【三维设计】高中数学北师大版必修三 配套课件应用创新演练阶段质量检测（全套50份）

1．下列调查中属于抽样调查的是(　　)
①每隔5年进行一次人口普查；
②某商品的质量优劣；
③某报社对某个事件进行舆论调查；
④高考考生的身体检查．
A．②③　　　　　　　　B．①④
C．③④ D．①②
解析：①④为普查，②③为抽样调查．
答案：A
2．(2012·铜仁高一检测)期末考试结束后，某校为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是
(　　)
A．1 000名学生是总体
B．每名学生是个体
C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本
D．样本的容量是100
解析：由于研究的对象是学生的成绩，因此，总体是1 000名学生的学习成绩，样本是被抽查的100名学生的成绩，个体是每个学生的成绩，而样本容量为100.
答案：D
3．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是(　　)
A．某城市　　　　　　B．某城市的所有家庭的收入
C．某城市的所有人口 D．某城市的工薪阶层
解析：所要研究对象的全体称为统计总体，简称总体或母体．要调查某城市家庭的收入情况，根据总体的概念知，在该问题中，总体是某城市的所有家庭的收入．
答案：B
4．下列调查中，样本不合理的是(　　)
①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；
②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；
③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；
④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取3名学生进行调查．
A．①② B．①③
C．③④ D．②④
解析：
题号
判断
原因分析
①
×
在班级前画“√”与了解最受欢迎的教师没关系，故样本不符合有效性原则
②
√
是合理样本
③
×
老年公寓中的老年人不能代表全市老年人，故样本缺少代表性
④
√
是合理样本
答案：B
5．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：
①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；
③在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他身高．
为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________．
解析：①中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果；②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．
答案：③
6．在一次竞选中，规定一个人获胜的条件是：(1)在竞选中得票最多；(2)得票数不低于总票数的一半．如果在计票时，周鹏得票数据丢失，试根据统计数据回答问题：
候选人
赵明
钱红
孙华
李丽
周鹏
得票数
300
100
30
60
x
请问如果周鹏获胜，那么周鹏的得票数x的最小值为________．
解析：根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x不低于总票数的一半，即≥?x≥490，
且x∈N，即周鹏得票数至少为490票．
答案：490
7．为了准确调查我国某一时期的人口数量、人口分布、民族人口、城乡人口、受教育的程度、迁移流动、就业状况、人口住房等多方面情况，需要什么样的统计方法呢？
解：要获得系统、全面、准确的信息，在对总体没有破坏性的前提下，如果想获得第一手的统计数据及资料，普查无疑是一个非常好的方法．要求全面准确调查我国的人口状况，因此应当用普查的方法进行调查．
8．在某电视台工作的小张接到一个去调查某电视节目的收视率的任务，他想：地铁人多且杂，去那里调查得到的样本有代表性，你认为他的想法对吗？
解：他的想法不对．虽然地铁站的人多且杂，但收看的电视节目不是到地铁站的人所决定的，要调查某电视节目的收视率，必须从有电视的家庭中抽取样本才可以.

1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．在2012年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位是2 608的为三等奖
B．富士康公司某车间生产一种产品，在自动生产的传送带上，每隔30 min抽一件产品，检验其质量是否合格
C．山东省某高中学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校素质教育改革的情况
D．用抽签法从50个气球中选取3个进行质量检验
解析：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的时间是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．
答案：D
2．下列抽样中，用抽签法方便的有(　　)
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：根据抽签法的特点可知，B选项用抽签法比较方便．
答案：B
3．已知容量为160，若用随机数法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号正确的是(　　)
A．1,2，…，160
B．0,1，…，159
C．00,01，…，159
D．000,001，…，159
解析：用随机数法抽样时，要保证每个个体的编号的位数要一致．
答案：D
4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A.，　　　　　　　　B.，
C.， D.，
解析：简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
答案：A
5．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样的方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，用抽签法抽样的编号一般为______________，用随机数法抽样的编号一般为________．
答案：0, 1，…99(或1, 2，…，100)　00,01，…，99(或001,002，…，100)
6．高一(1)班有60名学生，学号从01到60，数学老师在上统计课时，利用随机数法选5名学生提问，老师首先选定从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第6列的“1”开始，向右读依次选学号提问，则被提问的5个学生的学号为________．
8 5 7 0　2 1 5 0　8 1 4 0　4 3 5 5　5 3 2 1　2 5 4 8　0 2 0 8　7 5 4 3
9 1 6 9　0 4 0 8　4 3 5 3　6 1 2 2　8 9 1 3　9 9 3 0　4 1 6 9　6 0 3 2
2 1 2 7　0 1 6 2　6 1 7 6　4 9 6 9　8 1 8 5　9 3 1 2　8 7 4 8　8 5 7 5
8 0 9 0　9 8 7 2　1 9 6 8　0 2 6 3　0 0 8 1　2 6 6 2　6 8 3 1　3 1 0 6
2 9 5 9　9 0 1 1　1 4 4 8　4 3 4 6　7 0 1 9　8 1 4 8　1 5 5 7　8 4 0 0
解析：依据选号规则，选取的5名学生的学号依次为： 15,08,14,04,35.
答案：15,08,14,04,35
7．要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，若在抽样过程中采用抽签法，请写出抽样过程．
解：第一步：将30辆汽车编号，号码为01,02，…，30；
第二步：将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；
第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；
第四步：从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
8．假设要从高三年级全班学生450人中随机抽出20人参加一项活动，请分别用抽签法和随机数法抽出人选，写出抽取过程．
解：抽签法：先把450名同学的学号写在相同小纸片上，揉成小球，放在一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出20个小球，这样就抽出20人参加活动．
随机数法：
第一步，先将450人编号，可以编为000,001,002，…，449；
第二步，在随机数表中任取一个数，例如选出第6行的第8个数0；
第三步，从选定的数字开始向右读，每次读3个数字，组成一个三位数，把小于或等于449的三位数依次取出，直到取完20个号码，与这20个号码相应的学生去参加活动．

1．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)
A．12,24, 15,9　　　　　　　　B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
解析：抽样比为＝，因此，从各层依次抽取的人数为160×＝8,320×＝16,200×＝10,120×＝6.
答案：D
2．(2012·泰安高一检测)要从容量为102的总体中用系统抽样抽取一个容量为9的样本，则下列叙述正确的是(　　)
A．将总体分成11组，每组间隔为9
B．将总体分成9组，每组间隔为11
C．从总体中剔除2个个体后分11组，每组间隔为9
D．从总体中剔除3个个体后分9组，每组间隔为11
解析：102＝9×11＋3.所以需从总体中剔除3个个体，分9组，每组间隔为11.
答案：D
3．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名学生参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是(　　)
A．1,2,3,4,5 B．5,16,27,38,49
C．2,4,6,8,10 D．4,13,22,31,40
解析：从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名学生，采用系统抽样的方法需要分成5部分，第一部分学号为1到10，第二部分为11到20，依次类推，要从每个部分都抽一个个体作为样本．
答案：B
4．某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中，依简单随机抽样，系统抽样，分层抽样顺序的是(　　)
方法1：将140人按1～140编号，然后制作出有编号1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌，然后从中抽出20个号签，编号与号签相同的20个人被选出．
方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1≤k≤7)，其余各组k号也被抽出，20个人被选出．
方法3：按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人．从各类人员中抽出所需要人员时，均采用随机数法，可抽到20人．
A．方法2，方法1，方法3
B．方法2，方法3，方法1
C．方法1，方法2，方法3
D．方法3，方法1，方法2
解析：方法1是简单随机抽样，方法2是系统抽样，方法3是分层抽样．
答案：C
5．(2011·天津高考)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解析：抽取的男运动员的人数为×48＝12.
答案：12
6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：第k组的号码为(k－1)×10，(k－1)×10＋1，…，(k－1)×10＋9，当m＝6、k＝7时，第k组抽取的号码的个位 数字同m＋k的个位数字3，所以第7组中抽取的号码是(7－1)×10＋3＝63.
答案：63
7．某学校在校学生2 000人，为了庆祝学校建校60周年，学校举行了“迎60年校庆”跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取多少人？
解：由题意，全校参与跑步的人数占总人数的，高三年级参与跑步的总人数为×2 000×＝450，由分层抽样的概念，得高三年级参与跑步的学生中应抽取×450＝45人．
8．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分成10组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地取出后面各组的号码，即第k组中抽取号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：
024,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为：
0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
又抽取的样本的10个号码中有一个的后两位数是87，
从而x可以是：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．

1．下面哪种统计图没有数据信息的损失，所有的原始数据都可以从该图中得到(　　)
A．条形统计图　　　　　　　 B．茎叶图
C．扇形统计图 D．折线统计图
解析：所有的统计图中，仅有茎叶图完好无损地保存着所有的数据信息．
答案：B
2．当收集到的数据量很大或有多组数据时，需要比较各种数量的多少，用哪种统计图较合适(　　)
A．茎叶图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．扇形统计图
解析：由于需要比较各种数量的多少，并且收集到的数据量很大或有多组数据，符合条形统计图的特点．
答案：B
3．如图为2011年各级学校每10万人口中平均在校生的人数扇形统计图，则下列结论正确的是(　　)
A．2011年有6%的高中生升入高等学校
B．2011年全国高等学校在校生6000人
C．2011年各级学校10万人口中平均在校生数高等学校学生占6%
D．2011年高等学校的学生比高中阶段的学生多
解析：由扇形统计图可以看出，2011年各级学校每10万人口中平均在校生的人数所占的百分比分别为：幼儿园占8%，高等学校占6%，高中阶段占12%，初中阶段占26%，小学占48%.A项中应是高等学校在校学生，B项中6000人应是平均数，D项显然错误．
答案：C
4．(2012·厦门高一检测)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取(　　)
A．10人 B．15人
C．20人 D．25人
解析：由职工的年龄分布情况图可知200名职工中40岁以下年龄段的职工数为200×50%＝100，由总体抽取比例为＝，知40岁以下年龄段应抽取的人数为100×＝20.
答案：C
5．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图所示的条形图表示．根据条形图可得这50名学生在一天平均阅读1h的人数为________．
解析：由条形图可知，这50名学生在一天中平均阅读1小时的人数的频率为0.2，所以在一天中平均阅读1h的人数为50×0.2＝10.
答案：10
6．如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是________．
解析：由图可知5月1日的温差为12℃，5月2日的温差为12℃，5月3日的温差为11℃，5月4日的温差为10.5℃，5月5日的温差为12.5℃，5月6日的温差为10℃，5月7日的温差为10℃.
答案：5月5日
7．为了让市场开发出更多适合消费者需求的房屋，以引导理性开发，理性消费．某房地产营销策划公司对2 000位客户的需求进行了调查，并利用专业的软件进行统计分析，绘制出如图所示的消费者对需求面积的统计分布图(其中需求率＝)．
(1)有多少客户的需求面积在100 m2～140 m2之间？
(2)有多少客户的需求面积小于100 m2?
解：(1)从表中可以看出，需求面积在100 m2～140 m2之间的需求率为49.55%＋12.2%＝61.75%，则2 000×61.75%＝1 235.
即需求面积在100 m2～140 m2之间的客户有1 235位．
(2)从表中可以看出，需求面积小于100 m2的需求率为19.85%＋8.1%＝27.95%，则2 000×27.95%＝559.
即需求面积小于100 m2的客户有559位．
8．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分原始记录如下：
甲运动员的得分：13,23,8,26,38,16,33,14,28,39；
乙运动员的得分：49,24,12,31,50,44,36,15,37,25,36,39,31.
用茎叶图将甲、乙运动员的成绩表示出来．
解：制作茎叶图的方法是：将所有的两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出．
则甲、乙运动员的得分茎叶图如图所示.
甲
乙
8
0
6 4 3
1
2 5
8 6 3
2
4 5
9 8 3
3
1 1 6 6 7 9
4
4 9
5
0


8
9
7
9
3
1
6
4
0
2
1.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)
A．91.5和91.5　　　　　　　　 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
解析：中位数为(91＋92)＝91.5；平均数为(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.
答案：A
2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为
(　　)
A. B.
C. D．2
解析：由题可知样本的平均值为1，
所以＝1，解得a＝－1，
所以样本的方差为
[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：D
3．(2011·江西高考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则(　　)
A．me＝mo＝　　　　 B．me＝mo<
C．me解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5,5出现的次数最多，故mo＝5，＝
≈5.97.于是得mo答案： D
4．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：M＝，
N＝＝＝M，
∴M∶N＝1.
答案：B
5．一组数据的方差为s2，将这一组数据中的每个数都乘2，所得到的一组新数据的方差为________．
解析：每个数都乘以2，则′＝2，
s′2＝[(2x1－2)2＋…＋(2xn－2)2]
＝[(x1－)2＋…＋(xn－)2]＝4s2.
答案：4s2
6．(2012·海口高一检测)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中中位数为16，则x＝________.
解析：由题意知＝16，即x＝15.
答案：15
7．某城区举行“奥运知识”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示(虚线为高一年级，实线为高二年级)．
(1)请把上边的表格填写完整；
(2)考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好些？
解：(1)高一年级众数是80，高二年级众数是85.
(2)因为两个年级的得分的平均数相同，高二年级成绩的方差小，说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小，所以高二年级的团体成绩更好些．
8．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：
机床甲
10
9.8
10
10.2
机床乙
10.1
10
9.9
10

如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
解：①先计算平均直径：甲＝(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，乙＝(10.1＋10＋9.9＋10)＝10，由于甲＝乙，因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的质量优劣．
②再计算方差：s＝[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10) 2]＝0.02，
s＝[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.
这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．

1．在频率分布直方图中，①一定是中间高，两边低；②各矩形的高度等于各组对应的频率；③各矩形高度和为1；④各矩形的面积和为1.以上结论正确的有(　　)
A．0个　　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①②③错误，只有④正确．
答案：B
2．(2012·合肥高一检测)已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别是(　　)
A．0.4,12　　　　　 B．0.6,16
C．0.4,16　　　　　 D．0.6,12
解析：因为各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，所以第2组的频率为0.4，频数为30×0.4＝12.
答案：A
3．(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)　 2　[15.5,19.5)　 4　[19.5,23.5)　 9　
[23.5,27.5)　 18　[27.5,31.5)　 11　[31.5,35.5)　 12　[35.5,39.5)　7　[39.5,43.5)　3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求的概率为＝.
答案：B
4．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639
乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
(　　)
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解析：甲＝＝0.617，
乙＝＝0.613，
∴甲与0.618更接近．
答案：A
5．2011年3月，十一届全国人大四次会议在北京隆重召开，针对中国的中学教育现状，现场的2 500名人大代表对其进行了综合评分，经统计，得到了如图的频率分布直方图．根据频率分布直方图，估计综合评分的平均分为________．
解析：＝65×0.016×10＋75×0.024×10＋85×0.032×10＋95×0.028×10＝82.2.
答案：82.2
6．为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率和是第2小组的频率的3倍，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是________．
解析：由图知从左到右的后两个小组的频率和为0.25，则前3小组的频率和为0.75，第2小组的频率为0.25，所以样本容量即抽取的男生人数为＝48.
答案：48
7．从某机械厂800名工人中随机抽取50名测量其身高，据测量被测工人身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组
[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一
部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第八组人数的和是第七组人数的2倍．
(1)估计该工厂全体工人身高180 cm以上(含180 cm)的人数；
(2)求第六组、第七组的频率并将频率分布直方图补充完整．
解：(1)由直观图得前5组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9(人)，这所机械厂工人在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144(人)；
(2)由直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2.
设第六组人数为 m，
则第七组人数为9－2－m＝7－m，
又m＋2＝2(7－m)，
所以m＝4.
所以第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08与0.06.
补充频率分布直方图如下：
8．(2012·江南十校联考)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
[39.97,39.99)
20
[39.99,40.01)
50
[40.01,40.03]
20
合计
100
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；
(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率；
(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
0.10
5
[39.97,39.99)
20
0.20
10
[39.99,40.01)
50
0.50
25
[40.01,40.03]
20
0.20
10
合计
100
1
频率分布直方图如下：
(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97，40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．
注：频率分布表可不要最后一列，这里列出，只是为画频率分布直方图方便．

1．下列所给出的两个变量之间存在相关关系的为(　　)
A．学生的座号与数学成绩
B．学生的学号与身高
C．曲线上的点与该点的坐标之间的关系
D．学生的身高与体重
解析：A与B中的两个变量之间没有任何关系；C中的两个变量之间具有函数关系．
答案：D
2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是(　　)
A．①②　　　　　　　　　　　　B．①③
C．②④ D．②③
解析：具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．
答案：D
3．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　)
A．瑞雪兆丰年　　　　　 B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
解析：瑞雪兆丰年和读书破万卷，下笔如有神是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反映，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．
答案：D
4．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市某类疾病的患者治愈的数据，以及根据这些数据绘制出的散点图.
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．
其中正确的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．以上都不对
解析：只有①正确．
答案：B
5．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；
②同一物体的加速度与作用力是函数关系；
③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；
④圆的周长与面积的关系是相关关系；
⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．
其中正确的命题序号是________．
答案：②⑤
6．下列关系中，属于相关关系的是________．
①正方体的棱长与体积之间的关系；
②人的身高与视力的关系；
③自由落体的物体的质量与落地时间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
解析：
题号
判断
原因分析
①
函数关系
正方体的棱长与体积的关系为V＝a3，确定性关系
②
不是相关关系
身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有相关关系
③
不是函数关系，也不是相关关系
自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具有相关关系
④
相关关系
降雪量越大，交通事故发生率越高，不确定性的关系
答案：④
7．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下：
年龄(岁)
1
2
3
4
5
6
身高(cm)
78
87
98
108
115
120
画出散点图，并判断它们是否具有相关关系．
解：散点图如图所示．
由散点图可清楚地看到，在一定的范围内，这个男孩的年龄与身高具有明显的相关关系，即该男孩的身高随着年龄的增大而增大．
8．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：
品牌
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所含热量
的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
13
口味记录
89
89
80
78
75
71
65
62
60
52
(1)作出散点图；
(2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？
(3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；
(4)对于这种食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？
解：(1)散点图如图所示.
(2)从上图看基本近似成线性相关关系．
(3)直线如上图所示．
(4)因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好.

1．线性回归方程y＝bx＋a必过(　　)
A．(0,0)　　　　　　　　 B．(0，)
C．(，0) D．(，)
解析：线性回归方程y＝bx＋a一定过样本中心(，)．
答案：D
2．下列说法正确的是(　　)
①线性回归方程适用于一切样本和总体；
②线性回归方程一般都有局限性；
③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围；
④线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
A．①② B．③④
C．②③ D．①②③④
解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求线性回归方程，而且由线性回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此线性回归方程有一定的局限性．所以①④错．
答案：C
3．工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y＝80x＋50，下列判断正确的是(　　)
A．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元
D．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
解析：回归直线斜率为80，所以x每增加1，y增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．
答案：B
4．在2011年春节期间，某市场物价部门对本市五个商场销售的某商品一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的线性回归方程为(　　)
A．y＝3.2x－24 B．y＝－3.2x＋40
C．y＝3x－22 D．y＝3x＋38
解析：＝＝10，
＝＝8.
∴b＝＝－3.2，
∴a＝y－b＝40，∴y＝－3.2x＋40.
答案：B
5．(2012·日照高一检测)某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．
解析：由题意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1，即年支出估计是12.1亿元．
答案：12.1
6．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254.
答案：0.254
7．一服装店经营某种服装，每天获纯利润y(单位：元)与每天销售这种服装件数x之间具有如下数据：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)若每天获纯利润y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关，求出线性回归方程；
(2)若该服装店每天至少要获利200元，请你估计该店每天至少要销售这种服装多少件？
解：(1)＝6，≈79.857，
iyi＝3 487，＝280，
所以b＝≈4.75；
a＝－b＝51.357.
线性回归方程为y＝51.357＋4.75x；
(2)因为51.357＋4.75x≥200，所以x≥31.293.
估计该店每天至少要销售32件这种服装．
8．某服装超市为了庆祝开业10周年举行了为期一周的优惠大酬宾活动，经理统计了前5天每天销售的服装件数x(单位：百件)与销售额y(单位：千元)，得到如下一组数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)估计当销售件数为1 000件时，销售额约为多少？
解：(1)散点图如下图．
(2)由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以销售件数与销售额之间有线性相关关系．
因为＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，
＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50，
＝145，iyi＝1 380，
所以b＝＝6.5，
a＝－bx＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的线性回归方程是y＝6.5x＋17.5.
(2)x＝10时，y＝6.5×10＋17.5＝82.5(千元)，当销售件数为1 000件时，销售额约为82 500元.

