模块综合检测
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分)
1．(2011·扬州高一检测)直线x＋y－3＝0的倾斜角是________．
解析：由直线方程可知直线斜率为－，故其倾斜角为120°.
答案：120°
2．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0.若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为________．
解析：l2与y轴交于点(0，)，∴将该点代入l1的方程，得C＝－4.
答案：－4
3．点A(2a，a－1)在以点C(0,1)为圆心，半径为的圆上，则a＝________.
解析：由题意，已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，将点A的坐标代入圆的方程，得a＝1或a＝－.
答案：1或－
4．如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．
解析：因为AC<0，BC>0，所以A、B异号，故直线斜率为k＝－A/B>0，在y轴上的截距－C/B<0，因而直线不通过第二象限．
答案：二
5．已知一个圆锥的母线长是5 cm，高为4 cm，则该圆锥的侧面积是________．
解析：由于圆锥的母线长是5 cm，高为4 cm，所以其底面半径为3 cm，其侧面积S侧＝×2×3π×5＝15 π(cm2)．
答案：15π cm2
6．(2012·临汾高一检测)若A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标为________．
解析：设P(0,0，z)，则有
＝，
解得z＝3，即P点坐标为(0,0,3)．
答案：(0,0,3)
7．(2011·宁波高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________________．
解析：由题意可知，此平面图形上底为1，高为2，底为1＋的直角梯形，其面积为×(1＋1＋)×2＝2＋.
答案：2＋
8．(2012·淮安高一检测)若直线x＋ay－2a－2＝0与直线ax＋y－a－1＝0平行，则实数a＝________.
解析：两直线平行，故＝≠，得a＝1.
答案：1
9．(2012·瑞安高一检测)下列四个说法：
①a∥α，b?α，则a∥b；
②a∩α＝P，b?α，a与b不平行；
③a?α，则a∥α；
④a∥α，b∥α，则a∥b.
其中错误的说法的序号是________．
解析：对①，a∥b或a与b异面，故①错误；②正确；对③，a∥α还可能a与α相交，故③错误；对④，a与b可能平行，异面或相交，故④错误．
答案：①③④
10．(2011·徐州高一检测)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则AP的最小值是________．
解析：由题意知，AP的最小值为－5＝10－5＝5.
答案：5
11．(2012·淮安高一检测)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B－B1EF的体积为________．
解析：VB－B1EF＝VB1－BEF＝××1×1×2＝.
答案：
12．(2011·宁波高一检测)已知直线l⊥平面α，有以下几个判断：①若m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α.
上述判断中正确命题的序号是________．
解析：对①，若m⊥l，则m∥α或m?α，故①错误；②正确；③正确；④正确．
答案：②③④
13．(2011·瑞安高一检测)直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是________．
解析：直线kx－y＋2＝0过定点(0,2)，而点(0,2)在圆x2＋y2＝9内，故直线kx－y＋2＝0与圆相交．
答案：相交
14．直线l：y＝x＋b与曲线c：y＝仅有一个公共点，则b的取值范围________．
解析：曲线c如图，要使l：y＝x＋b与曲线仅有一个交点，需要－1≤b＜1或b＝.
答案：{b|b＝或－1≤b＜1}．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)(2012·盐城高一检测)已知直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y＝5.问m为何值时，有：
(1)l1∥l2?
(2)l1⊥l2?
解：(1)由(m＋2)(2m－1)＝6m＋18，得m＝4或m＝－；
当m＝4时，l1：6x＋7y－5＝0，l2：6x＋7y＝5，即l1与l2重合；
当m＝－时，l1：－x＋y－5＝0，l2：6x－6y＝5，即l1∥l2.
∴当m＝－时，l1∥l2.
(2)由6(m＋2)＋(m＋3)(2m－1)＝0，
得m＝－1或m＝－；
∴当m＝－1或m＝－时，
l1⊥l2.
16．(14分)已知x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
解：设P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵OP⊥OQ，
∴x1x2＋y1y2＝0.
又∵(x1，y1)，(x2，y2)满足
∴x1，x2为方程5x2＋10x＋4m－27＝0的两根，
∴x1＋x2＝－2，
x1x2＝，
y1y2＝(3－x1)×(3－x2)＝，
∴＋＝0，
∴m＝3.
17．(14分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高线方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线方程为2x＋y－3＝0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．
解：由题意知直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为2x－y＋1＝0，
直线AB与AC边中线的交点为B(，2)，
设AC边中点D(x1,3－2x1)，C(4－2y1，y1)，
∵D为AC的中点，由中点坐标公式得
∴y1＝1，∴C(2,1)，
∴BC边所在的直线方程为2x＋3y－7＝0，
AC边所在的直线方程为y＝1.
18．(16分)(2012·南通高一检测)在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，
(1)证明：SC⊥BC；
(2)求三棱锥的体积VS－ABC.
解：(1)证明：∵∠SAB＝∠SAC＝90°，
SA⊥AB，SA⊥AC，
又AB∩AC＝A，
∴SA⊥平面ABC.
所以SA⊥BC.
又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
∴BC⊥平面SAC.
∴SC⊥BC.
(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，
所以AB＝.
又在△SAB中，SA⊥AB，AB＝，SB＝，
所以SA＝2.
又SA⊥平面ABC，所以VS－ABC＝×(×2×)×2＝.
19．(16分)已知直线l：y＝x＋b及圆C：x2＋y2＝1，是否存在实数b，使自A(3,3)发出的光线被直线l反射后与圆相切于点(，)，若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由．
解：假设存在这样的实数b，
则A(3,3)关于l的对称点A′为(3－b,3＋b)，
∴反射线所在直线方程为
＝，
即(25b＋68)x＋(25b－51)y－31b－51＝0.
又反射光线与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1.
整理得：b2－8b＋16＝0，
∴b＝4.
∴存在实数b＝4满足条件．
20．(16分)(2011·扬州高一检测)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程．
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB＝90°，求直线l的方程．
解：(1)法一：PQ为y－3＝×(x＋1)即x＋y－2＝0
C在PQ的中垂线y－＝1×(x－)即y＝x－1上．
设C(n，n－1)，则r2＝|CQ|2＝(n＋1)2＋(n－4)2，
由题意，
有r2＝(2)2＋|n|2，
∴n2＋12＝2n2－6n＋17.
∴n＝1或5，
r2＝13或37(舍去)．
∴圆C为(x－1)2＋y2＝13.
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由已知得
解得或
当时，r＝<5；
当时，r＝>5(舍去)，
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
(2)设l为x＋y＋m＝0
由
得2x2＋(2m－2)x＋m2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－m，
x1x2＝，
∵∠AOB＝90°，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0.
∴m2＋m－12＝0.
∴m＝3或m＝－4
∴直线l的方程为x＋y＋3＝0或x＋y－4＝0
课件34张PPT。1.1
空间几何体1.1.1
棱柱、棱锥和棱台理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步入门答辩考点一考点二新知自解观察下列图片：问题1：图片(1)(2)(3)中的物体是怎样围成的？
提示：由若干个平面多边形围成．
问题2：图片(1)中物体的表面各是什么图形？
提示：有两个平行的平面多边形，其余各面是平行四边形．
问题3：图片(2)中物体的侧面各是什么图形？
提示：侧面是有一个公共顶点的三角形．
问题4：图片(3)中物体的表面各是什么图形？
提示：有两个面平行，其余各面是梯形． 1．棱柱
(1)棱柱的定义：一般地，由一个 沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．平面多边形(2)棱柱的相关概念：(3)棱柱的表示方法及特点：全等的多边形平行平行四边形 2．棱锥
(1)棱锥的概念：
当棱柱的底面收缩于一个点时，得到的几何体叫做棱锥．(2)棱锥的表示方法及特点：多边形一个公共顶点 3．棱台
(1)棱台的概念：
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． (2)棱台的表示方法及特点：互相平行交于一点1．对于棱柱定义的理解应注意以下两个方面
(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．
(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱． 2．对于棱锥要注意，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是有一个公共顶点的三角形．
3．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台． 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点． [思路点拨] 通过审题联想棱柱、棱锥、棱台的定义、特点，即可作出正确判断．
[精解详析] (1)是一个上、下底面为平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱(也称平行六面体)．
(2)是一个六棱锥，其中六边形是底面，其余的三角形面是侧面．
(3)是一个三棱台，其中相似的两个三角形面为底面，其余三个梯形面是侧面． [一点通] 判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣柱、锥、台的结构特征，判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．1．五棱锥是由________个面围成．
解析：观察各棱锥可以归纳出，几棱锥就有几个侧面，
几条侧棱，因此五棱锥有5个侧面，5条侧棱．
答案：62．下列叙述是棱台性质的是________．
①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都平行；④
侧棱延长后交于一点．
答案：①②④3．下列命题正确的序号是________．
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱
柱．
②有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两
个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱．
③用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱
台．解析：对①，应强调其余各面都是有公共边的平行四边形，故①错误；对③，应强调平面应与棱锥的底面平行，故③错误．
答案：② (2012·临沂高一检测)如图所
示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用
平面BCFE把这个长方体分成两部分后，
各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱． [思路点拨] 正确理解棱柱的定义是判断几何体是否为棱柱的关键．
[精解详析] 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′－CFC′，
其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，
截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′－DCFD′.
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD为侧棱． [一点通] 正确认识多面体的特征：一要熟记多面体的定义，二要掌握多面体的结构特征，注意多面体的不同放置形式．4．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、
G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是
________． 解析：如图所示，所截去的几何体
是三棱锥．答案：三棱锥 5．下列几何体中，柱体有________个．解析：由棱柱的特性可判断4个几何体均为棱柱．
答案：46．根据下图所给的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：将各平面图折起来的空间图形如图所示． 1．根据几何体的结构特点判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的性质特征，其次要有一定的空间想象能力．
2．多面体的表面展开图体现了空间图形与平面图形的化归思想．点此进入
1．棱柱的侧面是________．
解析：由棱柱的定义及特征知，棱柱的侧面是平行四边形．
答案：平行四边形
2．下列说法正确的是________．
①三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点 ②四面体有四个面、六条棱和四个顶点 ③用一个平面去截棱锥，底面与截面间的部分叫棱台 ④棱柱的各条侧棱可以不相等
解析：三棱柱有六个顶点，所以①错；截面与底面不一定平行，所以③错；棱柱的各条侧棱长相等，所以④错；四面体即三棱锥，有四个面，六条棱和四个顶点，所以②对．
答案：②
3．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数是________．
解析：三棱锥A－BCD的每个面都可以作为三棱锥的底面，有4个．
答案：4
4．(2012·北京高一检测)如下图所示，哪些不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图，其序号是________．
解析：(3)(4)中的四个三角形有公共顶点，无法折成三棱锥，当然不是正四面体的展开图．
答案：(3)(4)
5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．
①矩形 ②不是矩形的平行四边形 ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体 ④每个面都是等边三角形的四面体 ⑤每个面都是直角三角形的四面体
解析：当4个顶点为A、B、C、D时，对应的几何体是矩形；
当4个顶点为B1、A1、B、C1时，对应的几何体B1－A1BC1符合③的要求；
当4个顶点为A1、B、C1、D时，对应的几何体A1－BC1D符合④的要求；
当4个顶点为A1、A、B、C时，对应的几何体A1－ABC符合⑤的要求．
答案：①③④⑤
6．判断下列语句的对错．
(1)一个棱锥至少有四个面；
(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
(3)五棱锥只有五条棱；
(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
解：(1)正确．
(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不等．
(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底棱，故共10条棱．
(4)正确．
7．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解：①五棱柱；②五棱锥 ；③三棱台．
如图所示：
8．如图是一个三棱柱，你能否用两个截面将它分成三个三棱锥，怎样画截面？
解：能．连结A1B，BC1，AC1.过A1，C1，B作截面，过A，C1，B作截面如
图所示．则可用平面ABC1和平面A1C1B将三棱柱截开，则得到三个三棱锥
C1－ABC，三棱锥B－A1B1C1，三棱锥A1－ABC1.
课件34张PPT。1.1空间几何体1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二考点三观察下列图片 问题1：上述几何体与棱柱、棱锥和棱台有何不同？
提示：与棱柱、棱锥和棱台的不同之处在于它们是由平面和曲面围成．
问题2：如何形成上述几何体的曲面？
提示：可将直角三角形、矩形和直角梯形绕一边为轴旋转而成． 1．圆柱、圆锥、圆台的概念
将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的 、
、 所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．如图所示：
一边一直角边垂直于底边的腰 2．球的概念
半圆绕着它的 旋
转一周所形成的曲面叫做球面，球面
围成的几何体叫做 ．如图所示：直径所在的直线球 一条平面曲线绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为 ．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．一条定直线旋转体 1．当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时形成的几何体不是圆锥．
2．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．
3．体育运动中的足球、篮球、乒乓球，它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球，但是铅球是数学提到的球，数学中提到球是实心的旋转体． 下列说法：
(1)以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；
(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
(3)分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；
(4)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确说法的序号是____________． [思路点拨] 要紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断．
[精解详析] (1)错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．
(2)正确．圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆面．(3)正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．
(4)错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．
[答案] (2)(3)
[一点通] 判断旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得旋转体不同．1．下列叙述中正确的个数是________．
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相
交；
③圆锥的底面是圆面，侧面是曲面．解析：圆柱是矩形绕其一边所在直线为轴旋转形成的几何体，故①错误；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后必交于一点，②错误；③是圆锥的性质，故③正确．
答案：③2．判断下列说法是否正确．
(1)空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半
径为r的球．
(2)空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半
径为r的球面．
(3)一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面
围成的几何体是球．
(4)球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个．解：(1)不正确，满足定长的点仅仅构成一个球面，条件改为“小于等于r”即可．
(2)正确．(3)正确．
(4)不正确．对称中心只有一个，即球心. 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成的，并说出主要结构特征．(面数，顶点数，棱数) [思路点拨] 只有正确判断几何体的组成，才能准确的掌握其结构特征．
[精解详析] 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体，它有9个面，14个顶点，21条棱， 具有四棱柱和三棱柱的结构特征．
图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥拼接而成的组合体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．
图(3)是由一个三棱柱和一个下底面与三棱柱上底面重合的三棱台拼接成的组合体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征． [一点通] 简单组合体常考查两个方面：一是简单组合体的组成，二是简单组合体中的计算问题，注意组合体的结构特征．3．图1是由第________个平面图形旋转得到的．解析：因为图1为一个圆台和一个圆锥的组合体，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成的．由此可知①、②、④不正确．③正确．
答案：③4．如图所示的是我们常见的一种陀
螺，请大家仔细观察，然后说出
它的几何结构特征．解：这是一个组合体，具有旋转体特征，上部是一个圆柱，中间是两个圆台，下面是一个圆锥. 下列命题中正确的是____________．
(1)圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个；
(2)圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
(3)圆台的所有平行于底面的截面都是圆面；
(4)圆锥所有轴截面是全等的等腰三角形． [思路点拨] 弄清圆柱、圆锥、圆台的轴截面与平行于底面的截面是解答本题的关键．
[精解详析] 当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的，故(2)是错误的，其余都是正确的．
[一点通] 解决此类问题要注意对各类几何体的轴截面、平行于底面的截面等情况必须熟练掌握．如圆柱平行于轴截面的截面是矩形，并且离轴越远此矩形的面积越小．5．用一个平面截球，则截面的形状是__________．
答案：圆面
6．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截
面的面积为________．
解析：因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且顶角
为90°，所以S＝ ·2r·r＝r2.
答案：r27．用一个平面去截一个圆柱，则截面不可能是________．
①圆面；②三角形；③梯形；④矩形；⑤椭圆．
解析：当平面与圆柱的轴平行时，截面是矩形；当平面
与圆柱底面平行时，截面是圆面；当截面不与轴平行也
不与底面平行时，截面是椭圆．
答案：②③ 1．对于圆柱、圆锥、圆台、球中要注意轴截面的画法与应用，这些轴截面集中反应了旋转体的各主要元素．
2．组合体的结构特征有两种：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．点此进入
1．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD旋转所得的几何体是________
解析：由圆锥概念可知此几何体为圆锥．
答案：圆锥
2．给出下列命题：(1)圆柱的任意两条母线互相平行；(2)球面上的点与球心的距离都相等；(3)圆锥被平行于底面的平面所截，得到两个几何体，其中一个仍然是圆锥，另一个是圆台．其中正确命题的个数为________．
解析：由圆柱的定义，可知命题(1)正确；由球的定义，可知命题(2)正确；由圆台的定义可知命题(3)正确．
答案：3
3．下列图形(甲、乙、丙)通过折叠后所形成的几何体分别是________．
解析：∵圆锥的侧面展开图为扇形、底为圆，圆柱的侧面展开图为矩形、两底为圆，三棱锥各面均为三角形，
∴甲、乙、丙折叠后形成的几何体分别是圆锥、圆柱、棱锥．
答案：圆锥、圆柱、棱锥
4．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________．
解析：如图所示，设圆锥的底面半径为r.
则圆锥的高是 ，
∵·2r·＝8，∴r＝2.∴h＝＝2.
答案：2
5．(2012·台州高一检测)日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．
解析：由图形知此组合体是一个棱柱中间挖去一个圆柱．
答案：一个棱柱中挖去一个圆柱
6.2011年数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的．
解：由图可知由球、长方体、四棱台组成．
7．指出本题的图是由哪些简单的几何体组成？
解：图中的几何体是由两个棱柱再割去一个半圆柱而得到的几何体．
8.如图所示，底面圆的半径为6，母线长为8的圆柱，AB是该圆柱的一条母线，一蜘蛛沿圆柱的侧面从A爬到B，试计算爬行的最短路程．
解：圆柱的侧面展开图是矩形ABCD，如图所示，则爬行的最短路程是AC.
则AB＝8，BC＝2π×6＝12π，所以AC＝ ＝
＝ .即爬行的最短路程是.
课件1张PPT。
1．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的________(填序号)．
解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故④正确．
答案：④
2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法正确的是________．
①用斜二测画法画出的直观图是在斜投影下画出的空间图形；
②几何体直观图的长、宽、高与几何体实际的长、宽、高比例相同；
③水平放置的矩形的直观图是平行四边形．
解析：由斜二测画法规则知②错误，其余正确．
答案：①③
3．如图是水平放置的△ABC的直观图，AB∥y′轴，则△ABC是________三角形．
解析：∵AB∥y′轴，所以在平面三角形中，AB∥y轴，
∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．
答案：直角
4.如图为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB________OB.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：把直观图还原，知B点的坐标为(1,4)．观察可得OD＜BD＜AB＝OB.
