模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中是奇函数的是( )
A．y＝sin x＋1 B．y＝cos(x＋)
C．y＝sin(x－) D．y＝cos x－1
解析：∵y＝cos(x＋)＝－sin x，∴B正确．
答案：B
2．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：由三角函数的定义知＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
答案：B
3．若3 －2 ＝，则( )
A．＝ B．＝
C．＝－ D．＝－
解析：原式化为3(－)＝－，
∴3＝，＝.
答案：A
4．若tan(α－)＝2，则tan(α－)＝( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：tan(α－)＝tan(α－－)＝
＝＝.
答案：A
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A. B.
C．5 D．25
解析：法一：设b＝(x，y)，由题意得
即
∴x2＋y2＝25，即|b|＝5.
法二：∵|a|＝(2,1)，∴|a|＝.
∵|a＋b|＝5，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝50.
又∵a·b＝10，∴5＋2×10＋|b|2＝50.
∴|b|＝5.
答案：C
6．若cos α＝－，α是第二象限角，则sin(α＋)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵cos α＝－，α为第二象限角，∴sin α＝，
∴sin(α＋)＝sin αcos＋cos αsin＝.
答案：D
7．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：a＋b＝(1，k)＋(2,2)＝(3，k＋2)．
∵a＋b与a共线，∴k＋2－3k＝0，解得k＝1.
∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4.
答案：D
8．若α∈(0，π)，且sin2α＋cos α＝，则tan α的值等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：∵sin2α＋cos α＝，
∴1－cos2α＋cos α＝，即4cos2α－4cosα－3＝0，
解得cos α＝－或cos α＝(舍去)．
又α∈(0，π)，∴sin α＝.故tan α＝－.
答案：D
9.如图，已知＝a，＝b，＝3 ，用a，b表示，则等于( )
A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析： ＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：B
10．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的图像与y＝－1的图像的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图像，只需把y＝cos 2x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析：由已知条件知y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，
∵f(x)＝sin(2x＋)
＝cos[－(2x＋)]
＝cos(2x－)，
∴把y＝cos 2x的图像向右平移个单位可得到y＝f(x)的图像．
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在题中的横线上)
11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：因为sin θ＝＝－，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
12．已知点A(3,0)，B(cos α，sin α)，O(0,0)，若| ＋ |＝，α∈(0，π)，则α＝________.
解析：＋＝(3,0)＋(cos α，sin α)＝(3＋cos α，sin α)．
由|＋ |＝，得(3＋cos α)2＋sin2α＝13.
解得cos α＝.∵α∈(0，π)，
∴α＝.
答案：
13．已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.
解析：∵tan(π＋2α)＝－，
∴tan 2α＝－＝，
∴tan α＝－或tan α＝2.
又α在第二象限，∴tan α＝－.
答案：－
14.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f()＝________.
解析：由题中图像知T＝π，
T＝.
∴＝，ω＝3，f(x)＝2sin(3x＋φ)．
又(，0)为五点作图法中第一个点，
∴3×＋φ＝0，φ＝－.
f(x)＝2sin(3x－)．
∴f()＝2sin(3×－)＝2sin π＝0.
答案：0
三、解答题(本大题共4小题，满分50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知点A(－3，－4)，B(5，－12)．
(1)求的坐标及||；
(2) ＝＋，＝－，求及的坐标；
(3)求，所成角的余弦值．
解：(1) ＝(5，－12)－(－3，－4)＝(8，－8)，
∴||＝＝8.
(2) ＝(－3，－4)＋(5，－12)＝(2，－16)，
＝(－3，－4)－(5，－12)＝(－8,8)．
(3) ·＝(－3，－4)·(5，－12)
＝－3×5＋(－4)×(－12)＝33.
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大小．
解：(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}，
f(x)的最小正周期为.
(2)由f()＝2cos 2α，得tan(α＋)＝2cos 2α，
＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.由α∈(0，)，得2α∈(0，)，所以2α＝，即α＝.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋cos2x－sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)在所给坐标系中画出函数在区间[π，π]的图像(只作图不写过程)．
解：f(x)＝＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x
＝sin(2x＋)．
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
则2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，
故kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋π]
(k∈Z)．
(2)图像如下：
18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数 y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝sin (x)cos－cos(x)sin－cos(x)
＝sin x－cos x＝sin(x－)，故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，
它关于直线x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－]
＝sin(－x－)＝cos(x＋)．
当0≤x≤时，≤x＋≤，
因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为
g(x)max＝cos ＝.
1．若α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：若α是第一象限角，则360°－α为第四象限角．
答案：C
2．已知M1＝{第一象限角}，M2＝{锐角}，M3＝{0°～90°的角}，M4＝{小于90°的角}，则下面结论正确的是( )
A．M1＝M2＝M3＝M4 B．M1?M2?M3?M4
C．M1?M2?M3?M4 D．M2?M3且M2?M4
解析：M1＝{α|k×360°<α<90°＋k×360°，k∈Z}，
M2＝{α|0°<α<90°}，M3＝{α|0°≤α<90°}，
M4＝{α|α<90°}，故M2M1，M2M3，M2M4，选项A，B，C都不正确．
答案：D
3．集合A＝{α|α＝－36°＋k×90°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}
解析：在集合A中，令k为不同的整数，找出既属于A又属于B的元素即可．k＝－1,0,1,2，验证可知A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：C
4．若α＝θ＋n×360°，β＝－θ＋m×360°，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：∵θ与－θ终边关于x轴对称，
∴α，β终边关于x轴对称．
答案：C
5．游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30 min转一圈，估算16 h内最多有________人乘坐．
解析：每一个周期最多乘坐4×10＝40人，16 h内共有32个周期，因而在16 h内最多有40×32＝1 280人乘坐．
答案：1 280
6．在0°～360°范围内：与－1 000°终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．
答案：80° 一
7．在角的集合{α|α＝45°＋k×90°，k∈Z}中：
(1)有几种终边不相同的角？
(2)在－360°～360°范围内的角有几个？
解：(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°<45°＋k×90°<360°，得－
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
∴给定的集合中在－360°～360°范围内的角共有8个．
8．已知，如图所示．
(1)分别写出终边在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边在OA位置上的角的集合为
{α|α＝90°＋45°＋k×360°，k∈Z}＝
{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为
{β|β＝－30°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分角的集合是
{α|－30°＋k×360°≤α≤135°＋k×360°，k∈Z}．
课件46张PPT。第一章§１＆
§２
理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二知识点三知识点四考点一考点二考点三考点四 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，如日出日落、月圆月缺、四季更替、海水潮汐及日常生活中的钟摆摆动、游乐园中摩天轮旋转等．
问题1：上述现象出现的特点是什么？
提示：按一定规律重复出现．
问题2：交通路口红绿灯的转换，是否符合上述现象？
提示：符合．周期现象
每间隔一段时间就会 出现的现象称为周期现象.重复 如图∠AOB.
问题1：你在初中学习了哪些角？
提示：锐角、直角、钝角．
问题2：图中∠AOB能否用“运动”观点来定义？
提示：能，把射线OA绕O点旋转到OB而得到，也可理解为OB绕O点旋转到OA而得到． 问题3：射线OA按顺时针方向、逆时针方向都能转到OB吗？
提示：都可以转到OB.
问题4：两种情况所得到的角相同吗？
提示：不相同． 1．角的概念
角可以看成平面内 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的 ．
2．角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：一条射线端点图形逆时针顺时针没有作任何旋转 若角的顶点与原点重合，角的始边与
重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是 .x轴的非负半轴第几象限角在同一坐标系中作出角60°，420°.
如图，
问题1：两角的终边有何特点？
提示：终边相同．
问题2：两角的度数有何等式关系？
提示：420°＝60°＋360°.相差360°. 问题3：－300°与60°呢？
提示：两角终边也相同，－300°＝60°－360°.相差
－360°.
问题4：试再写几个与60°终边相同的角，并计算一下它们与60°的差．
提示：780°，1 140°，－660°与60°分别相差720°，
1 080°，－720°，都是360°的整数倍． 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ ，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和．α＋k×360°周角的整数倍 1．周期现象可以理解为某一现象周而复始地重复出现，而且重复出现的时间间隔相同．
2．要确定一个角的大小，不仅要看它的始边与终边的位置，而且要看它是如何旋转而成的．显然正角大于零角，零角大于负角．
3．相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． [例1] 如图所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常． [思路点拨] 结合图形，利用周期现象的定义可判断．
[精解详析] 观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的．因此心脏跳动正常． [一点通]
1．判断某种现象是不是周期现象，关键要分析该现象是否每隔相同时间就重复出现．
2．根据已知数据判断周期现象时，一般先作出散点图，然后分析研究数据规律特点，从而得出结论．1．判断下列现象是不是周期现象．
(1)钟表的秒针的运动．
(2)每年下雨的时间．
(3)地球上一年四季的变化．
(4)物理学中单摆的振动．
解：(1)，(3)，(4)是周期现象，(2)不是周期现象．2．如图所示，游乐场里的摩天轮匀速旋转，旋
转一周需要20 min，则某游客从摩天轮的最
低点上去，25 min时，他在摩天轮的左侧还
是右侧？
解：旋转一周需要20 min，则25 min可旋转一周，还余5 min.由于摩天轮是匀速旋转，在最低点经过10 min才可到最高点，所以游客25 min时在摩天轮的左侧. [例2] 下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．
[思路点拨] 根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角． [精解详析] ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；
②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；
③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；
④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
[答案] ① [一点通] 解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可．3．图中角α＝______，β＝______.
解析：α＝－(180°－30°)
＝－150°，
β＝30°＋180°＝210°.
答案：－150° 210°
4．经过10 min，分针转了________度．解析：分针按顺时针转过了周角的 ，即－60°.答案：－60 [例3] 已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
[思路点拨] 利用终边相同的角的关系β＝α＋k×360°，k∈Z.
[精解详析] (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
[一点通] 终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角是第几象限角，只要找与它终边相同且在0°～360°范围内的角，这个角所在象限即为所求．5．与405°角终边相同的角可表示为 ( )
A．－45°＋k×360°，k∈Z
B．－405°＋k×360°，k∈Z
C．45°＋k×360°，k∈Z
D．45°＋k×180°，k∈Z
解析：因为405°＝360°＋45°，所以405°与45°的终边相同．
答案：C6．若角α满足α＝45°＋k×180°，k∈Z，则角α的终边落
在 ( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：当k为奇数时，角α终边与225°角终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．
答案：A7．写出终边在第一或第三象限的角的集合．
解：终边在第一象限的角的集合S1＝{α|k×360°<α<90°＋k×360°，k∈Z}＝{α|2k×180°<α<90°＋2k×180°，k∈Z}；
终边在第三象限的角的集合S2＝{α|180°＋k×360°<α<270°＋k×360°，k∈Z}＝{α|(2k＋1)×180°<α<90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}；
终边在第一或第三象限的角的集合S＝S1∪S2＝{α|n×180°<α<90°＋n×180°，k∈Z}．8．已知，如图所示，
(1)写出终边在射线OA，OB上的角
的集合；
(2)写出终边在阴影部分(包括边界)
的角的集合．解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{α|α＝210°＋k×360°，k∈Z}．
终边在射线OB上的角的集合是
{α|α＝300°＋k×360°，k∈Z}．
(2)终边在阴影部分(含边界)角的集合是
{α|210°＋k×360°≤α≤300°＋k×360°，k∈Z}． 1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°<α<180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°<α<－180°＋k×360°，k∈Z}．点击下图进入应用创新演练课件38张PPT。第一章§3理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 问题2：右图是半径分别为R，r的
两个圆，在每个圆周上取长等于半径的
一段圆弧，连接圆心与弧的两个端点，
得到两个角，你认为这两个角是否相等？
提示：相等． 问题4：若弧长一定，所对的圆心角一定吗？
提示：一定，因圆心角的大小只与弧长和半径的比值有关．
问题5：由问题4你又能得出什么结论？
提示：圆心角与弧长和半径的比值存在一一对应关系．问题3：你能解释问题2中这两个角相等的原因吗？ 1．弧度
在单位圆中， 的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是 ，读作 ．
2．角度与弧度的互化单位长度rad弧度2π 360°π180°0.0174557°18′ 3．弧度制
任一正角的弧度数都是一个 ；任一负角的弧度数都是一个 ；零角的弧度数是 .这种以 作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.正数负数弧度0提示：能． 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，n为圆心角角度数，则|α|r 3．不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
4．弧度制确立了角的弧度数与实数间的一一对应关系，把角度单位与长度单位统一起来． [思路点拨] 先看是以角度制表示的角还是以弧度制表示的角，选择公式计算．2．α＝－2 rad，则α的终边在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限答案：C [例2] (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
[思路点拨] 利用互化公式将－1 480°化为弧度制即可，根据β的范围及β＝α＋2kπ，k∈Z，即可求出β. [一点通] 用弧度制表示与α终边相同的角时，要注意的是α加π的偶数倍，更要注意角度制与弧度制不能混用． [思路点拨] 巧妙运用弧度制表示的圆心角来计算弧长和面积(直接运用公式)． 6．如图，扇形AOB的面积是4 cm2，周长是10 cm，求扇
形的圆心角α的弧度数． 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．点击下图进入应用创新演练
1．－630°化为弧度为( )
A．－ B.
C．－ D．－
解析：－630°＝－630×＝－.
答案：A
2．下列各对角中终边相同的角是( )
A.和－＋2kπ(k∈Z) B．－和
C．－和 D.和
解析：－(－)＝2π.
答案：C
3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ的值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：－π＝－＋(－2π)．
答案：A
4．圆的半径为r，该圆上长为r 的弧所对的圆心角是( )
A. rad B. rad
C. π D. π
解析：由弧度数公式|α|＝得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.
答案：B
5．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为______．
解析：216°＝216×＝，
l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.
答案：25
6．一钟表的分针长5 cm，经过40 min后，分针转了__________ rad.
解析：因为分针经过60 min转一圈，转过的角为2π，
所以1 min转过的角为＝ rad.
所以经过40 min后，分针转过的角为40×＝ rad，
又分针顺时针旋转，故分针转了－π rad.
