课件48张PPT。第一章
立体几何初步§1
简单几何体
理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 在我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何结构特征．观察下面的图片，回答下列问题． 问题1：从“形”的角度入手，观察它们的表面，可以怎样分类？为什么这样分类？
提示：(1)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)、(12)属于一类，它们可以看成是由某平面图形绕某条直线旋转而成，它们的表面中有一“面”为曲面．
问题2：在上面图形中，(2)、(5)、(7)、(9)具有什么特征？
提示：它们都是由多个平面多边形围成的几何体，与其他的几何体有着本质的区别． 1．旋转体：一条 绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的 叫作旋转面； 旋转面围成的几何体叫作旋转体．平面曲线曲面封闭的2．几种简单旋转体线段球心直径曲面球面圆心旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴一边相关概念图形表示定义名称旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴一边 在形形色色的物体中，它们不仅有旋转体，还有不同于旋转体的物体，观察下面的几何体，回答下列问题． 问题1：图中的几何体有什么共同特征？
提示：它们都是由平面图形围成，其中每一个面都是平面多边形．
问题2：图片中(1)、(2)、(3)所表示的几何体有什么共同特征．
提示：都是有两个互相平行平面，其余各面均为平行四边形．
问题3：图片中(4)、(5)、(6)所表示的几何体有什么共同特征？
提示：其中一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形． 1．多面体：把若干个 围成的几何体叫作多面体，其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．
2．棱柱
(1)定义：两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，这些面围成的几何体叫棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的 ，其余各面叫作棱柱的的 ．平面多边形互相平行四边形互相平行底面侧面(2)相关概念：3．棱柱、棱台有一个公共顶点正多边形全等等腰三角形多边形等腰梯形正棱锥平行于1.圆柱、圆锥、圆台、球的简单性质，如下表所示 2．棱柱的性质有
(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示． 3．棱锥的性质有
(1)侧棱有公共点即棱锥的顶点，侧面都是三角形．
(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两侧棱的截面是三角形，如图②所示．4．棱台的性质有
(1)侧棱延长后交于一点，侧面是梯形．
(2)两底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两侧棱的截面是梯形，如图②所示．5．柱、锥、台间的关系可用下面图示表示[例1] 下列叙述正确的个数是 ( )
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0 B．1
C．2 D．3 [思路点拨] 解答时可根据旋转体的概念和性质，具体分析.
[精解详析] ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；④正确．[答案] B [一点通] 对旋转体定义的理解要准确，判断时要抓住旋转体的结构特征，认真分析，对比判别．1．有下列命题，其中正确的是 ( )
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点
的连线是圆柱的母线 ②圆锥顶点与底面圆周上任意
一点的连线是圆锥的母线 ③在圆台上、下底面圆周
上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 ④圆柱
的任意两条母线所在的直线都是互相平行的
A．①② B．②③
C．①③ D．②④解析：圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”．故①③错误，②④正确．
答案：D2．有下列说法：
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转
一周形成的旋转体；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其
中正确的序号是 .解析：球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
答案：① [例2] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱
柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，判断是几棱柱并找出棱柱的底面；如果不是，请说明理由．
(3)几何体A1EFD1－ABCD是棱台吗？ [思路点拨] 利用棱柱的定义进行判断．
[精解详析] (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面它们互相平行且都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．
(3)因为AA1，DD1不相交，所以AA1，DD1，BE，CF延长后不交于一点，因此不是棱台． [一点通] 对于棱柱，不要只认为底面就是上、下位置，如本题，底面可放在前后位置．只有理解并掌握好各种简单多面体的概念，以及相应的结构特征，才不至于被表面假象所迷惑，从而对问题作出正确的判断．3．下列几何体中棱柱的个数为 ( ) A．5 B．4
C．3 D．2解析：①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．
答案：D4．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不
是 ( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：因为正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，
所以若底面边长与侧棱长相等时，六棱锥就成了平面
图形.
答案：D5．给出下列几个结论：
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
②多面体至少有四个面；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3解析：①显然是正确的；对于②，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故③是正确的．
答案：A [例3] 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成的，并说出主要结构特征．(面数，顶点数，棱数) [思路点拨] 认真分析所给几何体的结构，结合组合体的特征和构成形式说明组合体的构成．
[精解详析] 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征.
图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．
图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底重合的三棱台组成的组合体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征． [一点通] 组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋转体与旋转体的组合体．6．说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的．解：图①是由一个四棱柱和一个四棱台组合而成．图②是由一个圆锥和一个圆柱组合而成．图③是由一个圆柱和两个圆台组合而成．7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画
出平面图形和旋转轴．解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：1．棱柱、棱锥、棱台的共性
棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可
以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面
体．多面体还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.
2．圆柱、圆锥、圆台、球的共性
圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是
由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直
线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．3．组合体的构成
(1)组合体包括简单几何体的拼接和截去(或挖除)两种
类型点击图片进入创新演练课件37张PPT。第一章
立体几何初步§1.2
直
观
图理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 下面都是经典的图画与照片，反映着大自然、古今建筑、航空航天等真实、美丽、壮观、祥和、有意义的场景．从数学的角度看，它们都是空间图形在平面上的反映．我们怎样利用手中的纸和笔将空间几何体画为平面图形且不失真实感受呢？ 问题1：一个水平放置的平面图形，如果是正方形，那么它的直观图还是正方形吗？
提示：不再是正方形，是平行四边形．
问题2：一条线段在直观图中还保持同样的长度吗？
提示：不一定．有的保持长度不变，有的发生了变化． 平面图形直观图的画法
斜二测画法规则．
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝ ，它们确定的平面表示 ．45°水平平面平行不变 问题：如何由画平面图形直观图过渡到画立体图形的直观图呢？
提示：画完水平放置的平面图形的直观图后，多画一条表示高度的数轴z轴． 立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是 ，平面x′O′y′表示 平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示 平面．平行于z轴的线段，在直观图中 和 都不变．z′轴水平直立平行性长度 斜二测画法是画平面图形和立体图形的最常用的画法．根据斜二测画法的规则，其画法的关键是：平行关系保持不变，平行于x轴、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．[例1] 画水平放置的正五边形的直观图．[思路点拨] [精解详析] 画法：(1)在已知正五边形ABCDE中，取对角线BE所在的直线为x轴，取对称轴AF为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. [一点通] 1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．1．关于用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，
以下说法正确的是 ( )
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：由斜二测画法的规则可知，A、C、D不正确，
B正确．
答案：B2．画出如图所示的梯形ABCD的直观图．
解：画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD
中,以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直
角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使
∠x′A′y′＝45°.(2)如图①所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.如图②所示，在x′轴上取A′B′＝AB，A′E′＝AE；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD.
(3)连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图． [例2] 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．
[思路点拨] 解答本题时可先确定轴，再画下底面的直观图，画侧棱，成图． [精解详析] (1)画轴，如图（1），画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.图（1）图（2） (4)成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到长方体的直观图（如图2）． [一点通] (1)用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确定了三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了．
(2)若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)．
(3)画空间图形直观图的主要步骤：
①画轴 ②画底面 ③画侧棱 ④成图．3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥
的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、
宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，
若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，
长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 ( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.25 cm,1 cm,0.8 cm解析：根据所给长度和比例，结合斜二测画法可知，D正确.
答案：D4．用斜二测画法画底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的
直观图．
解：画法如下：
(1)过底面圆的圆心，取两条互相垂直的直线AB、CD ，
分别作为x、y轴，画出x′、y′轴成45°角；(2)在x′、y′上以O′为中心，分别截取1 cm、0.5 cm，得到A′B′、C′D′，用曲线将A′C′B′D′连起来得到椭圆O′(即为圆O的直观图)；
(3)画z′轴，在z′方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连SA′，SB′.
(4)擦去辅助线，得圆锥的直观图． [思路点拨] 根据斜二测画法，逆用其画法，画出原图形，再求其面积． [精解详析] 如图甲所示为直观图，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′的中点O′与O′x′成45°角的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点．连接A′O′，则A′O′⊥B′O′.在直角三角形A′O′M′中，[答案] C[一点通]
1. 还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段．平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．求直观图形的面积，关键是能先正确画出直观图形，然后根据直观图形求出它的相应边的长度．
3．求原图形的面积，关键是要能够根据直观图形把它还原成实际图形．5.如右图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)
平面图形是 ( )
A．正三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
解析：平行O′y′的还原后平行y轴，平行O′x′的还原
后平行x轴；故AC⊥BC，所以得到的平面图形为直角三角形.
答案：D答案：A点击图片进入创新演练课件37张PPT。第一章
立体几何初步§3
三
视
图理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 在初中，学过基本几何体(直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球)的三视图，三视图在工程建设及日常生活中具有重要意义．
问题1：球的三视图有何特点？
提示：球的三视图全是圆． 问题2：圆柱、圆锥、圆台、正四棱锥的三视图各有何特点？
提示：圆柱的三视图中有两个是矩形，圆锥的三视图中有两个是等腰三角形，圆台的三视图中有两个是等腰梯形，正四棱锥的三视图中有两个是等腰三角形．它们共同的特点是三视图中恰有两个相同．
问题3：三视图和直观图有何区别？
提示：三视图是从不同位置观察几何体，而直观图则是从某一点观察几何体．主前后左左俯上右下2．三视图的特点
(1)主、俯视图 ；
(2)主、左视图 ；
(3)俯、左视图 ，前后对应.长对正高平齐宽相等 日常生活中，我们遇到的几何体很多是组合体，例如螺丝帽，矿泉水瓶等．
问题1：螺丝帽的俯视图是怎样的平面图形．
提示：一个正六边形和中间一个圆． 问题2：矿泉水瓶的主视图是怎样的平面图形呢？提示：如图：
问题3：组合体的三视图都完全不一样吗？
提示：不一定，例如矿泉水瓶的主视图和左视图一样．1．由基本几何体生成的组合体的两种基本形式
(1)将基本几何体 成组合体；
(2)从基本几何体中 或 构成组合体．拼接切掉挖掉 2．绘制三视图时的注意事项
(1)首先，确定主视、俯视、左视的 ，同一物体放置的位置不同，所画三视图可能不同 ．?
(2)其次，简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的
(3)分界线和可见轮廓线都用 画出；不可见轮廓线都用 画出．方向交线位置实线虚线 1．三视图的理解
(1)每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．主视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，左视图反映物体的前后和上下尺寸．
(2)一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，左视图放在主视图的右边．
(3)画三视图时应注意：被挡住的轮廓线要画成虚线．
2．对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图． [例1] 画出如图所示的几何体的三视图． [思路点拨] 所给的几何体为正六棱柱，可按棱柱的三视图的画法画三视图．[精解详析] 三视图如图所示： [一点通] 画三视图时选择主视图的投影方向非常关键，一般以最能反映物体形状特征和位置特征且使三个视图投影虚线少的方向作为正投影的方向，比如正前方为主视图的投影方向，画好主视图，然后再从其余方向观察几何体，作出三视图．1．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是图
中的 ( )解析：主视图和俯视图是矩形，左视图是圆．
答案：A2．已知三棱柱ABC－A1B1C1，如图所示，以BCC1B1的前
面为正前方，画出的三视图正确的是 ( )解析：主视图是矩形，左视图是三角形，俯视图是矩形中间有一条边．
答案：A3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相
同的是 ( )A．①② B．①③
C．①④ D．②④
解析：②圆锥和④正四棱锥的主视图和左视图相同．
答案：D [例2] 如图是球放在圆筒上形成的组合
体，画出它的三视图．
[思路点拨] 观察图形，分析结构，画
出组合体的三视图．[精解详析] 它的三视图如图所示： [一点通] 在绘制简单组合体的三视图时，首先要分析组合体是由哪几部分组成，各部分是怎样的简单几何体以及它们的相对位置；其次要注意实线，虚线的处理.4．下图所示几何体，其俯视图为 ( )解析：下面部分的俯视图是矩形，上面部分的俯视图两个矩形中截去一个三角形．
答案：C5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图
与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 ( )
解析：从主视图看去掉的几何体的左上角，结合左视图可知其俯视图应为C.
答案：C6．(2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，主视图
和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为 ( )解析：通过主视图及俯视图可看出几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D.
答案：D
[例3] 根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物
草图． [思路点拨] 根据三视图想象几何体的结构，图1表示的圆锥，图2表示的是一个三棱柱． [精解详析] (1)由主视图和左视图可知图1表示的是锥体，其俯视图是圆(带圆心)，所以图1表示的是圆锥，其直观图如图3所示． (2)由主视图、左视图、俯视图可知该几何体是一个三棱柱如图4 [一点通] 由三视图还原成实物图，基本方法如下
(1)划分线框．把一个视图分成几个线框，对应找出线框在三个视图上的位置，依靠线框的三个投影，想象这部分是什么基本几何体．
(2)对线框．对画出的线框，用尺和圆规根据“高平齐、长对正、宽相等”的对应关系，找出线框在左视图和俯视图上的位置． (3)看线框想形状．
(4)综合想象，看懂每个线框，想象出基本形状后，再想象出组合体的形状．
(5)细致分析．对基本几何体的连接处要作细致分析，虚实分清．7．三视图如下图的几何体是________．解析：根据主视图和俯视图可知该几何体为四棱锥．
答案：四棱锥8．一个几何体的三视图如图所示，请画出实物图．解：由主视图、左视图是等腰梯形，
俯视图是一个圆环可知该几何体是
圆台如图. 1．对于画几何体的三视图，要实虚线分清，可以解释为“眼见为实，不见为虚”．对于同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
2．对于画简单组合体的三视图，要先弄清由哪几个基本几何体组合而成，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置． 3．对于还原组合体，需要综合主视图、左视图、俯视图的特征，确定分界线，找出组成组合体的简单几何体，再将组合体还原，其中确定分界线是正确还原的关键．点击图片进入创新演练课件47张PPT。第一章
立体几何初步§4
空间图形的基本关系与公理理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三第一课时
空间图形基本关系的认识与公理1-3知识点三 空间几何体各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢？一般的方法是，从构成几何体的基本元素——点、直线和平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，由整体到局部，由局部再到整体，逐步认识空间几何体的性质．长方体是我们非常熟悉的几何体，观察长方体的8个顶点，12条棱和6个面的关系． 问题1：长方体的一个顶点与12条棱和6个面有几种位置关系？
提示：顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
问题2：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
提示：相交，平行，既不平行也不相交． 问题3：棱所在直线与面之间有几种位置关系？
提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．
问题4：六个面之间有哪几种位置关系呢？
提示：平行和相交．直线上直线外平面内平面外2．空间两条直线的位置关系只有一个没有任何3．直线与平面的位置关系无数个只有一个没有4．平面与平面的位置关系没有公共点不重合有公共点 在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，得到一些不需证明同时也无法证明的客观规律我们称之为公理．
问题1：一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？
提示：直尺在平面上． 问题2：教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
提示：这些公共点在同一直线上．
问题3：照相机支架只有三个脚支撑，为什么？
提示：不在同一直线上的三点确定一个平面．空间图形的公理两点所有的点在平面内不在同一直线有且只有有一个公共点有且只有 问题1：把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？
提示：平行．
问题2：在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？
提示：平行． 问题3：在平面上，“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．那么在空间中，结论是否仍然成立呢？
提示：在空间中，该结论仍成立．1．公理4平行a∥c 2.等角定理
空间中，如果两个角的两条边分别 ，那么这两个角 ．对应平行相等或互补 1.在空间中，点看作元素，直线和平面看作点的集合，点与直线、平面，直线与直线，线面及面面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系.
2.公理1，2，3，4是在生活实际中，人们对经验和客观实际的总结.
公理1的主要作用是判断直线是否在平面内；公理2的主要作用是论证共面问题；公理3是判断两平面是否相交的重要依据；公理4是论证两直线平行的重要依据. [例1] 如果a?α，b?α，l∩a＝A，l∩b＝B，l?β，那么α与β的位置关系是________．
[思路点拨] 把简单语言翻译成图形语言，作出判断． [精解详析] 如图，l上有两点A、B
在α内，根据公理1，l?α，又l?β，
则α∩β＝l. [一点通] 1.判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断．
2．对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定平面的条件．“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能平行，也可能相交．1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和
BC的中点分别是E、F，各棱所在的直线中
与直线EF异面的条数是 ( )A．4 B．6
C．8 D．10解析：法一：与EF异面的直线，有AD，A1D1，AA1，DD1，AB，CD，A1B1，D1C1，共8条．
法二：正方体的12条棱中有4条BB1，BC，CC1，B1C1与EF共面，其余8条都与EF异面．
答案：C2．如图所示的长方体中，试指出：(1)与平面ABCD平行的平面________；
(2)与AD平行的平面________；
(3)与AD相交的平面________；
(4)与AD异面的直线________．
答案：(1)平面A1B1C1D1；
(2)平面BCC1B1与平面A1B1C1D1；
(3)平面ABB1A1与平面DCC1D1；
(4)BB1，CC1，A1B1，C1D1. [例2] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[思路点拨] 先选取两条直线确定一个平面，然后证明其他直线都在这个平面内． [精解详析] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内． [证明] 法一：∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴B∈l2.又∵l2 α，
∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内． 法二：
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∴A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∴A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内． [一点通]
证明点、线共面问题的常用方法
(1)由其中某些点、线确定一个平面，再证明其余的点、线都在这个平面内．
(2)证明某些点、线在α内，其余点、线在β内，再证明这两个平面重合．3．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、α间的关系
为________．
解析：∵M∈a，a?α，
∴M∈α.
答案：M∈α4．下列表述中正确的是 ( )
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A、B、C、D既在平面α内，又在平面β内，则
平面α和平面β重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
解析：A、C、D不正确，B正确．
答案：B5．求证：如果一条直线和两条平行直线相交，那么这
三条直线共面．已知：a∩c＝A，b∩c＝B，a∥b.
求证：直线a，b，c共面．
证明：如图所示，
∵a∥b，∴直线a，b确定一平面α.
∵a∩c＝A，a?α，∴A∈α.
同理可证B∈α.
又∵A∈c，B∈c，∴c?α.∴直线a，b，c共面. [例3] 已知△ABC在平面α外，它的三边
所在的直线分别交平面α于P、Q、R(如图)，
求证：P、Q、R三点共线．
[思路点拨] 解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上． [精解详析] 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，
点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR.C∈平面APR，
∴BC?平面APR.又∵Q∈直线BC，
∴Q∈平面APR，又Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线． [一点通]
1.证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．
2．证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，记B1D与平面A1BCD1交于点Q，则B、
Q、D1三点必共线，为什么？解：如图，连接B1D1、BD.
∵B1D1∥BD，∴B1D1、BD确定平面B1BDD1，交平面A1BCD1于BD1.
∵Q∈B1D，∴Q∈平面B1BDD1.
又∵Q∈平面A1BCD1，而平面A1BCD1∩平面B1BDD1＝BD1，
∴点Q必在BD1上，∴B、Q、D1三点必共线．7．如图，已知空间四边形ABCD中，E，
F分别是AB，AD的中点，G，H分别
是BC，CD上的点，且BG∶GC＝
DH∶HC＝2∶1.求证：直线EG，FH，AC交于同一点P.∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG，FH所在直线相交于一点P.
