点拨]　分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决．1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
＝1.1×≈17.53(万元)，
乙方案净获利32.50－17.53≈15.0(万元)． (11分)
比较两方案可得甲方案获利较多． (12分) [一点通]　解决数列实际应用题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，分清是等差数列，还是等比数列，然后转化为数学问题解决．本题方案甲属等比数列模型，方案乙则属于等差数列模型．3．某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平
方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每
年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每
年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50
万平方米，那么到哪一年底：(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36，1.085≈1.47,1.086≈1.59)(2)设新建住房面积成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an>0.85bn，则有250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85，即5n＋20>34×1.08n－1.则n≥6.
故到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 1．等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．
2．将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分清是等差数列还是等比数列；(2)分清是求an还是求Sn，特别要准确确定项数n；(3)前后项关系的发现是数列建模的重要方式．点此进入课件52张PPT。把握热点考向应用创新演练§1
不
等关系考点一考点三4考点二第三章
不等式理解教材新知知识点一知识点二§1 不等关系 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
问题1：如何用不等式表示对脂肪含量的规定？
提示：f≥2.5%.问题2：如何用不等式表示对蛋白质含量的规定？
提示：p≥2.3%.
问题3：如何用不等式表示酸奶质量的规定？不等式中文字语言与数学符号之间的转换>
<
≥
≤≤
≥
≥
≤ 在日常生活中，我们经常遇到两个量的大小比较问题．
问题1：对于两个身高不等的同学，如何比较他们的高矮？
提示：可以让他们站在同一水平面上，比较他们的高度的差．
问题2：对于两个数或式，如何比较它们的大小？
提示：可以比较它们的差． 问题3：如果甲比乙年龄大，乙比丙年龄大，那么甲与丙谁大？
提示：甲比丙年龄大．
问题4：向含a克糖的b克糖水中，再放入m克糖，糖水变甜了．放糖后的浓度与原浓度有何关系？1．任意两个实数a、b，则
如果a－b＞0，那么 ；
如果a－b＜0，那么 ；
如果a－b＝0，那么 .a＞ba＜ba＝b＞ ＞ 1．客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，这些不等关系都可用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”来连接，用这些符号连接起来的式子区别于等式，称为不等式．
2．对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立． [例1]　某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[思路点拨]　认真分析题意，留意所给材料中的每个数字，弄清其出现的意义，写出所能表达的每一个不等式． [精解详析]　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． [一点通]　(1)此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系，如本例中驾驶员的人数限制了车辆数，所以甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数，这个不等关系易忽略． (2)当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，就选用几个字母分别表示这些变量即可．像本题就是用含有两个字母x，y的不等式组来表示它们之间的不等关系的．1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，
使汽车速度v不超过40 km/h，用不等关系表示速
度的限制为________．
解析：“不超过”即“小于或等于”，∴v≤40 km/h.
答案：v≤40 km/h2．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8
万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量
就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价
设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不
低于20万元呢？3．某钢铁厂把长度为5 000 mm的钢管截成500 mm和
700 mm两种，按照生产的要求500 mm钢管的数量
不能超过700 mm钢管的3倍，若截500 mm的钢管x
根，截700 mm的钢管y根，请写出满足上述所有不
等关系的不等式．[例2]　已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[思路点拨]　运用作差法比较大小． [一点通]　作差法比较两个数(式)的大小可以归纳为“三步一结论”，即作差→变形→定号→结论：其中变形为关键，定号为目的．在变形中，一般变形得越彻底，越有利于下一步的判断．在定号中，若为几个因式积，需对每个因式均先定号，若符号不确定时，需进行讨论．4．将例题中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与
2x2－2x的大小．5．(2012·临沂高二检测)若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋
x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是 (　　)
A．f(x)＜g(x)　　　　B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＞g(x) D．随x值变化而变化
解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－
2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x)．
答案：C6．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)
的大小．
解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y). [例3]　(12分)设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
[思路点拨]　用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的范围求f(－2)的范围．[精解详析]　法一：由f(x)＝ax2＋bx得
f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，
设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， (2分)
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. [一点通]　(1)不等式的性质是不等式变形的基础，是解不等式和证明不等式的主要依据，应熟练掌握．
(2)本例中如果由1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4得到a、b的范围，再求f(－2)的范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a、b的范围与已知条件不是等价关系．(3)常见的不等式的性质
①若a＞b，则b＜a；
②若a＞b，则a＋c＞b＋c；
③a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；
④若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；7．(2012·济宁高二检测)已知a＞b，c＜d，且c，d不为0，
那么下列不等式成立的是 (　　)
A．ab＞bc　　　　　　B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
解析：c＜d即d＞c，又a＞b，∴a＋d＞b＋c.
∴a－c＞b－d.
答案：C答案：①②④9．已知－1＜a＜b＜3，求a－b的取值范围． 1．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤
(1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；
(2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)；
(3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式． 2．作差法比较大小的一般步骤是
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”或平方和的形式；
第三步：定号，就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，
最后得出结论．
概括为“三步一结论”．这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 3．比较两个符号确定的数或式的大小，除了作差法，还有一种方法是作商法，作商法的一般步骤是：
4．不等式的性质是不等式的基础，也是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地进行运用．点此进入课件53张PPT。第一课时
一元二次不等式及其解法2.1
一元二次不等式的解法理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点三考点二第三章
不等式知识点一知识点二§2 一元二次不等式2．1　一元二次不等式的解法对于两个不等式2x2＋11x－6＞0和10x2＋9x－2≤0.
问题1：这两个不等式有哪些共同点？
提示：(1)含有一个未知数x；(2)未知数x的最高次数为2.问题3：这两个不等式分别有多少个解？
提示：分别都有无穷个解． 1．一元二次不等式
形如 的不等式(其中a 0)，叫作一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解
使某个一元二次不等式成立的 叫这个一元二次不等式的解．
3．一元二次不等式的解集
一元二次不等式的 ，叫作这个一元二次不等式的解集.ax2＋bx＋c＞0(≥0) ax2＋bx＋c＜0(≤0)≠x的值所有解组成的集合或观察函数y＝x2－x－6的图像，回答下列问题．
问题1：x在什么范围内取值时，y＝0?
提示：x＝－2或x＝3.
问题2：x在什么范围内取值时，y＞0?
提示：x＞3或x＜－2.
问题3：x在什么范围内取值时，y＜0?
提示：－2＜x＜3. 一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式解集之间的关系见下表{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－ }R{x|x1＜x＜x2}?? 1．从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋
c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴下方的点的横坐标x的集合．
2．解一元二次不等式，要先把二次项系数化为正数，再根据判别式的符号确定相应的方程有无实根，最后根据二次函数的图像写出解集．第一课时　一元二次不等式及其解法[例1]　解下列一元二次不等式
(1)－2x2＋x－6＜0；　　　(2)－x2＋6x－9≥0；
(3)x(7－x)＞0; (4)13－9x2＜0.
[思路点拨]　按照解一元二次不等式的步骤来解． [精解详析]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6＞0，
∵方程2x2－x＋6＝0的判别式
Δ＝(－1)2－4×2×6＜0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图(1))．
∴观察图像可得，不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，
即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图像如图(2)所示，根据图像可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)原不等式可化为x(x－7)＜0，
方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，x2＝7，
函数y＝x(x－7)的图像是开口向 上的抛物线，与x轴有两个交点(0,0)，(7,0)(如图(3))．
观察图像可得，不等式的解集为
{x|0＜x＜7}． [一点通]　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；
(2)确定相应方程的解，或判断方程无实数解．
(3)根据一元二次方程解的情况画出对应的二次函数的草图．
(4)根据图像写出不等式的解集． 1．(2011·晋江高二检测)不等式5－x2＞4x的解集为(　　)
A．(－5,1) B．(－1,5)
C．(－∞，－5)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
解析：原不等式可化为x2＋4x－5＜0，即(x＋5)(x－1＜
0.∴解集为{x|－5＜x＜1}．
答案：A ③对应方程根的判别式Δ＝82－4×17＜0.故对应二次函数图像开口向上，与x轴无交点．
则x2＋8x＋17≥0的解集是R.
④原不等式可化为2x2－3x＋3＜0，对应方程根的判别式Δ＝(－3)2－4×2×3＜0，则不等式的解集为?.
答案：C3．解不等式：－2x2＋x＋1＜0. [例2]　解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0(a∈R)．
[思路点拨]　首先将不等式的左边因式分解，求出相应方程的两根，讨论两根的大小关系，写出解集．[精解详析]　原不等式转化为(x－2a)(x＋a)＜0，
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
(1)当a＞0时，x1＞x2，
不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解；(3)当a＜0时，x1＜x2，
不等式的解集为
{x|2a＜x＜－a}．
综上所述，原不等式的解集为：
a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；
a＝0时，?；
a＜0时，{x|2a＜x＜－a}． [一点通]　1.熟练掌握一元二次不等式的解法是解决不等式问题的基础，所以应当能够熟练记住形如ax2＋bx＋c＞0(＜0)(a＞0)的不等式在各种情况下解集的形式．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．4．若a＜0，则不等式x2－ax－12a2＜0的解集为 (　　)
A．{x|3a＜x＜－4a}　　 B．{x|－3a＜x＜－4a}
C．{x|4a＜x＜－3a} D．{x|4a＜x＜3a}解析：原不等式可化为(x＋3a)(x－4a)＜0，
方程(x＋3a)(x－4a)＝0两个根为x1＝－3a，
x2＝4a，
又a＜0，∴4a＜－3a，
∴原不等式的解集为{x|4a＜x＜－3a}．
答案：C5．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0.
∴当a＜0时，a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，a2＜a，解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}．综上所述，
当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}. [一点通]　这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，巧妙运用根与系数的关系，将所解不等式的“多个参数”化为“一个参数”，从而求解．6．(2012·东营高二检测)已知关于x的不等式x2＋bx＋c＞0
的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，则b2＋c2＝ (　　)
A．5 B．4
C．1 D．2解析：根据三个“二次”之间的关系知，－1和2是对应
一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴－b＝－1＋2且
c＝－1×2∴b＝－1，c＝－2.∴b2＋c2＝(－1)2＋(－2)2＝5.
答案：A 1．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集，就是使函数图像在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合，而方程的根就是不等式解集区间的端点． 2．解含参数不等式时一般需对参数进行讨论，何时进行讨论，如何分类是这类题的难点．根据运算的需要分以下几种情况：
(1)二次项系数含参数时，需要化二次项系数为正，所以对参数符号要进行讨论．
(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，对参数要进行讨论． (3)方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．
总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ的符号”；③根的大小，但未必在这三个方面都进行讨论，是否讨论要根据运算需要而定．点此进入课件33张PPT。2.1
一元二次不等式的解法第二课时
一元二次不等式解法的应用把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二§2 一元二次不等式2．1　一元二次不等式的解法第二课时　一元二次不等式解法的应用 [例1]　(2012·聊城高二检测)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，求实数a的取值范围．
[思路点拨]　按a2－1是否为零分类讨论，必要时结合图像解决．答案：C2．不等式x2－2x＋m＜0对任意x∈[1,2]恒成立．则m
的取值范围是________．
解析：法一：∵x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
∴当x∈[1,2]时，x2－2x＋m的最大值为m.
得m＜0.答案：(－∞，0)，， [例2]　(12分)已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．
[思路点拨]　可结合二次函数的图像，根据对称轴，判别式及函数值的情况列不等式组求解． [一点通]　与一元二次方程有关的根的分布问题可以转化为二次函数的图像与x轴的关系进行解决，主要考虑三个方面，即对称轴，判别式和端点的函数值的符号．根据题目要求，等价转化为不等式组进行解决．4．已知方程x2＋(2m－3)x＋m2－15＝0的两个根一个
大于－2，一个小于－2，求实数m的取值范围．5．m为何值时，关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的
两根满足下列条件：(1)均为正；(2)均大于1? 利用根的分布求参数的取值范围的一般步骤
(1)作图．根据项的系数的正负大小判定对应二次函数的开口方向及根所在的有关区间，作出相应的草图； (2)列不等式．根据二次函数的图像，以及题目中的规定，列出关于参数的不等式(或组)；
(3)解不等式(或组)，求出结果．利用已经学过的不等式的求解方法，解不等式(或组)，注意若是不等式组应该取各部分的交集．点此进入课件47张PPT。2.2
一元二次不等式的应用把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二2.2 一元二次不等式的应用问题1：不等式①与(x＋1)(x＋2)＞0同解吗？
提示：同解．
问题2：不等式②与(x＋1)(x＋2)≥0同解吗？
提示：不同解．
问题3：不等式①和②是同解不等式吗？
提示：不是同解不等式． 分式不等式的解法
先通过移项把不等式的右边化为0，再转化为整式不等式来解．对于函数f(x)＝x(x－1)(x－2)．
问题1：函数有几个零点？分别是什么？
提示：三个，分别是0,1,2.
问题2：若x分别属于下列区间，f(x)的符号怎样？
①(－∞，0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2，＋∞)．
提示：①f(x)＜0；②f(x)＞0；③f(x)＜0；④f(x)＞0. 高次不等式的解法
对于形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0(＜0)的不等式，可以把函数f(x)的图像与x轴的交点形象地看成“ ”，函数f(x)的图像看成“ ”，穿线后观察图像得到不等式解集的方法称为 ．针眼线穿针引线法 [思路点拨] 先移项，通分，将各因式最高次项系数化为正，再转化为与它同解的整式不等式求解． [思路点拨]　先把非标准形式化为标准形式，即右边化为零，左边因式分解后，再使用穿针引线法来解． [一点通]　一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； (3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．4．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)＞0的解集为(　　)
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3,4)解析：因为x2＋x＋1＞0，
所以原不等式等价于x2－7x＋12＞0，
解得x＞4或x＜3.
答案：B [例3]　(12分)某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． [思路点拨]　认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系式或不等式解决问题． [一点通]　解不等式应用题，一般可按如下四步进行
(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
(3)解不等式(或求函数最值)；
(4)回扣实际问题．7．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续
向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹
车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在
一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向
而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，
事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙
车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的
刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1 200＞0，解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)．这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．综上所述，甲车无超速现象，而乙车有超速现象．8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成
本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为
1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品
档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增
加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比
例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)依题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×
1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)．
整理，得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． 1．解分式不等式和高次不等式一般的方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积或商，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大排在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要穿而不过，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论． 2．应用一元二次不等式解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，解不等式时，要注意变量的实际意义．点此进入课件36张PPT。§3
基本不等式把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二理解教材新知3.1
基本不等式§3 基本不等式3.1 基本不等式 问题1：根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？ 提示：正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，即a2＋b2＞2ab. 问题2：当直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？
提示：a2＋b2＝2ab.1．基本不等式(2)成立的前提条件： ， .
(3)等号成立的条件：当且仅当 时等号成立．a≥0b≥0a＝b不小于 [一点通]　将所要证明的不等式分解变形，重新组合后再用基本不等式，体现了“配凑”的数学方法，其中要注意等号是否成立，尤其是多个基本不等式相加(乘)或多次连续使用基本不等式．答案：D2．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2
与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
解析：∵a、b、c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2ac，a2＋c2＞2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.
答案：p＞q 1．基本不等式是证明不等式的重要工具，公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形公式以公式的逆用．2．常用的基本不等式的变形及作用点此进入课件52张PPT。3.2
基本
不等
式与
最大（小）
值§3
基本不等式把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二理解教材新知考点三§3 基本不等式3.2 基本不等与最大（小）值已知函数f(x)＝x(1－x)．(0＜x＜1)
问题1：该函数有最大值还是有最小值？
提示：最大值．
问题2：怎样求它的最大值？问题3：能否通过基本不等式求它的最值？.. 利用均值不等式求最值时，应注意
(1)x，y一定要是正数，特别是对对数式、三角式等形式要作出正确的判断．
(2)求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值．
(3)等号是否能够成立．
以上三个条件缺一不可，可概括为“一正、二定、三相等”． [一点通]　1.在利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”是否同时具备，否则所得结果可能出错．
2．第(2)小题也可以将解析式展开，使用二次函数配方法求解． [一点通]　利用基本不等式解决此类问题的基本方法有
(1)有为1的等式时，将“1”整体代入，展开，运用基本不等式；
(2)利用条件的等式统一变形，然后配凑出利用基本不等式的条件；
(3)直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式．6．已知x，y为正实数，且xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． [例3]　(12分)(2012·临沂高二检测)
桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农
业生产形式，某研究单位打算开发一个
桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块
1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩
形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四围形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米． (1)试用x表示S；
(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
[思路点拨]　根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值． [一点通]　1.在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．8．如右图，要设计一张矩形广告，
该广告含有大小相等的左右两个
矩形栏目(即图中阴影部分)，这
两栏目的面积之和为18 000 cm2，
四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空
白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的
尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？ 1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境． 3．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．点此进入课件43张PPT。4.1
二元
一次
不等
式
（组）与平
面区
域§4
简单线性规划把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二理解教材新知考点三§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域在平面直角坐标系中，作直线x＋y－1＝0(如图)． 问题1：直线x＋y－1＝0将直角坐标平面分成几部分？
提示：三部分，即直线的两侧及直线上．
问题2：在直线上任取点P(x0，y0)，它与方程
x＋y－1＝0的关系怎样？
提示：P的坐标满足方程即x0＋y0－1＝0. 问题3：在直线l的上方取若干点(0,2)，(1,3)，(0,5)，(2,2)，把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？
提示：都满足x＋y－1＞0.
问题4：在直线l的下方取若干点(－1,0)，(0,0)，(0，－2)，(1，－1)，把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？
提示：都满足x＋y－1＜0. 1．直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成的三个部分
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足 .
(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.ax＋by＋c＝0 2．在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成 ，表示平面区域包括这一边界直线，画成 表示平面区域不包括这一边界直线．
3．二元一次不等式所表示区域的判定
在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．实线虚线ax0＋by0＋c 1．在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线ax＋by＋c＝0分成三类．
(1)在直线ax＋by＋c＝0上的点；
(2)在直线ax＋by＋c＝0上方区域内的点；
(3)在直线ax＋by＋c＝0下方区域内的点． 2．二元一次不等式表示的平面区域不是坐标平面内有限的一部分，而是一个无限区域，对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，代入ax＋by＋c之后，所得的值的符号要么全大于0，要么全小于0.
3．二元一次不等式ax＋by＋c＞0(＜0)表示的平面区域不包括边界直线，二元一次不等式ax＋by＋c≥0(≤0)表示的平面区域包括边界直线．
4．不等式组所表示的平面区域为构成不等式组的各个不等式所表示区域的公共部分． [例1]　(1)画出不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域；
(2)画出不等式3x＋2y＜0表示的平面区域．
[思路点拨]　(1)把直线3x－4y－12＝0画成实线，再取
原点(0,0)分析；
(2)把直线3x＋2y＝0画成虚线，再取点(1,0)或(0,1)分析． [精解详析]　(1)先画直线3x－4y－12＝0，取原点
(0,0)，代入3x－4y－12，得－12＜0，
所以原点在3x－4y－12＜0表示的平面区域内．
所以不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示． (2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．
因为点(1,0)在3x＋2y＞0表示的平面区域内，
所以不等式3x＋2y＜0表示的平面区域如图②阴影部分所示． [一点通]　二元一次不等式表示平面区域的判定方法
第一步：直线定界．画出直线ax＋by＝0，不等式为ax＋by＋c＞0(＜0)时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0(≤0)时画成实线； 第二步：特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点(0,0)．若原点(0,0)满足不等式， 则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0时，可取(1,0)或(0,1)作为测试点．
简记为：直线定界，特殊点定域．1．如下图，不等式3x＋y≤15表示的平面区域是(　　)解析：将点P(6,0)代入不等式，可得P不在3x＋y≤15表示的区域内，所以不等式3x＋y≤15表示的平面区域为C中阴影部分(包括边界直线)．
答案：C2．画出不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域．
解：画直线x－2y＋4＝0(画成实线)，取原点(0,0)，代
入x－2y＋4，∵0－2×0＋4＞0，
∴原点在x－2y＋4≥0表示的平面区域内．不等式x－
2y＋4≥0表示的平面区域如图所示：3．确定m的范围使点(1,2)和点(1,1)在直线y－3x－m＝0的
异侧．
解：由于直线y－3x－m＝0将平面分成三部分，在它同
一侧的区域内所有的点的坐标代入y－3x－m中符号相
同，因此要使两点在它的异侧，则代入后它们的符号
相异，由此得到关于m的不等式：(－1－m)(－2－m)＜
0，即(m＋1)(m＋2)＜0.解得－2＜m＜－1.故m的范围
为(－2，－1)． [精解详析]　不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0及左下方(包括直线)的区域．
不等式x－2y＞3表示直线x－2y－3＝0右下方(不包括直线)的区域．
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及右上方(包括直线)的区域．
所以不等式组表示的平面区域如图 [一点通]　在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分，其步骤为：①画线；②定域；③求“交”；④表示． [例3]　(12分)某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于12，已知生产一张桌子需用木材0.3方，生产一把椅子需用木材0.2方，每个工人每天能生产一张桌子或2把椅子，木材每天供应量为12方，工人人数最多时为30人，请把每天生产的桌椅数量在直角坐标系中表示出来．
[思路点拨]　设出桌椅数量x，y，把x，y的限制条件列成不等式组，作出不等式组表示的平面区域．由不等式组画出区域如图阴影部分． 每天生产的桌椅数量是图中阴影部分的整数点的横纵坐标． (12分) [一点通]　用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的两个量用字母表示，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可．6．(2012·长沙高二检测)甲、乙、丙三种食物的维生素A、
维生素D的含量如下表：某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D.请在平面直角坐标系中画出甲、乙两种食物的用量范围．甲、乙两种食物的用量范围是不等式组表示的平面区域即图中阴影部分． 1．画二元一次不等式(组)的平面区域基本方法是“直线定界，特殊点定域”，不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，边界是实线还是虚线要注意区分．
2．二元一次不等式组所表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分，这个平面区域有“开放式”的，即不能求面积，也有“封密式”的，这时可以求出平面区域的面积，要注意其形状，再选择合适的方法求面积． 3．用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要设出有关量，再根据有关量的限制条件和实际意义写出不等式，组成不等式组，最后画出平面区域．注意：在实际问题中写不等式组时，必须把所有的限制条件都表示出来，而不能遗漏任何一个．点此进入课件48张PPT。4.2
简单线性规划§4
简单线性规划把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二理解教材新知考点三§4 简单线性规划4.2 简单线性规划问题1：在平面区域中，点A、B、C的坐标分别是什么？ 问题2：对于函数z＝2x－y，当直线2x－y－z＝0经过A、B、C三点时，z的值分别为多少？
提示：直线经过A(3,8)时，z的值为2×3－8＝－2；
直线经过B(－3,2)时，z的值为2×(－3)－2＝－8；
直线经过C(3，－4)时，z的值为2×3－(－4)＝10.
问题3：当直线2x－y－z＝0经过平面区域时，z的 取值范围是什么？
提示：z∈[－8,10]．线性规划中的基本概念线性约束约束条件可行解最大值或最小值 目标函数的最优解一般在可行域的边界或顶点处取得．由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误． [思路点拨]　作出可行域，观察目标函数何时取最大值，求出最优解代入目标函数得最大值． [精解详析]　根据约束条件可作出可行域，如图所示，令z＝0，作直线l：3x－y＝0当l向下平移时，z逐渐变大，当经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax＝3×2－2＝4.
[答案]　D [一点通]　解二元线性规划问题的一般步骤是
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0
(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；
(4)答：给出正确答案．答案：A答案：C[一点通]　
1．对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的目标函数求最值的问题，可转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的最值问题．答案：D [思路点拨]　用m表示的最优解代入x＋5y＝4的方程即可求出m. [一点通]　这是线性规划的逆向应用问题，当已知目标函数的最值求参数的值时，一般用数形结合的方法，求出最优解，代入目标函数，从而建立方程，求出参数．解析：作出可行域如图，设x＋y＝9，
显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0
的交点处满足要求，解得此时x＝4，
y＝5，即点(4,5)在直线x－my＋1＝0上，代入得m＝1.
答案：C6．已知变量x、y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.
若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取最大
值，则a的取值范围是________．解析：由约束条件画出可行域(如图
所示)为矩形ABCD(包括边界)，点C
的坐标为(3,1)，∵z＝ax＋y仅在点
(3,1)处取最大值，
∴－a＜kCD.即－a＜－1.
∴a＞1.
答案：(1，＋∞) 1．线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，即线性目标函数在可行域中取得最优解，求线性目标函数z＝ax＋by的最优解用图解法，常借助于直线ax＋by＝t在坐标平面上的可行域范围内平行移动，观察直线ax＋by＝t的纵截距的大小，得z的最优解． 2．确定最优解的方法
如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解； (2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…＜kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1相交的点一般是最优解．点此进入课件38张PPT。4.3
简单线性规划的应用§4
简单线性规划把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二§4 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用 [例1]　某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？ [思路点拨]　认真理解题意，先根据对资源的限制作为约束条件，列出不等式组，写出线性目标函数，再利用图解法求解． [一点通]　解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，可借助表格．
(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品
要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A
原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5
万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在
一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超
过18吨．那么该企业可获得的最大利润是 (　　)
A．12万元　　　　　　　B．20万元
C．25万元 D．27万元答案：D2．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、
乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可
能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资
金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超
过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少
万元，才能使可能的盈利最大？ [例2]　(12分)某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车为8次，B型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况：A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？
[思路点拨]　按照题中要求列出线性约束条件目标函数．利用线性规划求解． 作直线l：160x＋252y＝0.
将l向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，得到的z的值最小，
zmin＝160×5＋252×2＝1 304(元)． (11分)
故当公司每天出动A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司的成本费用最低． (12分) [一点通]　
1．解答与最小值有关的实际问题与解决与最大值有关的实际问题的步骤相同
2．对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面方法求解
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解． (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解．3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻
近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使
用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；
每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若
每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用
为 (　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 800元答案：B4．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两种产品，
甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，
乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20
件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每
天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产
品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为
________元．答案：2 300 1．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最好；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． 2．解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要一环，故尽量作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上．
3．目标函数所对应的直线的斜率，若与可行域中的某一边界直线斜率相等，则最优解可能有无数个． 4．解线性规划应用题需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识解决，求解程序如下：(1)设出未知数，列出约束条件，确定目标函数z＝ax＋by；(2)作出可行域；(3)作出直线l0：ax＋by＝0；(4)平移l0确定最优解；(5)解相关方程组，求出最优解，从而求出目标函数的最小值或最大值．点此进入课件13张PPT。章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测核心要点归纳 一、不等关系
1．比较大小
任意两个实数a，b都能比较大小，并且a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0.2．不等式的性质二、常见不等式的解法
1．一元二次不等式的解法其中，x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且x1＜x2. 四、简单线性规划
1．二元一次不等式表示的平面区域可以用“直线定界，特殊点定域”来确定．
2．二元一次不等式组表示的平面区域，要先画出每一个不等式表示的平面区域，再确定其公共部分． 3．解决线性规划问题的一般步骤是：
(1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来．
(2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是所需要的点．
(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值和最小值．(时间90分钟，满分120分)点此进入课件45张PPT。1.1
正弦定理理解教材新知把握热点考向应用创新演练§1
正弦定理与余弦定理考点一考点三4考点二第二章
解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理提示：相等． 问题4：在一般三角形中，三角形的面积与absin C，bcsin A，acsin B相等吗？提示：都相等．对于任意三角形ABC，若a，b，c为三角形的三边
1．正弦定理它所对角的正弦 1．在△ABC中，各边与所对角的正弦的比值是同一个常数，这个常数就是三角形外接圆的直径． 3．在△ABC中，在已知下列条件下，可以根据正弦定理求出其它的边或角．
(1)已知一条边和两个角；
(2)已知两条边和其中一边的对角． [例1]　在△ABC中，已知a＝5，B＝45°，
C＝105°，求边c.
[思路点拨]　先由三角形的内角和定理求出A，再用正弦定理求边c. [一点通]　本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．本例中，把“C＝105°”改为“C＝30°”，求c.2．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，
试求c及△ABC的外接圆半径R. [例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，求B、C和c.
[思路点拨]　先利用正弦定理求角B，再利用内角和定理求解．由正弦定理求边c. [一点通]　已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以有两解、一解和无解三种情况，具体步骤是
(1)利用正弦定理求出另一边的对角的正弦；
(2)利用三角形中“大边对大角”判断解的个数；
(3)如果有解，再利用三角形内角和定理求出第三个角；
(4)利用正弦定理求出第三边． 1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，是解三角形的重要工具．利用正弦定理可以解以下两类三角形：
(1)已知两角和任一边，求未知边和角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．此类问题有多解、一解、无解的情况，需要进行讨论．2．在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：点此进入课件60张PPT。1.2
余弦定理理解教材新知把握热点考向应用创新演练§1
正弦定理与余弦定理考点一考点三4考点二第二章
解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.2 余弦定理 如图，在△ABC中，设 ＝a， ＝b，
＝c
问题1：如果C＝90°，如何求AB边的长？
提示：利用勾股定理求AB的边长． 问题2：当C≠90°时，如何用向量的数量积表示AB边的长？
提示：|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a2－2a·b＋b2＝
a2＋b2－2|a||b|cos C.
∴c2＝a2＋b2－2abcos C.
问题3：能否用同样的方法求AB、AC的长吗？结论是什么？
提示：能．结论：a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B.余弦定理其他两边平方的和这两边与它们夹角的余弦的积b2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos Ba2＋b2－2abcos C 1．余弦定理揭示了三角形的三边与一角的关系，也是解三角形的重要工具．
2．当三角形的某一内角等于90°时，余弦定理就变成了勾股定理，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广． [一点通]　
1．已知两边及夹角解三角形，方法有两种：
方法一：①利用余弦定理求出第三边；②利用正弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．
方法二：①利用余弦定理求出第三边；②利用余弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角． 2．已知两边及一边的对角解三角形，方法有两种：
法一是利用余弦定理，列出关于a的一元二次方程，从而解出a，然后用正弦定理和三角形内角和定理解出角A、C.
法二是直接利用正弦定理求出角C，进而求角A及边a.答案：B [思路点拨]　解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值． [一点通]　已知三角形三边求角可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解．用正弦定理求解时，要根据三边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．答案：D [例3]　(12分)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状．
[思路点拨]　充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断． 所以a＝b. (6分)
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab.所以4b2－c2＝3b2.
所以b＝c.所以a＝b＝c.
因此△ABC为等边三角形． (12分)法二：利用角的关系来判定．
因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin (A＋B) (2分)
又因为2cos Asin B＝sin C，
所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin (A－B)＝0. (6分)
因为A、B均为三角形的内角，所以A＝B. [一点通]　
1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，即把条件中的“边角关系”利用正弦定理或余弦定理转化为“边边关系”，进行判断；也可以从三个角的关系入手，即把条件转化为角与角的关系，结合内角和定理作出判断．
2．判断三角形形状时要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．7．若在△ABC中，acos(B＋C)＝bcos(A＋C)，则△ABC一
定是 (　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．直角三角形答案：C答案：A 1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具．
(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
(2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛． 2．根据余弦定理，可得以下结论：
①在△ABC中，设A为最大角，若a2＜b2＋c2，则0°＜A＜90°，且三角形为锐角三角形；反之，若0°＜A＜90°，则a2＜b2＋c2.
②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则三角形为直角三角形，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.
③在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则90°＜A＜180°，则三角形为钝角三角形；反之，若90°＜A＜180°，则
a2＞b2＋c2. 3．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状．在两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 点此进入课件45张PPT。把握热点考向应用创新演练§2
三角形中的几何计算考点一考点三考点二第二章
解三角形§2 三角形中的几何计算 [例1]　(2012·中山高二检测)
在△ABC中，已知B＝30°，D是BC
边上的一点，AD＝10，AC＝14，
DC＝6，
(1)求∠ADC的大小；
(2)求AB的长． [思路点拨]　(1)∠ADC是△ADC的一个内角，因为△ADC的三边均已知，可以直接应用余弦定理求解．
(2)△ABD中，由(1)求得∠ADB，又已知AD，和∠B，所以可应用正弦定理来解． [一点通]　有关角和线段的长度计算问题，可以把它们放在三角形中，通过分析三角形中的已知的边和角，选择正弦定理或余弦定理求解．2．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，
AB＝5，AC＝14，DC＝6，求AD的长． [一点通]　求三角形的面积即求三角形的两边及夹角．解题时要充分挖掘题目中的已知条件．有时要应用方程的思想和整体代换的思想解题．即a2＋b2－c2＝2absin C．又c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2＋b2－c2＝2abcos C＝2absin C，
从而tan C＝1，即C＝45°.
答案：45° [思路点拨]　解答本题可以先由正弦定理结合
a＋c＝10求出a，c，再由余弦定理求b. [一点通]　本题体现了正弦定理和余弦定理的综合应用．先是由正弦定理求a，c，再是由余弦定理求b.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系都是解三角形的重要工具，解三角形时要注意根据题目的条件合理选择．答案：C 1．正弦定理、余弦定理研究的是任意三角形中边与角之间的关系，应用它们可以解以下四种三角形：
(1)已知两边和夹角，运用余弦定理求第三边；(2)已知三边，运用余弦定理求角；(3)已知两角和其中一角的对边，运用正弦定理求另外一角的对边；(4)已知两边和其中一边的对角，运用正弦定理求另一边的对角．
对以上四种类型的三角形中，前三种可能是一解或者无解，第四类的三角形可能无解、一解或两解． 2．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．
3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等．点此进入课件41张PPT。把握热点考向应用创新演练§3
解三角形的实际应用举例考点一考点三4考点二第二章
解三角形§3 解三角形的实际应用举例 [思路点拨]　根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之间的距离．
也可以分别解几个可解三角形，依次为：解△ABC得AB，解△ACD得AD，最后解△ABD得BD. [精解详析]　在△ACD中，∠DAC ＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. [一点通]　测量不可到达的两点的距离问题，一般是把要求的距离转化为某三角形的一边，通过解三角形获得答案．答案：D [思路点拨]　很明显BC＝AC＝30 m，因此可以解△ACD，利用正弦定理建立方程求出θ，再求AE. [一点通]　
1．解决测量高度问题需要在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，与地面上的三角形形成空间图形．
2．测量高度时常出现仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；
在水平线下方的角叫俯角．4.如图，为测得河对岸塔AB的高，
先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为
60°，再由点C沿北偏东15°方向走
10米到位置D，测得∠BDC＝45°，
则塔AB的高是________米． [思路点拨]　可以画出示意图，设出时间，利用方程的思想求解． [一点通]　解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题． 6．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔
A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东
60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　)
A．北偏东10°　　　　　　B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°解析：如图，在△ABC中，
∠ACB＝80°，CA＝CB，
所以∠ABC＝50°.而∠CBD＝30°，
所以A在B的北偏西10°.
答案：B 1．解三角形应用问题的一般步骤是：
(1)审题：弄清题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称和术语，如仰角、俯角、方位角等；
(2)画图：将文字语言转化为图形语言和符号语言；
(3)建模：将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等数学知识建立相应的数学模型； (4)求模：求解数学模型，得到数学结论．演算过程要简练，计算准确；
(5)还原：把用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义作答．
2．解三角形应用题常见的两种类型：
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可根据已知条件，选择使用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，再通过解方程得出所要求的解．点此进入课件10张PPT。章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测核心要点归纳知识整合与阶段检测 (其中△ABC的三内角分别为A、B、C，对应边分别为a，b，c) 二、解三角形的主要应用类型
1．正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可求出三角形的另一个角，再由正弦定理求出另两边；二是已知两边及一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他边和角，这种情况解不唯一． 2．余弦定理有两方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两个角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两个角．四、解三角形实际问题的基本思路(时间90分钟，满分120分)点此进入
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．等差数列{an}中，若a2＋a8＝16，a4＝6，则公差d的值是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　 B．2
C．－1 D．－2
解析：∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5＝16.∴a5＝8.∴d＝a5－a4＝8－6＝2.
答案：B
2．在等比数列{an}中，已知a3＝2，a15＝8，则a9等于(　　)
A．±4 B．4
C．－4 D．16
解析：∵a9是a3和a15的等比中项，
∴a9＝±＝±4.另外注意到在等比数列中奇数项的符号相同，∴a9＝＝4.
答案：B
3．(2011·临沂高二检测)数列{an}中，对所有的正整数n都有a1·a2·a3…an＝n2，则a3＋a5＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由条件可知a3＝＝＝，
a5＝＝＝.
∴a3＋a5＝.
答案：A
4．(2011·广州高二检测)已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D.
解析：根据已知条件知(－1)－(－9)＝8＝3d
∴d＝.
∴a2－a1＝.又b＝(－9)×(－1)＝9，∴b2＝－3.
∴b2(a2－a1)＝－3×＝－8.
答案：B
5．(2011·济宁高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13的值是(　　)
A．130 B．65
C．70 D．75
解析：由a2＋a7＋a12＝30得3a7＝30，∴a7＝10.
∴S13＝＝13a7＝130.
答案：A
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，
∴a5＝－3.
∴d＝＝2.
∴a6＝－1<0，a7＝1>0.
故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，
n等于6.
答案：A
7．(2012·南通高二检测)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为(　　)
A．－110 B．－90
C．90 D．110
解析：设首项为a1，∴an＝a1＋(n－1)×(－2)．
∵a7是a3与a9的等比中项，
∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：D
8．(2011·天津高考)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为(　　)
A．－110 B．－90
C．90 D．110
解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，
所以S10＝＝5(20＋2)＝110.
答案：D
9．(2011·黄冈高二检测)已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)
A．35 B．33
C．31 D．29
解析：由条件可知即
由①得a1q3＝2.　　③
把③代入②得2＋2×2q3＝，∴q3＝.即q＝.
∴a1＝16.∴S5＝＝31.
答案：C
10．设函数f(x)满足f(n＋1)＝(n∈N＋)，且f(1)＝2，则f(20)为(　　)
A．95 B．97
C．105 D．192
解析：由条件知：f(n＋1)－f(n)＝n.
∴f(20)－f(19)＝×19，f(19)－f(18)＝×18，…f(2)－f(1)＝×1，f(1)＝2.
把以上各式相加得，
f(20)＝(1＋2＋…＋19)＋2
＝×＋2＝97.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．(2011·湖南高考)设Sn是等差数列{an}(n∈N＋)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.
解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，
所以S5＝5×1＋×2＝25.
答案：25
12．已知等差数列{an}满足：a1＝2，a3＝6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，则a3＝a1＋2d，
∴d＝2.∴an＝2n.设a1，a4，a5所加的数为x，
则(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.
答案：－11
13．设等差数列{an}中a1＋a5＋a9＝2π，则sin a5＝________
解析：由条件知，a5＝，sin a5＝sin＝.
答案：
14．(2011·山东高考改编)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
则数列{an}的通项公式为________．
解析：当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.
故an＝2·3n－1.
答案：an＝2·3n－1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2011·湖北高考改编)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
求数列{bn}的通项公式．
解：设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列．其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.
16．(本小题满分12分)(2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
，解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列{}的前n项和为Sn，
即Sn＝a1＋＋…＋，
故S1＝1，＝＋＋…＋，
所以，当n＞1时，
＝a1＋＋…＋－
＝1－(＋＋…＋)－
＝1－(1－)－＝.
所以Sn＝.
综上，数列{}的前n项和Sn＝.
17．(本小题满分12分)已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像上一点．等比数列{an}的前n项和为f(n)－c.数列{bn}(bn＞0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)∵点(1，)是函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像上一点，
∴f(1)＝a＝，f(n)＝()n.
∴等比数列{an}的前n项和为()n－c.
则当n≥2时，an＝()n－()n－1＝－.
∴{an}的公比q＝.
∴a2＝－＝a1q＝(f(1)－c)×，
解得c＝1，a1＝－.
故an＝－(n≥1)．
(2)由题设知{bn}(bn＞0)的首项b1＝c＝1，
其前n项和Sn满足Sn－Sn－1
＝＋(n≥2)，
由Sn－Sn－1＝＋?－＝1，且＝＝1.
∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，
即＝n?Sn＝n2.
∵bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
又b1＝1＝2×1－1，
故数列{bn}的通项公式为：bn＝2n－1(n≥1)．
18．(本小题满分14分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N＋)，且b1＝3，求数列{}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则
解得
∴an＝2n＋3，
Sn＝＝n(n＋4)．
(2)由bn＋1－bn＝an，
∴bn－bn－1＝an－1(n≥2，n∈N＋)．
当n≥2时，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝an－1＋an－2＋…＋a1＋b1
＝(n－1)(n－1＋4)＋3＝n(n＋2)．
对b1＝3也适合，
∴bn＝n(n＋2)(n∈N＋)．
∴＝＝(－)．
Tn＝(1－＋－＋…＋－)
＝(－－)
＝.