答案：＝
5．(2012·嘉兴高一检测)如图所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为__________．
解析：由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案：10
6．下列图形表示水平放置的直观图，画出它原来的图形．
解：画法如下：第一步：建立平面直角坐标系xOy.第二步：在x轴的负半轴上取一点A，使OA＝O′A′.由于A′B′∥y′轴，因此过A点作y轴的平行线并向上截取AB＝2A′B′.第三步：连结OB，擦掉辅助线，就得到原平面图OAB，它是一个直角三角形．
7．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
解：画法：第一步，画轴，如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
第二步，画底面，以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；
在y′轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面．
第三步，画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
第四步，成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．
8.如图，一个边长为2 cm的正方形，上面是一个以CD中点E为圆心的半圆，画出这个图形水平放置的直观图．
解：画法：(1)以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，使两轴夹角为45°；
(2)分别过DE中点、CE中点，作CD的垂线交半圆于F、G点，y轴与半圆交于H点；
(3)用斜二测画法分别作出A，B，C，D，E，F，G，H的对应点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，H′；
(4)连结A′D′，B′C′，C′D′得正方形ABCD的直观图A′B′C′D′，用平滑的曲线连结C′G′H′F′D′，得半圆弧的直观图，擦去辅助线得原图的直观图[图(3)]．
课件27张PPT。1.1
空间几何体1.1.4
直观图画法理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步入门答辩考点一考点二新知自解知
识
点 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系． 问题1：在画实物的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示：为了直观，不一定．
问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？
提示：平行四边形或扁圆形，为了增加直观性．
问题3：这种作图的方法与在直角坐标系中画图的方法相同吗？
提示：不相同． 斜二测画法的规则
(1)在空间图形中取互相 的x轴和y轴，两轴交于O点，
再取z轴，使∠xOz＝ ，且∠yOz＝ .
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，
它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝ (或135°)，
∠x′O′z′＝ ，x′轴和y′轴所确定的平面表示 ．垂直90°90°45°90°水平面 (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成 于x′轴、y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度 ；平行于y轴的线段，长度为原来的 ．平行不变一半 1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可．
2．画立体图形直观图时，只需多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变，借助空间直角坐标系，确定顶点连结即可． 画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．
[思路点拨] 先建立适当坐标系后利用斜二测画法得直观图．
[精解详析] 如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，如图(2)在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB. [一点通]
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连结成线段．1．梯形的直观图是________．
答案：梯形
2．如下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形
可能是图乙中的________．(填序号)解析：由斜二测画法规则知，∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，∴将图形还原成原图形时，③符合题意．
答案：③3.如图所示，△A′B′C′是水平放置的
平面图形的斜二测直观图，将其恢
复成原图形． 解：作法：①画直角坐标系xOy，在
x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′. ②在直观图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连结AB，BC，去掉辅助线，
则△ABC为△A′B′C′原来的图形. 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图．
[思路点拨] 根据斜二测画法，选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图，进而确定出正三棱锥的顶点即可． [精解详析] (1)先画出水平放置的边长为3 cm的正三角形的直观图，如图(1)所示．
(2)过正三角形中心O′建立z′轴，画出正三棱锥顶点V′，使V′O′＝3 cm，连结V′A′，V′B′，V′C′，如图(2)所示． (3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)． [一点通]
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． 4．画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观
图． 解：画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝ 45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．按x′轴，y′轴，画正六边形的直观图
ABCDEF.
(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(4)成图．顺次连结A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图)． 1．为保证画直观图既快又准，应充分注意两点(1)充分利用图形的对称性；(2)尽可能让更多的顶点在坐标轴上．
2．直观图与原图相比较，有“三不变，两变”，“三不变”是指直线的平行性、点的共线性、线的共点性不变；“两变”是指直观图与原图中的角的大小，线段的长度有变化．点此进入课件39张PPT。1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1
平面的基本性质理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二知识点三考点三 教室里的课桌面、黑板面、玻璃平面等都给我们平面的形象，几何里的平面与这些平面形象相比，有何特点？ 问题1：生活中的平面有大小之分吗？其“平”是相对的还是绝对的？
提示：有大小之分，相对的．
问题2：几何中的“平面”是怎样的？
提示：抽象出来的，绝对平，无大小、厚薄之分． 1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是 的．无限延展 2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个 ，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 ．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用 画出来．如图②. 平行四边形2倍虚线45° 3．平面的表示法
图①的平面可表示为 、 、 或
.平面α平面ABCD平面AC平面BDA∈aA?aA∈αA?αa?αa?αa∩b＝Pα∩β＝l观察下列图片： 问题1：把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺边缘上的其余点和桌面有何关系？
提示：在桌面上．
问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚？
提示：两车轮与一只撑脚在同一平面上．
问题3：两张纸面相交有几条交线？
提示：一条．1．平面的基本性质两点这条直线上的所有点都在这个平面内?AB?α经过这个公β＝l且P∈l.共点不在同一条直线上的三点2.公理3的推论直线外相交平行1．对几何中平面的理解要注意以下几点
(1)平面是平的；
(2)平面没有厚度；
(3)平面可无限延展且没有边界；
(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；
(5)平面图形是空间图形的重要组成部分． 2．可从集合的角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可看作无数个点组成的集合，故点与线的关系是元素和集合之间的关系，用“∈”或“?”表示．
(2)平面也可看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示．
(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示． 根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图(1)可以用几何符号表示为_______________________．
图(2)可以用几何符号表示为________________________．
[思路点拨] 根据点、线、面之间三种语言的转换可表示．
[精解详析] (1)α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB.
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A?l，B?l.
[一点通] 集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“?”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助于集合符号，但在读法上仍用几何语言．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为_______．
答案：A∈l，l?α
2．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC
的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，B?MN，C∈β，
C?MN. 解： 如图，已知直线m与a，b分别
交于A、B，且a∥b.求证：直线a，b，m
共面．
[思路点拨] 由a∥b确定平面α，由此得A∈α，B∈α，从而证明m?α.[精解详析] ∵a∥b
∴过a，b确定平面α
∵m∩a＝A，m∩b＝B ∴A∈a，B∈b.
∴A∈α，B∈α.
∴AB?α，即m?α.
∴直线a，b，m共面． [一点通] 证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理3，及其推论，常用方法有
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．3．(2012·福州高一检测)下列说法错误的序号是______．
①三点可以确定一个平面
②一条直线和一个点可以确定一个平面
③四边形是平面图形
④两条相交直线可以确定一个平面解析：①错误．不共线的三点可以确定一个平面；②错误．一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面．③错误．四边形不一定是平面图形．④正确．两条相交直线可以确定一个平面．
答案：①②③4．已知：AB，BC，AC是△ABC三边所在的直线．求证：
直线AB，BC，AC共面． 证明：如图所示．由已知AB∩BC＝B，
所以过直线AB，BC有且只有一个平面α，
∵AB∩AC＝A，BC∩AC＝C，
∴A∈α，C∈α，故AC?α，
即直线AB，BC，AC共面. 如图，不在同一平面内
的两个三角形△ABC和△A1B1C1，
AB与A1B1相交于P，BC与B1C1相
交于Q，AC与A1C1相交于R，求证：P、Q、R三点共线．
[思路点拨] 利用公理2可证，即创设两相交平面，证点在交线上即可． [精解详析] ∵AB∩A1B1＝P，∴P∈AB，P∈A1B1.
∵AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
又∵A1B1?平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1.
∴P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．
同理可证Q、R也都在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．根据公理3知两个平面的交线有且只有一条，故P、Q、R三点共线． [一点通] 证明点共线的思路是构造相交平面，证明点在相交平面的交线上，即由公理2可得结论． 5.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.
设梯形ABCD中，AD∥BC，且
AB?α，CD?β，求证：AB，CD，
l共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．
∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M.
又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，且M∈β.∴M∈α∩β.
又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．6.已知△ABC在平面α外，它的三
边所在直线分别交α于P，Q，R，
求证：P，Q，R三点共线．
证明：∵A，B，C为α外的三点，
∴△ABC所在的平面β与平面α不重合．
∵P＝AB∩α，∴P为平面α与β的公共点，
同理可证：R，Q也是平面α与β的公共点，
由公理2知，P，Q，R三点共线． 1．三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实虚线．
2．三个公理的作用
(1)公理1反映了平面与曲面的区别，它是判断直线在平面内的依据，也是证明点在平面内的依据． (2)公理2反映了平面与平面的位置关系，它是判断两个平面相交的依据，是证明点共线的依据，也是证明线共点的依据．
(3)公理3及其推论，是确定一个平面的依据，是判断两个平面重合的依据，也是证明点、线共面的依据．点此进入
1．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
解析：∵a∩b＝A，∴A∈a，又a?α.
∴A∈α，同理A∈β.∴A∈m.
答案：A∈m
2．已知点A，直线a，平面α.
①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.
以上命题表达正确的个数为________．
解析：①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中 “a∈α”符号不正确；③中A可在α内，也可在α外；④符号“A?α”不正确．
答案：0
3．一条直线和直线外两点可确定平面的个数是________个．
答案：1或2
4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)
解析：如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条．
答案：5
5．直线AB，AD?平面α，直线CB，CD?平面β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝M，则点M在________上．
解析：由已知得B，D∈平面α，B，D∈平面β，∴α∩β＝BD，而E，H分别在AB，DA上，
∴直线EH?α，同理FG?β.又∵直线EH∩直线FG＝M，∴M∈EH，M∈FG，∴M∈α，M∈β，∴M∈BD.
答案：BD
6．如图所示，在正方体中，请画出过A1、B、D三点的截面．
解：如图所示，阴影部分即为过三点A1、B、D的截面．
7．已知：如图所示，平面α、β、γ满足α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∩b＝A.
求证：a，b，c三线交于一点．
证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b，
又α∩β＝a，β∩γ＝b，
∴a?α，b?γ，∴A∈α，A∈γ.
而α∩γ＝c，∴A∈c.
∴a，b，c相交于点A.
8．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
证明：直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∴A∈α，B∈α，
而A，B∈l，∴l?α，b?α，a?α.
又a∥c，则a，c确定一个平面β，
∴A∈β，C∈β，∴A，C∈l，
∴l?β.又a?β，∴l，a既在平面α内，又在平面β内，而相交直线l，a只能确定一个平面．由推论2得α与β重合．
∴l，a，b，c共面．
课件41张PPT。1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2
空间两条直线的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二考点三下图为一输电线路，请观察： 问题1：电线杆a，b所在的直线有什么样的位置关系？
提示：平行．
问题2：两电线杆之间的保险杠c，d所在的直线有什么样的位置关系？
提示：相交．
问题3：电线e与电线杆a所在的直线共面吗？
提示：不共面．空间两直线之间的位置关系有且只有一个没有没有 在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
问题1：在空间中是否有类似的规律？
提示：有．
问题2：你能否利用教室中的物体举出符合这一规律的实例？
提示：可以．如教室前后墙与地面和屋顶的交线． 问题3：观察教室地面和后墙的墙角与前墙和天花板的墙角大小怎样？
提示：相等． 1．平行公理(公理4)
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相
．这一性质叫做空间 ．平行平行线的传递性a∥c 2．等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别 并且方向 ，那么这两角相等．平行相同l?α，A∈/ α，B∈α，B∈/ l3．异面直线
(1)异面直线的判定定理：a⊥b锐角直角 1．对于异面直线的定义的理解
异面直线是不同在任何一个平面
内的两条直线．注意异面直线定义中
“任何”两字，它指空间中的所有平面，
因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不
相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线． 2．对平行公理与等角定理的理解
公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补． 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，
B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1. [思路点拨] 解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1，然后根据等角定理，得出结论． [精解详析] 如图所示， [一点通] 运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现． 1．空间两个角α、β且α与β的两边对应平行，若α＝
60°，则β的大小为________．
解析：由等角定理可知，β＝α或α＋β＝180°，
∴β＝60°或β＝120°.
答案：60°或120° 已知平面α∩平面β＝a，b?α，
b∩a＝A，c?β且c∥a.
求证：b，c是异面直线．
[思路点拨] 可利用定理或反证法解题． [精解详析] 法一：α∩β＝a，b?α，b∩a＝A，
∴b?β，A∈α.∵c∥a，∴A?c，∴b，c是异面直线．
法二：(反证法)若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交．
(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾．
(2)若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b＝A，∴A∈β.
∴AB?β，即b?β，这与b∩β＝A矛盾，
∴b，c是异面直线． [一点通] 应用定理证明异面直线时要注意定理中条件的确定．应用反证法时要注意矛盾的推导．3.如图，平面α，β相交于EF，A∈EF，
B∈EF，分别在平面α，β内作∠EAC
＝∠FBD，则AC和BD的关系是________．
解析：由于AC?α，D?α，B∈α，B?AC，所以AC与BD
异面．
答案：异面4.如图，AB、CD是两异面直线，
求证：直线AC、BD也是异面
直线．
证明：法一：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在
同一平面内，设这个平面为α，
由AC?α，BD?α，知A，B，C，D∈α.
故AB?α，CD?α.
这与AB和CD是异面直线矛盾，
所以假设不成立，则直线AC和BD是异面直线． 法二：由题图可知，直线AB，AC相交于点A，所以它们确定一个平面为α.
由直线AB和CD是异面直线，
知D?α，即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B.
又AC?α，B?AC，所以直线AC和BD是异面直线. [思路点拨] 找过E点且与CD平行的直线，在△ACD中，E为中点，则取AC的中点F，连结EF，有EF∥CD，则可知异面直线BE和CD所成的角为∠BEF或其补角．
[精解详析] 取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，所以EF∥CD.所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或其补角． [一点通] 异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了把空间角转化为平面角来求的基本思想．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知棱长为a，则异
面直线A1B与B1C所成角的大小为________．解析：如图，连结A1D，BD，
∵A1D∥B1C，∴∠BA1D为所求，
在△A1DB中，A1D＝BD＝A1B，
∴∠DA1B＝60°.答案：60°6．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，
M是侧棱CC1的中点，求异面直线AB1和BM所成的角为
________．(正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底
面垂直的三棱柱)答案：90° 1．证明两线平行的方法：(1)定义法(多用反证法)，(2)利用公理4即平行传递性．
2．等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性．
3．求两条异面直线所成角的方法步骤 点此进入
1．(2012·连云港高一检测)空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.
解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
答案：70°或110°
2．(2012·台州高一检测)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱有________条．
解析：与AA1异面的棱有BC、B1C1、CD、C1D1共4条．
答案：4
3．两个相等的角有一组对边平行，那么另一组对边①也一定平行；②可以不平行；③可以相交；④可以异面．以上四种情况正确的有________种．
解析：两个相等的角有一组对应边平行时，另一组对应边可以旋转，从而另一组对边三种位置关系都可能，②③④均成立．
答案：3
4．若平面α∩β＝l，a?α，b?β，则a，b的位置关系是________．
解析：如图可知，a，b有三种位置关系：相交、平行或异面．
答案：相交、平行或异面
5.(2011·烟台高一检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是________．
解析：取CD的中点M1，连结C1M1，则CN⊥C1M1，故B1M与CN所成的角为90°.
答案：90°
6.在三棱锥A－BCD中，已知E、F、G、H分别是四边AB、BC、CD、DA的中点．求证：E、F、G、H四点共面．
证明：在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点．
∴EH∥BD.同理FG∥BD.
∴EH∥FG.从而EH与FG可确定一平面，即E、F、G、H四点共面．
7.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．
证明：法一：虽然CD1?平面CDD1C1，
B?平面COD1C1，C1∈平面CDD1C1，且C1?CD1，所以直线CD1与直线BC1是异面直线．
法二：假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线，设直线CD1与BC1共面α.
∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α.
∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C.
∴C，B，C1∈平面BB1C1C
∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，
∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．
因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．
8.如图所示，在三棱锥A－BCD中， AB＝AC＝AD＝a，BC＝CD＝a，BD＝a，点F是BD的中点，求证：AF⊥CD.
证明：取BC的中点E，连结EF，AE，
∵F为BD的中点，
∴EF綊CD.
∴∠AFE为异面直线AF，CD所成的角或补角，且EF＝a.
在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝a，
∴AE2＝AB2－(BC)2＝a2－a2＝a2.
在△ABD中，AB＝AD＝a，BD＝a，
∴AF2＝AB2－(BD)2＝a2－a2＝a2.
在△AFE中，AF2＋EF2＝AE2，
∴∠AFE＝90°.∴AF⊥CD.
课件39张PPT。1.2
点、线、面、之间的位置关系1.2.3
直线与平面的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二第一课时直线与平面平行知识点三考点三 观察我们的教室，可以把墙面、地面、天花板均可抽象为平面，把日光灯所在的线段抽象成一条直线． 问题1：日光灯所在的直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？
提示：平行或相交．
问题2：假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在直线与地面有何位置关系？
提示：直线在平面内．直线与平面的位置关系有无数有且只有一个无公共点a?αa∩α＝Aa∥α 门扇的左右两边是平行的，当门
绕着一边转动时，只要门扇不被关闭，
不论转到什么位置，它的另一边与门框
所在的平面具有不变的位置关系． 问题1：上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
提示：平行．
问题2：你能从上述问题中得出判断直线与平面平行的一种方法吗？
提示：可以．只需要在面内找一条与平面外直线平行的直线即可．
问题3：若一条直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？
提示：不一定，要强调直线在面外． 直线与平面平行的判定定理
(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个 的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言： .平面内a?α，b?α且a∥b?a∥α 如图所示，将一本书打开，扣
在桌面上，使书脊所在直线与桌面
平行，观察过书脊的每页纸和桌面
的交线与书脊的位置关系． 问题1：上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？
提示：平行．
问题2：书脊所在直线与桌面内的所有直线都平行吗？
提示：不一定．
问题3：书脊所在的直线与每页纸与桌面的交线之间有何关系？
提示：平行． 直线与平面平行的性质定理
(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行，
的平面和这个平面相交，那么这条直线就和
平行．经过这条直线交线(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言： .l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m 1．利用公共点的个数可以判断直线与平面的位置关系．
2．对于直线与平面平行的判定定理的理解
(1)定理可简记为“线线平行，则线面平行”．
(2)用该定理证明直线a与平面α平行时，三个条件：a?α，b?α，a∥b缺一不可． 3．对于直线与平面平行的性质定理的理解
(1)定理可简记为“线面平行，则线线平行”．
(2)定理中有三个条件：直线a∥平面α，直线a?平面β，α∩β＝b，这三个条件缺一不可．
4．利用线面平行的判定定理和性质定理，可实现平面问题与空间问题的转化．本节常用的转化为 下列关于直线a与平面α平行的条件中，不正确的是________．
①b?α，a∥b
②b?α，c∥α，a∥b，a∥c
③b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD
④a?α，b?α，a∥b [思路点拨] 依据定理，找条件，逐一验证条件正误．
[精解详析] 若b?α，a∥b，则a∥α或a?α，故①错误．若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a?α，故②错误．若b?α，A、B∈α，C、D∈b，且AC＝BD，则a∥α或a?α，或a与α相交，故③错误．
对④是线面平行判定定理不可缺少的条件，故④正确．
[答案] ①②③[一点通] 证明直线与平面平行的方法有
(1)定义：证明直线与平面无公共点．
(2)排除法：说明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
(3)判定定理：三个条件缺一不可．1．直线b是平面α外的一条直线，若b与α内的所有直线都
不相交，则b__________α.
答案：∥
2．若l∥α，m?α，则直线l与m的位置关系是________．
解析：∵l∥α，∴l与α无公共点，又m?α，
∴l与m平行或异面．
答案：平行或异面3．下列命题中正确的序号是________．
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线
都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么
另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点解析：当直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故①错；若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线可能平行，也可能异面，故②错；两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故③错；由线面平行的定义可知选项④正确．
答案：④ 如图，已知P是?ABCD所在平
面外一点，M为PB的中点．求证：
PD∥平面MAC.
[思路点拨] 解决本题的关键是在平面MAC内找到一条直线与PD平行．[精解详析] 连结BD与AC相交于点O，连结MO，
∵O为BD的中点，
又M为PB的中点，
∴MO∥PD.
