【三维设计】高中数学苏教版必修四 配套课件应用创新演练阶段质量检测（62份）

模块综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．若角α的终边过点(sin 30°，－cos 30°)，则sin α等于________．
解析：sin α＝＝－cos 30°
＝－.
答案：－
2．(cos 15°＋sin 15°)(cos 15°－sin 15°)＝________.
解析：(cos 15°＋sin 15°)(cos 15°－sin 15°)
＝cos2 15°－sin2 15°＝cos 30°＝.
答案：
3．设a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则实线λ的值等于__________．
解析：由－(b－2a)＝2a－b与a＋λb共线，故λ＝－.
答案：－
4．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为________．
解析：tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]
＝＝1.
答案：1
5．计算：＝________.
解析：＝＝＝ .
答案：
6．(2012·全国卷)当函数y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.
解析：y＝sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2sin(x－)的最大值为2，又0≤x＜2π，故当x－＝，
即x＝时，y取得最大值．
答案：π
7．已知sin(π－α)＝－2sin，则sin αcos α等于________．
解析：由sin(π－α)＝－2sin(＋α)，
可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，
那么sin αcos α＝
＝＝－.
答案：－
8．设函数y＝3sin的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈，则x0＝________.
解析：因为图象的对称中心是与x轴的交点，所以由3sin(2x0＋)＝0， x0∈[－，0]，得x0＝－.
答案：－
9．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝ ，则a，b，c的大小关系为________．
解析：因为a＝cos 6°－sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
c＝ ＝sin 25°，
b＝＝＝sin 26°，
所以a答案：a10．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2,1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为________．
解析：由题意知，b－c＝(－3,1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)．
依题意，得解得，
∴c＝(1,2)，∴b·c＝0，∴b⊥c.
答案：90°
11．若b＝(1,1)，且a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________.
解析：由(a－b)2＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，
则a2－2×2＋2＝3，故a2＝5，|a|＝ .
答案：
12．已知α∈，sinα＝，则＋tan 2α的值为________．
解析：∵α∈(0，)，sin α＝，∴cos＝，
则＋tan 2α＝
＝
＝＝＝7.
答案：7
13．已知△ABC的外心为O，·＝8，则| |等于________．
解析：因为·＝8＝||||cos∠BAO，
则·＝||||cos(π－∠BAO)＝－8，
那么·＝(＋)·＝8，
所以2＋·＝8，
从而有2＝16，所以||＝4.
答案：4
14．已知函数y＝3sin ωx(ω>0)的最小正周期是π，将函数y＝3cos的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝f(x)图象，则函数y＝f(x)的单调增区间为________．
解析：由题意知ω＝2.
f(x)＝3cos[2(x－)－]＝3cos(2x－)．
由2kπ－π≤2x－≤2kπ得kπ－≤x≤kπ＋.
所以y＝f(x)的单调增区间为：
[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
答案：[kπ－，kπ＋](k∈Z)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)(2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2，
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
故函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－)＋1.
(2)∵f()＝2sin (α－)＋1＝2，
即sin (α－)＝，
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，故α＝.
16．(本小题满分14分)设两个非零向量e1和e2不共线，若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，是否存在实数m，使得me1＋e2与e1－e2垂直？并说明理由．
解：假设存在实数m，使得me1＋e2与e1－e2垂直，则(me1＋e2)·(e1－e2)＝0，
所以me＋(1－m)e1·e2－e＝0，
又因为|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，
所以e＝|e1|2＝4，e＝|e2|2＝9，
e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝2×3×cos 60°＝3，
所以4m＋3(1－m)－9＝0，解得m＝6，
故存在实数m＝6，使得me1＋e2与e1－e2垂直．
17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象？写出变换过程．
解：(1)由图象知A＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×(－)＝π，
故ω＝＝2.
将点(，2)代入f(x)的解析式得
sin(＋φ)＝1，又|φ|<，∴φ＝，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)变换过程如下：
y＝2sin x y＝2sin(2x＋)．
y＝2sin(2x＋)．
18．(本小题满分16分)已知向量a＝(sin x,2sin x)，b＝(2cos x，sin x)，定义f(x)＝a·b－.
(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋θ)(0<θ<)为偶函数，求θ的值．
解：f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋2·－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)．
(1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得函数y＝f(x)的单调递减区间是
[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(2)f(x＋θ)＝2sin(2x＋2θ－)，
根据三角函数图象性质可知y＝f(x＋θ)(0<θ<)在x＝0处取最值，从而由sin(2θ－)＝±1，
得2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z.
又0<θ<，所以θ＝.
19．(本小题满分16分)如图，三个同样大小的正
方形并排一行．
(1)求与夹角的余弦值；
(2)求∠BOD＋∠COD的值．
解：(1)因为A(1,1)，B(2,1)，
所以＝(1,1)，＝(2,1)．
cos∠AOB＝
＝＝.
(2)因为C(3,1)，D(3,0)，
所以tan∠BOD＝，tan∠COD＝.
所以tan(∠BOD＋∠COD)
＝＝＝1.
又因为∠BOD和∠COD均为锐角，
故∠BOD＋∠COD＝45°.
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝2cos2＋2sin xcos x－3.
(1)化简函数f(x)的解析式，并求f(x)的最小正周期；
(2)若方程f＋sin x－t＝0恒有实数解，求实数t的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝2cos2(x＋)＋2sin xcos x－3
＝cos(2x＋)＋sin 2x－2
＝cos 2x＋sin 2x－2
＝sin(2x＋)－2.
故其最小正周期为π.
(2)方程f(x＋)＋sin x－t＝0恒有实数解，等价于求函数t＝f(x＋)＋sin x的值域．
因为t＝f(x＋)＋sin x
＝sin[2(x＋)＋]＋sin x－2
＝cos 2x＋sin x－2＝－2sin2x＋sin x－1
＝－2(sin x－)2－，
又－1≤sin x≤1，所以t∈[－4，－]．
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意
角
、
弧
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角理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三第1章
三角函数 如图∠AOB.
问题1：∠AOB能否看成射线OA绕O点旋转到OB而成的呢？
提示：可以． 问题2：射线OA按顺时针方向、逆时针方向都能转到OB吗？
提示：都可以转到OB.
问题3：两者所得到的角相同吗？
提示：不相同． 1．角的概念
一个角可以看做平面内 绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的 ，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的 和
．
2．角的分类
(1)正角——按 方向旋转所形成的角；
(2)负角——按 方向旋转所形成的角；
(3)零角——射线没有作任何旋转所形成的角.一条射线始边终边顶点逆时针顺时针 若∠AOB的顶点O为坐标原点，始边OA在x轴的正半轴上，则∠AOB分别等于300°，－300°，－160°，220°时，终边OB落在第几象限？∠AOB分别等于－90°，180°，0°，270°，90°，－180°时，终边又落在何处？
提示：当∠AOB分别等于300°，－300°，－160°，220°时，终边OB分别落在第四、一、三、三象限；当∠AOB分别等于－90°，180°，0°，270°，90°时，终边OB分别落在y轴的负半轴、x轴的负半轴、x轴的正半轴、y轴的负半轴、y轴的正半轴上． 1．象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的 (除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
2．轴线角
如果角的终边在 上，称这个角为轴线角. 终边坐标轴如图，在同一坐标系中作出60°，420°角．
问题1：两角的终边有何特点？
提示：终边相同．
问题2：两角的角度有什么等式关系？
提示：420°＝60°＋360°.相差360°. 问题3：－300°与60°的终边有何特点？两角的角度又有什么等式关系？
提示：两角终边也相同，－300°＝60°－360°.
