【三维设计】高中数学苏教版必修五 配套课件应用创新演练阶段质量检测（47份）

模块综合检测
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上)
1．在△ABC中，a，b，c所对的角分别为A、B、C，若a＝2，A＝，B＝，则b等于________．
解析：由正弦定理＝得b＝＝＝
答案：
2．(2012·曲阜师大附中月考)已知等比数列{an}的公比q为正数，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝________.
解析：∵a5·a7＝4a，
∴a＝4a.
∴a·q4＝4a.
∵a4≠0，∴q4＝4.
又∵q＞0，∴q＝.
∴a1＝＝.
答案：
3．等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3等于________．
解析：∵{an}是等差数列且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，
∴5a3＝20，∴a3＝4.
答案：4
4．函数y＝log2(x＋＋5)(x>1)的最小值为________．
解析：∵x>1，
∴x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝8.
当且仅当x－1＝即x＝2时取等号．
∴y＝log2(x＋＋5)≥log28＝3.
∴y＝log2(x＋＋5)(x>1)的最小值为3.
答案：3
5．(2011·扬州高三期中)已知△ABC的面积为30，内角A、B、C所对边分别为a，b，c，cosA＝.若c－b＝1，则a的值是________．
解析：∵cosA＝，∴sinA＝＝，
∴bc·sinA＝bc×＝30.
∴bc＝156.
∵c－b＝1.
∴c2－2bc＋b2＝1.
∴c2＋b2＝1＋2bc＝313.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴a2＝313－2×156×＝25.
∴a＝5.
答案：5
6．(2011·合肥一中高二期中)设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程
4x2－8x＋3＝0的两个根，则a6＋a7＝________.
解析：由4x2－8x＋3＝0得x1＝，x2＝.
∵q>1，
∴a4＝，a5＝.
∴q＝＝3.
∴a4、a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，∴a4＋a5＝2.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2
＝2·32＝18.
答案：18
7．(2011·东城区模拟)已知实数x，y满足，则目标函数z＝x＋2y的最小值为________．
解析：作出.所表示的平面区域如图，A(3,8)，B(－，)，C(3，－3)利用平移法可知直线经过点(3，－3)时zmin＝3－6＝－3
答案：－3
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝2，则的值为________．
解析：＝＝
＝＝
答案：
9．(2011·葫芦岛模拟)在△ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c，成等比数列，且c＝2a，则cosB＝________.
解析：由已知得b2＝ac.
由余弦定理得，
cosB＝＝＝＝.
答案：
10．(2011·上海高二检测)已知ax2＋2x＋c>0的解集为{x|－1解析：由已知得－1, 3是方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，则
解得
∴a·c＝－3.
答案：－3
11．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形解的个数为________．
解析：∵a∴B为钝角矛盾，故无解．
答案：0
12．某种产品平均每三年降低价格，目前售价640元，则9年后此产品价格为________元．
解析：由题意知9年后的价格为640×(1－)3＝270(元)
答案：270
13．(2011·苏北四市模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则
＋的最小值为________．
解析：∵二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域[0，＋∞)，
∴a>0，且＝0.
∴ac＝，∴c>0.
∴＋＝＋＋＋
≥2＋2
＝2＋8＝10.
当且仅当a＝c时取等号．
答案：10
14．(2012·潍坊联考)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，∴9S3＝S6.
∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6.
∴＝q3＝8.
∴q＝2，∴an＝2n－1.
∴＝()n－1.
∴数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故数列{}的前5项和为＝.
答案：
二、解答题(本大题共有6个小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)(2012·浙江省杭州高中月考)已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn＝－an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，
Tn＝＋＋…＋，求T2 012.
解：(1)当n＝1时，a1＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
又Sn＝－an，
∴an＝an－1.
即数列{an}是首项为，
公比为的等比数列，故an＝()n.
(2)由已知得
f(an)＝log3()n＝－n
∴bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)
＝－1－2－3－…－n＝－
∴＝－2(－)
∴Tn＝－2[1－＋－＋…＋－]
＝－2(1－).
所以T2 012＝－.
16．(本小题满分14分)(2011·盐城模拟)在△ABC中，角A、B、C的所对应边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sinC＝2sinA.
(1)求c的值；
(2)求sin(2A－)的值．
解：(1)根据正弦定理，＝，
所以c＝·a＝2a＝2.
(2)根据余弦定理，得cosA＝＝.
于是sinA＝＝，
从而sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝cos2A－sin2A＝.
所以sin(2A－)＝sin2Acos－cos2Asin＝.
17．(本小题满分14分)已知数列{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn＝2bn－1.
(1)求{an}、{bn}的通项公式；
(2)若cn＝anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)∵{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13，设公差为d.
∴，解得
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*).
在{bn}中，∵Sn＝2bn－1，
当n＝1时，b1＝2b1－1，∴b1＝1.
当n≥2时，由Sn＝2bn－1及Sn－1＝2bn－1－1可得
bn＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1.
∴{bn}是首项为1公比为2的等比数列．
∴bn＝2n－1(n∈N*).
(2)cn＝anbn＝(2n－1)·2n－1
Tn＝1＋3·2＋5·22＋…＋(2n－1)·2n－1 ①
2Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋ (2n－1)·2n ②
①－②得－Tn＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n－1－(2n－1)·2n
＝1＋2·－(2n－1)·2n
＝1＋4(2n－1－1)－(2n－1)·2n
＝－3－(2n－3)·2n
∴Tn＝(2n－3)n＋3(n∈N*)
18．(本小题满分16分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600 吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000.
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
19．(本小题满分16分)在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a2－c2＝b2－，a＝3，△ABC的面积为6，D为△ABC内(不包括三角形的边)任一点，点D到三边距离之和为d.
(1)求角A的正弦值；
(2)求边b、c;
(3)求d的取值范围．
解：(1)a2－c2＝b2－?＝?cosA＝?sinA＝.
(2)∵S△ABC＝bcsinA＝bc·＝6.
∴bc＝20.
由＝及bc＝20与a＝3解得b＝4，c＝5或b＝5，c＝4.
(3)设点D到三边的距离分别为x、y、z，
则S△ABC
＝(3x＋4y＋5z)＝6，d＝x＋y＋z
＝＋(2x＋y)，
又x、y满足
画出不等式表示的平面区域得20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2＋a2x＋2b－a3，当x∈(－2,6)时，其值为正，而当x∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负．
(1)求实数a，b的值及函数f(x)的解析式；
(2)设F(x)＝－f(x)＋4(k＋1)x＋2(6k－1)，问k取何值时，函数F(x)的值恒为负值？
解：(1)由题意可知－2和6是方程f(x)＝0的两根，
∴
∴
∴f(x)＝－4x2＋16x＋48.
(2)F(x)＝－(－4x2＋16x＋48)＋4(k＋1)x＋2(6k－1)＝kx2＋4x－2.
当k＝0时，F(x)＝4x－2不恒为负值；
当k≠0时，若F(x)的值恒为负值，
则有，解得k<－2.
课件51张PPT。跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证高考七大高频考点例析考点六考点五考点四考点三考点二考点一考点七第2部分模块综合检测[考题印证]A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台[解析]　∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
∴EH∥B1C1.
∴EH∥平面BCGF.
∵FG?平面BCGF，∴EH∥FG, 故A对．
∵B1C1⊥平面A1B1BA，EF?平面A1B1BA，
∴B1C1⊥EF.则EH⊥EF.
由上面的分析知，四边形EFGH为平行四边形，
故它也是矩形，故B对．
由EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C对．
[答案]　D点击下图片进入“跟踪演练”[考题印证] [例2]　(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[答案]　C [例3]　(2011·广东高考)如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为(　　)[答案]　C点击下图片进入“跟踪演练”[考题印证]点击下图片进入“跟踪演练”[考题印证] [例6]　(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l2
B．l1⊥l2，l1∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 [解析]　若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对．虽然l1∥l2∥l3，或l1，l2，l3共点，但是l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确．
[答案]　B [例7]　(2011·山东高考)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：CC1∥平面A1BD.点击下图片进入“跟踪演练”[考题印证] [例7]　(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.[答案]　1点击下图片进入“跟踪演练”[考题印证] [例8]　(2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．[答案]　(x－2)2＋y2＝10 [例9]　(2011·福建高考改编)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．点击下图片进入“跟踪演练”[考题印证][答案]　C [例11]　(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为______．[答案]　2x－y＝0点击下图片进入“跟踪演练”点击下图片进入“模块综合检测”课件30张PPT。习
题
课
等
差
数
列
与
等
比
数
列把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三习题课 等差数列与等比数列 [例1]　已知数列{an}是首项a1＝4、公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．
(1)求公比q的值；
(2)设An＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn，求An.
[思路点拨]　利用等比数列、等差数列的通项公式及等差中项求出q，进而利用前n项和公式，求得An. [一点通]　等差、等比数列中涉及的量有a1，an，Sn，n，d(q)，这五个量，知三求二，多用方程或方程组求解．1．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b
成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.答案：－4答案：313．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且
S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列S1，S2，S4的公比；
(2)若S2＝4，求{an}的通项公式． [例2]　(2011·沈阳高二检测)(1)等差数列{an}中，a3＋a5＝12，前6项和为30，则a2＝________；
(2)在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a2a10＝4，则a4＋a8＝________.
[思路点拨]　利用等差、等比数列的性质结合通项公式及前n项和公式求得．[精解详析]　(1)由a3＋a5＝12得a4＝6.
∵S6＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)＝30，
∴a3＋a4＝10，∴a3＝4，则d＝a4－a3＝2.
∴a2＝a3－d＝4－2＝2.
[答案]　2

[答案]　7 [一点通]　等差、等比数列的性质为我们解决数列计算问题提供了方便，在解决有关问题时，要灵活运用性质，提高做题速度和准确度．4．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比
数列，则三内角所成等差数列的公差等于________．答案：06．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，
a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. [一点通]　解决等差、等比数列的综合问题，关键是将已知转化成基本量问题，同时活用性质，注意方程思想、分类讨论思想及整体思想的应用．7．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数
列，则a3＋a4＋a5＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则
4a2＝4a1＋a3即
4a1q＝4a1＋a1q2，
∴q2－4q＋4＝0.
∴(q－2)2＝0.
∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝3×22＋3×23＋3×24
＝3×28＝84.
答案：848．{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比
数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn等于________．
解析：{an}是公差不为零的等差数列，
设首项为a1，公差为d.
又∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，
∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)(a1＋14d)．9．设数列{an}的前n项和为Sn，已知：a1＝2，Sn＝
an＋2n－2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由Sn＝an＋2n－2 ①
知Sn－1＝an－1＋2n－1－2 ②
①－②得：an＝an－an－1＋2n－1
即an－1＝2n－1(n≥2，且n∈N*) 等差、等比数列的综合问题涉及的数学思想方法很多，其中主要有：
(1)方程的思想，这两种数列的五个量a1，n，q(d)，Sn，an，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q(d)．
(2)有时也涉及数形结合思想与函数思想，如等差数列前n项和在公差d≠0前提下是关于n的二次函数．等比数列的前n
项和在q≠1的条件下与指数函数有关．
(3)分类思想在等比数列求和及应用时常涉及，要分q＝1与q≠1讨论，此处是常考点也是易错点． 点此进入
一、填空题
1．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，则A＝________.
解：由＝，得
sinA＝＝＝.
∵a>b，
∴A＝60°或120°.
答案： 60°或120°
2．(2012·淮阳中学高二期中)在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝________.
解析：∵A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴A＝，B＝，c＝.
由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
＝∶∶1＝1∶∶2.
答案：1∶∶2
3．在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________.
解析：由＝，得
a＝·b＝·b＝b.
又∵a＋b＝12，∴a＝36－12.
答案：36－12 
4．在△ABC中，已知b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
解析：∵＝.∴＝，
即＝.
整理，得sinA＝ cosA，即tanA＝.∴A＝30°.
答案：30°
5．(2012·宁波十校联考)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且
acosB－bcosA＝c.则的值为________．
解析：由正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，
即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)，
所以sinAcosB－sinBcosA＝sinAcosB＋sinBcosA，
∴sinAcosB＝sinBcosA，则＝＝4.
答案：4
二、解答题
6．已知△ABC中，三内角的正弦之比为4∶5∶6，又知周长为，求三边长．
解：由＝＝及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，得
a∶b∶c＝4∶5∶6，
∴设a＝4k，b＝5k，c＝6k.
则有4k＋5k＋6k＝，
∴k＝.
故三边长分别为2、、3.
7．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求b和B、C.
解：∵＝，
∴sinC＝＝＝.
∵csinA∴当C＝60°时，B＝75°，
b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
8．(2012·深圳调研)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝4，
C＝2A，cosA＝.
(1)求sinB；
(2)求b的长．
解：(1)∵A、C为△ABC的内角，cosA＝，
∴sinA＝.又∵C＝2A，
∴sinC＝sin2A＝2sinAcosA＝，
cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝.
∴sinB＝sin(A＋C)
＝sinAcosC＋sinCcosA
＝×＋×＝.
(2)由＝可得：
b＝a×＝4×＝5.

一、填空题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则
c＝________.
解析：由正弦定理＝，可得＝，
∴sinB＝，故B＝30°或150°.
由a>b，得A>B，∴B＝30°.
故C＝90，由勾股定理得c＝2.
答案：2
2．(2012·泉州高二检测)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
a＝4bsinA，则cosB＝________.
解析：∵a＝4bsinA，由正弦定理知sinA＝4sinBsinA，∴sinB＝，cosB＝＝＝.
答案：
3．(2012·烟台高二检测)在△ABC中，最大边长是最小边长的2倍，且2·＝||·||，则此三角形的形状是________．
解析：∵2·＝||·||，
∴cosA＝，∴A＝.
∴a边不是最大边也不是最小边，不妨设b则2b＝c，
由正弦定理2sinB＝sinC，
∴2sinB＝sin(－B)，
∴2sinB＝cosB＋sinB，
∴tanB＝，∴B＝，C＝.
∴此三角形为直角三角形．
答案：直角三角形
4．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形 的面积为________．
解析：∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，
∴S△ABC＝absinC＝abc＝×16＝.
答案：
5．已知A、B两岛相距10 n mile，从A岛看B、C两岛的视角是60°，从B岛看A、C两岛的视角是75°，则B、C两岛的距离为________ n mile.
解析：如图所示：
易知C＝45°，
由正弦定理得＝，
∴BC＝＝5.
答案：5
二、解答题
6．在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，求△ABC的面积．
解：由正弦定理
∵＝，
∴sinC＝·sin30°＝.
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝×1×＝.
当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝×1××sin30°＝.
综上，△ABC的面积为或.
7.我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．
解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6 000，∠ACD＝45°，根据正弦定理，有AD＝＝CD.
同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6 000，
∠BCD＝30°，
根据正弦定理，有BD＝＝CD.
又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°.
根据勾股定理，有
AB＝＝CD＝CD＝1 000 ，
所以炮兵阵地到目标的距离为1 000  m.
8．在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
解：由已知得
a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]
∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
由正弦定理得
sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.
∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0.
∵sinA≠0，sinB≠0，
∴sinAcosA＝sinBcosB.
即sin2A＝sin2B.
由0＜2A,2B＜2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

一、填空题
1．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于________．
解析：∵a2＝b2＋c2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝－bc.
由余弦定理得
cosA＝＝－.
∵0∴A＝.
答案：
2．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
解析：由余弦定理
c2＝a2＋b2－2abcosC得，
3＝a2＋1－2a×1×cos ，
即a2＋a－2＝0.
解之得a＝－2(舍去)或a＝1.
∴a＝1.
答案：1
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若S△ABC＝，则角C的大小为________．
解析：S△ABC＝ab sinC，
∴absinC＝.
∴sinC＝＝cos C.
∴tan C＝1，∴c＝45°.
答案：45°
4．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是________．
解析：∵a是最大的边，∴A＞.∵a2＜b2＋c2，
∴cosA＝＞0，∴A＜，故＜A＜.
答案：＜A＜
5．(2011·厦门模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若c·cosB＝b·cosC，且cosA＝，则sinB等于________．
解析：由c·cosB＝b·cosC，可以得到B＝C，进而得到b＝c.因为cosA＝，故由余弦定理可得3a2＝2b2，再由余弦定理求得cosB＝，故sinB＝.
答案：
二、解答题
6．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去)．
∴cosC＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcosC
＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋bc，求：
(1)A 的大小；
(2) 2sin BcosC－sin(B－C)的值．
解：(1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝＝＝，
所以A＝.
(2)2sinBcosC－sin(B－C)
＝2sinBcosC－(sinBcosC－cosBsinC)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝sin(B＋C)
＝sin(π－A)
＝sinA＝.
8．(2011·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.
(1)求sinC的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
解：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，即
sin(2cos＋1)＝2sin2，
由sin≠0得2cos＋1＝2sin，
即sin－cos＝，
两边平方整理得：sinC＝.
(2)由sin－cos＝＞0得<<，
即由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，
所以c＝＋1.