(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是(　　)
A．样本均值　　　　　　　　　　　B．样本方差
C．样本最大值 D．样本最小值
解析：统计学的基本思想是用样本估计总体，通常用样本方差估计总体方差，进而估计总体稳定性．
答案：B
2．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法抽取20个样本，每个个体被抽取的机会是(　　)
A. B.
C. D.
解析：无论采用何种抽样，每个个体被抽到的机会是均等的．因此，每个个体被抽到的机会是＝.
答案：D
3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这2 500名城镇居民的寿命的全体是(　　)
A．总体 B．个体
C．样本 D．样本容量
解析：抽查的这2 500名居民的寿命是样本，2 500是样本容量．
答案：C
4．(2012·福州高一检测)某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采用了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为(　　)
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
解析：由抽样过程可知，第一种方法为简单随机抽样，第二种为系统抽样．
答案：D
5．某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是(　　)
A．193 B．192
C．191 D．190
解析：由＝，得n＝192.
答案：B
6．设有一个线性回归方程y＝2－1.5x，当变量x增加1个单位时(　　)
A．y平均增加1.5个单位　　 B．y平均减少1.5个单位
C．y平均增加2个单位 D．y平均减少2个单位
解析：y′＝2－1.5(x＋1)＝2－1.5x－1.5＝y－1.5.
即x增加一个单位时，y平均减少1.5个单位．
答案：B
7．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
(0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为(　　)
A．0.13 B．0.39
C．0.52 D．0.64
解析：由表知，样本数据落在(10,40]上的频数为52，故样本数据落在(10,40]上的频率为＝0.52.
答案：C
8．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)
A．90 B．75
C．60 D．45
解析：净重小于100克的频率是(0.050＋0.100)×2＝0.3，故这批产品的个数x满足＝0.3，即x＝120，净重大于或等于98克且小于104克的频率是(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，故所求产品的个数是120×0.75＝90.
答案：A
9.如图是某电视台综艺节目举办的“挑战主持人”大赛上，
七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,1.6 D．85,4
解析：去掉最低和最高的79分，93分，剩下5个有效分为84,84,86,84,87，其平均数为85，利用方差公式得方差为1.6.
答案：C
10．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分叉数后，计算出样本方差分别为s＝11，s＝3.4，由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分叉整齐
B．甲、乙两种水稻分叉整齐程度相同
C．乙种水稻比甲种水稻分叉整齐
D．甲、乙两种水稻分叉整齐程度不能比较
解析：由于方差反映了样本数据的稳定性，且s>s，所以乙种水稻比甲种水稻分叉整齐．
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．用系统抽样从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．
解析：设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，所以x＝6.
答案：6
12．一组数据x1，x2，…，x10的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2，…，3x10－2的平均数和方差分别为________，________.
解析：根据公式容易证明如下结论：①如果一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是s2，那么x1±a，x2±a，x3±a，…，x2±a的平均数是±a，方差是s2；②如果一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是s2，那么bx1，bx2，bx3，…，bxn的平均数是b，方差是b2s2，故此题的平均数是3×2－2＝4，方差是32×＝3.
答案：4　3
13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
解析：由平均数为10，
得(x＋y＋10＋11＋9)×＝10，
则x＋y＝20.
又由于方差为2，
则[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×＝2得x2＋y2＝208,2xy＝192，
所以有|x－y|＝ ＝ ＝4.
答案：4
14．(2012·长沙高一检测)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x＝________，y＝________.
解析：从频率分布直方图可以得到，成绩小于17秒的学生的频率，也就是成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比是0.02＋0.18＋0.36＋0.34＝0.9；成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为(0.36＋0.34)×50＝35.
答案：0.9　35
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
小计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1200
小计
160
320
480
1 040
2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
(3)若要抽20人调查对世博会的了解，则应怎样抽样？
解：(1)用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取；
(2)用分层抽样，并按管理2人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取；
(3)用系统抽样，对全部2 000人随机编号，号码从0 001～2 000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，与编号一致的这20人组成一个样本．
16．(12分)从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩(均为整数)的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如下图中从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数是6.
(1)求样本容量；
(2)求105.5～120.5这一组的频数及频率；
(3)如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率．
解：在直方图中频数之比等于频率之比且样本的所有频率之和等于1.
(1)小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右的频率之比为2∶3∶6∶4∶1.
∴最左的一组所占的频率为＝.
∴样本容量＝＝＝48.
(2)105.5～120.5这一组的频率为＝，
∴频数为48×＝18.
(3)成绩大于120分所占的比为＝，
∴考试成绩的优秀率为＝31.25%.
17．(12分)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如下图所示．
(1)填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
解：(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.可知乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7，乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
①甲、乙的平均数相同，均为7，但s②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，可预见乙射靶环数的优秀次数比甲多．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
18．(14分)下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关.
x(℃)
300
400
500
600
700
800
y(%)
40
50
55
60
67
70
(1)画出散点图；
(2)指出x，y是否线性相关；
(3)若线性相关，求y对x的线性回归方程；
(4)估计退水温度是1 000℃时， 黄酮延长性的情况．
解：(1)散点图如下：
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．
(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
6
xi
300
400
500
600
700
800
yi
40
50
55
60
67
70
xiyi
12 000
20 000
27 500
36 000
46 900
56 000
x
90 000
160 000
250 000
360 000
490 000
640 000
＝550；＝57；
＝1 990 000；iyi＝198 400
于是可得
b＝＝≈0.058 86，
a＝－b ＝57－0.058 86×550≈24.627.
因此所求的线性回归方程为：y＝0.058 86x＋24.627.
(4)将x＝1 000代入线性回归方程得
y＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.487%.

1．下列事件中，属于必然事件的是(　　)
A．12人中至少有2人的生日在同一个月
B．13人中至少有2人的生日在同一个月
C．同一周出生的5人中至少有2人的生日相同
D．同一周出生的6人中至少有2人的生日相同
解析：因为每年只有12个月，所以13人中至少有2人的生日在同一个月．
答案：B
2．下列说法中不正确的是(　　)
A．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
B．某人射击9次，击中靶3次，则他击中靶的概率为
C．“直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)”是必然事件
D．“将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7”是随机事件
解析：A显然正确；
对于C，直线y＝k (x＋1)是直线方程的点斜式，它表示斜率为k且过点(－1,0)的直线，故C正确；
对于D，“将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7”可能发生，也可能不发生，所以D也正确；
B中只是频率，而不是概率，所以B不正确．
答案：B
3．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的(　　)
A．概率为0.6　　　　　　　 B．频率为0.6
C．频率为6 D．概率接近于0.6
解析：＝0.6是频率而不是概率．
答案：B
4．下列说法中，不正确的是(　　)
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的概率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的概率为，则他击中靶心估计有5次
D．某人射击10次，击中靶心的概率为0.6，则他击不中靶心的次数估计为4
解析：概率反映了某一事件发生的可能性的大小．
答案：B
5．掷一颗骰子，掷了100次，“向上的点数是2”的情况出现了19次，在这次试验中，“向上的点数是2”的频率是_______________________________________________．
解析：事件发生的频率等于事件发生的次数除以试验的次数．
答案：0.19
6．在一次考试中，某班学生有80%及格，80%是________(填“概率”或“频率”)．
解析：由概率与频率的意义可知，80%是频率．
答案：频率
7．小明和小亮从同一本书中分别随机抽取了6页，在统计了各页中“的”和“了”的出现的次数后，分别求出了“的”和“了”的出现的频率，并绘制了图如下：
随着统计页数的增加，试估计“的”和“了”这两个字出现的频率将如何变化？
解：估计“的”字出现的频率在0.058附近摆动，“了”字出现的频率在0.01附近摆动．
8．下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果，n为每次试验掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率并考察它的概率.
试验序号
抛掷的
次数n
正面向上的
次数m
正面向上的
频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
246
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
解：由P＝，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494.这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率约为0.5.

1．气象台预报“本市明天降雨的概率是85%”，以下说法正确的是(　　)
A．本市明天将有85%的地区降水
B．本市明天将有85%的时间降水
C．明天出行不带雨具肯定要淋雨
D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
解析：概率是85%指明了“降雨”这个随机事件发生的概率的大小，“降雨”这个结果有可能发生，也有可能不发生，能肯定的是“降雨”发生的可能性较大．
答案：D
2．已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(　　)
A．合格产品少于9件　　　　 B．合格产品多于9件
C．合格产品正好是9件 D．合格产品可能是9件
解析：因为合格率为90%，所以抽出的10件产品中合格品可能有9件．
答案：D
3．2011年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其一个选项，则一定有3题答对．”这句话(　　)
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道．也可能都选错，或仅有2,3,4，…题，甚至12个题都选择正确．
答案：B
4．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明(　　)
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
解析：因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A.
答案：A
5．有人告诉你，放学后送你回家的概率如下：
(1) 50%；(2)2%；(3)90%.
试将以上数据分别与下面的文字描述相配．
①很可能送你回家，但不一定送；
②送与不送的可能性一样大；
③送你回家的可能性极小．
________________________________________________________________________.
答案：50%→②，2%→③，90%→①.
6．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是________.
游戏1
游戏2
游戏3
一个黑球、一个白球和一个黄球
一个黑球和一个白球
一个黑球和两个白球
取一个球
取一个球
取一个球
取出的是黑球→甲胜
取出的是黑球→甲胜
取出的是黑球→甲胜
取出的不是黑球→乙胜
取出的是白球→乙胜
取出的是白球→乙胜
　解析：游戏1：甲胜的可能为，乙胜的可能为；
游戏2：甲胜的可能为，乙胜的可能为；
游戏3：甲胜的可能为，乙胜的可能为.
故游戏1和游戏3都不公平．
答案：游戏1和游戏3
7．一个盒子中有红、白、蓝、黄四种颜色的大小相同的小球各一个，从盒子中随机地摸取一个小球，则取到红球的概率是，现在随机地任取一个小球，记下颜色，然后把小球放回盒子，把这样的试验连续地做四次，则一定能取到红球吗？
解：不一定，在四次试验中，每一次试验能取到红球的可能性都是，所以可能四次全取到红球，也可能有3次、2次或1次取到红球，也可能四次都没有取到红球．
8．央视“幸运52”某期节目中公布了这样一道抢答题：在三扇门背后(比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了另一扇门，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率，你能给出回答吗？1号门背后是汽车的概率变了吗？
解：你没有必要重新选择，因为1号门背后是汽车的概率是，在已经知道另一扇门背后是一只羊的情况下，这一数据是不会变的．

1．下列试验是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
解析：A中尽管点数之和只有有限个取值：2,3，…，12，但它们不是等可能的，A不对．对于B，尽管各个正整数被取到是“等可能的”，但正整数有无限个，故B不对．对于C，由于只有n个等可能的结果，故是古典概型．对于D，可能结果即抛掷次数可能取值是无限多，故D不对．
答案：C
2．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率P＝.
答案：B
3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：这里所有的基本事件为：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，即基本事件共有3个．其中甲被选中的事件有2个，根据古典概型的概率公式有P＝.
答案：C
4．(2012·烟台高一检测)抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，所得的点数分别为x，y，则是整数的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，所有情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，
(1,6)，(2,1)，...，(6,6)共36种情况，其中是整数的情况有 (1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，
(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)共14种情况，故是
整数的概率等于＝.
答案：A
5．从1,2,3，…，9共9个数字中任取一个数字，取出的数字为偶数的概率为________．
解析：从1,2,3，…，9中任取一个数字，共有9种取法，而取出的数字为偶数的情况有2,4,6,8四种情况，所以P＝.
答案：
6．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析：从5根竹竿中任取2根有：(2.5,2.6)、(2.5,2.7)、(2.5,2.8)、(2.5,2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)共10种取法，其中长度恰好相差0.3 m的情况有：(2.5,2.8)、(2.6,2.9)，共2种．故所求概率为P＝＝.
答案：
7．袋子中有红、白、黄、黑大小相同的四个小球．
(1)从中任取一球，求取出白球的概率；
(2)从中任取两球，求取出是红球、白球的概率；
(3)先后各取一球，求取出的球先是红球，后是白球的概率．
解：(1)从中任取一球，其可能有4种情况，
而取出的是白球只有1种情况，
故所求概率P＝.
(2)任取出两球，其可能出现的情况有：
(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，共6种．
而取出是红球、白球只有1种情况，故所求概率P＝.
(3)先取一球，再取一球，其可能出现的情况有：
(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，(白，红)，(黄，红)，(黑，红)，(黄，白)，(黑，白)，(黑，黄)，共12种．
而先取出是红球，后取出是白球的情况只有1种，故所求概率P＝.
8．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率：
(1)取出的两球都是白球；
(2)取出的两球一个是白球，另一个是红球．
解：设4个白球的编号分别为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1, 5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的取法包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个．
所以取出的两个球全是白球的概率为：P＝＝；
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．
所以取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P＝.

1．投掷一枚骰子，观察出现的点数，则掷出奇数点的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：投掷一枚骰子，出现的点数为1,2,3,4,5,6共6种情况，其中出现奇数点为1,3,5共3种情况，
故P＝＝.
答案：A
2．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：基本事件有27种，全是相同颜色的为3种．
∴球的颜色全相同的概率为＝.
答案：B
3．(2012·绍兴高一检测)在5张卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是(　　)
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
解析：一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况．
因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除．故所求概率为P＝＝0.6.
答案：C
4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：甲、乙所猜数字的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种情况，其中满足
|a－b|≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10种情况，故所求概率为＝.
答案：A
5．(2012·泰州高一检测)甲、乙、丙、丁4个人分乘两辆车，每辆车乘两人，则甲、乙同车的概率为________．
解析：甲、乙、丙、丁四人坐车的情况为
　　共三类，
故甲、乙同车的概率为.
答案：
6．在线段AB上任取三个不同点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率为________．
解析：设A表示事件“x2在x1与x3之间”，
所有可能结果为(x1，x2，x3)，(x1，x3，x2)，(x2，x1，x3)，(x2，x3，x1)，(x3，x2，x1)，(x3，x1，x2)，共6个，其中事件A包括两种结果．
由古典概型概率公式得P(A)＝＝.
答案：
7．青海省玉树县2010年4月14日晨发生两次地震，最高震级7.1级，全国各地紧急往灾区输送各种救援物资及医疗队，某医院从甲、乙、丙、丁、戊五名医生中随机抽取2人分配到玉树县A地区参加救治工作．
(1)求甲被分配到A地区的概率；
(2)求甲、乙同时到A地区的概率；
(3)甲、乙都没被分配去A地区的概率．
解：(1)设“甲被分配到A地区”为事件A，那么从甲、乙、丙、丁、戊五名医生中随机抽取2人的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10个．
那么P(A)＝＝.
(2)记“甲、乙两人同时到A地区”为事件B，
那么P(B)＝.
(3)记“甲、乙都没被分配去A地区”为事件C，
P(C)＝.
8．假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A、C、J、K、S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
(1)女孩K得到一个职位；
(2)女孩K和S各得到一个职位；
(3)女孩K或S得到一个职位．
解：5个人仅有3人被录用，结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．
(1)女孩K被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为.
(2)女孩K和S各得到一个职位的结果有3种，所以K和S各自得到一个职位的概率为.
(3)女孩K或S得到一个职位的结果有9种，所以K或S得到一个职位的概率为.

1．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论哪个是正确的(　　)
A．A与C互斥　　　　　　　 B．B与C互斥
C．任何两个相互斥 D．任何两个都不互斥
解析：由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
答案：C
2．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．
答案：C
3．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是(　　)
A．0.62 B．0.38
C．0.02 D．0.68
解析：质量在 [4.8,4.85)(g)范围内的概率P＝0.32－0.3＝0.02.
答案：C
4．(2012·宁波高一检测)掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：有三种可能：①连续3次都掷得正面概率为；
②第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为.因而恰好得3分的概率为＋＋＝.
答案：A
5．某班派出甲、乙两名同学参加学校举行的数学竞赛，甲、乙两名同学夺得第一名的概率分别是和，则该班同学夺得第一名的概率为________．
解析：甲同学夺得第一与乙同学夺得第一是互斥事件，故该班同学夺得第一的概率P＝＋＝.
答案：
6．袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有1个白球的概率是________．
解析：从5个球中任取两个球有10个基本事件，
取得的两球中没有白球有3个基本事件，
∴记事件A：“取得的两球中至少有一个白球”，
则P(A)＝1－P()＝1－＝.
答案：
7.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，
则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，
∴P(E)＝1－P()＝1－＝.
8．(2011·江西高考)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮
料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件．则
(1)P(D)＝；
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.

1．灰太狼和红太狼计划在某日12：00～18：00这个时间段内外出捉羊，则灰太狼和红太狼在14：00～15：00之间出发的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：P＝＝.
答案：D
2．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：P＝＝.
答案：B
3.如右图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90? )，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为(　　)
A. B.
C. D．1－
解析：S扇形＝×π×22＝π，
S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2，
∴P＝＝1－.
答案：D
4．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABCA. B.
C. D.
解析：由VP－ABC答案：B
5.如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
解析：设事件A为“∠AOC和∠BOC都不小于30°”，则事件A表示的区域角度为30°，所有可能结果的区域角度为90°，
所以P(A)＝＝.
答案：
6．以半径为1的圆内任一点为中点作弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．
解析：记事件A“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如右图：作△BCD的内切圆，当过小圆上任一点作弦时弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长的条件是弦的中点在小圆内．小圆半径为，
∴P(A)＝＝.
答案：
7．已知圆C：x2＋y2＝9.
(1)若连续掷两次骰子，记向上的点数分别为m，n，则点(m，n)在圆C内的概率是多少？
(2)若m，n是任意两个实数，且m∈[－4,4]，n∈[－5,5]，则点(m，n)在圆C内的概率是多少？
解：(1)点在圆内需满足m2＋n2<9，适合题意的点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4个．
而连续掷两次骰子，点数构成的基本事件共有36个，故所求概率为 ＝.
(2)依题意，所有可能的点(m，n)可构成一个长、宽分别为10和8的矩形区域，如右图．
在此矩形内取点，则点落在圆内的概率为＝.
8．如图所示，在边长为25 cm的正方形中有两个腰长均为23 cm的等腰直角三角形，现有粒子均匀散落在正方形中，问粒子落在中间阴影区域的概率是多少？
解：因为粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A＝{粒子落在中间阴影区域}，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm2)，两个等腰直角三角形的面积为2××23×23＝529(cm2)，阴影区域的面积为625－529＝96(cm2)，所以粒子落在中间阴影区域的概率为P(A)＝.

(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①③是必然事件，②④是随机事件．
答案：B
2.下列说法：①某人连续扔两枚硬币，两枚硬币正面都向上，则正面向上的频率为1；②一位同学先后抛掷两颗均匀的骰子，出现点数之和为2～12这11个数中的一个数，所以出现点数之和为4的概率为；③利用均匀的号签抽签决定甲、乙两人谁当班长时，先抽的人当班长的概率大．
其中正确的有(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①易知正确；②不符合随机试验各种结果发生的公平性，不正确；③无论谁先抽签，概率都是一样的，不正确．
答案：B
3．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2－4≤0的概率为(　　)
A. B.
C. D．0
解析：由x2－4≤0，得－2≤x≤2.
∴P＝＝＝.
答案：A
4．把“福”“寿”二字随机地分给爷爷、奶奶2个人，每人得1字，事件“爷爷得福字”与“奶奶得福字”是(　　)
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
解析：爷爷得福字就意味着奶奶得寿字，爷爷得寿字就意味着奶奶得福字．
答案：A
5．已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2,1]，给出事件A：f(x)≥a.当A为必然事件时，a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，3]
C．[1，＋∞) D．(3，＋∞)
解析：∵x∈[－2,1]，∴f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∈[－1,3]．
又∵f(x)≥a为必然事件，
∴a≤－1.
答案：A
6．如图，在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB<90?的概率是(　　)
A.
B.
C．1－
D．1－
解析：不妨设正方形的边长为2，则P＝＝＝＝1－.
答案：D
7．(2012·滨州高一检测)下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果没有2位同学一起走，则第2位走的是男同学的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：法一：已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男), 所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
法二：由于每一位同学走出的概率是相同的，因此第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
答案：A
8．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任选2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：从5张卡片中任选2张的基本事件总数为10，事件“2张卡片上的字母顺序恰好相邻”的基本事件为AB、BC、CD、DE，共有4个，∴P＝＝.
答案：A
9．在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：在4个数字中，任取两个数字(允许重复)共有如下16种不同的取法：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．其中一个数字是另一个数字两倍的取法有如下4种：(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)，所以所求概率P＝＝.
答案：C
10.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：用两种颜色为图形涂色的结果，分组表示为以下情形：(红，蓝，蓝)，(红，蓝，红)，(红，红，蓝)，(红，红，红)，(蓝，蓝，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，(蓝，红，红)，共8个基本事件．相邻两个图形颜色不相同的情形为：(红，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，共2个基本事件．所以所求的概率为P＝＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．两根相距9 m的木杆上系一根绳子，并随机地在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．
解析：P＝＝.
答案：
12．由黑、白两种颜色的正六边形积木按一定的规律拼成的若干个图案，如图所示，若图案有4个(第4个没有画出)，将这组图案中的所有正六边形积木充分混合后，装进一个盒子中．从盒子中摸出一个积木，摸出的积木为白色的概率为________．
解析：若图案有4个，则盒子中的黑色积木有：1＋2＋3＋4＝10(块)，白色积木有：6＋(6＋4)＋(6＋4×2)＋(6＋4×3)＝48(块)，摸出的积木为白色的概率P＝＝.
答案：
13．在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中不放回地任取2枝，至少取得1枝次品的概率是________．
解析：法一：(直接法)“至少取到1枝次品”包括：A＝“第一次取到次品，第二次取到正品”；B＝“第一次取到正品，第二次取到次品”；C＝“第一、二次均取到次品”三种互斥事件，所以所求事件的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
法二：(间接法)“至少取到1枝次品”的对立事件为“取到的2枝铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－＝.
答案：
14.在面积为S的△ABC内任选一点P，则△PBC的面积小于的概率是________．
解析：EF为△ABC的中位线，当点P位于四边形BEFC内时，S△PBC<.
又因为S△AEF＝S，所以SBEFC＝S，从而△PBC的面积小于的概率为P＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)盒子中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，计算下列事件的概率．
(1)取出的2个球都是白球；
(2)取出的2个球中至少有1个白球．
解：设红色球为A，白色球为B、C.如图，有放回地连续抽取2次共有9种情形．
(1)其中取出的2个球都是白球有4种．∴“取出的2个球都是白球”的概率为P＝.
(2)“取出的2个球中至少有一个白球”的对立事件是“取出的2个球均为红球”仅有一种．∴P＝1－＝.
16．(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数，计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
解：使用1,5,6三个数字可以排成156,165,516,561,615,651，共6个不同的三位数．
(1)大于400的三位数的个数为4个，所以相应的概率P＝＝；
(2)三位数为偶数的有156,516，共2个，所以相应的概率P＝＝.
17．(12分)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
解：记：A＝{硬币落下后与格线没有公共点}．
在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则小等边三角形的边长为4－2＝2，由几何概型概率公式得：
P(A)＝＝.
18．(14分)一个盒子里装有5个标号是1,2,3,4,5的标签，今随机地抽取两张标签，如果：
(1)标签的抽取是无放回的；
(2)标签的抽取是有放回的．
求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
解：(1)无放回抽取两张标签，可以认为分两次完成，考虑顺序，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)及把两数交换位置的情况，共计20种；其中抽到相邻整数仅有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)及把两数交换位置的情况，共计8种．所以标签抽取无放回时，两张标签上的数字为相邻整数的概率为＝.
(2)标签抽取有放回时，共有25种抽法，即放回情况下的20种，再加上(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)这5种；其中两张标签上为相邻整数的抽法仍然只有8种．因此，标签抽取有放回时，两张标签上的数字为相邻整数的概率为.