∵EG?平面ABC，FH?平面ACD，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，
∴直线EG，FH，AC相交于同一点P. 公理1，公理2，公理3都是判定点、线、面位置关系的依据．公理1的作用是证明直线在平面内，公理2是确定平面的依据，由公理1和公理2可解决点、线共面的证明问题，公理3是判定两个平面相交的依据，同时也可用来证明点共线或三条线交于一点的问题．点击图片进入创新演练课件19张PPT。第一章
立体几何初步§4
空间图形的基本关系与公理应用创新演练考点一考点二第二课时
公理4 及等角定理把握热点考向 [例1] 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. [思路点拨] (1)若证明四边形EFGH是平行四边形，只须证明两组对边分别平行，也可证明一组对边平行且相等；
(2)若四边形EFGH是矩形，则EH⊥GH，从而推知AC⊥BD. [一点通] 空间中证明两直线平行的方法
(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等．
(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行．
2．已知棱长为a的正方体ABCD－
A′B′C′D′中，M、N 分别为CD、
AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形． [一点通] 运用等角定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．3．空间中有两个角α、β，且α、β的角的两边分别平
行，且α＝60°，则β＝________.
解析：∵α与β两边对应平行，但方向不一定，
∴α与β相等或互补．
答案：60°或120°4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中M，N，P分
别为AA1，BB1，CC1的中点，求证∠MC1N
＝∠APB.
证明：∵N，P分别是BB1，CC1的中点，∴BN綊
C1P，四边形BPC1N为?，∴C1N∥BP，同理
C1M∥AP，又∠MC1N与∠APB方向相同，
∴∠MC1N＝∠APB. 1．平行公理又平行线的传递性，它表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节．
2．要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件．点击图片进入创新演练课件42张PPT。第一章
立体几何初步§5
平行关系理解教材新知应用创新演练知识点一5.1
平行关系的判定把握热点考向考点一考点二知识点二考点三 1．这是一对明清时期的红木柜子，
做工相当精细，展示了当时我国高超的
家具制作水平．
问题1：在拉开柜子门的过程中，柜子门的边框和柜子表面是什么关系？
提示：平行．
问题2：柜子一侧的棱与另一侧面是什么关系？
提示：平行． 2．如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？
提示：平行或直线在平面内．1．直线与平面位置关系的表示a∥αa∩α＝Aa α2．直线与平面平行的判定定理平面外此平面内a∥b 1．研究完了直线和平面平行，再来研究平面与平面平行．在什么条件下，两个平面才互相平行呢？
问题1：三角板的一条边所在直线与地面平行，这个三角板所在平面与地面平行吗？
提示：不一定平行． 问题2：三角板的两条边所在直线分别与地面平行，这个三角板所在平面与地面平行吗？
提示：平行．
2．平行直线满足传递性，那么平行平面满足传递性吗？
提示：满足传递性，即α∥β，α∥γ?β∥γ. 平面与平面平行的判定定理a αb αa∩b＝Aa∥β，b∥β平行相交 1．直线与平面平行的判定定理可简记为“线线平行，则线面平行”，但两条线满足3个条件“a α，b?α，a∥b”，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理可简记为“线面平行，则面面平行”，条件中必须是“两条相交直线”，去掉“相交”二字，即使一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行． [例1] 如图，在四棱锥S－ABCD中，
底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，
SC的中点．求证：EF∥平面SAD.
[思路点拨] 要证线面平行，可以将其转化为线线平行，即在平面内找到一条平行于EF的直线，又E，F分别为AB，SC的中点，就容易找到直线的平行关系，故可以考虑作辅助线，构成平行四边形，从而找到平行于EF并且在平面SAD内的直线． [一点通] 线面平行的判定方法
(1)利用定义：证线面无公共点．
(2)利用线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，巧妙地作出辅助线，构造线线平行是解决问题的关键．
1．已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC的中点．
求证：AB1∥平面DBC1.
证明：∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，
∴四边形B1BCC1是矩形．连接B1C、BC1交于点E，
则B1E＝EC，连接DE，如图所示，
在△AB1C中，∵AD＝DC，
∴DE∥AB1，又AB1 平面DBC1，DE?平面DBC1，
∴AB1∥平面DBC1.2．(2012·陕西宝鸡高三一模)如图，在直三棱柱
ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中
点，求证：AC1∥平面CDB1. 证明：如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，
连接DE.
∴D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1.∵DE? 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1. [例2] 如图所示，正方体ABCD－A1B1
C1D1中，M，N，FE，分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB. [思路点拨] 要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．题设中M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，因此便可想到借助于中点来进行转化． [精解详析] 如图所示，连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，
∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.
又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，
∴MF＝AD且MF∥AD.
∴四边形AMFD是平行四边形． ∴AM∥DF.
又DF?平面EFDB，AM 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM?平面AMN，AM∩AN＝A，
∴平面AMN∥平面EFDB. [一点通] 平面平行的判定方法
(1)利用定义，证面面无公共点．
(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面．3．在以下说法中，正确的个数是 ( )
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面
平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β
平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相
等，则α与β平行．
A．0 B．1 C．2 D．3解析：对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A，B，C三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．
答案：A4．四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，
∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E
分别是PA，AD的中点，求证：
平面PCD∥平面FEB.
证明：连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，
AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD.又CD⊥AD，∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD 平面FEB，BE 平面FEB，∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB. [例3] 如图，三棱锥B－ACD中，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC. [思路点拨] (1)要证明平面MNG∥平面ACD，首先利用重心的性质得到线面平行，进而得到结论．
(2)先证△MNG与△ACD相似，再求两三角形的面积比，实则求这两个三角形对应边的平方比．连接PF，FH，PH，有MN∥PF，
又PF?平面ACD，MN 平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M.
∴平面MNG∥平面ACD. [一点通] 证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟炼掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．5．如图是正方体的平面展开图，则在这个
正方体中，下列判断正确的是 ( )
A．平面BME∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交解：作出此正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，可得平面ACN∥平面BEM.
答案：A6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、
D1D、CD的中点，N是BC的中
点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，试探求
点M在怎样的位置时，有MN∥平面B1BDD1.解：平面BDD1B1是正方体ABCD－A1B1
C1D1的对角面，探究过点N且与平
面BDD1B1平行的直线，可取B1C1的中
点N1，连接N1N，则NN1∥平面BDD1B1；连接NH，则NH∥平面BDD1B1.
∵NH∩NN1＝N，
连接FH、FN1，
∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.当MN? 平面NN1FH时，MN与面BDD1B1没有公共点．
∴MN∥平面B1BDD1.
因为平面NN1FH∩平面EFGH＝FH，
所以当点M在线段HF上运动时，
总有MN∥平面BDD1B1. 1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行．即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行．即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”“面面平行”的证明顺序进行．当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性．两平面平行的判定定理的条件直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视．点击图片进入创新演练课件42张PPT。第一章
立体几何初步§5
平行关系理解教材新知应用创新演练知识点一5.2
平行关系的性质把握热点考向考点一考点二知识点二考点三 问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内所有直线平行吗？
提示：不一定，直线与平面内的直线平行或异面．
问题2：教室日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？
提示：过灯管所在直线作一个平面与地面相交，交线与灯管所在直线平行．直线与平面平行的性质a∥αa?βα∩β＝b任意一个交线 问题1：分别位于两个平行平面内的直线有什么位置关系？
提示：平行或异面．
问题2：两个平面互相平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
提示：平行．
问题3：若一个平面与两个平行平面同时相交，则交线有什么位置关系？
提示：平行．平面与平面平行的性质α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b平行交线 1．直线与平面平行的性质定理可以简记为“线面平行，则线线平行”，这是直线与平面的平行关系到直线与直线的平行关系的转化的依据．
2．面面平行的性质定理
(1)面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理.
(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． [例1] 如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线就和它们的交线平行．
[思路点拨] 首先把文字语言改为符号语言，写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证明．[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：过a作平面δ，δ∩β＝c，
∵a∥β，∴a∥c.
过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵d?α，c α，∴c∥α.
又∵c?β，α∩β＝b，
∴c∥b，又c∥a，∴a∥b. [一点通]
(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．1．已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位
置关系是 ( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
解析：l与m平行或异面．
答案：D2．如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点
B、C、D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于
点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝4，
则EG＝________.答案：23．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面
ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上
取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于
GH，求证：AP∥GH.
证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
∴PA∥GH. [例2] 已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求当S在α，β之间时SC的长．
[思路点拨] 已知有面面平行，要使用面面平行的性质定理，需寻找与α，β都相交的第三个平面，而AB与CD相交确定一个平面，也正好与α，β都相交，这样就具备了使用面面平行的性质定理的前提条件，进而可有结论线线平行，由此可把求SC长度的问题放到一个平面中求解． [一点通]
(1)已知面面平行问题可以考虑两个转化，即面面平行转化为线面平行和面面平行转化为线线平行．
(2)面面平行的性质定理的几个有用推论
①夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
②经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
③两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
④如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．4．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过
点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
该平面与β的交线过B点，则交线与a平行，且唯一．
答案：D5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过
C、M、D1作正方体的截面，则截面的形状是______．解析：如图，由面面平行的性质知截面与
平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，
所以截面是等腰梯形CD1MN.答案：等腰梯形6．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在
AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.
求证：EF∥平面BB′C′C.法二：作FH∥AD交AB于H，连接HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，
又∵FH 平面BB′C′C，
BC?平面BB′C′C.
∴FH∥平面BB′C′C.
由FH∥AD，可得＝
又BF＝B′E，BD＝AB′，
[例3] 如图所示，已知P是?ABCD所在
平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，
平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
[思路点拨] ①利用线线平行得BC∥平面PAD，
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD. [精解详析] 法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC 平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l. (2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，MN 平面APD，AE?平面APD所以MN∥平面APD. 法二：(1)证明：由AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
又因为AD?平面PAD，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥AD∥BC. (2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，
则MQ∥AD，MQ 平面PAD，AD?平面PAD.
所以MQ∥平面PAD，同理，由NQ∥PD，可得NQ∥平面 PAD，而MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PAD.
MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAD. [一点通] 本题综合运用了线面平行的性质和面面平行的性质，对于证明线线平行目前有如下几种方法：
①定义法．
②公理4.
③线面平行的性质定理．
④面面平行的性质定理．8．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，
在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.
求证：PQ∥平面BCE.证明：法一：如图所示，作PM∥AB，
交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连
接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.1．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系 2．应用判定定理、性质定理证明时，一定要注意定理中的线、面满足的条件．点击图片进入创新演练课件46张PPT。第一章
立体几何初步§6
垂直关系理解教材新知应用创新演练知识点一6.1
垂直关系的判定把握热点考向考点一考点二知识点三考点三知识点二第一课时 1．日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB，地面为α，BC、BD为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图) 问题(1)：旗杆所在直线AB与影子BC、BD所在直线的位置关系是什么？
提示：相交垂直．
问题(2)：旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？
提示：旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直． 2．如果平面外一条直线l与平面α的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是什么？ 提示：可能平行如图(1)，也可能相交如图(2)(3)，((2)为垂直，(3)为斜交)． 1．直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．任何一条2．直线与平面垂直的判定定理相交垂直a αb αa∩b＝Al⊥a，l⊥b 二面角及其平面角
(1)半平面的定义：
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分．其中的 都叫做半平面．
(2)二面角的定义：
从一条直线出发的两个 所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作 ，这两个半平面叫作 ．每一部分半平面二面角的棱二面角的面 (3)二面角的记法：
以直线AB为棱、半平面α、β为面的二面角，记作二面角 .有时为了方便，也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角 .
(4)二面角的平面角：
以二面角的棱上 为端点，在两个半平面α和β内分别作 于棱l的两条射线OA和OB，则这两条射线OA和OB所成的角∠AOB叫作二面角的平面角，
的二面角叫作直二面角．α－AB－βP－AB－Q任一点平面角是垂直直角 1．当我们观察了直线与平面垂直后，观察教室四周，黑板面及周围墙面与地面之间都给了我们面面垂直的感觉.
问题1：如果两个平面的平面角大小为90°时，这两个平面的关系怎样？
提示：垂直． 问题2：建筑工人在砌墙时，常用三角尺的直角两边靠紧墙与地面，以保证墙面与水平面垂直，这是为什么？
提示：保证了二面角的平面角为直角．
2．把书打开直立于桌面上，当书背直立于桌面时，书页所在平面与桌面的关系怎样？
提示：垂直． 1．两个平面互相垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
直二面角2．两个平面互相垂直的判定定理a?αa⊥β经过垂线 1.直线和平面垂直的定义中，“任意”两字不能改成“无数”，它还有另一层性质的含义，即若直线与平面垂直，则该直线与平面内任意直线都垂直.?
2.二面角是从一条直线出发的两个半平面形成的图形，它可以度量，二面角的平面角的大小就是二面角的大小.
3.证明平面与平面垂直，可以用定义，但主要是用面面垂直的判定定理. [例1] 如图，AB是圆O的直径，PA垂
直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，
AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
[思路点拨] 要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线都垂直，已知AN⊥PM，只需再证AN和平面PBM内的另一条直线如BM或PB垂直即可．[精解详析] 设圆O所在的平面为α，
则已知PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM、BM两条相交直线垂直．
故AN⊥平面PBM. [一点通] 证明线面垂直的主要方法是判定定理，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可．2. 如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，
点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
连接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥面ABC.
∵BD?平面ABC，
∴SD⊥BD.
∵AC∩SD＝D.
∴BD⊥平面SAC. [例2] 如图，已知四棱锥S－ABCD中AB
CD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，
EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
[思路点拨] (1)欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF.
(2)欲证AG⊥SD，可证AG⊥平面SCD. [精解详析] (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.
又∵SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB.
∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，
∴AE⊥平面SBC.
又∵SC?平面SBC，
∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，
∴SC⊥平面AEF.
∵AF?平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.
又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，
∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.
∵SD?平面SDC，∴AG⊥SD.
[一点通] 线线垂直的证明方法主要有
(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，a?α?l⊥a.
(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．3．本例中，把条件“AE⊥SB于E，EF⊥SC于F”改为
“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，
F，G”．其他条件不变，求证：AE⊥SB， AG⊥SD.证明：∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC又BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB，
又AE?平面SAB，∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE.
又BC∩SC＝C，∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.4．(2012·忻州期中)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，下
列结论中不正确的是 ( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD答案：C5．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，
求证：AC⊥BD.证明：取BD中点为E，连接AE，CE，
∵AB＝AD，∴AE⊥BD.
又∵CB＝CD，∴CE⊥BD.
而AE∩CE＝E.∴BD⊥面AEC.
又∵AC?面AEC，∴AC⊥BD. [例3] 三棱锥P－ABC中，PO⊥平面ABC，PA⊥BC，PB⊥AC.求证：
(1)O是△ABC的垂心；
(2)PC⊥AB. [思路点拨] (1)要证O是△ABC的垂心，只要证明O是两条高线的交点即可．(2)可证明AB⊥平面PCO.[精解详析] (1)连接OA，OB.
∵PO⊥平面ABC.
∴PO⊥BC，又PA⊥BC，PO∩PA＝P，
∴BC⊥平面PAO.又AO?平面PAO.
∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．
同理，由PB⊥AC可得O在AC边的高线上．
∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB，
又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，
∴AB⊥平面PCO.又PC?平面PCO，
∴AB⊥PC. [一点通] 根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直．本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化．6．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，
则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的 ( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心解析：如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA、OB、OC.所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，OP＝OP＝OP，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，
所以△PAO≌△PBO≌△PCO，
所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．
答案：B
证明：(1)∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝AC＝a.
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD.∴PA⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PA⊥平面ABCD，BD? 平面ABCD
∴PA⊥BD.菱形ABCD中，BD⊥AC，
PA∩AC＝A.
∴BD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BD⊥PC. 1. 线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直.?
2. 线面垂直的定义用来证明线面垂直较困难，但它为证明线线垂直提供了重要依据，证明线线垂直的主要方法：
（1）线面垂直的定义；?
（2）a∥b，b⊥l?a⊥l;?
（3）两直线共线时也可用平面几何的结论.? 3.线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直点击图片进入创新演练课件23张PPT。第一章
立体几何初步§6
垂直关系应用创新演练6.1
垂直关系的判定考点一考点二第二课时
平面与平面垂直的判定定理把握热点考向第二课时 平面与平面垂直的判定 [例1] 如图，四棱锥P－ABCD的底面
ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧
棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.
[思路点拨] 根据判定定理，在一个面内找到(或作出)另一个面的一条垂线，从而可得两平面垂直．[精解详析] ∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD.又AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PBD. [一点通]
(1)证明平面与平面垂直，常用两种方法：
①证明一个平面过另一个平面的一条垂线．
②证明二面角的平面角是直角．
(2)用平面与平面垂直的判定定理证明两平面垂直，关键是在一个平面内寻找垂直于另一个平面的直线．在处理具体问题时，应先从已知入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．2．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对
角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平
面BGD.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.
∴EF⊥平面BGD.
∵EF?平面BEF，
∴平面BDG⊥平面BEF.3．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面B1C1CB是菱形，
B1C⊥A1B，
求证：平面A1BC1⊥平面AB1C.证明：∵侧面B1C1CB是菱形，
∴B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B.
A1B∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面A1BC1.
又B1C?平面AB1C，∴平面A1BC1⊥平面AB1C. [例2] 如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：
(1)平面AEF⊥平面PBC；
(2)PB⊥EF.
[思路点拨] (1)用面面垂直的判定定理；
(2)先证线面垂直，再证线线垂直．[精解详析] (1)∵AB是 ⊙O的直径，C在圆上
∴AC⊥BC，又PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，
∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC＝C，
∴AF⊥平面PBC.又AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF.又EF?平面AEF，
∴PB⊥EF.
[一点通] 解决直线、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系：即
线线垂直?线面垂直?面面垂直．4．四面体ABCD中，△BCD，△ABC是全等三角形，且
AB＝AC，E为BC的中点．
求证：平面ADE⊥平面ABC. 证明：∵△BCD与△ABC全等，且AB＝AC，
∴BD＝DC，又E为BC的中点．
∴AE⊥BC，DE⊥BC.又AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面ADE，
又BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADE. 在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)．
即由线面垂直证面面垂直．点击图片进入创新演练课件37张PPT。第一章
立体几何初步§6
垂直关系理解教材新知应用创新演练知识点一6.2
垂直关系的性质把握热点考向考点一考点二考点三知识点二 问题1：在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？
提示：平行．
问题2：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1都垂直于平面ABCD，它们之间有什么位置关系呢？
提示：平行． 问题3：垂直于同一平面的两条直线是否平行呢？
提示：平行．
问题4：垂直于同一直线的两直线是否平行呢？
提示：不一定，若在同一平面内，则平行，若在空间中，可能平行，相交，也有可能异面．直线与平面垂直的性质定理a⊥αb⊥α垂直于一个平面 问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
提示：能，画一条直线垂直于交线． 问题2：如图长方体ABCD－A′B′C′
D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直，
平面A′ADD′内的直线AD′、A′A与平面ABCD垂直吗？平面A′ADD′内的直线满足什么条件时才与平面ABCD垂直？ 提示：AA′与平面ABCD垂直；AD′与平面ABCD不垂直．平面A′ADD′内的直线与AD垂直时才与平面ABCD垂直．平面与平面垂直的性质定理α⊥βα∩β＝la?αa⊥l交线 1.线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的重要依据，也是由垂直转化为平行的重要方法.
2.面面垂直的性质定理可简记为“面面垂直，则线面垂直”.但“线”必须同时满足两个条件，即在其中一个平面内且垂直于交线，“在平面内”不能舍去. [例1] 如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，
AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，
EF＝EG.
求证：BC∥FG.
[思路点拨] 证明BC⊥平面ADE，FG⊥平面ADE，可得BC∥FG.[精解详析] 连接DE.
∵AD⊥AB，AD⊥AC，
∴AD⊥平面ABC.又BC?平面ABC，
∴AD⊥BC，又AE⊥BC.
∴BC⊥平面ADE.
∵AF＝AG，D为FG的中点，
∴AD⊥FG.
同理ED⊥FG，AD∩ED＝D.
∴FG⊥平面ADE.
∴BC∥FG. [一点通]
1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法.
2．证明线线平行的方法
(1)a∥c，b∥c?a∥b.