又∵MO?平面MAC，
PD?平面MAC，
∴PD∥平面MAC. [一点通] 利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．4.P是△ABC所在平面外一点，E，F，G
分别是AB，BC，PC的中点，则图中与
过E，F，G的截面平行的线段有________条．
解析：由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，
PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．
答案：25.三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC1的中点，F为CB1的中点，
求证：EF∥平面ABC.
证明：连结BC1，
∵四边形BCC1B1为平行四边形，
∴BC1与CB1交于点F，
即F为C1B的中点．
又E为C1A的中点，∴EF∥AB.
又EF?面ABC，AB?面ABC，
∴EF∥面ABC. 如图所示，四边形ABCD
是平行四边形，点P是平面ABCD外
一点，M是PC的中点，在DM上取
一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. [思路点拨] 欲证AP∥GH，可转化为证明AP∥平面BMD，为此需连结AC交BD于点O，连结OM，即可证明AP∥平面BMD.
[精解详析] 如图所示，连结AC交BD于点O，连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又AP?平面BMD，OM?平面BMD，∴AP∥平面BMD.又∵AP?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH.
∴AP∥GH.
[一点通] 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．6.如图，已知两条异面直线AB、CD
都与平面α平行，CA、CB、DB、
DA分别与α交于点E、F、G、H，
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：因为CA与CB相交，DB与DA相交，
所以分别确定平面CAB，平面DAB.
又因为AB∥平面α，AB?平面CAB，AB?平面DAB，平面CAB∩α＝EF，平面DAB∩α＝GH，
所以AB∥EF，AB∥GH，所以EF∥GH.
同理，EH∥GF.所以四边形EFGH是平行四边形．7.如图，三棱锥A－BCD被一平面所
截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.
证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.又GH?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD.而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH. 1．利用直线与平面平行判定定理来证明线面平行，关键是寻找面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．
2．对较复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，可有如下示意图点此进入课件42张PPT。1.2点
、线
、面之间的位置关系1.2.3
直线与平面的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二第二课时直线与平面垂直知识点三考点三知识点四知识点五 请你做一做：将书打开直立在桌面上，观察书脊和各页与桌面的交线的位置关系．
问题1：书脊和各页与桌面的交线是什么位置关系？
提示：垂直．
问题2：若一直线垂直于某一平面内的无数条直线，此直线和平面垂直吗？
提示：不一定． 直线和平面垂直的概念
1．线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的
直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点叫做 ．
2．结论：过一点有且只有一条直线与已知平面 ，过一点 平面与已知直线垂直.任意一条垂足垂直有且只有一个 要测量某墙角直与不直，只需将
弯尺一边与墙角对齐，将另一边旋转，
看是否与地面平齐，若平齐，说明墙角直，否则墙角不直．
问题1：用弯尺测量墙角直不直的原理是什么？
提示：直线与平面垂直的定义．
问题2：直线垂直于平面的条件是什么？
提示：必须垂直于平面内的所有直线． 直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．两条相交直线l⊥ml⊥nm∩n＝Am?α，n?α 当你在马路上散步时，会惊奇
地发觉身旁的树木、电线杆等物体，
它们之间的空间位置关系是相互平行的．
问题1：若将树木电线杆抽象成直线，它们与地面所在平面有何位置关系？
提示：垂直． 问题2：你能由上述问题得出垂直于同一平面的直线平行吗？
提示：可以． 直线与平面垂直的性质定理
文字表述：如果两条直线垂直于 平面，那么这两条直线平行．
符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.同一个 1．点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和 间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．
2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面 ，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.垂足平行 1．相关概念
平面的斜线：指与一平面相交，但 的直线．
斜足：斜线与平面的交点．
斜线段：斜线上一点与斜足间的线段．
正投影：过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，过
的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)．斜足和垂足不垂直 2．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的 ．
(2)范围： .
(3)画法：如图所示，斜线PQ与平面α所成的角是 .锐角0°≤θ≤90°∠PQP1 1．判定定理的理解
(1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能判定直线垂直于平面．
(2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线有交点，无关紧要． 2．对性质定理的理解
(1)定理给出了判定两直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据． 在三棱锥A－BCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E.
求证：CD⊥平面ABE.
[思路点拨] 欲证线面垂直，可考虑利用线面垂直的判定定理，将问题转化为证明CD与平面ABE内两相交直线都垂直，由条件知△ABC与△ABD是等腰三角形，于是由等腰三角形“三线合一”，启发我们取AB中点M，然后进行求解． [精解详析]取AB中点M，连结MD、MC.
∵BC＝AC，BD＝AD，
∴CM⊥AB，DM⊥AB.
又CM∩DM＝M，
∴AB⊥平面CDM.
∵CD?平面CDM，
∴CD⊥AB.
又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，
∴CD⊥平面ABE. [一点通] 线面垂直的证明常见方法
(1)线面垂直的判定定理，在论证中要根据题设条件，来寻找判定定理的条件．
(2)利用平行转化：a∥b，a⊥α，则b⊥α.1．共点的三条直线OA、OB、OC两两互相垂直，则OA与
BC的关系是________．
解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，
∴OA⊥平面BOC，又BC?平面BOC，∴OA⊥BC.
答案：OA⊥BC2.如图所示，在正方体AC1中，
求证：AC⊥平面BDD1B1.
证明：∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴BB1⊥平面AC，
又AC?平面AC，∴BB1⊥AC.
又四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1.3．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，
AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.证明：∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC.
∵AD?平面SAC，∴BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，
∴AD⊥平面SBC. 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，点E、F分别在A1D、AC上，且
EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
[思路点拨] 利用线面垂直的性质定理证明EF、BD1垂直于面AB1C可得结论．[精解详析] 如图所示，
连结AB1、B1C、BD、B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[一点通] 空间中证明两条直线平行的方法：
(1)利用线线平行定义：证两线无公共点；
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(公理4)；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．4．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线
m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是_____．答案：平行5.如图，m、n是两条相交直线，
l1，l2是与m，n都垂直的两条
直线，且直线l与l1，l2都相交，
求证：∠1＝∠2. 证明：∵m与n相交，
∴m与n确定一个平面，记为α.
∵l1⊥m，l1⊥n，
∴l1⊥α.
同理l2⊥α.
∴l1∥l2，∴∠1＝∠2. 已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.
[思路点拨] 解答本题可先考虑QR在某一平面内，证AB与其所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可判定QR⊥AB.[精解详析]
如图，∵α∩β＝AB，
PO⊥β于O，
∴PO⊥AB，
∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB，
∵PO∩PQ＝P，
∴AB⊥平面POQ.
∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.
∴PQ与OR确定平面PQRO.
又∵QR?平面PQRO，∴QR⊥AB. [一点通] 要证线线垂直，只需证线面垂直，只需考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所需结论．6．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题
正确的个数是________．
①若l⊥m，m?α，则l⊥α ②若l⊥α，l∥m，则m⊥α
③若l∥α，m?α，则l∥m ④若l∥α，m∥α，则l∥m解析：对于①，若l⊥m，m?α，则l?α可能成立，l⊥α不一定成立，∴①不正确；对于②，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，正确．对于③，l与m可能异面，不一定平行，故③不正确；对于④，l与m可能相交，也可能异面，故④不正确．
答案：17．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在
的平面，M、N分别 是AB、
PC的中点．求证：MN⊥AB.
证明：如图，连结AC，取AC中点E，连结ME、NE，
则NE∥PA，∵PA⊥矩形ABCD，
∴NE⊥平面ABCD.
∴NE⊥AB.
∵ME∥BC，BC⊥AB，
∴ME⊥AB.
又ME∩NE＝E，∴AB⊥平面MNE.
∴MN⊥AB. 1．判定线面垂直的方法主要有三种
(1)利用定义；(2)利用判定定理；(3)与平行关系联系运用，即若a∥b，b⊥α，则a⊥α.
2．线面垂直有以下性质： 3．线线、线面垂直的关系
由线线垂直可判断出线面垂直，由线面垂直又可判断出线线垂直，这种“线线→线面→线线”之间的垂直关系的相互转化，是线线、线面垂直关系判定的实质，也是运用定理对垂直关系进行证明的关键所在．点此进入
1．下列说法中正确的有________．
①直线l与平面α不平行，则l与α相交；
②直线l在平面外，是指直线和平面平行；
③如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，则直线l与平面α相交；
④如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交．
答案：③④
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点，与EF平行的长方体的面有________个．
解析：上、下底面和面CC1D1D与EF平行，故有3个．
答案：3
3．下列命题假命题的个数是________．
①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交．
②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行．
③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行．
④直线a和b异面，则过b存在唯一一个平面与a平行．
解析：②是错误的，因为过平面外一点可以作无数条直线与此平面平行；③是错误的，过直线外一点，也可以作无数个平面与该直线平行．
答案：2
4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?α，CD?α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________．
解析：由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．
答案：平行或异面
5.如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
解析：∵AC∥A1C1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴AC∥平面A1B1C1D1.
∵平面ACB1∩平面A1B1C1D1＝l，
∴AC∥l.
答案：AC∥l
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点，求证： B1O∥平面A1C1D.
证明：如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1，∵O1B1綊DO，
∴四边形O1B1OD为平行四边形．
∴B1O∥O1D.
∵B1O?平面A1C1D， O1D?平面A1C1D，
∴B1O∥平面A1C1D.
7.平面α∩平面β＝l，a?α，a?β，b?β，b?α，且a∥b.
求证：a∥l，b∥l.
证明：∵a∥b，b?β，a?β，
∴a∥β.
又∵a?α，α∩β＝l，
∴a∥l，同理可证b∥l.
8．如图，P为?ABCD所在平面外一点，在PC上求一点E，使PA∥平面BED，并给出证明．
解：如图，在PC上取一点E，连接ED、EB、BD、AC，设AC∩BD＝O，连结OE，
若PA∥平面BDE，
∵PA?平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝EO，
∴PA∥EO.
又∵O为AC的中点，
∴E为PC的中点．
反之，若E为PC的中点，
∵O为AC的中点，必有EO∥PA.
∵EO?平面EBD，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EBD.
1．若斜线段AB是它在平面α的射影长的2倍，则AB与平面α所成角为________．
解析：线面角α的余弦值为，所以α＝60°.
答案：60°
2．已知直线m?平面α，直线n?平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．
解析：由题意知a⊥α，b⊥α，∴a∥b.
答案：平行
3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD.
∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，
∴AC⊥BD.
答案：菱形
4．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则CA与DB的位置关系是________．
解析：∵DA⊥α，∴DA⊥AC.
又AC⊥AB，AB∩DA＝A，
∴AC⊥平面ABD.∴AC⊥BD.
答案：垂直
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________．
解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，
∴△PAB，△PAC都是直角三角形且PA⊥BC.又AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.
∴△PBC是直角三角形，△ABC是直角三角形．
答案：4
6．已知直线AB⊥平面α于B，直线CD⊥平面α于D，直线AC∩平面α＝E，求证：B、D、E三点共线．
证明：如图所示，由直线AB⊥平面α，直线CD⊥平面α.
∴AB∥CD，故经过AB和CD可以确定一平面β，则α∩β＝BD.
∵AC∩α＝E，∴E∈α，E∈β.
∴E在α与β的交线上，即E∈BD，
∴B、D、E三点共线．
7．(2012·吉林高一检测)如下图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.
求证：AE⊥平面PBC.
证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AE，
又∵PC⊥AE，BC⊥PC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
8.(2012·宿迁模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.
(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PBD；
证明：(1)设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH?平面BDE，且PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2)因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.
课件41张PPT。1.2点、线、面之间的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二第一课时
两平面平行知识点三考点三知识点四 数学无处不在，我们学校宿舍
里的双层床(如图所示)，床板就可抽
象成两个平面，床头上下可抽象成两个平面．
问题1：床板所在平面是什么位置关系？公共点有多少？
提示：平行，无公共点．
问题2：床板所在平面和床头所在平面是什么位置关系？
提示：相交，有无数个公共点且在一条直线上．两个平面的位置关系α∥β0α∩β＝a无数 如何判断课桌桌面是否水平，只
需将水平仪在桌子上交叉放置两次，
如果水平仪的气泡两次都在中央，就
能判断课桌面是水平的(注：当水平仪的气泡据中时，水平仪所在直线是水平线)，否则桌面就不是水平的． 两个平面平行的判定定理
(1)文字表述：一个平面内的两条
与另一个平面平行，则这两
个平面平行．
(2)图形表示：如图所示．
(3)符号表示：a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，
b∥β?α∥β.相交直线 如图，2010年上海世博会中国国
家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天
下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神
与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉． 问题1：展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下面地面有何位置关系？
提示：平行．
问题2：上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系？
提示：平行或异面． 两个平面平行的性质定理
(1)文字表述：如果两个平行平面同时和
第三个平面 ，那么它们的交线 ．
(2)图形表示：如图所示．
(3)符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.平行相交 1．与两个平行平面都 的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的 ．
2．两个平行平面的公垂线段都 ，把 的长度叫做两个平行平面间的距离．垂直公垂线段相等公垂线段 1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
2．对面面平行性质定理的理解
(1)面面平行的性质定理的条件有三个：
①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.
三个条件缺一不可． (2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．
(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义． 已知四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD为平行四边形，点M，N，
Q分别在PA，BD，PD上，且
PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. [思路点拨] 根据条件证明MQ∥BC，NQ∥BP，再根据平面与平面平行的判定定理即可得出结论．
[精解详析] ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，
得平面MNQ∥平面PBC. [一点通] 要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．
判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．1．下列命题正确的个数是____________．
①若平面α内的无数条直线分别与平面β平行，则α∥β；
②两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行；
③过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的
平面．
解析：①、②中两个平面均有可能相交，故①②均不正
确；③中若直线与已知平面相交，则平行的平面不能作
出，故③不正确．
答案：02．在如图所示的几何体中，侧面AA1B1B，侧面BB1C1C
和侧面CC1A1A都是平行四边形．
求证：平面ABC∥平面A1B1C1. 证明：∵四边形AA1B1B是平行四边形，
∴A1B1∥AB，
∴A1B1∥平面ABC，
同理，四边形BB1C1C是平行四边形，
∴B1C1∥BC，
∴B1C1∥平面ABC，
而A1B1∩B1C1＝B1，
∴平面A1B1C1∥平面ABC. 如图，三棱柱A1B1C1－ABC
中，过A1、B、C1的平面和平面ABC的
交线为l.判定l与直线A1C1的位置关系，
并给以证明．
[思路点拨] 解答本题可先证A1C1∥平面ABC，再利用线面平行的性质证明A1C1∥l.[精解详析] 法一：由棱柱的定义知平面A1B1C1∥平面ABC，又平面A1BC1∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l.
法二：由棱柱的结构特征可知A1C1∥AC，
又A1C1?平面ABC，AC?平面ABC.
∴A1C1∥平面ABC.
又A1C1?平面A1BC1，
且平面A1BC1∩平面ABC＝l.∴A1C1∥l. [一点通] 通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的平行直线的平面．3．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α
和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形
______．解析：如图所示，
∵AA′∩BB′＝O，∴AA′与BB′确
定一平面γ，且α∩γ＝AB，β∩γ＝A′B′，
∵α∥β，∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
答案：相似4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中
过BD1的平面，分别与AA1，CC1交
于M，N.
求证：四边形BND1M为平行四边形．
证明：设过BD1的平面为α.
∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
α∩平面ABB1A1＝BM，α∩平面CDD1C1＝D1N，
∴BM∥D1N，同理可得BN∥D1M，
∴四边形BND1M为平行四边形. [思路点拨] 利用面面平行的性质，将证明线面平行转化为证明面面平行．
[精解详析] 如图所示，连结BC并
在BC上取一点G，使得＝，则在△BAC中，
EG∥AC，而AC?平面α，EG?平面α，
∴EG∥α.
又α∥β，∴EG∥β.
同理可得GF∥BD，而BD?β，GF?β，∴GF∥β.
又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.
又EF?平面EGF，∴EF∥平面β. [一点通] 线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想．转化是综合应用的关键．5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，
E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.
证明：如图，取A1C1的中点F，连结AF，
B1F，
∵E为AC的中点，
∴AF∥C1E，
∵AF?平面BEC1，C1E?平面BEC1，
∴AF∥平面BEC1. 1．判定平面与平面平行的常用方法有
(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．
(2)利用判定定理．
(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ(客观题用)． 2．平面与平面平行主要有以下性质
(1)面面平行的性质定理．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．
(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．3．线线、线面、面面平行关系的转化过程：点此进入课件48张PPT。1.2点
、线
、面之间的位置关系1.2.4
平面与平面的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二第二课时
两平面垂直知识点三考点三 当你使用笔记本电脑时，为便
于操作，需要将显示屏打开一定的
角度，这样便会得到两个平面，如
何刻画两个平面之间的这种张角？ 问题1：通过上述问题，联想空间两直线、空间线与面都可以形成角，那么空间两平面可以形成角吗？
提示：可以．
问题2：动手折叠一张纸，随着翻动，会发现两平面形成的角有何特点？
提示：可以是锐角、直角、钝角、平角． 二面角及其有关概念
(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成 ，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个
所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．两部分半平面 (3)平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(4)直二面角：平面角是 的二面角叫做直二面角.垂直直角 建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了
保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较
高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿
着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直． 问题1：结合上述实例，当直线与平面垂直时，过此直线可做无数个平面，这无数个平面与已知平面有何关系？
提示：垂直．
问题2：根据上述问题能否得到一个判断两平面垂直的方法？
提示：可以，只需在一平面内找到一线垂直于另一个平面即可．直二面角l⊥αl?β观察如图：
教室的黑板所在的平面与地
面所在的平面垂直．
问题1：能否在黑板上画一条
直线与地面垂直？
提示：可以．
问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂线？
提示：只要保证所画线与两面交线垂直即可． 两个平面垂直的性质定理
(1)文字表述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面．
(2)符号表示：若α⊥β，α∩β＝l，m?β，m⊥l，则m⊥α.交线 1．对于平面与平面垂直的判定理解
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可． 2．对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有两个：
①直线在其中一个平面内；
②直线与两平面的交线垂直．
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(3)处理面面垂直的问题时，通常经过此定理转化为线面垂直． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过C1，B，D三点作一个平面，求二面角C1－BD－C的正切值．1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，
b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面
角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的
最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位
置没有关系，其中正确命题的序号是________．解析：对于①，混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．
答案：②④2．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD.
[思路点拨] 欲证平面MND⊥平面PCD，只需证明平面MND中的直线MN⊥平面PCD，即可，取PD的中点E，易知MN∥AE，故只需证明AE⊥平面PCD即可． [一点通] 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．3.如图，四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为a的正方形，侧
棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的
五个面中，互相垂直的面有________对．解析：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PBC⊥平面PAB，共5对．
答案：5法二：利用判定定理．
∵AB＝AC＝AD，
∴点A在平面BCD上的投影为△BCD的外心，
∵△BCD为直角三角形，
∴A点在△BCD上的投影E为斜边BD的中点，
∴AE⊥平面BCD，
又平面ABD过AE，
∴平面ABD⊥平面BCD. 如图所示，P是四边形ABCD
所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°
且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD. [思路点拨] 可先由面面垂直得线面垂直，再进一步得出线线垂直．
[精解详析] 由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD. [一点通] 当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的的在平面内找交线的垂线．5．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，
且AB＝AC＝a，则AD＝________.答案：a6．P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面
PAC⊥平面PBC.