1．下列语句中是算法的有(　　)
①从广州到北京旅游，先坐火车到上海，再坐飞机抵达；
②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
③方程x2－1＝0有两个实根；
④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6，6＋4＝10得最终结果是10.
A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中说明了从广州到北京的行程安排，完成任务；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法．
答案：C
2．算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这是指算法的(　　)
A．有穷性 B．确定性
C．逻辑性 D．不唯一性
解析：算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．
答案：B
3．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是(　　)
A．只能设计一种算法
B．可以设计两种算法
C．不能设计算法
D．不能根据解题过程设计算法
解析：一元二次方程的求解过程可以用公式法和分解因式法进行，可根据不同的解题过程来设计算法，故可以设计两种算法，但两种算法输出的结果是一样的．
答案：B
4．下列各式中S值不可以用算法求解的是(　　)
A．S＝10＋20＋30＋40
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋＋…＋
D．S＝1＋2＋3＋4＋…
解析：由算法的有穷性知．
答案：D
5．你要到火车站乘火车去外地办一件事，请你写出从家出发到坐在车厢内的三步主要算法．
1．______________________________________________________________________；
2．______________________________________________________________________；
3．_______________________________________________________________________.
解析：从家到火车站车厢一般需要分以下三步：
①去火车站　②买车票　③上车．
答案：乘车去火车站　买车票　凭票上车，对号入座
6．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是：
1．求1×3，得结果3.
2．将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.
3．______________________________________________________________________.
4．再将第三步所得结果105乘以9，得到945.
5．再将第四步所得结果945乘以11，得到10 395，即为最后结果．
答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105
7．喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：如何安排这几个步骤？并给出两种算法，再加以比较．
解：法一：1.洗刷水壶；
2．烧水；
3．洗刷茶具；
4．沏茶．
法二：1.洗刷水壶；
2．烧水，烧水的过程中洗刷茶具；
3．沏茶．
显然，法二比法一更节省时间．
8．下面给出一个问题的算法：
　1.输入x；
　2.若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步；
　3.输出2x－1结束；
　4.输出x2－2x＋3结束．
问：(1)这个算法解决的问题是什么？
(2)当输入的x的值为多少时，输出的数值最小？
解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数
y＝的函数值的问题．
(2)本问的实质是求分段函数最小值的问题．
当x≥4时，y＝2x－1≥7；
当x<4时，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.
∴函数最小值为2，当x＝1时取到最小值．
∴当输入x的值为1时，输出的数值最小．

1．用折半插入排序方法将1插入有序列{－2，－1,3,5,8}中，则第一次与该有序列中的哪个数比较(　　)
A．－2　　　　　　　　　　 B．－1
C．3 D．8
解析：∵有序列的中间数据为3，∴应先与3比较大小．
答案：C
2．若将有序列{3,2,1,0}按照从小到大的顺序输出，需要排序的次数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：1.将2插入序列{3}，需排序1次，得{2,3}；
2．将1插入序列{2,3}，需排序2次，得{1,2,3}；
3．将0插入序列{1,2,3}，需排序3次，得{0,1,2,3}．
故需1＋2＋3＝6次排序．
答案：D
3．将数据15通过直接插入排序的方法插入到有序列{13,14,17,18,19,20}中，需要作比较大小的次数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：15依次与20,19,18,17,14比较大小共5次．
答案：C
4．用直接插入法把数a插入到由m个数组成的有序列中，则最多需要比较的次数和最少需要比较的次数分别为(　　)
A．m,0 B．m－1,1
C．m－1,0 D．m,1
解析：由直接插入法的过程可知，至少需要比较一次，最多需要比较m次．
答案：D
5．将数据41分别用“直接插入排序法”和“折半插入排序法”插入到有序列{19,27,31,50,92}中，所需要的排序次数分别为________次和________次．
答案：3　2
6．若一个有序列有2n＋1个数据，则“中间位置”的数据指的是第________个数；若有2n个数据，则“中间位置”的数据指的是第________个数．
答案：n＋1　n
7．写出将56插入有序列{1,8,12,36,49,57,68,79}中的算法．
解：法一：1.56与79比较，56<79,56应在79的左边；
2．56与68比较，56<68,56应在68的左边；
3．56与57比较，56<57,56应在57的左边；
4．56与49比较， 56>49,56应在49的右边．
因此将56插入到49与57之间，得到一个新的有序列，{1,8,12,36,49,56,57,68,79}．
法二：1.将56与中间位置的数36比较，56>36，故56应该在36的右边；
2．将56与剩余的数的中间位置的数57比较，56<57，故56应该在57的左边；
3．再将56与49比较，56>49，故56应该在49与57之间．
由此得插入56后的新的有序列{1,8,12,36,49,56,57,68,79}．
8．中国乒乓球女队原有11名队员，她们的身高由小到大分别为158,159,160,162,163,165,166,170,171,172,175(单位：cm)．现为备战某项比赛，加入一名优秀队员，这名队员身高169 cm，请设计用折半插入排序法找出该队员在序列中的位置，并用自然语言表述算法
解：要将169插入有序列{158,159,160,162,163,165,166, 170,171,172,175}，共有11个数据，列表为
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
158
159
160
162
163
165
166
170
171
172
175
首先选择有序列的“中间位置”的数据a6＝165，将169与a6比较，显然169＞165，所以169应排在a6的右边．再取余下数据列{a7，a8，a9，a10，a11}的“中间位置”a9＝171，显然169＜171，所以169在a9的左边，再取余下数据列{a7，a8}的“中间位置”的数据a7＝166，显然169＞166，所以169应在a7的右边．又169＜a8，所以169应插在a7与a8之间．

1．下面四个问题中必须用选择结构才能实现的个数是(　　)
①已知梯形上下底为a，b，高为h，求梯形面积；
②求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根；
③求三个数a，b，c中的最小数；
④求函数f(x)＝的函数值．
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：②③④均需要选择结构才能实现．
答案：C
2．(2012·凌海高一检测)阅读如图所示的框图，其输出的结果是(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．13
解析：由框图可知y＝2x＋1＝5，b＝3y－2＝3×5－2＝13.
答案：D
3．以下给出了一个算法框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：分段函数表达式为y＝
由x2＝x，得x＝0或1；
由2x－3＝x，得x＝3；
由x＝得x＝±1，在x＞5范围内无解．
共3个值符合要求．
答案：C
4．如图所示的算法框图，能判断任意输入的数x的奇偶性，其中判断框内的条件是
(　　)
A．m＝0 B．x＝0
C．x＝1 D．m＝1
解析：若x能被2整除，则x为偶数，即x除以2的余数为0.
答案：A
5．(2012·抚州高一检测)如下图是一个算法的框图，当输入的值为3时，输出的结果是________．
解析：∵3<5，∴y＝32－1＝8.
答案：8
6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．
解析：由算法框图可知
解之得：d＝7，c＝1，b＝4，a＝6.
∴解密得到的明文应为6,4,1,7.
答案：6,4, 1,7
7．已知函数y＝设计算法框图，
要求输入自变量后输出相应的函数值．
解：框图一：
框图二：
8．为了增强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米
的部分，每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x立方米，应交纳水费y元，那么y与x之间的函数关系式为：
y＝
请你设计一个算法，画出程序框图，求上述分段函数值．
解：算法步骤：
1．输入每月用水量x；
2．判断输入的x是否超过7.
若x>7，则应交纳水费y＝1.9x－4.9；否则，应交纳水费y＝1.2x；
3．输出应交纳的水费y.
算法框图如图所示：

1．下列赋值语句正确的是(　　)
A．m＋n＝2 010　　　　　　　　 B．2 010＝m
C．m＋2 010＝m D．m＝m＋2 010
解析：由赋值语句的格式可知m＝m＋2010正确．
答案：D
2．(2012·泰州高一检测)算法描述如下：
A＝3
B＝A*A
A＝A＋B
B＝B＋A
输出A，B.
则输出的结果为(　　)
A．12,5 B．12,21
C．12,3 D．21,12
解析：由赋值语句的算法功能知，输出的A＝3＋3×3＝12，
B＝3×3＋12＝9＋12＝21.
答案：B
3.“x=3*5”，“x=x+1”是某一程序中的先后相邻的两个语句，那么下列说法正确的是
（ ）?
①x=3*5的意思是x=3×5=15,此式与算术中的式子是一样的；②x=3*5是将数值15赋给x;③x=3*5可以写为3*5= x;④x=x+1在执行时赋值号右边x的值是15，执行后左边x的值是16.
A.①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：赋值语句中的“＝”与算术上的“＝”是不一样的，式子两边的值也不能互换，而x＝x＋1是将x＋1的值赋给x.
答案：B
4．(2012·济宁高一检测)阅读下面的算法框图，若输入的a，b，c分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是(　　)
A．75,21,32 B．21,32,75
C．32,21,75 D．75,32,21
解析：x＝a＝21，a＝c＝75，c＝b＝32，b＝x＝21.
∴输出a，b，c的值分别为75,21,32.
答案：A
5．如图所示的是一个算法的框图，已知a1＝3，输出的b＝7，则a2的值是________．
解析：由算法框图可知b＝.
∴＝7，即＝7.
∴a2＝25.
答案：25
6．写出图①、图②框图的运行结果．
(1)图①中输出s＝________；
(2)图②中，若R＝16，则a＝________.
答案：(1)945　 (2)4
7．已知梯形的上底、下底和高分别为5、8、9，写出求梯形的面积的算法，画出算法框图．
解：算法如下：
1．a＝5.
2．b＝8.
3．h＝9.
4．S＝(a＋b)×h.
5．输出S.
算法框图如下：
8．“植树造林，防风抗沙”．某沙漠地区在2009年底有绿化带树林20 000亩，该地区每年春天都会种树400亩加以绿化，但同时每年冬天又会有总绿化面积的1%被沙漠化，问2012年底该地区总绿化面积有多少亩？画出框图，并用赋值语句进行表示：
解：框图如下：
　　
　　　　　　　

1．关于算法的三种基本逻辑结构，下列说法正确的是(　　)
A．一个算法只能含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有三种逻辑结构
D．一个算法除必含有顺序结构外，可以有三种逻辑结构的任意组合
解析：解决一些复杂的问题时，要根据实际综合使用多种基本逻辑结构，但一定含有顺序结构，且没有结构数量的限制．
答案：D
2．某算法框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是(　　)
A．4　　　　　　　　　　B．5
C．6 D．7
解析：当程序运行到k＝3时，S＝3＋23＝11＜100，当程序运行到k＝4时，S＝11＋211＝2 059＞100.
故输出k的值为4.
答案：A
3．(2012·宝鸡高一检测)阅读如图所示的算法框图．若输入m＝4，n＝6，则输出的a，i分别等于(　　)
A．12,2
B．12,3
C．24,2
D．24,3
解析：当i＝3时，a＝4×3＝12能被6整除．
答案：B
4．某算法框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为(　　)
A．k>4 B．k>5
C．k>6 D．k>7
解析：第一次执行后，k＝2，S＝2＋2＝4；
第二次执行后，k＝3，S＝8＋3＝11；
第三次执行后，k＝4，S＝22＋4＝26；
第四次执行后，k＝5，S＝52＋5＝57，此时结束循环，故判断框中填k>4.
答案：A
5．如图所示的算法框图，若输入的x＝－9.5，则输出的结果为________．
解析：x＝－9.5<0，－9. 5＋2＝－7.5<0，－7.5＋2＝－5.5<0.
－5.5＋2＝－3.5<0，－3.5＋2＝－1.5<0，－1.5＋2＝0.5>0.
C＝2x＝2×0.5＝1，输出C＝1，结束算法．
答案：1
6．(2012·临沂高一检测)如图所示，箭头a指向①时，输出是________；指向②时，输出是________．
解析：箭头a指向①时，每次循环S的初值都是0，i由初值1依次增加1，从而输出结果是S＝5；箭头指向②时，是求1＋2＋3＋4＋5的算法框图，所以输出结果是S＝15.
答案：5；15
7．画出求1×3×5×7×…×2 011的算法框图．
解：算法框图如图所示：
8．画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的算法框图．
解：算法框图如图所示：

1．当a＝3时，下面的算法所输出的结果是(　　)
输入a；
If　a<10　Then
y＝2* a
Else
y＝a * a
End If
输出y.
A. 9 B. 3
C．10 D．6
解析：该算法的作用是求分段函数y＝的函数值．
∴当a＝3时，y＝2×3＝6.
答案：D
2．阅读下列语句：
输入a；
If　a>5　Then
b =2* a
Else
b = a * a+1
End If
输出b.
如果输出5，则输入的a为 (　　)
A．2.5 B．2
C．－2 D．±2
解析：由算法语句可知，令2a＝5，则a＝＜5(舍)，令a2＋1＝5，则a＝±2，满足题意．
答案：D
3．(2012·咸阳高一检测)阅读下列算法语句：
输入x；
If　 <0　Then
y＝7* x/2+3
Then
If x>0 Then
y＝7* x/2-3
Else
y＝0
End If
End If
输出y．
如果输出x＝－2，则输出结果为 (　　)
A．2 B．－12
C．10 D．－4
解析：输入x＝－2，则x<0，执行“y＝7* x/2-3”这一语句，即有y＝－4.
答案：D
4．下列算法语句运行的结果是(　　)
A＝4.5
B＝6
If　A≥5　Then
B＝B＋1
Else
B＝B－3
B＝B＋2
If　 B≥4　Then
B＝B2
Else
B＝A＋B
End If
End If
输出B
A．10.5 B．11.5
C．16 D．25
解析：将该算法语句用框图表示为：
答案：D
5．补全此算法语句，求函数y＝|x－4|＋1的函数值．
输入x；
If　x≥4　Then
y＝x－3
Else
________
End If
输出y.
解析：y＝|x－4|＋1＝
答案：y＝5－x
6．写出下面算法运行的结果．
输入x；
If　 x≤10　Then
P＝x*0.35
Else
P＝10*0.35＋(x－10) *0.7
End If
输出P.
若x＝6，则P＝________；若x＝20，则P＝________.
解析：y＝
∴当x＝6时，y＝0.35×6＝2.1；
当x＝20时，y＝0.35×10＋0.7×10＝10.5.
答案：2.1　10.5
7．给出下列算法：
输入x；
If　x＜3　Then
y＝2*x＋1
Else
If x＞3　Then
　y＝x*x－x
Else
　 y＝6
End If
End If
输出y.
(1)若输入9，则输出结果是什么？
(2)该算法的功能是什么？
解：(1)因为x＝9＞3，
则有y＝x*x－x＝9×9－9＝72，
所以输出结果是72.
(2)该算法的功能是输入自变量x的值，输出
函数y＝
8．乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定托运费计算方法是：行李质量不超过50 kg时按0.25元/kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0.35元/kg；超过100 kg时，其超过部分按0.45元/kg.设计算法，输入行李质量，计算出托运的费用，画出算法框图并用语句描述．
解：算法步骤：
1．输入行李质量x；
2．当x≤50时，计算y＝0.25x，否则执行下一步；
3．当x≤100时，计算y＝0.35x－5，否则计算y＝0.45x－15；
4．输出y.
算法框图如图．
用语句描述为：
输入x；
If　x≤50　Then
y＝0.25* x
Else
If　x≤100　Then
y＝0.35* x－5
Else
y＝0.35* x－5
Else If
Else If
输出y.

1．下列For语句终止循环时，S等于(　　)
S＝0
For　M＝1　To　10
S＝S＋M
Next
输出S.
A．1　　　　　　　　B．5
C．10 D．55
解析：S＝1＋2＋3＋4…＋10＝55.
答案：D
2．(2012·咸阳高一检测)
t＝2
For　i＝2　To　8　Step 2
　　t＝t*i
Next
输出t.
以上算法运行的结果为 (　　)
A．96 B．192
C．394 D．768
解析：第一次循环t＝2×2＝4，第二次循环t＝4×4＝16，第三次循环t＝16×6＝96，第四次循环t＝96×8＝768.
答案：D
3．(2012·铜州高一检测)下列算法执行后输出的结果是(　　)
n＝5
S＝0
Do
S＝S＋n
n＝n－1
Loop While　S≤14
输出n.
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：该算法语句为Do Loop语句，当不满足条件S≤14时停止循环，所以共循环了5次，每次循环n的值减少1，故最后n＝0.
答案： B
4．当x＝2时，下面程序运行后输出的结果是(　　)
输入x；
i＝1
S＝0
Do
S＝S *x＋1
i＝i＋1
Loop While　i≤4
输出S.
A．3 B．7
C．15 D．17
解析：0×2＋1＝1,1×2＋1＝3,3×2＋1＝7,7×2＋1＝15.
当i＝5时，跳出循环体，即输出的S的值为15.
答案：C
5．下列程序：
A＝2
B＝1
Do
　B＝A*B
　A＝A＋1
Loop　While　A≤5
输出B.
该程序的功能是______________________________________________________．
解析：该程序的运算功能为：计算1×2×3×4×5的值．
答案：计算1×2×3×4×5的值
6．以下程序
S＝1
k＝13
Do
　S＝S *k
　k＝k－1
Loop　While________
输出S.
若程序运行的结果是S＝156，则横线处应填入的k的条件是________．
解析：第一次循环是S＝1×13＝13；
第二次循环是S＝13×12＝156；
因此，k的条件应是k≥12或k＞11.
答案：k≥12或k＞11
7．写出下列框图所对应的算法语句．
解：用算法语句描述为：
S＝1
For　i＝3　To 99　Step 2
S＝S *i
Next
输出S.
8．给出某班50名学生的数学测试成绩，60分及60分以上的为及格，要求统计及格人数、及格人数的平均分、全班同学的平均分，画出框图，并用语句描述该算法．
解：框图如图：
用语句描述为：
M＝0
i＝1
S＝0
T＝0
Do
　输入　x；
　If　x≥60　Then
S＝S＋x
M＝M＋1
　 End　If
　 T＝T＋x
　 i＝i＋1
Loop　While　i≤50
P＝S/M
T＝T/50
输出M，P，T.