(2)a∥α，a?β，β∩α＝b?a∥b.
(3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(4)a⊥α，b⊥α?a∥b.1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是
棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1
都垂直的直线有_______条 ( )
A．1 B．2
C．3 D．无数条解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则l⊥C1D1，
B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1.
同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．
答案：A2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F
分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.
求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.
∵BD1?平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. [例2] 如图，A，B，C，D为空间四点，在
△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ .等边三角形
ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
[思路点拨] (1)取AB的中点E，连接DE，CE，由于平面ADB⊥平面ABC，故由面面垂直的性质定理得DE⊥CE，从而在Rt△DCE中，可求CD.
(2)分D是否在平面ABC内进行讨论．(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又因AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
又CD?平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD. [一点通]
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理，应用此定理时要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线在一个平面内；③直线垂直于交线，缺一不可．3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC，
平面APB⊥平面BPC.
求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．
如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂足，则AD⊥平面CPB，又BC?平面CPB，
所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以AB⊥BC.4．已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，
AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
又PA?平面PAC，∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于点G，
同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面ABC内且交点为D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.
∵E点是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，
∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，
∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． [例3] 如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE. [思路点拨]
(1)要证明EF⊥平面BCE，只须EF⊥BE, EF⊥BC即可，由面面垂直的性质定理和∠FEA＋∠AEB＝90°很容易证明．
(2)要证明PM∥平面BCE，只须证明PM平行于平面BCE内的一条直线，取BE的中点N，易知PM∥CN.[精解详析] (1)因为平面ABEF⊥平面
ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥
平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.
因为BC?平面BCE，BE?平面BCE，
BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE. [一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若m?α，n α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n α，n β，则n∥α且n∥β.
其中正确命题的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4解：①由面面垂直的判定可知①正确；②中没有说明m与n的关系，故②不正确；③中n与α有可能平行，故③不正确；④由线面平行的判定定理可知④正确．
答案：B6．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1
⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥AA1；
(2)若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥
平面AB1M.
证明：(1)因为∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，
又侧面ACC1A1⊥平面ABC，
且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，
BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1，
又AA1?平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.(2)连接A1B，交AB1于点O，连接MO，
在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点，所以OM∥A1N.
又OM?平面AB1M，A1N 平面AB1M，
所以A1N∥平面AB1M. 1．空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下
2．运用两个平面垂直的性质时，一般是在一个面内作(或找)它们交线的垂线，得到线面垂直，再利用线面垂直的定义得线线垂直．点击图片进入创新演练课件39张PPT。第一章
立体几何初步§7
简单几何体的面积和体积理解教材新知应用创新演练知识点一7.1
简单几何体的侧面积把握热点考向考点一考点二考点三知识点二 在初中，我们已学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图．而且知道几何体的表面积等于其展开图的面积．
问题1：棱长为a的正方体的表面积是多少？
提示：6a2. 问题2：圆柱、圆锥和圆台的侧面展开图的形状是什么？
提示：矩形、扇形和扇环．
问题3：半径为R的半圆围成一个圆锥，圆锥的表面积为多少？圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrlπrl π(r1＋r2)l 其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径. 几何体的侧面积、表面积及其展开图之间存在必然的联系，所以只要明确了其展开图的形状，就会求出表面积和侧面积．
问题1：直棱柱的侧面展开图的形状是什么？有什么对应关系？?
提示：矩形，其中，直棱柱底的周长对应矩形的长，高对应矩形的宽．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积ch 其中c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高． 无论是求多面体的表面积还是旋转体的侧面积，应首先明确展开图的形状，再确定用什么样的方法求表面积和侧面积. [例1] 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．
[思路点拨] 设出圆柱和圆锥的底面半径，利用相似三角形，得半径之间关系和圆锥母线与半径的关系，写出圆柱、圆锥的表面积求其比值． [一点通] 在解与旋转体有关的问题时，经常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题．1．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全
面积为 ( )
A．6π(4π＋3)
B.8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析：当长为6π的边为高时，
底面半径r＝2.
S全＝6π×4π＋π×4×2＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．
当长为4π的边为高时，底面半径r＝3.
S全＝24π2＋2×9π＝6π(4π＋3)．
答案：C2．圆锥的中截面(过高的中点且平行于底面)把圆锥侧面
分成两部分，则这两部分侧面积的比为 ( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4答案：C3．如图，圆台的上底半径为3 cm，下底
半径为6 cm，母线长为6 cm，则圆台的侧面
积为________
解析：S侧＝π(3＋6)×6＝54π (cm2)
答案：54 π (cm2) [例2] 正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积．
[思路点拨] 在高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理．求出底面边长和斜高．从而求其侧面积．
[一点通]
1．正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清相对应的元素求解很简单．
2．多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和，对正棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形求解，对正棱台则需要构造直角梯形或等腰梯形求解． 4．(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积为 ( )答案：C5．已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，
且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高． [例3] 正四棱台两底面边长分别为3和9.
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
[思路点拨] 侧棱C1C与上、下底面正方形中心连线以及CO和C1O1可构成直角梯形，从而可知∠C1CA＝45°.从而求h＝C1E以及斜高C1F. [精解详析] (1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高． [一点通] 解决该类问题，关键是正确找出几何体中相对应元素，把它们放在一个平面图形中利用平面几何的知识解决．体现了空间问题平面化的思想．6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD
＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，
过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求
旋转体的表面积．解：如图所示，该几何体是由一个
圆柱、一个圆锥构成的．7．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个
高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 1．对于旋转体的表面积，处理好两个方面的问题
(1)利用轴截面平面化；
(2)在轴截面中建立高、母线、底面半径的数量关系.
2．对于正棱锥、正棱台的表面积，求侧面的高是解题的关键，这就要求在几个特殊直角三角形或直角梯形中建立高、斜高、底边长的数量关系．点击图片进入创新演练课件37张PPT。第一章
立体几何初步§7
简单几何体的面积和体积理解教材新知应用创新演练知识点一7.2
棱柱、
棱锥、
棱台、
和圆柱、圆锥、圆台的体积
把握热点考向考点一考点三考点二 青岛国际啤酒节始创于1991年，每年在青岛的
黄金旅游季节8月的第二个周末开幕，为期16天．
节日由国家有关部委和青岛市人民政府共同主办，
是融旅游、文化、体育、经贸于一体的国家级大型节庆活动．啤酒节的主题口号是“青岛与世界干杯！”． 问题1：在啤酒节期间经常举行各类活动，喝啤酒比赛的活动中，参赛者喝酒用的圆柱形的杯子，底面直径大约是10 cm，高度为15 cm，某参赛者喝了3杯，大约是多少毫升？ 问题2：有一个表面积为54 m2的正方体啤酒容器，其容积是多少？
提示：设正方体棱长为x m，则6x2＝54.
x＝3 (m)．
∴V＝33＝27 (m3) 柱、锥、台的体积公式Sh 2．柱体和锥体可以看作是由台体变化得到的．柱体可以看作是上、下底面全等的台体，锥体可以看作是上底面退化成一点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系： [例1] 已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm2,2 cm2，侧棱长为2 cm，求其体积．
[思路点拨] 设出底面菱形的两条对角线长，表示出两个对角面的面积，然后利用两条对角线表示底面菱形的面积，代入棱柱的体积公式即可． [一点通] 求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理．熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键．1．(2011·惠州高一检测)下图中的三个直角三角形是一个体
积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝ cm.答案：4
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
为________．答案：33．已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S，
求其内接正四棱柱的体积． [例2] 一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．
[思路点拨] 已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高，再根据体积公式求出其体积．4．(2012·温州高一检测)若某多面体的三视图(单位：cm)
如图所示，则此多面体的体积是 ( ) A．2 cm3 B．4 cm3
C．6 cm3 D．12 cm3答案：A6．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC
与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝
4 cm，AB＝4cm，VC＝5 cm，求锥体的体积． [例3] 如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1
与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角
线垂直于腰，求圆台的体积．
[思路点拨] 求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径和圆台的高，代入公式求解． [一点通]
(1)求台体的体积，其关键在于求高，一般地棱台把高放在直角梯形中求解，若是圆台把高放在等腰梯形中求解．
(2)“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．答案：A8．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观
图，并求出它的体积．解：直观图为一个正四棱台，如图所示．? 1．对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．点击图片进入创新演练课件35张PPT。第一章
立体几何初步§7
简单几何体的面积和体积理解教材新知应用创新演练7.3
球的表面积和体积考点一考点三考点二把握热点考向 球是最常见的几何体之一．从小学到初中，教材就介绍了球的表面积和体积，而且关于球的表面积和体积的计算在社会生活中有着重要的作用．
问题1：球能象多面体和圆柱、圆锥、圆台一样展开在一个平面上吗？
提示：不能．
问题2：两个半径不相等的球，体积会相等吗？
提示：不会相等．柱、锥、台的体积公式4πR2 球的体积是对球体所占空间大小的度量，球的表面积是对球的表面大小的度量，它们都是球半径R的函数.只要确定了R的值，就可求出表面积和体积.1．(2012·潍坊高一期末)如果三个球的半径之比是1∶2∶3，
那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的 ( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍答案：C2．一个球的体积等于半径为1的4个球的体积之和，求该
球的表面积．答案：3 [例2] 一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
[思路点拨] 先设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，则水面下降，减少的体积就是球的体积，建立一个关系式来解决． [一点通] 球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．3．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm
的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，
则容器的水面将下降多少？4．如图所示，一个容器的盖子用一个正四棱
台和一个球焊接而成．球的半径为R.正四
棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.
(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积
的影响忽略不计)；
(2)若R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以
涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少kg
(精确到0.1 kg)? [一点通] 处理多面体与球之间的切接关系问题时，要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定球半径和多面体的棱长之间的数量关系，建立方程求解．5．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2答案：B6．(2012·菏泽高一检测)已知半球内有一个内
接正方体，求这个半球的体积与正方体的
体积之比．7．长方体的三个相邻的面积分别为2,3,6，这个长方体的
顶点在同一个球面上，求这个球的表面积和体积．? 1．球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．
2．处理与球有关的问题应解决下面几点
(1)截面问题．R2＝d2＋r2(d为球心到截面的距离，r是截面圆的半径)．
(2)接切问题．球心到接切点的距离等于半径．
(3)轴截面问题．球是旋转体，轴截面很关键．点击图片进入创新演练课件20张PPT。第一章
立体几何初步章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测核心要点归纳 一、简单几何体
1．简单旋转体．由封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．常见的旋转体有球、圆柱、圆锥和圆台．
2．分别以半圆的直径、矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做球、圆柱、圆锥、圆台． 3．简单多面体．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．常见的多面体有棱柱、棱锥和棱台．
4．解决多面体问题，首先要理解它们的结构特征：如直棱柱、正棱锥和正棱台；解决旋转体问题，要理解它们的形成过程及基本概念． 二、直观图
1．画直观图的基本方法是斜二测画法．
2．斜二测画法的基本规则是
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平面． (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．三、三视图
1．三视图包括：主视图、左视图和俯视图．
2．绘制三视图时要注意
(1)主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等．
(2)虚实线，要分清，前后对正记心中． 四、空间基本关系和公理
1．空间基本关系
(1)直线与直线的位置关系有：相交、平行和异面．
(2)直线与平面的位置关系有：在平面内、与平面平行和与平面相交．
(3)平面与平面的位置关系有：平行和相交． 2．空间图形的公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．
3．空间直线、平面的位置关系是研究立体几何的基础．应从交点个数等方面理解，三个公理是立体几何体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．五、平行关系
1．判定定理和性质定理 2．平行关系是空间重要的位置关系．直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行可以相互转化，这种转化是实现平行推理和证明的关键．
平行关系的转化是：六、垂直关系
1．判定定理和性质定理 2．垂直关系是空间另一种重要的位置关系．直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直可以相互转化，这种转化是实现垂直推理和证明的关键．
垂直关系的转化为：七、简单几何体的面积和体积
1．侧面积公式 弄清几何体的侧面积是解决求解侧面积的关键，对旋转体的解题思想还有一种是轴截面的处理．2．体积公式点击图片进入质量检测课件37张PPT。第二章
解析几何初步§1
直线与直线的方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三1.1直线的倾斜角和斜率 直线是最简单的平面图形之一，我们知道两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，点可用坐标表示，直线可以用二元一次方程表示．
问题1：已知直线上一个点，能确定一条直线吗？
提示：不能确定． 问题2：当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？
提示：不确定．
问题3：直线l1，l2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？
提示：不一样． 1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的 ．方向 2．直线的倾斜角
(1)倾斜角的概念：
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按 方向绕着交点旋转到和直线l 所成的角，叫作直线l的倾斜角．
当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为 .
(2)倾斜角的取值范围：
直线的倾斜角α的取值范围是 .逆时针重合0°≤α<180°0° 1．斜率的定义
(1)把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝ .
(2)所有的直线都有 ，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为 的直线没有斜率．正切值tan α倾斜角90° (3)当倾斜角0°≤α<90°时，斜率是 ，倾斜
角越大，直线的斜率就 ；
当倾斜角90°<α<180°时，斜率是 ，倾斜角越大，直线的斜率就 ．非负的越大负的越大 [例1] 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为 ( )
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
[思路点拨] 由题意知直线l的上半部分可能在y轴左侧或右侧，因此可借助图形解之． [精解详析] 如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.答案：D [一点通] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论常见情形有：
①0°角；②锐角；③90°角；④钝角．1．给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以是－30°；③倾斜角是0 °
的直线只有一条；④平行于x轴的直线的倾斜角为
180°.正确命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：直线的倾斜角范围0°≤α<180°，故②④错，垂
直于y轴的直线的倾斜角都是0°，故③错；①是正确的
答案：B2．已知直线l1的倾斜角为α1，其关于x轴对称的直线l2的
倾斜角为α2，求α2.解：如图，结合图形可知α1＝30°，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为
α2＝180°－α
＝180°－30°
＝150°.
3．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点
P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α＋
45°，试求α的取值范围． [例2] (1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的斜率．
[思路点拨] (1)利用过两点的直线的斜率公式求得．
(2)利用斜率的定义求． [一点通] 求直线的斜率有两种思路一是公式；二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．4．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其
斜率．
①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；
③(2,2)，(10,2)；④(－2；－3)，(－2,3)．答案：B
6．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有
( )
A．k1
C．k30，k3>0，
∵l2的倾斜角大于l3的倾斜角，
∴k2>k3，
∴k2>k3>k1.
答案：D [一点通]
1．已知斜率可以求直线的倾斜角或参数的取值范围，也可利用斜率解决三点共线问题．
2．利用数形结合思想可知，当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，倾斜角由0°增大到90°，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．7．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线
上，则实数k＝________.答案：6 1.直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度.
2.倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时斜率公式才成立. 3.斜率公式与两点的顺序无关，它是以后研究直线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用.
4.利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在.点击图片进入创新演练课件49张PPT。第二章
解析几何初步§1
直线与直线的方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三1.2
直线的方程第一课时
直线方程的点斜式知识点三 上一节学的倾斜角和斜率是在直角坐标系内确定直线的几何要素．已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线．这样，在直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，或给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，就能唯一确定一条直线．而且像点用坐标表示一样，直线也可用方程表示． 问题1：若直线经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？问题2：过点(2,1)且垂直于x轴和y轴的直线方程怎样？提示：x＝2，y＝1. 问题3：经过y轴上一点(0，b)且斜率为k的直线方程是什么？
1．直线方程的点斜式和斜截式y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b2．垂直于坐标轴的直线 3．截距的概念
(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的 ．
(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的 .纵坐标横坐标 “两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，
这样的意境太美了，以至流传千年．小小的
白鹭细细的长颈、洁白的羽毛，楚楚动人．
让你想不到的是这小精灵的翅膀竟有二尺来长．远远望去一行白鹭展翅起飞，向着高高的蓝天翩翩而去，它们雪白的身影映着碧蓝的晴空，画出一条美丽的直线．在平面直角坐标系中，如果已知一条直线上两点的坐标，怎样求得这条直线的方程呢？ 问题1：若直线经过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x2≠x1)，那么直线的方程怎样表示？问题2：若直线过两点(2,3)，(2,5)，方程怎样？
提示：x＝2.
问题3：若直线过两点(2,3)，(4,3)，方程怎样？
提示：y＝3.
问题4：若直线过两点(2,0)，(0,3)，方程怎样？直线方程的两点式和截距式 直线方程的点斜式和两点式都有使用范围．直线的点斜式只能表示斜率存在的直线方程，两点式不能表示平行x轴，y轴的直线．但直线方程的点斜式、斜截式，两点式都是关于x、y的二元一次方程．因此直线和二元一次方程有密切联系．
问题1：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？
提示：都表示一条直线． 问题2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
提示：可以．
问题3：x＝a，y＝b可以认为是关于x、y的二元一次方程吗？
提示：可以，x＝a时，y的系数为0；
y＝b时，x的系数为0. 关于x、y的二元一次方程 (A、B不同时为零)叫作直线方程的一般式．Ax＋By＋C＝0 1．已知直线经过的一点和其斜率，就可以写出直线方程的点斜式．当斜率为零时，直线垂直于y轴，直线方程为y＝y0；当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为90°，直线垂直于x轴，直线方程为x＝x0. 2．已知直线经过两已知点时，可以用两点式写出直线方程，但当x1＝x2或y1＝y2时，可直接写成x＝x1或y＝y1，不要再用两点式表示．
3．直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式都可写成一般式，但一般式只能在一定条件下才能写成其它形式．[例1] 根据条件写出下列直线方程的点斜式．
(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为60°；
(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°. [思路点拨] (1)、(3)由倾斜角求出斜率，代入直线方程的点斜式即可；(2)、(4)可直接写出来．因为(2)斜率不存在，(4)直线斜率为0. [一点通] 点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在，若存在求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在直接写出方程x＝x0.1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是 ( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
解析：由点斜式，得y－0＝3(x＋2)，
即y＝3(x＋2)．
答案：D答案：C3．根据下列条件写出直线方程的点斜式．
(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；
(2)斜率为 ，与x轴交点的横坐标为－7. [例2] (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．
(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．
[思路点拨] 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程． [精解详析] (1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，
∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.
(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0，化为斜截式为y＝－2x＋1，
∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．
[一点通] (1)已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．
(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．4．求倾斜角是45°，在y轴上的截距是2的直线方程．
解：∵k＝tan 45°＝1，且在y轴上的截距是2，
∴所求的直线方程为：
y＝x＋2.5．根据条件写出下列直线方程的斜截式．
(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；
(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝
2x＋3的相同．
解：(1)法一：易知直线的斜率存在，
设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，
∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，
∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8. [例3] 已知直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[思路点拨] 先判断直线的斜率一定存在，设出直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解． [一点通] 用斜率之前一定要说明斜率存在，否则就要分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论，这是一个非常典型的分类讨论问题．7．已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，则k的
取值范围是________．解析：由l的方程知l过定点A(1,2)，斜率为k，
则kOA＝2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2
时满足条件．答案：[2，＋∞) 1．对于利用点斜式方程求直线方程，首先应先求出斜率，再代入公式求解；对于利用斜截式方程求直线方程，不仅首先求斜率，还要求截距．
2．对于直线的斜截式方程y＝kx＋b，根据k，b的不同情况，直线所过的象限可见下表：点击图片进入创新演练课件34张PPT。第二章
解析几何初步§1
直线与直线的方程应用创新演练1.2
直线的方程
考点一考点二第二课时
直线方程的两点式和一般式把握热点考向考点三 [例1] 求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；
(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5；
(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
[思路点拨] (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑． [一点通] 直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．1．过点(－3,9)，(2,4)的直线方程为 ( )
A．x＋y－6＝0 B．x－y－6＝0
C．x－y＋6＝0 D．x＋y＋6＝0
答案：A3．已知△ABC的三个顶点A(－2,2)，B(3,2)，C(3,0)，若
AB与y轴交于E点，求这个三角形三边及CE所在的直
线方程．直线AB经过点A(－2,2)、B(3,2)，
由于纵坐标相等，所以所求方程为y＝2，
这就是AB边所在的直线方程，
AB与y轴交点坐标为(0,2)，
直线BC经过点B(3,2)、C(3,0)．
由于横坐标相等，所以所求方程为x＝3，
这就是BC边所在的直线方程．
这就是CE所在的直线方程. [一点通] 这类题目就是根据所给的条件选择合适的形式写出方程，再化为一般式，也可以用待定系数法直接求．4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则
a、b、c应满足 ( )
A．ab>0，bc<0 B．ab<0，bc>0
C．ab>0，bc>0 D．ab<0，bc<0答案：A5．斜率为－3，且在x轴上截距为2的直线方程是 ( )
A．3x＋y＋6＝0 B．3x－y＋2＝0
C．3x＋y－6＝0 D．3x－y－2＝0
解析：由点斜式，得y＝－3(x－2)．
化为一般式，得3x＋y－6＝0.