答案：－
7．如图．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)在0到2π之间，终边落在OA上的角是＋＝，
故终边落在OA上的角的集合为
.
终边落在OB上的角的集合为
.
(2)终边落在阴影部分的角的集合为
.
8．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则
l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.
课件46张PPT。第一章§4
4.1
&
4.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三知识点三考点四 问题2：如图，若锐角α的顶点在原点，
始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于
点P(u，v)，试想α的正、余弦函数值可以用
P点的坐标表示吗？
提示：可以，sin α＝v，cos α＝u. 1．正弦、余弦函数的定义
对于任意角α，角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的
叫作角α的正弦函数，记作 ；点P的 叫作角α的余弦函数，记作 .纵坐标vv＝sin α横坐标uu＝cos α2．正弦、余弦函数的定义域、值域RR[－1,1][－1,1] 问题1：试利用三角函数的定义判定sin α在什么情况下函数值为正？
提示：α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上．
问题2：cos α在什么情况下为负数？
提示：α的终边在第二、三象限或x轴负半轴上．正、余弦函数在各象限的符号＋＋＋＋－－－－ 问题1：我们知道30°与390°的终边相同，试想两角的同一三角函数值相等吗？
提示：相等．
问题2：终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？
提示：都相等．因两角终边相同，其终边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等． 问题3：试想问题2，说明了什么？
提示：正、余弦函数都有周期现象，即在自变量x上加上或减去2π的整数倍，其函数值不变． 1．正(余)弦函数值的周期性
(1)公式：sin(x＋k·2π)＝ ，k∈Z；
cos(x＋k·2π)＝ ，k∈Z.
(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别 ． sin xcos x相等 2．周期函数
(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝ ，把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的 ．
(2)最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个 ，就称它为最小正周期．f(x)周期最小的正数 1．sin α与cos α值的大小只与角α终边与单位圆交点P的坐标(u，v)有关，其中sin α＝v，cos α＝u.
2．sin α不是sin与α的积，是一个三角函数的记号，是一个整体．
3．sin α与cos α的值的符号取决于α的终边所在的象限．
4．由周期函数的定义知，若一函数是周期函数，则它的周期有无数多个，一般研究时只考虑其最小正周期． [思路点拨] 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin α，cos β.[答案] B [一点通] 利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标(u，v)，由三角函数的定义，得sin α＝v，cos α＝u.2．已知角α的终边在射线y＝2x(x>0)上，求角α的正弦、
余弦值． [例2] (1)α是第二象限角，判断sin α·cos α的正负；
(2)若sin α·cos α<0，判断α是第几象限角．
[思路点拨] (1)根据角所在的象限，判定各函数值的符号，再确定积的符号；(2)由积的符号得到sin α，cos α的符号，确定α是第几象限角． [一点通]
1．由角α的终边所在象限可判断角α的函数值的符号，因此可判断因式的符号．
2．由三角函数符号确定α角的终边所在象限时，应首先依据题目中所有三角函数值的符号，分别确定角α的终边所在的象限，则它们的公共部分即为所求．答案：(1)< (2)> (3)> (4)>解析：显然α的终边不在坐标轴上．当α为第一象限角时，sin α>0，cos α>0，原式＝2；同理当α为第二或第四象限角时，原式＝0；当α为第三象限角时原式＝－2.
答案：D[思路点拨] 先利用终边相同的角的公式转化，然后求值． [一点通] 利用公式sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．从该公式可以看出，在求三角函数值的时候，2π，360°的整数倍可以直接去掉，从而方便化简或计算． [思路点拨] (1)利用周期函数的定义可证；
(2)由sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)可求值． [一点通] 利用正弦、余弦函数的周期性可以把任意角的正、余弦函数值转化为(0,2π)间的正、余弦函数值问题，从而方便化简或计算．7．已知函数f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝
________.
解析：f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.
答案：1 1．利用定义求α的正弦值与余弦值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．
3．正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． 4．要证明一个函数f(x)是周期函数，即证等式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的每一个x值都成立；要判断一个函数不是周期函数，只要举一个反例就可以了．点击下图进入应用创新演练
1．已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sin α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：由定义知sin α＝－.
答案：B
2．sin 420°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝.
答案：B
3．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵α是第二象限角，∴cos α<0，sinα>0.
∴点P在第四象限．
答案：D
4．若三角形的两内角A，B满足sin A·cos B<0，则此三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：∵00，又0答案：B
5．若α＝＋2kπ(k∈Z)，则cos 3α＝________.
解析：cos 3α＝cos 3(＋2kπ)
＝cos(＋6kπ)＝cos＝0.
答案：0
6．锐角α的终边交单位圆于点P(，m)，则sin α＝______，cos α＝________.
解析：cos α＝，又α为锐角，∴α＝60°.sin α＝.
答案：
7．设P(－3,4)是角α终边上的一点，求sin α，cos α.
解：∵|OP|＝5，
∴α的终边与单位圆交于
点Q，
sin α＝，cos α＝－.
8．已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,4)时，f(x)＝x2＋2x，
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)求f(－7)．
解：(1)证明：对任意实数x，有f (x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．
所以函数f(x)是周期函数．
(2)由(1)知f(x)的周期为4，
∴f(－7)＝f(－7＋2×4)＝f(1)．
∵当x∈[0,4)时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(－7)＝f(1)＝3.
课件33张PPT。第一章§4
4.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三提示：(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)，(y，x)．提示：分别关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称． 提示：有．
问题4：若任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，－α的终边与单位圆交点坐标是什么？
提示：(x，－y)． 提示：sin α＝y，cos α＝x；sin(－α)＝－y，cos(－α)＝x.有sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.提示：能．对任意角α，下列关系式成立sin αcos α－sin αcos α－sin αcos αsin α－cos α－sin α－cos αcos α－sin αcos αsin α以上公式叫作正弦、余弦函数的诱导公式． 1．诱导公式的实质是将任意角的三角函数值化为锐角的三角函数值的过程，即负→正→[0,2π)→锐角．
2．对于±α的诱导公式要注意函数名称的变化即正弦变余弦、余弦变正弦． [思路点拨] 按“负角化正角，大角化小角”这一程序选择公式．2．计算：－sin(－840°)＋cos(－1 050°)．解：原式＝sin 840°＋cos 1 050°
＝sin(2×360°＋120°)＋cos(3×360°－30°)
＝sin 120°＋cos(－30°)
＝sin(180°－60°)＋cos 30°[思路点拨] 把已知和所求式利用诱导公式进行转化． [一点通] 解决给值求值问题，要先分析“已知角”(给出三角函数值的角)和“被求角”(需求三角函数值的角)之间的关系，设法用“已知角”表示“被求角”，然后再选择公式化简求值．[思路点拨] 利用诱导公式将各个三角函数分别化简． [一点通] 三角函数式的化简方法：利用诱导公式将各个三角函数转化为α的三角函数，再化简． 2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复条，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．点击下图进入应用创新演练
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( )
A．sin(＋α)＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α
C．cos(π＋α)＝cos α D．cos(－α)＝cos α
解析：由诱导公式可知，D正确．
答案：D
2．sin(－1 920°)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：sin(－1 920°)＝－sin 1 920°
＝－sin(6×360°－240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°
＝－.
答案：D
3．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝，
∴cos＋2sin (6π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－.
答案：B
4．cos(kπ＋)(k∈Z)的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：当k＝2n(n∈Z)时，原式＝cos＝；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝cos(π＋)＝－cos＝－.
答案：A
5．计算：cos 2 010°＝________.
解析：cos 2 010°＝cos(5×360°＋210°)＝cos 210°
＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°
＝－.
答案：－
6．下列三角函数：①sin(nπ＋π)；
②cos(2nπ＋)；
③sin(2nπ＋)；
④cos [(2n＋1)π－]；
⑤sin [(2n＋1)π－]．其中n∈Z.
其中函数值与sinπ相同的是________．
解析：①④与sin值不相同，可得②③⑤正确．
答案：②③⑤
7．已知cos(＋α)＝，
求值：＋.
解：原式＝＋
＝－sin α－sin α
＝－2sin α.
又cos(＋α)＝，∴－sin α＝.
∴原式＝.
8．已知f(x)＝求f ＋f 的值．
解：∵f ＝sin ＝sin＝，
F ＝f －1＝f －2＝sin －2＝－，∴f ＋f ＝－＝－2.
课件36张PPT。第一章§5
5.1
&
5.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点一知识点二 设任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，有sin α＝y.
问题1：若过点P作x轴的垂线，垂足为M，试想α的正弦值与线段MP有什么关系？
提示：|sin α|等于MP的长度．
问题2：可以用线段MP表示角α的正弦值吗？
提示：可以，只要把线段MP看作是有正有负的线段即可． 正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，称线段 为角α的正弦线.MP问题1：作函数图像的基本步骤是什么？
提示：列表、描点、连线．
问题2：能利用正弦线作函数图像吗？
提示：能．提示：是函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像． 问题4：由此你能作出y＝sin x，x∈R的图像吗？
提示：能．因sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，这样只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，可得y＝sin x，x∈R的图像． 正弦函数的图像
(1)图像：正弦函数y＝sin x的图像，又称为 ，如图所示．正弦曲线(2)画法：在平面直角坐标系中描出五个关键点：
然后再根据正弦函数的基本形状，用光滑曲线将这五个点连接起来，得到正弦函数在[0,2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法称为 ．五点法 1．正弦函数图像的作法有两种：一是利用正弦线；二是用五点法．
2．作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，在x轴、y轴上要统一单位，作出的图像才正规、准确． [例1] 用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图像．
[思路点拨] 取点、列表、求值、描点、连线，注意曲线的光滑性． [精解详析] (1)列表：(2)描点、连线，图像如图． [一点通] “五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分分别找出图像的最高点，最低点及平衡点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．1．作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像．解：列表：描点作图：2．用五点法画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像．解：列表：描点得y＝sin 2x(0≤x≤π)的简图，如图： [思路点拨] 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，再由图像写出[0,2π]上满足不等式的解集，最后扩展到R上去．也可以用正弦线来求解． [一点通] 利用正弦函数图像可解简单的三角不等式．因为正弦函数是以2π为周期的周期函数，所以用正弦函数图像解三角不等式的步骤是：
(1)作出相应的正弦函数的图像；
(2)写出适合不等式的在区间[0,2π)上的解集；
(3)根据正弦函数的周期性把此解集拓延到整个定义域上．3．y＝2与y＝sin 2x的交点个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：作出两函数的图像，可得交点个数．
答案：A解：利用“五点法”作图． 2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数．点击下图进入应用创新演练
1．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列不是关键点的是( )
A. B.
C．(π，0) D．(2π，0)
答案：A
2．点M在函数y＝sin x＋1的图像上，则b等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：将M的坐标代入函数式得b＝sin＋1＝2.
答案：C
3．在同一坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0,2π)与y＝sin x，x∈[2π，4π)的图像( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：根据y＝sin x，x∈R的周期性可知B正确．
答案：B
4．在[0,2π]上，满足sin x≥的x取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：在同一坐标系内作出[0,2π]上y＝sin x和y＝的图像即可得到结论．
答案：B
5．若sin x＝a－1有意义，则a的取值范围是________．
解析：由－1≤a－1≤1?0≤a≤2.
答案：[0,2]
6．用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是________．
解析：令2x＝0，，π，和2π，求出x的值．
答案：0，，，π，π
7．利用正弦线，求满足下列条件的角α的集合：
(1)sin α＝；
(2)sin α≤－.
解：(1)如图(1)．
故使sin α＝的α的集合为
.
(2)如图(2)．
在Rt△OMP中，|OP|＝1，|MP|＝，
∴∠MOP＝.
故使sin α≤－的α的集合为
.
8．用 “五点法”作出函数f(x)＝sin一个周期的图像．
解：列表：
x＋
0
π
2π
x
－
y＝sin
0
1
0
－1
0
图像如图．
1．函数y＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇函数又偶函数 D．非奇非偶
解析：f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)．
答案：A
2．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为( )
A．[－π，－] B．[－，]
C．[－π，] D．[，π]
解析：结合函数y＝4sin x＋3，x∈[－π，π]的图像可知，函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为[－，]．
答案：B
3．设M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析：∵M＝－1，m＝－－1，
∴M＋m＝－2.
答案：D
4．函数f(x)＝sin x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos＝( )
A．0 B.
C．－1 D．1
解析：由题意知可取[a，b]＝[－，]，
故cos＝cos 0＝1.
答案：D
5．函数y＝的定义域是________，单调递减区间是________．
解析：∵－2sin x≥0，sin x≤0，
∴2kπ－π≤x≤2kπ， k∈Z，
即函数的定义域是{x|2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z}．
∵y＝与y＝sin x的单调性相反，
∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z} [2kπ－，2kπ](k∈Z)
6．比较大小：sinπ________sin.
解析：∵sin＝sin，sin＝sin，
又0<<<，y＝sin x在上是增加的，
∴sin答案：<
7．求下列函数的值域：
(1)y＝sin2x－sin x；
(2)y＝2sin，x∈.
解：(1)y＝sin2x－sin x＝(sin x－)2－.
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝时，y最小为－；
当sin x＝－1时，y最大为2.
∴y＝sin2x－sin x的值域为[－，2]．
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤.
∴0≤sin≤1.
∴0≤2sin≤2，∴0≤y≤2.