相差－360°.
问题4：试再写几个与60°终边相同的角，计算出它们与60°相差的角度，并观察这些角度有什么共同特点．
提示：780°，1 140°，－660°等，与60°相差720°，
1 080°，－720°，相差的角度都是360°的整数倍． 终边相同的角
一般地，与角α终边相同的角的集合为
．{β|β＝k·360°＋α，k∈Z} (1)角的三要素：顶点、始边、终边．
(2)象限角及轴线角的前提：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，否则不能判断该角为哪一个象限角．
(3)终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍． [例1]　下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．
[思路点拨]　根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角． [精解详析]　①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；
②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；
③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；
④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，
　　故④不正确．
[答案]　① [一点通]　解决此类问题的关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可．1．如图，则α＝________，β＝________.
答案：240°　－120°
2．经过2个小时，钟表上的时针旋转的角度为________．答案：－60°
3．下列命题正确的是______________________(填序号)．
①三角形的内角必是第一、二象限角
②始边相同而终边不同的角一定不相等
③第四象限角一定是负角
④钝角比第三象限角小
解析：只有②正确．对于①，如∠A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．
答案：② [例2]　在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．
　　(1)－736°；(2)904°18′.
[思路点拨]　首先写出与α终边相同的角的集合，然后取适当的整数k即可求出满足条件的角．可利用0°～360°之间与该角终边相同的角来判断角的象限． [精解详析]　(1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．
∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．
(2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角．
∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角． [一点通]　(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．4．在－1 080°～－360°间，找出与2 004°终边相同的
角，并指出它所在的象限．
解：∵与2 004°终边相同的角为k·360°＋2 004°(k∈Z)，
由－1 080°≤k·360°＋2 004°<－360°，
得k＝－7或k＝－8.
故所求的角为－516°和－876°，它们是第三象限的角．5．求与3 900°角终边相同的最小正角和最大负角，并指
出它是第几象限角．
解：设β＝3 900°＋k·360°(k∈Z)．
则当k＝－10时，β＝3 900°－10×360°＝300°，
当k＝－11时，β＝3 900°－11×360°＝－60°.
∴与3 900°角终边相同的最小正角是300°，最大负角是－60°，且3 900°角是第四象限的角.[精解详析]　∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°.
∴180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°.6．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．
解析：∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α∴k·360°－90°<180°－α∴180°－α为第四象限角．
答案：四1．轴线角的集合2．象限角的集合 3．终边相同的角
关于与角α终边相同的角的一般形式k·360°＋α应着重理解以下几点：
(1)k∈Z.
(2)α是任意角．
(3)k·360°＋α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)． 点击下图进入
一、填空题
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.
解析：根据角的定义∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
答案：－150°
2．－1 445°是第________象限角．
解析：∵－1 445°＝－5×360°＋355°，
∴－1 445°是第四象限角．
答案：四
3．－720°到720°之间与－1 110°终边相同的角的集合为______ __.
解析：设α＝k·360°－1 110°，k∈Z.
由－720°得390°∴k＝2,3,4,5.
当k＝2时，α＝2×360°－1 110°＝－390°；
当k＝3时，α＝3×360°－1 110°＝－30°；
当k＝4时，α＝4×360°－1 110°＝330°；
当k＝5时，α＝5×360°－1 110°＝690.
答案：{－390°，－30°，330°，690°}
4．在0°～360°范围内，与－1 000°终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴与－1 000°终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．
答案：80°　一
5．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.
解析：7α＝2α＋k·360°(k∈Z)，
∴α＝k·72°，又α为第二象限角，
∴在0°～360°内符合条件的角为144°，
故α＝k·360°＋144°(k∈Z)．
答案：α＝k·360°＋144°(k∈Z)
二、解答题
6．在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．
解：与530°角终边相同的角为k·360°＋530°(k∈Z)．
(1)由－360°(2)由0°故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°得k＝－3，故所求的角为－550°.
7.如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OM上的角的集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM上的角的集合为
A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
所以终边落在直线OM上的角的集合为：
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，
k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为
{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
8．已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几象限角？
解：与α终边相同的角的集合为
{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}，
∴＝k·120°＋50°，k∈Z.
若k＝3n(n∈Z)，是第一象限角；
若k＝3n＋1(n∈Z)，是第二象限角；
若k＝3n＋2(n∈Z)，是第四象限角．
故是第一、二、四象限角．

一、填空题
1．下列命题中，正确的序号是________．
①1弧度是长度为半径的弧
②大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大
③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度
解析：由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确；
∵弧长l＝α·r，∴当α＝1时，l扇＝ r(半径)．
∴④不正确．
答案：③
2．若α＝－4，则α是第________象限角．
解析：∵－4×()°≈－229°∴在第二象限．
答案：二
3．半径为12 cm，弧长为8π cm的弧所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为________．
解析：圆心角α＝＝＝，
∴与α终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋，k∈Z}．
答案：{β|β＝2kπ＋，k∈Z}
4．设0≤α<2π，将－1 485°表示成2kπ＋α，k∈Z的形式是________．
解析：∵－1485°＝－5×360°＋315°，
而315°＝，
∴－1485°＝2×(－5)π＋.
答案：2×(－5)π＋π
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，
集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
解析：如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
答案：[－4，－π]∪[0，π]
二、解答题
6．设角α＝－570°，β＝.
(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；
(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角．
解：(1)∵180°＝π rad，
∴－570°＝－570×＝－.
∴α＝－＝－2×2π＋.
∴α在第二象限．
(2)∵β＝＝×＝108°，
设θ＝k·360°＋β(k∈Z)．
由－720°≤θ<0°，
∴－720°≤k·360°＋108°<0°.
∴k＝－2或k＝－1.
∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°.
7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
解：(1)如图(1)所示，以OB为终边的角为330°，
可看作－30°，∵－30°＝－，75°＝，
∴{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}．
(1)如图(2)所示，以OB为终边的角为225°，可看作－135°，∵－135°＝－，135°＝，
∴{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}．
(3)如图(3)所示，∵30°＝，210°＝，
∴{θ|＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}∪{θ|＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}＝{θ|＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}∪
{θ|＋(2k＋1)π<θ<＋(2k＋1)π，k∈Z}
＝{θ|＋kπ<θ<＋kπ，k∈Z}．
∴{θ|＋kπ<θ<＋kπ，k∈Z}即为所求．
8．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2(rad)．
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弧
度1.1.2
弧
度
制理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二第1章
三角函数 问题1：目前，我们度量角的单位是什么？是如何定义的？ 问题2：下图是半径不等的两个圆，在每个圆上取长等于半径的一条弧，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，你认为这两个角是否相等？提示：相等．角的大小与半径无关． 问题3：在半径为r的圆周上，长为l的圆弧所对的圆心角α为定值吗？说明什么问题？度半径圆心角1 rad (2)任意角的弧度数与实数的对应关系：
正角的弧度数是 ；负角的弧度数是 ；零角的弧度数为 .正数负数03．角度制与弧度制的换算
(1)角度与弧度的换算公式：2π360°π180°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系：0π2π扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则αR1．把112°30′化为弧度为________．答案：－75°3．设三角形三内角之比为2∶5∶8，求各内角的度数，并
化成弧度数． [例2]　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
[思路点拨]　首先把角度化成弧度，再写成所要求的形式． [一点通]　表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°，(k∈Z)”中，α必须是用角度制表示的角．4．与60°终边相同的角的集合可以表示为________(用弧
度制)．6．如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角α的集合．7．若扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形
的圆心角的弧度数．8．一条弦的长度等于半径r，求：
(1)这条弦所对的劣弧长；
(2)这条弦所对的劣弧与两条半径围成的扇形的面积． 2．利用弧度制解决扇形的弧长及面积问题
(1)在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及内在联系．在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，已知其中的两个，就可以求出其他量．
(2)在解决有关扇形、弓形的有关计算问题时，采用弧度制通常要比采用角度制更方便．点击下图进入课件38张PPT。1.2
任意角的三角函数1.2.1
任
意
角
的
三
角
函
数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三第1章
三角函数如图，直角△ABC.
