人教A版（2019）必修第二册8.2立体图形的直观图 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
2．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
3．一个菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（ ）.
A． B． C． D．
4．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．12 C． D．
5．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
7．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形
9．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．1
10．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．2 B． C． D．4
12．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是个边长为2的正方形，则原平面四边形OABC的面积为_______.
14．如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形的面积为___________.
15．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
16．水平放置的矩形，，，则其直观图的面积为___________.
三、解答题
17．如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积分别为，的两部分，那么等于多少
18．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，，，能否判断的形状并求边的实际长度是多少？
19．用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)
20．画出图中水平放置的四边形的直观图.
21．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.
（1）三角形的直观图还是三角形；
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；
（3）正方形的直观图还是正方形；
（4）菱形的直观图还是菱形.
参考答案：
1．B
由题设条件求出建成时的高度，从而得出答案.
【详解】
，（米）
故选：B
2．C
由斜二测画法的直观图，还原原图形为直角梯形，从而即可计算原图形的面积.
【详解】
解：因为，，，，
所以由斜二测画法的直观图知可，
所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如图：
所以，，，，，
所以梯形的面积为．
故选：C．
3．C
根据斜二测画法的规则，求出对角线的长度，根据图形，求直观图的面积.
【详解】
由条件可知，较长的对角线的长度是，
较短的对角线的长度是，
根据斜二测画法的规则可知，，，菱形直观图的面积
故选：C
4．A
根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.
【详解】
由题设，则原四边形中，又，
故，且，
所以四边形的周长为.
故选：A
5．B
根据斜二测画法可得原图形为直角三角形，运算即可得解.
【详解】
根据斜二测画法可得原图形为如图所示，
因为是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得为直角三角形，
，，，
所以原平面图形的面积是.
故选：B.
6．D
先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
7．D
根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积．
【详解】
由三视图知原几何图形是直角梯形，如图，
，
面积为．
故选：D．
8．B
根据斜二测直观图的画法判断．
【详解】
在轴上，在轴，因此，在原图形中，，三角形为等边三角形．
故选：B．
9．A
如图截面为，P为MN的中点，设，，进而可得面积最大值.
【详解】
如图所示，截面为，P为MN的中点，设
,
当时，，此时截面面积最大.
故选：A
易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.
10．D
根据斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式即可得出答案.
【详解】
解：斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式
所以
故选：D
11．C
由三视图得出该四棱锥为正四棱锥，再结合勾股定理得出答案.
【详解】
由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥，正方形底面的边长为
侧棱长为，即最长棱的长度为
故选：C
12．C
设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果.
【详解】
设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为，
由正弦定理可得，，
又，所以，为等边三角形，则，
因此，、两点间的球面距离为.
故选：C.
思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算.
13．
根据原图形与斜二测画法直观图之间的关系，还原原图形即可求解.
【详解】
，
还原回原图形后，
，
原图形的面积为
故答案为：
14．
根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．
【详解】
根据直观图与原图的面积比值为定值，可得平面图形的面积为.
故答案为：.
15．.
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】
由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．
本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.
16．
作出矩形的斜二测直观图，结合平行四边形的面积公式可求得结果.
【详解】
利用斜二测画法作出直观图，如图所示，产生平行四边形，
其中，，，
过点作于，则，
则.
故答案为：.
17．
如图，分别延长到，到，到，且，，，根据体积的大小关系得到答案.
【详解】
如图，分别延长到，到，到，且，，，连接，，，则得到三棱柱，且.
延长，，则与相交于点.
因为，所以.
连接，，则，所以，故
本题考查了组合体的体积比，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18．答案见解析
由斜二测画法规则知：，从而易得边的实际长度．
【详解】
根据斜二测画法规则知：，故为直角三角形，
中，，，故.
结论点睛：(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与轴、轴平行的直线或线段.平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段还原时长度变为原来的倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可；
(2)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解；
(3)原图的面积与直观图的面积之间的关系为.
19．答案见解析﹒
根据斜二测画法作图即可.
【详解】
①如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G；
②如图(2)，作坐标系，轴和轴夹角为45°，在轴上取点，使得：与重合，，，；
③如图(2)，在轴上取点，使得：，，；
④如图(2)，过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于；过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于；
⑤如图(2)，依次连接、、、即可完成作图．
20．图见解析.
在四边形中，过作出轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.
【详解】
由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示：
21．（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题.
根据三角形、平行四边形、正方形、菱形的直观图的性质，判断出命题的真假性.
【详解】
（1）三角形的直观图还是三角形，为真命题.
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形，为真命题.
（3）正方形的直观图，边长不全相等，不是正方形，所以命题为假命题.
（4）菱形的直观图，边长不全相等，不是菱形，所以命题为假命题.
本小题主要考查斜二测画法，属于基础题.