一、选择题
1．(2012·湖南师大附中模拟)数列－，，－，，…的一个通项公式是(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：项的符号可以用(－1)n调节，项的绝对值可写成，，，，…，∴通项公式为an＝.
答案：B
2．下列说法正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列{}的第k项是1＋
D．数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N＋)
解析：因为{1,3,5,7}表示集合，所以A不正确；而B中两数列中的项排列次序不同，故不是相同的数列；对于数列{}，ak＝＝1＋，则C正确；对于D，由an＝2n(n∈N＋)得a1＝2，a2＝4，…故D不正确．
答案：C
3．已知数列{an}的通项公式是
an＝则a2·a3＝(　　)
A． 70 B．28
C．20 D．8
解析：根据通项公式可得，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.
答案：C
4．(2012·毫州高二检测)数列0，－1,0,1,0，－1,0,1，…的一个通项公式是(　　)
A. B．cos
C．cos D．cos
解析：验证，当n＝1时，a1＝0，排除C，
当n＝2时a2＝－1排除A，D.
答案：B
二、填空题
5．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N＋)，则
(1)这个数列的第4项是________．
(2)65是这个数列的第________项．
解析：(1)a4＝42－4×4－12＝－12.
(2)令an＝n2－4n－12＝65，∴n2－4n－77＝0.
解得n＝11或n＝－7(舍)．
答案：(1)－12　(2)11
6．(2012·临沂高二检测)已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2 009＝________，a2 014＝________.
解析：a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.
答案：1　0
三、解答题
7．写出下列数列的一个通项公式：
(1)1，2，3，4，…；
(2)7,77,777，…，，…；
　　　　　　
(3)－，，－，，….
解：(1)这个数列的整数部分1,2,3，…，n，…恰好是序号n；
分数部分，，，…与序号n的关系是，所以数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(2)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为an＝10n－1，故所求数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3) 数列各项的符号正负交替，分子都是1，分母依次为1×3,2×4,3×5,4×6，…，所以可以得到数列的一个通项公式为an＝.
8．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 012；
(3)2 012是否为数列{an}中的项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，
则有
解得k＝4，b＝－2，
∴an＝4n－2.
(2)a2 012＝4×2 012－2＝8 046.
(3)设2 012＝4n－2，解得n＝?N＋，
∴2 012不是数列{an}中的项．