(时间90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算机执行下面的程序后，输出的结果是(　　)
A＝1
B＝3
A＝A＋B
B＝A－B
输出A，B
End
A．1,3　　　　　　　　 B．4,1
C．0,0 D．4,0
解析：A＝1＋3＝4，
B＝4－3＝1，
故输出A＝4，B＝1.
答案：B
2．(2011·福建高考)阅读右图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是(　　)
A．3　　　　　　　　　　B．11
C．38 D．123
解析：a＝1，a<10，a＝12＋2＝3；
a＝3<10，a＝32＋2＝11；
a＝11>10，∴输出a＝11.
答案：B
3．用直接插入排序方法把18插入下列四组数据中，从左向右比较大小的次数最少的是(　　)
A．10,12,16,29,30,39,80,90
B．12,14,29,38,60,80
C． 9,13,17,26,38,69,98,101,120
D．16,20,29,31,40,49,58,69,77,88,90,180
解析：要把18插入到序列中，不是看序列中数字的多少，而是看它插入的位置才能知道到底需要比较多少次．A项中，需要比较大小的次数是4；B项中，需要比较大小的次数是3；C项中，需要比较大小的次数是4；D项中，需要比较大小的次数是2.
答案：D
4．某算法框图如图所示，该程序运行后输出n的值是(　　)
A．2005 B．65
C．64 D．63
解析：由框图知所输出n是使>2 008的最小正整数，即n(n＋1)>4 016.
∴n＝63.
答案：D
5．如图是一个算法的框图，当输入的值为3时，输出的结果恰好是，则“？”处的关系式是(　　)
A．y＝x3 B．y＝3x
C．y＝3－x D．y＝x
解析：由算法框图可知，当x＝3－2－2＝－1时，y的值为，故y＝3x.
答案：B
6．(2012·温州高一检测)如图所示的算法框图所进行的求和运算是(　　)
A.＋＋＋…＋
B．1＋＋＋…＋
C．1＋＋＋…＋
D.＋＋＋…＋
解析：由算法框图可知，该算法的功能是计算＋＋＋…＋的值．
答案： A
7．下面为一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为(　　)
S＝0
For　i＝1　To________
　输入　x
　S＝S＋x
Next
a＝S/20
输出a.
A．20 B．19
C．21 D．22
解析：由于输入20个数，故选A项．
答案：A
8．下述算法语句的运行结果为(　　)
N＝1
S＝0
Do
　S＝S＋N
　N＝N＋1
Loop　While　S≤10；
输出N－1.
A．5 B．4
C．11 D．6
解析：S＝1＋2＋3＋4＋5时循环停止．
答案：A
9．如图所示的算法框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的(　　)
A．b>c B．c>b
C．x>c D．c>x
解析：由于输出的结果为x，且为a，b，c三个数中的最大数，所以应把a，b，c中的最大值赋给x.故空白的判断框内应填c>x.
答案：D
10．如图所示的算法框图输出S的值为(　　)
A．62 B．126
C．254 D．510
解析：第一次循环，S＝2；
第二次循环，S＝2＋22；
第三次循环，S＝2＋22＋23；
……
第六次循环，输出S＝2＋22＋23＋…＋26＝126.
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．某算法的算法框图如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是________．
解析：本题算法框图表示的是分段函数
y＝
若解析式为y＝x－1，
则＝x－1，解得x＝，
不满足x≤1，舍去；
若解析式为y＝log2x，
则＝log2x，解得x＝，
满足x>1.
所以输入x的值为.
答案：
12．按照如图所示的算法框图运算，若输出k＝2，则x的取值范围是________．
解析：根据算法框图知，需要循环2次结束程序，
所以满足10(10x＋10)＋10≥2 010且10x＋10<2 010，
解得19≤x<200.
所以应填19≤x<200.
答案：[19,200)
13．(2012·西安高二检测)
t＝10
S＝1
Do
S＝S*t
t＝t－1
Loop While　t＞________
输出S
如果上述程序运行后输出的结果是720，则在横线处应填入的正整数为________．
解析：依题意，该循环体共执行了3次，因此横线处应填7.
答案：7
14．(2011·山东高考)执行如图所示的算法框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．
解析：当输入l＝2，m＝3，n＝5时，不满足l2＋m2＋n2＝0，因此执行y＝70l＋21m＋15n＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y＝y－105，执行后y＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.
答案：68
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)如图所示的算法框图．
(1)它解决的问题是什么？
(2)第一个判断框中的内容“a＝0”改为“a≠0”，第二个判断框中的“b≠0”改为“b＝0”行吗？
(3)连接第一个判断框的流程线上的“是”与“否”能否互换？
(4)连接第二个判断框的流程线上的“是”与“否”能否互换？
解：(1)解决的是求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根的问题．
(2)可以．但要将与之相连的流程线上的“是”与“否”互换．
(3)能互换．但必须将判断框内的内容“a＝0”改为“a≠0”．
(4)能互换．但必须将判断框内的内容“b≠0”改为“b＝0”．
16．(12分)根据下列语句画出相应的算法框图．
S＝1
n＝1
Do
S＝S*n
n＝n＋1
Loop While S<1 000
输出n－1.
解：算法框图如下：
17．(12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)＜1 000的最大整数n.画出框图，并用循环语句描述．
解：框图：　　　　　　　用语句描述为：
　　　　 n＝0
S＝0
Do
n＝n＋1
　　 S＝S＋n*(n＋1)
Loop While　S＜1 000
输出n－1
18．(14分)青岛海尔集团2011年元月份生产冰箱20 000台，2月份的产量是元月份的减去5 000台再翻一番，3月份的产量是2月份的减去5 000台再翻一番，按此规律，画出从2月份到年底共生产多少万台冰箱的算法框图．
解：设第i月份生产p万台，则i＋1月份生产(p－0.5)×2.
算法框图如下：
模块质量检测
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为(　　)
A．50　　　　　　　　 B．100
C．150 D．20
解析：因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×＝100人．
答案：B
2．(2012·福州高一检测)在如图所示的算法框图中，若输入a＝1，b＝5，则输出的值为
(　　)
A．－8 B．－4
C．4 D．8
解析：输入a＝1，b＝5，
∵a∴S＝a－b＝1－5＝－4.
答案：B
3．从一组数据2,3,5,6,9,11中任取一个数，则这个数大于这组数据的平均数的概率为
(　　)
A. B.
C. D.
解析：这组数据的平均数为(2＋3＋5＋6＋9＋11)＝6，数据中大于6的数有9,11两个，故所求概率为.
答案：B
4．在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离小于1的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：满足要求的点在一个与已知圆同圆心且半径为1的圆内，故所求概率P＝＝.
答案：D
5．(2012·岳阳高一检测)一个总体共有n个个体，分成3组，第一组的频数是第二组频数的3倍，第三组的频率为0.2，第一组比第三组多10个个体，则n的值为(　　)
A．25 B．20
C．15 D．10
解析：第一组的频数是第二组频数的3倍，说明第一组的频率也是第二组频率的3倍，
而第一、二组的频率之和为0.8，
所以第一、二组的频率分别为0.6,0.2，
又第一组比第三组多10个数据，
所以n＝＝25.
答案：A
6．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，两张标签上的数字之和为奇数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：基本事件的总数为25个，其中两张标签上的数字之和为奇数的情况有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12个，
所以所求概率为P＝.
答案：C
7．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是(　　)
甲
乙
7　9　8
0
7　8　5
5　7　9
1
1　1　3
3　4　6
2
2　0
2
3
1　0
1
4
0
A．19、13 B．13、19
C．20、18 D．18、20
解析：将甲的得分按从小到大排列是：7,8,9,15,17,19,23,24,26,32,41，则甲运动员的中位数是19；将乙的得分按从小到大排列是：5,7,8,11,11,13,20, 22,30,31,40，则乙运动员的中位数是13.
答案：A
8．阅读下列程序：
输入x；
If　x＜0　Then
　y＝x＋3
Else
　If　x＞0　Then
　y＝－x＋5
　Else
　y＝0
　End If
End If
输出y.
如果输入x＝－2，则输出结果y为(　　)
A．3＋π　　　　　　　　B．3－π
C．π－5 D．－π－5
解析：输入x＝－2，则x＝－2＜0成立，则y＝×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3－π.
答案：B
9.同时转动如图的两个转盘，记转盘甲得到数为x，转盘乙得到数为y，它们构成数对(x，y)，求分别转动甲、乙转盘一次所得的数对(x，y)满足xy＝4的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：基本事件的总数为16，其中满足xy＝4的数对为(1,4)，(2,2)，(4,1)，所以所求概率为.
答案：C
10．如图是一个算法的算法框图，该算法框图输出的结果是(　　)
A. B.
C. D.
解析：在第一次循环中，依次得i＝2，m＝1，n＝，此时i<4，所以要继续循环；
在第二次循环中，依次得i＝3，m＝2，n＝，此时i<4，所以要继续循环；
在第三次循环中，依次得i＝4，m＝3，n＝，此时已不满足i<4，所以循环结束．
所以，输出n的值为.
答案：D
0
7
9
1
3
3
5
6
7
2
1
2
4
5
8
8
3
0
1
4
7
4
1
1
2
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为________．
解析：由茎叶图知，抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6，频率为，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为×200＝60.
答案：60
12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图，如图所示．则收入最高的一组的人数是________．
解析：观察频率分布直方图，可知收入最高的一组的频率是0.000 1×500＝0.05，所以该组的人数为10 000×0.05＝500.
答案：500
13．已知变量x，y的回归方程为y＝bx＋a，若b＝0.51，＝61.75，＝38.14，则回归方程为________．
解析：因为a＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为y＝0. 51x＋6.647 5.
答案：y＝0.51x＋6.647 5
14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．那么他乘上上等车的概率为________．
解析：共有6种发车顺序(其中画线的表示袁先生所乘的车)：(上，中， 下)，(上，下， 中)，(中，上， 下)，(中，下，上)，(下，中， 上)，(下，上， 中)，所以基本事件总数为6，
记“他乘坐上等车”为事件A，则A所含的事件数为3，即(中，上，下)，(中，下，上)，(下，上，中)，
所以P(A)＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．某网站有6种资料，下载这些资料需要扣点数，其中4种资料下载一个需扣20个点，2种资料下载一个需扣10个点．某人在该网站下载了2个资料，求他恰好被扣30个点的概率．
解：用A1，A2，A3，A4分别表示“价值20个点”的4种资料，用B1，B2分别表示“价值10个点”的2个资料．
则基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个．
设“下载两个资料，恰好被扣30个点”为事件A，则A中的基本事件有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个．
∴P(A)＝.
16．目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造行厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x(百公里)与相应的油耗y(升)的几组对照数据.
x
1
2
3
4
y
6.4
13
18
25
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；
(2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33升．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗？
解：(1)根据表中数据可分别求得：
＝2.5，＝15.6，xiyi＝186.4，x＝30.
所以b＝＝6.08.
a＝15.6－6.08×2.5＝0.4.
所以回归方程为y＝6.08x＋0.4.
(2)把x＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8升，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2升．
17．(2011·陕西高考)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
　(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
18.某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．
(1)请先求出频率分布表中①，②位置相应的数据，再完成频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受X考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官X面试的概率.
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.05
第2组
[165,170)
①
0.35
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.20
第5组
[180,185]
10
0.10
合计
100
1.00
解：(1)由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35，
第3组的频率为＝0.30.
频率分布直方图如图3所示．
(2)因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：×6＝3，
第4组：×6＝2，
第5组：×6＝1.
所以第3,4,5组分别抽取3,2,1名学生．
(3)设第3组的3名学生为A1，A2，A3，第4组的2名学生为B1，B2，第5组的1名学生为C1，则从6名学生中抽2名学生有15种可能如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，
其中第4组的2名学生B1，B2中至少有1名学生入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共9种可能．
所以第4组至少有一名学生被考官X面试的概率为P＝＝.
课件26张PPT。第一章
统计§1
从普查到抽样知识点一理解教材新知应用创新演练知识点二考点一把握热点考向考点二考点三 某市要对本市内的外来务工人员的基本情况进行详细的登记造册，以做好人口的管理工作，现有以下方案可供选择：
a．登记部分重点地段的外来务工人员，其余地段的仅作大致推断，以节约时间与资金．
b．只登记男性务工人员，以男女比例为1∶1大致推断女性务工人员．可节省时间及部分资金．
c．市区内每个外来务工人员都要统计到位，但时间与资金投入都比较大．问题1：如果你是方案的决定者，你将选择哪一方案？
提示：c.
问题2：这样做的好处是什么？
提示：所得数据全面、系统、准确． 1．普查的定义
普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的 ，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．
2．普查的优点
(1)所取得的资料更加 ；
(2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的 .全面调查全面、系统数量 一个袋中有一些绿豆和黄豆，想知道绿豆的数目在这袋豆子总数目中所占的比例．
问题：要想得出所有豆子中绿豆所占的比例，是要消耗一定的时间和人力的，那么你能想出既省时又省力解决该问题的方法吗？
提示：我们可以从袋子中随机取出一部分豆子进行调查，利用这些豆子中绿豆所占的比例来估计整袋中绿豆所占的比例． 1．抽样调查的定义
通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取 ，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．其中， 称为总体， 称为样本．
2．抽样调查的优点
(1)迅速、及时；
(2)节约人力、物力和财力．一部分调查对象的全体被抽取的一部分普查与抽样调查的特点：　 [例1]　为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员．就这个问题，下列说法中正确的是 (　　)
A．2 000名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．所抽取的20名运动员是一个样本
D．样本容量是20 [思路点拨]　解答本题应先弄清楚调查对象是什么，再判断选项．
[精解详析]　A中，2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体；B中，每个运动员的年龄是个体；C中，20名运动员的年龄是一个样本．
[答案]　D
[一点通]　此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本容量为数目，无单位．1．为了了解某产品促销广告中所称中奖率的真实性，某
人买了100件该商品，调查其中奖率．在这个调查中，样本是 (　　)
A．某产品
B．某人买的100件商品
C．某产品促销广告中所称的中奖率
D．100件商品的中奖率解析：因为调查对象是某产品促销广告中所称的中奖率，故这个调查中，样本是某人所买的100件商品的中奖率．答案：D2．现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说
法正确的是 (　　)
A．80件产品是总体　　　　 B．20件产品是样本
C．样本容量是80 D．样本容量是20
解析：总体是80件产品的质量；样本是抽取的20件产品的质量；总体容量是80；样本容量是20.答案：D
[例2]　某玻璃厂要检验一批次(10万块)玻璃的质量(包括硬度、承受压力)，应如何检验，这种检验是普查还是抽样调查？
[思路点拨]　可根据所进行的检验是否具有破坏性以及检查数量多少来分析．
[精解详析]　我们知道，要检验玻璃的质量，不可能将每块玻璃都进行试验，因此我们检验这批玻璃时，可以抽取少量进行试验，由此来推断玻璃的质量，它属于抽样调查． [一点通]　当调查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．当调查的对象很多时，普查的工作量就很大，要耗费大量的人力、物力与财力，并且组织工作繁重、时间长．另外，有些考察活动具有破坏性．更值得注意的是，在很多情况下，普查工作难以实现．因此，在通常情况下，总是通过抽样调查来代替普查．3．下列调查中，采用了“抽样调查”方式的是 (　　)
A．为了了解某次考试试卷的质量，对全班所有学生的
试卷进行分析
B．调查某一品牌5万袋包装鲜奶是否符合卫生标准
C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市
D．了解全班学生100米短跑的成绩解析：结合生活经验，检查袋装鲜奶是否符合卫生标准仅看外包装是不够的，因此检查时需要开袋检查，但是开袋后的鲜奶不能再销售了，所以只能进行抽样调查．答案：B4．下列调查中，采用了“普查”方式的是 (　　)
A．调查某品牌电视机的市场占有率
B．调查某电视连续剧在全国的收视率
C．调查七年级一班的男女同学的比例
D．调查某型号炮弹的射程解析：A、B中的调查对象很多，D中的调查对象具有破坏性，都不能采用“普查”．而C选项中男女同学的比例是需要“普查”的．答案：C [例3]　某校高中学生有3 000人，校医务室想对全校高中学生的身高情况作一次调查，为了不影响正常的教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象，校医务室若从高一年级中选出50名学生的身高来估计全校高中学生的身高，你认为这样的调查结果可靠吗？
[思路点拨]　看抽样调查的个体是否具有代表性，若有代表性，则结论可靠，否则不可靠． [精解详析]　由于学生的身高会随着年龄的增长而增高，校医务室想了解在校高中学生的身高情况，在抽样时应关注高中各年级的身高，既要抽取高一的学生，也要抽取高二和高三的学生．如果只抽取高一的学生，结果一定是片面的，不能代表全校高中学生的身高情况．因此，在调查时，要对高一、高二和高三的所有学生进行随机抽样调查，不要只关注高一学生的身高．
[一点通]　根据调查问题的特点设计抽样调查的不同方案，应遵循的原则是：抽取的部分个体具有广泛的代表性，能很好地代表总体．否则调查结果与实际情况不相符．5．一些期刊杂志社经常请一些曾经高考落榜而在某方面
取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等．小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜，他的结论正确吗？解：小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性．6．要调查中央电视台新闻联播的收视情况，某同学到某
一大型商场调查了所有的顾客和售货员的收视情况，得出数据并进行分析，你认为他的调查结果可靠吗？为什么？解：因为某一商场的顾客和售货员的收视情况不具有代表性，不能反映该时间内工人、农民、学生等人员的收视情况，故调查结果不可靠． 1．总体、总体容量、样本、样本容量的区别：
总体是指研究对象的全体，总体中的所有个体数目称为总体容量．组成总体的每个对象称为个体，从总体中随机抽出来的若干个个体，称为样本．样本中个体的个数称为样本容量． 2．普查与抽样调查的区别：
(1)普查是对总体中每个个体进行调查，范围广、数据详细，工作量大；而抽样调查范围有局限性，数据不全面，工作量小；
(2)当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，往往采用抽样调查；
(3)当调查具有破坏性，就不允许普查．点击此图片进入“应用创新演练”课件33张PPT。知识点二第一章
统计§2抽样方法知识点一理解教材新知应用创新演练知识点三考点一把握热点考向考点二考点三2.1简单随机抽样2．1　简单随机抽样 从高三·二班50名学生中抽取2名同学参加某社区服务活动，小明比小王长得高．
问题1：小明被抽到的可能性比小王大吗？
提示：不．
问题2：本班50名学生被抽取到的可能性是否都是一样的？
提示：是的． 1．简单随机抽样的定义
根据实际需要有时需从总体中随机地抽取一些对象，然后对抽取的对象进行调查．在抽取的过程中，要保证每个个体被抽到的概率 ．这样的抽样方法叫作简单随机抽样．
2．简单随机抽样常用的方法
常用的简单随机抽样的方法有两种： 和 ．相同抽签法随机数法 某班班长为了从班内50人中选出一人参加春季游园活动，他将全班同学进行编号，然后将编号置于某一纸箱，搅匀后，请学习委员从中任意抽出一个，确定出参加游园的人选．
问题1：班长的做法公平吗？
提示：公平．
问题2：如果班长在编号时发生失误，将11写了两遍，那么此抽取对于同学来说公平吗？对谁最有利？
提示：不公平，对编号为11的同学最有利． 1．定义
抽签法就是先把总体中的N个个体编号，并把号签写在形状、大小相同的签上，然后将这些号签放在同一个箱子里 ．每次 从中抽取一个，然后将号签
，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本数．根据实际需要，如果每次抽取后 ，就称为有放回抽取；如果每次抽取后 ，就称为无放回抽取．均匀搅拌随机地均匀搅拌再放回不放回2．实施步骤
(1)给调查对象群体中的每个对象 ；
(2)准备“ ”的工具，实施“ ”；
(3)对样本中每一个个体进行测量或调查．编号抽签抽签 为了检验某种产品的质量，决定从120件产品中抽取10件进行检验．检查人员先将120件产品标号为001,002,003，…，120.然后从随机数表中的某一行、某一列按某一方向读取，凡不在001～120中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，按照此规则直到取足样本为止．
问题：这种取法合理吗？
提示：合理． 把总体中的N个个体依次编上0,1，…，N－1的号码，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直至抽到预先规定的样本数．抽签法与随机数法的相同点与不同点： [例1]　下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签． [思路点拨]　先逐个判断抽样的特点，再与简单随机抽样的概念比较得出结论．
[精解详析]　(1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”． (3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
(4)是简单随机抽样．因为总体中的个数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
[一点通]　判断简单随机抽样时，要紧扣简单随机抽样的特征：①总体是有限的．②逐个抽取且保证每个个体被抽取的可能性相等． 1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性 (　　)
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定解析：在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．答案： B2．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
①某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；
②某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否有买该商品；
③某班级有4个小组，每组共有12个同学．班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；
④中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码．解：简单随机抽样要求：被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求不放回的逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样．所以①不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；②不是，被抽取的样本的总体个数不确定；③不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；④是，它属于简单随机抽样中的随机数法． [例2]　从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
[思路点拨]　按抽签法的步骤：“制签→搅匀→抽取”的流程进行抽取． [精解详析]　第一步，将20架钢琴编号，号码是0,1，…，19.
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签． 第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的
编号．
第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象．
[一点通]　利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：
(1)编号时，如果已有编号(如学号、标号等)可不必重新编号．(例如该题中这20架钢琴事先有号可不编号)
(2)号签要求大小、形状完全相同．
(3)号签要搅拌均匀．
(4)要逐一、不放回抽取．3．抽签法中确保样本代表性的关键是 (　　)
A．制签　　　　　　　　　 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
解析：搅拌均匀是每个个体被抽到的机会均等的重要条件．
答案：B4．省环保局有各地市报送的空气质量材料15份，为了了解
全省的空气质量，要从中抽取一个容量为5的样本，若用抽签法抽取，请写出具体的操作步骤．
解：步骤如下：
(1)将15份资料用随机方式编号，号码是1,2,3，…，15；
(2)将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上，揉成小球，制成号签；
(3)把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀；
(4)从容器中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；
(5)找出和所得号码对应的5份材料，组成样本. [例3]　设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤．
[思路点拨]　用随机数法答题，只要按随机数法抽样的步骤写出抽样方案即可．? [精解详析]　其步骤如下：
第一步：将100名教师进行编号：00,01,02，…，99.
第二步：在随机数中任取一数作为开始，如从第12行第9列开始．第三步：依次向右读取两位的数，可以得到31,70,05,00,25,93,45,53,78,14,28,89.与这12个编号对应的教师组成样本．
[一点通]　(1)选定初始数字读数方向，向左、向右、向上或向下都可以，方向不同可能导致不同结果，但这一点不影响样本的公平性． (2)读数时，编号为两位，两位读取，编号为三位，则三位读取，如果出现重号，则跳过，接着读取．
(3)当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整使新编号位数相同．5．从10个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数法抽取
样本，则应编号为 (　　)
A．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
B．－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4
C．10,20,30,40,50,60,70,80,90,100
D．0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
解析：用随机数法抽取样本，为了方便读数，所编的号码的位数尽量少，且所有号码的位数相同．答案：D6．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算
从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？
解：(1)将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…600；
(2)在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第1行第7个数“7”，向右读；
(3)从数“7”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到407,024,369,204,349,358.
(4)以上号码对应的6个元件就是要抽取的样本． 1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法，若总体容量非常大，那就费时、费力又不方便，万一搅拌不均匀有失公平性，从而产生坏样本(代表性差的样本)的可能性增加． 2．在利用随机数法抽样的过程中应注意以下三点：
①编号要求位数相同；
②第一个数字的抽取是随机的；
③读数的方向是任意的，且是读数前定好的．点击此图片进入“应用创新演练”课件43张PPT。知识点二第一章
统计§2抽样方法知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三2.2
分层抽样与系统抽样2．2　分层抽样与系统抽样 某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本．
问题1：如果按简单随机抽样的方法抽取，抽取的样本是否具有代表性？ 提示：由于各人群的人数相差较大，如果采用简单随机抽样的方法，可能抽到的结果不具备代表性．
问题2：为保证样本的代表性，若按各年龄段人数占总人数的比例抽取，那么应分别抽取老年教师、中年教师、青年教师各多少？
提示：4,13,19. 将总体按其 分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例 一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样.属性特征随机抽取 每年一度的有奖明信片，分为很多组，其中获奖号码都是在公证部门的监督下确定的，比如三等奖的号码后两位数字
是39.
问题：你认为这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？
提示：根据数字的排列顺序知，是运用了系统抽样的方法来确定中奖号码的． 系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按 (称为抽样距)抽取其他样本．
系统抽样又叫 或 ．相同的间隔等距抽样机械抽样 1．分层抽样的步骤：
(1)将总体按一定标准进行分层；
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；
(3)按各层的个体数占总体的比例确定各层应抽取的样本容量；
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)． (3)在第一段用简单随机抽样法确定一个个体编号m(m≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本：通常是将m加上间隔k得到第二个个体编号(m＋k)，再加k得到第3个个体编号(m＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． [例1]　某政府机关现有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施过程．
[思路点拨]　各部门之间有差别，是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样，是灵活自主的．可用系统抽样，也可用简单随机抽样． (4)因副处以上干部与工人人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．
[一点通]　(1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．1．(2011·福建高考)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年
级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名， 则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)
A．6　　　　　　　　　　　 B．8
C．10 D．12答案： B2．(2012·岳阳高一检测)2011年某高校有2 400名毕业生参加
国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生有1 000人，研究生有1 200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为n的样本，已知从专科生中抽取的人数为10，则n等于 (　　)
A．100　　　　　　　　　 B．200
C．120 D．240答案：C3．2010年11月腾讯公司和360公司发生争端，影响了用户