∴函数的值域为[0,2]．
8．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)作出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
解：(1)y＝sin x＋|sin x|
＝
函数图像如下图所示：
(2)由图像知，该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像知，函数的单调增区间为(k∈Z)．
课件36张PPT。第一章§5
5.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三下图为正弦函数的图像，试观察分析．问题1：该图像可以向两侧无限延伸吗？
提示：可以．
问题2：该图像夹在两条平行线y＝1和y＝－1之间，说明什么？
提示：值域为[－1,1]．提示：可以，周期为2π.提示：是一个周期． 问题6：如何写出正弦函数在x∈R上的单调区间？
提示：利用正弦函数的周期性．
问题7：由sin(－x)＝－sin x，说明正弦函数又具有什么性质？
提示：正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称．正弦函数的性质R[－1,1]奇函数 1．正弦函数的值域为[－1,1]，即为有界性，解决问题时要注意此范围的限制性．
2．利用正弦函数的周期性，可把正弦函数在一个周期内的性质，延拓到整个定义域上，这为研究函数的性质提供了很大的方便． [一点通]
1．求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
2．求值域时，注意：①利用sin x的有界性；②利用y＝sin x的单调性． [思路点拨] (1)利用周期函数定义；(2)利用正弦函数图像．(2)作出y＝|sin x|的图像，如图．故周期为π. [一点通]
1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．
2．函数y＝sin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin x；
(2)f(x)＝|sin x|＋1.解：(1)∵x∈R，
又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．4．求y＝sin 4x的周期． [一点通] 求形如y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω>0，直接把ωx＋φ代入函数y＝sin x相应的单调区间求解即可；若ω<0，利用诱导公式把x的系数化为正数后再代入相反的单调区间求解．5．求函数y＝sin(－x)的单调递增区间． 1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．
2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．点击下图进入应用创新演练
1．下列函数中，在[，π]上增加的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
解析：∵≤x≤π，
∴π≤2x≤2π，知y＝sin 2x在[π，2π]内不具备单调性，
而y＝sin x与y＝cos x在[，π]上都是减少的，只有D符合．
答案：D
2．函数y＝cos x－2，x∈[－π，π]的图像是( )
解析：用五点法作出函数y＝cos x－2，x∈[－π，π]的图像或把函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位均可．
答案：A
3．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是( )
A．(－，] B．[－，]
C．[，1] D．[，1]
解析：∵0≤x≤，∴≤x＋≤，
∴－≤cos(x＋)≤.
答案：B
4．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增加的
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：由f(x)＝sin(x－)＝－cos x，可知D错误．
答案：D
5．函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是________．
解析：∵函数y＝cos x的单调递增区间是
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，
∴函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是
[－π＋2kπ，2kπ]( k∈Z)．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
6．比较大小：cosπ________cosπ.
解析：∵cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cosπ，
而0<<<，∴cos>cos，
即cosπ>cosπ.
答案：>
7．画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出y≥时x的集合．
解：用“五点法”作出y＝cos x简图．
过(0，)点作x轴的平行线，从图像中看出：
在[－π，π]区间与余弦曲线交于(－，)，(，)点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为
{x|－≤x≤}．
当x∈R时，若y≥，
则x的集合为{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
8．设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋)的周期．
解：当a>0时，
有∴
此时g(x)＝－sin(2x＋)，其周期T＝π；
当a<0时，有∴
此时g(x)＝－sin(－2x＋)，其周期T＝π.
综上，可得函数g(x)的周期为π.
课件42张PPT。第一章§6
理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二提示：可把余弦问题转化为正弦问题解决． 余弦函数的图像
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向 单位长度得到．
(2)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作 ．图像如下：余弦曲线 (3)用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是 ， ， ，
， .(0,1)(π，－1)(2π，1) 问题1：观察余弦函数的图像，联想正弦函数的性质，你能归纳出余弦函数性质吗？
提示：能．
问题2：正弦和余弦的性质哪些相同？又有哪些不同？
提示：定义域、值域、周期相同，奇偶性和单调性不同．余弦函数的性质R[－1,1]2kπ(k∈Z，k≠0)2π[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)2kπ2kπ＋π－11 1．余弦函数的值域为[－1,1]，解决问题时要注意此范围的限制性．
2．利用余弦函数的周期性，可把余弦函数在一个周期内的性质，延拓到整个定义域上，这为研究函数的性质提供了很大的方便．
3．利用图像能准确记忆性质，尤其单调性．[例1] 用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．[精解详析] 列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图 [一点通]
1．用“五点法”作图，首先要找到关键的五个点，然后连线．
2．学习中需加强对用五点法作正弦、余弦函数图像区别和联系的理解．1．函数y＝cos 2x，x∈[0,2π]的简图是( )答案：D解：①列表： [思路点拨] 利用余弦函数的图像求定义域，结合有界性求值域． [一点通] 求与余弦函数有关的函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，以及余弦函数的有界性．3．函数y＝－3cos x＋1的最大值为________，最小值为
________．解析：∵－1≤cos x≤1，
又∵一次函数y＝－3m＋1在m∈R上是单调减函数，
∴当cos x＝－1时，ymax＝4，
当cos x＝1时，ymin＝－2.
答案：4 －2[例3] (12分)已知f(x)＝2＋cos x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的最小正周期． [思路点拨] 可由定义判断奇偶性、周期性，对于单调性要注意a的符号． [一点通] 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．5．函数y＝cos 2x的周期为________．
解析：令z＝2x，∴f(x)＝cos 2x＝cos z＝cos(z＋2π)＝cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]，即f(x＋π)＝f(x)，
∴T＝π.
答案：π (2)周期性：
y＝cos x(x∈R)是周期函数，且最小正周期为2π，相邻零点之间相差半个周期，相邻两个最大值间相差一个周期．
由于y＝cos x(x∈R)是周期函数，故要研究其性质只需先选定一个周期研究，然后延拓到整个定义域上即可． (3)有界性：
y＝cos x的图像夹在两平行直线y＝±1间，即|cos x|≤1.
2．利用余弦函数的单调性比较函数值的大小时，需将所比较的两个角转化到余弦函数的同一个单调区间内．点击下图进入应用创新演练课件44张PPT。第一章§7
7.1
&
7.2
理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三提示：能，a，b同号为正，异号为负．正切函数的定义
(1)任意角的正切函数：tan α 一三二四AT(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系： 我们知道，正弦曲线是借助正弦线作出．
问题1：可否借助于单位圆中正切线类比正弦曲线的画法画出正切函数的图像？
提示：可以． (2)正切曲线的特征：
正切曲线是被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的 . x＝kπ＋(k∈Z)渐近线 提示：是周期函数，π为最小正周期；是奇函数，图像关于原点对称．问题3：正切函数在定义域内是增加的，这种说法对吗？正切函数的性质Rkπk∈Z，k≠0π奇函数 [思路点拨] 求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解．1．已知角α的终边上一点P(－3,2)，求sin α，cos α，tan α. [思路点拨] 先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图．如图所示．4．根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．解：作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图． [思路点拨] 通过f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a的符号．解析：验证知A符合①②③.
答案：A点击下图进入应用创新演练课件28张PPT。第一章§7
7.3
理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三提示：能．正切函数的诱导公式
(1)tan(2π＋α)＝ ；
(2)tan(－α)＝ ；
(3)tan(2π－α)＝ ；
(4)tan(π－α)＝ ；tan α－tan α－tan α－tan αtan α[思路点拨] 利用诱导公式均化为α的三角函数． [一点通] 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，三角函数种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定求值．1．化简tan(－α)＋tan(3π＋α)＝ ( )
A．0 B．－2tan α
C．tan α D．2tan α
解析：原式＝－tan α＋tan α＝0.
答案：A[思路点拨] 先化简式子，再利用定义求值．答案：A [思路点拨] 先利用诱导公式转化为同一个单调区间上的两个角的正切值，再比较大小．6．比较tan 167°与tan 173°的大小．
解：tan 167°＝－tan 13°，tan 173°＝－tan 7°，
由正切函数的单调性知tan 13°>tan 7°，
∴－tan 13°<－tan 7°，即tan 167°1．角α的终边上有一点P(a，a)(a∈R且a≠0)，则tan α的值是( )
A．±1 B．1
C．－1 D.
解析：因为x＝a，y＝a(a≠0)，∴tan α＝＝1.
答案：B
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
B．(kπ，(k＋1)π)(k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
D．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
解析：由kπ－答案：C
3．若tan θsin θ<0，则θ的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第二或第三象限 D．第二或第四象限
解析：由tan θ>0，sin θ<0或tan θ<0，sin θ>0，知θ的终边在第二或第三象限．
答案：C
4．直线y＝a与y＝tan x的图像的相邻两个交点的距离是( )
A. B．π
C．2π D．与a的值的大小有关
解析：由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π.
答案：B
5．函数f(x)＝1－2cos x＋|tan x|是________函数(填“奇”或“偶”)．
解析： f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，
且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
答案：偶
6．若tan x＋1<0，则x的取值范围是__________．
解析：tan x＋1<0，即tan x<－1.
∴－＋kπ答案：{x|－＋kπ7．已知角α的终边上一点P的坐标为(－，y)(y≠0)，且sin α＝y，求tan α.
解：由题意r2＝x2＋y2＝3＋y2，
由三角函数定义sin α＝＝＝y，
∴y＝±.
∴tan α＝，即tan α＝±.
8．求函数y＝tan 2x的定义域、值域、单调区间、周期，并作出它在区间[－π，π]内的图像．
解：(1)要使函数y＝tan 2x有意义，必须且只需2x≠＋kπ， k∈Z，即x≠＋，k∈Z，
∴函数y＝tan 2x的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}．
(2)设t＝2x，由x≠＋， k∈Z}知t≠＋kπ，k∈Z，
∴y＝tan t的值域为(－∞，＋∞)，
即y＝tan 2x的值域为(－∞，＋∞)．
(3)由－＋kπ<2x<＋kπ，k∈Z，得－＋∴y＝tan 2x的单调递增区间为(k∈Z)．
(4)∵tan 2(x＋)＝tan(2x＋π)＝tan 2x，
∴y＝tan 2x的周期为.
(5)函数y＝tan 2x在区间[－π，π]内的图像如图．
1．下列各式成立的是( )
A．tan(π＋α)＝－tan α B．tan(π－α)＝tan α
C．tan(－α)＝－tan α D．tan (2π－α)＝tan α
答案：C
2．tanπ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：tan＝tan＝－tan＝－.
答案：B
3．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－ B．－
C．± D．±
解析：∵角α终边上有一点P(5n,4n)，∴tan α＝.
∴tan(180°－α)＝－tan α＝－.
答案：A
4．已知tan(243°－α)＝，那么tan(－927°－α)的值为( )
A. B．－
C．－3 D．±3
解析：tan(243°－α)＝tan(180°＋63°－α)＝tan(63°－α)＝，而(27°＋α)＋(63°－α)＝90°，所以tan(27°＋α)＝3，
所以tan(－927°－α)＝－tan(927°＋α)
＝－tan(5×180°＋27°＋α)＝－tan(27°＋α)＝－3.
答案：C
5．tan＝________.
解析：tan＝－tan＝－tan
＝－tan＝－tan
＝－tan＝－.
答案：－
6．已知tan(π－x)＝，则tan(x－3π)＝________.
解析：由tan(π－x)＝，知tan x＝－，
故tan(x－3π)＝－tan(3π－x)＝－tan(π－x)
＝tan x＝－.
答案：－
7．求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°.
解：(1)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°＝4.
8．利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小．
(1)tan与tan；
(2)tan 2与tan 9.
解：(1)∵tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
又函数y＝tan x在上是增函数，
而－<－<<，∴tan即tan(2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而<2<9－2π<π，
函数y＝tan x在上是增函数，
∴tan 2课件48张PPT。第一章§8
第一课时理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三 问题1：用“五点法”作y＝2sin x的图像，五点的坐标是什么？ 提示：两函数的定义域、周期、奇偶性和单调性相同，只有值域不同． 振幅变换
(1)在函数y＝Asin x(A>0)中，A决定了函数的 以及函数的最大值和最小值，通常称A为 ．
(2)对于函数y＝Asin x(A>0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 (2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点 (当φ>0时)或 (当φ<0时)平行移动 个单位长度得到的.函数值初相相位向左向右|φ|观察下列表格.提示：有．提示：4π，2π，π.频率 (3)对于函数y＝sin(ωx＋φ)与y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅，不改变周期及相位．[精解详析] ①列表：②描点．
③用平滑的曲线顺次连接各点，其图像如图所示．解：(1)列表.(1)描点作图，如下图所示． [思路点拨] 变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．答案：D答案：B [例3] (12分)(2011·江苏高考)函数f(x)
＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω
＞0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________． [一点通] 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法如下：
(1)如果从图像可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．答案：A 2．图像变换中，还常用以下三种变换：
(1)y＝－sin x的图像可由y＝sin x的图像沿x轴翻折180°而得到．
(2)y＝|sin x|的图像可由y＝sin x的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到． (3)y＝sin |x|的图像可通过让y＝sin x的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到． 点击下图进入应用创新演练课件34张PPT。第一章§8
第二课时理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三提示：ω.问题3：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像是否有对称性？
提示：有，既是中心对称又是轴对称．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质[－A，A]kπ(k∈Z)非奇非偶(k∈Z) 1．对于y＝Asin(ωx＋φ)其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线． [一点通] 求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的范围；
(2)作出y＝sin u(注意u的范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．答案：B答案：A [思路点拨] 根据对称轴、对称中心的特点建立方程求解． 求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题，都可令ωx＋φ＝u.套用y＝sin u的一系列性质顺利解决．点击下图进入应用创新演练
1．要得到y＝sinx的图像，只需将函数y＝sin(x－)的图像( )
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移π D．向右平移π
解析：由(x－π＋φ)＝x，∴φ＝.
故向左平移.
答案：C
2．已知f(x)＝2sin的图像经过点 (0,1)，则f(x)的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：T＝＝6，将点(0,1)代入得sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝.
答案：A
3．把函数y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )
A．y＝sin(2x－)，x∈R B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R D．y＝sin，x∈R
解析：将y＝sin x的图像上的所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin的图像．再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得y＝sin的图像．
答案：C
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则f()＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：由＝π，得ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋)．
∴f()＝sin(＋)＝sin＝.
答案：A
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.
解析：由图像可得函数f(x)的最小正周期为，
∴T＝＝?ω＝.
答案：
6．已知函数y＝Asin (ωx＋φ)的一段图像如图所示，则函数解析式为________．
解析：图中给出了第三、第五个关键点，于是得
解得ω＝3，φ＝.又∵A＝2，
∴所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
7．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)·cos x，求g(π)的值．
解：(1)由图可知A＝2，ω＝＝，
∴解析式为y＝2sin(x＋φ)，
且由f(x)的图像过点(，2)，得2sin(×＋φ)＝2，
又－<φ<，得φ＝，
∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x
＝×2sin(x＋)cos x
＝sin(x＋)cos x，
∴g()＝sin(＋)cos＝sincos(π＋)
＝(－1)×(－)＝.