一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)
A．递增数列　　　　　　　　　 B．递减数列
C．先增后减的数列 D．常数列
解析：∵an＋1－an＝－
＝>0，
∴an＋1>an，∴数列{an}为递增数列．
答案：A
2．(2011·安徽高考)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝
(　　)
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋ [(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.
答案：A
3．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an，则a2 012等于 (　　)
A．－4 B．－5
C．4 D．5
解析：当任意n∈N＋时，an＋2＝an＋1－an，
∴a3＝4，a4＝－1，a5＝－5， a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
∴数列{an}是周期为6的周期数列．
∴a2 012＝a6×335＋2＝a2＝5.
答案：D
4．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an(n∈N＋)，则该函数的图像是(　　)
解析：由?f(an)＞an，此式说明了对于函数y＝f(x)图像上的任一点，(an，f(an))都有纵坐标f(an)大于横坐标an，所以函数f(x)的图像在直线y＝x的上方．
答案：A
二、填空题
5．(2012·黄冈高二检测)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则a2 012＝________.
解析：∵a1＝2，由an＋1＝得，a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，∴数列{an}为周期为4的周期数列.
∵2 012＝4×503，∴a2 012＝a4＝.
答案：
6．(2011·浙江高考)若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________.
解析：由题意得
化简得
，又因为k∈N＋，所以k＝4.
答案：4
三、解答题
7．设数列{an}的通项公式为：an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．
解：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an＋1－an>0(n∈N＋)恒成立．
又∵an＝n2＋kn(n∈N＋)，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立．
即2n＋1＋k>0.
∴k>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．
而n∈N＋时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，
∴k>－3.即k的取值范围为(－3，＋∞)．
8．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N＋)，画出它在x轴上方的图像，并根据图像求出an的最大值，并在同一坐标系中画出函数f(x)＝－2x2＋13x的图像，根据图像求出f(x)的最大值．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？
解：n＝1,2,3,4,5,6，分别代入通项公式，可得a1＝11，a2＝18，
a3＝21，a4＝20，a5＝15，a6＝6，图像如图所示，为6个点．最大值为21.
函数f(x)＝－2x2＋13x的图像如图所示(图中曲线)．
f(x)＝－2x2＋13x＝－2(x－)2＋，
所以当x＝时，f(x)max＝.
用函数来求{an}的最大值时，
因为3<<4，且3离3较近，
所以最大值为a3＝21.