一、填空题
1．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则＋＝________.
解析：∵∠C＝60°，
∴根据余弦定理a2＋b2＝c2＋ab.
则＋＝＝
＝＝＝1.
答案：1
2．在△ABC中，a、b、c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：∵a＝2bcosC，∴cosC＝.
∴cosC＝＝化简得b＝c.
∴△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
3．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，经测量，∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为______ km.
解析：AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°
∴AC＝10.
答案：10
4．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且
sinB＝4cosAsinC，则b＝________.
解析：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.
又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①
由正弦定理得＝，又由已知得＝4cosA，
所以b＝4ccos A．②
由①②解得b＝4.
答案：4
5．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD.
AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________.
解析：
用余弦定理求得：
AB2＝BD2＋AD2－2AD·BDcos135°，
AC2＝CD2＋AD2－2AD·CDcos45°，
即AB2＝BD2＋2＋2BD, ①
AC2＝CD2＋2－2CD, ②
又BC＝3BD，
∴CD＝2BD.
∴AC2＝4BD2＋2－4BD. ③
又AC＝AB，
∴由③得2AB2＝4BD2＋2－4BD. ④
④－2×①得，
BD2－4BD－1＝0.
∴BD＝2＋.
答案：2＋
二、解答题
6.在△ABC中，AB＝2，AC＝4，过线段CB的中点E作垂直平分线交线段AC于点D，DA－DB＝1，求BC的长及cos∠ACB的值．
解：∵DB＝DC，DA－DB＝1，
∴DA－DC＝1. ①
又∵DA＋DC＝AC＝4， ②
由①②得DA＝2.5，DC＝DB＝1.5，
在△ABD中，由余弦定理可得
cosA＝＝＝.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA
＝22＋42－2×2×4×＝.
∴BC＝.
在Rt△CDE中，cos∠ACB＝＝＝.
7．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．
解：设甲沿直线与乙船同时到C点，
则A、B、C构成一个△ABC，
如图，设乙船速度为v，
则甲船速度为v，到达C处用时为t.
由题意BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，
∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.
∴2v2t2－avt－a2＝0，
解得vt＝－(舍)或vt＝a.
∴BC＝a，
在△ABC中AB＝BC＝a，
∴∠BAC＝∠ACB＝30°.
答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a海里．
8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，已知b2＝ac，且a2－c2＝
ac－bc.
求：(1)角A的大小．
(2)的值．
解：(1)∵b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，cosA＝＝＝，
∴A＝60°.
(2)在△ABC中，由正弦定理，得sinB＝.
∴＝×＝
∵b2＝ac，A＝60°,
∴＝sin60°＝.

一、填空题
1．如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3 km，
B＝45°，C＝30°，则A，C两地的距离为________．
解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得
AC＝3.
答案：3
2.在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那
么这座塔吊的高度是________．
解析：如右图所示，AD表示20 m高的楼，BE表示塔吊，则 四边形ABCD为正方形．
AD＝BC＝20 m，
AB＝CD＝20 m，
在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20 m.
∴CE＝20·tan60°＝20.
∴BE＝20＋20＝20(＋1)m.
答案：20(＋1) m
3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________ km.
解析：如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，
AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－ 2BC·ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，
整理得x2＋2x＝5，解得x＝－1.
答案：－1
4．(2012·哈师大附中月考)如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________.
解析：由题中图，知AB＝x，∠ABC＝180°－105°＝75°，
∠BCA＝180°－135°＝45°，∵BC＝10，∠BAC＝180°－75°－45°
＝60°，
∴＝，∴x＝＝.
答案：
5．(2011·山东模拟)如右图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值为________．
解析：如图所示，在△ABC中，
c＝AB＝20，b＝AC＝10，
B＝90°－θ，∠CAB＝120°，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos120°＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700，
∴a＝10.由正弦定理得
＝，
∴sinB＝sin(90°－θ)＝sin∠CAB＝×sin120°.＝，
∴cosθ＝，
∴sinθ＝＝.
答案：
三、解答题
6．一商船行至索马里海域时， 遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船到方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程．
解：如图所示，若“黄山”舰以最短时间在 B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．
设所需时间为t小时，
则AB＝21 t，BC＝9t.
又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°， 由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB.
∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，
∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，
即360t2－90t－100＝0.
∴t＝或t＝－(舍)．
∴AB＝21×＝14(海里)．
即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14海里．
7．如图所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20 m，求山高CD.(精确到0.1 m)
解：由条件知∠DBC＝60°，∠ECA＝45°，
∴∠ABC＝90°－60°＝30°，
∠ACB＝60°－45°＝15°，
∠CAB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝135°.
在△ABC中，由正弦定理得
＝，
∴BC＝＝＝.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·sin∠CBD＝×≈47.3(m)．
∴山高CD约为47.3 m.
8．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则 有CD＝10 t，BD＝10 t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，
∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
∴在△BCD中，由正弦定理得
＝
∴sin∠BCD＝·sin120°
＝
∴∠BCD＝30°
∴缉私船沿东偏北30°(或北偏东60°)方向能最快追上走私船．

(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．已知△ABC中，a＝，b＝ ，B＝60°，那么角A＝________.
解析：由正弦定理得：＝，
sinA＝＝＝，又a∴A答案：45°
2．在△ABC中，已知(a＋c)(a－c)＝b2＋bc，
则A＝________.
解析：a2－c2＝b2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cosA＝＝＝－，
∴A＝120°.
答案：120°
3．(2011·上海高考)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C.若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．
解析：如图所示，由∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，可得∠ACB＝180°－75°－60°＝45，则由正弦定理可得＝， 即得AC＝＝＝.
答案：
4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，面积为，则
＝________.
解析：∵三角形ABC的面积为，即bcsinA＝.
∴×1×c×sin60°＝，∴c＝4.
∴a＝＝＝，
＝＝＝.
答案：
5．(2011·临沂高二检测)某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________千米．
解析：作出示意图，如图
由题意得
∠ABC＝30°，AB＝x千米，
BC＝3千米，AC＝千米，
由余弦定理得
()2＝x2＋32－2×3×xcos30°，
即x2－3x＋6＝0.
解得x＝2或x＝.
答案：或2
6．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为________．
解析：∵三边不等，
∴最大角大于60°.
设最大角为α，故α对的边长为a＋2，
∵sinα＝，∴α＝120°.
由余弦定理得
(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，
即a2＝5a.
解得a＝5.
∴三边长为3,5,7.
∴S＝×3×5×sin120°＝.
答案：
7．(2012·洛阳高二检测)在△ABC中，b＝a，B＝2A，则△ABC为________三角形．
解析：由正弦定理知：sinB＝sinA，
又∵B＝2A，
∴sin2A＝sinA.
∴2cosA·sinA＝sinA.
∴cosA＝.
∴A＝45°，B＝90°.
故△ABC为等腰直角三角形．
答案：等腰直角
8．在△ABC中，已知b＝1，sinC＝，bcosC＋ccosB＝2，则·＝________.
解析：由余弦定理推论知
cosC＝，cosB＝.
∵bcosC＋ccosB＝2，∴＋＝2，
∴a＝2，即| |＝2.
又∵b＝1，∴||＝1.
∵sinC＝，0°或cosC＝－.
∴·＝或·＝－.
答案：或－
9．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.
解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，
即tanA＝，∴A＝.
又∵acosB＋bcosA＝a·＋b·
＝c＝csinC，
∴sinC＝1，∴C＝.
∴B＝.
答案：
10．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝____；a＝____.
解析：因为在△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.
答案：　2
11.如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．
解析：由题可知，∠SAB＝45°－30°＝15°，
又∠SBD＝15°，
∴∠ABS＝45°－15°＝30°，AS＝1 000.
由正弦定理可知＝，
∴BS＝2 000sin15°，
∴BD＝BS·sin75°＝2 000sin15°cos15°＝
1 000sin30°＝500，
且DC＝1 000sin30°＝500.
∴BC＝DC＋DB＝1 000米
答案：1 000
12．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程3x2－27x＋32＝0的两个实根，那么BC边的长为________．
解析：由已知可设最大边与最小边分别为b，c ，
则b＋c＝9，b·c＝.
因为A＝60°，所以BC既不是最大边也不是最小边，
所以BC2＝b2＋c2－2bccos60°
＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝81－32＝49，
即BC＝7.
答案：7
13．(2012·江西师大附中月考)在△ABC中，∠A＝60°，且角A的角平分线AD将BC分成两段BD、DC，且BD∶DC＝2∶1，若AD＝4，则C＝________.
解析：因为AD是角A的角平分线，所以AC∶AB＝CD∶DB＝1∶2，设AC＝x，则AB＝2x.易知3S△ACD＝S△ABC，即3××4x×sin30°＝×2x2sin60°，解得x＝6，所以AB＝12.由余弦定理得BC＝6.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以C＝.
答案：
14．某人在C点测得塔AB在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O，测得塔A仰角为30°，则塔高为________．
解析：画出示意图，如图所示，CO＝10，∠OCD＝40°，
∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，∠AOB＝30°，
AB⊥平面BCO，
令AB＝x，则BC＝x，BO＝x，
在△BCO中，由余弦定理得
(x)2＝x2＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，
整理得x2－5x－50＝0，
解得x＝10，x＝－5(舍去)，所以塔高为10米．
答案：10米
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosC＝，求c及最大角的余弦值．
解：由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcosC＝72＋82－2×7×8×＝9.
∴c＝3.
∵b>a>c，∴在△ABC中，B最大．
∴cosB＝
＝＝－.
16．(本小题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，cosA＝，B＝60°，b＝.
(1)求sinC的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵角A，B，C为三角形内角，
且B＝60°，cosA＝.
∴C＝120°－A，sinA＝.
∴sinC＝sin(120°－A)
＝cosA＋sinA＝.
(2)由(1)知sinA＝，
sinC＝.
又∵B＝60°，b＝.
∴由正弦定理，得a＝＝
∴S△ABC＝absinC＝×××＝.
17．(本小题满分14分)(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.
故sinB＝sinA，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cosB>0，故cosB＝，所以B＝45°.
18．(本小题满分16分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
解：如图所示，设∠ACD＝α，
∠CDB＝β.在△CBD中，由余弦定理得
cosβ＝
＝＝－，
∴sinβ＝.
而sinα＝sin(β－60°)
＝sinβcos60°－sin60°cosβ
＝·＋·＝.
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(千米)．
所以这人再走15千米就可到城A.
19．(本小题满分16分)已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且
(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cosA＝0的两根(b>c)。
(1)求角A的正弦值；
(2)求边a，b，c；
(3)判断△ABC的形状。
解析：(1)由 (sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC得(b＋c)2－a2＝bc，即b2＋c2－a2＝bc.
∴cosA＝＝，∴sinA＝.
(2)∵b和c是方程x2－9x＋25cosA＝0的两根，
∴
解之，得
∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－2×20×＝9.
∴a＝3.
(3)由(2)易知
b2＝a2＋c2
∴△ABC为直角三角形．
20．(本小题满分16分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C所对的边，且满足2bcosA＝(ccosA＋acosC)
(1)求角A的大小．
(2)若a＝2，c＝2，且b>c，求△ABC的面积．
解：(1)∵2bcosA＝(ccosA＋acosC)，
由正弦定理得，
2sinBcosA＝(sinCcosA＋sinAcosC)，
即2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.
∴cosA＝.
∴A＝.
(2)由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴4＝b2＋(2)2－2b×2cos.
∴b2－6b＋8＝0，
解得b＝4或b＝2.
∵b>c，
∴b＝4.
∴S＝bcsinA＝×4×2×＝2.
课件30张PPT。3.1
不等关系把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二理解教材新知1．在日常生活中，我们经常看到下列标志问题1：各图中的标志的意思是什么？
提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；
②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；
⑤时间范围：7.5≤t≤10.
问题2：用数学式子如何表示？
提示：①v≥50，②G≤10，③h≤3.5，④a≤3，
⑤7.5≤t≤10. 2．某品牌酸奶的质量检查规定：酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
问题：该品牌酸奶检验合格时所满足的条件是什么？ 在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上 和 两种情况．相等不等 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符合＞，＜，≥，≤，≠连接两个数式或代数式，以表示它们之间的不等关系． [例1]　《铁路旅行常识》规定：
“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票、每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……” 设身高为h(米)，请用不等式表示下表中的不等关系 [思路点拨]　借助“不等关系”的符号表示，将自然语言表述的不等关系，转化为符号语言表示的不等关系．[精解详析]　身高在1.2～1.5米之间可表示为
1．2≤h≤1.5.
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2. [一点通]　用不等式表示不等关系的注意事项：
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可
比性的两个量之间不能用不等式来表示．
(2)在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两
位数大于50，可用不等关系表示为__________．
答案：10b＋a>50
2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要
安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为
________________．
答案：T≤40
3．大圆O1的半径为R，小圆O2的半径为r，两圆的圆心距
O1O2为d，若两圆相交，则d需要满足的条件是什么？
答案：R－r [思路点拨]　设出未知数后，分析已知量和未知量的不等关系，用不等式表示不等关系． [精解详析]　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石； [一点通]　(1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系；
(2)若问题中有几个变量，则选用几个字母分别表示变量即可，解决这类问题时，要注意根据题设将所有的不等式都找出来．4．2011年某高校录取新生对语、数、英三科的高考分
数的要求是：语文不低于90分；数学应高于80分；
语、数、英三科的成绩之和不少于330分．若小明被
录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x，
y，z，则x，y，z应满足的条件是__________________．5.已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元
和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7
支，练习本至少买6本．若铅笔买x支，练习本买y本，
则满足的不等式组为____________．6．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如
下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用x、y表示混合食物成本c元，并写出x、y所满足的不等关系．，，，，，，. 1．常量与常量之间的不等关系，如“神舟六号”飞船的质量大于“东方红号”卫星的质量．
2．变量与常量之间的不等关系，如：儿童的身高h m小于或等于1.4 m.
3．变量与变量之间的不等关系，如当x>a时，销售收入f(x)大于销售成本g(x)．
4．一组变量之间的不等关系，如：购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元．点此进入
一、填空题
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为________．
答案：v≤120 km/h，d≥10 m
2．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为__________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．
答案：8(x＋19)>2 200　>9
3．人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船，它们的飞行速度(记作v km/s)不小于第一宇宙速度(记作v1 km/s)，且小于第二宇宙速度(记作v2 km/s)，那么v，v1，v2之间的关系可以用数学符号表示为________________．
答案：v1≤v4．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.
解析：由题意易知三个不等关系用不等式可分别表示为a＜b，a＞b，a≥b.
答案：a＜b　a＞b　a≥b
5．(2012·台州调研)用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大．使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，则从这个事实中提炼出一个不等式组为____________．
解析：第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是钉长的；
第二次受击后，该次钉入木板部分的长度为，此时进入木板的部分的铁钉的总长度为＋，有＋<1; 第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为，此时进入木板部分的铁钉的总长度为＋＋，有＋＋≥1，所以，从这个事实中提炼出一个不等式组是
答案：
二、解答题
6．有如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a、b的不等式表示出来．
解：图(1)的面积大于图(2)的面积，a2＋b2>ab.
7．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x元，则由于提价导致减少的销售量为×0.2万本，提价后实际销售量为8－×0.2万本．销售收入等于价格乘以销售量，即
(8－×0.2)x万元．销售的总收入仍不低于20万元，就是大于等于20万元，也就是不等式(8－×0.2)x≥20.
8．某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm的数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：
(1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm；
(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负．
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