8．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，)，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)，若φ∈(－，)．
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
解：(1)由题意知A＝，T＝4×(π－)＝π，ω＝＝2，
∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin(×2＋φ)＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈(－，)，
∴φ＝.
∴y＝sin(2x＋)．
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析：由f(x)＝－cos πx－1，x∈R，易知f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cos πx－1＝f(x)，为偶函数，周期T＝＝2.
答案：B
2．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么( )
A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝
解析：T＝＝2，又当x＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，可取θ＝.
答案：A
3．设函数f(x)＝Asin(2x＋)(A≠0)，则( )
A．f(x)的图像过点
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的最大值是A
解析：f(x)＝Asin.∴图像过，选项A不正确；x∈[，]时，2x＋∈[π，]，但A的符号不确定，故B不正确；A<0时，D不正确；当x＝时，2x＋＝π，即f＝0，∴是f(x)的一个对称中心．
答案：C
4．(2011·山东高考)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
A．3 B．2
C. D.
解析：由于函数f(x)＝sin ωx的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.
答案：C
5．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．
解析：由≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.
答案：2
6．函数y＝sin(2x－)与y轴最近的对称轴方程是____________．
解析：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.
答案：x＝－
7．已知函数f(x)＝－2asin＋b的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．
解：f(x)＝－2asin＋b，
∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈.
则当a>0时，∴a＝3，b＝1.
当a<0时，∴a＝－3，b＝－2.
8．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，
(1)用五点法画出f(x)在一个周期上的图像；
(2)求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T；
(3)由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到y＝f(x)的图像；
(4)写出函数图像的对称轴方程和对称中心坐标．
解：(1)步骤：
①列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
1
0
－1
0
②描点：(－，0)，(，1)，(，0)，(，－1)，(，0)．
③用平滑的曲线顺次连接各点，所得图像如图所示．
(2)由(1)中图像可知M＝1，N＝－1，T＝＝π.
(3)变换步骤是：
①把y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得函数y＝sin(x＋)的图像；
②把函数y＝sin(x＋)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin(2x＋)的图像．
(4)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
即对称中心是(－，0)(k∈Z)．
课件27张PPT。第一章§9
把握热点考向应用创新演练考点二考点一 [例1] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x) ＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；
(2)问哪几个月能盈利？[思路点拨] (1)根据题意确定A，B，ω，φ.
(2)根据盈利等价于f(x) 故4,5,6,7,8,12月份能盈利．
[一点通] 将实际问题的“条件”与“函数模型“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键． 1．已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24，
单位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的
浪高数据：经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图像．(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？2．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮
子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m? [思路点拨] (1)求t＝0时所对应的电压，(2)求函数的周期，(3)求函数的最值． [一点通] 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象．解：(1)列表如下：4．弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C间做简谐运动，B，
C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次达到C点．求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小． 1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．点击下图进入应用创新演练
1．下图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
解析：周期T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s；振幅A＝5 cm；t＝0.1 s或0.5 s时速度为0；t＝0.3 s或0.7 s时加速度为0.
答案：D
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：T＝＝ s，∴f＝＝80 Hz.
答案：C
3．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin(2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A.， B．2，
C.，π D．2，π
解析：t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.
答案：A
4．如图为一半径为3 m的水轮，水轮的圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
解析：易知水轮的角速度ω＝＝，
∴y＝3sin(ωt＋φ)＋2＝3sin＋2，
则A＝3，ω＝.
答案：B
5．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则电压的最大值是________，第一次获得这个最大值的时间是________．
解析：因为E＝220sin，t∈[0，＋∞)，所以当sin＝1时，Emax＝220.第一次获得最大值时100πt＋＝，解得t＝.
答案：220 V s
6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋)(A>0，ω≠0)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是________ 安．
解析：由图像可知A＝10，周期T＝2×(－)＝，
∴ω＝＝100π.
∴I＝10sin(100πt＋)．
当t＝秒时，I＝10sin(2π＋)＝5.
答案：5
7．如果某地某天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.如图所示．
(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)由图可知这段时间的最大温差为20℃.
(2)观察题图可知，从6～14时的图像是
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.
∵·＝14－6，∴ω＝.
∴y＝10sin(x＋φ)＋20.
将x＝6，y＝10代入上式，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴所求解析式为y＝10sin(x＋)＋20，x∈[6,14]．
8．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5 s时的位置．
解：(1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0,0≤φ<2π)，
则由T＝＝3，得ω＝.
当t＝0时，有x＝3sin φ＝3，∴sin φ＝1.
又0≤φ<2π，故可得φ＝.
从而所求的函数关系式是x＝3sin(t＋)，
即为x＝3cost.
(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，
故该物体在t＝5 s时的位置是在O点左侧且距O点1.5 cm 处．
课件21张PPT。第一章
章末小结
核心要点归纳阶段质量检测 1．周期现象及周期性
(1)周期现象：每隔一段时间会重复出现的现象．
(2)周期性：
①周期函数：对于f(x)的定义域内的任一x，都有f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，T是它的一个周期． 2．角的概念的推广
(1)与α终边相同的角的集合{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)象限角：
①象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合”为前提的，否则不能从终边所在的位置来判断某角是第几象限角．
②终边落在坐标轴上的角不属于任何象限． (2)三角函数在各象限的符号(如图)：6．三角函数的图像与性质点击下图进入阶段质量检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos 210°的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
答案：B
2．已知函数y＝tan ωx在(－，)上是减少的，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
解析：法一：因为函数y＝tan ωx在(－，)内是减少的，
所以ω<0且最小正周期T≥π，即≥π?0＜|ω|≤1.
综上，－1≤ω＜0.
法二：分别在各选项给出的区间上取特殊值来进行验证．如取ω＝1时，不符合题意，排除A，C；取ω＝－2时，∈(－，)，此时，ωx＝－，但－的正切值不存在，不符合题意，所以排除D.
答案：B
3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵角θ的终边过点(4，－3)，∴cos θ＝.
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－.
答案：B
4．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．1 cm2
解析：由l＝αR，得2＝2×R，R＝1，S＝lR＝×2×1＝1(cm2)．
答案：D
5．已知函数f(x)＝cos (－)(x∈R)，下面结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0,2π]上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：由题知f(x)＝cos(－)＝sin，从而易知只有D正确．
答案：D
6．将函数y＝sin x的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin的图像，则φ等于( )
A. B.
C. D.
解析：依题意得y＝sin＝sin＝sin，将y＝sin x的图像向左平移个单位后得到y＝sin的图像，即y＝sin的图像．
答案：B
7．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：∵T＝π，∴ω＝2，排除C、D.
又∵函数在上为减函数，排除B.
答案：A
8．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
解析：据已知可得：T＝4×(3－1)＝?ω＝，f(1)＝sin＝1?＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又0≤φ<2π，故φ＝.
答案：C
9．将函数y＝cos的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图像的一条对称轴为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝π
解析：由已知可得平移后的函数解析式为f(x)＝cos＝cos，根据对称轴的意义分别将各选项代入验证，由于f＝cos 0＝1，故x＝是函数图像的一条对称轴．
答案：C
10．某市某房地产介绍所对本市一楼群的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(单位：元/m2)与第x季度之间近似满足关系式：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度的平均单价如下表所示：
x
一
二
y
10 000
9 500
则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：把x＝1，y＝10 000，及x＝2，y＝9 500分别代入y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，得sin(ω＋φ)＝1，sin(2ω＋φ)＝0，∴ω＋φ＝2kπ＋，2ω＋φ＝kπ，k∈Z，易得3ω＋φ＝2(2ω＋φ)－(ω＋φ)，sin(3ω＋φ)＝－1，则y＝500sin(3ω＋φ)＋9 500＝9 000.故此楼群在第三季度的平均单价大约是9 000元．
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．tan＝________.
解析：tan＝tan＝tan＝.
答案：
12．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析：由已知得tan α<0，cos α<0，则α是第二象限角．
答案：二
13．在同一直角坐标系中，函数y＝sin x和y＝x的图像的交点个数为________．
解析：在同一坐标系中，画出函数y＝sin x和y＝x的图像如图，可得有三个交点．
答案：3
14．有下列说法：
①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是；
③把函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；
④函数y＝sin在[0，π]上是减函数．
其中，正确的说法是________．
解析：对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝＝π，故①对；
对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；
对于③，y＝3sin的图像向右平移个单位长度后，得y＝3sin＝3sin 2x，故③对；
对于④，y＝sin＝－cos x，在[0，π]上为增函数，故④错．
答案：①③
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P(1，)．
(1)求sin(π－α)－sin(＋α)的值；
(2)写出满足2cos x－tan α>0的角x的集合S.
解：(1)∵角α的终边过点P(1，)，
可设x＝1，y＝，则r＝2，
∴sin α＝，cos α＝.
∴sin(π－α)－sin(＋α)＝sin α－cos α＝.
(2)由2cos x－tan α>0及tan α＝，得cos x>，
由y＝cos x的图像可得x的集合为
S＝{x|－＋2kπ16．(本小题满分12分)计算－cos 585°·tan (－π)．
解：原式＝＋cos 225°tan
＝＋(－cos 45°)·tan
＝＋(－)×1＝－.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋1.
(1)求函数f(x)的周期；
(2)求函数f(x)的最大值及f(x)最大时x的集合；
(3)在平面直角坐标系中画出函数f(x)在上的图像．
解：(1)周期T＝＝＝π.
(2)由2x－＝＋2kπ(k∈Z)，
得x＝＋kπ(k∈Z)，
此时sin(2x－)＝1，
∴f(x)的最大值为＋1，相应x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
(3)列表.
x
－
－
－
y
2
1
1－
1
1＋
2
故函数f(x)在上的图像如图所示．
18．(本小题满分14分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π时，ymin＝－3.
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数的单调递增区间．
解：(1)由题意得A＝3，T＝5π，
∴T＝10π，∴ω＝＝.
∴y＝3sin(x＋φ)，
∵点(π，3)在此函数图像上，
∴3sin(＋φ)＝3，
∵0≤φ≤，∴φ＝－＝.
∴y＝3sin(x＋)．
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ时，
函数y＝3sin单调递增．
所以此函数的单调递增区间为
[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z)．
1．设α∈(π，2π)，则 ＝( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：原式＝ ＝|cos|，∵∈(，π)，
∴cos<0，∴原式＝－cos.
答案：D
2．已知π<α<，cos 2α＝，则sin α等 于( )
A. B．－
C. D．－
解析：cos 2α＝1－2sin2α＝，∴sin2α＝.
又π<α<π，∴sin α＝－.
答案：D
3．函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)的最小正周期为( )
A．2π B．π
C. D.
解析：f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋＝ sin 2x＋ cos 2x＋＝sin(2x＋)＋.
∴最小正周期T＝π.
答案：B
4．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则下列等式中一定成立的是( )
A．A＝B B．A＝C
C．B＝C D．A＝B＝C
解析：∵sin Asin B＝cos2
＝＝－cos(A＋B)
＝－(cos Acos B－sin Asin B)，
∴cos Acos B＋sin Asin B＝.
∴cos(A－B)＝1.
∵0＜A＜π， 0＜B＜π ，∴－π＜A－B＜π，
∴A－B＝0，∴A＝B.
答案：A
5．若tan(α＋)＝3＋2，则＝________.
解析：由tan(α＋)＝＝3＋2，得tan α＝.
所以＝＝tan α＝.
答案：
6．求值：cos4 ＋cos4＋cos4＋cos4＝________.
解析：原式＝2(cos4＋cos4)＝2(cos4＋sin4)＝2(1－2sin2cos2)＝2(1－sin2)＝.
答案：
7．已知cos 2θ＝，<θ<π.求：
(1)tan θ的值；
(2)的值．
解：(1)由cos 2θ＝，得1－2sin2θ＝，sin2θ＝.
∵<θ<π，∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝＝－.
(2)＝＝＝2.
8．已知函数f(x)＝sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)∵f(x)＝sin 2(x－)＋1－cos 2(x－)
＝2[sin 2(x－)－cos 2(x－)]＋1
＝2sin[2(x－)－]＋1＝2sin(2x－)＋1，
∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin(2x－)＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
课件34张PPT。第三章§3
第一课时理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 问题1：在两角和公式中，若α＝β，其公式变为何种形式？ 问题2：试想cos 2α只用cos α(或sin α)表示，其公式又为何种形式？
提示：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.提示：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α，2sin αcos αcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2αα＝βα＝βsin2α＋cos2α＝1α＝β [思路点拨] 利用cos 2x＝sin(－2x)，再由二倍角公式求解．也可把sin(－x)展开平方求sin 2x，再利用平方关系求解． [一点通] 解决此类问题常从角的关系寻找突破口，一般有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． [思路点拨] 逆用二倍角公式化简求值． [一点通] 根据三角函数式的特征，经过适当变形，同时变换出特殊角，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要从整体上考虑式子的特征．答案：B [思路点拨] 解答本题可把切化弦，再用二倍角公式化简． [一点通] 被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的，若有，则应用诱导公式转化，若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简．点击下图进入应用创新演练课件45张PPT。第三章§3
第二课时理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三考点四提示：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.提示：可以．移项后开平方可得，但其值的正负不定．半角公式 [思路点拨] 可用半角公式求值或用单角的正、余弦表示半角的正切． [一点通] 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [思路点拨] 用升幂公式脱去根号，根据角的范围化简． [一点通] 利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式减少运算量，开方运算时要注意角的范围． [思路点拨] 首先把f(x)化成Asin(ωx＋θ)的形式，再研究其性质． [一点通] 首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．答案：B6．已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x，x∈[，]，求
f(x)的最大值和最小值． [思路点拨] 先求矩形面积S关于α的表达式，再利用三角函数知识求最大值． [一点通] 解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．7.如图，某一公司位于两条平行的大道之
间A处，且到两大道的距离分别为h1，
h2，今公司想在两大道上分别设置一个
产品销售点B和C，使AB⊥AC，试问如
何设置使△ABC的面积最小？此时最小值为多少？点击下图进入应用创新演练课件39张PPT。第三章§1理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点四考点三若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，如图．问题1：求角α的三角函数值．提示：可以，sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1.1tan α平方和正切 [思路点拨] 第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商数关系求正切；
第(2)题先把所求式化为只含一个函数的代数式，再求值．答案：B3．(1)本例中的第(1)题把“α是第三象限角”去掉，求cos α，
tan α；
(2)本例中的第(2)小题在条件不变的情况下，求4sin2α－3sin αcos α－5cos2α的值． [一点通] 化简三角函数式的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．答案：cos 80°答案：0答案：cos θ[思路点拨] 切函数化成弦函数，再由左边推右边． [一点通] 证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有：①从一边开始，证得它等于另一边；②证明左右两边都等于同一个式子；③变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式． [思路点拨] 等式两边平方可求，由sin A·cos A的符号可求(2)． [一点通]
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号． 1．“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．
2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号． 3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：
(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2 α”代替．
(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．
(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系．点击下图进入应用创新演练
1．若sin α＝m，cos α＝ m，则( )
A．m∈[－1,1] B．m∈[－，]
C．m＝ D．m＝±
解析：由sin2α＋cos2α＝1，得4m2＝1，m＝±.