同时使用腾讯QQ和360杀毒软件，一个网站调查了网民对他们争端的看法，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50 000份，其中持各种态度的人数统计在下表中：为了了解网民具体的想法和意见，此网站打算从中选出500份，为使样本更具代表性，每类中应抽选出多少份？ [例2]　从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．
[思路点拨]　因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体．
[精解详析]　由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下： [一点通]　当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体．但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除．4．某商场想通过检查部分发票及销售记录来快速估计每
月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是 (　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样 D．分层抽样解析：上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．答案：C
5．某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情
况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：(1)先把这253名学生编号000,001，…，252.
(2)用随机数法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．
(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250.(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．
(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本. [例3]　已知某工厂共有20个生产车间，并且每个生产车间内的工人已经按随机方式编好了序号，假定该厂每车间工人数都相同．为了考查工人对技术水平的熟练程度，采取以下三种方式进行抽查：
1．从全厂20个车间中任意抽取一个车间，再从该车间中任意抽取20人，考查这20个工人的技术水平．
2．每个车间都抽取1人，共计20人，考查这20个工人的技术水平． 3．把工人按技术等级分成高级工、一级工、初级工三个级别，从中抽取100名工人进行调查(已知按技术等级分，该厂工人中高级工共150人，一级工共600人，初级工共
250人)．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，各自采用何种抽取样本的方法？
(2)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤． [思路点拨]　根据三种抽样方法的运用特点作出判断，然后按照各自的步骤写出抽样过程即可．
[精解详析]　(1)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法． (2)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步，在这20个车间中用抽签法任意抽取一个车间．
第二步，从这个车间中按编号用随机数法或抽签法抽取20名工人，考查其技术水平．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步，在第一个车间中，用简单随机抽样法任意抽取某一工人，记其编号为x.
第二步，在其余的19个车间中，选取编号为x的工人，共计20人． [一点通]　解决此类问题的关键是灵活运用统计初步中的一些基本概念和基本方法，对照简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念得出抽样过程．三种抽样方法有各自的适用范围，在抽样时要分析实际情况，抓住总体的本质特点，灵活选择合适的方法，有时要综合运用几种不同的抽样方法．三种抽样方法，关系密切，对抽取样本来说，可谓异曲同工． 6．(2012·抚顺高一检测)某电脑公司在中国、法国、美国、
德国、英国分别有180个、150个、180个、120个、170个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这800个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在德国有50个特大型销售点，要从中抽取10个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 (　　)A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
解析：系统抽样要求均衡地分成几部分，然后从每部分中用简单随机抽样的方法抽取相同数目的样本，而分层抽样则是根据样本的差异分成几层，然后在各层中用简单随机抽样的方法按各层在总体中所占的比例进行抽样，不要求各部分抽取的样本数相同，但各层之间要有明显的差异，由此可知，本题中①为分层抽样；②为简单随机抽样．答案：B7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人、二、三年
级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是 (　　)
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
解析：利用三种抽样方法的定义可知①、③三种抽样方法都有可能．②简单随机抽样和分层抽样都有可能，不能为系统抽样．④只能是简单随机抽样．答案：D简单随机抽样、分层抽样、系统抽样三种抽样方法的比较：点击此图片进入“应用创新演练”课件40张PPT。知识点二第一章
统计§3统计图表知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三下图是某市年生产总值统计图： 统计图表是表达和分析数据的重要工具，它不仅可以帮助我们从数据中获取有用的信息，还可以帮助我们直观、准确地理解相应的结果．统计图表有： 统计图、 统计图、 统计图、茎叶图．条形折线扇形 为了准确区分甲、乙两名篮球运动员的水平高低，一位热心球迷记录了某赛季十场比赛中甲、乙两名运动员的得分如下图： 问题1：该图的名称是什么？
提示：茎叶图．
问题2：甲、乙两名运动员的得分多于30分的场次各是多少？
提示：甲有7场得分超过30分，乙有3场得分超过30分．
用茎叶图表示数据有两个突出特点
其一：统计图上没有 的损失，所有的
都可以从这个茎叶图中得到；?
其二：茎叶图可以 ，方便表示与比较．
但是，当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．信息原始数据随时记录 统计图表的选择：当在问题中收集到的数据量较多时，在用统计图表示之前，一般需要先将数据按一定的方式进行整理．在此基础上，再根据不同的需要选择适当的统计图进行表示．
(1)如果只需大致判断一些数据的分布规律，了解数据中各元素所占比例的大小情况可以使用扇形统计图．例如统计一个农村种植的各种作物的比例．
(2)如果需要根据图表了解各个数据所占的频率可以使用条形统计图．例如统计一批产品中优等品所占频率． (3)如果要了解数据的增减情况可以采用折线图．例如统计一个人成绩变化情况．
(4)如果要了解数据的全部信息可以使用茎叶图．例如篮球比赛的计分．
要选择恰当的统计图表直观表达统计的数据，必须把各种统计图表的特点和问题中的需要结合起来，确定选择何种统计图表． [例1]　“国际无烟日”来临之际，小彬就公众在餐厅吸烟的态度进行了调查，并将调查结果制作成如图所示的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： (1)被调查者中，不吸烟者中赞成在餐厅彻底禁烟的人数是多少？
(2)被调查者中，希望在餐厅设立吸烟室的人数是多少？ (3)求被调查者中赞成在餐厅彻底禁烟的频率；
(4)某市现有人口370万，根据图中的信息估计这个城市现有人口中赞成在餐厅彻底禁烟的人数．
[思路点拨]　先搞清条形图中横轴及纵坐标所表示的实际意义，然后根据条形图中的有关数据作出回答． [一点通]
1．在绘制条形统计图时，要搞清统计图的横轴及纵轴所表示的实际意义．
2．条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来．其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 1．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学
生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 (　　)A．0.6小时　　　　　　 B．0.9小时
C．1.0小时 D．1.5小时答案：B
2．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学
生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图所示：(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的学生占总人数的百分比是多少？ [例2]　下图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反应的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的条形统计图和扇形统计图． [思路点拨]　根据折线图得出与日期对应的温度列成表格，经过分析后绘制出条形统计图和扇形统计图． [精解详析]　该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：条形统计图如图所示．扇形统计图如图所示． [一点通]
1．折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连结起来．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示数量增减变化的情况，即折线统计图能够清晰地反映数据的变化情况．
2．扇形统计图中，用圆面代表总体，圆面中的各个扇
形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小．扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系，即扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．3．英才学校四个年级的学生人数分布如扇形图所示，通
过对全体学生暑假期间所读课外书情况的调查，制成各年级读书情况的条形图，如图所示．已知英才学校被调查的四个年级共有学生1 500人，则高一年级学生暑假期间共读课外书多少本？解：由扇形图可知，高一学生共有(1－24%－28%－22%)×1 500＝26%×1 500＝390人．
∴高一年级学生暑假期间共读课外书390×6.2＝2 418(本)．4．下图是一个病人的体温记录折线图，看图回答下面
问题．
(1)护士每隔几小时给病人量一次体温？
(2)这个病人的体温最高是多少？最低是多少？
(3)他在4月8日12时的体温是多少？
(4)他的体温在哪段时间下降得最快？哪段时间里比较
稳定？
(5)从体温看这个病人的病情是恶化还是在好转？解：由图可知：
(1)护士每隔6小时给病人量一次体温．
(2)这个病人的体温最高是39.5摄氏度，最低是36.8摄氏度．
(3)他在4月8日12时的体温是37.5摄氏度．
(4)他的体温在4月7日6时到12时下降得最快，4月9日6时到18时体温比较稳定．
(5)从体温看这个病人的病情好转. [例3]　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
[思路点拨]　由于数据既有两位数也有三位数，所以应以十位数字或十位和百位数字作为茎，个位数字作为叶画茎叶图，再根据茎叶图分析．[精解详析]　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示. 从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88.因此乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好． [一点通]　画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位或百位数，两边的数分别表示两组数据的个位数．要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填．比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较．
绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．5．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示
如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.答案：24　236．在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：
17,27,10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24
在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：
27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22
将这两组数据用茎叶图表示．解：根据题设所给数据，画出茎叶图如下： 扇形统计图、折线统计图、茎叶图的特点：
(1)扇形统计图能清楚地反映出各部分与总数之间的关系，但损失了部分数据信息．
(2)折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能清楚地反映事物的变化趋势，但损失了部分数据信息．
(3)茎叶图在数据较少，较为集中且数值不多时比较适用，它反映了收集到的全部数据信息，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．点击此图片进入“应用创新演练”课件41张PPT。知识点二第一章
统计§4
数据的数字特征知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三 给出一组数据1、3、6、8、2、9、10、1、5
问题1：该组数中出现次数最多的是哪个？
提示：1.
问题2：将这组数据按从小到大的顺序排列，则处在中间的数是哪一个？
提示：5.问题3：该组数的平均数是多少？
提示：5.
问题4：该组数据的极差是多少？
提示：9. 1．众数的定义
一组数据中重复出现次数 的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是 ，也可以是 ．
2．中位数的定义及求法
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于 位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．最多一个多个最中间4．极差
一组数据中 称为这组数据的极差.总体中样本中最大值与最小值的差某班一学习小组的数学过关检测成绩如下：
92,90,85,93,95,86,88,91
问题：它的样本方差是多少？
提示：10.5. 1．一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现的次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．
2．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么最中间的一个数据是这组数据的中
位数， 如果数据的个数为偶数，那么最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 3．标准差、方差的作用：
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． [例1]　据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下： (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
[思路点拨]　先根据定义求出平均数，中位数及众数，然后利用各数据所反映样本数据的特点作出解答。 (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
[一点通]　刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．1．(2012·郑州高一检测)某学习小组在一次数学测验中，得
100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是 (　　)
A．85、85、85　　　　　　　　B．87、85、86
C．87、85、85 D．87、85、90答案：C2．高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测
验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多
少人；
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么． [例2]　甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛，得分如下：
甲队：100,97,99,96,102,103,104,101,101,100.
乙队：97,97,99,95,102,100,104,104,103,102.
请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？
[思路点拨]　直接利用方差、标准差的公式计算，然后通过比较方差或标准差的大小得出结论． [一点通]　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．3．(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件
数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.答案：3.2
4．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数．
甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；
乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.
估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商的交货时间短一些？哪个供货商的交货时间较具有一致性与可靠性？ [例3]　样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是 (　　) A．第一组　　　　　　　　 B．第二组
C．第三组 D．第四组
[思路点拨]　可以从频率条形图分别得到四组样本数据，计算出标准差．[答案]　D
[一点通]　解决此类问题，一般有两种方法：
(1)由图形得到对应的样本数据，计算出平均数、方差(标准差)；
(2)从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小．此点可称为方差(标准差)的几何意义．5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人
的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 (　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁解：由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．
答案：C
答案：D 1．众数、中位数与平均数的异同：
(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系．
(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时其众数往往更能反映问题． (4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．
(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位． 3．方差与标准差的关系：
(1)方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均距离．
(2)方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但实际解决问题时一般采用标准差．点击此图片进入“应用创新演练”课件43张PPT。第一章
统计§5
用样本估计总体理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三 在某路段检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下的频率分布直方图．问题1：图中各个小矩形的面积之和是多少？
提示：1.
问题2：车速不低于90 km/h的车辆约有多少辆？
提示：200×0.010×10＝20(辆)．
问题3：车速处在60～90 km/h的车辆约有多少辆？
提示：200×(0.018＋0.039＋0.028)×10＝200×0.085×10＝170(辆)．Δxi(分组的宽度频率fi1 2．频率分布折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的 开始，用线段依次连接各个矩形的 ，直至右边所加区间的 ，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．
随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之 ，而每个区间的长度则会相应随之 ，相应的频率折线图就会越接近于一条光滑曲线．顶端中点中点中点增多减小 1．作频率分布直方图的步骤：
(1)求极差．即一组数中最大值和最小值的差．?
(2)决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：
①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择力求“取整”；③当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成5～12组． [例1]　已知一个样本：30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率折线图；
(3)根据频率分布直方图，估计总体出现在23～28内的频率是多少？
[思路点拨]　根据绘制频率分布直方图和频率折线图的步骤进行．列出频率分布表如下：(2)作出频率分布直方图如下： 取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率折线图，如上图．
(3)由频率分布表和频率分布直方图观察得：
样本值出现在23～28之间的频率为0.15＋0.40＋0.2＝0.75，所以可以估计总体中出现在23～28之间的数的频率约为0.75. [一点通]　(1)通过频率分布表、频率分布直方图可以将大量数据包含的信息比较清楚地反映出来，便于掌握数字特征．
(2)作图时小矩形的高易错用该组的频率的大小来表示，其原因是不清楚频率分布直方图的意义．1．已知样本数据如下：25,21,23,25,27,29,25,28,30,29,
26,22,24,25,26,28,26,24,25,27.在列频率分布表时，如果取组距为2，那么落在24.5～26.5这一组的频率是 (　　)
A．0.6　　　　　　　　　　　　 B．0.5
C．0.4 D．0.3答案：C2．为了了解欧债危机对欧元兑换人民币的影响，某金融机
构统计了2011年第四季度的60个工作日中欧元的现汇买入价(100欧元的外汇可兑换的人民币)的分组与各组频数如下：[1 050,1 060)，1；[1 060,1 070)，7；[1 070，1 080)，20；[1 080,1 090)，11；[1 090,1 100)，13；[1 100,1 110)，6；[1 110,1 120)，2.
(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表；
(2)估计欧元的现汇买入价在区间1 065～1 105内的频率；
(3)如果欧元的现汇买入价不超过x的频率的估计为0.95，求此x的值．解：(1)欧元的现汇买入价的频率分布表为： [例2]　为了了解小学生的体能情况，抽取某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3,0.4，第一小组的频数为5. (1)求第四小组的频率；
(2)问参加这次测试的学生人数是多少？
(3)问在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
[思路点拨]　(1)利用所有小矩形的面积之和为1即可求第四组的频率；(2)利用第四组的频数及频率可求参加这次测试的学生人数；(3)求出各组的频数，即可估计中位数的位置． [精解详析]　(1)第四小组的频率为1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2.
(2)参加测试的人数为5÷0.1＝50.
(3)由题意可得，0.1×50＝5,0.3×50＝15,0.4×50＝20,0.2×50＝10.
则第一、第二、第三、第四小组的频数分别是5,15,20,10.所以中位数应该在第三小组． [一点通]　频率分布直方图的性质：
(1)因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
(3)频数/相应的频率＝样本容量． 3．(2011·湖北高考)有一个容量为200
的样本，其频率分布直方图如图所
示．根据样本的频率分布直方图估
计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为 (　　)
A．18　　　　　　 B．36
C．54 D．72解析：易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.答案：B4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：
厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．答案：0.030　35．为提高全省高中教师的新课程实施能力，全面推进素质
教育，山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训．培训结束后，某市为了解参训教师的成绩情况，从本市参加培训的5 000名教师中随机抽取了100名，对他们的成绩(单位：分)进行统计分析，并画出了成绩的频率分布直方图如下，根据频率分布直方图，完成下面问题：(1)这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组？请说明理由；
(2)如果成绩在300分以上(含300分)者为优秀学员，求该市优秀学员的人数．解：(1)100个数据的中位数是第50和第51两个数据的平均数，第一小组的频率为0.004×100＝0.4，其频数为0.4×100＝40<50，故中位数不在第一小组；前两个小组的频率之和为(0.004＋0.002)×100＝0.6，频数之和为0.6×100＝60>50，故中位数应在第二小组．
(2)由频率分布直方图可知，优秀学员的频率为(0.001＋0.001)×100＝0.2，故该市优秀学员的人数为5 000×0.2＝1 000.[例3]　某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下： [思路点拨]　由频率分布表求平均值和标准差，方法与由频率分布直方图求平均值和标准差一样，利用每一组的中点值求平均值和标准差． [一点通]　样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在应用平均数和方差解决实际问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与平均数的偏离程度．6．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队
平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有 (　　)
①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场进球；④甲队的表现时好时坏．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个解析：平均数反映整体平均水平，甲队的平均数大，说明甲队的技术要好于乙队；标准差反映样本的波动大小，乙队的标准差小，说明乙队发挥较稳定，又乙队平均进球数为1.8，故乙队几乎每场进球；由于甲队标准差与平均数都比较大，说明甲队的技术好，但发挥不稳定，故①②③④都正确．答案： D7．(2012·晋城高一检测)某车间将10名技工平均分为甲、
乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：(1)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；
(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”种数有多少． 频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、频数条形图的特点：点击此图片进入“应用创新演练”课件31张PPT。第一章
统计§8
最小二乘估计理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二 某科研单位研制出一种新的高科技户外健身器材，为了不 因天气等外界因素的变化而影响使用效果，在此种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：根据表中数据，可作散点图如下图所示： 问题1：腐蚀深度y与腐蚀时间x之间是否具有相关关系？
提示：由散点图可知，变量y与x之间具有相关关系．
问题2：如何预测腐蚀时间x＝100 s时的腐蚀深度？
提示：可以根据散点图作出一条直线，使直线两侧的点分布均匀，求出直线方程，利用方程预测． 1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的图．如果 呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果 呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．散点散点图散点图系数 1．线性回归方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系．
(2)利用回归方程进行统计控制规定y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标．
(3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作出散点图，回归直线不要外延． [例1]　关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数： (1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程． [思路点拨]　(1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关关系，并作出拟合直线；(2)利用公式求出线性回归方程的系数a，b即可． [精解详析](1)以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量(万分比)，画出散点图，如下图． [一点通]
1．最小二乘法的适用条件：
每个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必须对两个变量进行相关性检验．
2．注意事项：
(1)利用求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法．
(2)计算a，b的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误．同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器．1．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随
机抽取5对父子的身高数据如下：答案：C
2．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)
与消化系数如下表：由此得回归直线的斜率是________(精确到0.01)．答案：38.14
[例2]　(2011·安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量． [思路点拨]　通过公式计算回归直线方程的系数a与b，利用回归直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
[精解详析]　(1)由所给数据可以看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：(2)利用直线方程y＝6.5(x－2006)＋260.2，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2
＝299.2(万吨)．
[一点通]　用线性回归方程估计总体的一般步骤：
(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；
(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a、b并写出线性回归方程；
(3)根据线性回归方程对总体进行估计．3．(2011·山东高考)某产品的广告费用x与销售额y的统计
数据如下表：根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (　　)
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元答案：B
4．(2011·广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父
亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.解析：儿子和父亲的身高可列表如下：答案：185
1．求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，因此，对数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性相关关系．
2．求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．点击此图片进入“应用创新演练”课件34张PPT。知识点二第一章
统计§6 ～ §7 统计活动：
结婚年龄
的变化
相关性知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三(1)确定 ；
(2)收集 ；
(3)整理 ；
(4)分析 ；
(5)作出推断.调查对象数据数据数据 人们常说：“名师出高徒”，的确，我们看到很多优秀的老师，他们的学生也非常优秀，很多技艺精湛的师傅，他们的弟子也技艺精湛．但是，名师一定出高徒吗？我们也看到，有些名师的弟子并不高明，甚至比较平庸．
问题：名师和高徒之间有必然的关系吗？它们之间具备什么样的关系？
提示：名师和高徒之间没有必然的关系，它们之间的关系是相关关系． 1．散点图
在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，通常将变量所对应的点描出来，这些
就组成了两个变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．点 2．相关关系
从散点图上看，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的 来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在 附近波动，则称这两个变量是线性相关的，而若所有点看上去在某条 (不是直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有点在散点图中没有显示 ，则称变量间是不相关的．曲线一条直线曲线任何关系相关性与函数关系的异同点：[例1]　在下列各个量与量的关系中：
①正方体的表面积与棱长之间的关系；
②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④家庭的收入与支出之间的关系；
⑤某户家庭用电量与水费之间的关系．
其中是相关关系的为 (　　)
A．①②　　　　　　　　 B．③⑤
C．④⑤ D．②③④ [思路点拨]　解答本题可先明确相关关系的概念与函数关系之间的区别，再作出判断．
[精解详析]　①正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系；⑤某户家庭用电量与水费之间无任何关系．②③④中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．[答案]　D [一点通]　利用变量间相关关系的概念判断时，一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系——函数关系；两个变量之间的关系具有随机性，不确定性——相关关系．1．下列变量之间的关系不是相关关系的是 (　　)