一、选择题
1．(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．14
C．16 D．18
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意得由此解得
则a10＝a1＋9d＝18.
答案：D
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝(　　)
A．40 B．42
C．43 D．45
解析：法一：∵a2＋a3＝2a1＋3d＝13，
又∵a1＝2，∴d＝3.
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.
法二：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，
∴a2＝5，d＝3，a5＝a1＋4d＝14，
∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42.
答案：B
3．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是(　　)
A．－2 B．－3
C．－4 D．－5
解析：设公差为d，则a6>0且a7<0，
即解得－∵d∈Z，∴d＝－4.
答案：C
4．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为(　　)
A．7或－3 B．log37
C．log27 D．4
解析：由2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)，可得2x＝7，∴x＝log27.
答案：C
二、填空题
5．(2011·青岛高二检测)在数列{an}中， a1＝1，an＋1－an＝2，则a51的值为________．
解析：由条件知，{an}是等差数列且d＝2，
∴a51＝a1＋50d＝1＋50×2＝101.
答案：101
6．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x， b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
解析：数列x，a1，a2，y成等差数列，
∴y－x＝3(a2－a1)?a2－a1＝(y－x)．
x，b1，b2，b3，y成等差数列，
∴y－x＝4(b2－b1)?b2－b1＝(y－x)．
∴＝＝.
答案：
三、解答题
7．(2012·济宁高二检测)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2,2an＝1＋anan＋1，bn＝an－1(bn≠0)．
求证数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
证明：∵bn＝an－1，∴an＝bn＋1.
又∵2an＝1＋anan＋1，
∴2(bn＋1)＝1＋(bn＋1)(bn＋1＋1)．
化简得：bn－bn＋1＝bnbn＋1.
∵bn≠0，∴－＝1.
即－＝1(n∈N＋)．
又＝＝＝1，
∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×1＝n.∴bn＝.
∴an＝＋1＝.
8．已知在等差数列{an}中，a1(1)求此数列的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项，若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：(1)∵a3，a6是方程x2－10x＋16＝0的两个根．
∴∴或
∵a1∴a3＝2，a6＝8.
∵{an}为等差数列，设公差为d，
∴解得
∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－4.
(2)令268＝2n－4，解得n＝136，
∴268是此数列中的第136项．

一、选择题
1．(2012·日照高二检测)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．14　　　　　　　　 B．21
C．28 D．35
解析：等差数列{an}中，a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12.
∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28.
答案：C
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．7
解析：∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35.
又a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33.
∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a3＋(20－3)d＝35＋17×(－2)＝1.
答案：B
3．已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有(　　)
A．a7＋a9＞0 B．a7＋a9＜0
C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0
解析：由题意知，an＝3n－24，∴a1＝－21，d＝3.
∴a8＝－21＋3×7＝0.∴a7＋a9＝2a8＝0.
答案：C
4．(2012·鄂州高二检测)设{an}递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：由题意知，a1＋a2＋a3＝3a2＝12，
∴a2＝4.又a1a2a3＝48，
∴(4－d)×4×(4＋d)＝48，解得d＝±2，
∵{an}为等差数列且递增，∴d＝2，∴a1＝4－2＝2.
答案：B
二、填空题
5．(2012·邵东高二检测)若{an}是等差数列，且a2－a4＋a8－a12＋a14＝5，则a1＋a2＋…＋a15＝________.
解析：∵{an}是等差数列，∴a2＋a14＝a4＋a12＝2a8，
∴a8＝5.∴a1＋a2＋…＋a15＝15a8＝15×5＝75.
答案：75
6．(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析：设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d＝，a1＝，所以a5＝.
答案：
三、解答题
7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an＝1 896＋4(n－1)＝1 892＋4n(n∈N＋)．
(2)假设an＝2 012.由2 012＝1 892＋4n，得n＝30.
假设an＝2 050，则2 050＝1 892＋4n无正整数解．
即2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．
8．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)．求：
(1)x的值；
(2)通项an.
解：(1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，又因为{an}为等差数列，
所以2a2＝a1＋a3.即－3＝x2－4x＋x2－2x－3.
解得x＝0或x＝3.
(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．

一、选择题
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0　　　　　　　　　 B．a1＋a101<0
C．a1＋a101＝0 D．a51＝51
解析：S101＝a1＋a2＋…＋a101＝＝0，
∴a1＋a101＝0.
答案：C
2．(2011·东莞高二检测)已知数列{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵
∴解得d＝.
答案：D
3．(2011·蚌高二检测)已知各项为正数的等差数列{an}的前20项和为100，那么a7·a14的最大值为(　　)
A．25 B．50
C．100 D．不存在
解析：∵{an}为等差数列，∴S20＝＝10(a1＋a20)＝10(a7＋a14)＝100.∴a7＋a14＝10，设a7＝5－m，a14＝5＋m(－5答案：A
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是(　　)
A．S7C．S13>0 D．S15>0
解析：因为公差非零的等差数列具有单调性，由已知可知该等差数列{an}是递减的，且S7最大即Sn≤S7对一切n∈N＋恒成立．可见选项A错误；易知a160.选项C正确．
答案：C
二、填空题
5．(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
解析：根据已知条件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，而由等差数列性质得，a3＋a6＝a4＋a5，所以a4＋a5＝0.又a4＝1，所以a5＝－1.
答案：－1
6． (2011·天津高考)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
解得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋×(－2)＝110.
答案：110
三、解答题
7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3·S4＝(S5)2，S3与S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．
解：由已知得
即解得或
∴an＝1或an＝－n.
经验证an＝1或an＝－n均满足题意，即为所求．
8．(2011·临沂高二检测)已知等差数列{an}中，Sn为前n项和，a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项和最大，并说明理由．
解：(1)因为a3＝a1＋2d＝12，所以a1＝12－2d，
因为S12>0，S13<0，所以
即解得－＜d＜－3.
(2)由d＜0可知{an} 为一个递减数列．
因此，在1≤n≤12中，必存在一个自然数n，
使得an≥0，an＋1＜0，
此时对应的Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
由于于是a7＜0，从而a6＞0，
因此，S6最大．