答案：D
2．已知cos θ＝，且<θ<2π，那么tan θ的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：由<θ<2π知sin θ<0，
sin θ＝－ ＝－，tan θ＝－.
答案：B
3．已知tan α＝－，则的值是( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：原式＝
＝＝－.
答案：C
4．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
解析：tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
答案：C
5．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝________.
解析：∵a＝(3,4)，b＝(sin α，cosα)，且a∥b，
∴3cos α－4sin α＝0.
∴tan α＝.
答案：
6．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝______________________________________.
解析：∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ是第三象限角．
∴cos θ＝－ ＝－＝－.
答案：－
7．已知A是△ABC的一个内角，且tan A＝－，求sin A，cos A的值．
解：由tan A＝－，得A∈(，π)，则＝－，即sin A＝－cos A.
又∵sin2A＋cos2A＝1，∴cos A＝－.
∴sin A＝ ＝.
8．已知sin θ＋cos θ＝－，
(1)求＋的值；
(2)求tan θ的值．
解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sinθcos θ＝－，
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
课件48张PPT。第三章§2
2.1&
2.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二提示：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 提示：根据诱导公式可知，α，β为任意角时上述关系仍成立．两角差的余弦公式cos(α－β)＝
cos αcos β＋sin αsin β 问题1：可以利用公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β求cos(α＋β)吗？
提示：可以，cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]
＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)，
即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2：可以利用公式Cα＋β求sin(α＋β)，sin(α－β)吗？两角和与差的正弦、余弦公式sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin βcos αcos β－sin αsin βα，β∈Rα，β∈Rα，β∈R 1．公式Cα±β，Sα±β中α，β都是任意角．
2．对于Cα±β中注意展开式中为余余正正，中间运算符号与α±β中相反，而Sα±β中展开式为正余余正，中间运算符号与α±β中相同． [例1] 求值：(1)sin 15°＋cos 15°；
(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.
[思路点拨] 解答本题首先把非特殊角向特殊角转化或创造条件逆用公式，然后再应用公式求解． [一点通] 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”．1．sin 15°＋cos 165°的值是________． [思路点拨] 由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解． [一点通]
1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的范围确定三角函数值的符号．
2．常见的变角技巧：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．答案：B [一点通]
1．解答此类题目的步骤为：第一步：求角的某一个三角函数值；第二步：确定角所在的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的范围确定，最好是角的范围在该函数的单调区间内．答案：A 1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sin πcos α＋cos πsin α＝－sin α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．点击下图进入应用创新演练课件31张PPT。第三章§2
2.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三两角和与差的正切公式(Tα＋β)(Tα－β) [一点通] 若已知α，β的正、余弦的值，求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正、余弦而后应用商数关系；②是先求tan α，tan β，而后应用α±β的正切公式．若已知α，β的正切，则直接应用正切公式求解即可．3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan 2α和tan 2
β的值． [一点通] 公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))，三者知其二即可表示或求出第三个． [思路点拨] 可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tan A和tan C的值，从而可得A，B，C可判断三角形形状． [一点通] 等式中同时出现tan A±tan B与tan Atan B时，一般是构造tan(A±B)利用两角和与差的正切公式求值．点击下图进入应用创新演练
1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°
＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
答案：B
2．若sin α＝，α∈，则cos的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：∵sin α＝，α∈(，π)，∴cos α＝－.
∴cos(－α)＝cos α＋sin α
＝×(－)＝－.
答案：B
3．已知cos x－sin x＝－，则sin(－x)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：cos x－sin x＝2(sincos x－cossin x)＝2sin(－x)＝－，故sin(－x)＝－.
答案：D
4．△ABC中，cos A＝，且cos B＝，则cos C等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos C＝cos(180°－A－B)＝－cos(A＋B)．
＝sin Asin B－cos Acos B.
∵cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝，sin B＝.
∴cos C＝.
答案：B
5．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
解析：原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝.
答案：
6．化简＝________.
解析：∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)
＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°＋cos αcos 60°－sin αsin 60°
＝sin α＋cos α＋cos α－sin α＝cos α，
∴原式＝＝.
答案：
7．已知0<α<，－<β<0，且sin α＝，
cos β＝，求α－β.
解：∵0<α<，－<β<0，
且sin α＝，cos β＝，
∴cos α ＝ ＝ ＝，
sin β＝－ ＝－ ＝－ ，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×(－)＝.
由0<α<，－<β<0，得0<α－β<π，
又cos(α－β)>0，∴α－β为锐角．
∴α－β＝.
8．化简下列各式：
(1)sin(x＋)＋2sin(x－)－cos(－x)；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x
＝(cos＋2cos－sin)sin x＋
(sin－2sin－cos)cos x
＝(＋1－×)sin x＋(－＋)cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
1．tan(－165°)的值为( )
A．2＋ B．－2－
C．2－ D.－2
解析：tan(－165°)＝－tan 165°＝－tan(45°＋120°)
＝－＝－＝2－.
答案：C
2．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )
A. B．7
C．－ D．－7
解析：∵α∈(，π)，且sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－.
∴tan(α＋)＝＝＝.
答案：A
3．若tan α＝2，tan β＝3，且α，β∈(0，)，则α＋β的值为( )
A．30° B．45°
C．135° D．225°
解析：∵tan(α＋β)＝＝＝－1，
0<α＋β<π，
∴α＋β＝135°.
答案：C
4．在△ABC中，C>90°，则tan A·tan B与1的关系为( )
A．tan A·tan B>1 B．tan A·tan B<1
C．tan A·tan B＝1 D．不能确定
解析：因为C>90°，所以0°所以tan(A＋B)>0，tan A＋tan B>0.
所以1－tan Atan B>0，
所以tan Atan B<1.
答案：B
5．设tan α＝，tan(β－α)＝－2，则tan β等于________．
解析：∵tan α＝，tan(β－α)＝－2，
∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝－1.
答案：－1
6．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝________.
解析：(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
答案：2
7．已知tan(＋α)＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)∵tan(＋α)＝，∴＝.
∴2＋2tan α＝1－tan α，∴tan α＝－.
(2)＝tan α－＝－－＝－.
8．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2.
求：(1)tan(α＋β－)；
(2)tan(α＋β)．
解：(1)tan(α＋β－)＝tan[(α＋)＋(β－)]
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝
＝＝2－3.
课件8张PPT。第三章章末小结核心要点归纳阶段质量检测注意：如两角和与差的正切公式可变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．点击下图进入阶段质量检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos230°－sin230°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：cos230°－sin230°＝cos 60°＝.
答案：A
2．已知cos(α－)＝，则sin 2α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵cos(α－)＝，∴cos αcos＋sin αsin ＝，
即cos α＋ sin α＝.
两边平方得cos2＋cos αsin α＋ sin2α＝.
∴＋sin 2α＝.∴sin 2α＝－.
答案：B
3．当x∈[－，]时，函数f(x)＝sin x＋ cos x的( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
解析：f(x)＝2(sin x＋cos x)
＝2sin(x＋)．
∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin(x＋)≤1，
∴－1≤f(x)≤2.
答案：D
4．已知sin＝，cos＝－，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：sin α＝2sin cos＝－<0，cos α＝2cos2－1＝2×(－)2－1＝－<0.∴α为第三象限角．
答案：C
5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β的终边在第三象限，则cos 的值等于( )
A．± B．±
C．－ D．－
解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
即sin β＝－.
∵β在第三象限，所以cos β＝－.
∴cos＝± ＝±＝±.
答案：A
6．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为( )
A．2π B.
C．π D.
解析：f(x)＝(1＋)cos x
＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)，
∴T＝2π.
答案：A
7．求值等于( )
A．1 B．2
C. D.
解析：＝
＝＝＝.
答案：C
8．如果α∈(，π)，且sin α＝，则sin(α＋)－
cos(π－α)等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：sin(α＋)－cos(π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α
＝sin α＋cos α.
∵sin α＝，α∈(，π)，∴cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝×－×＝－.
答案：B
9．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：∵cos A＝，∴sin A＝.同理，sin B＝.
∵cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×＋×＝－<0，
∴C为钝角．
答案：B
10．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈(0，)，β∈(－，0)，则sin α等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：由于α∈(0，)，β∈(－，0)，
则0<α－β<π.则sin(α－β)＝＝.
又sin β＝－，β∈(－，0)，则cos β＝＝.
则sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝.
答案：A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在题中的横线上)
11．若x∈(0，π)，且sin x＋cos x＝，则x＝________.
解析：法一：sin x＋cos x＝，两边平方得1＋sin 2x＝2，
∴sin 2x＝1，又2x∈(0,2π)，得2x＝，∴x＝.
法二：由sin x＋cos x＝，得sin(x＋)＝.
sin(x＋)＝1，又x＋∈(，)，
∴x＋＝，
∴x＝.
答案：
12．若sin－2cos＝0，则tan θ＝________.
解析：由sin－2cos＝0，得tan＝2.
∴tan θ＝＝＝－.
答案：－
13．方程sin x＋cos x－a＝0有解，则实数a的取值范围是________．
解析：∵a＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2,2]
14．若α＋β＝45°，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
解析：原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β
＝1＋tan 45°(1－tan αtan β)＋tan αtan β
＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算出步骤)
15．(本小题满分12分)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．
解：∵α是第一象限角，cos α＝，∴sin α＝.
∴＝＝
＝＝＝－.
16．(本小题满分12分)已知A为锐角，sin A＝，
tan(A－B)＝－，求cos 2A及tan B的值．
解：因为sin A＝，
所以cos 2A＝1－2sin2A＝1－＝.
因为A为锐角，所以cos A＝＝.
所以tan A＝＝.
因为tan(A－B)＝－，
所以＝－.
所以tan B＝2.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)若角α在第一象限，且cos α＝，求f(α)．
解：(1)由sin(x＋)≠0，得x＋≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ－，k∈Z}．
(2)由已知条件得sin α＝＝＝.
从而f(α)＝
＝
＝＝
＝2(cos α＋sin α)＝.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．
解：(1)f(x)＝＋sin 2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝sin(2ωx－)＋.
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
所以＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－)＋.
因为0≤x≤，
所以－≤2x－≤.
所以－≤sin(2x－)≤1.
因此0≤sin(2x－)＋≤，
即函数f(x)在区间[0，]上的取值范围为[0，]．
1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：f(x)＝sin 2x∈ [－，]．
答案：B
2．已知sin＝，则cos(π＋2α)的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：∵sin(＋α)＝，∴cos α＝.
则cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α
＝1－＝.
答案：B
3．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，
∵cos α＝，0<α<π，
∴sin α＝.
∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝.
答案：A
4．已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin 2θ等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2 (sinθcos θ)2＝，
∴(sin θcos θ)2＝.
∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝.
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝.
答案：A
5．已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝______.
解析：由于α为第二象限角，且sin α＝，
∴cos α＝－.∴tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－＝－.
答案：－
6．已知0<α<，sin α＝，则＝________.
解析：∵0<α<，sin α＝，
∴cos α＝.
∴＝
＝＝20.
答案：20
7．已知sin α＝cos 2α，α∈(0，)，求sin 2α的值．
解：∵sinα＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝.
又∵α∈(0，)，∴sin α＝，α＝.
∴cos α＝.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
8．在△ABC中，若cos A＝，求sin2＋cos 2A的值．
解：sin2＋cos 2A＝＋cos 2A
＝＋2cos2A－1
＝＋×＋2×()2－1＝－.
1．下列说法正确的是 ( )
A．向量可以比较大小
B．坐标平面上的x轴和y轴都是向量
C．向量就是有向线段
D．体积、面积和时间都不是向量
解析：对于A，向量是有方向的量，不能比较大小，故A错；对于B，x轴和y轴只有方向，没有大小，故B错；对于C，向量是可以平移的，而有向线段则不能，所以它们是有区别的，故C错；对于D，体积、面积和时间都是只有大小，没有方向的量，故D正确．
答案：D
2．若向量a与b不相等，则a与b ( )
A．不共线 B．长度不相等
C．不可能是单位向量 D．不可能都是0
解析：向量不相等有三种情形：即①方向相同，模不相等．②方向不同，模相等，③方向不同，模也不相等．因此A，B，C均不正确．
答案：D
3．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )
A．CA B．A∩B＝{a}
C．CB D．A∩B {a}
解析：A∩B中还含有与a方向相反的向量，故B错．
答案：B
4．下列结论中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足||>||且与同向，则>
C．若向量a＝，b＝，则|a|＝|b|
D．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行
解析：模相等并不能确定两个向量的方向，故不一定共线；向量不能比较大小；零向量是与任一向量平行的；C中a，b表示两个方向相反、长度相等的向量，故C正确．
答案：C
5．若a0是a方向上的单位向量，则a与a0的方向________，与a0的长度________．
解析：由a方向上的单位向量的定义知a0与a同方向，且向量与a0的模都等于1.