问题1：如何表示角A的正弦、余弦、正切值？ 问题2：如图，锐角α的顶点与原
点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
在α终边上任取一点P(a，b)，作PM⊥x轴，
如何用图中的数据表示sin α，cos α，tan α？ 问题1：由三角函数的定义知sin α在什么条件下函数值
为正？
提示：α的终边在第一、二象限或y轴正半轴．
问题2：tan α在什么情况下为负数？三角函数值在各象限内的符号，如图所示： 提示：不一定，可能等于PM的长，也可能等于PM长的相反数，把MP看成有向线段即可． 1．有向线段
规定了方向(即规定了 和 )的线段．
2．有向线段数量
根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上 和 ，这样得的数叫做有向线段的数量．
3．单位圆
圆心在 ，半径等于 的圆．起点终点正号负号原点单位长度 4．三角函数线
设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M. (1)则有向线段 、 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sinα，OM＝cosα；
(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段 就是角α的正切线，即AT＝ .MPOMATtanα (1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
(3)正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示． [例1]　已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
[思路点拨]　由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a的条件为a≠0，所以必须对a进行分类讨论． [一点通]　已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．1．已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos α＋tan α＝_______.3．已知角的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α
的值． [思路点拨]　角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．
[精解详析]　(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0.
∵305°是第四象限角，
∴cos 305°>0.
从而tan 108°·cos 305°<0，
∴式子符号为负． [一点通]　对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．答案：(1)>　(2)>
5．已知sin α·tan α>0，则α是第几象限角？ [思路点拨]　作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负． [一点通]　利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________．
解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较
可得．
答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 1 1．准确理解三角函数的定义
根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的． 2．确定三角函数的符号
根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y、横坐标x的符号；正切值则是纵坐标y、横坐标x同号时为正，异号时为负．
3．三角函数线的应用
三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．点击下图进入
一、填空题
1．角α的终边经过点P(0，b)(b≠0)，则cos α＝________.
解析：∵P(0，b)，∴cos α＝＝0.
答案：0
2．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角；(2)若α是第一、二象限角，则sin α>0；(3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝.其中正确的序号是________．
解析：只有(2)正确；∵sin ＝1>0，但不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝(∵α是第二象限角，已有x<0)，∴(4)不正确．
答案：(2)
3．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．
解析：α为第二象限角，则sin α>0，cos α<0，
∴P点在第四象限．
答案：四
4．如果60°的角终边上有一点(1，a)，则a的值为________．
解析：点(1，a)在60°的终边上，∴a>0.
∴＝.
∴4a2＝3＋3a2，即a2＝3.
∴a＝.
答案：
5．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin ＝sin ；②cos＝cos ；③tan >tan ；
④sin >sin .其中判断正确的有________．
解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin ＝－sin ，cos(－)＝cos ，tan sin ，
∴②④正确．
答案：②④
二、解答题
6．已知角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值．
解：依题意，P到原点O的距离
r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16.
∴y2＝，y＝±.
∴点P在第二或第三象限，
且cos α＝＝－＝－.
7．已知<θ<，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．
解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线，
sin θ＝MP>0, cos θ＝OM>0，
tan θ＝AT>0，由图知OM即cosθ8．(1)求在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围；
(2)求函数y＝的定义域．
解：(1)如图，利用单位圆中的正弦线可知图中阴影部分表示的角即为所求，
∴x∈[，]．
(2)要使函数有意义，
只需2cos x－1≥0，
∴cos x≥.
如图作x＝与单位圆交于P1，P2两点，
连结OP1，OP2.当角α的终边由OP1逆时针转到OP2时，满足cos x≥.
∵OP2为角＋2kπ的终边，
OP1是角－＋2kπ(k∈Z)的终边，
∴当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，即角的终边落在图中阴影部分时，cos x≥成立．
∴函数的定义域为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
课件31张PPT。考点三1.2.2
同
角
三
角
函
数
关
系1.2
任意角的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第1章
三角函数若角α的终边与单位圆交于P(x，y)，如图．问题1：角α的三角函数值是什么？问题2：sin α与cos α有什么关系？
提示：sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1.
同角三角函数的基本关系式sin2 α＋cos2 α＝13．保持本例(2)的条件不变，求4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
的值． [一点通]　化简三角函数式的常用方法：
(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简．
(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．答案：cos θ答案：0答案：－1
[一点通]　证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：
(1)从一边开始证明它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式． (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且因为利用“平方”关系公式，最终需求平方根，会出现两解，所以要注意角所在的象限．这类问题通常会出现以下这几种情况：
①如果已知三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；
②如果已知三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定角所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；
③如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，则需要分类讨论．点击下图进入
一、填空题
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
解析：∵cos α＝，α∈(0，π)，
∴sin α＝＝＝.
∴tan α＝＝.
答案：
2．若＝2，则tan α＝________.
解析：∵＝2，∴＝2.
∴tan α＋1＝4tan α－2
即3tan α＝3，∴tan α＝1.
答案：1
3．化简：cos4α＋sin2α·cos2α＋sin2α＝________.
解析：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α
＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：1
4．若cos α＋2sin α＝－，则tan α等于________．
解析：法一：将条件平方得，cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，
即4sin αcos α＋3sin2α＝4.
所以＝4.
所以＝4.
解得tan α＝2.
法二：将条件平方知sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，
∴(sin α－2cos α)2＝0，∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2.
答案：2
5．已知sin xcos x＝，且解析：(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝，
又∴cos x答案：－
二、解答题
6．已知tan x＝2，求：
(1) 的值；
(2)sin2x＋cos2x的值．
解：(1)＝＝＝－3.
(2)sin2x＋cos2x＝
＝＝＝.
7．求证：＝.
证明：左边＝
＝
＝＝
＝＝右边．
8．已知－解：法一：由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
即2sin xcos x＝－，
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
又∵－∴sin x<0，cos x>0，
∴sin x－cos x<0，
∴sin x－cos x＝－.
法二：联立方程
由①得sin x＝－cos x，将其代入②，
整理得25cos2x－5cos x－12＝0，
解得cos x＝－，或cos x＝.
∵－∴sin x－cos x＝－.

一、填空题
1．sin 480°的值等于________．
解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
答案：
2．化简：·tan(2π＋α)的值为________．
解析：·tan(2π＋α)＝·tan α
＝·＝1.
答案：1
3．已知cos＝，则cos等于________．
解析：cos＝cos[π－＋α)]＝－cos＝－.