答案：B6．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－
6，根据下列条件分别确定m的值．
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1. [例3] 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
[思路点拨] 先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点，可证得第(1)问；第(2)问，可先画出草图，借助图形，然后“数形结合”法求得． [一点通] 含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，解决这类问题时，对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后，特殊点还不明显的情况下，可采用方法二的解法．7．若k∈R，直线y＋1＝k(x－2)恒过一个定点，则这个
定点的坐标为 ( )
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(2，－1)
解析：当x＝2时，y＋1＝0，y＝－1.
故直线过定点(2，－1)．
答案：D8．若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则
实数m的取值范围是________．9．一直线过点P(－5，－4)，且与坐标轴围成的三角形
面积为5，求此直线方程 1.在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线.
2.对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程.
3.一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制.当B≠0时，可化为斜截式，在ABC≠0时，可化为截距式.点击图片进入创新演练课件42张PPT。第二章
解析几何初步§1
直线与直线的方程应用创新演练1.3
两条直线的位置关系考点一考点二理解教材新知把握热点考向考点三 问题1：直线y＝x＋1与直线y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？
提示：两条直线的斜率都为1，倾斜角都为45°，两直线平行． 问题2：直线y＝－x与直线y＝x的斜率是什么？它们有什 么位置关系．
提示：直线y＝－x的斜率为1，直线y＝x的斜率为1，两直线垂直．
问题3：直线x＝3和直线y＝3.有什么关系？
提示：直线x＝3垂直于x轴，直线y＝3垂直于y轴． 1．两直线平行
(1)如果两条不重合直线l1，l2的斜率存在并且分别为k1，k2，那么l1∥l2? ；
(2)如果不重合的直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，它们的位置关系是 ．k1＝k2平行 2．两直线垂直
(1)如果两直线l1，l2的斜率存在，并且分别为k1，k2，那么，l1⊥l2? ；
(2)如果直线l1，l2的斜率一个不存在，另一个是零，那么 .
k1·k2＝－1l1⊥l21.两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)判断l1∥l2，只需判断k1＝k2，且b1≠b2.
(2)判断l1⊥l2，只需判断k1·k2＝－1.
2.当l1：x＝a1，l2：x＝a2时，
l1∥l2?a1≠a2.
3.当l1：x＝a，l2：y＝b时，l1⊥l2. [例1] 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
[思路点拨] 利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断． [一点通] 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：
(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2.
(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；
(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直；1．下列说法正确的有 ( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线
的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不正确；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．
答案：A2．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．
(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，
N(10,40)．3．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，
－1)，C(4,3)，D(2,4)．试判断四边形ABCD的形状． [例2] 已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)．
[思路点拨] 此题没有明确哪两条边垂直或平行，因此，可根据所给点的坐标求斜率，来确定哪条边可能是直角腰分类解决． [一点通] (1)在遇到两条直线的平行或垂直问题时，一定要注意直线的斜率不存在时的情形，如本例中的CD作为直角腰时，其斜率不存在．
(2)由于Ax＋By＋C＝0中系数A，B确定了直线的斜率，根据直线平行与垂直的判定条件，①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0，然后用待定系数法求解．4．已知直线l：3x＋4y＋1＝0和点A(1,2)，求：
(1)过A点且与l平行的直线l1的方程；
(2)过A点且与l垂直的直线l2的方程．法二：(1)∵直线l1∥l2，
∴设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.
又∵l2经过点A(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，
解得m＝－11，
故所求的直线l1的方程为3x＋4y－11＝0.
(2)∵直线l2⊥l，则设l2的方程为4x－3y＋n＝0.
∵直线l2过点A(1,2)，
∴4×1－3×2＋n＝0，解得n＝2.
故所求直线的方程为4x－3y＋2＝0.5．已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试证明△ABC
为直角三角形． [例3] 已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与l2：mx＋3y－2＝0.
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
[思路点拨] 利用两直线平行或垂直的条件建立关于m的方程即可求解． [一点通] 在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论．6．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平
行，则m＝________.7．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互
相垂直，则m的值是________．8．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若
△ABC为直角三角形，求m的值． 判断两直线的平行与垂直，需从斜率的角度进行分类讨论.当直线方程是一般式方程时，也可以用以下方法判断平行和垂直：坐标平面内任意两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 其中A 2 1＋B21≠0.这种方法避免了讨论点击图片进入创新演练课件36张PPT。第二章
解析几何初步§1
直线与直线的方程应用创新演练1.4
两条直线的交点考点一考点二理解教材新知把握热点考向考点三 引入平面直角坐标系后，可以用方程表示直线，并且可以通过直线的方程来判断两直线平行或垂直，那么怎样求直线相交时的交点坐标呢？
问题1：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，怎样判断它们的位置关系？
提示：(1)k1＝k2且b1≠b2时，l1与l2平行；(2)k1＝k2且b1＝b2时重合．特殊情况，当k1k2＝－1时，两直线垂直；(3)k1≠k2时，l1与l2相交． 问题2：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？
提示：A1x0＋B1y0＋C1＝0且A2x0＋B2y0＋C2＝0. 两直线的位置关系与方程组的解
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两个方程的 ；如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定是 ．唯一公共解两直线的交点相交重合平行 两条直线相交，交点一定在两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线l1和l2的交点. [例1] 直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值．
[思路点拨] 解答本题可先解出两已知直线的交点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值． [一点通] 解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础．1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标
为 ( )
A．(－4，－3) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(3,4)答案：C2．已知直线l1：y＝2x＋m＋2，l2：y＝－2x＋4的交点在
第二象限，则m的取值范围是________．答案：(2，＋∞) [例2] 求经过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．
[思路点拨] 联立方程，求出两直线的交点和所求直线的斜率，利用点斜式写出直线方程． [一点通] 解决此类问题有两种方法．一种是常规法，即由题目已知条件求出交点和直线斜率，利用点斜式写出直线方程；二是利用待定系数法写出方程，再求出交点，代入求出待定系数．3．本例改成“与直线2x＋3y－10＝0平行”，求直线方程．4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴
上截距为8的直线的方程是 ( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0答案：A [例3] 已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，l3三条直线能围成三角形．
[思路点拨] 要使三条直线能围成三角形，必须每两条都相交，且三条不交于一点． [一点通]
1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关键；
2．在分类讨论时，不能遗漏；
3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形的条件入手解决的．5．求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－
2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．6．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0截
得的线段中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．解：法一：因为所求直线l过坐标原点，且x＝0与两直线交点的线段的中点不是坐标原点，
所以可设为y＝kx.
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解析几何初步§1
直线与直线的方程应用创新演练1.5
平面直角坐标系中的距离公式考点一考点二理解教材新知考点三把握热点考向知识点二知识点一考点四 在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式|AB|＝|xB－xA|.在平面直角坐标系中，怎么求任意两点间的距离呢？
问题1：若两点A(－5,1)，B(6,1)，它们的距离是多少呢？
提示：因为A、B两点所在直线与x轴平行，故|AB|＝|6－(－5)|＝11. 在平面几何中，求点P到直线l的距离的方法是：先过点P作l的垂线PH，垂足为H，再求PH的长度即可．那么，在平面直角坐标系中，如何用坐标法求出点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢？
问题1：点(x0，y0)到x轴，y轴的距离怎样用坐标表示？
提示：点(x0，y0)到x轴的距离是|y0|，点(x0，y0)到y轴的距离是|x0|. 2．应用点到直线的距离公式的注意事项
(1)特别地，当点P0在直线上时，点P0到该直线的距离为0.
(2)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
[例1] (1)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离；
(2)已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，求a的值；
(3)求直线l：y＝x被两条平行直线x＋y－2＝0和x＋y－4＝0所截得的线段的长度．
[思路点拨] 利用条件确定点的坐标，再代入两点间的距离公式． [一点通] 两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决．2．已知△ABC中，A(－2,1)，B(3，－3)，C(2,6)，试判断
△ABC的形状． [例2] 用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
[思路点拨] 建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简得． [精解详析] 分别以AB、AD所在直线
为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，
y)，B(a,0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0)．
则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2.
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. [一点通]
(1)解析法证明几何问题的步骤：
①建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；
②进行有关的代数运算；
③把代数运算结果“翻译”成几何关系．
(2)重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．3．用解析法证明：等腰梯形的对角线相等．解：已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD
＝BC，求证：AC＝BD.
证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中
点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)，4．已知AO是△ABC边BC的中线．
求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，
设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)，
由两点间距离公式得
|AB|2＝(x＋a)2＋y2，
|AC|2＝(x－a)2＋y2，∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2，
|AO|2＝x2＋y2，
|OC|2＝a2，
|AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). [例3] 求点P0(－1,2)到下列直线的距离．
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
[思路点拨] 解答本题可先将直线方程化为一般式，然后直接利用点到直线的距离公式求解，对于(2)(3)题中的特殊直线，也可以借助图像求解．法二：∵直线x＝2与y轴平行，
∴由图(1)知d＝|－1－2|＝3. [一点通] 使用点到直线的距离公式时应注意以下几点
(1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，此公式仍然适用． (3)若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而直接求出，如：
①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
③点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
④点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.5．求点P(3，－2)到下列直线的距离d.
(1)3x－4y＋1＝0；(2)y＝4；(3)x＝0.6．已知点(a,2)(a>0)到直线x－y＋3的距离为1，求a的值．7．两条平行直线3x＋4y＝0与3x＋4y－5＝0间的距离等于
_______．答案：1
1．利用点到直线的距离公式和平行线间距离公式求距离时，应首先将方程化为一般式，否则不能硬代入求值，防止出现错误．
2．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路
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解析几何初步§2
圆与圆的方程应用创新演练2.1
圆的标准方程考点一考点二理解教材新知考点三把握热点考向 世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的
英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m.
然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离地总高120m的摩天轮． 中国最高的摩天轮“南昌之星”位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市人民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160m，转盘直径为153m，比位于英国泰晤士河边的135m高的“伦敦之眼”摩天轮还要高，成为世界上较高的摩天轮之一．如何写出圆的方程呢？ 问题1：在平面直角坐标系中，确定圆的几何要素是什么？
提示：圆心和半径．
问题2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，到点(1,2)的距离等于1的点(x，y)的集合怎样用方程表示？提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2定长 1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能写出圆的标准方程． 3．点到圆的位置关系的判断
给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到：
(1)点M在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2 (1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)．
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径．
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程． [一点通] 直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后代入标准方程．
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22.
所以圆心(0,0)，半径r＝2.
(2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝a2(a≠0)．
所以圆心为(0,2)，半径r＝|a|. [例2] 一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的标准方程．
[思路点拨] 利用代数法，构造方程求解a、b、r，或者利用几何法找出圆的圆心和半径． [一点通] 求圆的标准方程一般有两种思路：一是用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是：
①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋
(y－b)2＝r2；
②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到圆的方程．
2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构造几何图形确定圆心和半径．3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x－
2y－3＝0上的圆的方程． [例3] 已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，求出点到圆心的距离，作出判断． [一点通] 求圆的方程，只需确定圆心和半径就可以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点坐标代入圆的方程判断．答案：(7，＋∞)6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同一个
圆上． 1．确定圆的标准方程的方法
(1)直接法：直接确定圆和半径，适合易确定圆心和半径的圆；
(2)待定系数法：大部分求圆方程的题目均可以使用；
(3)几何法：充分利用平面几何的知识，结合交点问题和距离公式求解．2.对于特殊位置的圆的方程点击图片进入创新演练课件46张PPT。第二章
解析几何初步§2
圆与圆的方程应用创新演练2.2
圆的一般方程考点一考点二理解教材新知考点三把握热点考向 把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？
问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？
提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得
(x－1)2＋(y＋2)2＝4.
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆． 问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1.
此方程表示一个点(－1,1)．
问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得
(x－1)2＋(y－2)2＝－1.
由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形． 1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程
称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F=0D2＋E2－4F>0 1．圆的一般方程与标准方程可以互化 2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的条件下才表示圆． [例1] 判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．
[思路点拨] 解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
[一点通] 解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数是否相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．答案：A2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－4x＝0.解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，
x2的系数为2，y2的系数为1.
∵2≠1，∴不能表示圆．
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0，
∵方程中含xy项，
∴此方程不能表示圆．
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：
D＝－2，E＝－4，F＝10.
∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10
＝20－40＝－20<0.
∴此方程不能表示圆．法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.
配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆．
(4)∵2x2＋2y2－4x＝0，
∴x2＋y2－2x＝0，
∴(x－1)2＋y2＝1.
∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径． [例2] 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)． [一点通] 一般地，已知圆上的三个点的坐标或已知圆上的两点的坐标以及其他条件求圆的方程时，一般采用圆的一般方程求解．4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的
弦长等于6的圆的方程．设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F
由|x1－x2|＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
有D2－4F＝36. ④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0，
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0
或x2＋y2－6x－8y＝0.整理得x2＋y2＋2x－3＝0，
∴所求曲线方程即为x2＋y2＋2x－3＝0.
将其左边配方，得(x＋1)2＋y2＝4，
∴此曲线是以点C(－1,0)为圆心，2为半径的圆．如图. [例3] 如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？ [思路点拨] 首先建立适当的平面直角坐标系，根据条件求出圆的方程，再应用方程求解． [精解详析] 以圆拱桥顶为坐标原点，以
过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，
设圆拱所在的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， [一点通] 在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．6．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为5米的半圆形
隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车
篷篷顶距离地面的距离不得超过4米，试用数学
知识进行验证．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝25(y>0)，
当x＝3时，y＝4，即高度不得超过4米． ? 圆的一般方程的求法，主要是待定系数法，需要确定D、E、F的值．
对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程对比如下： 因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定理等可简化过程． 点击图片进入创新演练课件48张PPT。第二章
解析几何初步§2
圆与圆的方程应用创新演练2.3
直线与圆、圆与圆的位置关系考点一考点二理解教材新知考点三把握热点考向知识点一知识点二第一课时
直线与圆的位置关系 还记得巴金的《海上日出》吧，随着作家
的描写，我们领略到海上日出的壮丽景象．实
际上，日出是一个不断变化的动态过程，如果
把太阳(透视图)看作一个圆，把海平面(透视图)看作一条直线，太阳升起的过程中与海平面的位置关系就是直线与圆的位置关系的最好例证． 问题1：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
提示：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，来判断，即直线与圆相交?d 直线与圆相切?d＝r
直线与圆相离?d>r.提示：由方程组得 25x2－30x－119＝0.
∵Δ＝302＋100×119>0，
∴方程组有解． 问题3：圆x2＋y2＝9的圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离是多少？ 问题4：根据问题2，问题3，可知直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系怎样？
提示：相交． 1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与圆 、 、 ．
2．直线与圆位置关系的判定相切相离<＝>Δ>0Δ＝0Δ<0相交 根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位置关系？
提示：三种．即相交、相切和相离． 问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？
提示：五种，相交时，|r1－r2| 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离、内含两种可能情况．021 直线与圆的位置关系的判断有两种方法：代数法和几何法，代数法就是通过解方程组来判断位置关系；几何法是通过圆心到直线的距离与半径r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些． [例1] 当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直线的距离与圆的半径的大小作比较． [一点通] 直线与圆的位置关系的两种判定方法：代数法与几何法．直线与圆的位置关系是本节的重点内容，也是高考重点考查内容之一．用方程研究直线与圆的位置关系体现了解析几何的基本思想．判定直线与圆的位置关系主要看交点个数，判别式法中方程组解的个数即交点个数，而几何法利用数形结合更易判断，因此在实际应用中应多用几何法．1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋y0y
＝R2与圆的位置关系．
2．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，
判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们
交点的坐标． [例2] 圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．
[思路点拨] 由于直线2x＋y－5＝0与直线2x＋y＋15＝0互相平行，因此，这两条直线间的距离应等于直径，且圆心与切点的连线必垂直于切线． [一点通]
(1)明确圆心的位置及圆的半径与两平行线间的距离之间的关系是解决本题的关键．
(2)要注意应用切线的如下性质：
①过切点且垂直于切线的直线必过圆心；
②过圆心且垂直于切线的直线必过切点．答案：B4．已知直线l过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相
切，求直线l的方程．5．(2012·兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
与直线y＝2x＋5相切的圆的方程． [例3] 如图所示，求经过点P(6，－4)且被定圆x2＋y2＝20截得弦长为6 的直线的方程．
[思路点拨] 可利用点斜式设出直线方
程，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角
三角形求解．答案：D 答案：08．过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝
0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程． 1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利用圆心到切线的距离等于半径． 3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不漏．点击图片进入创新演练课件38张PPT。第二章
解析几何初步§2
圆与圆的方程2.3
直线与圆、圆与圆的位置关系第二课时
圆与圆的位置关系应用创新演练考点一考点二考点三把握热点考向 [例1] 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时，
(1)圆C1与圆C2外切；
(2)圆C1与圆C2内切．
[思路点拨] 两圆外切时，|C1C2|＝r1＋r2；内切时，|C1C2|＝|r1－r2|. [一点通] 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种方法，几何法比代数法简便，解题时一般用几何法．
用几何法判断两圆位置关系的操作步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程．
(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|R－r|、R＋r的大小关系．1．两圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋＝0的
位置关系是 ( )
A．相切 B．外离
C．内含 D．相交答案：D2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋y2＝m相离，则
实数m的取值范围是 ( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,4) D．(0,4]答案：C3．实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，圆
C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ [例2] 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[思路点拨] 先把两圆方程化为标准方程，判断两圆的位置关系，作差求公共弦所在直线方程，求公共弦的长度． [一点通]
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的相交
弦方程为 ( )
A．x＋2y－6＝0 B．x－3y＋5＝0
C．x－2y＋6＝0 D．x＋3y－8＝0
解析：两圆方程相减得：
2x－4y＋12＝0，
即x－2y＋6＝0.
故两圆相交弦方程为x－2y＋6＝0.
答案：C5．(2011·天津高考)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6
＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：两圆公共弦所在直线方程ay＝1，
再由圆心(0,0)到直线ay＝1的距离等于1且a>0，得
a＝1.
答案：1 [一点通]
(1)法一是求出两已知圆的交点、所求圆的圆心及半径，得出了圆的方程．法二是利用了过两曲线系方程的特点，利用待定系数法求出λ得出圆的方程，需特别指出的是法二中若取λ＝－1，则曲线系方程变成直线的方程，此方程即为经过两圆交点的直线方程． (2)常见的圆系方程有：
①设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两相交圆交点的圆(不包括C2)；当λ＝－1时，(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程． ②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋by＋c＝0交点的圆．6．(2011·江西九江检测)求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋
y2－12x－12y＋54＝0都相切，且半径最小的圆的标
准方程．解：如图x2＋y2－12x－12y＋54＝0化为标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18.7．(2012·福建三明市高一检测)已知圆C：(x－3)2＋
(y－4)2＝4，
(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的
方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0
上，且与圆C外切，求圆D的方程．
解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，
符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝
k(x－1)，即kx－y－k＝0. 1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系． 2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用.