一、填空题
1．(2011·中山高二期未)不等式x2－5x≥0的解集是____________
解析：x2－5x＝0的两个根为0,5，
又由y＝x2－5x呈开口向上的抛物线，
∴x2－5x≥0的解集为{x|x≤0或x≥5}
答案：{x|x≤0或x≥5}
2．(2011·威海高二检测)不等式组的解集为____________
解析：∵x2－1<0的解集为{x|－1x2－3x<0的解集为{x|0∴的解集为：{x|0答案：{x|03．不等式≤0的解集为____________．
解析：不等式≤0等价于
解之得，≤x<2.
答案：{x|≤x<2}
4．若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在1解析：令f(x)＝2x2－8x－4－a＝2(x－2)2－12－a数形结合知只需f(4)>0即可．
即2×42－8×4－4－a>0，解得a<－4.
答案：(－∞，－4)
5．(2012·长阳一中高一期中)不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________．
解析：<1化为－1<0，
即<0.
等价于[(a－1)x＋1](x－1)<0.
∴(a－1)x2－(a－2)x－1<0.
∴1,2是方程(a－1)x2－(a－2)x－1＝0的两个根．
∴解得a＝.
答案：
二、解答题
6．求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x＞6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x＞6.
解：(1)由x2－5x＞6，得x2－5x－6＞0.
∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，
即(2x－1)2≤0，
∴x＝.
∴4x2－4x＋1≤0的解集为{x|x＝}．
(3)由－x2＋7x＞6，
得x2－7x＋6＜0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.
∴不等式x2－7x＋6＜0的解集为{x|1＜x＜6}．
7．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3解：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
由根所系数关系，得，即
∵不等式bx2＋2ax－c－3b<0，
即－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0.
故所求的不等式的解集为{x|－38．(2011·西南师大附中高一月考)解关于x的不等式≤2的解集为A，函数
g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)] (a<1)的定义域为B，若B?A，求实数a的取值范围．
解：由≤2，得－2≤0.∴≤0.
不等式等价于
∴x<－1或x≥1.
∴A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
由(x－a－1)(2a－x)>0得，
[x－(a＋1)](x－2a)< 0.
∵a<1，
∴a＋1>2a.
∴B＝(2a，a＋1)．
∵B?A.
∴a＋1≤－1或2a≥1.
∴a≤－2或a≥.
而a<1.∴≤a<1或a≤－2.
∴a的取值范围为(－∞，－2]∪[，1)
课件44张PPT。3.2
一元二次不等式
把握热点考向 应用创新演练第三章
不等式考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第一课时
一元二次不等式的解法第一课时　一元二次不等式的解法观察下列不等式：
(1)x2＋2x－3>0；
(2)x2－4≤0；
(3)ax2＋x－3≥0(a≠0).
问题1：上述三个不等式中x的最高次数为多少？
提示：2
问题2：把a看作常数，上述不等式含有几个未知数？
提示：一个 一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式.
2 已知一元二次方程x2－x＝0，二次函数y＝x2－x，一元二次不等式x2－x>0.
问题1：一元二次方程x2－x＝0的解是多少？
提示：x1＝0或x2＝1
问题2：一元二次函数y＝x2－x与x轴交点坐标是多少？
提示：(0,0)，(1,0) 问题3：问题1中方程的解与问题2中交点坐标有什么关系？
提示：方程的解为交点的横坐标．
问题4：利用一元二次函数的图象能否得出x2－x>0的解集？
提示：能．不等式的解集为{x|x<0或x>1}一元二次不等式的解法{x|xx2}{x|x1 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含 有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是变量“未知数”，哪一些是“参数”就可以．
(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．
2．(1)当Δ≥0(其中a>0)时，相应的一元二次方程有两个实根，ax2＋bx＋c>0的解集可简记为：“判别式大于零，取两边”．ax2＋bx＋c<0的解集可简记为“判别式大于零，取中间”；(2)当Δ＜0(其中a>0)时，方程无实根，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R，ax2＋bx＋c<0的解集是?. [例1]　解不等式．
(1)x2－x－6>0
(2)25x2－10x＋1>0
(3)－2x2＋x＋1<0
[思路点拨]　首先将x2的系数化为正数，再求对应方程的根，结合图象即可写出不等式的解集． [一点通]　一元二次不等式的解法
(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋
c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等
式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；
③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x0的解集
是________．
解析：由(x＋2)(1－x)>0得
(x－1)(x＋2)<0
结合一元二次方程和一元二次函数的图像可知：
－2 答案：{x|－20}，
则M∩N为________
解析：M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x>3或x<－2}
∴M∩N＝{x－4≤x<－2或3 答案：[－4，－2)∪(3,7]3．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0;
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1. [一点通]　一元二次不等式的解集的端点值是它对应的一元二次方程的根，二次函数图象与x轴交点的横坐标．4．(2011·广州测试)若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的
解集为{x|1 解析：m(x－1)>x2－x化为
x 2－(m＋1)x＋m<0，
∴1,2是方程x2－(m＋1)x＋m＝0的两个根．
∴1×2＝m.
∴m＝2.
答案：2.∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0.
即x2－x－6<0.
∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－20的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系．
3．分式不等式常转化为整式不等式来解、注意转化的等价性．点此进入
一、填空题
1．(2012·海淀高二检测)函数f(x)＝lg的定义域为____________．
解析：由>0，得<0.
等价于(x－1)(x－4)<0
∴1答案：{x|12．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是____________．
解析：由已知得若不等式组有解，
∴2a＋4>a2＋1.即a2－2a－3<0.
∴－1答案：{a|－13．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)
都成立的x的取值范围是____________
解析： (1－aix)2<1?ax2－2aix<0?ax(x－)<0
∴0a2>a3>0，∴0<<<，
∴0答案：(0，)
4．(2012·杭州模拟)对任意a∈[－2,3]，不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0恒成立，则x的取值范围为____________
解析：设f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a
＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
由已知条件得

即
∴
∴x<0或x>5.
答案：(－∞，0)∪(5，＋∞)
5．(2012·嘉禾模拟)在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则a的取值范围是________．
解析：∵x?y＝x(1－y)，
∴(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]<1，
即x2－x－a2＋a＋1>0恒成立．
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
即4a2－4a－3<0.
解得－答案：(－，)
二、解答题
6．(2012·吉林一中高二检测)解关于x的不等式：<0(a∈R)
解：原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0.
(1)当a＝0时，原不等式为x2<0，
∴x∈?.
(2)当a＝1时，原不等式为(x－1)2<0，
∴x∈?.
(3)当0a2，
∴原不等式的解集为{x|a2(4)当a<0或a>1时，a2>a，
∴原不等式的解集为{x|a综上，当a＝0或a＝1时，不等式解集为?；
当0当a<0或a>1时，不等式解集为{x|a7．已知对任意x∈(0，＋∞)不等式x2－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围．
解：令f(x)＝x2－ax＋2
＝(x－)2＋2－
(1)当a≤0时f(x)在(0，＋∞)为单调递增的．
f(0)＝2>0，故a≤0时，x2－ax＋2>0恒成立．
(2)当a>0时f(x)＝x2－ax＋2的对称轴为x＝.
∴当x∈(0，＋∞)时．
f(x)min＝2－.
若x2－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)恒成立．
只要2－>0即可. ∴0综上．若x2－ax＋2>0在(0，＋∞)恒成立，则a<2.
8．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？若能，当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，0600，即x2－50x＋600<0.解得20用S表示矩形的面积，则S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25.即当矩形的长、宽都为25 m时，所围成的矩形的面积最大．
课件36张PPT。3.2
一元二次不等式
应用创新演练第三章
不等式考点一考点二考点三理解教材新知第二课时
含参数的一元二次不等式及实际应用第二课时　含参数的一元二次不等式及实际应用 [例1]　已知a＞0，解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0
[思路点拨]　当a>0时，方程两根的大小不同，还要再次分01进行讨论． [一点通]　解含参数的不等式时，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式再对参数进行讨论；若不易分解因式则可对判别式分类讨论；若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数为零的情形，然后考虑二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．另外，注意参数的取值范围，并在此范围内进行分类讨论．1．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解 集是
___________ .
解析：x2－4ax－5a2>0化为(x－5a)(x＋a)>0，
∵a<0，∴5a<－a.
∴x>－a或x<5a.
答案：{x|x<5a或x>－a}3．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≥0)． [例2]　若x2－2ax＋2≥a在x∈[－1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
[思路点拨]　可联系二次函数，利用对称轴与所给区间的关系讨论a，也可结合二次函数的图象构造a的不等式组． [精解详析]　法一：设f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
(1)当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在
[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3.
又a<－1，∴－3≤a<－1.4．(2012·赤峰二中高二检测)不等式ax2＋ax－1<0在x∈R上
恒成立，则a的取值范围____________ .答案：(－4,0]5．(2012·大连二十三中高二检测)若对任意实数x∈[－1,1]，
不等式x2＋mx＋3m<0恒成立，则实数m的取值范围是
____________ .答案：(－∞， ) [例3]　汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过
10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ [思路点拨]　根据刹车距离计算出车速，比较车速的大小即可．[一点通]　解不等式应用题的步骤：
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原实际问题；6．政府收购某种农产品的原价格为100元/担，其中征税
标准为每100元征10元(叫做税率为10个百分点，即
10%)，计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定
将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分
点．要使此项税收在税率调节后不低于原计划的
83.2%，试确定x的范围．答：税率降低的范围是(0,2]．7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元
的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1
元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天
获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样
制订这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x元，则
[30－(x－15)×2]·x>400，即x2－30x＋200<0，因方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200<0的解为10 (1)理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图，理清各量满足的条件；
(2)依据条件建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学问题，即一元二次不等式问题；
(3)解所得的不等式，进而根据题目的实际意义解释原问题．
3．不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题．点此进入
一、填空题
1.图中阴影部分表示的区域满足不等式____________．
解析：把原点(0,0)代入检测可知，阴影部分表示的区域满足不等式2x＋2y－1≥0.
答案： 2x＋2y－1≥0
2．点A(0,0)，B(2,1)，C(3,0)，D(0,4)在不等式x＋2y－3>0表示的平面区域内的有____________．
解析：把A、B、C、D四点坐标代入检测可知B(2,1)，D(0,4)在x＋2y－3>0表示的平面区域内．
答案：B(2,1)，D(0,4)
3．表示如图阴影部分的二元一次不等式组为__________．
答案：
4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是____________．
解析：如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故5≤a<7
答案：[5,7)
5．在平面直角坐标系中，若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________．
解析：由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域．设为△ABC
则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a>－1
∵S△ABC＝2 ∴×(1＋a)×1＝2
∴a＝3
答案：3
二、解答题
6．画出不等式组所表示的区域．
解：在坐标系中画出直线2x－y＋1＝0,2x＋y－1＝0，x－1＝0，如图(1)所示．
特殊点可以选为(0,0)，将x＝0，y＝0代入，则得2×0－0＋1＝1>0,2×0＋0－1＝－1<0,
0－1＝－1<0，
从而(0,0)在2x－y＋1≥0，x≤1所表示的区域内，不在2x＋y－1≥0所表示的区域内，即在它的所对的另一个区域内．
所以它们所表示的区域的公共部分如图(2)所示．
7．画出不等式组表示的平面区域，并求其面积．
解：取点(2,2)分别代入x－2y＋1，x＋y－5，
2x－y－1.判断正负号知区域如下图所示．
由方程组解得A(1,1)，B(3，2)，C(2,3)，BC＝，
A点到BC的距离d＝＝.
故其面积S＝××＝.
8．画出不等式组表示的平面区域，并求平面区域内有多少个整点．
解：不等式组表示的平面区域是如右图所示的△ABC区域．
可求得A(－，－)，B(，)，C(，－)，
直线x＋2y＋3＝0，过点(－3,0)
所以△ABC区域内的点(x，y)满足－≤x<，－∵x，y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z.
根据图中网格，共有四个整点(0,0)，(0，－1)，
(1，－1)，(2，－2)．
课件45张PPT。第一
课时
二元
一次
不等
式（组）表示
的平
面区
域3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题把握热
点考向 应用创
新演练第三章
不等式考点一考点二考点三理解教
材新知知识点一知识点二第一课时 二元一次不等式（组）表示的平面区域 1．方程x－y－1＝0表示直线．
问题1：试判断点A(1,0)、B(1,1)、C(1，－1)与直线的位置关系？
提示：A在直线上，B、C不在直线上．
问题2：试判断上述三点的坐标满足不等式x－y－1＞0吗？
提示：C点的坐标满足，而A、B不满足． 问题3：C点在直线x－y－1＝0的哪个方向的区域内？
提示：在直线x－y－1＝0的右下方．
问题4：直线x－y－1＝0右下方的点都满足x－y－1＞0吗？试举例．
提示：满足．如(0，－2)、(2,0)等． 1．直线y＝kx＋b把平面分成两个区域；
y>kx＋b表示直线 的平面区域；
y 2．二元一次不等式组所表示的平面区域，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.上方下方 已知点O(0,0)，A(1,0)，B(3,1)，C(2,5)和直线x＋y－2＝0.
问题1：试判断上述四点与直线的位置关系．
提示：O、A在直线左下方，B、C在直线的右上方．
问题2：O、A、B、C点坐标代入x＋y－2时符号如何？
提示：点O与点A，点B与点C符号相同．
问题3：能否用O点来判断不等式x＋y－2＜0表示的平面区域？
提示：能．点O的坐标满足不等式x＋y－2＜0，则点O所在区域的一侧便是 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”；任选一个不在直线上的一点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域． 1．Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0的某一的平面区域，一定要注意不包括边界；Ax＋By＋C≥0 表示的是直线Ax＋By＋C＝0及直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界．
2．对于直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点(x0，y0)代入Ax＋By＋C，由Ax0＋By0＋C值的符号即可判断出Ax＋By＋C＞0表示的是直线哪一侧的点集．当C≠0时，此点常选(0,0)． [例1]　画出不等式2x＋y－6≤0表示的平面区域．
[思路点拨]　画直线2x＋y－6＝0，再找点测试，最后确定区域．
[精解详析]　先画直线2x＋y－6＝0(画成实线)．取原点(0,0)，代入2x＋y－6.
∵2×0＋0－6＝－6<0，
∴原点在2x＋y－6≤0表示的平面区域内，
不等式2x＋y－6≤0表示的区域如图阴影部分所示： [一点通]　画平面区域的注意事项：
(1)边界虚实要分清．一般地，ax＋by＋c≥0(≤0)表示的区域包括直线ax＋by＋c＝0，该直线要画成实线；ax＋by＋c>0(<0)表示的区域不包括直线ax＋by＋c＝0，该直线要画成虚线．
(2)测试点选取要恰当．一般地选原点(0,0)、(0,1)或(1,0)，如果测试点的坐标满足不等式，则所求区域为包括测试点的直线一侧，否则在直线的另一侧，最后将区域用阴影表示出来．1．图中的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为
__________． 答案：2x＋3y－8≥02．已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)，D(0,2)，其中不在不
等式2x＋y<4所表示的平面区域内的点是________．
解析：代入验证知C(2,0)不在平面区域内．
答案：C(2,0)，，， [精解详析]　不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合；x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合；x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以不等式组表示的平面区域如图所示． [一点通]　不等式组对应的平面区域的边界就是各个不等式所对应的直线，边界虚实要画清，测试点可以选一个，也可以选多个，最后把区域用阴影部分表示出来．3．如图，能表示平面中阴影区域的不等式组是
__________．4．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0
围成的三角形区域(包括边界)用不等式组表示为
____________．解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示．解：不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合；不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及其左上方点的集合；
不等式3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及其右上方点的集合；
不等式3y0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合，综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．[思路点拨]　画出平面区域确定其形状，再求其面积．[精解详析] [一点通]　求区域面积的注意事项：
(1)求平面区域的面积，先要画出不等式组表示的区域，然后根据区域的形状求面积．
(2)求面积时，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点坐标，这样易求底与高，必要时分割区域为特殊图形．6．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有且只
有一个在不等式2x－by＋1>0表示的平面区域内，
则b的取值范围是____________________．解：画出不等式组表示的平面区域如下： 1．确定二元一次不等式所表示的平面区域：
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x， y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以C≠0时，取特殊点(0,0)，代入不等式中，如果不等式成立，说明原点所在区域为所求区域，如果不满足不等式，则另外一个区域为所求区域．如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点(1,0)、(0,1)等进行判断． 2．画平面区域的步骤：
(1)画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)．
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“直线定界、特殊点定域”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；常用的特殊点为(0,0)、(±1,0)、(0，±1)． (3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．点此进入
一、填空题
1．(2011天津高考改编)设变量x，y满足约束条件则目标函数
z＝3x－y的最大值为__________
解析：由约束条件画出可行域如图所示(阴影△ABC)．
当直线3x－y－z＝0过点A(2,2)时，目标函数z取得最大值zmax＝3×2－2＝4.
答案：4
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最小值为________．
解析：x，y满足条件的范围在图中MNP所围成的区域内，求解
得M(－，)，
求解
得N(3，－3)，
求解，得P(3,6)，当平移直线2x＋y＝0过M点时，2x＋y取得最小值，最小值为zmin＝2×(－)＋＝－.
答案：－
3．实数x，y满足不等式组则 W＝的取值范围是________．
解析：连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如`图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W<1.
答案：[－，1)
4．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析： 可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，
则根据题意得到约束条件为：
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过点(1,2)时目标函数取最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
5．平面区域如图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为__________．
解析：对于y＝－ax＋z而言．斜率－a应与直线AC斜率相等，z取最大值才有无穷多个解，∴a＝.
答案：
二、解答题
6．设z＝2y－2x＋4，式中x、y满足条件求z的最大值和最小值．
解：作出满足不等式组的可行域，
如图所示．
作直线l：2y－2x＝t，当l过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；当l过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
7．已知x、y满足条件：求：
(1)4x－3y的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)不等式组
表示的公共区域如图阴影所示：
其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，
设z＝4x－3y.直线4x－3y＝0经过原点(0,0)．
作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t.
则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大．
∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，
z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18.
(2)设u＝x2＋y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.
∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，
u最小值＝0，
x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
8．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y，作出平面区域如图所示：
作直线l0：x＋0. 5y＝0，
即2x＋y＝0.并作平行于直线l0的一组直线l：
z＝x＋0.5y，当l过点M时，z最大．
由，得M(4,6)．
此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
课件39张PPT。把握热点考向 应用创新演练第三章
不等式考点一考点二考点三理解教材新知第二课时
简单的线性规划问题3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第二课时 简单的线性规划问题 现在是信息时代，广告可以给公司带来效益．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．
问题1：设在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟，y分钟，试列出满足条件的不等关系． 问题2：若甲乙两个电视台，每分钟的广告能给公司带来0.3万元和0.2万元的收益，如何表示该公司通过广告所获的收益．
提示：z＝3 000x＋2 000y
问题3：收益z中的x，y有无限制？
提示：有．x、y满足问题1中的不等关系．1．可行域： 所表示的平面区域．
2．最优解：满足线性约束条件，使目标函数取
得 、 的解．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的 或
的问题，通常称为线性规划问题．约束条件最大值最小值最大值最小值 (1)线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.
(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．
(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解构成的一个区域．[精解详析]　画出可行域如图．
A(0,1)，B(1,0)，C(0，－1)
利用平移法可知．
u＝x＋2y经过点A、C时分别对应u的最大值和最小值．
∴u最大＝0＋2×1＝2
u最小＝0＋2×(－1)＝－2
答案：2，－2 [一点通]　解决线性规划问题的一般步骤是：一画、二移、三求，即
(1)作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所示的平行直线系中的一条l;
(2)平移：将直线l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
(3)求值：解方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．解析：如图，作出不等式组的可行域．
可知，当直线s＝x＋y过点(4,5)时S取得最大值9.答案：92．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，
目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点的坐标
为____________．解析：对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越小故，四个点中，过点A(1,1)时 z取最小值0.
答案：(1,1) [一点通]　求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数形结合的体现．解析：由约束条件作出可行域如图 [例3]　某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润．
[思路点拨]　根据题目设出未知数．列出线性约束条件．设出目标函数．画出可行域．利用平移法求目标函数的最大值．[精解详析]　设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系，，，.标函数z＝5x＋3y，作出可行域如图所示． [一点通]　解答线性规划应用题的一般步骤：
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设
备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每
天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天
的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该
公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租
赁费最少为__________元．答案：2 3006．(2012·开封高二检测)某人承揽一项业务，需做文字
标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲
种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；
乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1
个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用
料面积最小．解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．过直线
2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为x＝2，y＝1.
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． 1．解决线性规划问题的常规思路：
①画出可行域．明确目标函数所表示的几何意义．
②数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点
(或边界上的点)．确定最优解．
③把最优解代入目标函数求出最值．
2．线性规划问题的常见类型：
①求最值．
②求区域面积．
③知最优解或可行域确定参数的取值或取值范围． 3．线性规划的应用题常见类型：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，
如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．常见类型有：
①物资调运问题；
②产品安排问题；
③下料问题．点此进入
一、选择题
1．不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是__________.
解析：由a2＋4－4a＝(a－2)2
若a2＋4＝4a，则a＝2
答案：a＝2
2．若<<0，则不等式(1)a＋b|b|，(3)a2中，正确的有_____个．
解析：由<<0，得0>a>b.
∴(2)错误，(3)错误．
∵b∴a＋b<0，ab>0.
∴a＋b∴＋>2成立．即(4)正确．
答案：2
3．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系为__________
解析：∵a>b>1，∴lga>0，lgb>0，
且lga>lgb.
∴<(lga＋lgb)．
又(lga＋lgb)＝lg(ab)＝lg，
∵<，
∴lg∴P答案：P4．设a＝，b＝6，c＝ ，且x≠0，则a、b、c的大小关系为________．
解析：由≤≤ ，当且仅当a＝b时取等号，令a＝2x，b＝3x，
∵x≠0，∴a≠b,6<< .
答案：b5．已知x，y是正数，且xy＝4，则＋取得最小值时，x的值是________．
解析：由＋≥2＝2，此时＝，
即x＝y＝2.
答案：2
二、解答题
6．已知x>－1，试比较x＋与1的大小.
解：(1)∵x>－1，∴x＋1>0，>0.
∴x＋＝(x＋1)＋－1
≥2－1＝1
当x＋1＝即x＝0时，x＋＝1.
当x>－1，且x≠0时x＋>1.
7．已知a、b、c为正数，求证：＋＋≥3.
证明：∵a、b、c为正数．
∴＋＋
＝＋＋＋＋＋－3
＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3
≥2＋2＋2－3＝3
当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时取等号．
8．已知a，b，c为正实数且a＋b＋c＝1.
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
证明：∵a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1.
∴－1＝＝＝＋≥.
同理－1≥，－1≥.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
∴(－1)(－1)(－1)≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