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．某种农作物的亩产量与施肥量
D．父母身高和子女身高的关系
解析：B、C、D均为相关关系，A为函数关系．答案：A2．下列两个变量间的关系，是相关关系的是 (　　)
A．任意实数和它的平方
B．圆半径和圆的面积
C．正三角形的边长和面积
D．天空中的云量和下雨
解析：很明显A、B、C三项都是函数关系；根据生活经验，天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，虽然有云彩不一定下雨，但是如果没有云彩一定不下雨，这说明它们之间是相关关系．答案：D [例2]　某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如表对应数据： (1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系．
[思路点拨]　涉及两个变量：利润与销售总额，以销售总额为自变量，考察利润的变化趋势，从而做出判断．[精解详析]　(1)散点图如下， (2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．
[一点通]　判断变量间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的．3．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是(　　)A．①②③ B．①
C．②③ D．②答案：B4．下面是随机抽取的9名15岁学生的身高、体重表：画出散点图，判断所给的两个变量是否存在相关关系．解：以x轴表示身高，以y轴表示体重，
得到相应的散点图如图所示．
我们会发现，随着身高的增长，体
重基本上呈增加的趋势．所以体重
与身高之间存在相关关系，并且是正相关． [例3]　某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如表所示： (1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，日平均总收入持平，问风景区是怎样计算的？
(2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？
(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
[思路点拨]　(1)只要调整前后的平均价格不变，日平均总收入就持平．
(2)根据实际调整前后总收入计算．
(3)哪一个接近实际就哪一个较能反映整体实际． [一点通]　由本题解答可发现即使收集并整理同一组数据，也会因分析的切入点不同而作出不同的推断．5．(2012·三明高一检测)第一季度应聘和招聘人数排行榜前5
个行业的情况列表如下：若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是 (　　)
A．计算机行业好于化工行业
B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张
D．营销行业比贸易行业紧张解析：从表中可以看出，计算机行业应聘和招聘人数都较多，但录用率约占50%.化工行业招聘名额虽少，但应聘者也相应较少，故A不正确．相对物流行业，机械行业不是最紧张的．建筑行业应聘人数不多，显然好于物流行业．营销行业招聘比约为1∶1.5，但贸易行业招聘数不详，无法比较．故选B.答案：B6．下表是今年中美两国女排比赛的技术数据统计：(1)学生甲用两幅直方图，比较中美两国比赛的得分情况，学生乙用一幅直方图(如图所示)比较中美两国比赛的得分情况，哪一个效果好？(2)从统计表中你能获取哪些信息？
解：(1)学生甲的方案由于纵轴单位刻度不同，不容易对两国排球赛的得分情况进行比较；而学生乙将两张图合并成一张图，可以一目了然地看出两国排球赛的得分情况的差异，因此，乙的效果更好．
(2)分析表中的数据我们可以大概地了解到，中国队战胜美国队的主要因素是失误较少，防守反击比较成功，而中国队发球的威力不大，这是需要提高的． 分析变量之间的关系的方法：
(1)定性分析：
分析变量之间是否具有相关性的关系，我们可以借助日常生活和工作经验对一些常规问题来进行定性分析，如儿童的身高随着年龄的增长而增长，但它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此，它们之间是一种非确定性的随机关系，即具有相关性．但仅凭这种定性分析是不够的．原因：①定性分析有时会给我们以误导；②定性分析无法确定变量之间相互影响的程度有多大，因此，我们还需要进行定量分析． (2)定量分析：
由于变量间的相关性是一种随机关系，因此，我们只能借助统计这一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的关系作出推断．点击此图片进入“应用创新演练”课件13张PPT。第一章
统计章末小结核心要点归纳阶段质量检测知识整合与阶段检测一、随机抽样 三种抽样方法各有其特点和适用范围，在实践中要根据具体情况选用相应的抽样方法．其中，简单随机抽样是最基本的，是其他两种方法的基础，要注意它们都是等概率抽样．二、用样本估计总体
1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
(2)决定组距与组数；
(3)将数据分组；
(4)列频率分布表；
(5)画频率分布直方图． (4)样本的标准差和方差描述了总体数据围绕平均数波动的大小程度，样本的标准差、方差越大，总体数据估计越分散；样本的标准差、方差越小，总体估计越集中，特别地，当样本的标准差、方差都为0时，则表明总体数据估计没有波动，估计数据全相等．
(5)样本的平均数和方差是两个重要的数字特征，在应用平均数和方差解决问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与平均数的偏离程度． 4．用茎叶图刻画数据的特点
(1)所有的信息都可以从图中得到；
(2)茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况．
但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图的效果就不 是很好了． 三、变量间的相关关系
1．线性相关关系，回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近波动，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．线性回归方程
(1)最小二乘法：
求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．点击此图片进入“阶段质量检测”课件33张PPT。第三章
概率§1随机事件的概率理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点三1.1
频
率
与
概
率知识点二知识点一考点二1．1　频率与概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个 附近摆动，即随机事件A发生的频率具有 性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．我们有0≤P(A)≤1.常数稳定 频率反映了一个随机事件出现的 ，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的 的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的 作为它的概率的估计值．频繁程度可能性频率 1．随机事件A的概率是通过在相同条件下，大量重复进行同一试验，得到随机事件A发生的频率的稳定值而得到的，一定要注意“在相同的条件下”这一条件，如果条件发生了改变，事件发生的概率也会随之改变，频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 2．频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同，而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．又如：如果一枚硬币是均匀的，全班每人做了10次抛币试验，得到正面朝上的频率可以是不同的，但抛硬币出现正面朝上的概率都是0.5，与做多少次试验无关． [例1]　已知集合A＝{a|a>3}，从集合A中任取一个元素a， 给出下列说法：
①a>2的概率是1；　②a>4的概率是0；
③a≤3的概率大于0；　④5 其中正确说法的序号是________．
[思路点拨]　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0且小于1，本题的实质是必然事件，不可能事件和随机事件的判断问题．[精解详析]　①事件是必然事件，其概率为1，正确；
②事件是随机事件，其概率不为0，不正确；
③事件是不可能事件，其概率为0，不正确；
④事件是随机事件，其概率小于1，正确．
综上，正确说法的序号是①④.答案：①④
[一点通]　准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题的关键，应用时要特别注意，看清条件，在给定条件下判断是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生来确定属于哪一类事件．1．将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，
此事件是 (　　)
A．必然事件　　　　　　　　　B．不可能事件
C．随机事件 D．不能判定
解析：当截成的三段满足任意两段的长度和都大于第三段的长度时才能构成三角形，故此事件为随机事件．答案：C
2．指出下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件：
①如果a>b，那么a－b>0；
②某射手射击一次，击中10环；
③在一个三角形中，大边对的角小，小边对的角大；
④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；
⑤从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
⑥导体通电后，发热.
解：根据三类事件的分类标准知：①⑥是必然事件；③是不可能事件；②④⑤是随机事件． [例2]　指出下列试验的结果：
①先后掷两枚质地均匀的硬币；
②某人射击一次命中的环数；
③从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素构成的A的
子集．
[思路点拨]　试验出现的所有可能情况即为试验结果． [精解详析]　①结果：正面，正面；正面，反面；反面，正面；反面，反面；
②结果：0环；1环；2环；3环；4环；5环；6环；7环；8环；9环；10环；
③结果：{a，b}；{a，c}；{a，d}；{b，c}；{b，d}；{c，d}．
[一点通]　随机事件的结果是相对于条件而言的，要弄清某一随机事件的所有结果，必须首先明确事件发生的条件，然后按一定的次序列出所有结果．3．一个家庭中有两个孩子，则两个孩子的性别可能是(　　)
A．男女、男男、女女 B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女
解析：一个家庭中的两个孩子有4种可能：第一个是男孩，第二个也是男孩；第一个是男孩，第二个是女孩；第一个是女孩，第二个是男孩；第一个是女孩，第二个也是女孩．答案：C4．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出
以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解：(1)条件为：从袋中任取1球，结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球，若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种. [例3]　表①和表②分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：
表① 表② (1)分别计算表①和表②中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？
(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？ [精解详析](1)依据频率公式计算表①中“篮球是优等品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表②中“篮球是优等品”的各个频率为0.86,0.89,0.91,0.91，0.89，0.90.
(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表①中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表②中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.答案：D
答案：A
7．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种
球共40个，贝贝做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少(精确到0.1)?
(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率为多大？
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？解：(1)根据表格我们发现：在大量重复的试验中，摸到白球的次数的频率稳定在0.6这个常数上，因此，可以估计出，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)摸到白球的概率为0.6.
(3)可估算出白球的个数是0.6×40＝24，
则黑球有40－24＝16个． 1．判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在一定条件下事件发生与否是对应于这个条件而言的．特别需要指出的是：对于一个事件，如果叙述不明确，则易导致不同的理解．
2．概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”、“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．点击此图片进入“应用创新演练”课件22张PPT。第三章
概率§1随机事件的概率应用创新演练考点一把握热点考向1.2
生
活
中
的
概
率考点二1．2　生活中的概率 [一点通]
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A的概率越大，其发生的可能性就越大，概率越小，事件A发生的可能性就越小，但不能决定其一定发生或不发生．
2．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识．1．在一次摸奖活动中，中奖率为0.1，某人购买了10张奖券，
甲解释：肯定中奖；乙解释：中奖的机会占10%；丙解释：只有一张中奖．他们解释正确的是 (　　)
A．甲　　　　　　　　　 B．乙
C．甲和丙 D．乙和丙答案：B2．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次
从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑子吗？说明你的理由．
解：不一定，摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的，可能有两次或两次以上摸到黑子，也可能没有一次摸到黑子. [一点通]　概率是指随机事件在每一次试验中发生的可能性的大小，小概率事件发生的可能性很小，但也可能发生，大概率事件发生的可能性很大，但也可能不发生．答案：1
4．设有外形完全相同的甲和乙两个箱子，里面均放置了
形状、大小相同的若干黑球和白球．在甲箱中抽到白球的概率是99%，抽到黑球的概率是1%；在乙箱中抽到黑球的概率是99%，抽到白球的概率是1%.今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．你估计这球是从哪一个箱子中取出的？解：把抽取一箱再从中抽取一个白球看成一个随机事件，那么从甲箱中抽取出的概率99%比从乙箱中抽取出的概率1%大得多．由于是随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，所以在甲箱发生的可能性更大，因此估计是从概率大的甲箱中抽取的． 1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性.概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生.
2.任何事件的概率是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小.小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生；大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是经常发生. 3.在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，在分析、解决有关实际问题时，要善于运用这一思想方法来进行科学的决策.点击此图片进入“应用创新演练”课件34张PPT。第三章
概率§2古典概型应用创新演练考点一把握热点考向2.1
古典概型的特征和概率计算公式考点二理解教材新知考点三2．1　古典概型的特征和概率计算公式 一个家庭中有2个孩子．
问题1：这两个孩子性别的所有可能结果有哪些？是不是有限的？?
提示：男女、男男、女男、女女，是．
问题2：每种结果出现的机会一样吗？
提示：一样． 1．古典概型的定义
如果一个试验满足：
(1)试验的所有可能结果只有 个，每次试验只出现其中的 个结果；
(2)每一个试验结果出现的可能性 ．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)． 有限一相同 1．古典概型的特征：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个基本事件发生的可能性(概率)是均等的． [例1]　下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
[思路点拨]　根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可． [精讲详析](1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等． [一点通]　只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．1．下列随机事件：
①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动
汇报；
③一只使用中的灯泡寿命长短；
④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的
情况；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
这些事件中，属于古典概型的有________．解析：答案：②④2．(1)在数轴上0～3之间任取一点，求此点的坐标小于1
的概率．此试验是否为古典概型？为什么？
(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率．此试验是古典概型吗？试说明理由．
解：(1)在数轴上0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型. [例2]　有4个号码：1号、2号、3号、4号装入一袋中，从中任取2个，一个等于3号，一个小于3号，问取一次就能达到要求的概率是多少？
[思路点拨]　用列举法研究试验中的所有可能结果(基本事件)．3．把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x.
(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件)；
(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)：
①x的取值为2的倍数(记为事件A)；
②x的取值大于3(记为事件B)；
③x的取值不超过2(记为事件C)；
④x的取值是质数(记为事件D)．
(3)判断(2)中事件是否为古典概型，并求其概率．4．盒子中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有
放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
解：　(1)一共有8种不同的结果，列举如下：
(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)． [例3]　甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4而小于9”，求P(B)；
(3)这种游戏公平吗？试说明理由．
[思路点拨]　一个基本事件应该包括“甲出的手指头数和乙出的手指头数”，可用一个有序实数对来表示，将所有基本事件列出后，分析所求事件包括的基本事件数即可求解． [精解详析]　将所有可能情况列表如下： 由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的基本事件，属于古典概型． [一点通]　在解决较复杂的古典概型时，常借助画树状图法、图表法或坐标法列举出试验可能出现的所有结果，能将复杂问题形象化，使得问题解决变得简便．答案：A6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．
(1)求所选3人都是男生的概率；
(2)求所选3人恰有1名女生的概率．
解：从编号为男1,2,3,4和女5,6号的6个人中选3人的方法有
(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共有20种方法． 1．学好古典概型应抓住以下三点：
(1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；
(2)对于这有限个不同的结果，它们出现的可能性是相等的；
(3)求事件的概率可以通过大量重复试验，而只要通过一次试验中出现的结果进行分析计算即可．点击此图片进入“应用创新演练”课件33张PPT。第三章
概率§2古典概型应用创新演练考点一把握热点考向2.2
建
立
概
率
模
型考点二考点三2．2　建立概率模型 [例1]　从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次：
(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；
(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
[思路点拨]　分别利用列举法列举出可能出现的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率． [一点通]　“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．1．盒子里共有大小形状完全相同的3只白球和1只黑球，
若从中不放回地随机摸出两只，则它们颜色不同的概率为________．2．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号
分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率． [例2]　将一颗骰子(它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，观察向上的点数，求：
(1)两数之积是6的倍数的概率；
(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x、y，则logx(x y)＝1的概率是多少；
(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在直线x－y＝3的下方区域的概率． [思路点拨]　列出一颗骰子先后抛掷两次的所有36种结果，然后根据题目要求找出所求事件所包含的基本事件的个数即可．
注意：点(x、y)在直线x－y＝3的下方，即x－y>3.图(1)图(2) [一点通]　若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；
若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件．答案：D4．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂
色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率.解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示．
[例3]　甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
(1)甲在边上；
(2)甲和乙都在边上；
(3)甲和乙都不在边上．
[思路点拨]　由于甲、乙、丙、丁四名学生的顺序具有任意性，可先抓住某位学生，然后对另外三名学生进行排序，例如，第一情况可安排第一个位置为甲，然后依次分别安排其他三名学生，第二、三、四种情况类似地进行安排，则可直观明了地得到本题中基本事件的所有情况．[精解详析]　利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．
(1)甲在边上有12种情形：
(甲，乙，丙，丁)，　(甲，乙，丁，丙)，　(甲，丙，乙，丁)，
(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)，
(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)，
(丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)． [一点通]　对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况，在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法．5．袋中有2只黑球、3只白球，它们除颜色不同外，没
有其他差别．现在把球随机地一只一只摸出来，第3次摸出的球是黑球的概率为________．6．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．求做一次游戏：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率． 1.建立概率模型的要求：,把什么看作是一个基本事件是人为规定的，它要求每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.
2.建立概率模型的作用：,一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”. 3.建立概率模型的一般原则：
建立概率模型时，注意选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型.点击此图片进入“应用创新演练”课件38张PPT。知识点二知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三第三章
概率§2古典概型2.3
互斥事件2．3　互斥事件 袋子中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个．
问题：“恰有一个白球”和“全是白球”两事件有可能同时发生吗？
提示：不可能． (1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下
的两个事件A与B称作互斥事件．
(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和事件B
发生．
(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝ ．
(4)公式的推广：如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝ .不能同时发生至少有一个P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋… ＋P(An) 袋子中有2个白球，2个黑球，从中任取2个球．?
问题1：“至少有一个白球”和“全是黑球”这两事件能同时 不发生吗？
提示：不能．
问题2：问题1中的两个事件在这个实验中一定有一个发生吗？
提示：是．1 互斥事件与对立事件的区别与联系：
(1)互斥事件与对立事件都是不能同时发生的事件，但互斥事件可能同时不发生，对立事件不能同时不发生，即其中必有一个发生．
(2)对立事件一定是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，如果两个事件不是互斥事件，那么它们一定不是对立事件． [例1]　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少1名男生与全是男生；
(3)至少1名男生与全是女生；
(4)至少1名男生与至少1名女生． [思路点拨]　要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．
[精解详析]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件． (2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件． [一点通]
1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若能同时发生则这两个事件不是互斥事件，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．
2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．1．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互
斥而不对立的两个事件是 (　　)
A．至少1个白球，都是白球
B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是红球解析：从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球有3类结果：两个红球或两个白球或一红一白．当取出2个白球时，至少一个白球与都是白球同时发生，即它们不是互斥事件，所以A项不正确；当取出一个白球一个红球时，至少有1个白球与至少有1个红球同时发生，即它们不是互斥事件，所以B项不正确；至少有1个白球与都是红球不能同时发生，且必有一个发生，所以它们是互斥事件又是对立事件，所以D项不正确；恰有1个白球是指一个白球一个红球，恰有2个白球是指2个都是白球，所以恰有1个白球与恰有2个白球不能同时发生，它们是互斥事件，当取出的2个球都是红球时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．答案：C2．判断下列给出的条件，是否为互斥事件，是否为对立事
件，并说明理由：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大
于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此， 二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此， 二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件. [一点通]　解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式，不要由于乱套公式而导致错误，对于较复杂的综合性问题还要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用． 3．假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个
军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一个炸弹军火库发生爆炸的概率．
解：令A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C，
又因为A、B、C是两两互斥事件，
故所求概率为P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.4．某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率
分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算该射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
解：令A、B、C、D分别表示射中7环、8环、9环、10环．
则P(A)＝0.28，P(B)＝0.25，P(C)＝0.23，P(D)＝0.21.
(1)令E为射中10环或7环，则E＝A＋D，∵A与D互斥，
∴P(E)＝P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.28＋0.21＝0.49.
(2)令F为不够7环，则P(F)＝1－P(A＋B＋C＋D)
∵A、B、C、D两两互斥，∴P(F)＝1－0.28－0.25－0.23－0.21＝0.03. [例3]　一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
[思路点拨]　先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决． [一点通]　求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．答案：B6．某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为a1，a2，a3，
女生两名，分别记为b1，b2，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛．
(1)写出这种选法的所有基本事件；
(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率；
(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率．解：(1)从3名男生和2名女生中任选2名学生去参加校数学竞赛，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)． 1．互斥事件的概率加法公式的运用：
(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果．
(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏．
(3)常用步骤：①确定诸事件彼此互斥；②诸事件中有一个发生；③先求诸事件分别发生的概率，再求其和． 2．对立事件概率公式的运用：
(1)明确对立事件的概率，即事件A、B对立，A、B中必有一个发生，其中一个易求，另一个不易求时用P(A)＋P(B)＝1便迎刃而解．
(2)常适用于直接计算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个数．求得对立事件的概率，再由公式求出符合条件的事件的概率．
(3)应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．该公式常用于“至多”、“至少”型问题的探求． 3．互斥事件的概率加法公式和对立事件概率公式所揭示的两个重要的数学思想方法：
(1)化整为零和化难为易的思想：把复杂事件化为互斥的简单事件的和再求概率．
(2)正难则反的思想：正面求某事件的概率困难时，可转化为求其对立事件的概率．点击此图片进入“应用创新演练”课件35张PPT。§3模拟方法
概率的应用知识点二知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三第三章
概率—考点四 在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的 ，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.概率 房间的纱窗破了一个小洞，假设一只蚊子随机飞向纱窗，估计蚊子从这个小洞中穿过的概率．
问题1：此概率是古典概型吗？
提示：不是．因为蚊子与纱窗的接触点有无限多个，即试验的结果有无限多个．
问题2：蚊子接触纱窗上每个点的机会均等吗？
提示：均等．正比体积长度几何概型与古典概型的比较： [例1]　如图A，B两盏路灯之间的距离
是30m，由于光线较暗，想在其间再随意
安装一盏路灯C，问A与C，B与C之间的距离都不小于10m的概率是多少？
[思路点拨]　在A、B之间每一位置安装路灯C是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．答案：A2．某人欲从某车站乘车出差，已知该人能乘坐的车均为每
小时一班，且车会在站内停留5 min等待旅客上车．求此人等待时间不多于10 min即可上车的概率．答案：A
4．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，