答案：相同 相等
6．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在?ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中，正确的说法是________．
解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
对于③，在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；
对于④，只有零向量与任意向量平行，故④正确；
对于⑤，由a＝b，得|a|＝|b|，且a与b方向相同；由b＝c，得|b＝|c|，且b与c方向相同．所以，a与c方向相同且模相等，故a＝c，故⑤正确．
答案：③④⑤
7．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中．
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解：由题图可知，(1)与平行的向量有：，，；
(2)与模相等的向量有：
，，，，，，，，.
8．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，已知＝，＝，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．
解：∵＝，
∴||＝||，从而D是AB的中点．
∵＝，
∴与是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.
∴＝＝1，∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝BC.
又＝，即||＝||，∴BE＝BC.
∴E为BC的中点．
∴DE∥AC，且DE＝AC.
∵F是AC的中点，
∴AF＝AC，∴DE綊AF.
∴＝.
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A． ＝， ＝
B．＋＝
C． ＋＝＋
D．＋＋＝
解析：∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
答案：C
2．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍，
又||＝＝2.
答案：B
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，有下列结论：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，正确的结论为( )
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析：因为a＝0，所以①③⑤正确．
答案：C
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋) km
解析：如图所示，由向量加法的平行四边形法则，可知a＋b的方向是沿平行四边形的对角线的方向，且tan α＝，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°.
又|a＋b|＝2 km.
答案：B
5．化简＋＋＋＝________.
解析：＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
6．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：由题意知△ABD为等边三角形，
∴|＋|＝| |＝||＝1.
答案：1
7．化简下列各式：
(1) ＋＋；
(2) ＋＋＋.
解：(1) ＋＋＝(＋)＋
＝0＋
＝.
(2) ＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋
＝.
8．点D，E，F分别是△ABC三边AB，AC，BC的中点，求证：
(1) ＋＝＋；
(2) ＋＋＝0.
证明：(1)如图，在△ABF中，
＋＝，
在△ACF中，＋＝，
所以＋＝＋.
(2)∵点D， E，F分别是△ABC三边AB，AC，BC的中点，
∴四边形EDFC是平行四边形， ＝－.
又＝－， ＝－，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝0.
1．两个不相等的向量a－b与b－a的 ( )
A．模相等，方向相反 B．模相等，方向相同
C．仅方向相反 D．仅模相等
解析：设＝a，＝b，则a－b＝－＝，b－a＝－＝，显然和是一对相反向量．
答案：A
2．如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：a－b＋c＝－＋＝＋＝.
答案：A
3．下列四式不能化简为的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C．＋－
D． －＋
解析：(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；
(＋)＋(＋)＝(＋)＋＝；
－＋＝－＝.
答案：C
4．已知a，b为非零向量，下列命题中真命题的个数是( )
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|；
④若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b方向相同．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①②④正确，③中a＝－b－b满足条件但|a|≠|b|.
答案：D
5．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：
①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.
其中正确命题的序号为________．
答案：①②④
6．化简－－＋＝________.
解析：－－＋＝－＋
＝＋＋＝＋
＝.
答案：
7．如图在边长为1的正方形ABCD中，设＝a， ＝b， ＝c.求|a－b＋c|.
解：因为a－b＝－＝，
过B作＝＝c，
则＝＋＝a－b＋c.
因为AC⊥BD，且||＝||＝，
所以DB⊥BM，||＝||＝，
所以||＝2，即|a－b＋c|＝2.
8．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：－＝－.
证明：如图所示，在四边形CDEF中，
＝＋＋. ①
在四边形ABFE中，
＝＋＋. ②
①＋②，得
＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∴＋＝＋，
即－＝－.
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )
A．2a B．－2a
C.a D．－a
解析：由题意知3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.
答案：B
2．已知平行四边形ABCD中，＝a， ＝b，其对角线交点为O，则等于( )
A.a＋b B．a＋b
C.(a＋b) D．a＋b
解析：＋＝＝2，
所以＝(a＋b)．
答案：C
3．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
解析：∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，
∴(a＋λb)∥(b＋λa)．
存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，
即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ<0，
∴1－λ2＝0，λ＝－1.
答案：C
4．在△ABC中，设E为BC边的中点，则3＋2＋＝( )
A． B．2
C． D．2
解析：3＋2＋
＝3(＋)＋－
＝3＋－＝2－2
＝2(－)
＝2.
答案：D
5．化简(4a＋b)－3(b－a)＝________.
解析：(4a＋b)－3(b－a)＝2a＋b－3b＋3a＝5a－b.
答案：5a－b
6．若＝5e， ＝－7e，且| |＝||，则四边形ABCD是________形．
解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD且AB≠CD，
又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯形
7．已知|e|＝2，试求a，b的模，并指出a，b的线性关系．
(1)a＝3e，b＝4e；
(2)a＝2e，b＝－e.
解：(1)|a|＝3|e|＝6，|b|＝4|e|＝8.
∵e＝a，b＝4e，
∴b＝a.
(2)|a|＝2|e|＝4，|b|＝|e|＝1，∵e＝a，
∴b＝－a.
8．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M，N，C三点共线．
证明：设＝a， ＝b，则由向量减法的三角形法则可知： ＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，
又∵与公共点为C.∴C，M，N三点共线．
1．在△ABC中，下列向量不能与作为一组基底的是( )
A． B．
C． D．
解析：∥，故与不能作为一组基底．
答案：C
2．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为( )
A．6 B.
C．－6 D．－
解析：∵a∥b，∴a＝λb，
即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2，
∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6.
答案：A
3．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A． B．
C． D．
解析：3e2－2e1＝－＝－
＝＝.
答案：C
4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a， ＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析：设AD与BE交点为F，
则＝a， ＝b.
由＋＋＝0，得＝(a－b)，
所以＝2＝2(－)＝a＋b.
答案：B
5．若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．
解析：当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
6．如图所示，已知＝，用， 表示＝__________.
解析：＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝－＋.
答案：－＋
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a， ＝b，试用a，b表示， ， 和.
解：∵＝＋＝a＋b，
又∵平行四边形的对角线互相平分，
∴＝＝a＋b，＝－＝－a－b，
∴＝＝(－)＝a－b，
＝－＝b－a.
8．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， ＝， ＝a， ＝b.
(1)用a，b表示， ， ， ；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)∵D为BC中点，∴＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，＝＝b.
＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b，
＝－＝b－a＝－a＋b.
(2)证明：由(1)可知＝(－a＋b)＝，
∴，共线，
又∵， 有公共点B，∴B，E，F三点共线．
课件13张PPT。第二章
章末小结
核心要点归纳阶段质量检测 2．向量共线与平面向量基本定理
(1)两个非零向量平行(共线)：a∥b?a＝λb.
(2)平面向量基本定理：
若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2. 3．向量的线性运算
(1)向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量相加；
(2)向量减法是加法的逆运算；
(3)向量平行(共线)与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．4．向量的数量积
(1)平面向量的数量积：(2)平面向量数量积的重要性质：点击下图进入阶段质量检测
1．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
解析：∵－＝，∴＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案：B
2．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
解析：由题意可得＝(2,0)，而＝a，由向量相等的概念知解之得x＝－1.
答案：A
3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析：设c＝xa＋yb，
即(－1,2)＝(x，x)＋(y，－y)＝(x＋y，x－y)．
∴解得
答案：B
4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案：C
5．若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为______，点B′的坐标为________，向量的坐标为________．
解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴＝(1,2)，＝(－1,3)，
＝2(1,2)＝(2,4)，
＝3(－1,3)＝(－3,9)．
∴A′(2,4)，B′(－3,9)，
＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
答案：(2,4) (－3, 9) (－5,5)
6．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝ (sin α，cos β)，α，β∈(－，)，则α＋β＝______.
解析：∵＝(－1,1)＝(－，)＝(sin α，cos β)，
∴sin α＝－且cos β＝，
∴α＝－，β＝或－.
∴α＋β＝或－.
答案：或－
7．设a＝.
(1)已知A(1,3)，B(－3,2)，求a的坐标；
(2)已知A(2，－1)，a＝(4,1)，求B点坐标．
解：(1)a＝＝(－3,2)－ (1,3)＝(－4，－1)．
(2)设B点的坐标为(x，y)，
则a＝＝(x，y)－(2，－1)＝(x－2，y＋1)＝(4,1)．
∴解得
∴B点的坐标为(6,0)．
8．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2， y)满足＝λ (λ∈R)，求y与λ的值．
解：(1)＝＋＝(－1，－2)＋(4,3)＝(3,1)，
即B(3,1)，
＝＋＝(－1，－2)＋(－3，－1)＝(－4，－3)，
即D(－4，－3)．
由中点坐标公式得
∴M(－，－1)．
(2)＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
∵＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
∴解得
1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则a和b的关系是( )
A．共线且方向相同 B．共线且方向相反
C．是相反向量 D．不共线
解析：因为a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，所以a＝－b，由于λ＝－<0，故a和b共线且方向相反．
答案：B
2．已知A(2，－2)，B(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵＝(2,5)．又p∥，∴14＝5(2k－1)．
∴k＝.
答案：D
3．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析：设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)， ＝(3，y＋6)．
∵A，B，C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案：C
4．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2 B．－2
C．2 D．0
解析：∵a与b共线且方向相反，
∴存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，
即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)．
∴解得或(舍去)．
答案：B
5．(2011·北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c，得
×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
6．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x，y)，由＝3知
(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴∴
即P点的坐标为.
答案：
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1) ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，
＝(a－1，b－1)，
若A，B，C三点共线，则与共线．
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0.
∴a＋b＝2.
(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x＋1,14)，
v＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x，－2)，
又因为u∥v，所以－2(2x＋1)－14(2－x)＝0，
即10x＝30，解得x＝3.
(2)若a，v共线，则2(2－x)＝－2，解得x＝3，所以要使a，v不共线，则{x|x∈R，且x≠3}．
1．(2011·广东高考)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
2．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的射影是( )
A．4 B．4
C．4 D．8＋
解析：a在e方向上的正射影的数量为|a|cos＝4.
答案：B
3．已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，
∴2a·b＝4＋1－4＝1.
∴|a＋b|2＝1＋4＋1＝6.
∴|a＋b|＝.
答案：D
4．若·＋2＝0，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析： ·＋·＝0，
·(＋)＝0， ·＝0，
∴⊥，∴∠A＝90°.
∴△ABC为直角三角形．
答案：A
5．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
解析：由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3)a·b－ ＝0.∴12k－18＝0，∴k＝.
答案：
6．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.
又|a－b|2＝4|a|2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2.
∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝|a|.
∴cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
7．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a＋b|；
(2)若a与a－b垂直，求θ.
解：(1)|a＋b|＝ ＝
＝
＝ .
(2)由a·(a－b)＝0，得a2＝a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝.
∴θ＝.
8．如图所示，在平行四边形ABCD中，| |＝2，| |＝1，∠DAB＝60°.
求：(1) ·；
(2) 与夹角θ的余弦值．
解：(1) ·＝| || |cos∠DAB＝2×＝1.
(2) ＝＋，＝－，
∴·＝ 2－ 2＝4－1＝3，
2＝ 2＋ 2＋2·＝1＋4＋2＝7，| |＝，
2＝ 2＋－2·＝4＋1－2＝3，| |＝.
cos θ＝＝＝.
1．若向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：设b＝λ(－1,2)，且λ>0，有(－λ)2＋(2λ)2＝(3)2?b＝(－3,6)．
答案：A
2．若a＝(5，y)，b＝(－6，－4)且a·b＝－2，则y等于( )
A．－5 B．－7
C．5 D．7
解析：∵a·b＝－2，∴－30－4y＝－2，即4y＝－28，
∴y＝－7.
答案：B
3．a＝ (－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57
C．63 D．83
解析：|a|＝5，a·b＝－20＋18＝－2，
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
答案：D
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；
又c⊥(a＋b)，根据数量积为零，则有3m－n＝0，
解得m＝－，n＝－.
答案：D
5．向量a是直线x＋2y－3＝0的方向向量，且|a|＝2，则a＝________.
解析：设a＝λ(1，－)(λ≠0)．
由|a|＝2，得λ2＋λ2＝20，λ2＝16，
λ＝±4，a＝(4，－2)或(－4,2)．
答案：(4，－2)或(－4,2)
6．如图，在平行四边形ABCD中， ＝(1,2)， ＝(－3,2)，则·＝________.
解析： ·＝[(＋)]·＝[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)
＝(－1,2)·(1,2)＝3.
答案：3
7．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．
解：(1)a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
又∵|a|＝ ＝5，|b|＝ ＝，
∴cos θ＝＝＝.
(2)a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)．
∵(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝0.
∴7×(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0.∴λ＝.
8．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D的坐标和向量.
解：(1)证明： ＝(－3，－6)， ＝(2，－1)．
∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴⊥.∴AB⊥AC.
(2)设点D的坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)， ＝(5, 5)．
∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∴⊥.
∴·＝5 (x－2)＋5(y－4)＝0.①
又∵＝(x＋1，y＋2)，且与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)．②
由①②，解得
∴点D的坐标为.
∴＝＝.
课件40张PPT。第二章§１理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二知识点三考点一考点二考点三 2012年第29届奥运会在英国伦敦举行，参赛运动员乘坐航班从不同国家和地区齐聚伦敦，由于它们所处的地点不同，故飞行的距离和方向各不相同．
问题1：上述问题中飞行的距离和方向在物理学上用什么量表示？
提示：位移． 问题2：能否再举出物理学中与方向大小相关的量？
提示：力、速度等．
问题3：长度、面积、质量这些量也具有这种特性吗？
提示：不具有，只有大小无方向． 向量的定义
既有 又有 的量统称为向量.大小方向 物理学中，用一条带箭头的线段表示位移，这种线段在数学上称为“有向线段”．
问题1：向量是既有大小、又有方向的量，对这一抽象问题如何形象、直观地表示出来？
提示：利用有向线段表示．
问题2：如何表示？
提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小． 向量的表示方法
(1)具有 的线段，叫作有向线段．以A为起点，以B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫作有向线段 的长度，记作 .方向 (2)向量可以用 来表示．有向线段的长度表示 ，即长度(也称 )．箭头所指的方向表示
．
(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用 ， ， ，…来表示. 有向线段向量的大小模向量的方向与向量有关的概念同方向方向上0a0相等相同a＝b单位1零平行或重合平行a∥b 1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小．
2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关． 3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义． [例1] 给出下列几种说法：
(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(3)向量的模一定是正数；
(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
其中正确的序号是________．
[思路点拨] 解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错． [精解详析] (1)错误，只有速度、位移是向量．
(2)错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(3)错误.0的模|0|＝0.