1．(2012·黄冈中学高二检测)已知x>0，则2－x－的最大值是________．
∵x>0，∴x＋≥4.
∴2－x－＝2－(x＋)
≤2－4＝－2，
当且仅当x＝即x＝2时取等号．
∴2－x－的最大值为－2.
答案：－2
2．(2012·佛山一中高二期末)若x>0，y>0，且＋＝1,则xy的最小值是________．
解析：∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴1＝＋≥2＝.
∴xy≥64.
当且仅当＝即x＝4，y＝16时取等号．
∴xy的最小值为64.
答案：64
3．(2012·夏津一中高二期中)当0解析：当0∴y＝2x(8－2x)≤()2＝16.
当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号．
∴y＝2x(8－2x)的最大值为16.
答案：16
4．(2012·深圳模拟)如果对于任意的正实数x，不等式x＋≥1恒成立，则a的取值范围是________．
解析：∵x>0时，x＋≥1恒成立，
∴a>0.
∴x＋≥2 ＝2.
∴2≥1时，x>0，x＋≥1恒成立．
∴a≥.
答案：[，＋∞)
5．(2012·河北新课标模拟)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：设仓库与车站的距离为x千米，则y1＝，
y2＝k2x.
∴2＝，8＝k2·10.
∴k1＝20，k2＝.
∴y＝＋x.
∵＋x≥2＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
∴x＝5千米时，y取得最小值
答案：5
二、解答题
6．求函数y＝(x＞－1)的最小值，并求相应的x值．
解：y＝＝
＝
∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝(x＋1)＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号．
∴函数y＝(x＞－1)的最小值为9，此时x＝1.
7．(2012·海淀高二检测)已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，求α＋β的最小值．
解：因为a，b的等差中项是，所以a＋b＝1，
α＋β＝(a＋)＋(b＋)
＝(a＋b)＋(＋)
＝1＋
＝1＋，
∵ab≤()2＝，
∴≥4，α＋β≥5(当且仅当a＝b＝时取等号)，故α＋β的最小值为5.
8.(2012·正定中学高二检测)如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．
(1)求x，y的关系式，并求x的取值范围；
(2)问x，y分别为多少时用料最省？
解：(1)由题意得x·y＋x·＝8(x>0，y>0)，
∵y＝－>0，∴0(2)设框架用料长度为l，
则l＝2x＋2y＋x＝(＋)x＋≥4＝8＋4.当且仅当(＋)x＝，即
x＝8－4，
满足0答：当x＝8－4米，y＝2米时，用料最省．
课件27张PPT。第一课时
基本不等式的证明3.4
基本不等式把握热
点考向 应用创
新演练第三章
不等式考点一考点二理解教
材新知第一课时 基本不等式的证明已知代数式a2＋b2,2ab，(a，b∈R)，
问题1：比较两个式子的大小．
提示：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
问题2：“＝”在什么条件下成立？
提示：当“a＝b”时成立．问题3：若用、分别代替a、b，所得式子是什么？
提示：a＋b≥2.
问题4：问题3所得式子中“＝”还能成立吗？
提示：当“a＝b”时成立．
问题5：问题3中a、b有何限制？
提示：a≥0，b≥0.答案：④ [一点通]　利用基本不等式证明不等式的条件要求:
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．点此进入课件38张PPT。第二课时
基本不等式的应用3.4
基本不等式把握热
点考向 应用创
新演练第三章
不等式考点一考点二理解教
材新知考点三第二课时 基本不等式的应用 甲、乙两人不仅是同学而且还是邻居，有一天，他们比赛谁能更快地到学校，他们约定：同时从家里出发，甲一半路程跑步，另一半路程步行，乙用一半时间跑步，用另一半时间步行，并且甲、乙两人跑步的速度一样快，步行的速度也一样快， 问题1：若甲、乙两人跑步的速度为v1，步行的速度为v2，家距学校的距离为s，怎样表示他们由家到学校的时间？问题2：他们两人谁先到学校？ 基本不等式求最值
已知x、y都是正数，
1．若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得
．
2．若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得
．
上述命题可归纳为口诀：积定和最 ，和定积
最 ．最大值最小值小大答案：4[答案] lg 2 95．(2012·南宁高二期末)已知x>0，y>0，且9x＋y＝xy，
则x＋y的最小值为________.答案：16答案：3[一点通]　用基本不等式解决实际问题的思路和方法：
(1)理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数．
(2)建立函数关系，把实际问题抽象转化成函数最值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最值．
(4)回归实际问题，正确写出答案．7．(2011·石家庄高二检测)用一段篱笆围成面积200 m2
的矩形菜园，所用的篱笆最短为________m.8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，
若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，
这个水池的最低造价为________元．答案：1 760 利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：
(1)x，y一定要都是正数；
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值； 求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号是否能够成立．
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．点此进入
?对应配套检测卷P?
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上)
1．不等式x2－3x＋2<0的解集为________．
解析：x2－3x＋2<0化为(x－1)(x－2)<0，
∴1答案：{x|12．不等式<0的解集为________．
解析：<0等价于
(x＋2)(x－3)<0，
∴－2答案：{x|－23．若关于x的不等式mx2＋2x＋4>0的解集为
{x|－1解析：由已知得－1,2是方程mx2＋2x＋4＝0的两个根，
∴－1＋2＝－.
∴m＝－2.
答案：－2
4．已知点A(3，－1)，B(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围为________．
解析：∵A、B在直线ax＋2y－1＝0的同侧，
∴(3a－2－1)·(－a＋4－1)>0.
即(3a－3)(a－3)<0.
∴1答案：{a|15．(2012·松原模拟)设x，y为正数，则(x＋y)(＋)的最小值为________．
解析：∵x>0，y>0
∴(x＋y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9
当且仅当＝即y＝2x时取等号．
答案：9
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
解析：先画出可行域为如图所示的△ABC，作出直线2x＋3y＝0，向可行域方向平移，先交到可行域点A处，点A就是目标函数z＝2x＋3y获得最小值的点．求得点A(2,1)，于是zmin＝2×2＋3×1＝7.
答案：7
7．设f(x)＝，则不等式f(x)>2的解集为________．
解析：当x<2时，解2ex－1>2得x>1，∴1当x≥2时，解log3(x2－1)>2得x>.
∴x>，
∴不等式f(x)>2的解集为{x|1 }．
答案：{x|1 }
8．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．
解析：∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2＝＋2≥2＝4.
(当且仅当a＝b时取等号)
答案：4
9．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y满足约束条件则该校招聘的教师最多是________名．
解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x＋y＝0，平移该直线，因为x∈N，y∈N，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时x＋y取得最大值，x＋y的最大值是10.
答案：10
10．(2011·渐江高考)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
解析：由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤.所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤.
当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.
答案：
11．当|x|≤1时，函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝ax＋2a＋1可以看成关于x的一次函数．在[－1,1]上具有单调性．由已知得
(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)<0，
∴即(3a＋1)(a＋1)<0.
∴－1答案：(－1，－)
12．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规则厢宽2 m，则车厢的最大容积是________m3.
解析：设长为b m，高为a m，由已知得，
2b＋2ab＋4a＝32.
∴b＝.∴V＝a·b·2＝2·.
设t＝a＋1，则V＝2(20－2t－)≤
2(20－2)＝16.
答案：16
13．(2012·南昌一模)已知a，b为正数，且直线2x－(b－3)y＋6＝0与直线
bx＋ay－5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为________．
解析：依题意得2b－a(b－3)＝0，即＋＝1,2a＋3b＝(2a＋3b)(＋)＝13＋6(＋)≥13＋6×2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝5时取等号，因此2a＋3b的最小值为25.
答案：25
14．(2011·重庆一诊)定义“*”是一种运算，对于任意的x，y，都满足
x*y＝axy＋b(x＋y)，其中a，b为正实数，已知1]　　　　.
解析：∵1]6ab)，∴ab≤.当且仅当2a＝3b，即a＝1时等号成立，所以当a＝1时，ab取最大值.
答案：1
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．
15．(本小题满分14分)解不等式组.
解：≤1等价于－1≤0，
即≤0.
∴－2≤x<6.
不等式2x2－x－1>0等价于
(2x＋1)(x－1)>0，
∴x<－或x>1.
∴原不等式组的解为[－2，－)∪(1,6)．
16．(本小题满分14分)(2012·广州高一期末)已知函数f(x)＝x2＋ax＋6，
(1)当a＝5时，解不等式f(x)<0；
(2)若不等式f(x) >0的解集为R，求实数a的取值范围．
解：当a＝5时，f(x)＝x2＋5x＋6，
由f(x)<0，得x2＋5x＋6<0.
即(x＋2)(x＋3)<0.
∴－3(2)若不等式f(x)>0的解集为R，
则有Δ＝a2－4×6<0，
解得－2所以实数a的取值范围是(－2，2)
17．(本小题满分14分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？
解：设桌子、椅子各买x张和y张，则所买桌椅的总数为z＝x＋y.
依题意得不等式组