以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，求油正好落入孔中的概率(油滴的大小忽略不计)． [例3]　正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，在正方体内随机取一点M.求点M落在三棱锥B′－A′BC内的概率．
[思路点拨]　本题中事件的全部结果对应的区域就是棱长为a的正方体，而所求概率的事件应满足点M落在三棱锥B′－A′BC内．5．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 Ml
水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为 (　　)
A．0　　　　　　　 B．0.002
C．0.004 D．1答案：C
6．在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面
的距离都大于1的概率． [例4]　如右图，在直角坐标系内，∠xOT
＝60?，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT
内的概率．?
[思路点拨]　以O为起点作射线OA是随机的，
因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件． 7.如右图，是一残缺的轻质圆形转盘，其
中残缺的每小部分与完整的每小部分的
角度比是3∶2，面积比是3∶4.某商家用
其来与顾客进行互动游戏，中间自由转动的指针若指向
残缺部分，商家赢；指针若指向完整部分，顾客赢．则
顾客赢的概率为________．8.如图，在等腰直角三角形ABC中，过
直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，
与线段AB交于点M.
求AM (1)适当选择观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域；
(3)把随机事件A转化为与之对应的区域；
(4)利用概率公式计算．
2．如果事件A对应的区域不易处理，可以用其对立事件逆向求解．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景去判断．点击此图片进入“应用创新演练”课件8张PPT。章末小结核心要点归纳阶段质量检测第三章
概率知识整合与阶段检测 1．概率与频率的关系
频率本身是随机的，两次做同样的试验会得到不同的结果，而概率本身是一个确定的数，与每次试验无关．
随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率，因此我们可通过频率来近似估计概率．这就是利用随机数求概率的思想． 2．互斥事件与对立事件的概率
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． 3．古典概型与几何概型
(1)两种概率模型的基本事件都是等可能发生的，若基本事件有限则为古典概型，若无限则为几何概型．(3)对于几何概型概率的计算，关键是求出事件A所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解．点击此图片进入“阶段质量检测”课件31张PPT。知识点二第二章
算法初步§1算法的基本思想知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三1.1算法案例分析1．1　算法案例分析 (1)算法是解决某类问题的一系列 或 ，只要按照这些 执行，都能使问题得到解决．
(2)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些 称为解决这些问题的算法．这种描述不是算法的严格定义，但是反映了算法的基本思想．步骤程序步骤步骤 现代算法的作用之一是使计算机能代替人完成某些工作． 算法的主要特征：
(1)有穷性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行和得到确定的结果，而不应当模棱两可，比如让学生求 的近似值却没有要求近似的精确度，不同的学生会得到不同的结果，或者说该问题根本不能求解． (3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确无误，才能解决问题．
(4)不唯一性：求解某一个问题的算法不是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决．　 [例1]　下列对算法的理解不正确的是 (　　)
A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的
B．算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤
C．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果
D．一个问题只能设计出一个算法
[思路点拨]　先正确理解算法的概念及其特点，然后逐一验证每个选项是否正确．.[精解详析][答案] D [一点通]　解答这类问题的方法为特征判断法，主要从以下三方面判断：
(1)看是否满足顺序性．算法实际上就是顺序化的解题过程，是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤．
(2)看是否满足明确性．算法的每一步都是确定的，而不是含糊的、模棱两可的．
(3)看是否满足有限性．一个算法必须在有限步后结束．如果一个解题步骤永远不能结束，那么就永远得不到答案．因此，有始无终的解题步骤不是算法．
此外，算法的不唯一性也要考虑到．1．下列叙述能称为算法的个数为 (　　)
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤．
②顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100.
③3x>x＋1.
④求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4解析：根据算法的含义和特征：①②都是算法．③④不是算法．其中③，3x>x＋1不是一个明确的逻辑步骤，不符合逻辑性；④的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．答案： B2．有关算法的描述有下列几种说法：
①对一类问题都有效；
②对个别问题有效；
③计算可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；
④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．
其中说法正确的是________．解析：算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，所以①正确，②错误．由于程序必须是明确的，有效的，而且在有限步之内完成，故③④正确．综上知，①③④正确．答案：①③④ [例2]　写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
[思路点拨]　本题是一个求一元二次方程的解的问题，方法很多，可用配方法，也可用判别式法．
[精解详析]　法一：算法步骤如下：
1．移项，得x2－2x＝3. ①
2．①两边同加1并配方，得(x－1)2＝4. ②
3．②式两边开方，得x－1＝±2. ③
4．解③，得x＝3或x＝－1. [一点通]　对于数值型计算问题的算法，可以借助数学公式采用数学计算的方法，将过程分解成清晰的步骤，使之条理化即可，但应注意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果．3．求过P(a1，b1)，Q(a2，b2)两点的直线斜率有如下的算
法，请在横线上填上适当步骤：
1．取x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2.
2．判断“x1＝x2”是否成立，若是，则输出“斜率不存在”；否则，进行下一步．
3．________________________.
4．输出k.4．写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．
解：算法一：
1．计算1＋2得3；
2．将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
3．将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
4．将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
5．将第四步中的运算结果15与6相加得到21.算法二：
1．将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7；
2．计算3×7；
3．得到运算结果. [例3]　一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，该船最多可容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃羚羊．此人如何才能将动物平安转移过河？请设计一个算法．
[思路点拨]　人和动物同船不用考虑狼会吃羚羊但需考虑承载的数量，另外还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的设计中应尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势． [精解详析]　具体算法步骤如下：
1．人带两只狼过河，并自己返回．
2．人带一只狼过河，并自己返回．
3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回．
4．人带一只羚羊过河，并自己返回．
5．人带两只狼过河． [一点通]　解决此类问题．需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述，设计具体的数学问题的算法，实际上就是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能接受的“语言”准确地描述出来．5．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、
烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出较好的一种算法． (　　)
A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四
步泡面、第五步吃饭、第六步听广播
B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡
面、第四步吃饭、第五步听广播C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、
第四步吃饭同时听广播
D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时
洗脸刷牙、第四步刷水壶
解析：完成这个过程用时最少的是最好的算法，因此我们可以从四个答案所给出的步骤是否合理，需要花费多少时间入手．答案：C
6．有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在
了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换回来，请设计一个算法解决这个问题．
解：算法步骤如下：
1．取一只空的墨水瓶，设其为白色；
2．将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
3．将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑墨水瓶中；
4．将白瓶中的蓝墨水装入蓝墨水瓶中；
5．交换结束．1．写一个算法应遵循由粗到细的处理问题的方法，先确定
大的框架，再根据情况具体化，这是设计算法时普遍采用的方法．
2．给出一个问题，设计算法时要注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；
(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤．点击此图片进入“应用创新演练”课件27张PPT。第二章
算法初步§1算法的基本思想理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二1.2
排序问题与算法的多样性1．2　排序问题与算法的多样性 由于人类具有主观能动性，将数据a插入到有序列{a1，a2，…，an}中时，能很快找到适当的位置，而计算机解决此类问题时，其解决方式不同．计算机每次只能比较两个数据的大小，不能直接“看”出应插到有序列{a1，a2，…，an}的哪个位置，因此要想用计算机解决排序问题必须要设计算法，使得每次仅比较两个数的大小．
问题：若将3插入到有序列{－3，－2,2,4,7}中，排序方法有几种？
提示：有两种． 1．排序
为了便于查询和检索，常常根据某种要求把被查询的对象用 表示出来，并把 按大小排列，是信息处理中一项基本的工作，通常称为排序．
2．排序的方法
(1) 排序法；
(2) 排序法．数字(或者符号)数字有序列直接插入折半插入 1．有序列直接插入排序法蕴涵的算法思想：
有序列直接插入法主要是通过逐一比较，通过有限次的“操作”将某一个数据插入原有序列的一种算法，它主要包含以下两步：
对于一个有序列：a1≤a2≤a3≤…≤an，欲将新数据A插入到有序列中，形成新的有序列．
①将数据A与原有序列中的数据从右到左依次进行比较，直到发现某一数据ai，使得ai≤A，把A插入到ai的右边；
②如果数据A小于原有序列中的所有数据，则将A插入到原序列的最左边． 2．有序列折半插入排序法蕴涵的算法思想及插入的方法和步骤：
折半插入排序的基本思想与二分法的思想一致，即逐步缩小所要比较的数据的范围，直到确定出所要插入的数据的位置为止．
插入的方法如下：
①先将新数据与有序列中“中间位置”的数据进行比较．
若有序列有2n＋1个数据，则“中间位置”的数据指的是第n＋1个数；若有序列有2n个数据，则“中间位置”的数据指的是第n个数． ②如果新数据小于“中间位置”的数据，则新数据插入的位置应该在靠左边的一半；如果新数据等于“中间位置”的数据，则将新数据插入到“中间位置”的数据的右边；如果新数据大于“中间位置”的数据，则新数据插入的位置应该在靠右边的一半．
也就是说，一次比较就排除了数据列中一半的位置，反复进行这种比较直到确定新数据的位置，像这样的插入排序方法就称为折半插入排序方法． [例1]　将－4插入有序列{－8，－3,0,2,6}中，分别用直接插入排序法和折半插入排序法写出算法．
[思路点拨]　(1)利用直接插入排序法，只要按从右到左的顺序将－4逐个与有序列中数据进行比较即可；
(2)利用折半插入排序法，应找到中间位置a3＝0与－4进行比较，然后把剩下数据中间位置的数据依次与－4比较，直到找到－4的位置． [精解详析]法一：直接插入排序法：
(1)－4与6比较，由于－4<6，则－4在6的左边；
(2)－4与2比较，由于－4<2，则－4在2的左边；
(3)－4与0比较，由于－4<0，则－4在0的左边；
(4)－4与－3比较，由于－4<－3，则－4在－3的左边；
(5)－4与－8比较，由于－4>－8，则－4在－8的右边，则－4在－8与－3之间；
(6)得新的有序列{－8，－4，－3,0,2,6}． 法二：折半插入排序法：
(1)－4与0比较，由于－4<0，则－4在0的左边；
(2)－4与－8比较，由于－4>－8，则－4在－8的右边；
(3)－4与－3比较，由于－4<－3，则－4在－3的左边，故 －4在－8与－3之间；
(4)得新的有序列{－8，－4，－3,0,2,6}．
[一点通]　两种算法的共同点是每次将新数据与有序列中的数据进行比较；不同点是直接插入排序法总是将数据A与原有序列中的数据从右到左依次进行比较，而折半插入排序法总是将新数据与该有序列中的“中间位置”的数据进行比较．1．将数据6通过直接插入排序的方法插入有序列
{1,3,5,7,9,11,13}中，需要作比较大小的次数为 (　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
解析：数据6依次与13,11,9,7,5比较，共作5次比较大小．答案：C
2．若用折半插入排序法将4插入到有序列{0,1,2,3}中，则
第一次应与该有序列中的哪个数比较 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为有序列中有2×2个数，所以应先与第2个数1进行比较．答案：B3．请利用直接插入排序和折半插入排序的方法分别写出
将数据43插入有序列{21,39,46,57,67,73,84,96}的算法．
解：直接插入排序算法：
①将43与96比较，43<96，所以43在96的左边；
②将43与84比较，43<84，所以43在84的左边；
③将43与73比较，43<73，所以43在73的左边；
④将43与67比较，43<67，所以43在67的左边；
⑤将43与57比较，43<57，所以43在57的左边；⑥将43与46比较，43<46，所以43在46的左边；
⑦将43与39比较，43>39，故43在39与46之间．排序后这一有序列为{21,39,43,46,57,67,73,84,96}．
折半插入排序算法：
共8个数，中间位置上的数是57，将43与57进行比较，43<57,43在有序列的左半部分；再将余下数据的中间位置上的数39与43进行比较，39<43,43在数据39的右边，又43<46，可得43在39与46之间，即新的有序列为{21,39,43,46,57,67,73,84,96}. [例2]　将无序列{1,17,5,12,8,25,15}按照从小到大的顺序，用自然语言写出排序算法的步骤．
[思路点拨]　根据无序列排序的方法操作即可，用自然语言把每步操作叙述出来即可得到算法的步骤．
[精解详析]　1.将17插入到序列{1}中得新序列{1,17}；
2．将5插入到序列{1,17}中得{1,5,17}；
3．将12插入到序列{1,5,17}中，
∵12>5，且12<17，
∴应将12插入到5与17之间得序列{1,5,12,17}；4．将8插入到序列{1,5,12,17}中，取序列中间数5，
∵8>5，∴8在5的右侧，取序列{12,17}的中间数12，
∵8<12，∴8在12的左侧，
∴8应插入到5、12之间得到序列{1,5,8,12,17}；
5．将25插入到序列{1,5,8,12,17}中，从右侧开始，
∵25>17，
∴25应在17的右侧，插入得序列{1,5,8,12,17,25}； 6．将15插入到{1,5,8,12,17,25}中，取序列的中间数8，∵15>8，∴15应在8的右侧，取序列{12,17,25}的中间数17，∵15<17，∴15应在17的左侧，取序列{12}
∵15>12，∴15应在12的右侧，故应将15插入到12与17之间得序列{1,5,8,12,15,17,25}． [一点通]　对一组无序的数据列进行排序时，通常将这组无序的数据列的第一个数据看成一个有序列，将第二个数据插入到这个有序列得到一个有序列；然后，将第三个数据插入到上面的有序列中，又得到一个有序列，……按照这种方法，直到将最后一个数据插入到有序列中，得到一个有序列，这样实质上就是完成了对无序的数据列排序，最后得到的有序列就是对无序的数据组排序的结果．4．将有序列{5,4,3,2,1}按照从小到大的顺序输出，需要
排序的次数为 (　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：1.把4插入到{5}中，得{4,5}，需1次排序；
2．把3插入到{4,5}中，得{3,4,5}，需2次排序；
3．把2插入到{3,4,5}中，得{2,3,4,5}，需3次排序；
4．把1插入到{2,3,4,5}中，得{1,2,3,4,5}，需4次排序．
故共需1＋2＋3＋4＝10次排序．答案：D5．设计算法，将{36,6,12,24,38,46,0}排序．
解：1.{36}是有序列，将36与6比较，因为36>6，故得到有序列{6,36}；
2．将12与6,36各数进行比较，因为12<36,12>6，故得到有序列{6,12,36}；
3．将24与6,12,36各数进行比较，因为24>12,24<36，故得到有序列{6,12,24,36}；
4．将38与6,12,24,36各数进行比较，因为38>36，故得到有序列{6,12,24,36,38}；5．将46与6,12,24,36,38各数进行比较，因为46>38，故得到有序列{6,12,24,36,38,46}；
6．将0与6,12,24,36,38,46各数进行比较，因为0<6，故得到有序列{0,6,12,24,36,38,46}．
所以排序之后的结果为{0,6,12,24,36,38,46}． 1．对于一个无序列将其重新进行有序排列的方法：
方法一：利用有序列插入排序法来解决．
方法二：利用“选择排序”的方法来解决．例如：给定一个无序列{23,12,56,40,98,33,56,67}，首先从这个数据列中，选出小的数据放在第1个位置上；然后从余下的数据列中选出最小的数据放在第2个位置．反复执行上述步骤，直到数据列成为序列．通常这种排序方法称为选择排序．
2．对无序的数据列排序的实质是将数据插入到有序列中的一个过程．点击此图片进入“应用创新演练”课件39张PPT。知识点二第二章
算法初步§2算法框图的基本结构及设计知识点一理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三2.1
顺序结构与选择结构2．1　顺序结构与选择结构 某市劳动保障部门规定：某工种在法定工作时间内，工资为每小时8元，加班工资为每小时12元．已知某人在一周内工作60小时，其中加班20小时，他每周收入的10%要交纳税金．下图是计算此人这周所得净收入的算法框图．问题：上述框图中，各步之间有次序要求吗？
提示：有．按照从上到下的顺序依次执行． 1．定义
按照 依次执行的一个 ，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．步骤算法2．算法框图3．执行步骤的方式
先执行步骤 ，再执行步骤 ．甲乙算法框图如图所示： 问题1：该算法框图与[知识点一]中的框图，在执行步骤上有什么区别？
提示：[知识点一]中的算法是按从上到下的顺序依次执行的，而该算法框图须先根据条件作出判断，再决定进行哪一个步骤．
问题2：在该算法框图中，若执行步骤：输出“方程无实根”，你认为a，b应具备什么条件？
提示：a＝0，b≠0. 1．定义
在算法中，需要判断条件的真假，依据判断的 决定后面的 ，像这样的结构通常称为选择结构．结果步骤2．算法框图 3．执行步骤的方式
每次仅能执行一个步骤．当条件为 时，执行步骤 ；当条件为假时，执行步骤 ．不能同时执行这两个步骤，也不能一个步骤也不执行．甲乙真 1．顺序结构的特点：
顺序结构的语句与语句之间，框与
框之间是按从上到下的顺序进行，它是
由若干个依次执行的处理步骤组成的，
它也是任何算法都离不开的一种算法结构，可以用图(1)表示顺序结构的示意图，其中
A和B两个框是依次执行的，只有在执行完A框所指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作． 2．选择结构的特点：
在一个算法中，经常会遇到一些
条件的判断，算法的流程根据条件是
否成立有不同的流向．这种依据指定
条件选择执行不同指令的控制结构为
选择结构．
如图(2)所示，是一个选择结构，此结构中包含一个判断框，根据给定的条件p是否成立而选择执行A框或B框． 5．输出d.
算法框图如图所示： [一点通]　解决这类问题的关键是写出算法步骤，然后根据算法步骤画出算法框图．1．(1)图(甲)的算法的功能是___________________________；
(2)图(乙)的算法的功能是_________________________．图（甲）图（乙）答案：(1)求直角边边长分别为a，b的直角三角形斜边边长l；
(2)求过横坐标不相同的两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线的斜率k.2．已知圆的半径，设计一个算法求圆的周长和面积的近
似值，并用算法框图表示．
解：　算法步骤如下：
1．输入圆的半径R；
2．计算L＝2πR；
3．计算S＝πR2；
4．输出L和S.算法框图如图所示：[精解详析]　算法步骤如下：
1．输入x；
2．如果x＞0，那么使y＝－1；
如果x＝0，那么使y＝0；
如果x＜0，那么使y＝1；3．输出函数值y.
算法框图如下图所示： [一点通]　(1)设计算法框图时，首先设计算法分析(自然语言)，再将算法分析转化为算法框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画算法框图的方法，那么可以省略算法分析直接画出算法框图．在设计算法框图时，对于算法中分类讨论的步骤，通常设计成选择结构来解决．
(2)在处理分段函数问题的过程中，当x在不同的范围内取值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，所以在算法框图中需要设计选择结构．3．画出求方程ax2＋(a＋1)x＋1＝0的根的算法框图．解：算法框图如下图所示：4．根据算法框图，回答后面的问题：
(1)该算法框图所解决的问题是什么？
(2)当输入的x值为1时，输出的y值有多
大？要使输出的y值为8，输入的x应
为多大？
(3)输入的x值和输出的y值能相等吗？
若能，x应输入多少？若不能，说明理由．(3)当x＝－2时，y＝－2，此时x＝y；
令x2－2x＝x，则x＝0或x＝3.
由于x＝0不满足x>2，而x＝3满足x>2，
所以x＝3.
因此，当输入的x值为3或－2时，和输出的y值是相等的. [例3]　设计房租收费的算法，其要求是：住房面积90平方米以内，每平方米收费3元，住房面积超过90平方米时，超过部分，每平方米收费5元．画出算法框图，要求输入住房面积数，输出应付的房租．
[思路点拨]　由于房租的收费标准与住房面积的大小有关，分住房面积90平方米以内和超过90平方米两种情况，因此应采用选择结构． [精解详析]　算法如下：
1．输入住房面积S.
2．根据面积选择计费方式：若S≤90，则租金为M＝S×3；若S>90，则租金为M＝270＋(S－90)×5. [一点通]　对于实际问题的算法，解决的关键是读懂题意，建立合适的模型，找到问题的计算公式，然后选择合适的算法结构表示算法过程． 3．输出房租M的值．
算法框图如下：5．△ABC的边长分别为a，b，c且a≤b≤c，
则如图所示的算法框图
①中应填的是 (　　)
A．输出“锐角三角形”
B．输出“钝角三角形”
C．输出“斜三角形”
D．输出“等腰三角形”解析：“直角三角形”的对立面是“斜三角形”．
答案：C解：算法框图如下： 1．设计某一个算法的框图的步骤：
(1)用自然语言表述算法步骤；
(2)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的算法框图表示，得到表示该步骤的算法框图；
(3)将所有步骤的算法框图用流程线连接起来，并加上起止框，得到整个算法的框图．2．几个基本程序框、流程线和它们各自的功能：点击此图片进入“应用创新演练”课件30张PPT。第二章
算法初步§2算法框图的基本结构及设计理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二2.2
变量与赋值2．2　变量与赋值算法框图如图所示：问题1：在研究问题时，像b这样，可被赋予不同数值的量叫做什么？
提示：变量．
问题2：在该算法框图中，若a＝1，则输出的b为何值？
提示：2.
问题3：在算法中，b＝a，b＝2a所代表的过程是什么？
提示：赋值．1．变量
在研究问题的过程中可以 的量称为变量．
2．赋值
把a的值赋予b记作 ，其中“＝”为赋值符号．取不同数值b＝a赋值语句的格式与作用：
(1)赋值语句的一般格式是：变量＝表达式．
(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量． (3)赋值语句中的“＝”称为赋值符号，而不是“等号”，赋值号左边的变量如果原来没有值，则执行赋值语句后，获得一个值，如果已有值，则执行该语句，以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉”．如：N＝N＋1，在数学中是不成立的，但在赋值语句中，意思是将N的原值加1再赋给N，此时左边N的值就是原来N的值加1，如N原来是7，则执行N＝N＋1后，N的值变为8. (4)格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“＝”右边表达式的值，然后将该值赋给“＝”左边的变量．如a＝1，b＝2，c＝a＋b是指先计算出a＋b的值3，再把3赋给c，而不是将a＋b赋给c.
(5)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，如x＝5是对的，5＝x是错误的，A＋B＝C也是错误的，而C＝A＋B是正确的．(2)a＝1；
b＝2；
c＝a－b；
b＝a＋c－b；
输出a，b，c.(3)a＝10；
b＝20；
c＝30；
a＝b；
b＝c；
c＝a；
输出a，b，c. [思路点拨]　从上一步到下一步逐步赋值，得到新的值，最后计算出结果． (3)由a＝b及b＝20知a＝20，
又b＝c及c＝30知b＝30，c＝a及a＝20知c＝20，
∴a＝20，b＝30，c＝20.
∴该语句输出结果为20,30,20
[一点通]
1．赋值号与数学中的等号的意义不同．
2．一个变量可以多次赋值，其值是最后一次所赋予的值，如A＝3，A＝4，A＝5，最后若输出A，则A的值为5.1．下列给变量赋值的语句正确的是 (　　)
A．3＝a
B．a＋1＝a
C．a＝b＝c＝3
D．a＝2* b ＋ 1
解析：由赋值语句的格式知选项D正确．答案：D2．下列赋值语句能使y的值为2 010的是 (　　)
A．y－2＝2 012
B．2*1 006－2＝y
C．2 010＝y
D．y＝2*1 006－2
解析：y＝2*1 006－2＝2 010答案：D
3．将两个数a＝15，b＝64交换，使a＝64，b＝15，下列赋
值语句中正确的一组是 (　　)A．　B.　C.D.解析：先把b的值赋给中间变量c，这样c＝64，再把a的值赋给变量b，这样b＝15，最后把c的值赋给变量a，这样a＝64.答案：B
[例2]　已知某生某三科的成绩分别为80分，75分，95分，画出求这三科成绩的总分及平均分的算法框图．
[思路点拨]　将这三科成绩分别赋给三个变量A、B、C，然后对这三个变量进行操作、运算、求其和、平均数，变量起名时尽量做到见名知义，如本例中可用变量ZF表示总分，用PJF表示平均分．[精解详析]　算法框图如下： [一点通]　用赋值语句编写算法时，应注意以下两点：
(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，并且赋值号左右不能互换．
(2)不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等)，如y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．4．已知水果店的三种水果标价为香蕉2元/千克，苹果3元/
千克，梨2.5元/千克．店主为了收款的方便设计了一个算法如下图，则下面框图横线上应填________．答案：x＋y＋z5．半径为r的球面的面积计算公式为S＝4πr2，当r＝10时，
写出计算球面的面积的算法，画出算法框图．解：算法如下：
1．将10赋给变量r.
2．用公式S＝4πr2计算球面的面积S.
3．输出球面的面积S.
算法框图如下：框图如下图所示： 2．不能利用赋值语句进行代数式的演算，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中的每一个“变量”都必须事先赋给确定的值，一个赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”．如a＝b＝5是错误的．
3．对于一个变量可以多次赋值．点击此图片进入“应用创新演练”课件40张PPT。知识点一知识点二第二章
算法初步§2算法框图的基本结构及设计理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二考点三2.3
循环结构2．3　循环结构 下图是根据国际奥委会如何通过投票决定奥林匹克运动会主办权归属城市而画出的算法框图：问题1：在该算法结构中，反复执行的部分是什么？提示：问题2：该算法结束的条件是什么？
提示：有一个城市得票数超过总票数的一半． 在算法中，从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的结构称为循环结构，用算法框图表示如下． 1．循环体： 的部分称为循环体．
2．循环变量：控制着循环的 和 的变量称为循环变量．
3．循环的终止条件：判断是否 的判断条件，称为循环的终止条件．反复执行开始结束继续执行循环体下图是一个计算1＋2＋3＋…＋100的值的算法框图．问题：在该算法框图中，①②③各有什么功能？
提示：赋予变量初始值，反复执行、判断是否终止循环体． 一般来说，在画出用循环结构描述的算法框之前，需要确定三件事：
(1)确定循环变量和 ；
(2)确定算法中 的部分，即循环体；
(3)确定循环的 条件．
初始条件反复执行终止循环结构的算法框图的基本模式，如图所示． 顺序结构、选择结构和循环结构的主要特征：
(1)顺序结构的主要特征是：完成一个步骤，再进行另一个步骤，即按顺序完成一组工作．
(2)选择结构的主要特征是：根据对条件的判断决定下一步工作．如果条件成立，则进行步骤甲，否则进行步骤乙．
(3)循环结构是针对变量完成一部分工作的算法设计，通常称这部分工作为循环体．算法框图如图所示： [一点通]　对于加数众多，不易采用逐一相加的方法处理的问题，常通过循环结构解决，方法是引用两个变量i和S，其中i一般称为计数变量，用来计算和控制运算次数，S称为累积变量，它表示所求得的和或积，它是不断地将前一个结果与新数相加或相乘得到的，这两个变量的表示形式一般为i＝i＋m(m为每次增加的数值)和S＝S＋A(A为所加的数)或S＝S*A(A为所乘的数)．2．利用循环结构写出1×2×3×…×100的算法．并画出
相应的框图．
解：算法步骤如下：
1．S＝1；
2．i＝1；
3．S＝S×i；
4．i＝i＋1； 5．判断i是否大于100，若成立，则输出S，结束算法；
否则返回第3步重新执行．
算法框图如下： [例2]　写出一个求满足1×3×5×7×…×n>50 000的最小正整数n的算法，并画出相应的算法框图．
[思路点拨]　本题可采用循环结构寻求累积大于50 000的最小正整数n.[精解详析]　算法如下：
1．S＝1；
2．i＝3；
3．若S≤50 000，那么S＝S*i，i＝i＋2，重复第三步，否则执行下一步；
4．i＝i－2；
5．输出i.算法框图如图所示：[一点通]　解决该类问题一般分以下几个步骤：
(1)根据题目条件写出算法并画出相应的框图；
(2)依据框图确定循环结束时，循环变量的取值；
(3)得出结论．3．写出一个求满足：2＋4＋6＋8＋…＋n>10 000的最小
正整数n(n是偶数)的算法，并画出相应的框图．
解：1.取n＝0，p＝0.
2．n＝n＋2.
3．p＝p＋n.
4．若p>10 000，则输出n；否则执行5.
5．回到2，重新执行2,3,4.框图如下：4．已知1＋2＋3＋4＋…＋i≤200，画出求解i的最大值的
过程的框图．解： [例3]　某工厂2011年生产小轿车200万辆，技术革新后预计每年的生产能力比上一年增加5%，问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆？写出解决该问题的一个算法，并画出相应的算法框图．
[思路点拨]　由题意，2011年的年产量为200万辆，以后每年的年产量都等于前一年的年产量乘以(1＋5%)，考虑利用循环结构设计算法． [精解详析]　算法如下：
1．令n＝1，a＝200，r＝0.05.
2．计算年增量T＝ar.
3．计算年产量a＝a＋T.
4．如果a>300，则执行第5步；否则，n＝n＋1，返回第2步．
5．N＝2 011＋n.6．输出N. [一点通]　解决实际问题，应先确定变量间的函数关系，再根据算法画出相应的算法框图．5．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，
aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用如图所示的算法框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白①和②中，应分别填入下列四选项中的 (　　)A．A>0，V＝S－T　　　　　 B．A<0，V＝S－T
C．A>0，V＝S＋T D．A<0，V＝S＋T解析：月总收入为S，因此A>0时，归入S，①处应填A>0，支出T为负数，因此月盈利V＝S＋T.答案：C6．如果我国GDP以每年8%的增长率增长，问我国GDP
几年后翻一番，试用框图描述算法．解：设GDP的值为G，G的初值为A，增长率为P.算法框图如图所示． 1．三种算法结构的选择：
在画框图时首先要进行结构的选择．若求只含有一个关系式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断后才能执行后继步骤的，就必须引入选择结构；如果问题中涉及的运算进行了许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，就可引入变量，应用循环结构，当然循环结构里一定用到顺序结构与选择结构． 2．在具体绘制框图时，要注意以下几点：
(1)指向线上要有标志执行顺序的箭头；
(2)判断框后边的指向线应根据情况标注“是”或“否”；
(3)框图内的内容包括变量初始值，计数变量初始值，累加值，都要仔细斟酌不能有丝毫差错，否则会差之毫厘，谬以千里；
(4)判断框内内容的填写，应注意不等符号(大于等于、大于、小于、小于等于)的选取．点击此图片进入“应用创新演练”课件41张PPT。第二章
算法初步§3几种基本语句理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二3.1
条件语句考点三3．1　条件语句 十一黄金周期间，某购物中心为了促销，采用购物打折的优惠活动，规定：每位顾客一次性购物在1 000元以上者，按九五折优惠；在2 000元以上者，按九折优惠；在3 000元
以上者，按八五折优惠；在5 000元以上者，按八折优惠．
问题：若该购物中心设计一个程序，依据顾客的消费金额算出收款数，应采用什么语句？
提示：条件语句． 1．在算法中，选择结构是一种基本结构，条件语句是表达 最常用的语句．
2．条件语句的形式
(1)If语句
①算法框图：选择结构②语句格式：
If　 　Then