3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方程．点击图片进入创新演练课件49张PPT。第二章 解析几何初步3.1 空间直角坐标系的建立
3.2 空间直角坐标系中点的坐标
3.3 空间两点间的距离§3 空间直角坐标系理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三知识点三 我们知道，数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数来确定其位置；平面直角坐标平面上的点M可以用一对有序实数(x，y)来确定其位置．那么，一架空中飞行的飞机的位置，该怎样确定呢？
问题1：只给出飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机位置吗？
提示：不能具体确定． 问题2：如果不仅给出飞机位置的经度和纬度，再给出高度，能确定飞机的位置吗？
提示：能确定．
问题3：在空间，为了确定空间任意点的位置，需要几个实数呢？
提示：需要三个实数． 1．空间直角坐标系右手系的建立方法
(1)将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就
水平面．
(2)伸出 手，让四指与 垂直，并使四指先指向 ，然后让四指沿 方向旋转90°指向 ，此时 指向即为z轴正向， 这样的坐标系为右手系．垂直于右大拇指x轴正方向握拳y轴正方向大拇指 2．空间直角坐标系中的有关名称
(1)在空间直角坐标系中， 叫作原点， 轴统称为坐标轴．
(2)由 确定的平面叫坐标平面，x、y轴确定的平面记作 平面，y、z轴确定的平面记作 平面，
x、z轴确定的平面记作 平面．坐标轴Ox，y，zxOyyOzxOz 数轴上点的坐标可用一个实数表示，如A(2)；平面直角坐标系中点的坐标可用一个有序实数对表示，如A(2,1)；在空间直角坐标系中，点的坐标可用有序实数组(x，y，z)表示．
问题1：y轴上点的坐标有什么特点？
提示：可用(0，y,0)表示． 问题2：点(2,0，－1)，(－1,0,3)，(2,0,3)有什么特征？这些点的位置如何？
提示：这些点纵坐标为零，都在xOz平面上．
问题3：点(2,1,3)关于x轴和xOy平面的对称点坐标各是什么？
提示：(2，－1，－3)，(2,1，－3)． 空间直角坐标系中点的坐标
(1)类似于平面直角坐标系中点的坐标表示，在空间直角坐标系中，用一个 来刻画空间点的位置，任意一点P的坐标记为 ．第一个是x坐标，第二个是 坐标，第三个是 坐标．三元有序数组(x，y，z)yz (2)如果P在xOy平面上，则P的坐标为 如果P不在xOy平面上，过点P作xOy平面的垂线垂足为P′(x，y,0)，如果P与Z轴的正半轴在xOy平面的同侧，那么Z＝ ；否则Z＝－ ，则P在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z).
(x，y,0)．|PP′||PP′| 问题1：在空间直角坐标系中，点M(0,0,3)到原点的距离多少？
提示：|OM|＝3.
问题2：点N(3,0,4)到原点的距离为多少？问题3：点A(3，－1,0)与点B(－1,2,0)的距离为多少？ 问题4：如果|OP|的长为r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
提示：表示以O为球心，以r为半径的球面． 1．空间直角坐标系的建立解决了空间点的位置，要和建立平面直角坐标系一样，强调“三要素”，即原点、坐标轴方向和单位长度．
2．在空间直角坐标系中，给出具体的点写出它的坐标和根据坐标画出点的位置是重要的两个方面．在这个过程中，可以借助于长方体加以联想和理解． 3．在空间直角坐标系中，对于空间任意点P，都可以用一个三元有序数组(x，y，z)来表示；反之，任何一个三元有序数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系．
4．根据空间两点间距离公式，已知空间两点坐标，就可以代入公式求出距离．
5．对于已知距离求字母值的问题，要使用方程的思想，通过距离公式解方程求得． [例1] 如图，棱长为1的正方体ABCD－
A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标.
[思路点拨] 取D为空间坐标系的原点，过D点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E，F，G坐标．答案：B答案：D3．在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4)，B(1,0,5)，C(0,2,0)，D(1,3,4)，
解：先根据x，y确定各点在xOy平面上相应点的位置，
再根据它们的z坐标来确定出在空间直角坐标系的位置
(如图)． [例2] 求点M(a，b，c)关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标.
[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题，确定坐标和位置即可． [精解详析] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)，
关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)，
关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)，
关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)． [一点通] 空间对称点的坐标规律
空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x轴对称的点x坐标不变，y坐标、z坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点x、y不变，z坐标相反．特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数．5．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两
点的位置关系是 ( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
答案：C6．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为
A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为 ( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7答案：D7．点(3，－2,1)关于yOz平面的对称点是________，关于
x轴的对称点是________，关于z轴的对称点是_______．
答案：(－3，－2,1) (3,2，－1) (－3,2,1) [例3] 在空间直角坐标系中，解答下列各题：
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
[思路点拨] (1)可设点P(x,0,0)后，利用距离公式解决；
(2)可根据点M在x＋y＝1上设点M，再由距离公式构建函数，求出|MN|的最小值． [一点通] 解决该类问题的关键是应用两点间的距离公式，根据点的特征，合理地设出所求点的坐标，这样不但减少了参数，还可简化计算，避免出错．答案：A9．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC
的形状是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案：C答案：(1,0,0)或(－1,0,0) 1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R.
(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z.
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)． 2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R.
(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M.
3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则．
点击图片进入创新演练课件21张PPT。第二章
解析几何初步章末小结
知识整合与阶段检测阶段质量检测核心要点归纳 一、直线与直线的方程
1．直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率都是确定直线方向的基本概念．
(1)任何直线都有倾斜角，其范围是0°≤α<180°，当直线倾斜角等于0°时，直线与x轴平行或重合；当α＝90°时，直线与x轴垂直．2．直线的方程
(1)直线方程有五种形式，它们之间可以相互转化.续表3．两直线的位置关系
(1)设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
①k1≠k2?l1与l2相交；
②k1＝k2且b1≠b2?l1与l2平行；
③k1＝k2且b1＝b2?两直线重合；
④k1k2＝－1?两直线垂直． (3)直线系方程在求直线方程或直线方程的应用中作用广泛．
①平行于Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)，
②垂直于Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋C′＝0，
③过两直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.二、圆与圆的方程
1．圆的方程
(1)圆的方程有两种形式：(2)求圆的方程的一般方法是待定系数法．其步骤为：
①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 2．点、直线、圆与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系：
设点M到圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心的距离为d，则d>r?点在圆外；d＝r?点在圆上；d (2)直线与圆的位置关系：
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断方法有两种，即(3)圆与圆的位置关系：
圆与圆的位置关系的判断方法一般使用几何法．
设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则
①d>r1＋r2?两圆相离；
②d＝r1＋r2?两圆外切；
③|r1－r2|④d＝|r1－r2|?两圆内切；
⑤0≤d<|r1－r2|?两圆内含．三、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系中点的坐标
落在坐标轴和坐标平面上的点的特点：
(1)落在xOy平面上的点，z坐标为0，即(x，y,0)；
落在yOz平面上的点，x坐标为0，即(0，y，z)；
落在xOz平面上的点，y坐标为0，即(x,0，z)；点击图片进入质量检测
1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是 ( )
A．正三角形的直观图是正三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．全等三角形的直观图一定全等
解析：斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图仍是平行四边形．
答案：B
2．(2012·德州高一检测)如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 ( )
解析：由图可知，直观图中梯形的一腰与y′轴平行，故此平面图形应为直角梯形．
答案：C
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是 ( )
A．8a cm B．6a cm
C．(2a＋2a) cm D．4a cm
解析：如图，把直观图还原得平行四边形OABC其中OA＝a，OB＝ 2a， 故AB＝＝3a
∴原图形OABC的周长为C＝6a＋2a＝8a.
答案：A
4．(2012·杭州高一检测)如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是 ( )
A．2 B．1
C. D．4
解析：由直观图可知，原平面图形是直角三角形为AOB，其中OB＝1，AO＝2.
∴S△AOB＝×1×2 ＝.
答案：C
5．如图，①②③所示的三个图中，可能是正△ABC的直观图的是________．
解析：根据斜二测画法规则，能够画出正△ABC的直观图为③.
答案：③
6．如图，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为________．
解析：由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h′＝C′D′sin 45°＝1×＝.
答案：
7．如图所示，梯形A′B′C′D′是水平放置的平面图形的斜二测直 观图，试将其恢复成原图形．
解：(1)在水平放置的直观图中延长D′A′，交轴O′x′于E′.
(2)如图所示，画互相垂直的轴Ox，Oy，取OE＝O′E′，过E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A′E′，AD＝2A′D′，再过D作DC∥x轴，过A作AB∥x轴，并且截取DC＝D′C′，AB＝A′B′.
(3)连接BC，则梯形ABCD即为原来的图形．
8．用斜二测画法画上、下底边长分别为1.2 cm、2 cm，高为2 cm的正四棱台的直观图．
解：(1)画轴，如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面．点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm，在y轴上取 线段EF，使EF＝1 cm.分别过点M
和N作y轴的平行线，过点E和F作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D.则四边形ABCD就是正四棱台的下底面．
(3)画上底面．在z轴上取线段O′O＝2 cm.以O′为中点，过O′作M′N′平行于x轴，且M′N′＝1.2 cm，作E′F′平行于y轴且E′F′＝0.6 cm.再过点M′、N′分别作y轴的平行线，过点E′、F′作x轴的平行线，设它们的交点为A′、B′、C′、D′.则四边形A′B′C′D′就是正四棱台的上底面．
(4)成图．顺次连接AA′、BB′、CC′、DD′，并加以整理，就得到正四棱台的直观图．如图②.
1．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是 ( )
A．圆台 B．圆锥
C．圆柱 D．球
解析：等腰三角形ABC底边上的中线AD⊥BC.故△ADC，△ADB为直角三角形，旋转所得几何体为圆锥．
答案：B
2．下面说法中，正确的是 ( )
A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
解析：由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．
答案：B
3．观察如图的四个几何体，其中判断不正确的是 ( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
解析：①是棱柱，②是三棱锥，③是不规则几何体，④是棱台．
答案：B
4．(2011·莘县高一期末)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾
斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱台的组合体 D．不确定
解析：水槽倾斜后，水有变动．但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．
答案：A
5．下列命题中错误的是________．
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
②圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
③圆台的所有平行于底面的截面都是圆
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
解析：因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，过圆锥顶点的截面面积最大，当夹角为钝角时，轴截面的面积就不是最大的．
答案：②
6．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．
解析：三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影 部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．
答案：圆锥挖去一个球的组合体
7．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
解：
(1)如图①，三棱柱是A′B′C′－AB″C″.
(2)如图②，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.
8．观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
解：图①是由圆柱中挖去圆台形成的，图②是由球、棱柱、棱台组合而成的．
1．直角边分别为1和的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是 ( )
A．等腰直角三角形 B．边长为的等边三角形
C．边长为2的等边三角形 D．不能确定
解析：由俯视图知长为的边在轴上．因此主视图为边长为2的等边三角形．
答案：C
2．(2012·湛江模拟)如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长
分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且OA⊥OB，OA⊥OC，该
三棱锥的主视图是 ( )
解析：从主视方向可以看出，主视图应该是直角三角形，其中两条直角边为3,4.
答案：B
3．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所
示，则该几何体的左视图为 ( )
解析：由所给图形可知，左视图是矩形，注意中间的线段，故左视图为D.
答案：D
4．(2011·山东高考)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命
题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其主
视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其主视图、俯视图如右图．其中
真命题的个数是 ( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．
答案：A
5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个________．
解析：由三视图可知该几何体是正四棱台．
答案：正四棱台
6．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的主视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其主视图是三角形，其余的主视图均不是三角形．
答案：①②③⑤
7．画出如右图所示几何体的三视图．
解：三视图如下图所示．
8．已知一个几何体的三视图如下图，试画出它的直观图．(说明：画直观图时，对尺寸比例不作严格要求)．
解：由三视图可知该几何体的直观图为：
1．下列结论正确的是 ( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a、b、c、d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：①错，可以异面；②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．
答案：B
2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是 ( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：OB与O1B1不一定平行，反例如图．
答案：D
3．如图α∩β＝l，aα，bβ，且a，b为异面直线，则以下结论正确的 是 ( )
A．a，b都与l平行
B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交
D．a，b中至多有一条与l相交
解析：如果a，b都与l平行，根据公理4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．
答案：B
4．下列命题中，正确的结论有 ( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①错，符合条件的两角相等或互补；②符合等角定理；③错，可能不相等也不互补；④是公理4.故②④正确．
答案：B
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形
ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，
所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案：(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1
6．如图，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G 分别是CB、CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH
的面积为28 cm2，则平行线EH、FG间的距离为________．
解析：在△BCD中，∵＝＝，
∴GF∥BD，＝.
∴FG＝4 cm，在△ABD中，∵点E、H是中点，
∴EH＝BD＝3 cm.设EH、FG间的距离为d cm.
则×(4＋3)×d＝28，∴d＝8.
答案：8 cm
7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1 的中点，求证：CM∥A1N.
证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝A1D1，又N为B1C1的中点，B1C1綊A1D1.
∴C1N綊PA1，四边形PA1NC1为平行四边形，
A1N∥C1P.
又由PM綊DD1綊CC1，得C1P∥CM.
∴CM∥A1N.
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱 AB，AD，B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)EF綊E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊BD.同理，E1F1綊B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD綊B1D1，又EF綊BD，E1F1綊B1D1，所以EF綊E1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC，所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1.
因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
1．(2012·嘉兴高一检测)下列说法中正确的是 ( )
A．两两相交的三条直线确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
解析：两两相交的三条直线不一定共面，故A不正确，两条相交直线、平行直线确定一个平面，但两条异面直线不能确定一个平面，故B不正确，C中四边形若是空间四边形可确定4个平面，D是正确的．
答案：D
2．已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b ( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析：若a，b异面，c∥a，则c与b相交或异面，则C正确．
答案：C
3．两个不重合的平面可把空间分成 ( )
A．3部分 B．4部分
C．3或4部分 D．2或3部分
解析：当两个平面平行时把空间分成3部分；当两个平面相交时把空间分成4部分．
答案：C
4．有下列说法：
①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④平面外的一条直线和平面没有公共点．其中正确的个数是
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错；平面外的直线可能和平面相交，故④错．
答案：B
5．如图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有________对．
解析：将图形还原成正方体，如图观察有AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对异面直线．
答案：3
6．如图α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，直线AB∩l＝M，则平面ABC与平面β的交线为________．
解析：∵M∈AB，∴M∈平面ABC
又AB∩l＝M.l β，∴M∈β.
且C是平面ABC与平面β的公共点，
∴平面ABC∩β＝CM.
答案：CM
7．如右图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
(1)哪几条棱所在的直线与棱AB所在的直线平行？
(2)哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
(3)直线AB′与平面DCC′D′有什么关系？
(4)直线AB′与平面A′B′C′D′有什么关系？
(5)平面ABCD与平面ABC′D′有什么关系？
(6)平面ABCD与平面DCC′D′有什么关系？
解：(1)棱DC，A′B′，D′C′所在的直线与棱AB所在的直线平行；
(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线；
(3)直线AB′与平面DCC′D′是平行的；
(4)直线AB′与平面A′B′C′D′是相交的；
(5)平面ABCD与平面ABC′D′是相交的；
(6)平面ABCD与平面DCC′D′是相交的．
8．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β，求证：AB， CD，l共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰．
∴AB，CD必相交于一点．
设AB∩CD＝M，又ABα，CD?β.
∴M∈α，M∈β，∴M在α与β的交线上．
又∵α∩β＝l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点．
1．两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是 ( )
A．a∥α B．a与平面α相交
C．a与平面α不相交 D．aα
解析：∵a∥b，bα，
∴a与平面α的关系是a∥α或a?α，
∴a与平面α不相交．
答案：C
2．使平面α∥平面β的一个条件是 ( )
A．存在一条直线a， a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．α内存在两条相交直线a，b，分别平行于β内两条直线
解析：A、B、C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图中①，②，③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.
答案：D
3．(2012·泰安高一检测)如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内 D．平行或相交
解析：如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．
∵E、F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
又EF平面EFG，且AC平面EFG.
∴AC∥平面EFG.
答案：A
4．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，
且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中 点，则 ( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
解析：∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，
∴EF∥BD且EF＝BD.
又H、G分别为BC、CD的中点，
∴HG綊BD.
∴EF∥HG且EF≠HG.
∴四边形EFGH为梯形．
∵BD平面BCD且EF 平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
答案：B
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E的平面的位置关系是________．
解析：如图，连接AC交BD于O.
则O为BD的中点．又E为DD1的中点，
∴OE为△BDD1的中位线．
∴OE∥BD1，
又BD1平面ACE，OE平面ACE.
∴BD1∥平面ACE.
答案：平行
6．已知a、b、c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：
①a∥c，b∥c?a∥b；②γ∥α，β∥α?γ∥β；③a∥γ，α∥γ?a∥α.
其中正确命题的序号是________．
解析：由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a可能在α内．
答案：①②
7．(2012·佛山高一检测)在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，D分别是B′C′与BC的中点．求证：平面A′EB∥平面ADC′.
证明：连接DE，
∵E，D分别是B′C′与BC的中点，
∴DE綊AA′，
∴AA′ED是平行四边形，∴A′E∥AD.
∵A′E平面ADC′，AD平面ADC′.
∴A′E∥平面ADC′.
又BE∥DC′，BE平面ADC′，DC′平面ADC′，
∴BE∥平面ADC′，
∵A′E平面A′EB，BE平面A′EB，
A′E∩BE＝E，
∴平面A′EB∥平面ADC′.
8．正方形ABCD所在平面外一点为P，E、F、G分别为PD、AB、 DC的中点，如图．
求证：(1)AE∥平面PCF；
(2)平面PCF∥平面AEG.
证明：(1)取PC中点H，分别连接EH、FH，
∵E、F、H分别为PD、AB、PC的中点，
∴EH綊DC，
AF綊DC.
∴EH綊AF.
∴EAFH为平行四边形．
∴EA∥FH.AE平面PCF，FH平面PCF，
∴AE∥平面PCF.
(2)∵E、G分别为PD、CD的中点，
∴EG∥PC.EG平面PCF，PC平面PCF，
∴EG∥平面PCF.
由 (1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.
∴平面PCF∥平面AEG.
1．一条直线和两个平行平面中的一个相交，则这条直线与另一个平面的位置关系是( )
A．在平面内 B．相交
C．平行 D．无法确定
答案：B
2．平面α∥平面γ，平面β∥平面γ，则α，β的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
解析：∵α∥γ，β∥γ，
∴α∥β.
答案：B
3． (2012·潍坊高一期末)下列说法(其中a、b表示直线，α表示平面)中，正确的个数
是( )
①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a与b不相交．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①没有条件a α，故不正确；
②∵a∥α，b∥α.则a与b可能相交，平行或异面，故②不正确；
③若a∥b，b∥α，则a∥α或a?α，故③不正确；
④正确．
答案：B
4．(2012·泰安一模)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是 ( )
A．若α∥β，a?α，b?β，则a∥b
B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n β，则n∥β
解析：A选项不正确，a，b也可能异面；B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交；C选项不正确，n也有可能在平面β内；选项D正确．
答案：D
5．(2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点
E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段
EF的长度等于________．
解析：由线面平行性质可得．
EF∥AC，又∵E为AD的中点，
∴F为CD的中点．
∴EF＝AC＝×2 ＝.