其中x，y∈N*.
由解得
由解得.
设点A的坐标为(，)，
点B的坐标为(25，)，
则前面的不等式组所表示的平面区域是以
A(，)、B(25，)、O(0,0)为顶点的△AOB的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z＝0.得x＋y＝0，即y＝－x.作直线l0：y＝－x.由图形可知，把直线l0平移至过点
B(25，)时，亦即x＝25，y＝时．z取最大值．
因为x，y∈N*，所以x＝25，y＝37时，z取最大值．
故买桌子25张，椅子37张较为合适．
18．(本小题满分16分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)的最大值不小于8，求实数a的取值范围．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x)>2x?ax2＋(b－2)x＋c>0.已知其解集为(1,3)，
∴
∴f(x)＝ax2＋(2－4a)x＋3a.
(1)若f(x)＋6a＝0有两个相等的根，
故ax2－(4a－2)x＋9a＝0，
Δ＝4＋16a2－16a－36a2＝0，
解得a＝－1或(舍去正值)，
∴a＝－1即f(x)＝－x2＋6x－3.
(2)由以上可知
f(x)＝a(x－)2＋，
∴f(x)max＝≥8得a2－4a＋1≥－8a?a2＋4a＋1≥0，
解得a≥－2＋或a≤－2－.
又∵a<0，
∴a的取值范围是(－∞，－2－)∪[－2＋，0)．
19．(本小题满分16分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．
(注：价值损失的百分率＝×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y＝kx2.
∵3克拉的价值是54 000美元，
∴54 000＝k·32，解得k＝6 000.
∴y＝6 000x2，
所以此钻石的价值与重量的函数关系式为y＝6 000x2.
(2)若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2.
现有价值是6 000m2＋6 000n2，
价值损失的百分率
＝×100%
＝×100%
≤＝，
当且仅当m＝n时取等号．
所以当m＝n时，价值损失的百分率最大．
20．(本小题满分16分)(2012·盐城高一期末)已知不等式x2－4x＋3<0的解集是A，
(1)求集合A.
(2)函数f(x)＝log2(a－x)(a∈R)的定义域为集合B，若A?B求a的取值范围．
(3)不等式ax2－2x－2a>0(a∈R且a≠0)的解集为C，若A∩C≠?，求a的取值范围．
解析：(1)由x2－4x＋3<0得，
(x－1)(x－3)<0.
∴1∴A＝{x|1(2)由f(x)＝log2(a－x)得，
a－x>0，
∴x∴B＝{x|x若A?B，则a≥3.
(3)设g(x)＝ax2－2x－2a，
①当a>0时，若A∩C≠?，则g(3)>0，则9a－6－2a>0.
∴a>.
②当a<0时，若A∩C≠?，则g(1)>0.
∴a－2－2a>0.
∴a<－2.
综上：a的取值范围是(－∞，－2)∪(，＋∞).
课件17张PPT。章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测核心要点归纳 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： [说明]　
对于不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，在未确定系数a≠0的情形下，切忌直接用上表的方法研究它的解集，应先分为a＝0和a≠0两种情形讨论． 二、线性规划问题
由于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标代入Ax＋By＋C后所得实数的符号相同，因此，在实际判断时，往往在某一侧取一特殊点(x0，y0)(如原点)，由Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线哪一侧的平面区域．
线性规划中的基本概念：
(1)约束条件：由x，y的不等式(或不等式与方程)组成的不等式组． (2)线性约束条件：由x，y的一次不等式(或不等式与方程) 组成的不等式组．
(3)目标函数：关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋6y等．
(4)线性目标函数：关于x，y的一次函数解析式．
(5)可行解：满足线性约束条件的解(x，y)．
(6)可行域：所有可行解组成的集合．
(7)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
(8)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． [说明]　
(1)Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线应画成虚线．
(2)Ax＋By＋C≥0(或≤0)表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧含边界直线上的所有点组成的平面区域，直线应画成实线． (3)求解线性规划问题的关键是找出影响求解目标的两个变量x，y，然后列出这两个变量满足的约束条件，用这两个变量表示求解目标，根据线性规划的方法求解目标函数的最值．点此进入
一、选择题
1．数列0，，，，，…的通项公式为________．
解析：数列可化为
，，，，，…观察可得：
an＝.
答案：an＝
2．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第________项．
解析：由＝得，
n2＋2n－120＝0，
解得n＝10或n＝－12(舍去)．
答案：10
3．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有________个点．
解析：由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…
则其通项公式为an＝n2，
故第n个图形中的点数为n2.
答案：n2
4．已知f(1)＝2，f(n＋1)＝(n∈N*)，
则f(4)＝________.
解析：∵f(1)＝2，f(n＋1)＝，
∴f(2)＝＝，
f(3)＝＝＝，
f(4)＝＝＝.
答案：
5．(2011·合肥三模)已知x与函数f(x)的对应关系如下表所示，数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝f(an)，则a2 011＝________.
x
1
2
3
f(x)
3
2
1
解析：∵a1＝3，　∴a2＝f(a1)＝f(3)＝1，
a3＝f(a2)＝f(1)＝3.
∴数列{an}为周期排列，且周期T＝2.
∴a2 011＝a1＝3.
答案：3
二、解答题
6．写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)8,88,888,8 888，…
(3)，，，，，…
(4)3,0，－3,0,3,0，－3,0，…
解：(1)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n或(－1)n＋1表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式an＝(－1)n(6n－5)，(n∈N*)．
(2)首先联想数列9,99,999,9 999，…的通项公式
an＝10n－1，而8＝×9,88＝×99,888＝×999，8 888＝×9 999.
∴an＝(10n－1)，(n∈N*)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．经过组合，则所求数列的通项公式an＝，(n∈N*)．
(4)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0，－1,0，…，则an＝3sin，(n∈N*)．
7．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4、a5.
解：将a1＝2，a2＝代入通项公式得，
?
所以an＝＝.
所以a4＝＝，a5＝＝.
8．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性．
解：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n.
∴2log2an－2－log2an＝－2n，即an－＝－2n，
∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n，n∈N*.
(2)＝
＝<1.
∵an>0，∴an＋1课件48张PPT。2.1
数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二 (3)将一张纸对折一次得2层，再对折一次得4层，……，不断地折下去，得到的纸的层数依次是：
2,4,8,16，……
提示：①都是一列数．
②都有一定的顺序．
问题2：“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一列数吗？
提示：不是 1．数列的定义：按照一定 排列的一列数称
为数列．
2．项：数列中的每个 都叫做这个数列的项．
3．数列的一般形式：a1，a2，…，an，…，简记
为 ．其中a1称为数列的 ，a2称为
第 项，…，an称为第 项．次序数{an}首项二n 4．数列的分类有限无限提示：a1＝2，a2＝8，a3＝18.这两个数列中第n项与序号n之间有何关系？ 问题3：若将序号n与对应的项看作坐标系中的某点，则这两个数列可以作出图象吗？
提示：可以，其图象为一系列孤立的点． (1)数列的通项公式：如果数列{an}的 与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 第n项序号n (2)数列与函数的关系：
数列可以看成以
为定义域的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．
反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3,4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(4)…，f(n)，…正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，k}) 1．数列的分类
按照数列的每一项随序号变化的情况分类：
①递增数列——从第2项起，每一项都大于它的
前一项的数列；
②递减数列——从第2项起，每一项都小于它的
前一项的数列；
③常数列——各项相等的数列；
④摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前
一项，有些项小于它的前一项的数列. 2．数列{an}与第n项an的关系
{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；an
是数列{an}的第n项．
3．数列的项与项数
排在数列{an}第n位的数an是数列的第n项，
而n是它的项数，即项数是项的排列序号． [例1]　下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；
(3)0,1,2,3,4…；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；
(5)6,6,6,6,6.
[思路点拨]　紧扣数列的概念，观察所给数列的变化趋势和规律，由数列的分类来判断． [精解详析]　(1)是集合，不是数列；(2)、(3)、(4)、(5)是数列，其中(3)、(4)是无穷数列，(2)、(5)是有穷数列，(4)是摆动数列，(5)是常数列． [一点通]　解决此类问题，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来做出判断．1．下列几种说法：
①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}；
②数列1,0，－1，－2与－2，－1,0,1是相同的数列；
③数列若用图像表示，从图像上看是一群孤立的点；
④数列的项数是无限的.
其中正确的是________．解析：①不正确，数列不能用集合表示．
②不正确，数列中的项是有顺序的．顺序不同表示不同的数列．
③正确．
④数列的项数有有限的，也有无限的．
答案：③其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________.(将合理的序号填在横线上)答案：(1)(6)　(2)(3)(4)(5)　(1)(2)　(3)　(6)　(4)(5) [一点通]　已知数列的前几项求数列的通项公式．主要从以下几个方面来考虑：
(1)符号用(－1) n或(－1)n＋1来调整．
(2)分式的分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．
(3)注意观察每一项的特点，通过某些项的适当变形．转化为一些常见数列的通项公式来求．
(4)数列的通项公式可能不惟一．3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是________．4．在数列 ，2，x,2 ， ，2 ，…中，x＝
__________.该数列的一个通项公式是__________．5．写出下列数列的一个通项公式：
(1)2,4,2,4,2,4，…；解：(1)由2＝3－1,4＝3＋1，则原数列可变为3－1，3＋1，3－1,3＋1，…，故an＝3＋(－1)n. [例3]　设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)数列．{an}是单调递增的数列，求实数k的取值范围．
[思路点拨]　法一：利用二次函数的单调性，求得k的范围．
法二：利用单调性定义求得k的取值范围．法二：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an＋1－an>0(n∈N*)恒成立．
又an＝n2＋kn(n∈N*)，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立．
即2n＋1＋k>0.
∴k>－(2n＋1)(n∈N*)恒成立
而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，
∴k>－3，∴k的取值范围是(－3，＋∞)． [一点通]　(1)数列是一种特殊的函数，因此可利用函数知识来研究数列的性质．同时，数列也有其特殊性．我们可以利用an＋1与an的关系来研究数列． (2)函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an，则数列为递增数列，若an＋1 何值时，an有最小值？并求出最小值． 1．数列的通项公式：
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*
或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的解析
式；
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用
1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各
项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否
是某数列中的一项，如果是的话，是第几项； (5)记住结论，合理联想：
①数列1,3,5,7，…的通项公式是an＝2n－1；
②数列2,4,6,8，…的通项公式是an＝2n；
③数列1,2,4,8，…的通项公式是an＝2n－1；
④数列1,4,9,16，…的通项公式是an＝n2；
(6)猜想验证：观察、归纳后作出猜想，代入验证，如 不符合，再进行调整．
2．用函数知识处理数列问题也是一种常用方法，用得
较多的是函数的单调性、周期性、图象、值域．
点此进入
一、填空题
1．若数列{an}满足条件：an＋1－an＝，且a1＝，则a30＝________.
解析：由已知得数列{an}是以a1＝为首项，d＝为公差的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×＝＋n－＝n＋1.
∴a30＝×30＋1＝16.
答案：16
2．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，
∴3d＝a5－a2＝6.
则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
答案：13
3．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于________．
解析：设等差数列{an}的公差为d.
∴∴
∴a1＝－8.
答案：－8
4．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0，则a70＝________.
解析：由an＋1＝an＋知{an}是以为公差的等差数列，故a70＝a1＋69d＝46.
答案：46
5．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.
解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
答案：19
三、解答题
6．已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝1，且
(n≥2)，cn＝an＋bn.
(1)求证数列{cn}是等差数列；
(2)求数列{cn}的通项公式．
解：(1)证明：由题设得an＋bn＝(an－1＋bn－1)＋2(n≥2)，即cn＝cn－1＋2，cn－cn－1＝2(n≥2)，所以数列{cn}是以c1＝a1＋b1＝3为首项，以2为公差的等差数列
(2)通项公式为cn＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
7．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每
个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请您根据提供的信息说明，求
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了，并说明理由．
解：由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴?a2＝1.2.
由b1＝30，b6＝10，得
∴?b2＝26.
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．
8．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：{}是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
解：(1)证明：xn＝f(xn－1)＝(n≥2且x∈N*)，
∴＝＝＋，
－＝(n≥2且x∈N*)．
∴{}是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝35.
∴x100＝.
课件41张PPT。2.2
等差数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第一课时
等差数列的概念及通项公式第一课时　等差数列的概念及通项公式 1．一个剧场设置了20排座位，从第1排起各排的座位数为：38,40,42,44,46…
2．鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5… 3．某长跑运动员7天里每天的训练量(单位：m)是：
7 500,8 000,8 500,9 000,9 500,10 000,10 500
问题1：这三组数是数列吗？
提示：是数列．
问题2：这三组数有何共同特点？
提示：这三组数的共同特点是：在每一组数中，后
一个数减去前一个数的差都是同一个常数． 等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的 ．通常用字母d表示.同一个公差1,3,5,7,9，…
问题1：该数列是等差数列吗？公差d是多少？
提示：是等差数列，d＝2.
问题2：能否用项数n，表示第n项an呢？
提示：1＝2×1－1，
3＝2×2－1，
5＝2×3－1，
7＝2×4－1，
…………
∴an＝2n－1. 等差数列的通项公式
对于等差数列{an}的第n项an有：
an＝ . a1＋(n－1)d 1．等差数列定义的理解：
(1)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求 是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 2．在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个
变量an、a1、n、d，在这4个变量中可以“知三求一”．其作用为：
(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；
(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首 项
和公差从而可求等差数列中的任一项；
(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意
一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项． [例1]　判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中an＝n2＋n.
[思路点拨]　利用an＋1－an是否为常数进行判断．
[精解详析]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)
＝3(n∈N*)，
由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． [一点通]　判断一个数列是否为等差数列主要是利用定义，利用定义法判断时，关键是看an＋1－an得到的结果是不是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．1．已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(常数p，
q∈R)．p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？解：∵an＝pn2＋qn，
∴an＋1－an＝p(n＋1)2＋q(n＋1)－pn2－qn
＝pn2＋2pn＋p＋qn＋q－pn2－qn
＝2pn＋(p＋q)．
若数列{an}为等差数列，
则p＝0，q为任意实数． [例2]　若等差数列{an}中，ap＝q，aq＝p，且p≠q，
求ap＋q.
[思路点拨]　利用通项公式求出首项和公差，再利用通项公式求ap＋q，或利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数解决． [一点通]　知道等差数列中的任意两项，都可利用方程组的思想求出a1，d，此类解法突出等差数列两个基本量a1，d的作用．此题中的法二计算简捷，但对特殊数列的定义要理解深刻．法三运用了函数思想，an是关于n的一次函数．因此， 点(n，an)都在一条直线上，从而任意两点确定的斜率都是相等的．3．等差数列1，－3，－7，－11，…的通项公式
________．
解析：∵a1＝1，d＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d
＝1＋(n－1)×(－4)
＝5－4n.
答案：an＝5－4n4．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝ a2n，
则 b15等于________．答案：905．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
[例3]　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[思路点拨]　分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可． [精解详析]　由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司会出现亏损．
设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损． [一点通]　(1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．6．已知△ABC内有2 006个点，其中任意三点不共线，把
这2 006个点加上△ABC的三个顶点，共2 009个点作为
顶点组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角
形的个数为________．解析：设△ABC内有n个点时，小三角形有an个．现增加一个点，则此点必落入某一个小三角形内，且此点把此小三角形分成三个与原来所有小三角形都不相叠的三个小三角形，故总数多出了两个，即an＋1＝an＋2.因此，数列{an}是以a1＝3为首项，2为公差的等差数列，于是a2 006＝3＋(2 006－1)×2＝4 013.
答案：4 013
7．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中
间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间
各级的宽度．
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差
数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，
即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，
a11＝103.
所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，
54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. (1)在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，共有四个量．已知任意三个量可求得第四个量，其中首项和公差称之为基本量．涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量a1，d来处理．在解题中，善于选择公式，即尽量减少运算量，可达到快速、准确解题的目的．
(2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法：点此进入
一、填空题
1．已知{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则该数列前10项和S10＝________.
解析：设{an}的公差为d，由已知得