答案：－
4．sin＋cos 的值为________．
解析：原式＝－sin＋cos
＝－sin(14π＋)＋cos(6π＋)
＝－sin＋cos
＝－sin(π＋)＋cos
＝sin＋cos
＝＋
＝.
答案：
5．若函数f(x)＝asin 2x＋btan x，且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________.
解析：∵f(x)＝asin 2x＋btan x，
∴f(－3)＝－asin 6－btan 3，即asin 6＋btan 3＝－5.
∴f(π＋3)＝asin(2π＋6)＋btan(π＋3)＝asin 6＋btan 3＝－5.
答案：－5
二、解答题
6．求值：
(1)cos＋tan；
(2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)∵cos＝cos(＋8π)＝cos＝，
tan＝tan[＋(－4π)]＝tan＝1，
∴cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
7．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．
解：sin(3π＋θ)＝－sin θ，
∴sin θ＝－.
原式＝＋
＝＋＝＝＝32.
8．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．
解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－，
sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．
又cos(75°＋α)＝>0，α为第三象限角，
可知角75°＋α为第四象限角，
则有sin(75°＋α)＝－
＝－ ＝－.
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－＋＝.
课件31张PPT。考点三1.2.3
第
一
课
时
诱导公式一
～
四1.2
任意角的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第1章
三角函数 对于任意角α.
问题1：2kπ＋α(k∈Z)与α的三角函数之间有什么关系？
提示：由于α与2kπ＋α(k∈Z)的终边相同，所以三角函数值对应相等． 问题2：观察下图，角π－α，π＋α，－α的终边与角α的终边之间有什么关系？你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗？ 提示：π－α，π＋α，－α的终边与α的终边分别关于y轴，坐标原点，x轴对称．能.诱导公式sin αcos αtan α－sin αcos α－tan αsin α cos α－tan α－sin α－cos αtan α 公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：
(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限”．
(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α. [一点通]　此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要准确记忆特殊角的三角函数值．1．tan 690°的值为________．2．sin 210°等于________．3．求下列各式的值：4．化简：cos(－α)tan(π－α)＋cos(2π－α)tan(π＋α)＝
_______.
解析：cos(－α)tan(π－α)＋cos(2π－α)tan(π＋α)
＝cos α(－tan α)＋cos α·tan α＝0.
答案：0答案：tan α[例3]　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝3cos x－1；
(2)g(x)＝x3sin x；
(3)h(x)＝sin2(π＋x)＋cos(π－x)cos(－x)－3.
[思路点拨]　
(1)判断函数的定义域是否关于原点对称．
(2)通过判断f(－x)与f(x)的关系得出结论．[精解详析]　(1)∵x∈R，
又f(－x)＝3cos(－x)－1＝3cosx－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，
又g(－x)＝(－x)3sin(－x)＝x3sin x＝g(x)，
∴g(x)为偶函数．
(3)∵x∈R，h(x)＝sin2x－cos2x－3，
又h(－x)＝sin2x－cos2x－3＝h(x)，
∴h(x)为偶函数． [一点通]　根据诱导公式可知，正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，余弦函数y＝cos x为偶函数，正切函数y＝tan x为奇函数．7．函数y＝cos(sin x)的奇偶性为________．
解析：令f(x)＝cos(sin x)，则f(－x)＝cos[sin(－x)]
＝cos(－sin x)＝cos(sin x)＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
答案：偶函数点击下图进入
一、填空题
1．已知sin(π＋x)＝－，则cos等于________．
解析：由sin(π＋x)＝－，得sin x＝.
∴cos＝cos[π＋]＝－cos
＝－sin x＝－.
答案：－
2．已知tan θ＝2，则＝________.
解析：＝
＝＝＝＝－2.
答案：－2
3．若sin＝a，则cos＝________.
解析：cos＝sin(－＋α)
＝sin (－＋α)＝－sin＝－a.
答案：－a
4．若f(x)＝sin＋1，且f(2 009)＝2，则f(2 011)＝________.
解析：∵f(2 009)＝sin(×2 009＋α)＋1
＝sin(1 004π＋＋α)＋1
＝sin(＋α)＋1＝cos α＋1＝2，
∴cos α＝1.
∴f(2 011)＝sin(×2 011＋α)＋1
＝sin(1 005π＋＋α)＋1＝－sin(＋α)＋1
＝－cos α＋1＝0.
答案：0
5．f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为________．
解析：∵sin 15°＝cos 75°，
∴f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－.
答案：－
二、解答题
6．化简：(1)1＋cossintan(π＋α)；
(2).
解：(1)原式＝1＋(－sin α)cos αtan α＝1－sin2α＝cos2α.
(2)原式
＝
＝
＝
＝－＝－tan α.
7．若sin(180°＋α)＝－(0°<α<90°)，
求的值．
解：由sin(180°＋α)＝－(0°<α<90°)，
得sin α＝，cos α＝，
∴原式＝
＝＝＝2.
8．已知sin(30°－α)＝，求＋的值．
解：原式＝＋
＝＋
＝
＝
＝＝3.
课件30张PPT。第1章
三角函数考点三1.2.3
第
二
课
时
诱导公式五
～
六1.2
任意角的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二提示：P2(y，x)，P3(－y，x)．诱导公式cos αsin αcos α－sin α答案：－1
答案：1
[一点通]　(1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化．
(2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，也是常用的解题策略． [一点通]　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边． 1．利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路
化简条件三角代数式的常见思路有：
(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；
(2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；
(3)若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止． 2．利用诱导公式证明三角恒等式
(1)三角函数式证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°～90°角的过程．对同一角的化归方式可以多种多样．
(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．点击下图进入课件26张PPT。1.3
三角函数的图象和性质1.3.1
三
角
函
数
的
周
期
性理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点一知识点二第1章
三角函数 问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？
提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六． 问题2：在三角函数中：
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)．
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos x(k∈Z)．
上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？
提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性． 1．周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，
都是它们的周期，它们的最小正周期都是 .
(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是 . f(x＋T)＝f(x)2kπ(k∈Z且k≠0)2ππ答案：4π [一点通]　函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．4．设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数，且f(1)＝－1，
则f(2 011)＝________.
解析：∵f(x)的周期为4，f(x)为奇函数，且f(1)＝－1.
∴f(2 011)＝f(4×503－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1.
答案：15．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，
则f(3)－f(4)＝________.
解析：由于f(x)的周期为5，
所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)．
又f(x)为R上的奇函数，
∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.
答案：－16．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当
x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，求f(7)的值．
解：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，
又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，
∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.点击下图进入
一、填空题
1．函数y＝sin的最小正周期为________．
解析：T＝＝π.
答案：π
2．函数y＝tan的最小正周期为________．
解析：T＝.
答案：
3．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．
解析：∵T＝＝≤2，∴k≥4π，∴kmin＝13.
答案：13
4．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是________．
①f(x)是周期为1的函数
②f(x)是周期为2的函数
③f(x)是周期为的函数
④f(x)是周期为π的函数
解析：f(x)＝sin(πx－)－1＝－cos πx－1，
∴f(x)的周期为＝2.
答案：②
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
又f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(6)＝f (2)．
由f(2)＝－f (0)＝0，得f(6)＝0.
答案：0
二、解答题
6．求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝－2sin；
(2)f(x)＝3cos(m≠0)．
解：(1)T＝＝12π，
即函数f(x)＝2sin(－x)的最小正周期为12π.