一、选择题
1．(2011·江西高考)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18　　　　　　　　　　 B．20
C．22 D．24
解析：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
答案：B
2．(2011·大纲全国高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：依题意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5.
答案：D
3．(2012·大庆高二检测)已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6＋a7＋a8等于(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
解析：由题意知，S13＝＝13a7＝39，∴a7＝3.则a6＋a7＋a8＝3a7＝3×3＝9.
答案：B
4．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则等于(　　)
A．7 B.
C. D.
解析：＝＝＝＝＝.
答案：D
二、填空题
5．(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝____________.
解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，
得9×1＋d＝4×1＋d，
所以d＝－.又ak＋a4＝0，
所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0.
即k＝10.
答案：10
6．在数列{an}中，an＝4n－，Sn＝an2＋bn，n∈N＋，其中a、b为常数，则ab＝________.
解析：法一：由Sn＝an2＋bn，①
知Sn－1＝a(n－1)2＋b(n－1)(n≥2)，②
①－②，得an＝2an＋b－a.
又an＝4n－，
∴
∴a＝2，b＝－.∴ab＝－1.
法二：当n＝1时，a＋b＝a1＝.
当n＝2时，4a＋2b＝a1＋a2＝7.
解得a＝2，b＝－，∴ab＝－1.
答案：－1
三、解答题
7．在等差数列{an}中，已知a10＝23，a25＝－22，Sn为其前n项和．
(1)求Sn的表达式；
(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求T20.
解：(1)由条件可得
解得
∴an＝50＋(n－1)×(－3)＝53－3n.
∴Sn＝＝n－n2.
(2)由an<0，即53－3n<0得n>，
∴n≥18时，an<0，n≤17时， an>0.
∴T20＝|a1|＋|a2|＋…＋|a20|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－a20
＝2S17－S20
＝2× (×17－×172)－×20＋×202＝454.
8．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售， 4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．
(1)记该款服装四月份日销售与销售天数n的关系为an，求an；
(2)求四月份的总销售量；
(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销量低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？
解：(1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{an}，(n∈{1,2，…，30})
依题意，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列．
∴an＝15n－5(1≤n≤12)．
a13，a14，a15，…，a30是首项为a13＝a12－10＝165，公差为－10的等差数列．
∴an＝165＋(n－13)(－10)＝－10n＋295(13≤n≤30)．
∴an＝
(2)四月份的总销售量为
＋18×165＋＝
2 550(件)．
(3)4月1日至4月12日销售总数为
＝＝1 110<1 200.
∴4月12日前还没有流行．由－10n＋295<100得n>，
∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．


一、选择题
1．(2012·济南高二检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－2
C．2 D.
解析：由a5＝a2q3得q3＝＝＝，∴q＝.
答案：D
2．等比数列{an}的各项为正数，公比为q，若q2＝4，则的值为(　　)
A. B．±
C．2 D．±2
解析：∵q2＝4，∴q＝±2.又∵各项为正数，∴q＝2.
∴＝＝＝.
答案：A
3．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　)
A．－ 4 B．－6
C．－8 D．－10
解析：由题意知a＝a1·a4，
∴(a1＋4)2＝a1·(a1＋6)．
a＋8a1＋16＝a＋6a1，
∴2a1＋16＝0，a1＝－8.
∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.
答案：B
4．(2011·辽宁高考)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：由an·an＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1，
两式相除得，＝＝16，∴q2＝16.
∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.
答案：B
二、填空题
5．(2011·广东高考)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.
解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q＞1，∴q＝2.
答案：2
6．三个不相等的实数a，b，c成等差数列，且a，c，b成等比数列，则a∶b∶c＝________.
解析：由题意得2b＝a＋c　①，
c2＝ab　②，
由①得c＝2b－a　③，
将③代入②得a＝b(舍去)或a＝4b，
∴c＝2b－a＝2b－4b＝－2b.则a∶b∶c＝4∶1∶(－2)．
答案：4∶1∶(－2)
三、解答题
7．四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为，求其公比．
解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，
则
由①得a＝q－1，
把a＝q－1代入②并整理得
4q2＋4q－3＝0.
解得q＝或q＝－，
故所求公比为或－.
8．设{an}是公比大于1的等比数列，若a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．求数列{an}的通项公式．
解：设数列{an}的公比为q.由题意得：
把①代入②得：a1＝，
把a1＝代入①得：＋2＋2q＝7，
解得q1＝2，q2＝.
又∵q>1，∴q＝2.∴a1＝1.
∴数列{an}的通项公式为：an＝2n－1.

一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝(　　)
A．9　　　　　　　　　　　　 B．10
C．11 D．12
解析：am＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)×a3＝a＝(a1q2)5＝q10，且a11＝q10，∴m＝11.
答案：C
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝(　　)
A. B.
C. D．2
解析：等比数列中，a5a7＝a，
∴a＝4a.
即(a4q2)2＝4a.∴q4＝4.
∵q>0，∴q＝.
又a2＝1，所以a1＝＝＝.
答案：B
3．(2012·黄冈高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)
A．5 B．7
C．6 D．4
解析：∵a1a7＝a，a2a8＝a，a3a9＝a，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.
又∵an>0，∴a4a5a6＝5.
答案：A
4．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝(　　)
A．±2 B．±4
C．2 D．4
解析：∵T13＝4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，
∴q＞0.∴a8a15＝2.
答案：C
二、填空题
5．在等比数列{an}中，若an>0，a1·a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝________.
解析：在等比数列{an}中，a1a100＝a2a99＝a3a98＝…＝a50a51，
∵an>0，∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a100＝lg(a1a2…a100)＝lg(a1a100)50＝50lg 100＝100.
答案：100
6．在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．
解析：令a1＝2>0，a5＝8>0，∴a3＝＝4.
又a1a5＝a2a4＝a，∴a2a3a4＝a＝43＝64.
答案：64
三、解答题
7．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水摇匀，再倒出1升混合溶液后再填满水摇匀，如此继续下去，(1)试写出第n次操作后溶液的浓度；(2)若a＝2，则至少要操作几次才能使酒精的浓度低于10%?
解：(1)设操作n次后溶液的浓度为an.
则a1＝1－，且＝1－
∴{an}是以1－为首项，1－为公比的等比数列．an＝(1－)n即为第n次操作后溶液的浓度．
(2)当a＝2时，an＝()n＝.
由an<得2n>10，n≥4，
故至少要操作4次才能使酒精的浓度低于10%.
8．设数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，且a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，求证数列{bn}是等比数列；
(2)若cn＝，求证数列{cn}是等差数列．
证明：(1)∵Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，
∴Sn＝4an－1＋2(n≥2)．∴an＋1＝4an－4an－1.
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)，即bn＝2bn－1(n≥2)．
又S2＝4a1＋2，a1＝1，
∴a2＝3a1＋2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.
∴数列{bn}是等比数列，且首项为3，公比为2.
(2)由(1)知bn＝3×2n－1，即an＋1－2an＝3×2n－1，
∴－＝，即cn＋1－cn＝，
∴{cn}是等差数列，且首项c1＝＝，公差为.

一、选择题
1．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：由条件知q3＝＝＝－8，∴q＝－2.
又a5＝a1q4，
∴a1＝＝＝－.
∴S6＝＝＝.
答案：A
2．已知等比数列的公比为2，且前4项之和为1，则该数列的前8项之和为(　　)
A．15　　　　　　　　 B．17
C．19 D．21
解析：∵q＝2，S4＝1＝代入得a1＝，
∴S8＝＝(28－1)＝17.
答案：B
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1
C．3 D．不存在
解析：当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1，
＝＝3.
又a1＝S1＝3－a，a2＝2×3＝6，则＝.
∵{an}是等比数列，
∴＝3，得a＝1.
答案：B
4．(2011·中山高二检测)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：∵S3＝8，S6＝7，
又∵(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，
∴(7－8)2＝8(S9－S6)．∴S9－S6＝.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝.
答案：B
二、填空题
5．(2012·启东高二检测)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：S4＝＝a1，a4＝a1q3＝a1，
∴＝＝15.
答案：15
6．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝____；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝____.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2.等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝ ×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ (1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.
答案：－2　2n－1－
三、解答题
7．(2011·浙江高考改编)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N＋，试求Tn＝＋＋＋…＋.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意可知()2＝·，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.
因为d≠0.所以d＝a1＝a.故通项公式an＝na.
(2)因为a2n＝2na，
所以Tn＝(＋＋…＋)＝·＝[1－()n]．
8．(2012·烟台高二检测)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且a5＝14，a7＝20.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn(n＝1,2,3…)，Tn为数列{cn}的前n项和．求Tn.
解：(1)由bn＝2－2Sn，令n＝1，
则b1＝2－2S1，又S1＝b1，所以b1＝.
当n≥2时，由bn＝2－2Sn，
可得bn－bn－1＝－2(Sn－Sn－1)＝－2bn，即＝.
所以{bn}是以b1＝为首项，为公比的等比数列，
于是bn＝2·.
(2)数列{an}为等差数列，公差d＝(a7－a5)＝3，可得an＝3n－1.
从而cn＝an·bn＝2(3n－1)·
∴Tn＝2[2·＋5·＋8·＋…(3n－1)·]，
Tn＝2[2·＋5·＋…＋(3n－4)·＋(3n－1)·]．
∴Tn＝2[2·＋3·＋3·＋…＋3·－(3n－1)]．
Tn＝－－.

一、选择题
1．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的成本降低，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格可降为(　　)
A．2 400　　　　　　　　 B．900
C．300 D．3 600
解析：依题意得
8 100×(1－)3＝8 100×()3＝2 400(元)．
答案：A
2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A． 9 B．10
C．19 D．29
解析：1＋2＋3＋…＋n＜200，即＜200.
显然n＝19时，剩余钢管最少，此时最多用去＝190根，剩余10根．
答案：B
3．一个工厂的生产总值月平均增长率是p，那么年平均增长率为(　　)
A．(1－p)12　　　　　　　　　B．(1＋p)12
C．(1－p)12－1 D．(1＋p)12－1
解析：设第一年各月份的产值依次为a1，a2，…，a12，则第二年各月份产值依次为a1(1＋p)12，a2(1＋p)12，…，a12(1＋p)12，第一年的年产值S＝a1＋a2＋…＋a12，
第二年的年产值
S′＝a1(1＋p)12＋a2(1＋p)12＋…＋a12(1＋p)12.
年平均增长率＝＝(1＋p)12－1.
答案：D
4．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，…，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是________个．(　　)
A．2100－1 B．2100＋1
C．299－1 D．299＋1
解析：根据题意可得1个，2个，3个，4个，5个…小时后分别有3,5,9,17,33，…观察可知，3＝2＋1,5＝22＋1，9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1.所以100小时后细胞存活数为299＋1个．
答案：D
二、填空题
5．我国2005年人口约为13亿，如果每年递增0.2%，则2019年人口为________亿．(不必写出具体值)
解析：自2005年起，每年的人口数成等比数列，则2019年人口为13(1＋0.2%)14亿．
答案：13(1＋0.2%)14
6．某工厂生产一种产品，原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的件数，但实际生产中，2月份比原计划多生产了10件，3月份比原计划多生产了25件，这样三个月的产量恰成等比数列，并且3月份的产量只比原计划第一季度总产量的一半少10件，则这个厂第一季度共生产了________件这种产品．
解析：依题意知，原计划每月的产量成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d>0)．
由已知得a－d，a＋10，a＋d＋25成等比数列．
∴
解得
∴第一季度共生产了(90－10)＋(90＋10)＋(90＋10＋25)＝305件这种产品．
答案：305
三、解答题
7．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？
(参考数据：1.016≈1.062,1.015≈1.051)
解：法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则
a0＝10 000，
a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
……
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝≈1 713.
答：每月应支付1 713元．
法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝
＝a[1.016－1]×102.
由S1＝S2，得a＝≈1 713.
答：每月应支付1 713元．
8．(2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．
解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×()n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an＝
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，由于S6＝570，
故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)
＝570＋70××4×[1－()n－6]
＝780－210×()n－6，
An＝.
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，
又A8＝＝82＞80，
A9＝＝76＜80，
所以须在第9年初对M更新．