答案：
6．如图，平面α∥平面β，△ABC与△A′B′C′分别在α、β内，线段
AA′、BB′、CC′都交于点O，点O在α、β之间，若S△ABC＝，
OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．
解析：根据题意有S△ABC＝.
∵AA′、BB′相交，
∴直线AA′、BB′确定一个平面ABA′B′，
∵平面α∥平面β，
∴AB∥A′B′，易得△ABO∽△A′B′O，①
△ABC∽△A′B′C′，②
由①得＝＝，由②得＝()2，
∴S△A′B′C′＝.
答案：
7．(2012·泉州高一检测)如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是
菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD.
证明：取OB中点E，连接ME，NE，
∵E、M分别是OB，OA的中点，
∴ME∥AB，又∵AB∥CD，
∴ME∥CD.又ME?平面MNE，CD 平面MNE，∴CD∥
平面MNE.
同理，由NE∥OC，得
OC∥平面MNE.
又CD∩OC＝C，
∴平面MNE∥平面OCD，
又MN?平面MNE，
∴MN∥平面OCD.
8．(2012·吉林实验中学高一检测)如图，直四棱柱ABCD－
A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2， DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．
求证：AC∥平面BPQ.
证明：连接CD1，AD1，
∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，且CD1 平面BPQ，
∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，
又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1.
∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC? 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.
1．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有 ( )
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
解析：如图，∵AD⊥BC，
AD⊥BD，
∴AD⊥平面BCD.
又AD? 平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BDC.
答案：C
2．(2012·珠海高一检测)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( )
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：A错，可能b? α；B错；C错，可能a? α.只有D正确．
答案：D
3．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有
( )
A．α⊥γ且l⊥m
B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m
D．α∥β且α⊥γ
解析：∵m? α，m⊥γ，
∴α⊥γ.
又∵l? γ，
∴m⊥l.
答案：A
4．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列结论中不成立的是 ( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：如图所示，
∵DF∥BC，BC? 平面PDF，
∴BC∥平面PDF.
∴A正确；
连接AE、PE，则BC⊥AE，BC⊥PE.
∵BC∥DF，∴DF⊥AE，DF⊥PE，DF⊥平面PAE，故B正确；又BC⊥平面PAE，
∴平面ABC⊥平面PAE.故D正确．
答案：C
5．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点， 则平面ADC与平面BDE的关系是________．
解析：∵AB＝BC，AD＝CD，
E是AC的中点，
∴BE⊥AC，DE⊥AC，
∴AC⊥平面BDE，
又AC? 平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BDE.
答案：垂直
6．三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥的四个面中互相垂直的有________对．
解析：由PA⊥平面ABC可得
平面PAC⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面ABC.
又由BC⊥平面PAB可得
平面ABC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB.
因此共有3对平面互相垂直．
答案：3
7．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱
AA1和棱CC1于E、F两点．
(1)求证：A1E＝CF；
(2)若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1 ⊥平面BB1D1.
证明：(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF、与平面ADD1A1交于ED1.
又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
∴D1E∥BF.同理BE∥D1F.
∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E＝BF.
∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，
∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.
(2)∵E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，
AA1＝CC1，AB＝BC，∠EAB＝∠FCB＝90°，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB.
∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．
连接EF、BD1、A1C1.
则EF⊥BD1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，
∴B1D1⊥平面A1ACC1.
又EF? 平面A1ACC1，
∴EF⊥B1D1.又B1D1∩BD1＝D1，
∴EF⊥平面BB1D1.
又EF? 平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1.
8．(2012·临沂高一检测)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD
是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点， 点F为SC的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.
证明：(1)连接AC、AF、BF.
∵SA⊥平面ABCD，
∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，
∴AF＝SC.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴CB⊥AB.
而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，
∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，
∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，
∴BF＝SC，∴AF＝BF，
∴△AFB为等腰三角形，
∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.
又CD∥AB，∴EF⊥CD.
(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，
∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，
∴EF⊥SC.
又∵SC∩CD＝C，EF⊥CD，
∴EF⊥平面SCD.
又EF平面SCE，
∴平面SCD⊥平面SCE.
1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
解析：因为平面α内的两条直线没有限制条件，故l与平面α的位置关系无法确定．
答案：D
2．如果一条直线垂直于①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边则保证该直线与平面垂直的是 ( )
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
解析：由直线与平面垂直的判定定理可知，①、③能保证该直线与平面垂直．②、④不能．因为梯形和正六边形中有平行的两条．
答案：A
3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )
A．若l⊥m，m ?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α， m? α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：对于A：若l⊥m，m? α，则l? α可能成立，l⊥α不一定成立，A错误，对于B：若l⊥α，l∥m，则m⊥α正确．对于C、D可判定错误．
答案：B
4．(2012·日照高一检测)如图甲所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图乙所示)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是 ( )
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
解析：∵在折叠过程中始终SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G.∴SG⊥面GEF.
答案：A
5．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边
所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有________；
(2)与AP垂直的直线有________．
解析：∵PC⊥平面ABC.
∴PC⊥AC，PC⊥AB，PC⊥BC.
又∵BC⊥CA，
∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥PA.
答案：(1)AC、AB、BC (2)BC
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上．
且AM＝AB1，BN＝BC1.则下列结论①AA1⊥MN；②B1D1⊥MN； ③MN⊥平面BB1D1D；④MN⊥平面BB1C1C中，正确的有________．
解析：过M、N分别作BB1的平行线交AB、BC于P、Q，连PQ、
MP、NQ可得MP綊NQ，于是MN∥PQ，所以只有①正确．
答案：①
7．如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，BE⊥CD于 E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.
证明：取AB的中点F，连接CF、DF，
∵AC＝BC，∴CF⊥AB.
又AD＝BD，∴DF⊥AB.
∵CF∩DF＝F，
∴AB⊥平面CDF.
又CD? 平面CDF，∴AB⊥CD.
又CD⊥BE，AB∩BE＝B，
∴CD⊥平面ABE，
又AH? 平面ABE，∴CD⊥AH，
又AH⊥BE，且BE∩CD＝E，
∴AH⊥平面BCD.
8.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥
CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD? 平面ABCD，故PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE? 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.
而PD? 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥面PAD.∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB? 平面ABE，AE? 平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
1．给定下列四个命题：
①两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于此平面；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是 ( )
A．①②③ B．②③④
C．③④ D．①②④
解析：①正确，②正确；③垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面，故③不正确；④由面面垂直的性质可知④正确；
答案：D
2．(2011·临沂高一检测)设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l ? β
B．若l∥α，α∥β，则l? β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
解析：A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.
答案：C
3．(2011·浙江高考)下列命题中错误的是 ( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：由面面垂直的性质可得，D不正确；因为只有α内垂直于交线的直线才垂直于β.
答案：D
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在 ( )
A．线段B1C上
B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上
D．B1C1中点与BC中点的连线上
解析：连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.
若AP ?平面AB1C，则AP⊥BD1.
这样只要P在B1C上移动即可．
答案：A
5.若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．
解析：过a作平面γ与平面α相交于a′.
∵a∥α，
∴a∥a′.
∵a⊥AB，
∴a′⊥AB.
又α⊥β且α∩β＝AB，a′?α，
∴a′⊥β，
∴a⊥β.
答案：a⊥β
6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题________．
解析：若a∥b，b∥c，则a∥c，则命题①正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以平行，也可以相交或异面，即命题②不正确；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b异面或相交，即命题③不正确；若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b，即命题④正确，综上可得正确的命题为①④.
答案：①④
7．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是∠DAB＝60°
且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面 PAD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD?平面PAD，PG?平面PAD，且AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG?平面PBG，
PG? 平面PBG，且BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
8．(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以
EF∥PD.
又因为EF 平面PCD，PD? 平面PCD.
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角 形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF ?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
1．(2011·临沂高一检测)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ( )
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
解析：设底面半径为r，高为h，则2πr＝h，且πr2＝S.
∴圆柱侧面积为2πrh＝4π2r2＝4πS.
答案：A
2．如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则此几何体的表面积是 ( )
A．4＋4 B．12
C．4 D．8
解析：由三视图可知此几何体为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面三角形的斜高为2，故其表面积为
S＝2×2＋4××2×2＝12.
答案：B
3．(2012·济宁高一检测)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 所示，则其侧面积等于 ( )
A．6 B．2
C. D．2
解析：由正视图可知底面边长为2，高为1，因为三棱柱底面为等边三角形，所以其侧面积S＝6×1＝6.
答案：A
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是18π，则母线长为
( )
A．2 B．3
C．4 D．2
解析：设圆台的上、下底面圆半径分别为r1、r2，母线长为l，则π(r1＋r2)l＝18π，
即(r1＋r2)l＝18.
又∵l＝(r1＋r2)，
∴2l2＝18，即l2＝9，
∴l＝3.
答案：B
5．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积是______．
解析：设正三棱锥的侧棱为l.
则l＝ a.
S表＝3×(a)2＋a×
＝a2＋ a2＝a2.
答案：a2
6．圆台的两底面半径分别为3,5，其侧面积为16，则母线长l＝________.
解析：由已知得16＝π(3＋5)·l.
∴l＝.
答案：
7．如图所示，底面半径为6，母线长为8的圆柱，AB是该圆柱的一条母线，一蜘蛛沿圆柱的侧面从A爬到B，试计算爬行的最短路程．
解：圆柱的侧面展开图是矩形ABCD，如图所示，则爬行的最短路程 AC.
因为AB＝8，BC＝2π×6＝12π，
所以AC＝＝ ＝，即爬行的最短路程为.
8．已知四棱锥S－ABCD的底面是菱形， AC＝80 cm，BD＝60 cm，AC∩BD＝O，SO⊥平面ABCD，SO＝32 cm，求它的侧面积．
解：如图，AC＝80 cm，BD＝60 cm.
则AO＝40 cm，OB＝30 cm，
由于AC⊥BD，
∴AB＝＝50(cm)，
过O向BC作垂线，垂足为M，连接SM，
由OM·BC＝OB·OC，
知OM＝＝＝24 (cm)．
∴SM＝＝＝40(cm)，
∴S侧＝4××BC×SM
＝4××50×40
＝4 000(cm2)．
1．(2012·临沂高一检测)半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 ( )
A.πr3 B.πr3
C.πr3 D.πr3
解析：设底面半径为r′，则2πr′＝πr，
∴r′＝.
∴圆锥的高h＝＝r.
∴V锥＝πr′2×h＝π×r＝πr3.
答案：C
2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )
A. B.
C．1 D．2
解析：空间几何体的直观图为平放的直三棱柱，且直三棱柱底面为直角三角形，两直角边边长分别为1和，侧棱长为，直接利用公式可知V＝××1×＝1.
答案：C
3．(2012·忻州检测)已知圆柱的侧面展开图是矩形，其面积为S，圆柱的底面周长为C，则圆柱的体积是 ( ) A. B.
C. D.
解析：由圆柱的底面周长为C，可得底面圆的半径为R＝，又由圆柱的侧面积为 S可得圆柱的高为h＝，所以圆柱的体积V＝π×()2×＝.
答案：D
4．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为 ( )
A．1∶1∶1 B．1∶1∶2
C．1∶2∶4 D．1∶4∶4
解析：设棱台的高为h，S△ABC＝S，
则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh.
∴体积比为1∶2∶4.
答案：C
5．已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15π cm2，则此圆锥的体积为________ cm3.
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π知r＝3，
∴h＝ ＝4.
∴其体积V＝Sh＝πr2h＝×π×32×4＝12π.
答案：12π
6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面
△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．
解析：设AC＝a，CC1＝b，则BD2＝DC＝a2＋b2，∴(a2＋b2)×2＝a2
＋b2，得b2＝2a2，又×(a2＋b2)＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝×8×4 ＝8 .
答案：8
7．(2012·上海宝山区模拟)如图，半径为10 cm.弧长为20π的扇形铁皮制作成一个圆锥形容器(衔接部分忽略不计)．该容器最多盛水多少？
解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R，l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h，r，则由题意得R＝10 ，l＝20π.
由2πr＝l，得r＝10，
由R2＝r2＋h2得h＝10，
由V＝πr2h＝π100·10＝π(cm)3
所以该容器最多盛水π cm3
8．(2012·淄博高一检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
解：(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD? 平面PAD，
EF 平面PAD.
∴EF∥平面PAD.
(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝.
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
∴VE－ABC＝S△ABC·EG＝××＝.
1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A．1倍 B．2倍
C.倍 D.倍
解析：由已知，可设最小的球的半径为r，则另两个球的半径为2r,3r，所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2.
∴＝＝(倍)．
答案：C
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为 ( )
A. π B.
C．8 π D.π
解析：设球的半径为R，截面的半径为r.
∴πr2＝π.
∴r＝1.
∴R＝.
∴V＝πR3＝ ()3
＝π.
答案：D
3． (2012·临沂高一检测)一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 ( )
A. B.
C. D.
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则
6a2＝4πR2，即a＝R.
∴V正＝a3＝R3，V球＝πR3，
∴＝.
答案：D
4．(2012·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( )
A．25π B．50π
C．125π D．都不对
解析：设球的半径为R.则
2R＝ ＝5 .
∴S表＝4πR2＝π(2R)2＝π (5)2＝50π.
答案：B
5．若一个球的体积为4 π，则它的表面积为________．
解析：设球的半径为R，则V球＝πR3＝4π，
∴R＝.
∴S球＝4πR2＝4π×3＝12π.
答案：12π
6．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与
圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的
半径是________cm.
解析：设球的半径为r cm，则底面圆的半径为r cm，
从而有8πr2＋3×πr3＝6r·πr2，由此解得r＝4.
答案：4
7．设正方体的全面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积．
解：设正方体的边长为a，则
6a2＝24.
∴a＝2.
∴内切球的半径r＝＝1，
∴V内切球＝πR3＝.
外接球的半径
R＝＝ .
V外接球＝πR3＝4 π .
8．如图，一个长、宽、高分别是80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水200 000 cm3.现放入一个直径为50 cm的木球，如果木球的2/3在水中，1/3在水上，那么水是否会从水槽中流出？
解：水槽的容积V＝80×60×55＝264 000(cm3)，
木球的体积V木＝π×253≈65 417(cm3)．
∵200 000＋65 417×≈243 611∴水不会从水槽中流出.
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．则该几何体的体积 ( )
A．48 B．64
C．96 D．192
解析：由已知可得该几何体是一个四棱锥，四棱锥的高为4，底面是矩形，
∴V＝·Sh＝×8×6×4＝64.
答案：B
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为 ( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：因为四个面是全等的正三角形．则S表面积＝4S底面积＝4×＝.
答案：A
3．(2012·郑州第二次质检)已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是( )
A. B.
C. D.
解析：设正方体的外接球半径为r，正方体棱长为a，则πr3＝π，
∴r＝1，∴ a＝2r＝2，得a＝.
答案：D
4．(2011·吉林期中)如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ( )
A．3 B．6
C．3 D.
解析：由直观图可得，该平面图形是直角边边长分别为4,3的直角三角形，其面积为S＝×4×3＝6.
答案：B
5．(2012·日照高一检测)设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是 ( )
A．若a∥α，b? α，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a? α，b? β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
解析：A错，a，b可能平行或异面；B错，a，b也可能相交或异面；C错，可能α与β相交．
答案：D
6．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( )
A．9π B．10π
C．11π D．12π
解析：由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为3的圆柱及其上面的一个半径为1的球组成的．
故其表面积为4π·12＋2×π·12＋2π·1×3＝12π.
答案：D
7．(2012·哈师大附中月考)如图是底面面积为，体积为的正三棱锥的主视图
(等腰三角形)和俯视图(等边三角形)，此正三棱锥的左视图的面积为 ( )
A. B．3
C. D.
解析：由题意知左视图是一个三角形，其底边长就是正三棱锥的底面正三角形的高，高就是正三棱锥的高．根据已知条件可得正三棱锥的底面边长是2，高为3，故侧视图的面积是××3＝.
答案：A
8．如图是一建筑物的三视图(单位：米)，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆a千克，则共需油漆的质量为 ( )
A．(48＋36π)a千克 B．(39＋24π)a千克
C．(36＋36π)a千克 D．(36＋30π)a千克
解析：此建筑物是直四棱柱与圆锥的组合体，其外壁的面积S＝π×32－3×3＋π×3×5＋3×4×4＝39＋24π(平方米)，因此共需油漆的质量为(39＋24π)a千克．
答案：B
9．(2012·温州检测)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( )
A．α∥β，m? α，n? β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α
C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β
解析：A中m，n还可能异面关系，
B中，l? α也有可能．
C中，n? α也有可能．
D正确．
答案：D
10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ( )
A. B.
C. D.
解析：由题意，知正三棱锥的顶点到底面的距离为1.
∵底面是正三角形且球半径为1，
∴底面边长为.
∴底面积为.
∴V＝××1＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．夹在两个平面间的两条线段，它们互相平行且相等，则两个平面的位置关系为________．
平行或相交
12．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为________．
解析：如图，由条件，易判断EH綊FG綊BD，
∴EH＝FG＝1，
同样有EF綊GH綊AC，EF＝GH＝1，
又BD⊥AC，∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是边长为1的正方形，其面积S＝12＝1.
答案：1
13．(2012·常熟模拟)若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为________．
解析：设圆锥的底面半径为r.
则2 πr＝2π，
∴r＝1，则圆锥的表面积：
S＝×2π×2＋πr2
＝2π＋π＝3π.
答案：3π
14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．
解析：令球的半径为R，六棱柱的底面边长为a ，高为h，显然有 ＝R，
且?
?R＝1?V球＝πR3＝π.
答案：π
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图所示，凸多面体ABCED中，AD⊥平面ABC，
CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝ ，CE＝2，F为BC的中点．
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.
证明：(1)取BE的中点G，连接GF，GD，
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴AD∥EC，且平面ABC⊥平面ACED.
∵GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，GF＝CE＝DA＝1.
∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD，又GD平面 BDE， AF 平面BDE，∴AF∥平面BDE.
(2)∵AC＝AB＝1，BC＝，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴AB⊥AC.
∴又F为BC的中点，∴AF⊥BC，又GF⊥AF，BC∩GF＝F，∴AF⊥平面BCE，
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE.
16．(本小题满分12分)(2012·中山模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面
ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，∠BAD＝60°， E、F分别为BC、PA的中点．
(1)求证：ED⊥平面PAD；
(2)求三棱锥P－DEF的体积．
解：(1)证明：连接BD，由已知得BD＝2，
在正三角形BCD中，BE＝EC，
∴DE⊥BC，又AD∥BC，
∴DE⊥AD.
又PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥DE，
AD∩PD＝D，
∴DE⊥平面PAD.
(2)∵S△PDF＝·S△PDA＝××22＝1，
且DE＝，
∴VP－DEF＝VE－PDF＝·S△PDF·DE＝×1×＝.
17．(本小题满分12分)(2012·山西四校联考)如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与它的左视图，E是DD1上一点，AE⊥B1C.
(1)求证：AE⊥平面B1CD；
(2)求三棱锥E－ACD的体积．
解：(1)证明：因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，所以CD⊥平面ADD1A1.
又AE? 平面ADD1A1，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥B1C，CD∩B1C＝C，所以AE⊥平面B1CD.
(2)连接A1D，因为AE⊥B1C，A1D∥B1C.
所以AE⊥A1D，
所以△ADE∽△A1AD，
所以＝，
所以DE＝＝1.
因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，所以DE是三棱锥E－ACD的高．
所以VE－ACD＝··AD·CD·DE＝××2×2×1＝.
18．(本题满分14分)如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA＝SC，SA⊥BD.