(2)T＝，即函数f(x)＝3cos(mx＋)(m≠0)的最小正周期为.
7．已知函数f(n)＝sin(n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)．
解：由诱导公式知sin(π)＝sin(＋2π)＝sin，
∴f(n＋12)＝f(n)，
且f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0,102＝12×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝sin＋sin＋…＋sin＝2＋.
8．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.

一、填空题
1．对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述：
①在原点两侧向左右无限伸展；
②与y＝sin x图象形状完全一样，只是位置不同；
③与x轴有无数个交点；
④关于y轴对称．
其中正确的描述有________．
解析：由余弦函数的图象(余弦曲线)可知，①②③④均正确．
答案：①②③④
2．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是________．
解析：作出y＝1＋sin x，x∈[0,2π]与y＝2的图象知有1个交点．
答案：1
3．y＝sin(－x)与y＝sin x的图象关于________对称．
解析：因为y＝sin(－x)＝－sin x，
所以y＝sin(－x)与y＝sin x的图象关于x轴对称．
答案：x轴
4．已知y＝cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．
解析：S＝2×2π×＝2π.
答案：2π
5．若cos x≥，则x的取值范围为________．
解析：当cos x＝时，x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z.借助余弦曲线可知，x的取值范围为
{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
答案：{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
二、解答题
6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：
(1)y＝sin x；
(2)y＝2sin x；
(3)y＝2sin.
解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：
x
0

π

2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝2sin x
0
2
0
－2
0
(3)五点选取列表如下，图象如下图：
x
0
π
2π
3π
4π

0

π

2π
y＝2sin
0
2
0
－2
0
7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围．
解：作出正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是(，)．
8．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
解：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
如下图，则k的取值范围是(1,3)．
课件32张PPT。1.3
三角函数的图象和性质1.3.2
第
一
课
时
正弦曲线与余弦曲线理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点一知识点二第1章
三角函数问题1：作函数图象的基本步骤是什么？
提示：列表、描点、连线．
问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？
提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示． 提示：函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
问题4：由此你能作出y＝sin x，x∈R的图象吗？
提示：能．因sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，这样只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，可得y＝sin x，x∈R的图象．1．正弦曲线
正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：(0,0)(π，0)(2π，0)1．余弦曲线
余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图所示：左(0,1)(π，－1)(2π，1) 1．正弦曲线、余弦曲线的作法
(1)正弦、余弦函数图象的几何作法．
作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐． [例1]　用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin x；(2)y＝3＋2cos x.
[思路点拨]　取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图． [精解详析]　(1)列表：描点作图：(2)列表： 描点得y＝3＋2cos x在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象(如图所示)． [一点通]　画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图．根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可．用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才能得到整个函数图象． 1．用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图象时，应取
的五个关键点是________．
2．作出函数y＝|sin x|的图象．3．作出函数y＝sin|x|的图象． [一点通]　本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x轴与y轴的特点可知，方程应有无数个解．不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数． 4．求方程x2＝cos x的实数解的个数．解：作函数y＝cos x与y＝x2 的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解． 1．“五点法”作图
(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”．这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图．
(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”．2．利用三角函数图象解简单的三角不等式
利用正弦函数的图象解sin x>a的方法
(1)作出直线y＝a和正弦函数y＝sin x的图象；
(2)在一个周期内确定sin x＝a的x值；
(3)确定sin x>a的解集．点击下图进入
一、填空题
1．下列正确命题的序号为________．
①y＝tan x为增函数；
②y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为；
③在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数；
④在上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1.
解析：函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的最小正周期为，故②错误；当x＝－，时，y＝tan x无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．
答案：④
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是________．
解析：T＝，∴＝，∴ω＝4，
∴f(x)＝tan4x，
∴f()＝0.
答案：0
3．函数y＝tan，x∈∪的值域为________．
解析：∵x∈[－，0)∪(0，]，
∴－x∈[，)∪(，]，
∴函数的值域为(－∞，1]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
4．函数y＝tan的定义域为________．
解析：y＝tan(－x)＝－tan(x－)，由x－≠＋kπ，得x≠＋kπ，k∈Z.
答案： {x|x≠＋kπ，k∈Z}
5．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的范围是________．
解析：若ω使函数在(－，)上递减，则ω必小于0，且(－，)?(，－)，故－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
二、解答题
6．求下列函数的单调区间：
(1)y＝tan；
(2)y＝tan 2x＋1.
解：(1)由－＋kπ解得－＋kπ∴函数y＝tan(x－)的单调增区间是
(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)．
(2)令－＋kπ<2x<＋kπ(k∈Z)，
∴－＋∴函数y＝tan 2x＋1的单调增区间是
(－＋，＋)(k∈Z)．
7．当x∈时，若使a－2tan的值总大于零，求a的取值范围．
解：∵x∈，∴0≤2x－≤.
又∵y＝tan x在内单调递增，
∴0≤tan(2x－)≤，
∴0≤2tan(2x－)≤2.
由题意知a－2tan(2x－)>0恒成立，
即a>2tan(2x－)，x∈恒成立．
∴a>2.∴实数a的取值范围是(2，＋∞)
8．已知f(x)＝x2＋2x·tan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解：函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
因此，θ角的取值范围是(－，－]∪[，)．
课件32张PPT。第1章
三角函数1.3
三角函数的图象和性质1.3.2
第
三
课
时
正切函数的图象和性质理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三单位圆中的正切线如图所示． 提示：正切线AT向Oy轴的正向逐步延伸，正切值增大且无限增大．提示：正切线AT向Oy轴的正向逐步缩小，正切值增大．提示：递增．函数y＝tan x的性质与图象Rπ奇函数增函数1．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上的交点个
数是________．
解析：作出y＝sin x与y＝tan x的图象知有1个交点．
答案：1 [一点通]　正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间．因此在求单调区间时，若ω<0，应先由诱导公式把x的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x的范围即可．∴y≤－1或y≥1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞) [一点通]　运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为：
(1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上；
(2)运用单调性得到大小关系．6．记a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c三数的大
小关系是________．答案：a>c>b点击下图进入
一、填空题
1．函数y＝sin x，x∈的值域是________．
解析：∵函数y＝sin x，x∈[，]，在区间[，]上单调递增，在[，]上单调递减，
∴ymax＝sin＝1，ymin＝sin＝.
∴该函数的值域为[，1]．
答案：[，1]
2．函数y＝－2sin x＋10取最小值时，自变量x的集合为________．
解析：当sin x＝1时，函数取得最小值，此时x＝2kπ＋(k∈Z)．
答案：{x|x＝2kπ＋，k∈Z}
3．函数y＝|cos x|的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．
解析：y＝cos x的图象在x轴上方的部分不动，下方部分对称地翻到x轴上方，即得函数y＝|cos x|的图象，如图，由图可知它的周期为π.
又因为在一个周期上，已知函数的增区间是，减区间是，
因此函数y＝|cos x|的增区间是(k∈Z)，减区间是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)　(k∈Z)　π
4．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是________．
①y＝sin；②y＝cos；
③y＝sin；④y＝cos解析：③④中函数周期为2π，故错误．
当x∈时，2x＋∈，
函数y＝sin为减函数，
而函数y＝cos(2x＋)为增函数．
答案：①
5．(2012·全国卷改编)若函数f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，
∴＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，
∴φ＝
答案：
二、解答题
6．比较：函数值sin 1，sin 2，sin 3，sin 4的大小．
解：(1)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，
0<π－3<1<π－2<，π<4<，
且函数y＝sin x在上单调递增，
所以sin 2>sin 1>sin 3>0.而sin 4<0，
故sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.