求证：BC⊥AC. 证明：如图，在平面PAC内作
AD⊥PC交PC于D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD?
平面PAC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
又AC?平面PAC，∴BC⊥AC.7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中
点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，
得到几何体D－ABCE.求证：BE⊥平面ADE.
证明：在△ABE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，
BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，AB2＝22＝4，
∴AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.
又平面ADE⊥平面ABCE，
平面ADE∩平面ABCE＝AE，
BE?平面ABCE，∴BE⊥平面ADE. 1．证明面面垂直方法有两个
一是利用定义证明二面角的平面角是直角；二是利用面面垂直的判定定理．
2．线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化如下 运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．点此进入
1．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的关系是________．
答案：平行或直线在平面内
2．设直线l，m，平面α，β，则由l⊥α，m⊥β，且l∥m能得出，α与β的位置关系是________．
答案：平行
3．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③若m， n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β.
④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是________．
解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确，②中m，n可能平行或异面，③在平面α内，过直线m上一点作n′∥n，则在α内有两条相交直线都与β平行．所以α∥β正确．
答案：①③④
4．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是________．
解析：若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．
答案：平行或相交
5．(2012·济南高一检测)过两平行平面α，β外的点P作两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．
解析：两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以＝，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.
答案：12
6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFDB.
证明：∵M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，A1D1的中点，
∴MN∥D1B1∥EF.
∴MN∥平面EFDB.
连结NE，则NE綊A1B1綊AB.
∴四边形NEBA是平行四边形．
∴AN∥BE.∴AN∥平面EFDB.
∵AN，MN都在面AMN内，且AN∩MN＝N，
∴平面AMN∥平面EFDB.
7.如图，在直四棱柱(侧棱与底面垂直的四棱柱)ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点，证明直线EE1∥平面FCC1.
证明：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
所以CD綊AF.
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC.
又AD?平面FCC1，FC?平面FCC1，
所以AD∥平面FCC1，
同理可证：
DD1∥平面FCC1，
因为AD∩DD1＝D，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
8.如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：
取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.
∵FM?平面AEC，CE?平面AEC，
∴FM∥平面AEC. ①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，连结BM，BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连结OE，则BM∥OE.
∵BM?平面AEC，OE?平面ABC，
∴BM∥平面AEC. ②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，
又BF?平面BFM，∴BF∥平面AEC.
1．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是________．
答案：a∥α或a?α
2．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下面四个命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β，④l⊥m?α∥β.其中正确的命题是________．
解析：①③正确；对②，α⊥β?l∥m或异面或相交；对④，l⊥m?α∥β或α与β相交．
答案：①③
3．如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．
解析：易知BE⊥AC，DE⊥AC，
∴AC⊥平面BDE.
又AC?平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BDE.
答案：垂直
4．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的条件是________．
①α⊥γ，β⊥γ；
②α∩β＝a，b⊥a，b?β；
③a∥β，a∥α；
④a∥α，a⊥β.
解析：④中，∵a∥α，
∴过a作一平面α′，使α′∩α＝c，则a∥c.
∵a⊥β，∴c⊥β.又c?α，∴α⊥β.
答案：④
5．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．
解析：如图，过a作平面γ，设γ∩α＝b，∵a∥α，∴a∥b，
又∵a⊥AB，∴b⊥AB，
又∵α⊥β，α∩β＝AB，b?α，
∴b⊥β，∴a⊥β.
答案：a⊥β
6.如图所示，在四面体ABCD中，△BDA，△CDA，△DBC，△ABC都全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC为棱，以△BCD和△BCA为面的二面角的大小．
解：如图所示，取BC的中点E，连接AE、DE，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC.
又∵△ABD≌△ACD，
AB＝AC，
∴DB＝DC，∴DE⊥BC.
∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角．
又∵△ABC≌DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形，
∴AB＝AC＝DB＝DC＝.
又△ABD≌△CDB，∴AD＝BC＝2.
在Rt△DEB中，DB＝，BE＝1，
∴DE＝ ＝，同理AE＝.
在△AED中，∵AE＝DE＝，AD＝2，
∴AD2＝AE2＋DE2.
∴∠AED＝90°.
∴以△BCD和△BCA为面的二面角大小为90°.
7.已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC且EC＝CA＝2BD，M为EA的中点．求证：
(1)平面BDM⊥平面ACE；
(2)平面DEA⊥平面ECA.
证明：(1)取CA中点N，连结MN，BN，在△ACE中，M，N分别为AE，AC的中点，
∴MN∥EC，MN＝EC.
而BD∥EC，BD＝EC，
∴BD綊MN，∴B，D，M，N四点共面．
∵EC⊥平面ABC，BN?平面ABC，
∴EC⊥BN.
又∵BN⊥AC，AC∩EC＝C，
∴BN⊥面ECA.
又BN?面BMD，∴平面BMD⊥平面ACE.
(2)∵DM∥BN，BN⊥平面ACE，
∴DM⊥平面ACE.又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ACE.
8．(2012·扬州模拟)如图，将两块三角板拼成直二面角A—CB—D，其中DB⊥CB，∠DCB＝30°，AB⊥AC，E、F分别是AB、CB的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD；
(2)求证：平面DEF⊥平面ABD.
证明：(1)EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC，又因为AC?平面ACD，而EF?平面ACD，
所以EF∥平面ACD.
(2)因为二面角A—CB—D是直二面角，
所以平面DBC⊥平面ABC.
又因为平面DBC∩平面ABC＝BC，DB⊥BC，
DB?平面DBC，
所以DB⊥平面ABC，
又EF?平面ABC，
所以EF⊥DB.
又EF∥AC，AC⊥AB，所以EF⊥AB，
AB∩DB＝B，
所以EF⊥平面DBA.
由EF?平面DEF，
所以平面DEF⊥平面ABD.
课件33张PPT。1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1
空间几何体的表面积理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点三知识点二 (1)直棱柱：侧棱和底面 的棱柱．
(2)正棱柱：底面为 的 棱柱．
(3)正棱锥：底面是 ，并且顶点在底面的正投影是 的棱锥．
(4)正棱台： 被平行于底面的平面所截， 和 之间的部分.
垂直正多边形正多边形底面中心正棱锥截面底面直观察下列多面体：问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？
提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．
问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？
提示：若干个全等的等腰三角形．
问题3：正棱台的侧面展开图是什么？
提示：若干个全等的等腰梯形．ch观察下列旋转体：问题1：圆柱的侧面展开图是什么？
提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．
问题2：圆锥的侧面展开图是什么？
提示：扇形．
问题3：圆台的侧面展开图是什么？
提示：扇环．πrlπ(r＋r′)lcl 1．柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．
2．柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开．
3．柱、锥、台的侧面积之间的关系(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系：(2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系： 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．
[思路点拨] 由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积． [一点通] 求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，
则此三棱锥的表面积为________．3．已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，
且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高． 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
[思路点拨] 解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积． [精解详析] 如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，
同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr ＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.2122 [一点通]
(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．
(2)对于与旋转体有关的组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的半径和母线长，注意方程思想的应用．5．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的
表面积．
解：设圆柱的底面半径为r.
圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长．
∴2πr＝4π，即r＝2.
∴S底＝4π，S全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π.②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长．
∴2πr＝6π，即r＝3.
∴S底＝9π.
∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π. 1．正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
2．棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到． 3．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．点此进入
1．一个圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为________．
解析：S侧＝πRl＝π×2×＝8π.
答案：8π
2．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为________．
解析：如图，在正三棱锥S－ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝＝a，
所以侧面积S＝3××a×a＝a2.
答案：a2
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为r′、r，
则母线l＝(r′＋r)．
∴S侧＝π(r＋r′)·l＝π·2l·l＝2πl2＝32π.
∴l＝4.
答案：4
4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为________．
解析：设正方形边长为1，则圆柱的底面半径为r＝，S侧＝1，S表＝2π()2＋1＝＋1，∴S表∶S侧＝(＋1)∶1＝.
答案：
5．已知正四棱台的上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，则它的侧面积为________．
解析：设四棱台为ABCD－A1B1C1D1，如图所示．设B1F为斜高，在Rt△B1FB中，有B1F＝h′，BF＝(8－4)＝2，B1B＝8，
所以B1F＝＝2.
所以h′＝B1F＝2.
所以S正棱台侧＝×4×(4＋8)×2＝48.
答案：48
6．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．
解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R，高为h，则圆锥的底面半径为R，高为h，设圆锥母线长为l，
则有l＝①
依题意，得②
由①②，得R＝，即圆柱的底面半径为.
7．设正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的全面积．
解：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，则SE⊥AB，即SE＝h′.∵S侧＝2S底，
∴×3a×h′＝a2×2，
∴a＝h′.∵SO⊥OE，
∴SO2＋OE2＝SE2，
∴32＋(×h′)2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S全＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
8.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?
解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3＝9.3(m2)，
半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×()2≈1.6(m2)，
所以S1＋S2≈9.3＋1.6＝10.9(m2)．
10．9×150≈1 635(朵)．
答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．
课件33张PPT。1.3空间几何体的表面积和体积1.3.2
空间几何体的体积理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二考点三观察下列几何体：问题1：你能否求出上述几何体的体积吗？
提示：能．
问题2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？
提示：底面积和高．Sh 2009年12月4日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布2010年南非世界杯官方比赛用球“JABULANI”，“JABULANI”源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取得历史性突破，设计上融入了南非元素． 问题1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？
提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球．
问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？
提示：能，只要知道球的半径即可求出．4πR24 1．求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割．
2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系 3．要求球的表面积，只需求出球的半径．
4．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数． (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积． (2)如图，四棱锥P-ABCD的底面
是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，
PD＝ .求此四棱锥的体积．
[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明PA⊥底面ABCD，再利用公式求体积． [一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，则该
圆锥的体积为________．2．三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面到对棱的距离
为d，则三棱柱体积为________． 圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？
[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题． [一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱台两底面边长为20 cm和10 cm，侧面积为
780 cm2，求其体积． [一点通] 已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．答案：12π5．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则
圆柱的高为________．答案：4R6．(2011·扬州市高一期中)棱长为2的正方体的外接球的表
面积是________．答案：12π 1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求．
2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．点此进入
1．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．
解析：V＝h(S＋＋S′)＝×2×(6××4＋＋6××16)＝28
答案：28
2．(2012·许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．
解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，
由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，
所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.
答案：2π
3．(2011·福建高考)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．
解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝.
答案：
4．(2012·盐城模拟)圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2.
解析：设该铁球的半径为r，则由题意得
π×r3＝π×102×，解得r3＝53.∴r＝5
∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)
答案：100π
5．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于________．
解析：可以将其补全为一个长方体，则长、宽、高分别为、1、1，∴长方体体对角线长为＝2，
故R＝1，∴S球表＝4πR2＝4π.
答案：4π
6．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？
解：由图示知半球半径R＝4 cm，
杯子高为12 cm，
∵V半球＝×π×43＝π(cm3)．
V圆锥＝πR2h＝π×42×12＝64π(cm3)．
∵V圆锥＞V半球，∴冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
7．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm2和245 cm2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm，求正四棱台的体积．
解：如图，SO＝35，A′O′＝2，
AO＝，
由＝，得SO′＝＝20.
∴OO′＝15.
∴V正四棱台＝×15×(80＋＋245)＝2 325.
即正四棱台的体积为2 325 cm3.
8．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
(1)证明平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P-ABCD的体积．
解：(1)证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，
所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，
且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.
(2)因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.
因为∠APB＝∠ADB＝60°，
所以PA＝PB＝，HD＝HC＝1，可得PH＝.
等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.
所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.
课件21张PPT。核心要点归纳阶段质量检测章末盘点
知识整合与阶段评估 一、空间几何体
1．多面体与旋转体
(1)棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．
(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．
注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体． (3)棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．
注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想． (4)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线． 2．直观图
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，最大区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线．二、平面的基本性质
1．平面的基本性质 公理3的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．三个公理的主要作用
(1)公理1的作用：①判断直线是否在平面内，点是否在面内．②用直线检验平面．
(2)公理2的作用：①判定两个平面是否相交；②证明点共线．
(3)公理3的作用：①确定平面；②证明点线共面． 1．证明线线平行的方法
(1)线线平行的定义；
(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
(3)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
(4)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
(5)面面平行的性质定理：
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 三、空间直线与直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种注意：两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种． 2．证明线线垂直的方法
(1)线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；
(2)线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b. 四、空间直线与平面的位置关系
空间中直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．
注意：直线在平面外包括平行和相交两种关系．
1．证明线面平行的方法
(1)线面平行的定义；
(2)判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；
(3)平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β. 五、空间平面与平面的位置关系
空间平面与平面的位置关系有且只有平行和相交两种．
1．证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：
a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；
(3)线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行． 2．证明面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；
(2)面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
3．证明空间线面平行或垂直需注意三点
(1)由已知想性质，由求证想判定；
(2)适当添加辅助线(面)；
(3)用定理时先明确条件，再由定理得出相应结论． 六、空间几何体的表面积和体积
1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系2．圆锥、圆台、圆柱的侧面积公式间的联系3．锥、台、柱的体积之间的联系点此进入
(时间：120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共70分)
1．(2012·临沂高一检测)下列几何体是旋转体的是________．
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体
答案：①④
2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．
解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面．
答案：平行或异面
3．直线l1∥l2，在l1上取3个点，l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________．
解析：∵l1∥l2，∴过l1与l2有且只有一个平面．
答案：1
4．(2012·淮阴高一检测)长、宽、高分别为4、3、2的长方体的外接球的表面积为________．
解析：球的直径与长方体体对角线相等，故S球＝4πr2＝4π×()2＝29π.
答案：29π
5．(2012·鹤岗高一检测)一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．
解析：如图所示，将△A′B′C′还原后为△ABC，由于O′C′＝C′D′＝×1×＝，
所以CO＝2O′C′＝
∴S△ABC＝×1×＝.
答案：
6．(2012·福州高一检测)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是________．
解析：连结AC，由于四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，所以BD⊥平面AMC，所以MA⊥BD.
答案：垂直
7．(2012·龙岩高一检测)已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与平面β的位置关系为________．
解析：∵a∥α，α∥β，∴a∥β或a?β.
答案：a∥β或a?β
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点．
(1)A1C1与EF所成的角的大小是________．
(2)AD1与EF所成的角的大小是________．
解析：(1)连结B1D1，易证B1D1∥EF，又B1D1⊥A1C1，所以A1C1⊥EF，即A1C1与EF所成的角为90°.
(2)连结B1A，可知∠AD1B1＝60°，又EF∥B1D1，故∠B1D1A＝60°，即为AD1与EF所成的角．
答案：(1)90° (2)60°
9．已知点E是棱长为3的正方体AC1的面A1C1上的任意一点，则四棱锥E－ABCD的体积是________．
解析：四棱锥E－ABCD的高是正方体的棱长，则其体积是×32×3＝9.
答案：D
10．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．
解析：此题的求解可考虑F与E重合和F与C重合这两个极端位置．当F位于DC的中点E时，点K与AB的中点重合，t＝1.
F点右移至C点时，
因CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，
∵CD＝2，BC＝1，
∴BD＝，
又AD＝1，AB＝2，
∴AD⊥BD，则有t＝.
因此t的取值范围是(，1)．
答案：(，1)
11．(2012·温州模拟)设α表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法
①a∥α，a⊥b?b∥α ②a∥b，a⊥α?b⊥α
③a⊥α，a⊥b?b?α ④a⊥b，b?α?a⊥α
其中正确说法的序号是________．
解析：对①，还有可能b?α，b⊥α，对③，b还可能与α平行，故①③错误；②正确，对④a还可能与α相交，a还可能在α内，但不垂直，故④错误．
答案：②
12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．
①AB∥m ②AC⊥m
③AB∥β ④AC⊥β
解析：A∈α，AB∥l，则AB?α，AC⊥l，C点未必在α内，由图知，AC⊥β不成立．
答案：④
13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x，由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，即＝.整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.
答案：a或2a
14．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的原圆锥的体积是________．
解析：设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，
则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.
令原圆锥的高为h，由相似性得＝，
∴h＝h1.
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.
答案：54
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，圆柱侧面上从A到C的最短距离是多少？
解：如图，底面半径为 cm，母线长为5 cm.
沿AB展开，则C、D分别是BB′、AA′的中点．
依题意AD＝π×＝π.
∴AC＝＝.
∴圆柱侧面上从A到C的最短距离为 cm
16．(14分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE⊥平面ADE.
证明：∵E是以DC为直径的半圆周上一点，
∴CE⊥DE.
又∵平面CDE⊥平面ABCD，且AD⊥DC，
∴AD⊥平面CDE.又CE?面CDE，
∴AD⊥CE.又DE∩AD＝D，∴CE⊥平面ADE.
17．(14分)(2011·南京高一检测)已知正四棱锥S－ABCD中，高SO是4 m，底面的边长是6 m．
(1)求正四棱锥S－ABCD的体积；
(2)求正四棱锥S－ABCD的表面积．
解：(1)S底＝6×6＝36 (m2)．
∴V正四棱锥＝S底h＝×36×4＝48 (m3)．
∴正四棱锥S－ABCD的体积为48 m3.
(2)过点S做SE⊥BC于点E，连结OE，则SE是斜高，
在直角三角形SOE中，SE＝ ＝5
S正棱锥侧＝ch′＝×6×4×5＝60 m2
S表＝S正棱锥侧＋S底＝60＋6×6＝96 m2
∴正四棱锥S－ABCD的表面积为96 m2.
18．(16分)已知等腰梯形PDCB中(如图①)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，A为PB边上一点，且DA⊥PB.现将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD(如图②)．
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成两部分，其两部分体积比为VPDCMA∶VM－ACB＝2∶1.
解：(1)证明：依题意知，CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PAD.又DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)由题意知PA⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD.
如上图，在PB上取一点M，作MH⊥AB，则MH⊥平面ABCD，设MH＝h，
则VM－ABC＝S△ABC·h
＝××2×1×h＝.
VP－ABCD＝S梯形ABCD·PA
＝××1×1＝.
要使VPDCMA∶VM－ACB＝2∶1，
即(－)∶＝2∶1，解得h＝.
易得M为PB中点．
19.(16分)(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD.
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
20．(16分)(2012·三水高一检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1B1的中点，
(1)若M在侧面A1D1DA及其边界上运动，问M在哪条线段上运动均能使A1C∥平面AME？并证明你的结论；
(2)求证：平面AED1∥平面C1FB.
解：(1)当M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM，证明如下：
连结A1D，取A1D的中点为G，连结EG，
∵E，G分别为CD，A1D的中点，
∴EG∥A1C，
∵EG?面AEG，
∴A1C∥面AEG，
∵当M在AD1上运动时，EG总在面AEM内，
∴A1C∥面AEM，
故M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM.
(2)证明：在正方体中，
∵AD1∥BC1，BC1?面AED1，
∴BC1∥面AED1，
取AB中点H，连结FH，CH，
∵FH綊CC1，
∴四边形FHCC1为平行四边形．
∴FC1∥HC，又易知四边形AHCE为平行四边形，
∴AE∥HC，
∴C1F∥AE，
又∵C1F?面D1AE，
∴C1F∥面D1AE，
而BC1∩C1F＝C1，且BC1，C1F?面BC1F，
∴平面BC1F∥平面D1AE.
课件32张PPT。考点一2.1
直线与方程2.1.1
直线的斜率理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步知识点一考点二知识点二考点三问题1：可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？
提示：可以．
问题2：上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？
提示：可以．不存在一个定值如图，在平面直角坐标系中，给定一条直线l.