解得
∴S10＝10a1＋×d＝10×1＋×2＝100.
答案：100
2．(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝____________.
解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，
得9×1＋d＝4×1＋d，
所以d＝－.又ak＋a4＝0，
所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0.
即k＝10.
答案：10
3．对于两个等差数列{an}和{bn}，有a1＋b100＝100，
b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和S100为________．
解析：∵{an}和{bn}成等差数列，
∴{an＋bn}也是等差数列．
∴S100＝
＝
＝10 000.
答案：10 000
4．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析：∵an＝2n－7，∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.
答案：153
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项an＝________；若它的第k项满足5解析：由an＝＝，得an＝－8＋(n－1)×2＝2n－10，由5答案：2n－10,8
二、解答题
6．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知a2＋a4＝，求S5.
解：(1)法一：∵a6＝10，S5＝5，
∴解得
∴a8＝a6＋2d＝16.
法二：∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3(a1＋10)＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.
∴a8＝a6＋2d＝16.
(2)法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，
∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d＝5(a1＋2d)＝5×＝24.
法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝.
∵Sn＝，∴S5＝＝×＝24.
7．Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若Sn＝2n2＋3n，求an；
(2)若Sn＝3n－2，求an.
解：(1)a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，
当n＝1时也适合，
∴an＝4n＋1.
(2)a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1，
显然a1不适合，
∴an＝
8．(2011·临沂高二检测)已知{an}为等差数列， Sn是{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75.
(1)求证：数列{}是等差数列
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得
，解得
则Sn＝－2n＋×1.
∴＝－2＋(n－1).
∵－＝，
∴数列{}是等差数列．
(2)由(1)知数列{}是以－2为首项，为公差的等差数列．
∴Tn＝－2n＋×＝n2－n.
课件44张PPT。2.2
等差数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第三课时
等差数列的前n项和第三课时　等差数列的前n项和 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案．
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1,2,3，…，n，…问题1：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式
Sn＝a1＋a2＋…＋an?问题2：试用a1，d，n表示Sn.等差数列的前n项和公式已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n.
问题1：由Sn求出a1，a2.
提示：a1＝S1＝2，
a2＝S2－S1＝22＋2－2＝4.
问题2：Sn，Sn－1，an有何关系？(n≥2)
提示：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.，，[例1]　已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[思路点拨]　根据等差数列前n项和公式解方程．
[一点通]　一般地，对于等差数列{an}的五个基本量a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个量， 通过方程组可以求得另外两个量，“知三求二”，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程．1．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则
该数列的公差d＝________.答案：32．(2011·石家庄二模改编)等差数列{an}的前n项和为
Sn，若a2＋a7＋a9＝9，则S11的值为________．答案：553．已知数列{an}中，a1＝－7，a2＝3，an＋2＝an＋2，
求S100的值． [一点通]　使用an＝Sn－Sn－1(n≥2)时，要注意对n＝1进行检验，适合即所求，不适合写成分段函数的形式．4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________．
解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：155．已知数列{an}的前n项和Sn＝5n－3，则数列{an}的通
项公式为________． [例3]　在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，求数列{|an|}的前n项和．
[思路点拨]　先求数列an的通项公式，然后根据an，去掉绝对值求和． [一点通]　求数列{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正，哪些项为负，最终应化去绝对值符号进行求和，一般地，此类题的最后结果都是分段函数的形式．6．已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.解：由于an有正也有负，当an≥0时，|an|＝an，
当an<0时，|an|＝－an.当an＝10－3n≥0时，n≤3，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|7．等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列 {|an|}的
前n项和． (1)等差数列前n项和公式的理解：
①当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较
为简便；
②当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较
好．
③由Sn＝an2＋bn(a≠0)是关于n的二次函数可以说明{an}是等差数列．可利用an与Sn的关系求出an后判断． (2)an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数成立．由Sn求通项公式an时，要分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．点此进入
一、填空题
1．数列{an}是等差数列，已知a1＝3，a3＝5，则a5＝________.
解析：∵{an}是等差数列，
∴2a3＝a1＋a5.
∴a5＝2a3－a1＝2×5－3＝7.
答案：7
2．(2011·青岛模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若
am＝8，则m＝________.
解析：∵a3＋a13＝a6＋a10＝2a8，
且a3＋a6＋a10＋a13＝32.
∴4a8＝32.
∴a8＝8.
∵d≠0，
∴m＝8.
答案：8
3．在等差数列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75.则其通项公式an＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵a6＋a7＋a8＝75，
∴3a7＝75.
∴a7＝25.
∵a3＋a12＝a7＋a8，∴a8＝60－25＝35.
∴d＝a8－a7＝10.
∴an＝a7＋(n－7)×d＝25＋(n－7)×10
＝10n－45.
答案：10n－45
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，
则2a9－a10的值为________．
解析：∵2a8＝a2＋a14，a2＋2a8＋a14＝120，∴a8＝30.又∵2a9＝a8＋a10，
∴2a9－a10＝a8＝30.
答案：30
5．若等差数列的前三项依次是，，，那么这个数列的第101项是________．
解析：由已知得2×＝＋，
解得x＝2.
∴a1＝，d＝.
∴a101＝＋100×＝8.
答案：8
二、解答题
6．若数列{an} 为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
解：法一：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴解得
∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
法二：∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．
设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．
∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
7．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
解：显然a－4(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2 (a＋2)，∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，
则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
8．有四个数，前三个数成等差数列，首末两数之和为16，中间两数之和为12，第二个数与第四个数之积等于第三个数的平方，求此四数．
解：由题意设此四数依次为a－3d，a－d，a＋d，，
则
化简得
解之得或
故此四数依次为：0,4,8,16或15,9,3,1.
课件41张PPT。2.2
等差数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知知识点一知识点二第二课时
等差数列的性质第二课时　等差数列的性质已知等差数列{an}中，公差d.
问题1：计算前三项间的关系，
提示：∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
∵a2－a1＝a3－a2，
∴a1＋a3＝2a2.
问题2：an，an＋1，an＋2有什么关系？
提示：∵an＋1－an＝an＋2－an＋1＝d，
∴an＋an＋2＝2an＋1.在等差数列{an}中，公差为d，
问题1：a1，a2，a8，a9有什么关系？
提示：∵a2＝a1＋d，
a8＝a1＋7d，
a9＝a1＋8d，
∴a1＋a9＝a2＋a8.
问题2：a1，a4，a7，a10，a13能构成等差数列吗？
提示：能，公差为3d. 若{an}是等差数列，d为公差，则有如下性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则an＋am ＝ap＋aq.特别地：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)， 则
an＋am＝2ap.
(2)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(3)下标为等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…仍组成等差数列，且公差为md. (4)数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列，且公差为λd.
(5){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也为等差数列．
(6){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
(7){an}是等差数列，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差数列．对于性质：若m＋n＝p＋q，则
am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)的要求：
①两边下标和相等，
②两边相加的项数一样多．
③可推广到三项或三项以上，即
若m＋n＋p＝q＋k＋l，则
am＋an＋ap＝aq＋ak＋al. [例1]　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列．求：p，q的值．
[思路点拨]　由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p、q的等式，结合x1＝3推出2p＋q＝3，从而得p、q.[精解详析]　由x1＝3，得2p＋q＝3， ①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，
3＋25p＋5q＝25p＋8q， ②
由①，②得，q＝1，p＝1. [一点通]　若三数a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即b为a，c的等差中项，反之，也成立，这个结论在已知等差数列的题中经常用到．1．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，
则它的第5项为________．
解析：由已知得
2(2x＋1)＝x＋4x＋2，
解得x＝0.
故数列为0,1,2,3.
∴an＝n－1.
∴a5＝5－1＝4.
答案：42．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，
则m与n的等差中项是________．答案：33．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值
分别为________，________，________.
解析：∵8，a,2，b，c是等差数列，
∴2a＝10，∴a＝5.
∴b＝－1，c＝－4.
答案：5，－1，－4? [例2]　(1)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36.求a5＋a8.
(2)数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，求a5＋a8.
[思路点拨]　利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题． [精解详析]　(1)法一：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，
∴4a1＋22d＝36.则2a1＋11d＝18.
而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，
因此，a5＋a8＝18. 法二：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋ a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
(2)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，
故a5＋a8＝a3＋a10＝3. [一点通]　利用等差数列性质时，要注意各性质的使用条件．4.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，
则a2＝ ________.
解析：∵{an}是等差数列，
∴a4＋a5＝a7＋a2.
∴a2＝15－12＝3.
答案：35．等差数列{an}中， 若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，
则a10＋a11＋a12＝________.
解析：∵{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12.
成等差数列．
∴a10＋a11＋a12＝2[(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)]＋
(a4＋a5＋a6)＝2×(9－3)＋9＝21.
答案：216．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17
＝117，则a3＋a15＝________.
解析：∵a1＋a17＝a5＋a13＝2a9，
∴(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9，
＝2a9－2a9＋a9＝117.
∴a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
答案：234 [例3]　(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[思路点拨]　(1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；
(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)． [精解详析]　(1)法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，
三个数为－2,2,6或6,2，－2. (2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. [一点通]　利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．7．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，
前三项之积为231，求数列 {an}的通项公式． (1)等差中项主要有两方面的用途：①利用等差中项的性质简化计算．
②判定数列是否为等差数列，对于数列{an}中任意三项an、an＋1、an＋2，若有an＋an＋2＝2an＋1，则可以判定数列{an}为等差数列．
(2)等差数列的性质主要是用来简化运算，要熟练掌握、灵活运用，提高计算速度和准确度．点此进入课件44张PPT。2.2
等差数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知第四课时
等差数列前n项和的性质第四课时　等差数列前n项和的性质已知数列{an}是等差数列，a1＝1，d＝2，Sn是其前n项和．
问题1：S2，S4，S6分别是多少？
问题2：S2，S4，S6之间有什么关系？
提示：∵S2＝4，S4－S2＝12，S6－S4＝20.
∴S2＋(S6＋S4)＝2(S4－S2)．
即S2，S4－S2，S6－S4成等差数列．(1)当a1>0，d<0时，Sn有最大值．
(2)当a1>0，d>0时，Sn有最小值．
[例1]　一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[思路点拨]　解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解． [一点通]　解决此类问题的常规法是利用前n项和公式建立方程组，求出首项和公差，再求解，这种方法思路清晰，但运算量大易出错，利用等差数列前n项和的性质求解则可起到事半功倍的效果．1．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它
的中间项为________．答案：5 [例2]　递减的等差数列{an}的前n项和Sn，满足
S5＝S10，求使Sn取最大值时的n值．
[思路点拨]　由等差数列的性质寻找正、负项的分界点，确定n的值或由S5＝S10得出a1和d的关系，利用Sn的函数特性求n的值．[精解详析]　法一：∵S5＝S10，
∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴a8＝0.由于数列递减，故数列前7项为正，从第9项开始为负．
∴Sn取最大值时，n＝7或8. [一点通]　求等差数列的前n项和的最值的方法：
1．根据项的正负来定：
(1)若a1>0，d<0，则数列的所有正数项之和最大．
(2)若a1<0，d>0，则数列的所有负数项之和最小．3．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取
最大值的n的值为________．
解析：a1＝24, 若an＝26－2n＝0，得n＝13.
当n≤13时，an≥0，当n>13时，an<0.
∴Sn取得最大值时，n＝12或13.
答案：12或134．在等差数列{an}中，d<0，a18＋a19＝0，则{an}的前
n项和Sn中最大的是________．
解析：∵d<0，a18＝－a19，
∴a18>0，a19<0.
∴{an}的前n项和Sn中最大的是S18.
答案：S18.5．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的
和最小？ [例3]　有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依此类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？
[思路点拨]　先求出购买n台时甲商场的售价，再与购买n台时乙商场的售价作差比较． [精解详析]　设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数成等差数列{an}，
则an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440,800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于18时，每台售价为(800－20n)元，
在台数大于或等于18时，每台售价440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600(元)．
又(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
所以，当n＜10时，600n＜(800－20n)n； 当n＝10时，600n＝(800－20n)n；
当10＜n＜18时，(800－20n)n＜600n；
当n≥18时，440n＜600n.
所以当购买台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买多于10台时，到甲商场购买花费较少． [一点通]　在解决实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．在这里要注意建立相应的数学模型，通过解答数学问题实现实际问题的解决．6．用分期付款方式买家用电器一件，价格为1 150元， 购
货时付150元，购买后一个月付50元，并加付款利息，
月利率1%，如此下去，直至将贷款及利息付清，若交
付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问
分期付款的第10个月该交付多少 钱？全部贷款付清后，
买这件家用电器实际花了多少钱？解：第1个月交付a1＝50＋1 000×0.01＝60(元)．
第2个月交付a2＝50＋(1 000－50)×0.01＝59.5(元)．……
第10个月交付a10＝50＋(1 000－9×50)×0.01＝55.5(元)．
则第n个月交付an＝50＋[1 000－(n－1)·50]×0.01＝60.5－0.5n.
显然20个月付清，共花150＋S20＝1 255(元)，
答：第10个月该交付55.5元，全部贷款付清后，实际花了1 255元．
7．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运
动．甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走
1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续
每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，
那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 等差数列的前n项和的性质
等差数列前n项和的性质可以简化运算，化难为易，因此要熟练掌握，灵活运用．
(1)求数列前n项和的最值问题的方法：①运用配方法将前n项和转化为二次函数，借助函数的性质解决问题．②通项公式法：求使an≥0成立的最大n值，当an<0时，Sn一、填空题
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
解析：∵am－1＋am＋1＝2am，
∴2am－am2＝0.
∴am＝0或am＝2.
∵S2m－1＝38，　∴am≠0.
∴S2m－1＝＝
＝＝38.
∴m＝10.
答案：10
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则S9＝________.
解析：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
即3,21，S9－24成等差数列．
∴3＋S9－24＝2×21.
∴S9＝63.
答案：63
3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第________项的和最大．
解析：由an＝－n2＋10n＋11＝－(n＋1)(n－11)，得a11＝0，而a10＞0，a12＜0，
S10＝S11.因此数列的前10项和或前11项和相等，都是数列的前n项和的最大值．
答案：10或11项
4．(2012·济宁高二检测)在等差数列{an}中，已知a3∶a5＝，则S9∶S5的值是________．
解析：＝＝＝×＝×＝.
答案：
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝2 009，且－＝，则a4＝________.
解析：记数列{an}的公差为d，∵－＝，根据等差数列的前n项和公式可得－＝，即a2 012－a2 009＝3，∴3d＝3，∴d＝1，故a4＝2 009＋3＝2 012.
答案：2 012
三、解答题
6．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.
解：法一：设此数列首项为a1，公差为d，
则
解得d＝5.
法二：?
∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.
7．已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，
(1)求公差d的值；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
解：(1)由11a5＝5a8－13，得
11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13.
∵a1＝－3，∴d＝.
(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×，
令an≤0，得n≤，
∴a1＜a2＜…＜a6＜0＜a7＜….
∴Sn的最小值为
S6＝6a1＋＝6×(－3)＋15×
＝－.
8．据估计，由于伊拉克战争的影响，伊拉克将产生100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊拉克难民运送食品．第1天运送1 000 t，第2天运送1 100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天减少100 t，总共运送21 300 t，连续运送15天，求在第几天达到运送食品的最大量？
解：设在第n天达到运送食品的最大量，则前n天每天运送的食品量是首项为1 000，公差为100的等差数列，项数为n.
所以an＝1 000＋(n－1)·100＝100n＋900.
其余每天运送的食品量是首项为100 n＋800，公差为－100的等差数列，项数为15－n，
依题意，得[1 000n＋×100]＋[(100n＋800)·(15－n)＋×(－100)]＝21 300.
整理化简，得n2－31n＋198＝0，
解得n＝9或n＝22(舍去)．
所以在第9天达到运送食品的最大量．

一、填空题
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则
a7＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得
　两式相除得q＝2.
∵a1(1＋q)＝3，
∴a1＝1.
∴a7＝a1q6＝1×26＝64.
答案：64
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
解析：由已知得，∴q3＝.
∴q＝.
答案：
3．某公司第一年获得1万元的利润，以后每年比前一年增加30%的利润，如此下去，则该公司第10年获得利润为________．(精确到万元)．
(参考数据：1.39≈10. 60,1.310≈13.78,1.311≈17.92)
解析：由题意知各年的利润成公比为1.3的等比数列，首项a1＝1，则
a10＝1×1.39＝10.60≈11(万元)
答案：11万元
4．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于________．
解析：∵1＋2an＝(1＋2a1)·qn－1＝(1＋2a1)·2n－1
∴1＋2a6＝5×25，∴a6＝79.5.
答案：79.5
5．(2011·苏州模拟)在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________.
解析：设公比为q，则＝q10＝，＝q90＝(q10)9＝()9，故a99＋a100
＝()9(a9＋a10)＝.
答案：
二、解答题
6．在等比数列{an}中，
(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；
(2)已知a1＝，an＝，q＝，求n.
解：(1)∵a6＝a3q3，∴q3＝27，∴q＝3，
∴a5＝a6·＝81.
(2)∵an＝a1qn－1，∴＝·n－1，
∴n－1＝3，∴n＝4.
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.
8．(2011·河北高二检测)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由已知得
2×q3＝16，解得q＝2.
∴数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.
(2)设数列{bn}的公差为d，由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
∴
解得
∴bn＝b1＋(n－1)d＝12n－28.
∴{bn}的前n项和为
Sn＝＝6n2－22n.