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知实数x满足x2＋x＜0，则x2，x，－x的大小关系是(　　)
A．－x＜x＜x2　　　　　 B．x＜x2＜－x
C．x2＜x＜－x D．x＜－x＜x2
解析：根据条件x2＋x＜0可知x2＜－x且－1＜x＜0，故x＜x2＜－x成立．
答案：B
2．(2012·菏泽高二检测)关于x的不等式(1＋x)(2＋x)＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜－1}　　　　　 B．{x|x＞－1，或x＜－2}
C．{x|x＜1，或x＞2} D．{x|－2＜x＜－1}
解析：由(1＋x)(2＋x)＞0得(x＋1)(x＋2)＞0，解得x＞－1或x＜－2.
答案：B
3．如图，不等式(x＋2y－2)(x－y＋1)≥0表示的平面区域是(　　)
解析：法一：原不等式等价于
或
故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成．
法二：用点(0,0)检验，排除B、D；用点(－1,1)检验排除C.
答案：A
4．(2012·皖北四市联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则a＋c的最小值是(　　)
A．2 B．4
C．4 D．2
解析：∵f(x)＝ax2＋2x＋c的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝4－4ac＝0且a＞0.
则c＝ ，c＞0，
∴c＋a＝＋a≥2.
当且仅当a＝1时等号成立．
答案：A
5．若a，b∈R，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≥ B．ab＋≥2
C.≥()2 D．a2＋b2≥a＋b
解析：选项A、B在a，b同号时才成立；而对a，b∈R，－()2＝＝≥0，从而≥()2成立；D不一定成立，如a＝b＝时D不成立．
答案：C
6．不等式＞0的解集为(　　)
A．{x|x＜－2，或x＞3}
B．{x|x＜－2，或1＜x＜3}
C．{x|－2＜x＜1，或x＞3}
D．{x|－2＜x＜1，或1＜x＜3}
解析：由＞0得(x－3)(x＋2)(x－1)＞0，由穿针引线法解得x＞3或－2＜x＜1.
答案：C
7．若函数f(x)＝(a＋b)x＋ab(a＞0，b＞0)且f(－1)＝8则f(0)的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由f(－1)＝8得－(a＋b)＋ab＝8，
∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2.
则8≤－2＋ab即，()2－2－8≥0.
解得≥4或≤－2(舍去)，故f(0)＝ab≥16.
答案：C
8．(2012·中山高二检测)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为(　　)
A．1 B．－3
C．1或－3 D．0
解析：由题意知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由阴影部分的面积为×BC×OC＝4?BC＝4，则B(2,4)，即直线kx－y＋2＝0过点(2,4)，代入可求得k＝1.
答案：A
9．(2011·大纲全国高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为(　　)
A．17 B．14
C．5 D．3
解析：在坐标平面内画出可行域，作直线l：2x＋3y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(1,1)时，相应直线在x轴上截距最小，此时z＝2x＋3y取得最小值，最小值是2×1＋3×1＝5.
答案：C
10．(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B． 80件
C．100件 D．120件
解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．若0解析：∵0∴f(x)＝x(4－3x)＝×3x(4－3x)≤[]2＝.当且仅当3x＝4－3x即x＝时取等号成立．
答案：
12．若0＜a＜1，则关于x的不等式ax2－1≤x(a－1)的解集是________．
解析：原不等式可化为(ax＋1)(x－1)≤0，
方程(ax＋1)(x－1)＝0的两根为－，1，
∵0＜a＜1，∴－＜1.
∴解集为.
答案：
13．(2011·临沂高二检测)已知则x2＋y2的最小值是________．
解析：作出可行域如图所示，x2＋y2表示平面区域内点P(x，y)到原点距离的平方，当点P在点A(1,2)的位置时，(x2＋y2)min＝12＋22＝5.
答案：5
14．(2012·济南高二检测)下列命题：
①设a，b是非零实数，若a＜b，则ab2＜a2b；　②若a＜b＜0，则＞；　③函数y＝的最小值是2；　④若x，y是正数，且＋＝1，则xy的最小值16.其中正确命题的序号是________．
解析：①中ab2－a2b＝ab(b－a)，∵a，b符号不定，
∴上式符号不定．故①错；②中在a＜b两边再乘以正数，得＞，故②正确；③中y＝＝＋≥2，但由＝得x2＋2＝1无解，故③错误；④中∵＋＝1≥2，∴xy≥16.即④正确．
答案：②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
解：∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)(－)
＝(a2－b2)＝，
又∵a＞0，b＞0，a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0，ab＞0.
∴(＋)－(a＋b)＞0.
∴＋＞a＋b.
16．(本小题满分12分)(2011·新课标高考改编)若变量x，y满足约束条件求z＝x＋2y的最小值．
解：根据
得可行域如图所示：令z＝0得l：x＋2y＝0，平移直线l至点M时z取得最小值，根据得，此时z＝4＋2×(－5)＝－6.
所以z＝x＋2y的最小值为－6.
17．(本小题满分12分)(2011·宿州高二检测)已知函数f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋c.
(1)当c＝19时，解关于a的不等式f(1)＞0.
(2)若关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，求实数a，c的值．
解：(1)由已知有：f(1)＝－3＋a(6－a)＋19＞0，
即a2－6a－16＜0，解得：－2＜a＜8.
所以不等式的解集为：(－2,8)．
(2)由关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)可知：
－1,3是关于x的方程3x2－a(6－a)x－c＝0的两个根，则有
解得：a＝3±，c＝9.
18．(本小题满分14分) (2012·杭州高二检测)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)，当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？
解：(1)当0当x≥80(x∈N＋)时，L(x)＝－(51x＋－1 450)－250＝1 200－(x＋)，
∴L(x)＝
(2)当0L(x)＝－(x－60)2＋950，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.
当x≥80，x∈N＋时，
∵L(x)＝1 200－(x＋)≤1 200－2＝1 200－200＝1 000，
∴当且仅当x＝.即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950.
综上所述，当x＝100时L(x)取得最大值1 000万元，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

一、选择题
1．若M＝(a＋7)(a＋5)，N＝(a＋6)2，则M与N的大小关系是(　　)
A．M≥N　　　　　　　　　 B．M＞N
C．M＜N D．M≤N
解析：∵M－N＝(a＋7)(a＋5)－(a＋6)2＝
a2＋12a＋35－(a2＋12a＋36)＝－1＜0，
∴M＜N.
答案：C
2．(2012·临沂高二检测)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是(　　)
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
解析：c＝0时，ac2＝bc2∴A错．a＜b＜0?＞，∴C错．∵a＜b＜0，∴＞1,0＜＜1.∴D错．只有B正确．
答案：B
3．(2011·中山高二检测)若a，b是任意实数，且a＞b则(　　)
A．a2＞b2 B.＜1
C．lg(a－b)＞0 D．()a＜ ()b
解析：∵a、b的符号不定，∴A、B均不正确．当0＜a－b＜1时，lg(a－b)＜0，C不正确；由指数函数的单调性知D正确．
答案：D
4．若0＜a＜1，c＞1，则ac＋1与a＋c的大小关系为(　　)
A．ac＋1＜a＋c B．ac＋1＞a＋c
C．ac＋1＝a＋c D．不能确定
解析：(ac＋1)－(a＋c)＝ac－a＋1－c＝a(c－1)－(c－1)＝(a－1)(c－1)，∵0＜a＜1，
c＞1，∴a－1＜0，c－1＞0，∴(a－1)(c－1)＜0.即ac＋1＜a＋c.
答案：A
二、填空题
5．一个两位数，其中个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．
解析：这个两位数可表示为10b＋a，∴10b＋a＞50.
答案：a＋10b＞50
6．若0＜α＜，－＜β＜0，则α－的取值范围是________．
解析：∵－＜β＜0，∴0＜－β＜.∴0＜－＜.
又∵0＜α＜∴0＜α－＜.
答案：(0，)
三、解答题
7．已知a，b均为正数，n∈N＋，比较(a＋b)(an＋bn)与
2(an＋1＋bn＋1)的大小．
解：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝abn＋anb－an＋1－bn＋1＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)，
∵a，b均为正数，n≥1，
于是，(1)当a＞b＞0时，(a－b)(bn－an)＜0；
(2)当b＞a＞0时，(a－b)(bn－an)＜0；
(3)当a＝b＞0时，a－b＝0，∴(a－b)(bn－an)＝0.
综上所述，(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0，
即(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
8．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．
解：依题意，方案B逐年的投入依次组成等差数列a1，a2，…，an，其中a1＝5，公差d＝10，则经n年后方案B的投入为Sn＝5n＋×10，所以，经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，用不等式表示为
5n＋×10≥500.

1．不等式x2－1＞0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)　　　　　 B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由原不等式得(x－1)(x＋1)＞0，
∴x＜－1或x＞1.
答案：D
2．(2011·福建高考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.
答案：C
3．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－，)，则a－b的值等于(　　)
A．－14　　　　　　　 B．14
C．－10 D．10
解析：由条件可知解得
∴a－b＝－12－(－2)＝－10.
答案：C
4．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|x＜0且x≠－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜1且x≠－1}
解析：(1)x≥0时，原不等式化为(1＋x)(1－x)＞0，
∴(x＋1)(x－1)＜0.
∴?0≤x＜1.
(2)x＜0时，原不等式化为(1＋x) (1＋x)＞0?(1＋x)2＞0，∴x≠－1.
∴x＜0且x≠－1.
综上，不等式的解集为{x|x＜1，且x≠－1}．
答案：D
5．(2012·凯里高二检测)x－x2＋2＞0的解集是________．
解析：原不等式可化为x2－x－2＜0，
即(x－2)(x＋1)＜0.
∴原不等式的解集为(－1,2)．
答案：(－1,2)
6．若0＜t＜1，则不等式(x－t)(x－)＜0的解集是________．
解析：∵0＜t＜1，∴＞t.
∴不等式(x－t)(x－)＜0的解集为{x|t＜x＜}．
答案：(t，)
7．解不等式－2≤3x2－5x≤2.
解：原不等式等价于3x2－5x＋2≥0，
且3x2－5x－2≤0，
方程3x2－5x＋2＝0的解为x1＝，x2＝1，
∴3x2－5x＋2≥0的解集为{x|x≤，或x≥1}．
方程3x2－5x－2＝0的解为x1＝－，x2＝2.
∴3x2－5x－2≤0的解集为{x|－≤x≤2}，
∴原不等式解集为{x|－≤x≤，或1≤x≤2}．
8．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
解：若a＝0，则原不等式等价于－x＋1＜0?x＞1.
若a＜0，则原不等式等价于(x－)(x－1)＞0?x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于(x－)(x－1)＜0.( *)
①当a＝1时，＝1，得x∈?；
②当a＞1时，＜1，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，得1＜x＜.
综上所述：当a＜0时，解集为{x|x＜，或x＞1}；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当
0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜}；当a＝1时，解集为?；当a＞1时，解集为
{x|＜x＜1}．

1．(2011·山东高考)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝(　　)
A．[1,2)　　　　　　 B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
解析：M＝{x|x2＋x－6＜0}＝{x|－3＜x＜2}，
∴M∩N＝{x|－3＜x＜2}∩{x|1≤x≤3}＝{x|1≤x＜2}．
答案：A
2．若关于x的不等式mx2－(2m－1)x＋m－1≥0的解集为?，则(　　)
A．m＜0 B．m＜－
C．－＜m＜0 D．m值不存在
解析：当m＝0时，原不等式为x－1≥0，解集为x≥1.
不合题意．当m≠0时，由题意：
不等式无解
∴m值不存在．
答案：D
3．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是(　　)
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
解析：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，
则解得0＜m＜1
答案：D
4．(2011·湘潭高二检测)在R上定义运算“?”：x?y＝x(1－y)．若存在实数x，使得不等式(x－m)?(x＋m)＞1成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－，) B．(－，)
C．(－，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：由题可知，原不等式可化为(x－m)(1－x－m)＞1，即存在x使x2－x－m2＋m＋1＜0成立，故只需Δ＝1＋4(m2－m－1)＞0，解得m＜－或m＞.
答案：D
5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
解析：由条件可知：k2×12－6k×1＋8≥0，
即k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2且k≠0.
答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
6．如果关于x的不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围是________．
解析：当k＝0，原不等式变为－＜0恒成立；
当k≠0时，
解之得－3＜k＜0，
∴－3＜k≤0.
答案：(－3,0]
7．不等式(m－2)x2＋2(m－2)x－4＜0对一切实数x都成立，求实数m的取值范围．
解：①若m－2＝0，即m＝2时．不等式可化为－4＜0，这个不等式与x无关，即对一切x∈R都成立．
②若m－2≠0，即m≠2时，不等式为一元二次不等式，由解集为R知抛物线y＝(m－2)x2＋2(m－2)x－4开口向下，且与x轴无交点，故有
即
解得－2＜m＜2.
综上所述，m的取值范围是(－2,2]
8．函数f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
解：法一：设方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0的两根分别为x1、x2(x1＜x2)，依题意，只需满足(x1－1)(x2－1)＜0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，
由根与系数的关系可得(2m＋14)＋2(m＋3)＋1＜0.
即4m＋21＜0，解得m＜－.即m的取值范围是(－∞，－)．
法二：由于函数图像的开口向上，故依题意只需f(1)＜0，
即1＋2(m＋3)＋2m＋14＜0.
即4m＋21＜0.解得m＜－，即m的取值范围是(－∞，－)．

1．(2011·江西高考)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x＜0}　　　　 B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：解－1≤2x＋1≤3得－1≤x≤1，即A＝[－1,1]，解≤0，即(x－2)x≤0且x≠0，解得0＜x≤2，即B＝(0,2]，∴A∩B＝(0,1]．
答案：B
2．(2011·日照高二检测)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则不等式＜0的解集是(　　)
A．(－，3) B．(－∞，)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(，＋∞) D．(－3，)
解析：由图可知，1和2是ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝3且＝2，∴b＝－3a，c＝2a且a＞0.
不等式＜0等价于(ax＋b)(cx＋a)＜0，
即(x－3)·(2x＋1)＜0，所以－＜x＜3.
答案：A
3．不等式＜2的解集为(　　)
A．{x|x≠－2}　　　　　　 B．R
C．? D．{x|x＜－2，或x＞2}
解析：∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，
∴原不等式可化为x2－2x－2＜2(x2＋x＋1)．
化简得x2＋4x＋4＞0，即(x＋2)2＞0.x≠－2.
答案：A
4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)，
因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．
答案：C
5．不等式≥－1的解集是________．
解析：原不等式可化为≥0
即x(x－1)≥0且x－1≠0，解得x＞1或x≤0.
答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)
6．若不等式－1＜0的解集是{x|x＜1，或x＞2}，则实数a的值为________．
解析：不等式变为<0，
等价于[(a－1)x＋1](x－1)<0，
由题意知，2是方程(a－1)x＋1＝0的根，
∴(a－1)×2＋1＝0.
即a＝.
答案：
7．解不等式：＜1.
解析：法一：(等价转化法)原不等式可化为＞0?(2x2－3x＋1)(3x2－7x＋2)＞0??
或?
即x＜或x＞2或＜x＜1
∴不等式的解集为{x|x＜，或＜x＜1，或x＞2}．
法二：穿针引线法将原不等式移项，因式分解得
＞0?(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)＞0，
在数轴上标出因式的根并画出示意图(如图)，
可得不等式的解集为
{x|x＜，或＜x＜1，或x＞2}．
8．市场上常有这样一个规律：某商品价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多，现有某杂志，若定价为每本2元，则可以发行10万本，若每本价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000本，要使总收入不低于22.4万元，则杂志的定价应是多少元？每本价格是多少时，可使总收入最高？
解：设每本售价提高0.2x元，则发行量减少5 000x本，由总收入不低于22.4万元得
(2＋0.2x)(100 000－5 000x)≥224 000，
即x2－10x＋24≤0.得4≤x≤6.
最高定价：当x＝6时，2＋0.2x＝3.2(元)；
最低定价：当x＝4时，2＋0.2x＝2.8(元)．
故定价应在2.8元到3.2元之间．
令y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)
＝－1 000(x2－10x)＋200 000
＝－1 000(x－5)2＋225 000，
则当x＝5，即定价为3元时，总收入最高．