7．求函数y＝sin的单调区间．
解：y＝sin(－2x＋)＝－sin(2x－)．
因为2x－是关于x的增函数，所以只需要考虑y＝－sin(2x－)关于2x－的单调性即可．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)时， y＝sin(2x－)为增函数，y＝sin(－2x＋)为减函数，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数y＝sin(－2x＋)的单调减区间为
(k∈Z)；
同理，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
求得函数y＝sin(－2x＋)的单调增区间为
(k∈Z)．
8．求下列函数的值域：
(1)y＝2sin；
(2)y＝6－sin x－cos2x.
解：(1)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin(2x＋)≤1，∴y∈[0,2]．
即函数y＝2sin(2x＋)(－≤π<)的值域为[0,2]．
(2)y＝6－sin x－cos2x＝sin2x－sin x＋5
＝(sin x－)2＋
∵－1≤sin x≤1，∴y∈[，7]．
即函数y＝6－sin x－cos2x的值域为[，7]．
课件43张PPT。第1章
三角函数1.3
三角函数的图象和性质1.3.2
第
二
课
时
正、余弦
函数的图象与性质理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三观察分析正弦函数图象如图．问题2：你能写出正弦函数y＝sin x，x∈R的单调区间吗？ 问题1：你能说出正弦函数y＝sin x的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？
提示：能．定义域为R，值域为[－1,1]，最小正周期为2π，是奇函数．正、余弦函数的性质[－1,1][－1,1]2π2πRR奇函数偶函数(k∈Z)(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)2kπ2kπ＋π (3)正、余弦函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间，利用其单调性，可以比较同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小． [一点通]　求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x系数为正)；②根据A的符号选取y＝sin x的单调区间．1．函数y＝－sin x，x∈[0,2π]的单调增区间为________． [一点通]　比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．5．若△ABC是锐角三角形，试比较sin A与cos B的大小．[研一题] [一点通]　(1)求有关y＝Asin(ωx＋φ)＋b，x∈R的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y＝sin x的有界性，即|sin x|≤1.
(2)形如y＝psin2x＋qsin x＋r(p≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题．答案：18．求函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域．
解：y＝cos2x－4cos x＋5＝(cos x－2)2＋1.
∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝－1时，y取最大值(－1－2)2＋1＝10；
当cos x＝1时，y取最小值(1－2)2＋1＝2.
∴函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2,10]． 1．正、余弦函数的单调性
(1)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正数，再利用整体代换，即把ωx＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x的范围．
(2)求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 2．正、余弦函数的最值(或值域)问题
求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：
(1)可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；
(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y＝Asin2x＋Bsin x＋C，或y＝Acos2x＋Bcos x＋C，利用配方法求解． 点击下图进入课件43张PPT。第1章
三角函数1.3
三角函数的图象和性质1.3.3
函数
y＝Asin(ωx＋φ)的图象理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三 函数y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有的点 (当φ>0)或 (φ<0)平移 个单位长度而得到的.向左向右|φ| 函数y＝Asin x(A>0且A≠1)的图象，可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的 (横坐标不变)而得到的.A倍 (1)函数y＝sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)而得到的．
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ≠0)的图象，可以看作
是将函数y＝sin ωx的图象上所有的点 (当φ>0时)?
或 (φ<0时)平移 个单位长度而得到的．?向左向右 (3)对于函数y＝sin(ωx＋φ)与y＝Asin(ωx＋φ)之间的图象变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅，不改变周期及相位． (2)列表作图. [例3]　如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，确定其一个函数解析式．[思路点拨]　(1)由最高或最低点求A.
(2)先求周期再确定ω.
(3)代入特殊点求φ.7．函数?(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)
的部分图象如图所示，则?(0)的值是________．8.如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
＋k(A>0，ω>0)的 图象的一部分，
求f(x)的表达式． 1．图象变换中，还常用以下三种变换
(1)y＝－sin x的图象可由y＝sin x的图象沿x轴翻折180°而得到．
(2)y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．
(3)y＝sin|x|的图象可把y＝sin x的图象在y轴右边的图象不变，y轴左边的图象与y轴右侧的图象关于y轴对称．点击下图进入
一、填空题
1．电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是I＝50sin(100πt＋)，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是________，频率是________，振幅是________，初相是________．
答案：　50　50　
2．将函数y＝cos x图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的解析式为________．
解析：由题意，函数变化过程是：y＝cos x y＝cos x y＝cos(x－)＝cos(－)．
答案：y＝cos(－)
3．(2012·天津高考改编)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是________．
解析：根据题意平移后函数的解析式为
y＝sin ω(x－)，
将(，0)代入得sin＝0，
则ω＝2k，k∈Z，且ω>0，
故ω的最小值为2.
答案：2
4.知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析：由图象可得周期T＝2(－)＝π＝，即得ω＝2，将点(，0)代入y＝sin(2x＋φ)得sin(＋φ)＝0，令＋φ＝π，得φ＝，
∴(ω，φ)的坐标为(2，)．
答案：(2，)
5．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标变为原来的2倍，再把纵坐标变为原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式为________．
解析：y＝2sin(x＋)
y＝3sin(x＋)
y＝3sin(x＋)
y＝3sin(x＋＋)＝3sin(x＋)＝3cos x.
∴f(x)＝3cos x.
答案：f(x)＝3cos x
二、解答题
6．已知函数y＝3 cos，
(1)求它的周期；
(2)用“五点法”作出它的图象；
(3)这个图象可以由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)函数y＝3cos(2x－)的周期为T＝＝π.
(2)①列表：
x





2x－
0

π

2π
y＝3cos(2x－)
3
0
－3
0
3
②描点．
③用平滑曲线顺次连接各点所得图象如图所示，将函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展，即得y＝3cos(2x－)的图象．
(3)对y＝cos x的图象可经过以下变换得到y＝3cos(2x－)的图象．
①相位变换，把y＝cos x的图象上所有的点向右平移个单位得函数y＝cos(x－)图象；
②周期变换，把y＝cos(x－)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝cos(2x－)的图象；
③振幅变换，把y＝cos(2x－)的图象上的每一个点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到函数y＝3cos(2x－)．
7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如右图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)由图象知A＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×(－)＝π，
故ω＝＝2.
将点(，2)代入f(x)的解析式得sin(＋φ)＝1，
又|φ|<，所以φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)g(x)＝f(x＋)＝2sin
＝2sin (2x＋)＝2cos2x，
因为g(x)的定义域为R，且g(－x)＝g(x)，
故g(x)为偶函数．
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解：∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图象关于M(π，0)对称可知，
sin(πω＋)＝0，
∴πω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在[0，]上是单调函数，
所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝，
当k＝2时，ω＝2.