(1)求证：SO⊥平面ABCD；
(2)设∠BAD＝60°，AB＝SD＝2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A－PCD的体积．
解析：(1)证明：∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
又∵BD⊥SA，SA∩AC＝A，
∴BD⊥平面SAC.
又∵SO? 平面SAC.
∴BD⊥SO.
∵SA＝SC，AO＝OC，∴SO⊥AC.
又∵AC∩BD＝O，
∴SO⊥平面ABCD.
(2)连接OP，
∵SB∥平面APC，SB? 平面SBD，
平面SBD∩平面APC＝OP，∴SB∥OP.
又∵O是BD的中点，
∴P是SD的中点．
由题意知△ABD为正三角形．∴OD＝1.
由(1)知SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OD.
又∵SD＝2，∴在Rt△SOD中，SO＝ .
∴P到面ABCD的距离为，
∴VA－PCD＝VP－ACD＝×(×2×2sin 120°)×＝.
1．直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：设直线l1的斜率为k1、l2的斜率为k2.
则k1＝tan 30°＝.
∵l1⊥l2，
∴×k2＝－1.
∴k2＝－.
答案：B
2．已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是 ( )
A．－2 B．－
C．－2或1 D．1
解析：若l1∥l2，因l2的斜率存在．
故－＝－λ.
解得λ＝－2或λ＝1.
因为当λ＝1时两直线重合，故λ＝－2.
答案：A
3．(2012·青岛高一检测)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为k1＝.
∴kl＝－.又过点(－1,2)，故l的方程为
y－2＝－(x＋1)，化简得：3x＋2y－1＝0.
答案：A
4．（2012·珠海高一检测）已知A(－1,1)、B(3,1)、C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为 ( )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：kBC＝＝－1，∴高所在直线斜率为1，∴方程为y－1＝1×(x＋1)，即x－y＋2＝0.
答案：B
5．(2012·北京海淀区期末)若直线l经过点(1,2)且与直线2x＋y－1＝0平行，则直线l的方程为________．
解析：由已知得直线l的斜率为－2，则方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
答案：2x＋y－4＝0
6．(2012·南京第一次调研)点A(2，－1)关于直线x＋y－5＝0的对称点的坐标是________．
解析：设A关于直线x＋y－5＝0的对称点为A′(a，b)则直线x＋y－5＝0是线段AA′的垂直平分线，于是AA′的中点(，)在直线上，且kAA′＝1.
∴
解得
答案：(6,3)
7．求经过点A(2,1)且与直线2x＋ay－10＝0垂直的直线l的方程．
解：设直线l的方程为ax－2y＋m＝0.
∵直线l经过A(2,1)．
∴2a－2＋m＝0， m＝2－2a.
即直线l的方程为ax－2y＋2－2a＝0.
8．已知A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形ABCD是平行四边形．求D的坐标．
解：设D的坐标为(x， y)．
∵ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD，BC∥AD.
则即得
∴D的坐标为(5,6)．
1．(2012·湖南三校高一联考)两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是 ( )
A．－2C．a>2 D．a<－2或a>2
解析：由得
因为交点在第一象限，
∴∴a>2.
答案：C
2．直线：2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是 ( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定，与m，n取值有关
解析：∵直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，
直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，
∴两直线相交但不垂直．
答案：C
3．经过两直线l1：x－y－7＝0，l2：x＋y－3＝0的交点，且过点(0,1)的直线方程为( )
A．x－4y＋4＝0 B．x＋5y－5＝0
C．3x－5y＋5＝0 D．3x＋5y－5＝0
解析：设所求方程为(x－y－7)＋λ(x＋y－3)＝0
(λ∈R)，把(0,1)代入得－8＋λ(－2)＝0，λ＝－4.
所求方程为：3x＋5y－5＝0.
答案：D
4．已知点P(－1,0)，Q(1,0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[－，] D．[0,2]
解析：点P，Q所在直线的方程为y＝0，由得交点(，0)，由－1≤≤1，得－2≤b≤2.
答案：A
5．(2012·汕头高一检测)已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是________________．
解析：由条件可知2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，
∴(a1，b1)，(a2，b2)在直线2x＋3y＋1＝0上．
故过Q1，Q2的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
答案：2x＋3y＋1＝0
6．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于________．
解析：
由得
∴三条直线的交点为(－1，－2)，
∴－1－2k＝0，∴k＝－.
答案：－
7．已知直线l1：3x－y＋12＝0，l2：3x＋2y－6＝0，求l1，l2及x轴围成的三角形的面积．
解：由
得即l1与l2交于点P(－2,6)，
由
得l1交x轴于A(－4,0)．
同理l2交x轴于B(2,0)，|AB|＝6.
S△ABP＝×6×6＝18.
即l1，l2及x轴围成的三角形面积为18.
8．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
解：(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为
x－2y－5＝0.
则直线AC的斜率kAC＝－2，又知顶点A(5,1)，
得直线AC的方程为2x＋y－11＝0，又直线CM的方程为2x－y－5＝0，
解方程组得点C的坐标为(4,3)．
(2)法一：设B(x0，y0)，则M(，)．
于是有x0＋5－－5＝0，
即2x0－y0－1＝0.
与x0－2y0－5＝0联立，
解得点B的坐标为(－1，－3)．
由(1)知点C坐标 (4,3)．
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
法二：设直线BC的方程为y－3＝k(x－4)，即
kx－y＋3－4k＝0.
解方程组得
x＝，y＝.
因为点M是线段AB的中点，
所以点M的坐标是(，)．
把点M的坐标代入直线CM的方程，
得－－5＝0.
解得k＝.
所以直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
法三：设M(x，y)，则B(2x－5,2y－1)．
因为点B在直线BH上，所以有
2x－5－2(2y－1)－5＝0，即x－2y－4＝0.
解方程组得
点M的坐标为(2，－1)，点B的坐标为(－1，－3)．
又点C(4,3)，所以直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
1．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线是 ( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2 (x＋1)
解析：由已知得所求直线的斜率
k＝2×＝ .
则所求直线方程为y－1＝ (x＋1)．
答案：C
2．直线y＝ax－的图像可能是 ( )
解析：当a>0时，－<0，直线过一、三、四象限．
当a<0时，－>0，直线过一、二、四象限，可得B正确．
答案：B
3．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点 ( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(3,1) D．(2,1)
解析：将直线方程化为y－1＝k(x－3)可得过定点(3,1)．
答案：C
4．(2012·佛山一检)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则
a的值是 ( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：当a＝0时，不满足条件，
当a≠0时，令x＝0，y＝a＋2，
令y＝0，x＝.
由已知得a＋2＝.
∴(a＋2)(1－)＝0.
∴a＝－2或a＝1.
答案：D
5．过点P(2,1)，以－ 为斜率的直线方程为________．
解析：由已知得，y－1＝－(x－2)，
即y＝－x＋2＋1.
答案：x＋y－2－1＝0
6．直线l的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．
解析：由已知得直线方程y＋1＝ tan 45°(x－4)，
即y＝x－5.
当x＝0，y＝－5，当y＝0，x＝5.
∴被坐标轴所截得的线段长
|AB|＝＝5.
答案：5
7．写出下列直线的方程．
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－2；
(2)倾斜角是30°，过点(2,1)；
(3)在x轴截距为4，在y轴截距为－2.
解：(1)y＝3x－2.即3x－y－2＝0.
(2)斜率为tan 30 °＝，
∴直线方程的点斜式为y－1＝(x－2)，
可化为x－y－2＋＝0.
(3)在x轴截距为4，在y轴截距为－2，
∴过点(4,0)，又过点(0，－2)，
∴k＝＝，
∴直线方程为y＝x－2.即x－2y－4＝0.
8．如图，直线l：y－2＝(x－1)过定点P(1,2)，求过点P且与直线l
所夹的锐角为30°的直线l′的方程．
解：设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程：y－2＝(x－1) 知直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′＝90°时满足l与l′所夹的锐角为30°， 此时直线l′的方程为x＝1；
当α′＝30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝(x－1)，即x－y＋2 －1＝0.
综上，所求l′的方程为x＝1或x－y＋2 －1＝0.
1．(2012·东莞高一期末)直线4x－3y＋12＝0在y轴上的截距是 ( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
解析：令x＝0，得y＝4.
故直线在y轴上的截距为4.
答案：A
2．过点A(2,3)和点B(2，－3)的直线方程是 ( )
A．x＋2＝0 B．x－2＝0
C．y＋2＝0 D．y－2＝0
解析：∵A、B两点横坐标相同，
∴直线方程为x＝2，即x－2＝0.
答案：B
3．(2012·济南高一检测)直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是 ( )
A．a＝－7，b＝－7 B．a＝－7，b＝－
C．a＝－，b＝7 D．a＝－，b＝－7
解析：令x＝0，得y＝－7，∴b＝－7；
令y＝0，得x＝－，∴a＝－.
答案：D
4．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是 ( )
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：用－y代替y，得3x＋4y＋5＝0.
答案：B
5．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则m的值为________．
解析：由条件知k＝1，
∴2m2－5m＋2＝m2－4，
解得m＝2或3，
当m＝2时，2m2－5m＋2＝m2－4＝0，应舍去，故m＝3.
答案：3
6．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k的值为________．
解析：令x＝0，y＝，令y＝0，x＝－.
故－＝2.得k＝－24.
答案：－24
7．已知A(－1,2)，B(4,3)，线段AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)直线l交x轴于M，交y轴于N，MN的中点为C，求l的方程．
解：(1)设C的坐标为(a，b)，
则得
∴C的坐标为(1，－3)．
(2)设M，N的坐标分别为(m,0)，(0，n)．
则得
∴l的方程为＋＝1，即3x－y－6＝0.
8．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
求：(1)边AC所在直线方程；
(2)AC边上的中线BD所在直线方程．
解：(1)∵A(0,4)，C(－8,0)，∴由直线方程的截距式，得＋＝1，即为x－2y＋8＝0.
∴边AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
(2)设中点D(x0，y0)，由中点坐标公式，
得x0＝＝－4，y0＝＝2.
由直线方程的两点式得BD所在直线的方程为
＝，即为2x－y＋10＝0.
∴AC边上的中线BD所在直线的方程为
2x－y＋10＝0.
1．对于下列命题：
①若θ是直线l的倾斜角，则0°≤θ<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①②③正确．④不正确，当k＝90°时，斜率不存在．
答案：C
2．(2012·陕西扶风一模块测试)若直线经过A(－2 ，－9)、B(6 ，15)两点，则直线AB的倾斜角是 ( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
解析：设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝＝，而∵tan 60°＝，∴α＝60°.
答案：B
3．(2011·福建泉州高一期末)过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则a等于( )
A．－8 B．10
C．2 D．4
解析：由＝－，得a＝10.
答案：B
4．(2012·西安高一检测)将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为 ( )
A. B.
C．－ D．－
解析：设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.
答案：C
5．(2012·苏州模拟)若ab<0，则过点P(0，－)与Q(，0)的直线PQ的倾斜角α的取值范围是________．
解析：∵kPQ＝＝，∵ab<0∴kPQ<0.
∴α为钝角，即90°<α<180°.
答案：90°<α<180°
6．已知直线l的倾斜角为60°，将直线l绕它与x轴的交点顺时针旋转80°到l′，则l′的倾斜角为________．
解析：如图，顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l′的 倾斜角为60°＋100°＝160°.
答案：160°
7．已知过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)两点的直线l的倾斜角是45°，求m的值．
解：∵直线l的倾斜角是45°，
∴k＝tan 45°＝1.
∴＝1.即
解得m＝－2.
8．α为何值时，过点A(2a,3)，B(2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？
解：当过点A，B的直线的倾斜角是锐角时，kAB>0，根据斜率公式得
kAB＝＝>0，∴a>1；
同理，当倾斜角为钝角时，kAB<0，
即<0，∴a<1.
当倾斜角为直角时，A、B两点的横坐标相等．
即2a＝2，∴a＝1.
1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：由两点间距离公式得
|AB|＝ ＝ ，
|AC|＝ ＝，
|BC|＝ ＝ .
∵|AB|＝|AC|≠|BC|，
∴△ABC为等腰三角形．
答案：B
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为 ( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：由点到直线的距离公式
d＝＝.
答案：D
3．(2011·山东淄博高一期末)已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于 ( )
A．－3 B．5
C．－3或5 D．－1或－3
解析：|AB|＝ ＝5.解得b＝－3或b＝5.
答案：C
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值是 ( )
A．2 B．2
C. D．4
解析：(x－1)2＋(y－1)2最小值即为(1,1)到直线x＋y－4＝0的距离的平方，
∴(x－1)2＋(y－1)2的最小值为
()2＝()2＝2.
答案：A
5．点P与x轴及点A(－4,2)的距离都是10，则P的坐标为________．
解析：设P(x，y)．
则
当y＝10时，x＝2或－10，当y＝－10时无解．
则P(2,10)或P(－10,10)．
答案：(2,10)或(－10,10)
6．(2011·重庆第一次诊断)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
解析：∵l1∥l2，且l2：6x＋8y＋1＝0可化为3x＋4y＋＝0.
∴由两平行线间的距离公式得
d＝＝＝.
答案：
7．已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF交于点G，求证：AG＝AD.
证明：建立如下图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，E(1,0)，F(0,1)，D(2,2)．
直线DE的方程为y＝2x－2，
直线CF的方程为y＝－x＋1，
由得即点G(，)．
从而|AG|＝ ＝2＝|AD|，
故AG＝AD.
8．在x轴上求一点P，使以点A(1,2)，B(3,4)和P为顶点的三角形面积为10.
解：|AB|＝＝2 .
直线AB所在的直线方程
＝，
即x－y＋1＝0.
则设P(x,0)点到直线AB的距离：
d＝.
∴×2 ×＝10.
解得x＝9或x＝－11
∴P(9,0)或P(－11,0)
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)
1．在空间直角坐标系O－xyz中，点M的坐标是(1,3,5)，则其关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)
C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)
解析：M(1,3,5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其它是其相反数，即为(1，－3，－5)．
答案：C
2．(2012·惠州统考)过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是 ( )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
解析：由kAB＝＝tan 45°＝1，
解得m＝1.
答案：C
3．（2012·临沂期末）以A(1,3)和B(－5,1)为端点，线段AB的中垂线方程是 ( )
A．3x－y＋8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．2x－y－6＝0 D．3x＋y＋8＝0
解析：AB的中点(－2,2)，kAB＝＝，中垂线的斜率k＝－3.
AB的中垂线方程得y－2＝－3(x＋2) 即：3x＋y＋4＝0.
答案：B
4．（2012·贵港模拟）过点(－1,0)的直线l与圆x2＋y2－2y＋2＝0相切，则直线l的倾斜角的大小为 ( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．30°或90°
解析：圆方程可化为x2＋(y－)2＝1，易知(－1,0)在圆外，当直线l的斜率k存在时可设为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
则＝1，解得k＝，这时倾角为30°.当直线l的斜率k不存在时，直线x＝－1满足题意，此时倾斜角为90°.
答案：D
5．点P在圆C1：x2＋(y＋3)2＝4上，点Q在圆C2：(x＋3)2＋(y－1)2＝9上，则|PQ|的最大值为 ( )
A．5 B．10
C．7 D．8
解析：可得C1(0，－3)，r1＝2，C2(－3,1)，r2＝3.
|C1C2|＝ ＝5.
∴|PQ|的最大值为5＋r1＋r2即10.
答案：B
6．(2012·南宁模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A. B．2
C. D．2
解析：由题意得直线方程y＝x，即x－y＝0.
圆方程x2＋(y－2)2＝4.
圆心到直线的距离是d＝＝1.
∴弦长|AB|＝2＝2.
答案：D
7．（2012·惠州统考）圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是
( )
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2
C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2
解析：∵(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.
答案：D
8．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是 ( )
A．2 B．1＋
C．2＋ D．1＋2
解析：圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
∵圆心到直线x－y－2＝0的距离为
d＝＝>1.
∴圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为1＋.
答案：B
9．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－10y＋28＝0关于直线l对称，则l的方程为 ( )
A．2x－3y＋6＝0 B．2x－3y－6＝0
C．3x＋2y－4＝0 D．3x＋2y＋4＝0
解析：圆C1化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
圆C2化为(x＋2)2＋(y－5)2＝1，
则C1(2，－1)，C2(－2,5)的中点为(0,2)，kC1C2＝－.
由题意知l是C1C2的中垂线，方程为y－2＝x即2x－3y＋6＝0.
答案：A
10．(2012·梅州高一检测)一束光线从点A(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是 ( )
A．3－1 B．2
C．4 D．5
解析：A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，
则|A′C|＝＝5.
∴所求最短路程为5－1＝4.
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．(2012·南师大附中检测)如图，长方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝5，B′D′与A′C′交于P，则点P的坐标为________．
解析：由已知可得B′的坐标为(3,4,5)，D′的坐标为(0,0,5)，∴P的坐标为(，2,5)．
答案：(，2,5)
12．两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.
解析：由＝6，得a＝±2.
由＝4，得a＝0.
答案：0，±2
13．如果直线ax＋3y＋2＝0与直线3ax－y－2＝0垂直，那么a＝________.
解析：若两直线垂直，则3a2－3＝0，∴a＝±1.
答案：±1
14．若圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的过点P(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝________.
解析：圆方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，∴圆心C为(2，－3)，∴过点P的最大弦长为直径10.当弦垂直于CP时弦长最短，|CP|＝ ＝3.∴最短弦长为2＝2，
即m＝10，n＝2，∴m－n＝10－2.
答案： 10－2
三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤)
15．(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(－4,7)、C(6，－5)、BC边所在直线过点P
(8，－1)，求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
解(1)kBC＝2，∵AD∥BC，
∴kAD＝2.
∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，
即2x－y＋15＝0.
(2)kAC＝－，
∵菱形对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴kBD＝，
而AC中点(1,1)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y－1＝(x－1)，
即5x－6y＋1＝0.
16(本小题满分12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
解：因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又因为点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)．
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|＝ ＝2，
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
17．（2012·吉林市高三摸底）已知关于x，y的方程C：
x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)在(1)的条件下，若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且|MN| ＝，求m的值．
解：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然只要5－m>0，即m<5时方程C表示圆．
(2)因为圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，其中m<5，所以圆心C(1,2)，半径r＝ ，
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝，
因为|MN|＝，所以 |MN|＝，
所以5－m＝()2＋()2，解得m＝4.
18．(本小题满分14分)(2011·广州模拟)已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求圆C的圆心坐标和圆C的半径；
(2)求证：直线l过定点；
(3)判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．
解：(1)圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0，
可变为：(x－1)2＋(y－2)2＝52.
由此可知圆C的圆心O′坐标为(1,2)，半径为5.
(2)证明：由直线l：
(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
可得(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.
对于任意实数m，要使上式成立，
必须
解得：
所以直线l过定点A(3,1)．
(3)当圆心(1,2)在直线l上，圆C截得的弦为直径，此时弦最长；
当圆心O′(1,2)与定点A(3,1)的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦为最短．
由条件得：(－)(－)＝－1.
解得m＝－.
则直线l的方程为2x－y－5＝0.
弦心距d＝＝.
则弦长为
2＝4.
∴当m＝－时，截得弦长最短，最短为4.
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是 ( )
A. π B．2π
C．2 π D．2 π
解析：由圆的标准方程知r＝.
∴周长C＝2πr＝2π.
答案：B
2．(2011·山西大同期中)经过A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三点的圆的标准方程 是( )
A．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5
解析：由已知条件可得，线段AC的垂直平分线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－3(x－)，这两条直线的交点坐标为M(1,0)，又由|MA|＝，可得过三点A，B，C的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5.
答案：D
3．(2012·临沂高一检测)过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是 ( )
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10
解析：∵圆心在x轴上，
∴可设方程为(x－a)2＋y2＝r2.