一、填空题
1．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，
则＝________.
解析：a4＝a1()3＝a1，S4＝＝a1，
∴＝15.
答案：15
2．(2011·青岛一模)在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为________．
解析：设等比数列{an}中的公比为q，根据题意及等比数列的性质可知：＝27＝q3，所以q＝3，所以a1＝＝3，所以S4＝＝120.
答案：120
3．等比数列：a，－6，m，－54的前n项和Sn＝________.
解析：∵m2＝－6×(－54)，∴m＝±18.
当m＝18时，由(－6)2＝18a，得a＝2，∴q＝－3.
∴Sn＝＝.
当m＝－18时，由(－6)2＝－18a，a＝－2，q＝3，
∴Sn＝＝1－3n，
∴Sn＝1－3n或.
答案：1－3n或
4．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1， Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
解析：由题意可知，q≠1，∴Sn＝.
又∵Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，
∴2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2.即2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2.即2＝q＋q2.
∴q＝－2(q＝1不合题意舍去)．
答案：－2
5．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝________.
解析：由a＝a3·a7，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)．
∵d≠0，∴2a1＋3d＝0.①
∵S8＝32，∴a1＋a8＝8，∴2a1＋7d＝8.②
由①②得
∴S10＝－3×10＋×2＝60.
答案：60
二、解答题
6．在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
解：∵S6≠2S3，
∴q≠1，又S3＝，S6＝，
∴
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①中得a1＝，
∴an＝a1qn－1＝·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
7．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)设各项匀为正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn、若b3＝a3，T3＝7，求Tn.
解：设等差数列{an}的公差为d，则
解之得，∴an＝2n－2.
(2) 设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，
由(1)知a3＝4，∴b3＝4.又T3＝7，∴q≠1.
∴解得或(舍去)
∴Tn＝1×＝2n－1.
8．(2011·课标全国)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＝×()n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)因为bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)
＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.

一、填空题
1．若实数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的个数是________．
解析：∵b2＝ac，又Δ＝b2－4ac＝－3b2<0，
故无交点．
答案：0
2．在正项等比数列{an}中，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.
解析：∵a2a4＝a，a4a6＝a，
∴a＋2a3a5＋a＝25.
∴(a3＋a5)2＝25.
∵an>0，
∴a3＋a5＝5.
答案：5
3．(2011·江苏南通)若实数列1，a，b，c,4是等比数列，则b的值为________．
解析：由已知得1，b,4是等比数列，
∴b2＝4.
∴b＝±2.
∵b是第三项，∴b＝2.
答案：2
4．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
解析：∵＝q7＝＝27，∴q＝2.
∴an＝a3·qn－3＝3·2n－3.
答案：3·2n－3
5．(2011·合肥一模)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±.又q>0，因此有q＝1＋，＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案：3＋2
二、解答题
6．已知正数等比数列{an}中， 若a1＋a2＋a3＝7, a1·a2·a3＝8，求an.
解：∵a1a2a3＝a＝8，
∴a2＝2，∴
∴或
当a1＝1，a3＝4时，q＝2，
此时，an＝2n－1，
当a1＝4，a3＝1时，q＝，
此时，an＝4()n－1.
7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
解：法一：设三个数依次为a，aq，aq2，
由题意知
∴
即，解得＝，得
9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9，或q2＝，∴q＝±3或q＝±，
若q＝3，则a＝1；若q＝－3，则a＝－1；
若q＝，则a＝9；若q＝－，则a＝－9.
故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
法二：设这三个数分别是，a，aq.
?，
得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝.
∴q＝±3或q＝±.故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
8．已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn＝2an，n∈N*.
(1)判断{an}是什么数列，并证明；
(2)若a8＋a13＝，求b1b2·…·b20.
解：(1){an}是等差数列．证明如下：
∵bn＝2an，∴log2bn＝an，
∴an－1＝log2bn－1(n≥2)．
∴an－an－1＝log2.
∵{bn}为等比数列，
∴为常数，log2也是常数．
∴数列{an}为等差数列．
(2)∵bn＝2an，
∴b1b2b3·…·b20＝2a1＋a2＋a3＋…＋a20，
由(1)知{an}为等差数列，且a8＋a13＝，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a20＝10(a8＋a13)＝5，
∴b1b2b3·…·b20＝25＝32.