1．(2011·陕西高考)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a＜b＜＜　　　 B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b
解析：法一：取a＝1，b＝2，则有0＜a＝1＜＝＜＝1.5＜b＝2.
法二：由已知条件及基本不等式知a＜b，＜.又＝＜1及＝＞1得a＜，＜b，从而a＜＜＜b.
答案：B
2．(2012·青岛高二检测)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D．a2＋b2≥8
解析：法一：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝4，∴可取a＝1，b＝3验证，∵＜，＋＞1，＜2,12＋32≥8，∴只有D正确．
法二：∵a2＋b2≥＝8，∴D正确．
答案：D
3．已知f(x)＝()x，a、b为正实数，A＝f()、G＝f()、H＝f()，则A、G、H的大小关系是(　　)
A．A≤G≤H B．A≤H≤G
C．G≤H≤A D．H≤G≤A
解析：∵a＞0，b＞0，
∴≥≥＝.当且仅当a＝b时等号成立．
又∵函数f(x)＝()x是减函数，∴A≤G≤H.
答案：A
4．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)
A．0 B．4
C．－4 D．－2
解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，
所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
答案：C
5．若a＞b＞c，则与的大小关系是________．
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.
∴＝≥，
当且仅当a－b＝b－c即2b＝a＋c时等号成立．
答案：≤
6．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2.
解析：ab≤＝1，当且仅当a＝b时等号成立，故①正确；(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时等号成立，得＋≤2，故②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2，当且仅当a＝b时等号成立，故③正确；＋＝(＋)＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故④正确．
答案：①③④
7．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：(－1)·(－1)(－1)≥8.
证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
(－1)(－1)(－1)≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
8．已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，求证：≥3.
证明：由x－2y＋3z＝0得y＝，
∴＝
＝.
又∵x2＋9z2≥2×3xz＝6xz当且仅当x＝3z时等号成立．
∴≥＝3.
故≥3.

1．(2012·中山高二检测)在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是(　　)
A．y＝x＋　　　　　　　 B．y＝lg x＋
C．y＝＋ D．y＝x2－2x＋3
解析：对于A：y＝x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时等号成立)；对于B：∵x＞0，
∴lg x∈R.
∴y＝lg x＋≥2或y≤－2.
；
对于C：∵y＝＋≥2(当且仅当x2＋1＝1，即x＝0时等号成立)，而x＞0，
∴y＞2；对于D：y＝(x－1)2＋2≥2(当x＝1时等号成立)．
答案：D
2．设x、y满足x＋4y＝40，且x＞0，y＞0，则lg x＋lg y的最大值是(　　)
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＝40≥2＝4.∴xy≤100.当且仅当即x＝20，y＝5时等号成立，∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.
答案：D
3．(2012·济宁高二检测)已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则xy的最大值是(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得2x＋3y＝2即x＋3y＝1，
又∵x＞0，y＞0，∴x＋3y＝1≥2，∴≤.
∴xy≤当且仅当x＝3y＝即x＝，y＝时等号成立．
答案：C
4．若对x＞0，y＞0，有(x＋2y)(＋)≥m恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．m≤8 B．m＞8
C．m＜0 D．m≤4
解析：令G＝(x＋2y)(＋)，∵x＞0，y＞0
∴G＝4＋＋≥4＋2 ＝8.
当且仅当＝即x＝2y时等号成立．
由条件知m≤Gmin＝8.
答案：A
5．用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高为________ m，宽为________ m.
解析：设窗户的宽为x，则其高为6－2x，要使阳光充足，只要面积最大，S＝x(6－2x)＝2x(3－x)≤2×[]2＝，当且仅当x＝时等号成立，这时高为3 m.
答案：3　
6．(2012·鄂州高二检测)当0解析：f(x)＝＝＋＝＋4tan x.
∵00.
∴f(x)≥2＝4.
当且仅当tan x＝时等号成立．
答案：4
7．求下列函数的最值：
(1)已知x＞0，求y＝2－x－的最大值；
(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，
∴由基本不等式，x＋≥2 ＝4.
∴y＝2－x－＝2－(x＋)≤2－4＝－2.
∴当且仅当x＝(x＞0)，即x＝2时，ymax＝－2.
(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0.
则y＝x(1－2x)＝×(2x)×(1－2x)≤()2＝×＝.
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
8．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解：设该厂应每x天购买一次面粉，则其每次的购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为
3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800
＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989.
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

1．图中阴影部分表示的平面区域满足不等式(　　)
A．2x＋y－2≥0
B．2x＋y－2≤0
C．2x－y－2≥0
D．2x－y－2≤0
解析：由截距式得直线方程为＋＝1，
即2x＋y－2＝0，把(0,0)代入2x＋y－2，
得2×0＋0－2＜0，且(0,0)不在图中平面区域内，故不等式为2x＋y－2≥0.
答案：A
2．(2012·唐山高二检测)不等式组表示的平面区域的面积为(　　)
A．7　　　　　 B．8
C．9 D．10
解析：不等式组表示的平面区域如图，点A的坐标为(3,6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S＝×3×6＝9.
答案：C
3．(2011·湖北高考)直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．
答案：B
4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则正数a的取值范围是
(　　)
A．[，＋∞) B．(0,1]
C．[1，] D．(0,1]∪[，＋∞)
解析：画出前三个不等式表示的平面区域为图中△OAB，当直线l：x＋y＝a在l0与l1之间(包括l1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l在l2的位置或从l2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形，又l在l1，l2的位置时，a的值分别为1，.
所以0＜a≤1或a≥.
答案：D
5．若点A(3,3)，B(2，－1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
解析：∵点A，B在直线两侧，∴(3＋3－a)(2－1－a)＜0.即(a－6)(a－1)＜0.解得1＜a＜6.
答案：(1,6)
6．观察如图区域，它对应的不等式组是________．
解析：由图可求三边对应的直线方程分别为x＋y－3＝0；
x－2y＝0； x－y＋1＝0，
由图知不等式组为
答案：
7．点P(a,4)在不等式3x＋y－3＞0表示的平面区域内，且到直线x－2y＋2＝0的距离等于2，求点P的坐标．
解：∵点P(a,4)在不等式3x＋y－3＞0表示的区域内，
∴3a＋4－3＞0.∴a＞－.
又∵P(a,4)到x－2y＋2＝0的距离等于2，
∴＝2.∴|a－6|＝10.
∴a＝16或－4.
又∵a＞－，∴a＝16.
∴P(16,4)．
8．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界及内部)．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)直线4x－3y－a＝0与线段BC有公共点，求a的取值范围．
解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，
x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.
原点(0,0)在区域D内，表示区域D的不等式组为
(2)∵直线4x－3y－a＝0与线段BC有公共点．
∴点B，C分别在直线4x－3y－a＝0两侧或有一点在直线上．
将B，C的坐标代入4x－3y－a，
得(14－a)(－18－a)≤0，
得a的取值范围是[－18,14]．

1．设x，y满足则z＝x＋y(　　)
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：如图所示，作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0平移至过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．
答案：B
2．(2011·安徽高考)设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为
(　　)
A．1，－1　　　　　　　　 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
解析：画出可行域如图，分析图可知当直线z＝x＋2y经过点A(0，1)，C(0，－1)时分别对应z的最大值和最小值．
答案：B
3．已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z＝kx－y当且仅当x＝，y＝时，目标函数z取最小值，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－，－)　　　 B．[－，－]
C．(－，－)　　　 D．[－，－]
解析：∵kBC＝＝－，kAC＝＝－，
∴－＜k＜－.
答案：A
4．(2012·烟台高二检测)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则ab的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，)
C．[，＋∞) D．(0，]
解析：作出可行域如图．
∵a>0，b>0.
∴当ax＋by＝z经过A时，z取得最大值．
由得A(4,6)．
∴4a＋6b＝12,2a＋3b＝6
∴ab＝×(2a)×(3b)≤×()2＝，
即ab∈(0，]．
答案：D
5．(2011·陕西高考)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
解析：设目标函数为z＝2x－y，显然直线z＝2x－y经过点A(1,1)时z最小，则2x－y的最小值为1.
答案：1
6．已知实数x，y满足若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值，
又kBC＝－1，kAB＝1，
∴－1≤a≤1.
答案：[－1,1]
7．设z＝x＋2y－4，其中x，y满足求z的最大值和最小值．
解：作出可行域(如图)，其中可行域的顶点为A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．将直线l0：x＋2y＝0平移，当直线平移到B(3,1)处时，对应直线l1的纵截距最小，此时z也取得最小值；当直线平移到C(7,9)时，对应直线l2的纵截距最大，此时z也取得最大值．将B(3,1)代入目标函数z＝x＋2y－4，可得zmin＝1；
将C(7,9)代入目标函数z＝x＋2y－4，可得zmax＝21.
所以z的最小值为1，最大值为21.
8．设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
解：画出可行域，如图阴影部分所示．
(1)x2＋y2＝u表示可行域内点P(x，y)到原点O距离的平方，由图可知，当P与C重合时，u最大，当P与O重合时，u最小，又C点坐标为(3,8)，所以
umax＝73，umin＝0.
(2)v＝表示可行域内的点(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.

一、选择题
1．有5辆载重量为6吨的汽车，4辆载重量为4吨的汽车，要运送最多的货物，设6吨的汽车x辆，4吨的汽车y辆，完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)
A．z＝6x＋4y　　　　　　 B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
解析：因为目的是要运送最多的货物，所以线性目标函数为z＝6x＋4y.
答案：A
2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝y＋2x的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：在平面直角坐标系中，画出可行域，如图中阴影部分，平移直线2x＋y＝0，当经过点(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，其最小值为4.
答案：D
3．(2011·四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝(　　)
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
则目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大为4 900元．
答案：C
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(　　)
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．
依题意得
z＝7×40x＋4×50y＝
280x＋200y，
画出可行域如图阴影部分，
联立
?
知z在A点取得最大值．
答案：B
5．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌4个，现有两种规格原料，甲规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可作文字标牌2个，绘画标牌1个，为了使总用料面积最小，则甲种规格的原料应用__________张，乙种规格的原料应用________张．
解析：设甲种规格的原料用x张，乙种规格的原料用y张，
则
用料总面积z＝3x＋2y，
可行域如图阴影部分所示，令z＝0，
得直线l：3x＋2y＝0，平移直线至点A处时，z最小，A点坐标为(2,0)．
答案：2　0
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买铁矿石A、B分别为x、y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则
目标函数z＝3x＋6y，
由，得
可行域如图中阴影部分所示：
记P(1,2)，令z＝0得l：3x＋6y＝0即x＋2y＝0，当l移至点P(1,2)时，z取到最小值15.
答案：15
7．(2012·临沂高二检测)某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3 000x＋2 000y，二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．
联立解得x＝100，y＝200.
∴点M的坐标为(100,200)．
∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)，
即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
8．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙品种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
解：设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为：
目标函数z＝2x＋3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域即可行域，如图所示．
作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，此时z＝2x＋3y取最小值．
解方程组
得M点的坐标为(5,5)．
此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)．
故两种金属板各取5张时，用料面积最省．