(4)正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．
[答案] (4)
[一点通]
1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．
2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：
只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．1．判断下列各命题的真假：
(2)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
(4)a∥b，b∥c，则a∥c.
其中真命题是________．解析：(1)真命题；
(2)假命题．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；
(3)真命题；
(4)假命题．当b＝0时a，c的关系不确定．
答案：(1)(3) [例2] 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100 km到达D点． [思路点拨] 先作出表示东南西北的方位图及100 km长度的线段，然后解答问题 [一点通]
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为半径的圆．2．如图，在图中标出：
(1)以A为起点，B为终点的向量；
(2)以A为起点，D为终点的向量；
(3)以A为起点，C为终点的向量．解：如图所示．3．在直角坐标系中，画出下列向量：
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正
方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正
方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴
正方向的夹角为135°.解： [思路点拨] 先找出图中长度相等的线段以及互相平行的线段，再根据相等向量、共线向量的定义求解． [一点通] 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．答案：D 1．判断一个量是不是向量，只需看这个量是不是既有大小又有方向，用有向线段表示向量时，有向线段的长度和方向分别表示向量的大小和方向，并且不同的有向线段可以表示同一向量．
2．判断或证明两个非零向量a，b是否共线(平行)，只需看这两个向量的方向，若方向相同或相反，则它们共线；否则，它们就不共线．
点击下图进入应用创新演练
课件35张PPT。第二章§4
4.1
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4.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 问题1：在平面向量基本定理中，若e1⊥e2，定理还适用吗？
提示：适用．
问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理，我们知道a表示为xi＋yj，试想数对(x，y)唯一吗？能理解为点坐标吗？
提示：唯一，能． 问题3：你能得到什么结论？
提示：在平面直角坐标系中，对任意一个向量都有唯一的有序数对与之对应．
问题4：已知一点A坐标(x，y)， 向量 确定吗？
提示：唯一确定，即 ＝xi＋yj. 平面向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为 ．对于平面内的任意向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，我们把实数对 叫作向量a的坐标，记作 基底 a＝(x，y).(x，y)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
问题1：试用单位向量i和j表示a和b.
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
问题2：试求a＋b.
提示：a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j.
问题3：向量a＋b的坐标是什么？
提示：(x1＋x2，y1＋y2)． 平面向量线性运算的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝ ；a－b＝ ．
即向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的 ．
(2)设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ ．
即实数与向量积的坐标分别等于 的乘积．
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ，即一个向量的坐标等于其 减 ．和与差(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)实数与向量的相应坐标(x2－x1，y2－y1)终点的相应坐标始点的相应坐标 1．点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，它由始点和终点的坐标决定．
2．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．
3．向量运算的坐标表示实现了向量问题代数化的转变． [例1] 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向 ， ， ， 的坐标．[思路点拨]
[精解详析] 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， [一点通]
1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．1．已知 ＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
答案：D [思路点拨] [一点通]
1．向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法行．
2．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．3．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
解析：∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
答案：A [例3] (12分)已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足 ＝ ＋λ (λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在函数y＝x的图像上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围． [思路点拨] 由 ＝ ＋λ 列出关系式，求得P点的坐标． [一点通]
1．向量的坐标表示法，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
2．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．5．已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，
C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案:（1，5） 6．已知a＝(10，－4)，b＝(3,1)，c＝(－2,3)，试b，c表示a. 1．在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同．它们之间的对应关系：
有序实数对(x，y) 向量OA 点A(x，y)．
2．通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法．体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用． 点击下图进入应用创新演课件32张PPT。第二章§4
4.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 问题：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，试想若a∥b，它们的坐标有何关系？ 提示：由a∥b, 则b＝λa，
用坐标可写为(x2，y2)＝λ(x1，y1)，向量平行的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有 .
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝
成力 . 即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标 ；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们
．x1y2－x2y1＝0成比例平行 [一点通] 判定用坐标表示的向量是否平行，就是把坐标代入x1y2－x2y1＝0，验证是否成立．解析：只有A中的向量满足x1y2＝x2y1.
答案：A [例2] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[思路点拨] [一点通] 解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．3．若向量a＝(1,2)，b＝(x，－1)，且(a＋2b)∥b，则
x＝________.4．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.
其中，所有正确叙述的序号为________． 解析：由a∥b?x2＝－9无实数解，故①不正确；
又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故②不正确；
因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，
由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0.
即x2＝－9无实数解，故③不正确；
由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，
即m(x2＋9)＝0，∴m＝0，x∈R，故④正确．
答案：④ [例3] (12分)如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
[思路点拨] 先设出点P的坐标，然后利用共线条件求解． [一点通] 根据向量共线，三点共线求向量或点的坐标时，要注意方程思想的应用，向量共线，向量相等等条件都可作为列方程的依据．5．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，
则B的坐标为________．答案：(23，－2)7. 已知四边形顶点A(3，－1)，B(1,2)，C(－1,1)，D(3，
－5)．则四边形ABCD形状为________．答案：梯形 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b.
(1)当b≠0时，a＝λb.
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征．点击下图进入应用创新演课件42张PPT。第二章§5
理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三知识点四向量的夹角同向反向90°a⊥b 问题1：一个物体在力F作用下的位移为s，则力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？
提示：不是．
问题2：任意两向量也可以这样运算吗？运算结果是数量还是向量？
提示：可以．运算结果是数量． 向量的数量积
(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则 叫作向量b在a方向上的射影．
(2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .|b|cos θ|a||b|cos θ|a||b|cos θ (3)数量积的特殊情况：
当两个向量相等时，a·a＝ .
当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝ .
(4)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影 的乘积．|a|2cos θ|b|cos θ|a|cos θ已知a和b都是非零向量， θ为a与b的夹角．
问题1：若a⊥b，求a·b；若a·b＝0，求θ.
提示：若a⊥b，则θ＝90°，a·b＝|a||b|cos θ＝0；
若a·b＝0，则|a||b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.
问题2：|a·b|与|a||b|相等吗？
提示：不一定．由|cos θ|≤1，得
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，
当|cos θ|＝1时，等号成立．a·e|a|cos θa·b＝0等号≤ 问题1：试想当力扩大2倍，力对物体所做的功也扩大2倍吗？
提示：是．即(2F)·s＝2(F·s)．
问题2：实数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，向量数量积的运算是否也有类似运算律？
提示：有．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律)；
(2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)；
(3)(a＋b)·c＝ (分配律)．b·aλ(a·b)a·(λb) a·c＋b·c 1．两向量的夹角的范围是[0，π]，但要注意，前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进行平移．
2．向量的数量积为一实数，可正、可负、可为0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量． 3．向量数量积的几何意义和数乘向量的几何意义是不同的，在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积；在数乘向量中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|λ|倍．
4．向量数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定正确． [例1] 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
[思路点拨] 由条件确定向量夹角后，代入数量积定义进行计算．[精解详析] ①当a∥b时，若a与b同向，
则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a2＝9.
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝18.
[一点通] 数量积运算时一是要找准两向量的夹角，二是注意向量数量积的运算律的应用． 1．(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹
角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则
b1·b2＝__________.答案：－6 [例2] 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|.
[思路点拨] 利用公式|a|2＝a2进行计算．
[精解详析] a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝-4. 3．已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，则|a＋b|＝________.答案：B5．?ABCD中，F是BC的中点，∠DAB＝60°，AB＝3，
AD＝2，求线段DB和AF的长度． [例3] (12分)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
[思路点拨] (1)由a＋b＋c＝0，可得c＝－a－b，两边平方可得．
(2)由(μa＋b)·(a－2b)＝0可求．答案：C7．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与 b
的夹角为________度．
解析：设a，b夹角为θ，则由a⊥c，得a·c＝0，即
(a＋b)·a＝0，a2＋a·b＝0，∴1＋2cos θ＝0，从而θ
＝120°.
答案：120答案：B点击下图进入应用创新演课件33张PPT。第二章§6
把握热点考向考点一考点二考点三理解教材新知应用创新演练 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
问题1：你能用a，b的坐标表示a·b吗？
提示：能．a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
而i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
问题2：与数量积有关的性质可以用坐标表示吗？
提示：可以． 1．平面向量数量积的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0 3．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l ，把与直线l共线的 称为直线l的方向向量．共线非零向量m 1．数量积的坐标运算可以简单记为：“对应坐标相乘再求和”．在解题过程中要注意坐标的顺序．
2．向量垂直条件的坐标表示x1x2＋y1y2＝0和向量平行条件的表示x1y2－x2y1＝0，有许多相似性，要注意区别．
3．注意直线l的方向向量m必须为非零向量． [例1] 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a＋c)·b.
[思路点拨] 根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)·b. [精解详析] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10.
法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10.
[一点通] 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．答案：C答案：13．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：
(1)(a＋b)2；
(2)(a＋b)·(a－b)．
解：a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
(1)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (2)法一：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5，
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5.
法二：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)
＝4×2＋(－3)×1＝5. [例2] 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
[思路点拨] 利用向量的数量积及夹角公式求解． [一点通]
1．向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问题转化为向量坐标的计算问题．但要注意a·b>0(<0)与夹角为锐(钝)角不是等价关系．
2．利用公式：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0来判断两向量垂直，使向量问题代数化，判断方法简捷、明了．4．已知直线l1：x＋3y＋1＝0和l2：2x＋y＋3＝0，则直线l1
与l2的夹角为________．答案：45°5．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂
直，求k的值．
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b垂直，∴(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19.6．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，
a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． [例3] (12分)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
(1)求a－2b的坐标和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
[思路点拨] (1)将已知向量的坐标代入运算即可；(2)主要是利用a·b＝x1x2＋y1y2求得c的坐标表示，然后求模．答案：2 解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)． 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断两向量是否垂直．点击下图进入应用创新演课件40张PPT。第二章§7
把握热点考向考点一考点二考点三理解教材新知应用创新演练 向量作为一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用．
问题1：利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？
提示：计算长度、角度，研究平行与垂直问题都可转化为向量法去解决．
问题2：物理学中力、速度、位移的合成与分解，用向量法解释实质是什么？
提示：实质就是向量的加减法．
问题3：利用向量可解决解析几何中哪些问题？
提示：两点的距离(线段的长度)、直线夹角等问题． 1．点到直线的距离公式
点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝ .
2．直线l：ax＋by＋c＝0的法向量
(1)与直线的方向向量 的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线l的方向向量v＝(b，－a)，则直线l的法向量n＝
．(a，b)垂直 1．确定直线的方向向量与法向量是用向量法解决直线问题的关键．
2．用向量法解决几何问题或物理问题的关键是转化为向量问题，即建立向量模型，解决向量问题后再作出相应问题的结论． [例1] 已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2,1)．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程．
[思路点拨] 确定直线的斜率后，再写出方程． [精解详析] (1)∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，
∴直线l的一个方向向量为v＝(1,2)．
∴直线l的斜率为2.
∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．
整理得2x－y－1＝0.
故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.1．过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为
__________．答案：x－3y＋7＝02．已知直线l1；ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝
0平行，求实数a的值．
解：直线l1的法向量n1＝(a,2)，
直线l2的法向量n2＝(1，a－1)，
∵l1∥l2，∴n1∥n2，
∴a(a－1)－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0，
∴l1∥l2.
当a＝2时，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0.
∴l1与l2重合，舍去a＝2.
综上所述，a＝－1. [例2] 已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.
求证：(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
[思路点拨] 先建立坐标系，再利用向量的坐标进行证明． [精解详析] 建立如图所示的平
面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，
B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． [一点通] 利用向量证明几何问题有两种途径：
(1)基向量法：通常先选取一组基底(模及两者之间的夹角已知的向量)，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系．
(2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化．3．求证：平行四边形对角线的平方和等于其四条边的平
方和．4．如右图，等腰直角三角形ABC中，
AC＝BC，D是BC的中点，E是AB上
的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.