课件32张PPT。考点三第1章
三角函数1.3
三角函数的图象和性质1.3.4
三
角
函
数
的
应
用把握热点考向应用创新演练考点一考点二 [一点通]　三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题中，此类问题中弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法是关键． [例2] 如图为一个观览车示意图，该
观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面
距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与
地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ
角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式． [思路点拨]　(1)过O作地面平行线，则h可分成三段
①OA；②圆上最低点到地面距离；③B到地面平行线的距离．
(2)利用角速度结合图形可求． [一点通]　面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．3．在本例条件下，缆车第一次达到最高点时用的时间是
________s.
答案：304.一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，
它的最低点离 地面2 m(如图所示)，则风
车翼片的一个端点离地面的距离 h(米)与
时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系
式为_______．
解析：首先考虑建立直角坐标系，以最低
点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，
建立如图所示的直角坐标．那么，风车上
翼片端点所在位置P可由函数 x(t)、y(t)来
刻画， 而且h(t)＝y(t)＋2.所以，只需要考虑y(t)的解析式．又设P的 初始位置在最低点即y(0)＝0. [例3]　在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4∶00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17∶00该港口水深约为多少？(保留一位小数)
[思路点拨]　先根据题中所提供的数据求出三角函数关系式中的相关参数，然后结合函数的图象去分析问题即可． [一点通]　实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同于常规训练中的简单问题，因此，在解决实际问题时，应特别注意：
(1)自变量的变化范围．
(2)数形结合，通过观察图形，获得本质认识．
(3)要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型．5．在本例条件下，求10月10日这一天港口共有多少时间
水深低于10.3 m?6．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，
下面是水深数据：据上述数据描成的曲线如图所示，
经拟合，该曲线可近似地看成正
弦函数y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B 的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)∴船只可以安全进港的时间为上午的1～5点和下午的1～5点；船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点(1点到5点都可以)进港，而下午17点(即13点到17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16小时． 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．
1．审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件． 2．建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．
3．解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决． 4．还原评价
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．点击下图进入
一、填空题
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．
解析：最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T＝ s＝ s.
答案： s
2.设钟摆每经过1.8秒便回到原来的位置．如图，当钟摆达到最高位置M时开始计时，经过1分钟后，请你估计钟摆在铅垂线的________边．
解析：作出该单摆的一个周期的图象如右图，在该图象中，钟摆在铅垂线的左边时，图象在横轴的上方；钟摆在铅垂线的右边时，图象在横轴的下方．因为60＝1.8×33＋0.6，所以钟摆在铅垂线的右边．
答案：右
3．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________分钟．
解析：依题意，即40sin(t－)＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为
≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．
答案：4
4.右图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则ω＝________，A＝________.
解析：由题意有A＝3，T＝＝15，∴ω＝.
答案：　3
5.右图是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有________．
①该座舱的运动周期是π；
②该座舱的振幅是2；
③该座舱在 s时达到最高点；
④该座舱在 s时离地面最近．
解析：＝－＝，∴T＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在 s时在中间位置，③错误；显然④正确．
答案：①④
二、解答题
6．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系是s＝6sin.
求：(1)单摆开始摆动(t＝0)时离开平衡位置的位移；
(2)单摆离开平衡位置的最大位移；
(3)单摆来回摆动一次所需要的时间．
解：(1)当t＝0 s时，s＝6sin＝3(cm)．
(2)当t＝ s时，s＝6sin(＋)＝6sin＝6(cm)．
此时离开平衡位置的位移最大．
(3)单摆来回摆动一次所需要的时间就是一个周期．
∴T＝＝2 (s)．
7．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)假若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解：(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30℃，当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10℃，所以，最大温差为30℃－10℃＝20℃.
(2)令10sin(x－)＋20＝15，
可得sin(x－)＝－，而x∈[4,16]，
所以x＝.
令10sin(x－)＋20＝25，
可得sin(x－)＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌的存活时间为：－＝小时．
8．弹簧挂着的小球作上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h (cm)由下列函数关系决定：h＝3sin(2t＋)．
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出函数的图象(0≤t≤π)；
(2)求小球开始振动的位置；
(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的位置；
(4)经过多少时间，小球往返振动一次？
(5)每秒钟内小球能往返振动多少次？
解：(1)如图所示：
(2)t＝0，得h＝ cm；
(3)结合图象得最高点和最低点分别是
(，3)，(，－3)；
(4)周期T＝π≈3.14，即每经过3.14 s小球往返振动一次；
(5)≈≈0.318，即每秒钟小球往返振动0.318次．
课件20张PPT。第1章
三角函数章末小结
知
识
整
合
与
阶
段
检
测核心要点归纳阶段质量检测 一、任意角和弧度制
1．任意角
(1)角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示为角α与整数个周角的和． 第一象限角的集合：{α|k·360°<α 第二象限角的集合：{α|k·360°＋90°<α 第三象限角的集合：{α|k·360°＋180°<α 第四象限角的集合：{α|k·360°＋270°<α 终边落在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}；
终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．2．三角函数在各象限的符号(如图) 3．角α的正弦线、余弦线、正线线
设角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(如图)，则图中的有向线段MP，OM，AT的数量分别等于角α的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(3)图象变换如下：点击下图进入
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角．
答案：三
2．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan α的值为________．
解析：tan α＝＝－2.
答案：－2
3．(2011·山东高考改编)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为________．
解析：由3a＝9得，a＝2.
所以tan＝tan＝.
答案：
4．tan 300°＋的值是________．
解析：tan 300°＋
＝tan(360°－60°)＋
＝tan(－60°)＋
＝－tan 60°＋1＝1－.
答案：1－
5．若α是第三象限角，且tan α＝，则cos α的值为________．
解析：∵tan α＝，∴＝，
即sin α＝cos α.
又∵cos2α＋sin2α＝1，
∴(cos α)2＋cos2α＝1
∴cos2α＝1，即cos2α＝.
又∵α为第三象限角，∴cos α<0.
∴cos α＝－.
答案：－
6．已知sin＝，则cos的值等于________．
解析：由已知得cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]
＝－sin(α＋)＝－.
答案：－
7．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈，则θ＝________.
解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝
∴＝即＝，又tan θ＞0，
∴tan θ＝1，又θ∈(0，)．∴θ＝.
答案：
8．函数y＝tan的递增区间是________．
解析：令kπ－<＋得2kπ－答案：(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
9．(2012·新课标全国卷改编)已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.
解析：由题意得周期T＝2(π－π)＝2π，
∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，
∴f()＝sin(＋φ)＝±1，f()＝sin(＋φ)＝±1.
∵0<φ<π，∴<φ＋<π，
∴φ＋＝，∴φ＝.
答案：
10．函数y＝cos2x－sin x的最大值是________．
解析：∵y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x
＝－(sin x＋)2＋，
又∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－时，ymax＝.
答案：
11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f()＝________.
解析：由图象可知A＝2，T＝π，
从而可知T＝＝，ω＝3，
得f(x)＝2sin(3x＋φ)，
又由f()＝0可取φ＝－，
于是f(x)＝2sin(3x－)，
则f()＝2sin(－)＝0.
答案：0
12．sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________．
解析：sin 2>0，cos 1>0， tan 2<0.
∵cos 1＝sin(－1)，sin 2＝sin(π－2)，
又0<－1<π－2<且y＝sin x在(0，)上是增函数，从而sin(－1)即cos 1∴tan 2答案：tan 213．在函数①y＝sin |x|，②y＝|sin x|，③y＝sin，④y＝cos中，最小正周期为π的函数为________．
解析：y＝sin |x|不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π.