问题1：若直线l过点P，直线的位置能够确定吗？
提示：不能．
问题2：过点P可作与l相交的直线多少条？
提示：无数条．
问题3：对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜程度？
提示：可利用直线相对于x轴的倾斜角度． (1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按 方向旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角．规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 .
(2)倾斜角α的范围是 .
(3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足： .最小正角逆时针0°≤α＜180°k＝tan α0° 1．对于直线的倾斜角要把握
(1)定义中三个条件①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)它直观地描述且表现了直线相对x轴正方向的倾斜程度．
(3)每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，倾斜角相等． 2．直线的斜率与倾斜角的关系
(1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l的斜率k＝tan α.
(2)从几何图形上看0 图中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角． [思路点拨] 明确直线倾斜角概念是解决本题的关键．
[精解详析] 设直线l的倾斜角为β，结合倾斜角的定义可知，图①中α是直线l的倾斜角，即β＝α.
图②中α不是直线l的倾斜角，但α与β互补，
即有β＝180°－α.
图③中α不是直线l的倾斜角，但α与β是对顶角，故β＝α.
图④中α不是直线l的倾斜角，但β＝90°＋α. [一点通] 解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围，结合图形求角时，注意平面几何知识的应用．1.若直线l的向上方向与y轴的正方向成 30°角，则直线l的
倾斜角为____________．解析：如图所示，直线l有两种情况，故l的
倾斜角为60°或120°.答案：60°或120°2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点按逆时
针方向旋转60°，得到直线l′的倾斜角α＋60°，则
α的取值范围是 ____________．
解析：由倾斜角的范围知，0°≤α＋60°＜180°且
0°≤α＜180°，
∴0°≤α＜120°.
答案：0°≤α＜120° 经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)P(1,1)，Q(－1，－2)；
(2)P(－2，－3)，Q(－2,3)；
(3)P(2,1)，Q(m,2)．答案：1答案：(1,6) 已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M、N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．
(1)求直线PM与PN的斜率；
(2)求直线l的斜率k的取值范围．
[思路点拨] (1)代入斜率公式，
(2)数形结合求k的范围． [一点通] 数形结合确定斜率变化时注意k＞0与k＜0的变化情况．5．直线l过点A(1,2)；且不过第四象限，那么直线l的斜率
的取值范围是____________．解析：如图所示，kl＝kOA＝2，kl′＝0，
只有当直线l落在阴影部分才符合题意，
∴k∈[0,2]．答案：[0,2]6 ．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)， 若点D在线段BC
上移动时，求直线 AD斜率的变化范围．点此进入
1．若直线l与x轴垂直，其倾斜角为α，则α＝__________.
答案：90°
2．已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为________．
解析：若点B在x轴上，设B(x,0)，由＝2，得x＝1；若点B在y轴上，设B(0，y)由＝2，得y＝－2.所以B点坐标为(1,0)或(0，－2)．
答案：(1,0)或(0，－2)
3．已知直线l1的倾斜角为α，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角用α表示为__________．
解析：设l2的倾斜角为θ，则α＝0°时，θ＝0°；
0°＜α＜180°时，θ＝180°－α.
答案：0°或180°－α
4．已知三点A(2，－3)，B(4,3)及C(5，)在同一条直线上，则k的值是__________．
解析：由题意知，kAB＝kAC.即＝，解得k＝12.
答案：12
5．若点P(x，y)在线段AB：y＝1(－2≤x≤2)上运动，则的取值范围是________．
解析：如图所示，的几何意义为点(x，y)与(0,0)连线的斜率，∴≥或≤－.
答案：(－∞，－]∪[，＋∞)
6．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
证明：∵A(1，－1)，B(－2,7)，C(0，－3)三点共线．
∴kAB＝＝2，
kAC＝＝2.
∴kAB＝kAC.
∵直线AB与直线AC的斜率相等且过同一点A.
∴A、B、C在同一条直线上，即三点共线．
7.如图所示，直角梯形OABC中，OA∥BC，顶点A、C分别在x轴和y轴上，且OA＝4，CB＝3，梯形的面积S＝6.求直线AB的斜率．
解：由题意知，S＝×(4＋3)OC＝6，解得OC＝，
即点B的坐标是(3，)，
又点A的坐标为(4,0)且3≠4，
故直线AB的斜率k＝＝－.
8．光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，求点Q的坐标及入射光线的斜率．
解：点B(4,3)关于y轴的对称点B′(－4,3)，kAB′＝＝－，从而入射光线的斜率为－.
设Q(0，y)，则k入＝kQA＝＝－.
解得y＝，即Q的坐标为(0，)．
课件33张PPT。2.1
直线与方程2.1.2
直线的方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三第一课时
点斜式 一根长长的线，线的另一端系着一
个美丽的风筝，如果把风筝看作一个点，
随着方向的变化，风筝带着线在空中画
出了一条条的直线． 问题1：对于上述问题在平面直角坐标系中，若风筝看作一点，则过此点是否可以确定无数条直线？
提示：可以．
问题2：要确定过一点的一条直线，还需知道什么条件？
提示：需知直线的倾斜角或斜率．直线的点斜式和斜截式y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b与x轴垂直与x轴垂直 1．直线的点斜式方程的前提条件是
(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；
(2)斜率必须存在，只有这两个条件都具备才可以写出点斜式方程．
2．若直线的斜率不存在，则过定点P(x0，y0)的直线应为x＝x0. 3．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0，y＝b时不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． 求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(－1,2)；
(2)在x轴上的截距是－5. [思路点拨] 由倾斜角求斜率，再利用点斜式求方程．
[精解详析] (1)∵所求直线的倾斜角为135°，
∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，
∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，
∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，
即x＋y＋5＝0. [一点通] 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.答案：120°，(－1,2)3．直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的方程． 根据条件，写出直线的方程：
(1)经过点A(－1,2)，在y轴上的截距为－2；
(2)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等．
[思路点拨] 本例两题均采用设出斜截式方程，利用待定系数法求解． [一点通]
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
(2)截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可正，可负还可为零．5．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上
截距为b(b≠0)，则k，b应满足的关系是________．
解析：当k≠0时，∵直线不经过第三象限，∴k＜0，b
＞0，
当k＝0，b＞0时，直线l也不过第三象限，综上k≤0，b
＞0.
答案：k≤0，b＞0 已知直线l2的斜率是直线l1：x－y＋1＝0的斜率的3倍，且分别满足下列条件：(1)在y轴上的截距为3；(2)与x轴的交点是(－5,0)，分别求直线l2的方程．
[思路点拨] 将直线l1方程化为斜截式，求其斜率，再求l2的斜率，再分别结合条件(1)，(2)求l2的方程．[精解详析] 由x－y＋1＝0得y＝x＋1，∴直线x－y＋1＝0的斜率为1，从而直线l2的斜率为3.
(1)∵直线在y轴上的截距为3，故直线l2的方程为y＝3x＋3；
(2)∵直线经过点(－5,0)，
利用点斜式方程可得y＝3(x＋5)，
即3x－y＋15＝0. [一点通] 利用待定系数法求直线方程
(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率．
(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y轴上截距．6．写出斜率为2，在y轴上的截距为m的直线方程，当m为
何值时，直线经过点(1,1)?
解：因为直线的斜率为2，且在y轴上的截距为m，所以
由直线的斜截式可得直线的方程为y＝2x＋m.因为直线
经过点(1,1)，代入直线方程解得m＝－1.所以直线方程
为y＝2x＋m.当m＝－1时，直线经过点(1,1)．7．光线自点M(2,3)射到y轴上的点N(0,1)后被y轴反射，求
反射光线的方程．1．使用点斜式方程时要注意分斜率k是否存在，这
里体现了分类讨论思想，同时由点斜式方程也可
以得出动直线过定点(x0，y0)，这是探索动直线
过定点的重要依据之一．
2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况．点此进入课件33张PPT。2.1
直线与方程2.1.2
直线的方程 理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解第三课时
一般式考点三第三课时 一般式目前为止，已学习过的直线方程有： 问题1：上述形式的直线方程与二元一次方程的一般形式有何联系？
提示：都可以化为二元一次方程的一般形式．
问题2：二元一次方程可以表示直线方程吗？
提示：可以． (1)直线与二元一次方程的关系
①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的
)来表示．
②在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的
都表示一条直线．二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为0二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为0) (2)直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程
，叫做直线的一般式方程．Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为0) 根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(2)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
[思路点拨] (1)先利用两点式写出直线方程，再化为一般式；(2)先利用截距式写出直线方程，再化为一般式． [一点通] 求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．答案：3x－4y－12＝0或3x－4y＋12＝0 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6.
根据下列条件确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3.
(2)直线l的斜率是－1.
[思路点拨] 首先将直线l的一般式方程化为斜截式方程，然后根据条件列关于m的方程组求解即可． [一点通] 把直线方程一般式Ax＋By＋C＝0化成其它形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．3．如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过
第________象限．答案：三4．把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜
率和它在x轴和y轴上的截距，并画图． (2012·镇江模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． [思路点拨] (1)两坐标轴上的截距相等，可考虑用截距式求方程，但不能漏掉“零截距”情况．
(2)直线不过第二象限可考虑斜率大于0，在y轴上的截距非正，也可用在坐标轴上的截距正负判断，注意截距为0时的特殊情况． [一点通]
(1)由直线的一般式方程向其他形式转化时，要注意其中的字母系数是否为零；
(2)由于截距可以为零，原点不属于任何象限，所以本题求解时一定要展开讨论，否则将出现漏解．5．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为
45°，则实数a＝________.6．(2012·无锡模拟)无论m，n取何实数值，直线(3m－n)x
＋ (m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点的坐标为
________． 1．直线方程形式的选择技巧
一般地，已知一点通常选择点斜式，已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式，另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式．2．直线方程的一般式和其他形式互化如下点此进入课件29张PPT。2.1
直线与方程2.1.2
直线的方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解第二课时
两点式第二课时 两点式观察图片，回答下列问题：问题1：能否由直线l的两点A、B的坐标确定其方程？
提示：能，可先求斜率，再利用点斜式来推导．
问题2：能否由直线l与两坐标轴的交点坐标确定其方程？
提示：能．直线的两点式方程和截距式方程垂直于垂直于原点 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
[思路点拨] 已知直线上的两点，可利用两点式求方程，也可利用两点先求斜率利用点斜式写直线方程． [一点通] 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．1．求经过下列两点的直线方程．
(1)A(2,5)，B(4,3)；
(2)A(2,5)，B(5,5)；
(3)A(2,5)，B(2,7)． 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．[思路点拨]②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上所述，所求直线方程为
x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
[一点通]
(1)使用截距式方程，一定要注意截距非零．
(2)当题设条件不唯一时，通常要对各种情形进行讨论．2．(2012·南通高一检测)过点(2,4)可作在x轴，y轴上的截距
相等的直线共________条．答案：23．你还能用其他方法求解例2吗？4．直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求
直线l的方程． 1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．在用两点式求方程时，注意两点式的形式，即不能将字母或数字的顺序错位． 2．在涉及直线与两坐标轴的截距问题时，常把直线方程设为截距式，由已知条件建立两截距的方程，解得截距的值，从而确定方程．另外，当题目中出现诸如“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，一定要注意考虑“零截距”的情况．点此进入
1．已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则直线的斜率为________．
答案：－1
2．过点(2，－3)且斜率为4的点斜式方程为________，斜截式方程为________．
解析：由题意可知，所求直线的点斜式方程为y－(－3)＝4(x－2)．斜截式方程为y＝4x－11.
答案：y－(－3)＝4(x－2) y＝4x－11
3．直线l经过点(－2,2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的方程为________．
解析：直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，故所求直线的斜率k＝＝2，故所求直线方程为y－2＝2(x＋2)，即2x－y＋6＝0.
答案：2x－y＋6＝0
4.直线y＝ax－的图象如图所示，则a＝________.
解析：由图象知，直线斜率为－1，在y轴上截距为1，故a＝－1.
答案：－1
5．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成45°角的直线方程是________．
解析：由题意知，直线的倾斜角为45°或135°，故其斜率为1或－1，
∴直线方程为y＝±x－6.
答案：y＝±x－6
6．根据条件写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°；
(2)经过点C(4,2)，倾斜角为90°；
(3)经过坐标原点，倾斜角为60°.
解：(1)由题意知直线的斜率为－1，所以直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)．
(2)由题意知直线垂直于x轴，即直线的斜率不存在，
所以无点斜式方程，直线的方程为x＝4.
(3)由题意知直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为y＝x.
7．已知直线l的斜率为，求经过点A(2,1)且与l成30°的直线l′的方程．
解：l的斜率k＝，设其倾斜角为α，即tan α＝，得α＝60°，l′与l成30°角，则l′的倾斜角α′＝60°±30°，即α′＝30°或90°.
当α′＝30°时，k′＝，方程为y－1＝(x－2)，
即x－y＋－2＝0；
当α＝90°时，k′不存在，方程为x＝2，
综上，直线l′的方程为x－y＋－2＝0或x＝2.
8．(2011·常州高一检测)已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
解：(1)如图所示，由题意知，AB∥x，
则AB边所在直线方程为y＝1，
(2)由题意知，kAC＝，kBC＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)，
直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
1．已知直线方程5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上截距为________，在y轴上截距为________．
解析：将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，
∴在x轴，y轴上的截距分别为4,5.
答案：4 5
2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－(4m－1)＝0在x轴上的截距等于1，则实数m＝________.
解析：令y＝0，得x＝＝1，解得m＝2或－.
答案：2或－
3．(2012·宿迁高一检测)已知直线l的方程为3x＋ky－6＝0，若l在x轴、y轴上的截距相等，则实数k的值为________．
解析：由题意可知，k≠0，令x＝0；
得y＝，令y＝0，则x＝2.由＝2得k＝3.
答案：3
4．两条不重合的直线l1、l2在y轴上的截距都是b (b≠0)，在x轴上的截距的绝对值是a，则l1、l2与x轴围成的三角形的面积为________．
解析：由题意可知，l1、l2与x轴围成的三角形的面积为S＝·2a|b|＝a|b|.
答案：a|b|
5．设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________．
解析：ax＋by＝1变形为ax＋(k－a)y＝1，a(x－y)＋ky－1＝0，
对于任何a∈R都成立，则
解得
答案：(，)
6．求直线2x＋(3k－1)y＋k－1＝0在x轴、y轴上的截距．
解：令y＝0，则x＝，于是直线在x轴上的截距为；令x＝0，则(3k－1)y＋k－1＝0，于是当k＝时，直线在y轴上的截距不存在；当k≠时，直线在y轴上的截距为.
7．直线x－y＋1＝0上一点P的横坐标是3，把已知直线绕P点逆时针方向旋转90°后得直线l，求直线l的方程．
解：把x＝3代入直线方程x－y＋1＝0中，
得y＝4，∴P(3,4)．
∵直线x－y＋1＝0的斜率为1，
∴该直线的倾斜角为45°，
∴直线l的倾斜角应为135°，可知其斜率为－1.
由点斜式得直线l的方程为y－4＝－(x－3)，
即x＋y－7＝0.
8．直线l过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为
＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，a＋b＋＝12，
又因为直线l过点P(，2)，
所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0
或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，得a2－6a＋8＝0，
解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
1．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则l的倾斜角为________角，l不过第________象限．
答案：钝 一
2．直线－＝1在y轴上的截距是________．
解析：据直线方程的截距式表示形式，原方程应化为＋＝1，直线在y轴上的截距为－b2.
答案：－b2
3．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________．
解析：若截距为零，设直线方程为y＝kx，则3＝－2k，
∴k＝－，∴y＝－x即3x＋2y＝0；
若截距不为零，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a
∵直线过点(－2,3)，∴－2－3＝a，即a＝－5
∴x－y＋5＝0
综上，所求直线方程是3x＋2y＝0或x－y＋5＝0
答案：3x＋2y＝0或x－y＋5＝0
4．经过点A(－1，－5)和点B(2,13)的直线在x轴上的截距为________．
解析：由题意，直线的方程为＝，即6x－y＋1＝0.
令y＝0，得x＝－.
答案：－
5．(2012·宿迁模拟)直线l过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是________．
解析：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知a＞0，b＞0，解得a＝2，b＝6，
∴直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.
答案：3x＋y－6＝0
6．直线l经过点A(2,1)和点B(a,2)，求直线l的方程．
解：①当a＝2时，直线的斜率不存在，直线上每点的横坐标都为2，所以直线方程为x＝2；
②当a≠2时，由＝得x＋(2－a)y＋a－4＝0.
∴当a＝2时，所求直线方程为x＝2；
当a≠2时，所求直线方程为x＋(2－a) y＋a－4＝0.
7．已知直线l1为－＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l1的纵截距相等的直线l的方程．
解：∵l1的方程可化为＋＝1，
∴直线l1的纵截距为－.
设直线l的方程为＋＝1，
即－＝1.
并且直线l过点(1,2)，所以－＝1，解得a＝.
因此直线l的方程为－＝1，即7x－2y－3＝0.
8．求过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b且满足a＝3b的直线方程．
解：当a＝3b≠0时，设所求方程为＋＝1，
∵过点P(2，－1)，
∴＋＝1，解得b＝－，
故所求直线方程为＋＝1，即x＋3y＋1＝0；
当a＝3b＝0，则直线过原点，设方程为y＝kx.
∵直线过P(2，－1)点，
∴－1＝2k，k＝－，所求方程为x＋2y＝0.
综上可知，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.
课件27张PPT。2.1
直线与方程2.1.3
两条直线的平行与垂直理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三第一课时
两条直线平行 观察右图平面直角坐标系中两条直线回
答下列问题．
问题1：图中两对直线有什么位置关系？
提示：平行．
问题2：平行的两条直线的倾斜角有什么关系？
提示：相等．
问题3：若两条直线平行，则它们的斜率相等吗？
提示：不一定，当两条直线平行且与x轴垂直时斜率不存在．两条直线平行 对两直线平行与斜率的关系要注意
(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合的直线平行的判定的一般结论是：
l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在． 判断下列各题中直线l1与l2是否平行．
(1)l1的斜率为1，l2经过点P(1,1)、Q(3,3)；
(2)l1经过点A(－3,2)、B(－3,10)，l2经过点C(5，－2)、D(5，5)；
(3)l1经过点A(0,1)、B(1,0)，l2经过点C(－1,3)、D(2,0)． [思路点拨] 依据斜率公式，求出斜率，利用l1∥l2或l1、l2重合?k1＝k2或k1，k2不存在判断．[一点通] 判断两条直线平行的方法解析：①②平行，③重合，④相交．
答案：①②2．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系是
________．答案：平行或重合 已知直线l1：mx＋y－(m＋1)＝0，l2：x＋my－2m＝0，当m为何值时，
(1)直线l1与l2互相平行？
(2)直线l1与l2重合？
[思路点拨] 为避免讨论，可利用方程系数的关系判断．3．(2012·嘉兴高一检测)若直线l1：ax＋y＋2a＝0与l2：
x ＋ay＋3＝0互相平行，则实数a＝________.
解析：由于两直线平行，所以a2－1＝0，解得a＝±1.