证明：如右图，以C为坐标原点，以
CA、CB所在的直线为x轴、y轴建立
坐标系，设A(a,0)，
∵AC＝BC，∴B(0，a)． (1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？
[思路点拨] 解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．(6分) [一点通]
1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．5．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，
合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大
小为 ( )答案：B6．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质
点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i、j分别是与x轴、
y轴同方向的单位向量)．求：
(1)F1，F2分别对该质点所做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点所做的功． 1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键． 2．用向量解决物理问题需注意：
(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来．
(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解．
(3)最后要将数学问题还原为物理问题． 点击下图进入应用创新演课件38张PPT。第二章§2
2.1理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.2008年7月4日两岸直航启航．若从台北到香港的位移用a表示，香港到上海的位移用b表示，台北到上海的位移用c表示．
问题1：从台北到香港，香港到上海的路程与从台北直通上海的路程相比有何关系？
提示：远大于从台北直通上海的路程． 问题2：上述问题中两次位移的结果与从台北直飞上海的位移有何关系？
提示：相同．
问题3：试用图形表示向量a，b，c的关系．
提示：如图，构成一个三角形，即c为a与b的和． 问题4：物理学中，求两个力的合力可以用平行四边形法则，向量的加法符合平行四边形法则吗？
提示：符合．向量的加法a＋b 提示：满足．向量的加法满足交换律和结合律
a＋b＝ ；(a＋b)＋c＝ ．b＋aa＋(b＋c) 1．两个向量的和仍是一个向量．
2．用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首尾相接”；箭头从起点指向最后一个终点．
3．用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．
4．两向量共线时用三角形法则求和．[例1] 已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c. [一点通]
1．根据向量加法的三角形法则，必须平移向量使之首尾相连，那么起点与终点所确定的向量就是两个向量的和向量，推广到向量加法的多边形法则仍然适用．
2．向量加法的平行四边形法则，必须平移向量使之共起点，以这两个向量为邻边作平行四边形，那么共起点的对角线表示的向量为两个向量的和向量．2．如图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．解：根据向量加法法则作图．
如图(1)，(2)所示． [例2] 设A、B、C、D是平面上的任意四点，试化简： [思路点拨] 向量的加法运算可用三角形法则，把向量首尾相连，始终连线即可． [一点通]
1．根据表示向量的起点与终点的字母特点，及向量加法三角形法则，只要具备首尾相连这一前提，不画图也可以进行向量的加法运算．
2．根据向量加法的交换律与结合律，在进行向量加法运算时，可以将向量任意交换、结合进行运算．3．已知a，b，c是非零向量，则向量(a＋c)＋b，b＋(a
＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋b＋a中，与向量a
＋b＋c相等的个数是 ( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：根据向量加法的交换律和结合律，5个向量都
满足条件．
答案：A [思路点拨] 先将实际问题转化为数学问题，由于涉及速度和航向，故应考虑用向量求解，其次，渡船的实际速度是航速和水速的合速度，遵循平行四边形法则． [精解详析] 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2， [一点通] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判断ABCD为矩形．因此可以转化为解直角三角形的问题．5．一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300
km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北
30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到
C地飞行的方向及B，C间的距离． 1．向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量连加，称为多边形法则，一般能围成一个封闭图形．向量加法的多边形法则(含三角形法则)简记为：首尾相连，始终如一．
2．向量加法的平行四边形法则适用于两个不共线向量，简记为：共起点，为邻边，平行四边形的共起点对角线．
3．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
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课件40张PPT。第二章§2
2.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 相反向量
与a 的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是 ；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝ ＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝ ，b＝ ，a＋b＝ .长度相等，方向相反零向量(－a)＋a－b－a0 问题1：我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，想一想，向量减法是否也有类似法则？
提示：有，向量a减去b相当于加上b的相反向量－b.
问题2：已知向量a和b，你能否作出a－b? 向量的减法
(1)定义：向量a加上 ，
叫作a与b的差，即a－b＝ ．
求两个向量差的运算，叫作向量的减法．b的相反向量a＋(－b) (3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的向量．起点终点 1．减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，向量的加减法可相互转化．
2．用三角形法则作两向量的差时，一定要“共起点”，箭头由减向量的终点指向被减向量的终点． [例1] 如图，已知不共线的两个非零向
量a，b，求作向量a－b，b－a，－a－b.
[思路点拨] 利用向量减法的定义作出
所求向量．(2)对于－a－b，有下列两种作法： [一点通] 向量减法的实质是加法的逆运算，利用相反向量的定义就可以把减法化为加法．在用三角形法则进行向量的减法运算时，只要记住：连接两向量终点，箭头指向被减向量即可．1．作图：
(1)已知向量a和a＋b，求作b；
(2)已知向量b和b－a，求作a. [思路点拨] 观察每个向量的起点、终点，利用加减法运算求解．答案：D[思路点拨] 利用三角形法则，把向量进行转化．[精解详析] 法一： [一点通]
1．关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．
2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是，第一步：观察向量位置；第二步：寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步：利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步：化简结果．
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课件37张PPT。第二章§3
3.1理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三 问题1：在雷电交加时，为什么总是先看到闪电，后听到雷声？
提示：原因是同一方向上光速远远大于声速，且光速是声速的88万倍．
问题2：若设光速为v1，声速为v2，则v1、v2的关系如何？
提示：v1＝880 000v2.
问题3：我们知道速度是向量，由问题2中可以看出实数与向量能否进行运算？
提示：可以进行． 问题4：2a如何理解？2a的方向与a的方向相同吗？
提示：2a可理解为a与a的和；方向相同．
问题5：－a＋(－a)与－2a相等吗？其方向与a的方向有何关系？
提示：相等；方向相反．向量λa|λ||a| 相同 相反0 (4)几何意义：
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段 或 ．
当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)
或反方向(λ<0)上 为原来的 倍；
当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)
或反方向(λ<0)上 为原来的 倍．伸长压缩伸长缩短|λ||λ| (5)运算律：
设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝ ；③λ(a＋b)＝ .
(6)线性运算：
向量的 、 和 的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).加法减法实数与向量积λa＋μaλa＋λb 问题1：由数乘的定义知，向量a、2a和－3a是共线向量，向量a和λa(λ∈R)共线吗？
提示：共线．
问题2：若b＝λa(a≠0)，b与a共线吗？
提示：共线．
问题3：若b与非零向量a共线，是否存在λ满足b＝λa?
提示：存在． 1．向量共线的判定定理
a是一个 向量，若存在一个实数λ，使得 ，则向量b与非零向量a共线．
2．向量共线的性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝ .非零b＝λaλa 1．与实数的乘法运算类似，正整数n乘向量就是求n个相同向量的和的运算，所以数乘向量仍是一个向量，仍要从大小与方向定义．
2．对于向量a(a≠0)，b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由向量共线的定义知向量a与b共线；已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a与b同方向时，有b＝μa；当a与b反方向时，有b＝－μa. [思路点拨] 根据向量加、减、数乘的运算法则进行运算． [一点通]
1．对数乘向量运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识．λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；
λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；
λ＝0时，λa＝0.
2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．答案：B(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使
ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
∴k2－1＝0.∴k＝±1.
[一点通] 1．要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．答案：D [一点通] 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，用向量法研究几何问题的步骤：①用向量表示几何图形中的元素；②对向量进行运算；③对运算结果的几何意义作出解释．6．证明：平行四边形的对角线互相平分．
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课件30张PPT。第二章§3
3.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二 问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
提示：可以． 问题2：如图，以a为平行四边形一条
对角线作平行四边形，四边形确定吗？
提示：不确定． 问题3：如图，已知向量e1，e2，a，仍以a为平行四边形一条对角线，且平行四边形相邻边所在直线平行于e1和e2，这样的平行四边形唯一吗？你能作出来吗？ 提示：唯一，作法为： 问题4：能用e1和e2表示a吗？这种表示唯一吗？
提示：能．唯一． 问题5：问题3中e1和e2不变，向量a变为b(如图)，
试想还能用e1和e2表示b吗？ 提示：能，如图． 1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.不共线任一 2．基底
平面内 的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线 1．平面内不共线的任何两向量都可以作为表示平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量基本定理实质上就是向量线性运算的推广，即平面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e1，e2的唯一线性组合形式λ1e1＋λ2e2. [思路点拨] 利用三角形法则或平行四边形法则，通过寻找所给向量与a，b的关系进行求解． [一点通] 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形，将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．1．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④
e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内表示所有向量的一组基底
的序号是__________．(写出所有满足条件的序号)
解析：对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．
答案：①②④2．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，
b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解：∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2
＝7e1－4e2.
又∵e1，e2不共线，∴c＝a－2b. [思路点拨] 该题目不能直接通过向量的加减及数与向量的积确定λ1，λ2，可以引进参数，利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2. [一点通] 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．答案：A 1．对基底的理解．
(1)基底的特征：
基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理．
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理的应用体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
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(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x＝( )
A．9 B．6
C．5 D．3
解析：∵a∥b，∴4×3－2x＝0，解得x＝6.
答案：B
2．下列说法正确的是( )
A．两个单位向量的数量积为1
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C． ＝－
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
解析：A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为＝－，故C错；D中，因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．
答案：D
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，
即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±.
所以a＝(1，±)．所以|a|＝＝2.
答案：C
4．下列等式恒成立的是( )
A． ＋＝0
B． －＝
C．(a·b)c＝a(b·c)
D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
解析： ＋＝0， －＝，故选项A、B不正确；由平面向量数量积的运算性质知C不正确，D正确．
答案：D
5．已知A(4,6)，B，有下列向量：
①a＝；②b＝；③c＝；
④d＝(－7,9)．
其中，与直线AB平行的向量是( )
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②③④
解析：＝，
∵＝－＝－，
＝－＝－，
＝，
∴与直线AB平行的向量是①②③.
答案：C
6．在△ABC中，＝c， ＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析：依题意有＝＝(－)＝(c－b)．
∴＝＋＝b＋(c－b)＝b＋c.
答案：A
7．已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则向量a在b方向上的射影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：射影为|a|cos θ＝×＝×＝－.
答案：D
8．已知点A(1，－2)，若向量与a＝ (2,3)同向，| |＝2，则点B的坐标为( )
A．(5,4) B．(4,5)
C．(－5，－4) D．(5，－4)
解析：由＝λa，λ>0知＝(2λ，3λ)．
又由| |＝2，得λ＝2，所以点B的坐标为(5,4)．
答案：A
9．已知向量＝(2,0)， ＝(2,2)， ＝(－1，－3)，则和的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意，得＝＋＝(1，－1)，
则| |＝，| |＝2， ·＝2，
∴cos 〈， 〉＝＝.
又0≤〈， 〉≤π，∴〈， 〉＝.
答案：A
10．设向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a·b＝0，|a|＝3，|c|＝4，则|b|＝( )
A．5 B.
C. D．7
解析：由a＋b＋c＝0，得c＝－(a＋b)，又∵a·b＝0，
∴c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，
∴|b|2＝|c|2－|a|2＝42－32＝7，
即|b|＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．已知a＝(1,2)，b＝(－4,4)，c＝(－3，－6)，且c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＋xy＝________.
解析：由题意得解得
所以x＋y＋xy＝－3.
答案：－3
12．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________．
解析：∵a·(b－a)＝2，|a|＝1，
∴a·b＝3.又|b|＝6，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝，∴夹角为.
答案：
13．已知a＝(1,1)，b＝(1,0)，c满足a·c＝0，且|a|＝|c|，b·c>0，则c为________．
解析：设c＝(x，y)．
由a·c＝0，得x＋y＝0.①
再由|a|＝|c|，得x2＋y2＝2.②
由①②，得或
又∵b·c>0，∴x>0，∴c＝(1，－1)．
答案：(1，－1)
14．在△ABC中，已知| |＝| |＝2，且·＝2，则这个三角形的形状为____________．
解析：∵·＝| || |cos A＝4cos A＝2，
∴cos A＝.
∵0又由题意，得AB＝AC，
∴该三角形为等边三角形．
答案：等边三角形
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15． (本小题满分12分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的射影的数量为－1，求：
(1)a与b的夹角θ；
(2)(a－2b)·b.
解：(1)由题意知，
|a|＝2，|b|＝1，|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－|b|＝－1，
∴cos θ＝＝－.
由于θ∈[0，π]，∴θ＝即为所求．
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
16．(本小题满分12分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若·＝0，求c的值；
(2)若c＝5，求cos A的值．
解：(1) ＝(－3，－4)， ＝(c－3，－4)．
由·＝0，可得
－3(c－3)＋16＝25－3c＝0，
所以c＝.
(2)∵＝(－3，－4)，
＝(c－3，－4)＝(2，－4)，
∴cos A＝＝＝.
17．(本小题满分12分)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)求|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：(1)∵a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)，
∴|a＋3b|＝＝.
(2)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋3b＝(7,3)．
∵(ka－b)∥(a＋3b)，
∴7×(－1)＝(k－2)×3.
解得k＝－，∴ka－b＝－(a＋3b)，两向量反向．
18．(本小题满分14分)已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)， ＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴点C坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)， ＝(－4,2)，且| |＝2，
| |＝2， ·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析：l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.
答案：D
2．若＝2e1， ＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形 D．菱形
解析： ＝，又| |＝||，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
答案：C
3．某人以速度a km/h向东行走，此时正刮着时速为a km的南风，那么此人感受到的风向、风速为( )
A．东南风，a km/h B．东风，a km/h
C．南风，a km/h D．西南风，a km/h
解析：如图所示，设人的速度为v1，风速为v2，则人感受到的风速为v，且|v|＝a.
答案：A
4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：作＝F1， ＝F2， ＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
答案：D
5．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________．
解析：功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．
答案：1 500 J
6．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)， ＝(7,4)， ＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
解析： ＝－＝(3,6)＝.
又·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴ABCD为矩形．
∴| |＝，| |＝.∴S＝30.
答案：30
7．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求| |.
解：(1)由题意得， ＝(3，－ 1)， ＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以⊥，即∠A＝90°.因为| |＝|A|，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又A(1,2)，所以＝(1，－2)．
所以| |＝＝.
8．如图所示，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
解：设向量， 分别表示两力，以， 为邻边作平行四边形OACB， 即为合力．
由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°.
过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，| |＝| |·cos 30°＝60×＝30.
故| |＝2||＝60，即合力的大小为60 N，方向与水平方向成30°角．
课件79张PPT。高考7大高频考点例 析考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七[考题印证][答案] B[跟踪演练]答案：A[考题印证][答案] D[跟踪演练][考题印证][答案] D[跟踪演练]5．已知正切函数y＝tan x的图像关于点(θ，0)对称，
则sin θ＝ ( )
A．－1或0 B．0或1
C．－1或0或1 D．0答案：C答案：C[考题印证][跟踪演练]答案：D图像如图：[考题印证][答案] D[答案] 1[跟踪演练]10．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,3)，向量c满足(c＋b)⊥a，
(c－a)∥b，则c＝________.
解析：设c＝(x，y)．因为a＝(1，－1)，b＝(2,3)，所以c＋b＝(x＋2，y＋3)，c－a＝(x－1，y＋1)．
又(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，所以1·(x＋2)－1·(y＋3)＝0，且3·(x－1)－2·(y＋1)＝0，即x－y＝1，且3x－2y＝5，所以x＝3，y＝2.所以c＝(3,2)．
答案：(3,2)答案：A[考题印证] [例9] (2011·全国新课标)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.[解析] ∵a与b是不共线的单位向量，
∴|a|＝|b|＝1.
又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，
即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.[答案] 1∴k－1＋ka·b－a·b＝0，
即k－1＋kcos θ－cos θ＝0.(θ为a与b的夹角)
∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线，
∴cos θ≠－1，∴k＝1.[答案] 5[跟踪演练]答案：C答案：B答案：1∶2[跟踪演练]