Else

End　 If
(2)复合If语句
①算法框图：条件语句1语句2②语句格式：
If　 　Then

Else
If　 　Then

Else

End　If
End　If条件1语句1条件2语句2语句3 (1)条件语句执行步骤：当计算机执行If语句时，首先对If后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then后的语句1，否则执行Else后的语句2.
(2)在某些情况下，也可以只使用If—Then语句，即
If　条件　Then
语句
End　If
当计算机执行上述If语句时，首先对If后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then之后的语句，否则执行End If后的语句．[精解详析]算法如下：
1．输入x.
2．如果x≥0，则y＝x＋2；否则，执行第3步．
3．y＝x2＋2.用算法语句描述为：
输入x；
If　x≥0　Then
y＝x＋2
Else
y＝x*x＋2
End　If
输出y. [一点通]　使用条件语句应注意的问题：
(1)条件语句是一个整体，If　Then　Else　End If “都是语句”的一部分，且“If　End If”必须成对出现．
(2)Then和Else后不能直接跟语句，必须放到下一行，Else单独成行．1．(2011·江苏高考改编)
输入a，b；
If　a>b　Then
m＝a
Else
m＝b
End If
输出m.在上述算法中，若输入a，b分别为2,3，则最后输出的m的值为________．
解析：∵a＝2，b＝3，∴a∴m＝3.答案：3
2．为了运行下面的算法之后输出y＝16，则键盘输入x应该
是________．
输入x；
If　x<0　Then
y＝(x＋1)*(x＋1)
Else
y＝(x－1)*(x－1)
End If
输出y.答案：5或－5
[例2]　给出一个算法：
1．输入x；
2．若x＜0，则y＝x＋1；否则执行第3步；
3．若x＝0，则y＝0；否则y＝x；
4．输出y.
(1)指出该算法的功能；
(2)将该算法用框图表示出来；
(3)用基本语句写出该算法；(2)框图如图所示：(3)用基本语句描述为：
输入x；
If　x＜0　Then
y＝x＋1
Else
If 　 x＝0　Then
　　　y＝0
Else
　　　y＝x
End If
End If
输出y. [一点通]　(1)当判断条件多于一个时，若重复应用条件语句，书写程序繁琐，可利用复合If语句书写．
(2)在编写复合If语句中的“条件”时，要注意If和End If的配对．
(3)理解复合If语句时，要分清内层条件语句与外层条件语句，内层的条件结构是外层条件结构的一个分支．3．阅读下面的语句：
输入x；
If　x<0　Then
y＝x＋3
Else
If x>0　Then y＝x＋5
Else
y＝0
End If
End If
输出y.答案：B
4．用算法语句描述下列算法框图.解：用语句描述为：
输入x；
If　x>0　Then
y＝x*xElse
If　x＝0　Then
y＝0
Else
y＝－1
End If
End If
输出y.　　[例3]　新课程要求学生数学模块学分认定由模块成绩决定，模块成绩由模块考试成绩和平时成绩构成(各占50%)，若模块成绩大于或等于60分，获得2学分，否则不能获得学分(为0分)，某同学设计了一个算法，通过考试成绩和平时成绩计算学分，请补全该算法的算法框图，然后用有关的算法语句描述该算法． [思路点拨]　先根据题意设计出算法，然后再补充完整算法框图，并用相应的算法语句描述该算法．用语句描述为：
输入C1，C2；
C＝(C1＋C2)/2
If　C≥60　Then
F＝2
Else
F＝0
End If
输出F. [一点通]　编写程序解决实际问题时，通常先建立数学模型，再根据所得数学模型确定算法分析和算法框图，最后再将算法框图转化为程序语句．需要分类讨论的问题，通常用条件语句来解决．5．某商店对顾客购买货物款满500元减价3%，不足500元
不予优惠．输入一顾客购物的货款，写出计算这个顾客实交货款的程序语句．Else
y=x
End If
输出 y.6．某市通信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不
超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以0.1元/分钟收取通话费(t以分钟计，不足1分钟按1分钟计)，问：如何设计一个计算通话费用的算法？请画出框图并用语句描述该算法．依上面分析知解决这一问题的算法步骤如下：
1．输入通话时间t；
2．如果03．输出费用c.
框图如图所示：用语句描述为：
输入t；
If　t≤3　And　t>0　Then
　 c＝0.2
Else
　c＝0.2＋0.1*(t－3)
End If
输出 c. 利用条件语句解决算法问题的步骤：
(1)算法分析(自然语言)：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法．
(2)画出框图：依据算法分析画出对应的框图．
(3)写出算法语句：根据框图中的算法步骤，逐步把算法用相应的程序设计语言表达出来．
当然我们在解决问题的过程中，还要明确题目要求用哪种语言来体现算法，防止答非所问．点击此图片进入“应用创新演练”课件38张PPT。第二章
算法初步§3几种基本语句理解教材新知应用创新演练考点一把握热点考向考点二3.2
循环语句考点三知识点二知识点一3．2　循环语句算法语句：S＝0
For　i＝1 To 20
S＝S＋i
Next
输出S问题1：“For i＝1 To 20”代表什么意思？
提示：表示变量从1到20的循环运算．
问题2：该算法终止的条件是什么？
提示：当i＝20时，该循环结束．
问题3：该语句的算法功能是什么？
提示：计算1＋2＋…＋20的值．1．格式：For To
循环体
Next
循环变量＝初始值终值2．适用范围：
For语句适用于 的循环结构.预先知道循环次数算法语句：i＝2
S＝0
Do
S＝S＋i
i＝i＋2
Loop　While　i≤100
输出S问题1：该语句执行时i取的值有什么特征？
提示：i为不大于100的正偶数．
问题2：该语句表示的算法终止的条件是什么？
提示：i>100.
问题3：该语句的算法功能是什么？
提示：计算2＋4＋6＋…＋100的值．1．格式：条件为真 2．适用范围：
Do Loop语句适用于 　　　　　　的循环结构．　预先不知道循环次数　　For语句是先从循环变量的初值开始第一次执行循环体，直到循环变量取到其终值结束循环，而Do Loop语句则是先执行一次循环体，当条件为真时，继续执行循环体，否则结束循环.[精解详析]　算法框图为：用For语句描述算法为：
S＝0
For i＝1 To 1 000
S＝S＋1/i
Next
输出S. [一点通]　使用For语句描述算法的一般步骤为：
(1)确定循环次数，即确定循环变量的初始值和终值；
(2)把反复要做的工作，作为循环体放在For与Next之间；
(3)输出结果．1．下列语句运行的结果是
S＝0
For i＝－1　To　11
S＝i*i
Next
输出S.A．－1　　　　　　　　　B．11
C．100 D．121
解析：S＝11×11＝121.答案：D
2．用For语句描述计算1×3×5×7×…×2 011的算法．
解：用For语句描述为：
S＝1
For　i＝3　To　2 011　Step 2
S＝S*i
Next
输出S. [例2]　画出求满足1＋3＋5＋…＋n>2011的最小自然数n的算法框图，并用相应的算法语句描述该算法．
[思路点拨]　这是一个累加求和问题，可以使用循环语句描述算法，又因为循环次数不能事先预知，仅知道结束循环的条件，因此可设置一个累加变量来控制循环次数．每循环一次累加变量就增加一个数，并将它与2011进行比较，直到大于2011为止．[精解详析]　算法框图如下：用Do Loop语句描述为：
S＝0
i＝1
Do
S＝S＋i
i＝i＋2
Loop While　S≤2011
输出i－2 [一点通]　用Do Loop语句描述算法时，要注意Loop While后面的条件，每次重复后，都要检验While后的条件是否被满足，一旦不满足条件，循环停止，输出结果．3．阅读下列用Do Loop语句写出的算法：
S＝0
i＝1
Do
S＝S＋i*i
i＝i＋2
Loop While　i≤99
输出S.
则该算法功能是________．解析：由算法语句可知S＝12＋32＋52＋…＋992，即该算法的功能是计算12＋32＋52＋…＋992的值．
答案：计算12＋32＋52＋…＋992的值．4．求平方值小于1 000的最大整数，画出算法框图并用Do
Loop语句描述这个算法． 解：算法框图为：用Do Loop语句描述算法为：
i＝1
Do
S＝i*i
i＝i＋1
Loop While S＜1 000
i＝i－2
输出i [例3]　某高中男子体育小组的100 m赛跑的成绩(单位：s)如下：
12．1,13.2,12.7,12.8,12.5,12.4,12.7,11.5,11.6,11.7.?
从这些成绩中搜索出小于12.1 s的成绩，画出算法框图，并用相应的算法语句描述该算法．
[思路点拨]　“搜索”是一个重复执行的过程，需应用循环结构；“小于12.1 s”说明每次执行的过程中都需要判断，即需应用选择结构，且此选择结构嵌套在循环体中．[精解详析]　算法框图为：用算法语句描述如下：
For　i＝1　To　10
输入Gi
If　Gi<12.1　Then
输出Gi.
End If
i＝i＋1
Next [一点通]　此类循环语句嵌套条件语句问题的解题思路是：先确定外层的循环语句，再逐步确定内层的条件，一定要保证内层的变量与外层的变量不能冲突，以免引起矛盾．5．下面是一个求20个数的平均数的算法，在横线上应填充
的语句是________．
S＝0
i＝1
Do输入x
S＝S＋x
i＝i＋1
Loop While________
a＝S/20
输出a.解析：由于是求20个数的平均数，所以应到i>20时结束循环，故应填i≤20.答案：i≤20
6．某纺织厂2011年的生产总值为300万元，如果年增产率
为5%，设计算法，计算该厂最早在哪一年生产总值超过400万元，并用语句描述该算法．
解：从2011年底开始，经过x年后生产总值为300(1＋5%)x，可将2011年生产总值赋给变量a，然后对其进行累乘，用n作为计数变量进行循环，直到a的值超过400万元为止．由于预先不知道循环的次数，所以用Do Loop语句．算法框图如下所示：　　　用算法语句描述为： 1．循环语句与条件语句的关系：
循环语句中一定有条件语句，条件语句是循环语句的一部分，离开条件语句，循环语句无法循环；但条件语句可以脱离循环语句单独存在，可以不依赖循环语句独立地解决问题．
2．应用循环语句描述算法应注意的问题：
(1)循环语句中的循环变量，一般要设初始值；
(2)在循环过程中需要有“结束”的语句；
(3)要注意For语句和Do Loop语句各自的适用条件与执行步骤的区别．点击此图片进入“应用创新演练”课件12张PPT。章末小结核心要点归纳阶段质量检测第二章
算法初步知识整合与阶段检测 1．排序方法
直接插入排序法和折半插入排序法. 2．三种基本逻辑结构3．几种基本语句
(1)条件语句
①If语句
算法框图：语句格式：
If 　条件　Then
语句1
Else
语句2
End　If
②复合If语句
算法框图：复合If语句的一般格式：
If　条件1　Then
语句1
Else
If　条件2　Then
　 语句2
Else
　 语句3
End If
End If 在一些较为复杂的算法中，有时需要在判断的后面接着进行判断，亦即在执行语句1或语句2的过程中又需要进行条件的判断，这就形成了复合的选择结构，我们可以利用复合条件语句来描述这种类型的算法．
③在写条件语句时，一个If 对应着一个End If，有多少个If，就有多少个End If.
(2)循环语句
①For语句
格式：For 循环变量＝初始值To终值
循环体
Next适用范围：适用于预先知道循环次数的循环结构．
②Do Loop语句
格式：　Do
　 循环体
Loop　While　条件为真
适用范围：Do Loop语句适用于预先不知道循环次数
的循 环结构
③循环语句中应注意计数变量的取值范围，以免出现多一次或少一次循环的错误．点击此图片进入“阶段质量检测”课件53张PPT。考点一高考六大高频考点例析考点二考点三考点四考点五考点六模块质量检测[考题印证] [例1]　(1)(2010·湖北高考)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 (　　)
A．26,16,8　　　　　　 B．25,17,8
C．26,16,9 D．24,17,9 (2)(2011·山东高考)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．[解析]　(1)依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．[答案]　(1)B　　(2)16[跟踪演练]1．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人做问卷调
查，用系统抽样的方法确定所抽的编号可能为 (　　)
A．3,8,13,18　　　　　　　 B．2,6,10,14
C．2,4,6,8 D．5,8,11,14
答案：A
答案：2
2．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成
甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
3．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分
厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1 020 h,1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.答案：1 013[考题印证] [例2]　(2011·浙江高考)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________． [解析]　根据样本的频率分布直方图，成绩小于60分的学生的频率为0.02＋0.006＋0.12＝0.20，所以可推测3 000名学生中成绩小于60分的人数为600名．[答案]　600[跟踪演练]4．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100
名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5kg的人数为 (　　)A．300 B．360
C．420 D．450
解析：样本中体重大于70.5kg的频率为：
(0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.
故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5kg的人数为：2 000×0.18＝360(人)．答案：B
5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根
棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，
故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)．答案：30
[考题印证] [例3]　(2011·辽宁高考)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)．如下表： 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．[跟踪演练]6．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 (　　)
A．92,2 B．92,2.8
C．93,2 D．93,2.8答案：B
7．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别
是________，________.解析：由茎叶图可知，甲图中共有9个数，分别为28,31,39,45,42,55,58,57,66，其中位数为45；乙图中共有9个数分别为29,34,35,48,42,46,53,55,67其中位数为46.答案： 45；46[考题印证] [例4]　(2011·新课标全国卷)执行下面的算法框图，如果输入的N是6，那么输出的P是 (　　)A．120 B．720
C．1 440 D．5 040
[解析]　由题意得，p＝1×1＝1，k＝1<6；k＝1＋1＝2，p＝1×2＝2，k＝2<6；k＝2＋1＝3，p＝2×3＝6，k＝3<6；k＝3＋1＝4，p＝6×4＝24，k＝4<6；k＝4＋1＝5，p＝24×5＝120，k＝5<6；k＝5＋1＝6，p＝120×6＝720.k＝6不小于6，故输出p＝720.[答案]　B
[跟踪演练]8．如果执行下边的算法框图，输入x＝－2，h＝0.5，那么
输出的各个数的和等于 (　　)A．3 B．3.5
C．4 D．4.5
解析：由框图可知，当x＝－2时，y＝0；当x＝－1.5时，y＝0；当x＝－1时，y＝0；当x＝－0.5时，y＝0；当x＝0时，y＝0；当x＝0.5时，y＝0.5；当x＝1时，y＝1；当x＝1.5时，y＝1；当x＝2时，y＝1；∴输出的各数之和为3.5.答案：B9．找出乘积为840的两个相邻偶数，算法框图如下图所示，
其中__①__，__②__，__③__处语句填写正确的是(　　)A．S＝i(i＋2)，输出i，输出i－2
B．S＝i2＋2，输出i＋2，输出i－2
C．S＝i(i＋2)，输出i，输出i＋2
D．S＝i2＋22，输出i，输出i＋2解析：①处所填应为相邻偶数之积，故B、D错误．若判断框执行“是”，由①处填的“S＝i(i＋2)”知②处应填“输出i”，③处应填“输出i＋2”．答案：C
答案：x<2　y＝log2x[考题印证] [例5]　(2011·山东高考) 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[跟踪演练]11．(2011·新课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各
自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (　　)答案：A
12．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依
次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，
x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．[考题印证] [例6]　 (2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 (　　)[答案]　C
[跟踪演练]13.如图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正
三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质
点，则它落在△EBC内的概率为 (　　)答案：B
14．函数f(x)＝x2－x－2，－5≤x≤5，那么任取x，使得
f(x)≤0的概率是 (　　)
A．0.5 B．0.4
C．0.3 D．0.2答案：C
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