答案：±1 答案：－6 求过点(2，－1)且与直线3x－4y－2＝0平行的直线方程．
[思路点拨] 可利用平行关系求出斜率，再求直线方程；或利用平行直线系方程求 [一点通] 平行直线方程的求法
(1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．
(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0平行，则可设l的方程为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程为
________．
解析：设所求直线方程为x－2y＋C＝0，则1－2×0＋C
＝0，C＝－1，
故所求方程为x－2y－1＝0.
答案：x－2y－1＝06．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，
直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方
程．
解：∵直线l与l1平行，
∴kl＝kl1＝－2.
又∵直线l与直线l2在y轴上的截距相同，
∴直线l的方程为y＝－2x－2，
即2x＋y＋2＝0.1．判断两不重合直线平行的方法
(1)利用斜率判断：
l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．
(2)利用方程中系数来判断：
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.
2．求与已知直线平行的直线方程的求法
(1)利用平行直线系方程求解，这是常用方法．
(2)利用平行关系求斜率，进而求解．点此进入课件30张PPT。2.1
直线与方程2.1.3
两条直线的平行与垂直理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三第二课时
两条直线垂直 观察下图，回答下列问题，在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线l1，l2的倾斜角分别为60°和150°.问题1：上述问题中两条直线l1，l2的斜率分别是多少？问题2：上述问题中两条直线l1，l2的斜率有什么关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：不一定，若一直线与x轴垂直，另一条与x轴平行，它们垂直，但一条直线斜率不存在．两条直线垂直 对两直线垂直与斜率的关系要注意
(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
l1⊥l2?k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 判断下列各题中直线l1与l2是否垂直．
(1)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0；
(2)直线l1：y－2＝0，直线l2：x－ay＋1＝0.[一点通] 判断两直线垂直的步骤1．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四
个结论：
①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.
其中正确的个数为________．答案：①④2．直线l1，l2的斜率分别是方程x2－3x－1＝0的两个根，
则l1与l2的位置关系是________．
解析：由根与系数的关系可知，kl1·kl2＝－1，∴l1⊥l2.
答案：垂直 直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值．
[思路点拨] 解答本题可先讨论斜率是否存在，然后利用两直线垂直的条件求相应参数；或利用直线方程中系数关系求参数．法二：l1中，A1＝a，B1＝1－a，
l2中，A2＝a－1，B2＝2a＋3.
若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0，
即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3.
∴a的值为－3或1. [一点通]
(1)此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解．
(2)利用含有字母系数的直线方程判断两直线垂直或由垂直求参数时，可按下列方法求解：
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.3．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my
－6＝0互相垂直，则实数m＝________.答案：14．已知直线l1经过点A(3，a)、B(a－2，－3)，直线l2经过点
C(2,3)、D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝________.
解析：当k2＝0时，即a＝5时，k1无意义，所以两直线垂
直．当k2≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝－6.故a的值为－6
或5.
答案：－6或5 已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求过点A和直线l垂直的直线方程．
[思路点拨] 利用垂直关系求出斜率，再用点斜式求方程；或利用垂直直线系方程求解．5．若原点在直线l上的射影是点P(－2,1)，则直线l的方程
是________．答案：2x－y＋5＝06．与直线2x＋3y＋5＝0垂直，且在两坐标轴上的截距
的绝对值之和为5的直线l的方程是________．答案：3x－2y±6＝0 1．两条直线垂直的判定的一般结论
l1⊥l2?k1·k2＝－1或一直线斜率不存在，另一条直线斜率为0.
2．设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
3．与直线l：Ax＋By＋C＝0的垂直直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.
应用它可简化求解直线方程的运算，同时可避免讨论．点此进入
1．下列命题：
①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若两直线平行，则斜率相等； ③两条直线的斜率，若一个存在另一个不存在，则两直线不平行； ④若不重合的两条直线的斜率都不存在，则两条直线平行．
其中正确命题的序号是________．
解析：①②均错误，因为①未考虑重合的情况，②未考虑斜率不存在的情况；③④正确．
答案：③④
2．已知AB∥PQ，A(2,3)，B(x,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，则x＝________.
解析：∵AB∥PQ，∴kAB＝kPQ，即＝，解得x＝－4.
答案：－4
3．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2) x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是________．
解析：两直线没有公共点，即两直线平行，
故3a×1－(a－2)a2＝0且2a－6(a－2)≠0，解得a＝0或a＝－1.
答案：0或－1
4．(2012·徐州模拟)已知直线l1：ax＋by＋6＝0，l2：3x－2y＋1＝0，l1在y轴上的截距为1，且l1∥l2，则a＋b＝________.
解析：∵l1在y轴上截距为1，∴l1过点(0,1)，
∴a×0＋b×1＋6＝0，即b＝－6.
又l1∥l2，∴k1＝k2，即＝，∴a＝9，∴a＋b＝3.
答案：3
5．已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标是________．
解析：设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.
所以解得m＝3，n＝4.
所以D(3,4)．
答案：(3,4)
6．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，判断直线l1，l2的位置关系．
解：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，
直线l2的斜率k2＝＝，
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．
7．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(1，－4)，E(3,1)，F(－2,4)，求△ABC三边所在直线的方程．
解：由题意，DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB，即kAB＝kDE＝，得AB的方程为：y－4＝(x＋2)，即5x－2y＋18＝0，同理可得BC的方程为3x＋5y＋17＝0，AC的方程为8x＋3y－27＝0.
8．已知直线l与直线m：2x＋3y－5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l的方程．
解：法一：设直线l的方程为2x＋3y＋m＝0，令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.
由题意知－－＝1，解得m＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－＝0，
即10x＋15y－6＝0.
法二：由于直线l显然不经过原点，故可设直线l的方程为＋＝1.
直线l与直线m：2x＋3y－5＝0平行，则斜率相等，－＝－.①
又直线l在两坐标轴上的截距之和为1，
即a＋b＝1.②
由①②联立方程组并解得a＝，b＝.
故直线l的方程为＋＝1，
即10x＋15y－6＝0.
法三：由于直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝kx＋b.
直线l与直线m：2x＋3y－5＝0平行，则斜率相等，k＝－.又直线l在两坐标轴上的截距之和为1，
即－＋b＝1，解得b＝.
故直线l的方程为y＝－x＋，
即10x＋15y－6＝0.
1．已知斜率为a和a＋2的两条直线垂直，则a＝________.
解析：由a(a＋2)＝－1，得a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.
答案：－1
2．(2012·南京模拟)已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为________．
解析：∵l1的斜率为0，∴l1的倾斜角为0°，又l1⊥l2，l2的倾斜角为90°.
答案：90°
3．已知点A(2,3)，B(－4,9)，则线段AB的垂直平分线方程为________．
解析：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标是 (－1,6)，
又kAB＝＝－1，∴所求直线方程为y－6＝x＋1，即x－y＋7＝0.
答案：x－y＋7＝0
4．直线x＋3y－7＝0和kx－y－2＝0与x轴、y轴正向所围成的四边形有外接圆，则k的值为________．
解析：∵四边形有外接圆，∴由圆内接四边形的内对角互补知已知两直线互相垂直，∴k＋3×(－1)＝0，即k＝3.
答案：3
5．(2012·泰州模拟)已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________.
解析：l的斜率为k＝tan 45°＝1，
∴kl1＝－1，kAB＝＝kl1＝－1.
∴a＝6.由l1∥l2，∴－＝－1，b＝2.
∴a＋b＝6＋2＝8.
答案：8
6．求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程．
解：设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0.
令x＝0，得y＝－，即A(0，－)；
令y＝0，得x＝－，即B(－，0)．
又∵三角形周长为10，即OA＋OB＋AB＝10，
∴|－|＋|－|＋＝10.
解之得b＝±10，故所求直线方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.
7.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形．证明PA⊥EF.
证明：如图，以B为原点，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，则可以设P点坐标为(x，x)(0＜x＜1)，
则A(0,1)，E(1，x)，F(x,0)，
∴kPA＝，kEF＝.
∴kPA·kEF＝－1.
∴PA⊥EF.
8．三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值．
解：(1)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，
∴m＝1或m＝－1.
若m＝1时，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应舍去．
∴m＝－1.
(2)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有6m－6＝0，得m＝1(舍)．
(3)当直线2x－3m2y＋18＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有4m＋9m2＝0，
∴m＝0或m＝－.经检验，这两种情形均满足题意．
综上所述，所求的结果为m＝－1或0或－.
课件27张PPT。2.1
直线与方程2.1.4
两条直线的交点理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解如图所示， 问题1：两直线的交点坐标和两直线方程有什么关系？
提示：两直线的交点坐标是两直线方程的公共解，即是两直线方程组成的二元一次方程组的解．
问题2：若给出两直线y＝x＋1和y＝3x－2，如何求其交点坐标？
提示：联立方积组，求方程组的解即可． 1．两直线的交点
设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两条直线相交，由于交点同时在这
两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的 ；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．公共解2．方程组的解的组数与两直线的位置关系01无数平行相交重合 1．求两直线的交点坐标，实际上是求由直线l1和直线l2的方程组成的方程组的解．
2．若方程组有无穷组解，则l1和l2重合；反之也成立． 判断下列直线的位置关系，若相交求出它们的交点坐标．
(1)l1：x＋2y＝5和l2：2x＋y＝1；
(2)l1：y＝3x＋1，l2：6x－2y＋3＝0.
[思路点拨] 求出每条直线的斜率，判断是否相等；若斜率不相等联立方程组求交点．[一点通] 两条直线相交的判定方法1．下列各组直线中，其中相交为________组．
①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my
－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y
－1＝0.
解析：①显然相交；②平行；③直线x＋my－1＝0过点
(1,0)，直线x＋2y－1＝0过点(1,0)，故两直线相交；④
两直线平行．
答案：①③2．两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在x轴上，
那么m的值是________．答案：－243．直线Ax－2y－1＝0与直线6x－4y＋C＝0相交，则A、C
的取值范围是________．答案：A≠3，C∈R 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[思路点拨] 可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；或利用过两直线交点的直线系方程求解．法二：设直线l的方程为
x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，
∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. [一点通]两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可．4．本例中若所求直线l与l3平行，求直线l的方程．5．直线ax＋by＋16＝0与x－2y＝0平行，并过直线4x＋
3y－10＝0和2x－y－10＝0的交点，求a，b的值． 1．判断两条直线相交的方法
(1)代数法，即解两条直线方程组成的方程组，若一解则相交；若有无数解则重合；若无解则平行．
(2)利用斜率判断，即若k1≠k2，则k1与k2相交．特别的，当一斜率不存在，另一斜率存在也相交．点此进入
1．经过两点A(－2,5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是________．
解析：kAB＝＝－3，故直线l的方程为y＋4＝－3(x－1)，令y＝0，得x＝－，即直线l与x轴的交点坐标是(－，0)．
答案：(－，0)
2．(2012·盐城高一检测)直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．
解析：由解得即直线y＝2x＋10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)，代入y＝ax－2，解得a＝.
答案：
3．若直线x－y＋1＝0与x＋y＋c＝0的交点在第二象限，则c的取值范围是________．
解析：由得
∵交点在第二象限，∴∴－1＜c＜1.
答案：(－1,1)
4．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的是________(填上正确的序号)．
①y＝－x＋5 ②3x＋2y＝0
③＋＝1 ④＋＝1
解析：直线l的斜率k＝－，要使直线与l相交，则所求直线的斜率k′≠－.又①、②、④中直线的斜率都等于－，③中直线的斜率等于－，故填③.
答案：③
5．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是________．
解析：方程整理为k(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0(k∈R)．
由题意知
解得即直线过定点(2,3)．
答案：(2,3)
6．已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋y－3＝0，
求：(1)直线l1与l2的交点P的坐标；
(2)过点P且与l1垂直的直线方程．
解：(1)解方程组得
∴交点P(1,2)．
(2)l1的斜率为3，故由点斜式方程得过P且与l1垂直的直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋3y－7＝0.
7．已知直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0，若三条直线能构成三角形，求m的值．
解：当三直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形．
①当m＝2时，三线共点，不能构成三角形；
②当l1∥l2时，m＝－2；当l1∥l3时，m＝，此时它们不能构成三角形．
综上所述，当m≠±2，且m≠时，三条直线能构成三角形．
8．已知△ABC中，顶点A(0,1)，AB边上的高线CD所在直线的方程是x＋y－2＝0，AC边上的中线BM所在直线的方程为3x＋y－5＝0，求△ABC的顶点B、C及垂心H的坐标．
解：直线AB过(0,1)，且和直线CD：x＋y－2＝0垂直，则AB的方程为x－y＋1＝0，
解方程组得B(1,2)．
设C(t,2－t)，则AC的中点在BM上，且AC中点为(，)，代入3x＋y－5＝0得t＝，
故C(，－)．
由A(0,1)，C(，－)得AC边上的高线方程的斜率为，又AC边上的高线过点B(1,2)，
代入得方程为7x－5y＋3＝0.
H的坐标可由方程组
得H(，)．
课件32张PPT。2.1
直线与方程2.1.5
平面上两点间的距离理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三如图所示，在数轴上已知A、B.
问题1：如何求A、B间的距离？
提示：AB＝|xA－xB|.
问题2：能否在平面直角坐标系中求出任意两点间的距离？
提示：能． 1．对平面上两点间距离公式的理解
(1)平面上两点间距离公式是数轴上两点间距离公式的推广，坐标轴上两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的特殊情形．
当直线P1P2平行于x轴时，P1P2＝|xA－xB|；
当直线P1P2平行于y轴时，P1P2＝|yA－yB|. [思路点拨] 设出P点坐标，利用两点间距离公式建立方程求解． [一点通] 解答此类问题的关键是借助两点间的距离公式建立参数的方程，利用方程的思想求得参数值，在解答过程中体现了几何问题代数化的思想．2．已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三
角形． 已知A(1，－4)、B(3,2)，又P点在线段AB上，且2AP＝PB，求P点坐标．
[思路点拨] 将三等分点转化为中点，为此可构造PB的中点P1，进而利用中点坐标解决问题． [一点通] 中点坐标公式是一个重要的公式，本题求解过程中两次用到了它，对能力要求较高，因此在平时的学习中应有意识地进行这种训练，以便在考试中能得心应手，游刃有余．3．直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别相交于A，B
两点，若点P恰好为A，B的中点，则直线l的方程
为________．答案：3x－2y＋12＝0.4．若△ABC三个顶点坐标A(－2,2)，B(3,2)，C(4,0)，则
AC边的中线BD长为________．5．(2012·镇江模拟)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称
点Q的坐标是________．答案：(－2,5) 设点M是等腰直角三角形ABC的斜边BA的中点，P是直线BA上任意一点，PE垂直于AC，E为垂足，PF垂直于BC，F为垂足，求证：
(1)ME＝MF；
(2)ME⊥MF. [思路点拨] 解答本题可以直角三角形ABC的直角顶点C为原点建系，设出相应点的坐标，利用两点间的距离公式写出线段的长，进而得出结论．[一点通] 解析法证明几何问题的步骤6．已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明对角
线AC＝BD. 1．两点间的距离公式是一个重要的公式，要熟练掌握，牢记公式的结构形式．
2．中点坐标公式主要是求平面上两点的中点的坐标，求点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称直线问题等，其实质就是中点问题和垂直问题的结合． 3．解析法是建立平面几何和代数运算关系的桥梁，是它们之间相互转化的纽带．平面几何中求线段的长度、判断点的位置、证明线段成比例等问题，都可以通过解析法转化为代数问题求解．点此进入
1．(2011·大连高一检测)点A(2,1)关于B(4,3)的对称点为A′，则AA′＝________.
解析：设A′(a，b)，则a＝2×4－2＝6，b＝2×3－1＝5，
∴AA′＝ ＝4.
答案：4
2．(2012·西安高一检测)设Q(1,2)，在x轴上有一点P，且PQ＝5，则点P的坐标是________．
解析：由题意设P(a,0)，则PQ＝＝5，解得a－1＝±4，即a＝5或－3.故点P的坐标是(5,0)或(－3,0)．
答案：(5,0)或(－3,0)
3．已知点A(2，－3)，若点P在直线x－y－7＝0上，则AP的最小值是________．
解析：设P点坐标为P(x，y)，∵P在直线x－y－7＝0上，∴y＝x－7.AP2＝(x－2)2＋(x－4)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，
∴AP的最小值为.
答案：
4．直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点是(1，－1)，则直线l的斜率为________．
解析：设P(a,1)，Q(x0，y0)，由于PQ中点是(1，－ 1)，
∴，∴Q(2－a，－3)，将其代入x－y－7＝0.
得a＝－2，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，∴kl＝＝－.
答案：－
5．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为________．
解析：点A(2,0)与点B(－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB必与直线CD平行，即kAB＝kCD，
∴＝＝－1，整理得m＋n＝13.
答案：13
6．已知AO是△ABC中BC边的中线，证明AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2)．
证明：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
设点A(a，b)，B(－c,0)，C(c,0)，由两点间距离公式得
AB＝ ，AC＝，AO＝，OC＝c，
所以AB2＋AC2＝2(a2＋b2＋c2)，AO2＋OC2＝a2＋b2＋c2.
所以AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2)．
7．已知四边形ABCD的各顶点坐标分别为A(－7,0)，B(2，－ 3)，C(5,6)，D(－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形．
解：∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝3，AD＝3，AC＝6，BD＝6，
∴AB＝AD，AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
8．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程．
解：若l与y轴平行，则l的方程为x＝1，
由得B点坐标(1,4)，此时AB＝5，
∴x＝1为所求；
当l不与y轴平行时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．
解方程组
得交点B(，)(k≠－2)．
由已知 ＝5，
解得k＝－.
∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
课件32张PPT。2.1
直线与方程2.1.6
点到直线的距离理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 问题1：在直角坐标系中，若P(a,0)，则P到y轴的距离是多少？
提示：|a|.
问题2：在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴、y轴的距离分别是多少？
提示：|y0|，|x0|. 问题3：在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P的直线l的垂线段的长度？
提示：是．
问题4：若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？
提示：相等． 1．理解点到直线的距离公式应注意以下几点
(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离．
(2)点到直线的距离公式适用于P0为平面上的任意一点，特别地，当P0在直线上时，点P0到直线的距离为0.
(3)使用点到直线的距离公式的前提是：把直线方程化为直线的一般式方程．2．使用两条平行直线间的距离公式的前提条件
(1)把直线方程化为直线的一般式方程．
(2)两条直线方程中x、y系数必须分别相等． 求点P0(－1,2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0；
(2)x＝2；
(3)y－1＝0.
[思路点拨] 解答本题可先将直线方程都化成一般式，然后直接用点到直线的距离公式求解．1．(2012·金华高一检测)若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6
＝ 0的距离是4，则k的值是________．2．点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则OP的最小值
是________． 求两条平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－9＝0间的距离．答案：±14．在直线x＋3y＝0上找一点，使它到原点和直线x＋3y－
2＝0的距离相等． 直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1、l2的方程．
[思路点拨] 解答本题可先设出l1、l2的方程，再利用l1∥l2及两平行直线间的距离公式求参数．(2)若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上，满足条件的直线方程有两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0
或l1：x＝0，l2：x＝5. [一点通] 在涉及直线方程的问题中要注意斜率不存在的情形，只有在斜率存在的前提下，才能用直线的点斜式方程来表示直线，因此在求解直线方程时，不能遇到求直线方程就设斜率为k，而应先考虑斜率是否存在，否则容易造成漏解．5．已知两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋8y－15＝
0，求与l1，l2的距离相等的直线l的方程．6．求过点A(2,1)且与原点距离为2的直线方程．
解：若直线与x轴垂直，则直线为x＝2，
∴d＝|2－0|＝2.