由条件知解得
故方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：D
4．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最大值为( )
A.＋2 B.
C．5 D．6
解析：∵圆心(0，－4)到原点O的距离为d＝4.
∴|OP| 的最大值为d＋r＝6.
答案：D
5．(2012·珠海高一检测)圆心在第二象限，半径为1，并且与x、y轴都相切的圆的方程为________．
解析：由条件知，|a|＝|b|＝r＝1.
∵圆心在第二象限，∴a＝－1，b＝1，
∴所求的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－1)2＝1
6．已知△ABC的顶点A (－1,0)，B(1,0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．
解析：∵|AB|＝2为定长．
∴当△ABC的高即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为 (2,2)，半径为1.所以此时C的坐标为(2,1)，S△ABC的最小值为1.
答案：1
7．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解：(1)PQ中点M(，)，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件可设圆的方程为：
(x－a)2＋(y－a)2＝1，
由圆过P点得：(1－a)2＋a2＝1.
解得a＝0或a＝1.
所以圆C的方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
8．已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆C的方程，设P(x，y)为圆C上任意一点，求 的最大值和最小值．
解：根据已知条件，圆心C(a，b)是P1P2的中点，
则a＝＝5, b＝＝6.
再根据两点间的距离公式，得圆的半径是
r＝|CP1|＝ ＝ ，
即所求圆的方程是(x－5)2＋(y－6)2＝10.
∵表示P(x，y)到A(1,1)的距离|PA|，又|CA|＝ ＝ ，
∴|PA|的最大值为＋，最小值为－.
1．(2011·四川高考)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：对方程x2＋y2－4x＋6y＝0配方，得
(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
故圆心为(2，－3)．
答案：D
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是 ( )
A．k>1 B．k<1
C．k≥1 D．k≤1
解析：由D2＋E2－4F＝16＋4－20k>0，得k<1，故k<1时所给方程表示圆．
答案：B
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：令a＝0，a＝1，得方程组解得
所以C (－1,2)．则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案：C
4．已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )
A．(1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，得
(x＋)2＋(y＋1)2＋k2－1＝0，
即(x＋)2＋(y＋1)2＝1－k2.
若表示圆，则r2＝1－k2>0，
∴r＝ .
∴当k2＝0，r最大为1，此时圆的面积最大．此时圆心为(0，－1)．
答案：D
5．已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则m的取值范围是________．
解析：由题知
解得m<－13.
答案：(－∞，－13)
6．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心到直线x＋y－14＝0的距离是________．
解析：由题意可化圆为(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心为(2,2)，则圆心到直线x＋y－14＝0的距离d＝＝5.
答案：5
7．(2012·洞口高一期末)已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程．
解：法一：设圆心C的坐标为(0，b)，由
|CA|＝|CB|得＝
解得b＝2.
∴C点坐标为(0,2)．
∴圆C的半径r＝|CA|＝.
∴圆C的方程为
x2＋(y－2)2＝5即
x2＋y2－4x－1＝0
法二：AB的中点为(，)．
中垂线的斜率k＝－1
∴AB的中垂线的方程为
y－＝－(x－)
令x＝0，得y＝2，
即圆心为(0,2)．
∴圆C的半径r＝|CA|＝
∴圆的方程：
x2＋(y－2)2＝5
即x2＋y2－4x－1＝0
8．求过三点A(1,4)、B(－2,3)、C(4，－5)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得：
解之得：D＝－2，E＝2，F＝－23.
∴所求圆的方程为：x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
化为标准方程为：(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴其圆心坐标为(1，－1)，半径长为5.
1．圆O1：x2＋y2＋2x＋4y＋3＝0与圆O2：x2＋y2－4x－2y－3＝0的位置关系是 ( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．相离
解析：圆O1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2，圆O2：(x－2)2＋(y－1)2＝8，∴|O1O2|＝＝3＝r1＋r2.
答案：B
2．圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在的直线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝
C．y＝x D．x＝
解析：(x－1)2＋y2－1－(x2＋y2－1)＝0得x＝.
答案：B
3．(2012·临沂高一检测)已知圆C1：(x＋1)2＋ (y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为 ( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋ (y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：圆C1的圆心是C1(－1,1)，C1关于直线x－y－1＝0的对称点坐标是(2，－2)，所以圆C2的方程应为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
答案：B
4．圆x2＋y2＝m2(m>0)与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m的值为 ( )
A．1 B．1或11
C．11 D．6
解析：圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0可化为
(x＋3)2＋(y－4)2＝36，∵两圆内切，
∴圆心距d＝＝5＝|6－m|，
解得m＝1或m＝11.
答案：B
5．若圆x2＋y2＝4与x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内含，则a的取值范围是________．
解析：由x2＋y2－2ax＋a2－1＝0，得
(x－a)2＋y2＝1.
若两圆内含，则|a|<2－1，
∴－1答案：(－1,1)
6．(2012·连云港高一检测)已知两圆相交于两点A(1,3)和B(m,1)，且两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值是________．
解析：由条件知，两点A(1,3)和B(m,1)的垂直平分线方程就是直线x－y＋＝0.
∴AB的中点(，2)在直线x－y＋＝0上，
即－2＋＝0.
得m＋c＝3.
答案：3
7．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
解：将圆C化为标准方程，得
(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
则圆心为C(－5，－5)，
半径为5，
所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意知，点O(0,0)、A(0,6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，
则有 ?
于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
8．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的方程．
解：设圆C1与圆C2交于A，B 两点，由两圆的方程相减，得x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦AB所在的直线方程．
由已知，圆C的圆心C在两圆圆心连线的垂直平分线上，又两圆的半径相等，所以C在直线AB上，设C(a，b)，则a＋3b－10＝0，①
又由|CO|＝，得a2＋b2＝10，②
①②联立，解得a＝1，b＝3.
所以，圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
1．(2012·新余高一期末)直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0,1)，半径为.
由圆心(0,1)，到直线2x－y＋3＝0的距离：
d＝＝ < .
∴直线和圆相交．
答案：A
2．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是 ( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为，故有＝，∴|x0|＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D.
答案：D
3．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：由x2＋y2＋2x－4y＝0得
(x＋1)2＋ (y－2)2＝5.
∴圆心为(－1,2)．
∴3× (－1)＋2＋a＝0，
∴a＝1.
答案：B
4．(2012·陕西汉中高一期末)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为 ( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析：圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离为
d＝.
由已知得()2＋()2＝4，
解得a＝4或0.
答案：D
5．(2012·抚顺检测)与直线3x－4y＋5＝0平行且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程是________．
解析：设与直线3x－4y＋5＝0平行的直线方程为3x－4y＋a＝0，由圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到3x－4y＋a＝0的距离等于圆的半径可得d＝＝2，解之得a＝±10，由此可得圆的切线方程为3x－4y±10＝0.
答案：3x－4y±10＝0
6．(2012·济宁模拟)经过点A(3,1)，且被圆x2＋y2＝16所截得的弦长最短的直线方程为________．
解析：设圆心O，当弦与OA垂直时弦最短．
此时弦所在直线的斜率为－3，方程为y－1＝－3(x－3)
即3x＋y－10＝0.
答案：3x＋y－10＝0
7．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不经过坐标原点的直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)设点P在圆C上，求点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值．
解：(1)圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，即圆心的坐标为(－1,2)，半径为；
因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l的方程为x＋y＋m＝0，于是有＝，得m＝1或m＝－3，
因此直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)因为圆心(－1,2)到直线x－y－5＝0的距离为＝4，圆半径为，所以点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值依次分别为5和3.
8．已知圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1,2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．
解：法一：如图，由已知α＝135°，
∴kAB＝tan 135°＝－1.
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，
∴|OC|＝＝.
∵r＝2，∴|BC|＝ ＝，
∴|AB|＝2|BC|＝.
法二：当α＝135°时，
kAB＝tan 135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0.
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x2－x1|
＝
＝ ＝.
(2)如图，当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，kOP0＝－2，
∴kAB＝.
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
1．(2012·福建泉州高一期末)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 ( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
解析：∵点(2,0,3)中y轴上坐标为0，
∴点在平面xOz上．
答案：C
2．(2012·南阳高一检测)已知空间直角坐标系中一点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴对称点的坐标为 ( )
A．(－3,4，－1)
B．(－3，－1,4)
C．(3,1,4)
D．(3，－1，－4)
解析：关于谁对称，谁的坐标不变，其它是相反数，
∴A(－3,1，－4)关于x轴对称的点为(－3，－1,4)．
答案：B
3．如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为 ( )
A．(2,2,1) B．(2,2，)
C．(2,2，) D．(2,2，)
解析：∵|EB|＝2|EB1|，
∴|EB|＝|BB1|＝.
又E在B1B上，
∴E的坐标为(2,2，)．
答案：D
4．(2012·天津耀华中学模拟)已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)两点，当|AB|取最小值时，x的值为 ( )
A．19 B．－
C. D.
解析：|AB|＝
＝ .
∴当x＝时，|AB|取得最小值．
答案：C
5．已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB中点关于原点对称的点的坐标是________．
解析：线段AB的中点为M(－2，－4，－1)，则M关于原点对称的点的坐标为M′(2,4,1)．
答案：(2,4,1)
6．已知A(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在y轴上且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．
解析：设P(0，y,0)，∵|PA|＝|PB|，
∴＝ ，
∴y＝6.
∴P点坐标为(0,6,0)．
答案：(0,6,0)
7．V－ABCD为正四棱锥O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．
解：以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是0，
∴点V的坐标是(0,0,3)．
而A、B、C、D都在xOy平面上，
∴它们的z坐标都是0，又|AB|＝2，
∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．
8．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 ，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值.
解：设正方体的棱长为a.
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是(，， )．
∵点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．
∴|PQ|＝
＝.
当z＝时，|PQ|的最小值为a.
即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值a.
(2)当Q为CD的中点时Q(0，a，)，设P的坐标为 (x，y，z)，则由三角 形相似可得＝，
则z＝a－x.
∴|PQ|2＝x2＋(x－a)2＋(－x)2
＝3x2－3ax＋a2＝3(x－)2＋.
当x＝时，|PQ|最小为a，此时P (，，)为AB的中点．
课件53张PPT。考点一 空间几何的结构和三视图考点二 空间直线、平面的位置关系考点三 空间中的平行与垂直关系考点四 直线方程与直线的位置关系考点五 直线与圆、圆与圆的位置关系高考五大高频考点例析
第2部分
模块高考对接 [例1] (2011·湖南高考)设如图是某
几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )[答案] D1．(2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同
在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么
一个正五棱柱的对角线的条数共有 ( )
A．20 B．15
C．12 D．10解析：如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1
E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1、
AD1，同理从B、C、D、E点出发的对角线也
有两条，共2×5＝10条．
答案：D2．(2011·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则它
的体积为 ( )答案：A3．(2011·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四
棱锥的表面积是 ( )答案：B4．(2011·上海高考)若一个圆锥的主视图(如图所示)是
边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．解析：由主视图可知，圆锥的底面半径r＝1，母线l＝3.
S侧＝πrl＝π×1×3＝3π.
答案：3π [例2] (2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 [解析] 对于A选项：l1可与l3垂直，如墙角，∴A错误；对于B选项：结论(一直线垂直于两平行线中的一条，则这条直线垂直于另一条)，∴B正确；对于C选项：l1∥l2∥l3，但l1，l2，l3可不共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错误；对于D选项：l1，l2，l3交于一点，l1，l2，l3可确定三个平面，不一定共面，故D错误．
[答案] B5．(2011·浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l?α，则
( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交解析：由题意可得，l与α相交，则α内不存在与l平行的直线；(反证法)假设存在m?α，且m∥l，又
∵l α，∴l∥α.这与l不平行平面α相矛盾．
故假设错误．原命题正确，故选B.
答案：B答案：C [例3] (2011·山东高考)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：CC1∥平面A1BD. 证明：(1)法一： 因为D1D⊥平面ABCD，且BD?平 面ABCD，
所以D1D⊥BD.
在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠BAD.
又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD2＝3AD2.
所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.
又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.法二： 因为DD1⊥平面ABCD，且BD? 平面ABCD，
所以BD⊥D1D.
如图，取AB的中点G，连接DG.
在△ABD中，由AB＝2AD，得
AG＝AD.又∠BAD＝60°，
所以△ADG为等边三角形，
所以GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，
所以∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，
所以BD⊥AD.
又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.(2)如图，连接AC，A1C1.
设AC交BD于点E，连接EA1.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以EC＝ AC.
由棱台定义及AB＝2AD ＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，
所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.
又因为EA1?平面A1BD，CC1 平面A1BD，
所以CC1∥平面A1BD.7．(2011·天津高考改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面
ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O
为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点.
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面PAC；证明：(1)如图，连接BD，MO，在平行四边
形ABCD中，∵O为AC的中点，∴O为BD的中
点．又M为PD的中点，∴PB∥MO.∵P B 平面
ACM，MO?平面ACM，∴PB∥平面ACM.
(2)∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，
∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，
∴AD⊥平面PAC.8．(2011·陕西高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，
∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折
起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．解：(1)∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.
又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC.
∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC. [例4] (2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.[答案] 110．由P(2,3)发出的光线射到直线x＋y＝1上，反射后过点
Q(1,1)，则反射光线所在的直线方程为________．答案：3x＋y－13＝011．过点P(3,4)且与点A(－3,2)距离最远的直线方程
为________．12．已知A(1,1)，B(2,3)，直线l过点P(3,0)，且A、B到直线
l的距离相等，则l的方程为________．答案：4x＋3y－12＝0或2x－y－6＝0 [例5] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．答案：C14．(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋
4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为_______．
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，则r＝1，
∵弦长为2，∴直线过圆心(1,2)．又过原点，∴y＝2x.
答案：2x－y＝016．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且
只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实
数c的取值范围是________．答案：(－13,13)模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．直线－＝1的倾斜角的大小为 ( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由－＝1，得该直线的斜率k＝故倾斜角为－30°.
答案：A
2．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(x，－1,6)的距离为，则x等于 ( )
A．2 B．－8
C．2或－8 D．8或2
解析：由空间两点间距离公式，得
＝.
解得x＝2或－8.
答案：C
3．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )
A．24－π B．24－
C．24－π D．24－
解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体挖去半个圆柱而得的几何体，其体积为V＝3×4×2－×π×12×3＝24－π.
答案：A
4．(2012·北京丰台)直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是 ( )
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
解析：(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1,0)，圆心到直线的距离：d＝＝0.
∴直线x－y＋1＝0过圆心．
答案：B
5．(2012·成都模拟)已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是 ( )
A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α
解析：如图，l可以垂直m，且l平行α.
答案：C
6．(2011·广东高考)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，
y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为 ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由消去y得x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，这时y＝1或y＝0，即A∩B＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．
答案：C
7．(2011·辽宁高考)已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为 ( )
A. B.
C. D.
解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小 圆交直径SC于D，如图所示，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以 ∠DBC＝∠DAC＝45°，所以在△BDC中，BD＝4－x，所以x＝4－x，解得x＝2，所以AD＝BD＝2，所以△ABD为正三角形．所以V＝S△ABD×4＝.
答案：C
8．(2012·衡水中学一模)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点 ( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：因为直线l1与l2关于点(2,1)对称，且直线l1过点(4,0)，所以直线l2必过点(4,0)关于点(2,1)的对称点(0,2)．
答案：B
9． 已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题：
①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β； ④l⊥m?α∥β.
其中正确命题的序号是 ( )
A．①②③ B．②③④
C．①③ D．②④
解析：①∵l⊥平面α，且α∥β，
∴l⊥β.
又m 平面β，
∴l⊥m.
∴①正确．
②若l⊥α，α⊥β，m? β，
则l和m有可能平行，异面，
故②不正确．这样排除A、B、D.
答案：C
10．(2012·日照模拟)若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是 ( )
A．(0，] B．[，]
C．[0，] D．[0,1]
解析：曲线y＝－可化为(x－2)2＋y2＝1它表示以(2,0) 为 圆心，1为半径的x轴下方的半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，要使 直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k≤1.
答案：D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．(2012·东海高一检测)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋11＝0平行，则实数m的值是________．
解析：由条件可知，＝≠，
解得m＝8.
答案：8
12．(2011·新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
解析：设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有×4πr＝πr，即r2＝r1，所以O1O2＝＝，
设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则＝＝.
答案：
13．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为________．
解析：将方程x2＋y2＋2x－4y＋a＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a.
由此知圆心为(－1,2)．
弦中点与圆心连线的斜率为＝－1，
由圆的性质知：弦AB所在直线即l的斜率为k＝1.
故l的方程为x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
14．若P为△ABC所在平面外一点，PB＝PC＝AB＝AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB＝________.
解析：如图，连接AN，PN.
因为PB＝PC＝AB＝AC，N为BC边中点，
所以PN⊥BC，AN⊥BC.
又PN交AN于N点，得到BC垂直于平面PAN.
显然，MN在平面PAN内，则BC⊥MN，即∠MNB＝90。.
答案：90。
三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程式演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD.
∴kCD＝kAB＝2.
∴直线CD的方程为y＝2(x－2)，即2x－y－4＝0.
(2)∵CE⊥AB，
∴kCE＝－＝－.
∴直线CE的方程为y＝－(x－2)，即x＋2y－2＝0.
16．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明：(1)∵E，F分别是A1B，A1C的中点，
∴EF∥BC.
又EF 平面ABC，BC? 平面ABC.
∴EF∥平面ABC.
(2)∵直三棱柱ABC－A1B1C1，
∴BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D.
又A1D⊥B1C1∴A1D⊥平面BB1C1C.
又A1D? 平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.
17．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点坐标为(2，－1)，过点P作圆 C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA、PB的方程；
(2)求过P点的圆的切线长；
(3)求直线AB的方程．
解：(1)设过P点的圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)．
即kx－y－2k－1＝0.
∵圆心(1,2)到直线的距离为.即＝，
∴k2－6k－7＝0.∴k＝7或k＝－1.
∴所求的切线方程为
y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)在Rt△PCA中，
∵|PC|＝＝，|CA|＝，
∴|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8，
∴过P点的圆C的切线长为2.
(3)法一：由得A(，)，
由得B(0,1)，
∴直线AB的方程是x－3y＋3＝0.
法二：以P为圆心，|AP|为半径的圆P的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8，AB为圆C与圆P的公共弦由x2＋y2－2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y－3＝0相减得2x－6y＋6＝0，即x－3y＋3＝0.
∴直线AB的方程为x－3y＋3＝0.
18．(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
(1)证明：AD⊥D1F；
(2)证明：AE⊥D1F；
(3)证明：平面AED⊥平面A1FD1；
(4)设AA1＝2，求三棱锥F－A1ED1的体积VF－A1ED1.
解：(1)证明：∵AC1是正方体，
∴AD⊥平面DCC1D1.
又D1F? 平面DCC1D1，
∴AD⊥D1F.
(2)取AB中点G，连接A1G，FG，A1G交AE于点H.
∵F是CD的中点，∴GF綊AD，
又A1D1綊AD，
∴GF綊A1D1，
故GFD1A1是平行四边形，
∴A1G∥D1F.
∵E是BB1的中点，∴Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∴∠GA1A＝∠GAH，∴∠AHA1＝90°，即AE⊥D1F.
(3)证明：由(1)知AD⊥D1F，由 (2)知AE⊥D1F，
又∵AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面AED.
又∵D1F? 平面A1FD1，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
(4)连接GE，GD1.
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴VF－A1ED1＝VG－A1ED1＝VD1－A1GE.
∵AA1＝2，
∴S△A1GE＝SABB1A1－2S△A1AG－S△GBE＝.
∴VF－A1ED1＝VD1－A1GE
＝×A1D1×S△A1GE＝×2×＝1.