一、填空题
1．在等比数列{an}中，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝________.
解析：∵a4－a3＝2(S3－S2)，
∴a4＝3a3.
∴q＝3.
答案：3
2．在等比数列{an}中，若＝2，S4＝4，则S8的值为________．
解析：由＝2，得q4＝2，所以S8＝S4＋q4S4＝4＋2×4＝12.
答案： 12
3．数列{an}中，Sn＝3n＋m，当m＝________时，数列{an}是等比数列．
解析：法一：a1＝S1＝3＋m， a2＝S2－S1＝32－3＝6，
a3＝S3－S2＝33－32＝18.
由a1·a3＝a得m＝－1.
法二：数列{an}是等比数列，则前n项和Sn＝a－aqn中常数项与qn的系数互为相反数，
∴m＝－1.
答案：－1
4．(2011·广州一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则
S6＝________.
解析：∵{an}是等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即6,24，S6－30成等比数列．∴242＝6×(S6－30)．∴S6＝126.
答案：126
5．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
解析：由题意知：
∴∴公比q＝＝＝2.
答案：2
二、解答题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2，且n∈N*)，试判断数列{an}是不是等比数列．
解：∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，
∴(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0.
∴an＋1－2an＝0，即＝2(n≥2， n∈N*)．
∴a2，a3，a4，…，an，…，构成公比为2的等比数列．
又a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝1，∴＝1≠2.
∴{an}不是等比数列．
7．已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意得方程组
解得a1＝5，d＝4，
∴数列{an}的通项公式an＝4n＋1.
(2)由an＝4n＋1得，bn＝24n＋1，
∴{bn}是首项为b1＝25，公比为q＝24的等比数列，于是得数列{bn}的前n项和
Sn＝＝.
8．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汏x套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据提供计算时参考：
1.19＝2.36
1.004 99＝1.04
1.110＝2.60
1.004 910＝1.05
1.111＝2.85
1.004 911＝1.06
解：(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b，
由题设可知，1年后的设备为
a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，
2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x
＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，…，
10年后的设备为
a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)
＝2.6a－x×
＝2.6a－16x，
由题设得＝2·，
解得x＝.
(2)全部更换旧设备共需
a÷＝16年．
答：(1)每年应更换的旧设备为套；
(2)按此速度全部更换旧设备共需16年．
课件43张PPT。2.3
等比数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知第一课时
等比数列的概念及通项公式知识点一知识点二第一课时　等比数列的概念及通项公式 (2)一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1,20,202,203，…. (3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055，
问题1：上面数列是等差数列吗？
提示：不是．
问题2：以上数列中后项与前项的比有何特点？
提示：每一个数列后项与前项的比都等于同一常数. 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．同一个常数提示：q≠0.问题2：这n－1个式子相乘后的结果是什么？能求出an吗？问题3：an的表达式与哪种函数相类似？ 等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}，有an＝ ，其中a1为首项，q为公比．
a1qn－1 1．对等比数列的定义的理解
(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一
项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．
(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层
指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比． 2．等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个
量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．1．下面所给四个数列，是等比数列的是________．
①2,4,8,16,20　 ②2,4,6,8,10
③2,4,8,16,32　 ④1，－1,1，－1.
解析：①②不是等比数列，
③④是等比数列，公比是2和－1.
答案：③④2．已知数列{an}中，a1＝2,2an－an－1＋1＝
0(n≥2)．
(1)判断数列{an＋1}是否为等比数列？并说明理由；
(2)求an.
3．(2011·广州一测)各项都为正数的等比数列{an}中，
a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为________．
解析：由已知得
a1q5＝a·q·q2，
∴2·q5＝8·q3.
∵q>0，
∴q2＝4.
∴q＝2.
答案：2 [例3]　从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%? [一点通]　数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．5．某单位某年十二月份的产值是同一年一月
份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增
长率是________．6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报
告，1999年上海市完成GDP(GDP是国民生产总值)
4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、
市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制
在0.08%，若GDP与人口按这样的速度增长，则要
使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需
要多少年？(按1999年本市常住人口总数约1 300万计
算)(lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0) 1．如何理解等比数列的定义：
(1)注意一些关键词：从第2项起、每一项与它的前一项的比、同一个常数．
(2)我们要强调一点：“公比q≠0”，等比数列的每一项都不为0，即an≠0，若公比q或数列中的某一项为0，都会使得定义中的后一项与前一项的比值没有意义． 2．等比数列的通项公式：
在通项公式an＝a1qn－1中，有四个量a1、n、q、 an，已知其中三个可求另一个，或已知两个量，通过构造方程(组)达到求解的目的，在等比数列中，公式an＝amqn－m也称为通项公式．点此进入课件43张PPT。2.3
等比数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知第三课时
等比数列的前n项和第三课时　等比数列的前n项和 计算机已经成为现代生活不可缺少的一部分，而且计算机也在不断更新换代，同时，计算机病毒也在不断升级．某种计算机病毒用两分钟就将病毒由一台计算机传给两台，这两台又用两分钟各传给未感染的另外两台计算机，如此继续下去． 问题1：在病毒传播的过程中被感染病毒的计算机台数能构成数列吗？是什么数列？
提示：能构成数列，是等比数列，首项为1，公比为2.
问题2：S15＝1＋2＋4＋8＋…＋214在本题中代表什么意义？
提示：半小时病毒感染的计算机总数． 问题3：如何用简单的计算方法计算S15＝1＋2＋4＋8＋…＋214的值？
提示：因为S15＝1＋2＋4＋8＋24＋…＋214，所以2S15＝2＋4＋8＋16＋…＋215两式相减，得－S15＝1－215，
∴S15＝215－1＝32 767(台) 等比数列前n项和公式
设数列{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，则其前n项和 [例1]　在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
[思路点拨]　利用等比数列的求和公式构造方程或方程组直接求得．答案：16　12．(2011·福建质检)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3
项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.答案：4n－13．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，
已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．由②得1－q4＝5(1－q2)，即(q2－4)(q2－1)＝0.
∵q<1，　∴q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，此时an＝2×(－1)n－1，
当q＝－2时，代入①得a1＝ ，此时an＝ ×(－2)n－1
综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1，
当q＝－2时，an＝ ×(－2)n－1. [例2]　求和S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]　讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方法．
[精解详析]　(1)当x＝0时，
Sn＝0. [一点通]　(1)用错位相减法求和的条件是此数列的每一项均为等差数列与等比数列乘积的形式．
(2)两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．
(3)注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号．相减后得到一个等比数列的项数多数情况下为n－1.4．求和：Sn＝1＋2×3＋3×7＋…＋n(2n－1)．
解：Sn＝(1×2－1)＋(2×22－2)＋…＋(n·2n－n)
＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)
令S′n＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
2S′n＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
∴－S′n＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝2(2n－1)－n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2.
∴S′n＝(n－1)·2n＋1＋2.
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2－n(n＋1)． [思路点拨]　(1)列方程组求出a1和q即可．
(2)bn可以转化为两个等比数列的通项公式和一个常数数列通项公式相加，求和时重新组合即可． [一点通]　(1)解决综合问题的关键是能根据题设条件选择相应的公式，并能正确的计算．
(2)分组求和：将数列的每一项拆成多项，然后重新组合，将一般数列求和问题转化成几个特殊数列求和问题，这种数列求和方法叫分组求和法，这种方法的关键是将通项变形分成几个特殊数列的通项．6．(2011·郑州一模)已知数列{xn}满足lg xn＋ 1
＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋
x100＝1，
则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.答案：1007．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，
其中bn>0，求数列{bn}的前n项和． 式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成的，
而指数式的系数与常数项互为相反数，由此可以根
据前n项和公式判断等比数列，即非常数列的等比数
列是Sn＝aqn－a(a≠0，q≠1，n∈N*)的等价条件．
(3)在含字母参数的等比数列求和时，应分q＝1与
q≠1两种情况进行讨论．点此进入课件44张PPT。2.3
等比数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二考点三理解教材新知第二课时
等比数列的性质知识点一知识点二第二课时　等比数列的性质问题1：若1，a,9成等比数列，则a的值唯一吗？
提示：不惟一，a＝±3.
问题2：若a、b、c成等比数列，则a，c的符号有何要求？
提示：b2＝ac，a，c必须同号．
问题1：若数列{an}的公比为q1，(1)、(2)中的数列是等比数列吗？ 问题2：若{an}、{bn}的公比为q1、q2，则(3)、(4)中的两个数列是等比数列吗？ 等比数列的性质
1．(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为0的数m，所得数列仍为等比数列，公比仍为q.
(2)公比为q的等比数列，从中取出等距离的项组成 一个新数列，则新数列仍是等比数列，其公比为qm(m为等距离的项数之差)，即ak，ak＋m，ak＋ 2m，…，ak＋mn成等比数列． [例1]　等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
[思路点拨] 设出首项，公比，构造方程组，求得a1，q，求等比中项． [精解详析]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2－a5＝42，所以q≠1，由已知，得
因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 1．若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，则a＝________.
解：由a,2a＋2,3a＋3成等比数列，则(2a＋2)2＝
a(3a＋3)，即a2＋5a＋4＝0.
解得：a＝－1或a＝－4.
当a＝－1时，三个数为－1,0,0不成等比数列，
当a＝－4时，满足条件．
∴a＝－4.
答案：－42．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，
则公比为________．3．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4
成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.由①、②两式，解得b＝5.
将c＝10－a代入③，整理得a2－13a＋22＝0，解得a＝2，或a＝11，
故a＝2，b＝5，c＝8或a＝11，b＝5，c＝－1, 经验证，上述两组数都符合题意.[例2]　在等比数列{an}中，
(1)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值；
(2)若a2＝2，a6＝16，求a10；
(3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5. [一点通]　等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．答案：36．等比数列{an}中，an为正实数，a3a6＝32，则 log2a1＋
log2a2＋…＋log2a8的值为________．
解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8
＝log2(a1·a2·a3…a8)＝log2(a3·a6)4
＝log2324＝log2220＝20.
答案：20 [例3]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数．
[思路点拨]　解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解． [一点通]　当遇到三个数或四个数成等差数列或等比数列时，可根据情况合理地设出三个数，再根据题意得到另一个，从而构造方程或方程组求得．7．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比
为________．答案：1答案：216 (1)等比数列的性质：
等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列为递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列为递减数列；
当q＝1时，数列为常数列；
当q＜0时，数列为摆动数列．点此进入课件32张PPT。2.3
等比数
列
把握热点考向应用创新演练第二章
数列考点一考点二理解教材新知第四课时
等比数列前n项和的性质第四课时　等比数列的前n项和的性质 数列{an}是等比数列，公比为q，Sn为前n项和．
问题1：若a1＝1，q＝2，S4、S6、S10为多少，它们有什么关系？
提示：S4＝24－1，S6＝26－1，S10＝210－1，
S10＝24－1＋24(26－1)＝26－1＋26(24－1)
＝S4＋24·S6＝S6＋26·S4.问题3：若a1＝1，q＝2，S3，S6－S3，S9－S6有什么关系？提示：S3＝23－1，S6－S3＝26－23＝23(23－1)，
S9－S6＝29－26＝26(23－1)，
∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，且公比为23.
(3)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是
函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点；
当q＝1时，数列S1，S2，S3，…Sn，…的图象是正
比例函数y＝a1x图象上一群孤立的点．[例1]　等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求S4.
[思路点拨]　可利用等比数列前n项和性质求解．
[精解详析]　∵{an}是等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列．
即7，S4－7,91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7×(91－S4)，
解得S4＝28或－21，
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)>0，
∴S4＝28. [一点通]　此类问题的解题通法是利用等比数列前n项和建立方程组，求出a1和q，再求解，这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之功效．1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋ a4＝4，
则a5＋a6＝　　　　.
解析：∵{an}是等比数列．
∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，
∴a5＋a6＝2·22＝8.
答案：82．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项
之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比
数列的项数为________．答案：8 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an、bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
[思路点拨]　根据题意建立数学模型，由题意可知，每年的总投入构成等比数列，每年的总收入也构成等比数列，用等比数列知识解决即可． [一点通]　对于有些数列应用题，解题的关键在于认真阅读题意，抓住关键，建立相应的等差、等比数列的模型．另外要注意分清求的是数列的通项还是前n项和．4．某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银
行，月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年
就将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利
为6%，问三年取出本利共多少元(保留到个位)? 要注意等比数列前n项和性质的使用条件，条件不具备时，性质不一定成立，如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…满足(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)，但Sm，S2m－Sm、S3m－S2m不一定成等比数列，只有在一定的限制条件下才成等比数列．点此进入
一、填空题
1．已知等差数列{an}中，a1＝1，公差d>0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的第2项，第3项和第4项，则
an＝________.
解析：设等差数列的公差为d，
∵等差数列{an}的a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4，而a1＝1，
∴(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2，
解得d＝2或d＝0(舍去)，
∴an＝2n－1.
答案：2n－1
2．(2011·揭阳一模)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为________．
解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
解得a1＝2d，
故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.
答案：2
3．(2011·宝鸡一检)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________．
解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
则S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1q，
S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2.
由S1,2S2,3S3成等差数列，
得2·2S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，
从而可得3q2－q＝0，解得q＝0或q＝.
因为q≠0，所以q＝.
答案：
4．(2011·抚顺六校二模)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.等比数列{bn}满足
b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，则数列{bn}的前n项和为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝－6，a6＝0，
所以
解得a1＝－10，d＝2，
所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.
设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，即q＝3.
所以{bn}的前n项和Sn＝＝4(1－3n)．
答案：4(1－3n)
5．(2011·杭州二检)已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4＝b3，且存在常数α、β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则αβ＝________.
解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则，
解得(舍去)或
所以an＝2n，bn＝4n－1.若an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则满足2n＝logα4n－1＋β
即2n＝(n－1)logα4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.
答案：4
二、填空题
6．设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝165且a1、a2、a4成等比数列．
(1)证明a1＝d；
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为a1、a2、a4成等比数列，所以a＝a1a4.
而{an}是等差数列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d.
于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
即a＋2a1d＋d2＝a＋3a1d.
化简，得a1＝d.
(2)由条件S10＝165和S10＝10a1＋d，得到10a1＋45d＝165.
由(1)知a1＝d，代入上式，得55d＝165，故d＝3，
an＝a1＋(n－1)d＝3n.
因此，数列{an}的通项公式为an＝3n，n＝1,2,3，….
7．数列{an}为等差数列，且an为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，S2b2＝64.试求an，bn的通项公式．
解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
依题意有①
由(6＋d)q＝64，知q为正有理数，
又qd＝26，故d为6的因子1,2,3,6之一，解①得d＝2，q＝8，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
8．已知{an}是各项均为正数且各不相等的等差数列，lg a1、lg a2、lg a4成等差数列．又bn＝，n＝1,2,3，….
(1)证明：{bn}为等比数列；
(2)如果数列{bn}前3项的和等于，求数列{an}的首项a1和公差d.
解：(1)证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，
∴2lga2＝lga1＋lga4，即a＝a1·a4.
又设等差数列{an}的公差为d，则
(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
这样d2＝a1d，从而d(d－a1)＝0.
∵d≠0，∴d＝a1≠0.
a2n＝a1＋(2n－1)·d＝2n·d，bn＝＝·，
∴{bn}是以为首项，以为公比的等比数列．
(2)∵b1＋b2＋b3＝(1＋＋)＝，
∴d＝3，∴a1＝d＝3.
，
?对应配套检测卷P?
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上)
1．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝，则
a2 012＝________.
解析：∵a1＝1，a2＝2，an＝，
∴a3＝2，a4＝1，
a5＝，a6＝，
a7＝1，a8＝2.
∴an＋6＝an，从而a2 012＝a2＝2.
答案：2
2．等比数列{an}的前n项的和为Sn，如果S3∶S2＝3∶2，则公比q的值为________．
解析：当q＝1时，S3＝3a1，S2＝2a1，满足S3∶S2＝3∶2.
当q≠1时，∵＝＝＝，
∴2－2q3＝3－3q2，即2q3－3q2＋1＝0，
解得q＝－.
∴q＝1或－.
答案：1或－
3．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
∴a6＝13.
答案：13
4．数列{an}的前n项和Sn＝an－3，则这个数列的通项公式为________．
解析：a1＝S1＝a1－3，∴a1＝6.Sn＋1＝an＋1－3.
∴Sn＋1－Sn＝an＋1－an.∴an＋1＝an＋1－an.
∴an＋1＝3an.{an}是等比为3的等比数列．
∴an＝6×3n－1＝2×3n.
答案：2×3n
5．等差数列18,15,12，…，前n项和的最大值为________．
解析：由已知得a1＝18，d＝－3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝18－3(n－1)＝21－3n.
∴当n＝7时，a7＝0.
∴Sn最大值为S7＝18×7＋×(－3)＝63.
答案：63
6．(2011·浙江杭州)已知数列{an}的前n项和Sn＝
n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝________.
解析：a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝122＋12＋1－(72＋7＋1)＝100.
答案：100
7．已知等差数列{an}，公差d≠0，a1，a3，a4成等比数列，则＝________.
解析：由题意得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
∵d≠0，∴a1＝－4d.
∴an＝－4d＋(n－1)d，
即an＝(n－5)d，
∴＝＝.
答案：
8．(2011·安徽百校)正项等比数列{an}中，＋＋＝81，则＋＝________.
解析：∵在正项等比数列{an}中，＋＋＝81，∴＋＋＝81.
∴(＋)2＝81.∴＋＝9.
答案：9
9．定义“等平方和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等平方和数列，这个常数叫做该数列的平方和．已知数列{an}是平方和数列，且a1＝1，平方和为5，an>0，则a2009＝________.
解析：由定义知a＋a＝5，a1＝1，∴a＝4.
∵an>0，∴a2＝2，又由a＋a＝5，∴a＝1.
∵an>0，∴a3＝1，由此可知a4＝2，a5＝1，….
即数列{an}的奇数项均为1，偶数项均为2.
∴a2009＝1.
答案：1
10．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程3x2－11x＋9＝0的两根，则a5的值为________．
解析：由已知得
∴a3>0，a7>0.
∴a＝a3·a7＝3.
∴a5＝.
答案：
11．(2011·山东潍坊)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{}的前n项和Sn＝________.
解析：由a1＝3，a4＝81，得q3＝＝27，∴q＝3.
∴an＝3n.∴bn＝log3an＝log33n＝n.又b1＝log3a1＝1，
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝＝－.
∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
答案：
12．已知数列{an}满足＝(n∈N*)且a1＝1，则an＝________.
解析：累乘法求数列通项公式：an＝a1×××…×＝1××××…×＝.
答案：
13．(2012·温州市八校联考)已知等比数列{an}满足an＞0(n∈N*)，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝________.
解析：由等比数列的性质可知a5a2n－5＝a.又a5a2n－5＝22n，所以an＝2n.又log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.
答案：n2
14．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m3，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2，则该商品房各层的平均价格为________．
解析：设第二层到第22层的价格构成数列{bn}，则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，故平均价格为(a1＋a2＋23.1a)元/m2.
答案：(a1＋a2＋23.1a)元/m2
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝[1－(－)n]．
16．(本小题满分14分)已知等差数列{an}中，a7＝－2，a20＝－28，
(1)求通项an；
(2)若an<－8，求n的范围；
(3)求Sn的最大值．
解：(1)由已知得a1＋6d＝－2，a1＋19d＝－28.联立两式，得a1＝10，d＝－2.
故an＝－2n＋12.
(2)由an＝－2n＋12<－8，得n>10.
(3)Sn＝na1＋n(n－1)d＝－(n－)2＋，故当n＝5或6时，Sn取得最大值．
17．(本小题满分14分)数列{an}中，an＝32，Sn＝63，
(1)若数列{an}是公差为11的等差数列，求a1；
(2)若数列{an}为以a1＝1为首项的等比数列，求数列{a}的前m项和Sm′.
解：(1)依题意，得
解得
(2)
解得：q＝2.
从而a＝q2(m－1)＝4m－1，∴Sm′＝＝(4m－1)．
18．(本小题满分14分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意，得解得
∴an＝2n－1.
(2)bn＝2an＋2n＝·4n＋2n，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n
＝·4n＋n2＋n－.
19．(本小题满分16分)假设某地区2011年教育投入400万元，其中有240万元用于义务教育，预计在今后的若干年内，该地区每年教育投入平均比上一年增长10%.另外，每年教育投入中，义务教育的投入资金均比上一年增加60万元，那么，到哪一年底，
(1)该地区历年义务教育投入的累计资金(以2011年为累计的第一年)将首次不少于3 600万元？
(2)当年用于义务教育的资金占该年教育投入资金的比例首次大于80%？(参考数据：1.14≈1.46,1.15≈1.61)．
解：(1)设该地区义务教育的投入资金形成数列{an}，
由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝240，d＝60，
则Sn＝240n＋×60＝30n2＋210n，
令30n2＋210n≥3 600，即n2＋7n－120≥0，而n是正整数，n≥8，故最小正整数n＝8.
即到2018年底，其义务教育投入的累计资金将首次不少于3 600万元．
(2)设每年教育投入资金形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.1，则bn＝400· 1.1n－1，
由题意可知an>0.80bn，有240＋(n－1)·60>400·1.1n－1·0.80，
满足上述不等式的最小正整数n＝5.
即到2015年底，当年用于义务教育的投入资金占该年教育投入资金的比例首次大于80%.
20．(本小题满分16分)(2011·江苏南通)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn－tSn－1＝n(n≥2，n∈N*，t为常数)，且a1＝1.
(1)当t＝2时，求a2和a3；
(2)若{an＋1}是等比数列，求t的值．
解：(1)因为t＝2及Sn－tSn－1＝n，得
Sn－2Sn－1＝n.
所以(a1＋a2)－2a1＝2且a1＝1，解得a2＝3.
同理(a1＋a2＋a3)－2(a1＋a2)＝3，解得a3＝7.
(2)当n≥3时，Sn－tSn－1＝n，
得Sn－1－tSn－2＝n－1，
两式相减得an－tan－1＝1，(*)
即an＋1＝tan－1＋2.
当t＝0时，an＋1＝2，显然{an＋1}是等比数列；
当t≠0时，令bn＝an＋1＝tan－1＋2，可得bn＝tbn－1＋2－t.
因为{an＋1}是等比数例，所以{bn}为等比数列．
当n≥2时，bn＋1·bn－1＝b恒成立，
即[tbn＋(2－t)]·＝b恒成立，
化简得(t－2)(t－1)bn－(2－t)2＝0恒成立，
即解得t＝2.
综合上述，t＝0或t＝2.
课件22张PPT。章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测核心要点归纳 一、数列的基本概念和通项公式
1．数列的定义
按一定次序排成的一列数叫做数列，数列中的
每一个数都叫做这个数列的项．
2．通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． 并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列
有通项公式，那么它的通项公式在形式上可以不止一
个．数列的通项公式是数列的核心内容．因此，求数
列的通项公式往往是解题的突破口、关键点．求数列
的通项公式的方法可以归纳为三类：
(1)已知数列的前几项或含待定系数的解析式求通
项；常用的方法是观察分析法、待定系数法等；
(2)已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求
通项，常用an与Sn的关系求解； 二、等差数列
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一
项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差
数列的公差，通常用字母d表示． 3．等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d(n≥1)．
[说明]　将通项公式an＝a1＋(n－1)d变形得an＝
nd＋(a1－d)，从函数角度来看它是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d＝0时)． 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：若当n≥2，n∈N*时，有an－an－1＝d(d为常数) 或当n≥1，n∈N*时，有an＋1－an＝d(d为常数)，则数列{an}是等差数列．
(2)等差中项法：若2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则数列{an }是等差数列．
(3)函数法：若an＝kn＋b(k，b为常数)，或者Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)，则数列{an}是等差数列． 三、等比数列
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的
前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字
母q表示．
[说明]　等比数列与等差数列相比，有相同的地
方，但也有很多不同的方面，例如：在等比数列中，
要求它的每一项都不能为零，因此公比也不能等于零，
在一些判断问题中，要从这个特殊性入手进行判断． 2．等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等
比中项．
[说明]　任意两个实数都有等差中项，且等差
中项是惟一的，但与等差中项不同，只有同号的两
个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有
两个，它们互为相反数．
3．等比数列的通项公式
an＝a1qn－1. [说明]　在利用等比数列的前n项和公式时，如果等比数列的公比q不确定，需分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．点此进入课件83张PPT。考点一考点二考点三考点四高
考
八
大
高
频
考
点
例
析考点五考点六考点七考点八模块综合检测高考八大高频考点例析 [例1]　(2011·新课标全国)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．1．(2011·福建高考)若△ABC的面积为，BC＝2，
C＝60°，则边AB的长度等于________．答案：24.(2011·东北三校二模)港口A北偏东30°
方向的C处有一检查站，港口正东方
向的B处有一轮船，距离检查站为31
海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观
测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离
港口A还有多远？ [例4]　(2011·广州高考)已知{an}是递增等比数列，
a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.[答案]　2 [例5]　(2011·福建高考)已知等差数列{an}中a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．5．已知数列{an}中a1＝－1，an＋1·an＝
an＋1－an，则数列通项an＝________.7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由已知：{an}满足a1＝1，
an＝an－1＋3n－2(n≥2)，
∴a2＝a1＋4＝5，
a3＝a2＋7＝12.(2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：
an－an－1＝3n－2，由递推关系，
得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，
a2－a1＝4，
叠加得： [例6]　(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
[解析]　∵{an}是等差数列且a3＋a7＝37，
∴a3＋a7＝a2＋a8＝a4＋a6.
∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
[答案]　749．(2012·广东深圳)设等差数列{an}的前n项和为Sn，
若S9＝81，则a2＋a5＋a8＝________.答案：2710．(2012·广州高二期未)等比数列{an}中，a1＋a2＝3，
a2＋a3＝6则公比q＝________.答案：2答案：P>Q [例7]　(2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前2n项和S2n.
[解]　(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
故an＝2·3n－1.12．(2010·徐州高二检测)已知等差数列{an}的前3项和为6，
前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的
前n项和Sn.答案：(－∞，6)15．(2011·海淀5月抽检)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在
[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最
小值0，∴a的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]16．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．[答案]　3答案：3答案：1 [例10]　(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．[答案]　18 [例11]　(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝ 的图像交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________． [解析]　过原点的直线与f(x)＝ 交于P，Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝kx，[答案]　420．(2012·浙江五校)已知x>0，y>0，x＋y＋xy＝8，则x＋y
最小值是________．答案：421.(2012·南京调研)从等腰直角三角形纸
片ABC上，剪下如图所示的两个正方
形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两
个正方形的面积之和的最小值为________．模块综合检测点此进入