(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形(　　)
A．无解　　　　　　　　　 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不定
解析：∵a答案：A
2．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
解析：∵52＋62－82＝－3<0，
即AB2＋BC2－AC2<0.
∴cos ∠ABC＝<0.即∠ABC为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
答案：C
3．(2012·泰安高二检测)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝120°，则∠B等于(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．30°或150°
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝.
∴sin B＝＝＝.
∵b答案：A
4．(2012·日照高二检测)在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，若
(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠B的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，
∴2accos B·tan B＝ac.∴sin B＝.∴B＝或.
答案：D
5．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为(　　)
A. B.
C. D.
解析：S△ABC＝bcsin A＝csin 60°＝，∴c＝4.
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－2×4×cos 60°＝13.
即a＝.
答案：D
6．(2012·临沂高二检测)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A∶B＝1∶2，a∶b＝1∶，则角A的值为(　　)
A．45° B．30°
C．60° D．75°
解析：由正弦定理得＝，
∵A∶B＝1∶2，a∶b＝1∶.
∴＝＝.∴cos A＝.即A＝30°.
答案：B
7．(2011·德州高二检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝12∶8∶10，则B＝(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．不确定，与三角形的三边长有关
解析：设b＋c＝12k，c＋a＝8k，a＋b＝10k(k＞0)，由这三个式子解得：a＝3k，b＝7k， c＝5k，所以cos B＝＝－，故B＝120°.
答案：C
8．(2011·黄冈高二检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由sin C＝2sin B得c＝2b，由a2－b2＝bc得a2＝b2＋bc，结合余弦定理得b2＋c2－2bccos A＝b2＋bc，∴cos A＝＝＝.
∴A＝30°
答案：A
9．(2012·大冶高二检测)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
tan B＝，·＝，则tan B等于(　　)
A. B.－1
C．2 D．2－
解析：由·＝得accos B＝，
∴2accos B＝1.又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，∴a2－b2＋c2＝1.∴tan B＝2－.
答案：D
10．空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A、B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是(　　)
A.米 B.米
C．266米 D．266米
解析：如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，设CD＝x米，依题意知：∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，则AD＝x米，BD＝x米．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，即2662＝x2＋(x)2－2x·(x)·cos 150°＝7x2，解得x＝，故测量时气球到地面的距离是(＋1)米．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．已知△ABC的面积为6，AB＝4，∠BAC＝45°，则AC＝________.
解析：根据面积公式得
S△ABC＝AB·ACsin ∠BAC＝6.
∴×4×AC·sin 45°＝6，解得AC＝3.
答案：3
12．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
解析：因为tan A＝，所以sin A＝.
由正弦定理得＝，∴AB＝.
答案：
13．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为________．
解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.
整理得，c2＝a2＋b2－ab.
∵c2＝a2＋b2－2abcos C．∴cos C＝.即C＝.
答案：
14．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．
解析：连接BD，在△BCD中由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2×BC·CD·cos 120°＝4＋4－2×2×2×(－)＝12，
∴BD＝2，S△BCD＝×2×2×sin 120°＝.
在△ABD中，∠ABD＝90°，
∴S△ABD＝×4×2＝4.
∴S四边形＝＋4＝5.
答案：5
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2011·湖北高考改编)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cos C＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos A的值．
解：(1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×＝4.
∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C＝，
∴sin C＝＝＝.
∴sin A＝＝＝.
∵a＜c，∴A＜C.故A为锐角，
∴cos A＝＝ ＝.
16．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝45°，AC＝，cos C＝.
(1)求BC边的长；
(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．
解：(1)由cos C＝，得sin C＝.
sin A＝sin(180°－45°－C)＝(cos C＋sin C)＝.
由正弦定理知
BC＝·sin A＝·＝3.
(2)AB＝·sin C＝·＝2，
BD＝AB＝1.
由余弦定理知
CD＝
＝＝.
17．(本小题满分12分)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(提示sin 41°≈)?
解：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°＋30°＝120° .
由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°.
又AC＝10，AB＝20，得BC2＝202＋102－2×20×10×(－)＝700.∴BC＝10.
由正弦定理得，＝，
∴sin ∠ACB＝·sin ∠CAB＝×sin 120°＝.
又∠ACB为锐角，∴∠ACB≈41°.
作CM⊥BA的延长线于点M，则∠BCM＝30°＋∠ACB≈71°.
即乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援．
18．(本小题满分14分)已知△ABC的三边a，b，c和面积S，满足S＝a2－(b－c)2，且b＋c＝8.
(1)求cos A；
(2)求S的最大值．
解：(1)∵S＝a2－(b－c)2，且cos A＝，
∴bcsin A＝2bc(1－cos A)．
∴sin A＝4(1－cos A)，0<4(1－cos A)<1，
∴∵sin2 A＝16(1－cos A)2，
∴17cos2 A－32cos A＋15＝0.得cos A＝.
(2)∵sin A＝ ＝，
∴S＝bcsin A＝bc＝b(8－b)
＝[－(b－4)2＋16]≤(当b＝4时取最大值)，
∴S的最大值是.

一、选择题
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；
④在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝a∶b∶c
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：因为正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确；由正弦定理知＝＝＝2R，三角形确定，则其外接圆半径R为定值，故③正确；④显然不正确．
答案：A
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4， b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．30°
解析：根据正弦定理知＝，
∴sin B＝＝＝.
∵a>b，∴A>B.∴B＝45°.
答案：C
3．下列条件判断三角形解的情况，正确的是(　　)
A．a＝8，b＝16，A＝30°有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°有一解
C．a＝15，b＝2，A＝90°无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°有一解
解析：对于A，∵a＝bsin A＝8，有一解，
∴A选项不正确；对于B，
∵b＝18＞csin B＝10，有两解，∴B选项也不正确；
对于C，∵A＝90°且a＝15＞b＝2，
∴角B一定为锐角，有一解．∴C选项不正确；
对于D，由A＝150°且a＝30＞b＝25，
∴B角只能为锐角，一解，
∴D选项正确．
答案：D
4．(2011·浙江高考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acos A
＝bsin B，则sin Acos A＋cos2 B＝(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：根据正弦定理，知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin 2B，∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
二、填空题
5．(2012·济南高二检测)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.
解析：∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，∴B＝60°.
由正弦定理得sin A＝＝＝，
又a∴C＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C＝1.
答案：1
6．(2011·北京高考改编)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，cos A＝，则sin A＝________；a＝________.
解析：在△ABC中，∵cos A＝>0，∴A为锐角．由sin A＝，得sin A＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.
答案：　2
三、解答题
7．在△ABC中，a、b为△ABC的两边，A、B分别为边a、b的对角，且bcos A
＝acos B，试判断该三角形的形状．
解：根据正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，又已知bcos A＝acos B.
∴2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B.
即sin Acos B－cos Asin B＝0.
∴sin(A－B)＝0.
∵0∴A－B＝0.即A＝B.
∴该三角形为等腰三角形．
8．(2011·新课标高考改编)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，求△ABC的面积．
解：由正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝，
cos C＝(0°又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝
∴S△ABC＝AB×AC×sin A＝×5×7×＝.

一、选择题
1．(2012·临沂高二检测)在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则角C＝(　　)
A．30°　　　　　　　　　　 B．45°
C． 135° D．150°
解析：由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C＋ab，即cos C＝.
∴C＝45°.
答案：B
2．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos 60°，
∴a2＋c2－ac＝ac.
∴(a－c)2＝0.∴a＝c.
∵B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
答案：D
3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是(　　)
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：∵三边长的比为5∶7∶8，
∴可设三条边长分别为5t,7t,8t，令边7t所对角为θ，则cos θ＝＝，
∴θ＝60°.从而它的最大角和最小角的和是120°.
答案：B
4．(2011·重庆高考)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B．8－4
C．1 D.
解析：依题意得两式相减得ab＝.
答案：A
二、填空题
5．在△ABC中，若a＝2，b＝3，C＝60°，则sin A＝________.
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝7.∴c＝.再由正弦定理得sin A＝＝＝.
答案：
6．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋cacos B＋abcos C的值为________．
解析：由余弦定理得．
bccos A＋cacos B＋abcos C＝bc·＋ac·＋ab·
＝＝.
答案：
三、解答题
7．(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理．
解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
证明：法一：如图，
a2＝·
＝(－)·(－)
＝－2·＋
＝－2||·||cos A＋
＝b2－2bccos A＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
法二：已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，
∴a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2
＝b2cos 2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A
＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
8．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断三角形的形状．
解：法一：由＝＝＝2R，
得4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B＝
8R2·sin B·sin C·cos B·cos C，
又sin B·sin C≠0，
∴sin B·sin C＝cos B·cos C.
即cos (B＋C)＝0.
又0°故△ABC为直角三角形．
法二：将已知等式变形为
b2(1－cos 2C)＋c2(1－cos 2B)＝2bccos Bcos C，
由余弦定理得
b2＋c2－b2·()2－c2·()2
＝2bc··，
即b2＋c2＝
＝＝a2.
即b2＋c2＝a2.∴△ABC是直角三角形．

一、选择题
1．(2011·天津高考)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，
解得sin C＝.
答案：D
2．(2012·荆州高二检测)已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为(　　)
A．－ B.
C.或 D.
解析：由面积公式得S△ABC＝absin C，
∴×3×5×sin C＝.即sin C＝.
又∵a·b＝·<0，
∴∠C为钝角，所以C＝.
答案：D
3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC外接圆的直径为(　　)
A．4 B． 6
C．5 D．6
解析：S△ABC＝acsin B＝×1×c·sin 45°＝c，
又∵S△ABC＝2，∴c＝4.
∴b2＝a2＋c2－2accos 45°
＝1＋(4)2－2×1×4×＝25.
即b＝5.所以△ABC的外接圆直径2R＝＝5.
答案：C
4．(2011·湖北八校联考)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(1,2)
解析：由正弦定理得＝，
则a＝＝2sin A
∵满足条件的△ABC有两个，
∴60°则答案：C
二、填空题
5．(2011·福建高考)若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．
解析：由正弦定理可知：S△ABC＝BC×CA×sin 60°＝ ，又因为BC＝2，所以CA＝2.即BC＝CA，又∠ACB＝60°，所以三角形ABC是正三角形，所以AB＝2.
答案：2
6．(2012·南京高二检测)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若n⊥m，且acos B＋bcos A＝csin C，则角B＝________.
解析：∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0.
∴tan A＝.即A＝.
由acos B＋bcos A＝csin C及正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C.
∴sin(A＋B)＝sin C＝sin2C.
则sin C＝1，∴C＝.∴B＝π－－＝.
答案：
三、解答题
7．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解：在△BAD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos ∠BDA，
即142＝x2＋102－2×10xcos 60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
在△BCD中，由正弦定理得
＝，
∴BC＝·sin 30°＝8.
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2sin2C＝3cos C，c＝，又△ABC的面积为，求：
(1)角C的大小；
(2)a＋b的值．
解：(1)由已知得2(1－cos2C)＝3cos C，
∴cos C＝或cos C＝－2(舍去)．
∴在△ABC中C＝60°.
(2)∵S△ABC＝absin C＝，
∴absin 60°＝.∴ab＝6.
又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴()2＝a2＋b2－2abcos C.
∴a2＋b2－ab＝7.
∴(a＋b)2－3ab＝7.
∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.

一、选择题
1．甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为千米，那么这时甲走的距离是(　　)
A．2千米　　　 B．2千米
C.千米 D．1千米
解析：设甲走的距离为x千米，
则由余弦定理得()2＝x2＋22－4xcos 60°
整理得x2－2x＋1＝0.解得x＝1(千米)．
答案：D
2．(2012·中山高二检测)某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　)
A．100 m B．100 m
C．50(＋) m D．200 m
解析：如图，∠BAC＝75°－30°＝45°.在△ABC中，AC＝100 m，由正弦定理得 ＝.
∴BC＝＝＝100 m.
答案：A
3．(2012·洛阳高二检测)如图在O点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan ∠OPQ＝(　　)
A. B.
C. D．1
解析：由题意知PQ＝QR，设其长为1，则PR＝2.
在△OPR中，由正弦定理得＝，在△OQR中，由正弦定理得＝，
则tan ∠OPQ＝＝＝.
答案：C
4.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　)
A. B．2－
C.－1 D.
解析：在△ABC中，BC＝＝
＝50(－)，
在△BCD中，
sin ∠BDC＝＝
＝－1，
由图知cos θ＝sin ∠ADE＝sin ∠BDC＝－1.
答案：C
二、填空题
5．(2012·诸诚高二检测)在高200米的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为________．
解析：如图，山高CD＝200，∠DCB＝30°，在Rt△BCD中
CB＝＝
在△ABC中，∠ACB＝30°，
∠BAC＝120°.
由正弦定理得＝
AB＝＝.
答案：
6．我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________．
解析：如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为v海里/小时，
则在△ABC中，
AC＝10×2＝20(海里)，
AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784.
所以BC＝28(海里)．
所以v＝14(海里/小时)．
答案：14海里/小时
三、解答题
7．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
解：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
则DF＝
＝＝10 m，
DE＝＝＝130 m，
EF＝＝＝150 m.
在△DEF中，由余弦定理，得
cos ∠DEF＝
＝＝.
8.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝
＝＝＝10(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
＝30°＋(90°－60°)
＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC
＝300＋1200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
即救援船到达D点需要1小时．
课件77张PPT。考点一考点二考点三考点四高
考
六
大
高
频
考
点
例
析考点五考点六高考六大高频考点例析 [例1]　(2011·重庆高考)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.1．(2011·四川高考)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，
aa＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝ (　　)
A．3×44　　　　　　　　B．3×44＋1
C．43 D．43＋1
解析：由an＋1＝3Sn?Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，
又S1＝a1＝1，可知Sn＝4n－1，于是a6＝S6－S5＝
45－44＝3×44.
答案：A答案：C3．(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．
解得d＝2(∵d＞0)．
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3.
∴bn＝3·3n－2＝3n－1. [例4]　(2011·山东高考)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，
N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝ (　　)
A．[1,2)　　　　　　B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
[解析]　集合M＝(－3,2)，M∩N＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．
[答案]　A8．(2012·合肥高二检测)已知集合M＝{x|x2<4}，N＝
{x|x2－2x－3<0}，则集合M∩N等于 (　　)
A．{x|x<－2} B．{x|x>3}
C．{x|－1解x2－2x－3<0得－1∴M∩N＝(－2,2)∩(－1,3)＝(－1,2)．
答案：C9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b.12．(如图)某村计划建造一个室内面
积为800 m2的矩形蔬菜温室，在
温室内沿左右两侧与后墙内侧各
保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保
留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬
菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解析：x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，平移直线l0：x－2y＝0移至过点A(3,6)时，目标函数
z＝x－2y取得最小值－9.
答案：－9答案：B15．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位
的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个
单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合
物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿
童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42
个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午
餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营
养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单
位的午餐和晚餐？z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，
zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移．由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．模块综合检测
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