故x＝2适合题意．
当直线不与x轴垂直时，设直线为y－1＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋1＝0.1．点到直线的距离本质上是点与直线上任一点连线长
度的最小值，可用最值的方法求出．
2．从几何待征上分析，点到直线的距离是点与过该点
且垂直于已知直线的直线与已知直线的交点间的距
离．点此进入
1．(2012·嘉兴高一检测)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是__________．
解析：由题意可知d＝＝.
答案：
2．直角坐标系中第一象限内的一点P (x，y)到x轴、y轴及直线x＋y－2＝0的距离都相等，则x等于________．
解析：由题意知，|x|＝|y|且＝|x|.
又x＞0，y＞0，所以2x－2＝±x，x＝2±.
答案：2±
3．(2012·南通模拟)已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为________．
解析：要求m2＋n2的最小值，只需求的最小值，即直线2x＋y＋1＝0上的点P(m，n)与原点的最小值，也就是原点到直线的距离，由d＝＝.知m2＋n2的最小值为.
答案：
4．与直线2x＋y＋1＝0的距离为的直线方程是________．
解析：设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，
则＝，
∴|c－1|＝1.∴c＝0或c＝2.
则所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
5．(2011·济宁高一检测)一直线过点P(2,0)，且点Q(－2，)到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．
解析：当过P点的直线垂直于x轴时，Q点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P点的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，
设过P点的直线为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
由d＝＝4，解得k＝.
∴直线的倾斜角为30°.
答案：90°或30°
6．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，求a、b的值．
解：∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，
∴k1＝k2，即＝1－a.①
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，②
则联立①②解得或
7．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．
解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行 (否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．
设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
8．(2012·滨州高一检测)求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)距离相等的直线方程．
解：法一：由题意可得kAB＝－，线段AB的中点为C(1，1)，满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行．
当直线过线段AB的中点时，由于M与C点的纵坐标相同，所以直线MC的方程为y＝1；
当直线与AB平行时，其斜率为－，由点斜式可得所求直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.
综上，所求直线的方程为y＝1或x＋2y＝0.
法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，根据条件有：
化简得：或
所以或
故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
课件34张PPT。2.2
圆与方程2.2.1
圆的方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三第一课时
圆的标准方程 伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情
油然而生．这座完美的古代建筑，最基本
的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆．
三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！问题1：怎样定义圆？
提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合．
问题2：若将圆放在平面直角坐标系中，怎样确定圆的位置？
提示：只要确定圆心位置，就可确定圆的位置．
问题3：在平面直角坐标系中，若以(a，b)为圆心，r为半径，可否确定圆的方程？
提示：可以． 圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内与 的距离等于 的点的集合(轨迹)是圆，定点是 ，定长是 ．
(2)圆的标准方程： ，其中点(a，b)为圆心，r为半径． 定点定长圆心半径(x－a)2＋(y－b)2＝r2 1 ．圆的标准方程的左边是平方和的形式，右边是平方的形式，要从其结构形式上认识并准确记忆．
2．由圆标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径的大小；反过来，给出圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．
3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r. [思路点拨] 解答本题可直接求出圆心坐标和半径，代入求解． [一点通] 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和圆的半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般从确定圆的两个要素入手，直接代入求解． 1．(2012·淮安高一检测)圆心是(－2,3)，且经过原点的圆的
标准方程为________________．
解析：由题意可知，r2＝(－2)2＋32＝13，所以所求圆的
方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13.
答案：(x＋2)2＋(y－3)2＝132．(2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，
圆心在x轴上，则圆C的方程为________．答案：(x－2)2＋y2＝10 已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(－3,3)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．求圆C的标准方程． [思路点拨] 思路一：设出圆的标准方程，由条件列方程组求出a、b、r，从而得出标准方程．思路二：利用几何法求解，即圆心为线段AB的垂直平分线与l的交点．[一点通]3．一个圆经过点P(2,1)，圆心在直线x＋2y－1＝0上，且
半径为3，则圆的方程为________．4．求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切
的圆的方程．∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．
∴可得半径r＝4或r＝1.
∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求△ABC的外接圆的方程． 如图(1)所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2m时，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数) [思路点拨] 由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．
[精解详析] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图(2)所示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则A(6，－2)． [一点通] 本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决．一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．6．如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱
跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m
需用一个支柱，求支柱CD的长度．(精确到0.01 m)．解：建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
下面用待定系数法求b和r的值．因为P、B都在圆上，所以它们的坐标P(0,4)，B(10,0)都适合圆的方程． 1．在求圆的标准方程时，除待定系数法外，还常用到圆的以下性质
(1)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；
(3)圆的弦的垂直平分线过圆心．
2．把实际问题转化为几何问题，体现了数形结合的思想和转化的思想．点此进入课件36张PPT。2.2
圆与方程2.2.1
圆的方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三第二课时
圆的一般方程问题1：你能写出圆的标准方程吗？
提示：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？
提示：可以．x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
问题3：若给出方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，能否判断它表示一个圆？
提示：可以，但需满足D2＋E2－4F＞0. 问题4：给出二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，若该方程表示圆，可否根据圆的标准方程确定成立的条件？
提示：可以． 圆的一般方程
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程
为圆的一般方程．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝02．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形D2＋E2－＜0D2＋E2－4F＝0 D2＋E－4F＞ 0 1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点
(1)x2、y2的系数相等且不为0；
(2)没有xy项．
2．圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0的条件，而 确定圆的一般方程，往往由待定系数法来确定D、E、F三个未知数． 若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值范围是________．
[思路点拨] 解答本题既可利用二元二次方程表示圆的条件，列不等式来解得m的范围，也可利用配方来解决． [一点通] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．1．(2011·安徽高考改编)直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x
－4y＝0的圆心，则a的值为________．
解析：把x2＋y2＋2x－4y＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
知圆心是(－1,2)，又直线过圆心，故－1×3＋2＋a＝0，
a＝1.
答案：12．下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心及
半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)． 求过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的一般方程，并求出圆的圆心与半径．
[思路点拨] 解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．[一点通] 应用待定系数法求圆的方程时
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.3．求经过点C(－1,1)和D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的
一般方程．4．若点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圆，
求a的值． (2011·银川高一检测)已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． [一点通] 求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标；
(2)写出适合条件的点P的集合M＝{P|M(P)}；
(3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 5．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点
A(0,2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明
是什么曲线．6．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，P为圆上一动点，求线
段AP中点的轨迹方程．解：设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. 1．利用待定系数法求圆的方程时，应尽量注意特殊位置圆的特点，恰当运用平面几何知识，可使解法灵活简便．
2．圆的标准方程和一般方程的特点及相互转化
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接求出圆心坐标和半径，圆的几何特征较为明显．
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，知道圆是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征很明显．(3)圆的标准方程和一般方程的转化 2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．点此进入
1．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
解析：由题意知，m2＝(－1)2＋()2＝4，∴m＝±2.
答案：±2
2．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．
解析：由题意，设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，则有(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，即r2＝25，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
3．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为________．
解析：∵所求圆与x轴相切，∴圆的半径为4，故所求圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.
答案：(x＋5)2＋(y－4)2＝16
4．(2012·石家庄高一检测)圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．
解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，其关于原点P(0, 0)的对称点为(2,0)，故所求圆的圆心坐标为(2，0)，又两圆的半径相等，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：(x－2)2＋y2＝5
5．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到坐标原点的最大距离是________．
解析：圆心坐标是(－3,1)，则圆心到原点的距离d＝＝，
结合圆形可知，原点到圆上的点的最大距离为＋5.
答案：＋5
6．求经过原点，圆心在x轴的负半轴上，且半径为2的圆的标准方程．
解：设该圆的方程为(x－a)2＋y2＝a2(a＜0)．
又∵半径为2，
∴a2＝4，且a＜0，
∴a＝－2.
∴标准方程为(x＋2)2＋y2＝4.
7．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解：(1)PQ中点M(，)，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝1，
由圆过P，Q点得：
解得或
所以圆C的方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
8．有强弱两个喇叭分别在O，A两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度相等(提示：物理学中，声音强度与距离的平方成反比)?
解：以OA所在的直线为x轴，以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示．
设在点P(x，y)处听到O，A两处的喇叭声音强度相等，则＝，
即＝，整理得 (x＋20)2＋y2＝402，由此可知：当P在以(－20,0)为圆心，以40为半径的圆周上时，听到O，A两处传来的喇叭声音强度相等．
1．圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心坐标是________，半径等于________．
解析：将方程化为(x－1)2＋y2＝1，故圆心坐标为(1,0)，半径r＝1.
答案：(1,0) 1
2．圆心为(2，－4)，半径为4的圆的一般方程为________．
解析：由题设可得圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展开可得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，即为所求的圆的一般方程．
答案：x2＋y2－4x＋8y＋4＝0
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋2y＋F＝0与x轴相切于原点，则D＝________，F＝________.
解析：方程化为(x＋)2＋(y＋1)2＝＋1－F
由于圆与x轴相切于原点，
所以－＝0，＋1－F＝1，故D＝0，F＝0.
答案：0 0
4．(2011·徐州模拟)经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．
解析：将圆方程化为(x＋1)2＋y2＝1，故C(－1,0)，
由题意，所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
5．(2012·杭州高一检测)已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.
解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0.点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心(－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.
答案：－1 1
6．若方程x2＋y2－2mx＋(2m－2)y＋2m2＝0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数m的取值范围．
解：将圆方程配方，得(x－m)2＋[y＋(m－1)]2＝1－2m，则1－2m＞0，所以m＜.又圆心(m,1－m)在第一象限，所以即0＜m＜1.综上可得，0＜m＜.
7．等腰三角形ABC的底边一个端点B的坐标为(1，－3)，顶点A的坐标为(0,6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解：由题意得CA＝AB，则点C到定点A的距离等于定长AB，所以C的轨迹是圆．
又AB＝＝，
C的轨迹方程为x2＋(y－6)2＝82[因为A，C，B不能共线，则需除去点(－1,15)和点(1，－3)]，
即C的轨迹形状是以点A(0,6)为圆心，半径为的圆，除去点(－1,15)及(1，－3)．
8．求经过A(4,2)，B(－1, 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①
∵圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，则有
即
令①中的x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－E.
令①中的y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－D.
由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x1＋x2＋y1＋y2＝2，
即－E－D＝2，也就是D＋E＋2＝0.④
由②③④可得到
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
课件39张PPT。2.2
圆与方程2.2.2
直线与圆的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，他描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成是一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
提示：(1)相离 (2)相切 (3)相交．
问题2：结合初中学过的知识，想一想直线与圆有哪些位置关系？
提示：相交、相切、相离三种位置关系．
问题3：怎样判断直线和圆的位置关系？
提示：可利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系来判断．直线与圆的三种位置关系及判定相离相切相交＞＝＜相离相切相交无解只有一解 两个不同解 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法． 已知直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位置关系．
[思路点拨] 思路一：利用代数法；思路二：利用几何法；思路三：利用直线方程(此题直线过定点(0,1))．法三：由题意知，直线过定点(0,1)，
而02＋12＝1＜4.
所以点(0,1)在圆内，从而直线与圆相交．[一点通] 直线与圆位置关系的判定方法1．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取
值范围是________．2．(2011·临汾高一检测)直线a(x＋1)－y＋1＝0与圆x2＋
y2＝2的位置关系是________．
解析：直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(－1,1)，而点
( －1,1)在圆上，故直线与圆相切或相交．
答案：相切或相交3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的
值为________．答案：－1 求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
[思路点拨] 解答此类题目的关键是先判断点与圆的位置关系，在此基础上选择代数法或几何法求切线方程． 2．过圆外一点求圆的切线方程的方法
(1)几何法：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．
(2)代数法：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出． 5．平行于直线2x－y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的
方程为________．答案：2x－y＋5＝0或2x－y－5＝06．过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线
方程． [思路点拨] 设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的
一半构成三角形可求． [一点通] 解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解．7．(1)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所
截得的弦长为________．
(2)k为任意实数，直线(k＋1)x－ky－1＝0被圆(x－1)2
＋(y－1)2＝4截得的弦长为________． 1．解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(圆心到直线的距离)去考虑，其中几何特征解题较为简捷．
2．涉及与切线有关的问题时，常用其几何特征，即圆心到直线的距离等于半径来解决，应注意过圆外一点求圆的切线一定有两条． 3．关于圆中的弦长问题，我们要尽可能地运用圆的几何性质，使解法简捷，运用代数法要合理引入参数，设点而不求点，简化运算，减少运算量．点此进入
1．(2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C的圆心到直线l的距离为________．
解析：d＝＝5.
答案：5
2．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
解析：由题意，半径d＝＝，
故所求圆的方程为x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________．
解析：由题意知，PC⊥AB，∴kAB＝－＝1，
∴直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
答案：x－y－3＝0
4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．
解析：由已知圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝5，
又d－1＜r＜d＋1，∴4＜r＜6.
答案：(4,6)
5．(2011·湖北高考)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
解析：由题意知，直线l的斜率必存在，设为k，则直线l的方程为：y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0.圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.可得圆心到l的距离为.所以＝.解得k＝1或k＝.
答案：1或
6．求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长等于2的圆的方程．
解：因圆心在直线3x－y＝0上，故可设圆心O′(a,3a)．
又因为圆与x轴相切，所以r＝|3a|.
从而设圆方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝(3a)2.
由弦心距d＝＝|a|，
所以(a)2＋()2＝(3a)2，解得a＝±1.
当a＝－1时，3a＝－3，r＝3，圆方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝9；
当a＝1时，3a＝3，r＝3，圆方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
7．(2012·武威高一检测)已知圆C满足以下条件：(1)圆上一点A关于直线x＋2y＝0的对称点B仍在圆上，(2)圆心在直线3x－2y－8＝0上，(3)与直线x－y＋1＝0相交截得的弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵圆上的点关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，
∴圆心在x＋2y＝0上，∴a＋2b＝0.
又∵3a－2b－8＝0，∴a＝2，b＝－1
∵圆被直线截得的弦长为2，
∴()2＋()2＝r2，∴r2＝10
∴圆的方程(x－2)2＋(y＋1)2＝10.
8．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
解：将圆C：x2＋y2－8y＋12＝0化为标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则圆C的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切则有＝2，
解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
解得a＝－7或－1.
∴直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
课件34张PPT。2.2
圆与方程2.2.3
圆与圆的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三 观察下面生活中常见的一些图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？ 问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？
提示：5种，即内含、内切、相交、外切、相离．
问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断． 圆与圆的位置关系及判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：d＞r1＋r2d＝r1＋r2r1＋r2d＝|r1－r2||r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．相交内切或外切外离或内含 1．几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系．
2．代数法是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系．3．一般情况下，常使用几何法判定两圆的位置关系问
题． 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？
(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
[思路点拨] (1)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1＋r2和|r1－r2|的大小关系．(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d＜|r1－r2|. [一点通] 判定圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．1．(2012·临沂高一检测)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，
圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是
________．
解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，由于
|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，所以两圆相外切．
答案：外切2．若圆x2＋y2＝k(k＞0)与圆x2＋y2＋8x－6y－11＝0有公共
点，则实数k的取值范围是________．答案：[1,121] 求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．
[思路点拨] 结合题意注意相切应包含内切和外切两种情形．3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆C2：x2＋y2－4x－10y
＋13＝0的公切线有________条．
解析：C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，C2：(x－2)2＋(y－5)2
＝16，C1C2＝5＝r1＋r2，故两圆外切，公切线共3条．
答案：3答案：(x－4)2＋y2＝4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
[思路点拨] 思路一：先求两圆的交点坐标，再设出圆心坐标，根据圆心到两圆交点的距离相等求得参数的值，进而写出圆的方程．
思路二：直接设过交点的圆系方程x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，然后把方程转化成一般式，把圆心坐标代入x－y－4＝0中，求λ的值．[一点通]
1．过两圆交点的圆系方程的设法
过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的不含圆C2的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.(其中λ≠－1)(*)
2．比较本例方法一、方法二两种解法，可见圆系方程的优点是避免解方程组求交点坐标的麻烦，能简化运算；缺点在于圆系也有不全面性，如(*)中该圆系不含圆C2，因此求出结论后应注意验证结论的全面性，以防漏解． 5．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，
B两点，则直线AB的方程是________．
解析：两圆方程相减，得－2x＋1－6y＋9＝10，
即x＋3y＝0即为直线AB的方程．
答案：x＋3y＝0 6．(2012·盐城模拟)两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，
两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c的值
为________．答案：3 1．判断两圆的位置关系通常用几何法判断，即利用圆的方程及两点间的距离公式求出圆心距d和两圆的半径r1和r2，再根据d与r1＋r2、|r1－r2|的大小关系来判断．
2．两圆相交应注意以下几点
(1)当两圆的圆心连线长介于两圆的半径差的绝对值与半径和之间时，两圆相交；
(2)两圆相交时，公切线有两条； (3)求解两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去二次项即可；
(4)两圆的圆心所在的直线垂直平分公共弦．点此进入
1．圆C1：(x－3)2＋(y－4)2＝16与圆C2：x2＋y2＝m(m＞0)内切，则实数m＝________.
解析：圆心距d＝＝5，两圆半径差的绝对值是|4－|＝5，解得m＝81.
答案：81
2．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．
解析：设圆心坐标为(a，b)，由题意知b＝6，＝5可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案：(x±4)2＋(y－6)2＝36
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：x2＋y2＋2ay－6＝0的半径为，由圆的几何性质可知6＋a2－(－a－)2＝()2，解之得a＝1.
答案：1
4．已知圆C过点(3,0)且与圆x2＋y2＝1切于点(1,0)，则圆C的方程为________．
解析：作图分析知，两圆只能外切，故圆心(2,0)，半径r＝1.
答案：(x－2)2＋y2＝1
5．已知点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是________．
解析：两圆的圆心和半径分别为C1(4,2)，r1＝3，
C2(－2，－1)，r2＝2，∴PQmin＝C1C2－r1－r2
＝－3－2＝3－5.
答案：3－5
6．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．
解：公共弦所在直线的斜率为，已知圆的圆心坐标为(0，)，故两圆圆心所在直线的方程为y－＝－x，
即3x＋2y－7＝0.
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0.
7．求下列圆的方程：
(1)以(0,2)为圆心，且与圆x2＋y2＝1相外切；
(2)过圆x2＋y2＋2x＋4y＝0与圆x2＋y2＋x＋y－1＝0的交点及点(3,1)．
解：(1)两圆的圆心距d＝＝2，
又圆x2＋y2＝1的半径为1，由题意可知，所求圆的半径r＝2－1＝1，
∴所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)设过两圆交点的圆系方程为：
x2＋y2＋2x＋4y＋λ(x2＋y2＋x＋y－1)＝0(λ≠－1)，
又过点(3,1)，∴λ＝－，
∴所求圆的方程为：x2＋y2－x－y－＝0.
8．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0和圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明:两圆相切；
(2)求过点(2,3)且与两圆切于上述切点的圆的方程．
解：(1)证明：可知圆C1圆心坐标为(－2,2)，
半径r1＝ ；
圆C2圆心坐标为(4，－2)，半径r2＝ ，
C1C2＝2，
r1＋r2＝2，所以两圆相外切．
(2)由切点是两圆圆心的中点可求得两圆相切于点(1,0)，
由题意知，所求圆心应在过C1(－2,2)，
C2(4，－2)的直线2x＋3y－2＝0上，
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
则有
解得
所求圆的方程为3x2＋3y2＋24x－20y－27＝0.
1．点P(－1,0,4)位于________平面内．
解析：点P(－1,0,4)的y坐标为0，∴点P(－1,0,4)在xOz平面内．
答案：xOz
2．点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
解析：点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足B(0,2，－1)，故x＋y＋z＝1.
答案：1
3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)与Q(2,3，－4)两点关于________对称．
解析：两点的x坐标，y坐标一致，而z坐标互为相反数，故P、Q两点关于xOy平面对称．
答案：xOy平面
4．已知点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，PP′＝1，则点P′和P的坐标分别为________， ________.
解析：由于P′在x轴的正半轴上，故点P′的坐标为(2,0,0)又PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，故P点坐标为(2,0，±1)．
答案：(2,0,0) (2,0，±1)
5．(2012·吉林高一检测)若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)、(e，f，d)，则c＋e＝________.
解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而c＋e＝1.
答案：1
6.如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝1，OC＝3，OD′＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，写出B′，C，E的坐标．
解：点C在y轴上，x坐标，z坐标均为0，且OC＝3，故点C的坐标为(0,3,0)．
因为B′B垂直于xOy平面，垂足为B，所以点B′与B的x坐标和y坐标都相同，又BB′＝OD′＝2，且点B′在xOy平面的上方，所以点B′的坐标为(1,3,2)．
点E在x轴负半轴上，且OE＝，
所以点E的坐标为(－，0,0)．
7.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A，B，C，D，P，E的坐标．
解：如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，与过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(，，0)，D(，，0)，P(0,0,2)，E(1，，0)．
8.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
解：取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB、OC、OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝，
可得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，
A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
课件28张PPT。2.3
空间直角坐标系2.3.1
空间直角坐标系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解(1)如图所示，数轴上两点A、B；(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q两点的位置(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的
位置？ 问题1：上述(1)中如何确定A、B两点的位置？
提示：利用A、B两点的坐标3和－2.
问题2：上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？
提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．
问题3：对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？ 提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，
如图示．1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且
有相同单位长度的数轴，这样就建立了
O－xyz.
(2)相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐
标轴．通过 的平面叫做坐标平面，分别称
为 平面、 平面、 平面．空间直角坐标系点Ox轴、y轴、z轴每两条坐标轴xOyyOzzOx 2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，若中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3．空间直角坐标系中点的坐标
空间一点M的坐标可以用 来表示，
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ．其中 叫点M的横坐标， 叫点M的纵坐标， 叫点M的竖坐标．x轴z轴y轴有序实数组(x，y，z)有序实数组(x，y，z)M(x，y，z)xzy 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，D′B′的中点，棱长为1，求E，F点的坐标．
[思路点拨] 一般找出要求的点在xOy面上射影的坐标，再找该点与射影间的距离以确定竖坐标． [一点通] 已知点M的位置，求其坐标的方法：过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度定z坐标．2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，棱长为4，E是A1C1的中点，且BF
＝3FB1.求E、F的坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
E点在xOy平面上的投影为AC的中点H(2,2,0)，
又EH＝4，
∴E点的z坐标为4.
因此E点的坐标为(2,2,4)．F点在平面xOy上的投影为B，
B(4,4,0)，
∵BB1＝4，BF＝3FB1，
∴BF＝3，
即点F的z坐标为3.
∴点F的坐标为(4,4,3)．3.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1
中，AA1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
M是CC1的中点，Q是BC的中点，写出
B，C，C1，M，Q五点的坐标．解：在图中坐标系中，由已知得B(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)．
∵M是C1C的中点，
∴M坐标为(0,2,1)．
又Q是BC的中点，
∴Q坐标为(1,1,0). 求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标．
[思路点拨] 给出点的坐标，求其关于某平面的对称点的坐标，可以找到对称点与P点在各轴上的射影的关系，通过这种关系求对称点的坐标． [精解详析] 设点P关于坐标平面xOy的对称点为P′，
连接PP′交坐标平面xOy于Q，
则PP′垂直于坐标平面xOy，且PQ＝P′Q，
∴P′在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，P′在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，
∴P′与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
∴点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2，－3)．
[一点通] 关于坐标轴和坐标平面的对称，其口诀为“关于谁对称，谁不变，其余量相反”．4．在空间直角坐标系中，点P(－2,4,4)关于x轴的对称点
的坐标是________．
解析：点P关于x轴对称，x坐标不变，其他变为相反
数，故点P关于x轴的对称点的坐标为(－2，－4，－4)．
答案：(－2，－4，－4)5．(2012·西安高一检测)在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)
关于yOz平面对称的点的坐标为__________．
解析：由于点关于yOz平面对称，故其纵坐标、竖坐标
不变，横坐标互为相反数，即对称点坐标是(－3,1,5)．
答案：(－3,1,5)6．(2012·盐城模拟)在空间直角坐标系中，点M(－2,4，
－ 3)在xOz平面上的射影(正投影)为M′，则M′关于原
点的对称点是________．
解析：点M在xOz平面上的射影M′(－2,0，－3)，则M′
关于原点的对称点坐标是(2,0,3)．
答案：(2,0,3) 1．求空间直角坐标系中的点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标．
2．空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系．3．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：点此进入课件23张PPT。2.3
空间直角坐标系2.3.2
空间两点间的距离理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章
平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解 (1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.
(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．
问题1：如何求数轴上两点间的距离？
提示：AB＝|x1－x2|＝|x2－x1|.问题2：如何求平面直角坐标系中，P、Q两点间距离？ 问题3：若在空间中已知P1(x1，y1，z1)P2(x2，y2，z2)如何求P1P2.
提示：与平面直角坐标系中两点间距离求法类似． 1．空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的延伸、推广，而平面内两点间距离公式又是空间两点
间距离公式的特例．
2．应用空间两点间距离公式解决空间问题的关键是建立合适的空间直角坐标系，并准确写出相应点的坐
标． 如图，已知正方体ABCD－
A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，
点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN
的长．
[思路点拨] 解答本题关键是先建立适当坐标系，把M、N两点坐标表示出来，再利用公式求长度． [一点通] 利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤
(1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；
(2)代入空间两点间的距离公式求值．2．如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝3，BC＝2，AA1＝2，
用空间两点间的距离公式求对角
线B1D的长． 已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度．
[思路点拨] 解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标． [一点通] 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．3．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，
点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐
标是________．答案：(0，－1,0)4．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点
N(6,5,1)的距离最小，则M点坐标为________．答案：(1,0,0)5．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为三角形的三
个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．6．在坐标平面xOy内的点P到定点A(3,2,5)，B(3,5,1)的距离
相等，求点P的坐标满足的条件，并说明其轨迹是什么
图形． 1．用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的x1－x2，y1－y2，z1－z2，因为有平方，故减数和被减数的位置可互换．
2．方程x2＋y2＋z2＝r2表示的几何图形
(1)当r＝0时，方程x2＋y2＋z2＝0，即x＝y＝z＝0，即坐标原点．
(2)当r≠0时，方程x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心|r|为半径的球面．点此进入
1．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，AB＝11，则z＝________.
解析：由空间两点间的距离公式得
AB＝＝11，
解得z＝－5或z＝7.
答案：－5或7
2．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是____________．
解析：设P(0,0，c)，∵PO＝1，∴c＝±1，当c＝1时，PA＝；当c＝－1时，PA＝.
答案：或
3．(2012·无锡模拟)已知点A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，且∠BAC＝90°，则x＝________.
解析：由题意知，BC2＝AB2＋AC2，即(x－1)2＋1＋(1－2)2＝(2－1)2＋(1－1)2＋(1－2)2＋(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2，解得x＝2.
答案：2
4．三棱锥各顶点的坐标分别为：(0,0,0)，(1,0,0)，(0, 2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________．
解析：V＝S·h＝××1×2×3＝1.
答案：1
5．在空间直角坐标系中，方程 ＝6所表示的几何意义为________．
解析：＝6可以变形为
＝6，表示的是到原点O(0,0,0)的距离等于6的点的集合，即为一个球面．
答案：以原点为球心，6为半径的球面
6．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问在y轴上是否存在点M，满足MA＝MB?
解：假设在y轴上存在点M，满足MA＝MB.
因为M在y轴上，可设M(0，y,0)，
由MA＝MB，
可得 ＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立．
这就是说y轴上所有点都满足关系MA＝MB.
7．如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5 m，河宽BC＝3 m，另一侧有点A，AB＝4 m，求点A与塔顶D的距离AD.
解：首先建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，再利用公式，注意BC垂直于河岸．
以塔底C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)．
∴AD＝＝5.
即A与塔顶D的距离AD为5 m.
8．(2012·南通模拟)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点，如图建立空间直角坐标系．
(1)在平面ABB1A1中找一点P，使△ABP为正三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为直角三角形？若能，请求出点Q的坐标，若不能，请予以证明．
解：(1)因为EF是AB边的中垂线，在平面AB1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，则P必在EF上，
设P(1,2，z)，则由|PA|＝|AB|得
＝
即＝，
∴z2＝15，
∵z∈[0,4]，
∴z＝.
故平面ABB1A1中的点P(1,2，)，
使△ABP为正三角形．
(2)设MN上的点Q(0,2，z)，
由△AQB为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半．
∴|QF|＝|AB|，即＝，
∴z＝2(0故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为直角三角形．
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知识整合与阶段评估 一、直线与方程
1．直线的斜率与倾斜角
(1)倾斜角与斜率从“数”和“形”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0?≤α＜180?)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映．在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便． (2)当倾斜角α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，斜率k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．2．直线方程的五种形式3．两直线的平行与垂直4．距离公式二．圆与方程
1．圆的方程 2．直线与圆的位置关系
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0?相交；Δ＜0?相离；Δ＝0?相切．
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆 心到直线的距离为d，则d＜r?相交；d＞r?相离；d＝r?相切．(主要掌握几何方法)3．圆与圆的位置关系
d表示圆心距，R，r分别表示两圆半径，R＞r.
(1)d＞R＋r?相离；
(2)d＝R＋r?外切；
(3)R－r＜d＜R＋r?相交；
(4)d＝R－r?内切；
(5)0＜d＜R－r?内含．三．空间直角坐标系
1．空间中点的坐标的确定 (1)过点P作面xOy的垂线，垂足为Q；
(2)在面xOy内过点Q分别作x轴，y轴的垂线确定点P的x坐标，y坐标；
(3)过点P作平行于OQ的直线PM确定点P的z坐标．点此进入
(时间120分钟，总分160分)
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，)
1．(2012·嘉兴高一检测)点A(2，－3,1)关于点B(－1,0,3)的对称点A′的坐标是____________．
解析：由中点坐标公式的A′的坐标是(－4,3,5)．
答案：(－4,3,5)
2．(2011·瑞安高一检测)已知直线l的方程为y＝－x＋1，则该直线l的倾斜角为________．
解析：由题意知，k＝－1，故倾斜角为135?.
答案：135?
3．直线l1：y＝－x＋1和l2：y＝－x－1间的距离是________．
解析：将两直线方程分别化为x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0.
故两直线间的距离d＝＝.
答案：
4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相平行，则实数m＝________.
解析：由于两直线平行，故m＋4＝0，从而m＝－4，当m＝－4时，两直线平行．
答案：－4
5．(2012·南通高一检测)若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则实数a的值为________．
解析：由a2＝(a＋2)2，解得a＝－1，此时方程变为x2＋y2－2x－1＝0，表示圆．
答案：－1
6．(2011·深圳高一检测)过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则AB的值为________．
解析：由kAB＝1，得b－a＝1，
∴AB＝＝＝.
答案：
7．(2012·杭州高一检测)已知两圆C1：x2＋y2＝10，C2：x2＋y2－2x＋2y－14＝0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为__________．
解析：将两圆方程相减得x－y＋2＝0，此即为过两圆交点的公共弦所在的直线方程．
答案：x－y＋2＝0
8．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．
解析：设Q(x，y)，由题意可知kPQ＝2，又kPQ＝，由＝2，得x＝2，∴Q(2,3)．
答案：(2,3)
9．已知以点M(1,3)为圆心的圆C与直线3x－4y－6＝0相切，则该圆C的方程为____________．
解析：圆心到直线的距离d＝＝3，
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝9
10．从点P(4，－1)向圆x2＋y2－4y－5＝0作切线PT(T为切点)，则PT等于________．
解析：因为圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝9，
所以圆心为(0,2)，半径为3，
所以PT2＝[(4－0)2＋(－1－2)2]－9＝16，
所以PT＝4.
答案：4
11．(2011·嘉兴高一检测)经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是____________．
解析：直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，所求方程为x＋y－2＝0.
答案：x－y＝0或x＋y－2＝0
12．(2011·杨州高一检测)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．
解析：结合图形，可知满足条件的直线有4条．
答案：4
13．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由题意得解得
∴所求圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝1.
答案：(x－)2＋(y－)2＝1
14．(2012·蒲田高一检测)设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________．
解析：∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴≤2－r，即0＜r≤2－.
答案：(0,2－ ]
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则(x－a)2＋(y－6)2＝r2，
得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，而r＝
∴(a－1)2＋16＝，
解得a＝3或a＝－7，r＝2或r＝4.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
16．(14分)(2012·泰州高二检测)求分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过直线2x＋y＋2＝0和3x＋y＋1＝0的交点且与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)与直线l：3x＋4y－12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.
解：(1)将2x＋y＋2＝0与3x＋y＋1＝0联立方程组解得交点坐标为(1，－4)．
由所求直线与直线2x＋3y＋5＝0平行，
则所求直线斜率为－，
从而所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
令y＝0得到x＝－，令x＝0得到y＝，
则S＝×＝6，解得m＝±12.
从而所求直线方程为4x－3y±12＝0.
17．(14分)(2012·蚌埠高一检测)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．
(1)当I经过圆心C时，求直线l的方程；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程．
解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.
18．(16分)(2012·盐城模拟)已知直线l过点A(6,1)与圆C：x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切，
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；(2)求直线l的方程．
解：(1)∵(x－4)2＋(y＋3)2＝4，∴圆心坐标为(4，－3)，半径r＝2.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－6)，即kx－y－6k＋1＝0，
则圆心到此直线的距离为
d＝＝＝2.
由此解得k＝，此时方程为3x－4y－14＝0.
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝6.
故直线l的方程为：3x－4y－14＝0或x＝6.
19．(16分)(2011·南通高一检测)已知P是直线上一点，将直线l绕P点沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)所得直线方程为l1：3x－y－4＝0，若继续绕P点旋转90°－α，则得直线l2的方程为x＋2y＋1＝0.
(1)求直线l的方程；
(2)已知实数x，y满足直线l的方程，求的最小值．
解：(1)依题意，直线l过直线l1：3x－y－4＝0与l2：x＋2y＋1＝0的交点P，
故可设l方程为3x－y－4＋λ(x＋2y＋1)＝0.
又直线l1绕点P逆时针方向旋转角α到l1，再绕点P逆时针方向旋转90°－α到l2，知l⊥l2，由两条直线垂直的条件得(－)＝－1?λ＝－，
代入3x－y－4＋λ(x＋2y＋1)＝0得：
l的方程为2x－y－3＝0
(2)的最小值即为原点O到直线l的距离d＝＝.
20．(16分)(2012·淮安高一检测)已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：(1)∵k＝，∴km2－m＋k＝0(*)，
∵m∈R，∴当k≠0时Δ≥0，解得－≤k≤且k≠0又当k＝0时，m＝0，方程(*)有解．
所以，综上所述－≤k≤.
(2)假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．
设直线l与圆C交于A，B两点则∠ACB＝120°.
∵圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝4，
∴圆心C(4，－2)到l的距离为1.
故有＝1，整理得3m4＋5m2＋3＝0.
∵Δ＝52－4×3×3＜0，∴3m4＋5m2＋3＝0无实数解．
因此直线l不可能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.
课件44张PPT。高考四大高频考点例析考点一考点二考点三考点四考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练考题印证跟踪演练模块综合检测[考题印证] (2011·福建高考)如图所示，正方
体ABCD－A1B1C1D1中 ，AB＝2，点E为
AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面
AB1C，则线段EF的长度等于________．[跟踪演练]1．如图所示，在透明塑料制成的长方体
容器ABCD－A1B1C1D1中灌进一些水，
将固定容器底面的一边BC置于地面上，
再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，
以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积
不变；③A1D1始终与水面EFGH平行．其中正确的序号
是________．解析：在倾斜的过程中，因为前后两面平行，侧面(上下、左右)为平行四边形，所以是棱柱．故填①③.
答案：①③[考题印证] (2011·福建高考)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________． (2011·陕西高考)如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．[解] (1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.
又DB∩DC＝D.
∴AD⊥平面BDC.
∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC.[跟踪演练]答案：2π3．长方体的一个顶点上三条棱的长分别为2,4,6，且它的
八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为
________． 答案：56π4．一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为9的正方形，则
此三棱柱的体积为________ .[考题印证] (2011·浙江高考改编)下列命题中正确的序号是________．
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；
④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. [解析] 若平面α⊥平面β，在平面α内与平面β的交线不相交的直线平行于平面β，故①正确；②中若α内存在直线垂直平面β，则α⊥β，与题设矛盾，所以②正确；由面面垂直的性质知选项③正确；④错误．
[答案] ①②③ (2011·江苏高考)如图所示，
在四棱锥P－ABCD中 ，平面PAD⊥
平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，
E、F分别是AP、AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
[证明] (1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.[跟踪演练]6．(2012·徐州模拟)给出下列命题：
①若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；
②若直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点；
③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条
直线平行于另一个平面；
④设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
上面命题中，假命题的序号是________．解析：根据公理1知①是正确；②错，直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面有且只有一个公共点；③错，两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，无数条直线可以是相互平行的直线；④错，a，b，c是同一个平面内三条直线时，这个结论才正确．
答案：②③④7．(2012·盐城模拟)关于直线m，n和平面α，β，有以下四
个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m∥n，m?α，n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.
其中假命题的序号是________．
解析：据面面垂直的判定定理可知②正确，所以填①③
④.
答案：①③④8．(2012·连云港模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，
PD⊥平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E为PC
的中点．
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：平面PAC⊥平面PDB.证明：(1)如图，连结AC，交BD于O，连接OE.
∵DB平分∠ADC，AD＝CD，
∴AC⊥BD且OC＝OA.
又∵E为PC的中点，
∴OE∥PA.
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE.(2)由(1)知AC⊥DB，∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD.
∵PD，BD?平面PDB，PD∩DB＝D，
∴AC⊥平面PDB，又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PDB.[考题印证] (2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________． [答案] (x－2)2＋y2＝10 (2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．[答案] 2x－y＝0[跟踪演练]9．(2011·四川高考改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐
标是________．
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以
圆心坐标是(2，－3)．
答案：(2，－3)10．(2011·大纲全国高考改编)设两圆C1、C2都和两坐标
轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝
________.答案：811．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝
0垂直，则直线l的方程为________．
解析：l必过圆心(1,2)，又与x＋2y＝0垂直，故l的斜
率为2，故l的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：2x－y＝012．(2011·课标全国高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线
y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且
OA⊥OB，求a的值．由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以
2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.模块综合检测点此进入