答案：②③④
14．将函数y＝cos(x－)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的对称轴为________．
解析：y＝cos(x－)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y1＝cos(x－)的图象，再向左平移个单位，得函数y2＝cos[(x＋)－]＝cos(x－)的图象．由－＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋(k∈Z)即为所求的全部对称轴．
答案：x＝2kπ＋(k∈Z)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P，设以OP为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．
解：∵P在单位圆上，∴y2＋＝1.
∴y＝±.
当y＝时，sin α＝，cos α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，cos α＝－.
16．(本小题满分14分)已知f(x)＝asin(3π－x)＋btan(π＋x)＋1(a、b为非零常数)．
(1)若f(4)＝10，求f(－4)的值；
(2)若f＝7，求f的值．
解：∵f(x)＝asin(2π＋π－x)＋btan(x＋π)＋1
＝asin x＋btan x＋1，
∴f(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＋1
＝－asin x－btan x＋1，
∴f(x)＋f(－x)＝2.
(1)∵f(4)＝10， f(4)＋f(－4)＝2，
∴f(－4)＝2－f(4)＝2－10＝－8.
(2)∵f()＝7，f()＋f(－)＝2，
∴f(－)＝2－f()＝2－7＝－5.
∴f()＝f(20π－)
＝asin(20π－)＋btan(20π－)＋1
＝asin(－)＋btan(－)＋1
＝f(－)＝－5.
17．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)．
(1)求的值；
(2)求sin2α＋2sin αcos α－cos2α＋2的值．
解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．
∴sin α＝－2cos α.
∵cos α≠0，∴tan α＝－2.
(1)原式＝＝＝＝＝－.
(2)原式＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝a＋bsin的图象过点(0,1)，当x∈时，f(x)的最大值为2－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
解：(1)由f(0)＝1，∴a＋bsin＝1
即a＋b＝1. ①
又x＋∈[，π]，
∴x＋＝时，f(x)有最大值．
∴a＋b＝2－1. ②
由①②知a＝－1，b＝2，
f(x)＝2sin(x＋)－1.
(2)可以，因为将图象沿x轴右移个单位再向上平移一个单位得函数f(x)＝2sin x的图象．
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．
解：(1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上，得2sin(＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1.
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
故φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈(0，)，
所以φ＝.
所以f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．
所以当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调减区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解：(1)因为x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴，
所以sin(2×＋φ)＝±1，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin(2x－)，
由题意得2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
故kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝sin(2x－)的单调减区间为
[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(3)由y＝sin(2x－)知：
x
0




π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图所示．
课件37张PPT。2.1
向量
的概念及表示理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二第2章
平面向量 1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．
2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图乙)． 3．起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起．
问题1：上述实例中的“位移”、“速度”、“力”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？
提示：“位移”、“速度”、“力”既有大小，又有方向；长度、面积、重量只有大小，没有方向．
问题2：如何表示上述既有大小又有方向的量？
提示：用有向线段表示．向量的基本概念大小方向大小方向长度0011相同相反相同相等相等相反相等相同或相反相同相反相等 1．对向量的理解
向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性且不能比较大小． 3．共线向量的理解
(1)平行(共线)的概念不是平面几何中平行概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关．
(2)平行向量就是共线向量，任何一组平行向量都可移到同一条直线上．[答案]　(3)
[一点通]　理解向量的有关概念时，注意加以辨析：
向量共线(平行)即表示共线(平行)向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以是平行的；而有向线段共线，即在同一直线上，有向线段平行，即所在直线是平行的． 1．下列物理量中不是向量的有________(填序号)．
①质量　②速度　③位移　④力　⑤加速度　⑥路程　⑦密度　⑧功
解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．
答案：①⑥⑦⑧答案：③3．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向
相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a与b共线的是________．(填所有正确的序号)
解析：根据相等向量一定是共线向量知①正确；
|a|＝|b|但方向可以任意，
∴②不成立；
a与b反向必平行或重合，
∴③成立；
由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，得④成立；
两单位向量的模相等但方向不定，∴⑤不成立．
答案：①③④ [例2]　如图所示，A1，A2，…，A8是
⊙O上的八个等分点，则在A1，A2，…，A8
及圆心O九个点中以任意两点为起点与终点
的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？ [一点通]　(1)准确画出向量的方法：
①确定向量的起点；②确定向量的方向；③根据向量的长度确定向量的终点．
(2)向量的表示方法：①向量的几何表示在研究向量运算时，为应用向量处理几何问题打下了基础；②字母表示便于向量的运算． [一点通]　向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时才称为相等的向量．即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同．还要注意到零向量与零向量是相等向量． 答案：菱形 1．解决共线向量问题应注意以下几点
(1)规定零向量与任意向量平行，由于零向量的方向不确定，因而在解题时，要特别注意向量为零的情况．
(2)两个非零向量共线或平行有以下四种情况：两个向量方向相同且模相等；两个向量方向相反且模相等；两个向量方向相同模不相等；两个向量方向相反且模不相等．通过以上的分析得出共线向量与相等向量是两个不同的概念，其区别在于相等向量的模和方向均相同，而共线向量的模的大小关系不确定，方向相同还是相反也不确定． (3)平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关．
2．向量平行与直线平行的区别
(1)直线的平行具有传递性，即a∥b，b∥c?a∥c.
(2)向量的平行不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，因为若b＝0，它与任意向量共线，故a，c两向量不一定共线．点击下图进入
一、填空题
1．关于零向量，下列说法中正确的是________．
①零向量是没有方向的　②零向量的长度是0　③零向量与任一向量平行　④零向量的方向是任意的
解析：零向量的方向是任意的，故①错误．
答案：②③④
2．下列4种说法，其中正确的个数是________．
①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共4个点在同一条直线上；②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点；③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的；④四边形ABCD是平行四边形能得出与，与分别共线的结论．
解析：只有④正确．
答案：1
3．若||≠||，且∥，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由题意知四边形ABCD的一组对边BA∥CD，
BA≠CD，故四边形为梯形．
答案：梯形
4.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，若||＝2，则||＝________________，
||＝________.
解析：由DF＝BE＝BC知||＝1，||＝1.
答案：1　1
5．在矩形ABCD中，AB＝2AD，M、N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为________对．
解析：如下图所示，由已知可得＝＝＝，＝＝，＝，＝，＝，有12对相等的向量；改变其方向，又有12对相等的向量．
答案：24
二、解答题
6.如图，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．
(1)图中与向量相等的向量有哪些？
(2)图中与向量共线的向量有哪些？
解：(1)与向量相等的向量有，；
(2)与向量AB―→共线的向量有，，.
7.右图是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格顶点处的向量中，试问：与向量相等的向量共有几个？与向量相反的向量共有几个？与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？
解：与向量相等的向量共有5个(不包括AB―→自身)；
与向量相反的向量共有6个；
与向量平行且模为的向量共有24个；
与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
8.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中．
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与平行的向量有：，，；
(2)与的模相等的向量有：，，， ，，，，，.
课件36张PPT。第2章
平面向量2.2
向量的线性运算理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二2.2.1
向
量
的
加
法两个向量和提示：a＋b＝b＋a.提示：a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.向量加法的交换律和结合律
(1)交换律：a＋b＝ ；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝ ；
(3)a＋0＝0＋a＝ ；
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝ .a＋(b＋c)b＋a0a答案：①②④[研一题] [一点通]　解决此类问题应注意以下两点：
(1)要注意向量加法的三角形法则及平行四边形法则的应用条件；
(2)要注意方向相同且长度相等的有向线段所表示的向量是相等向量． [一点通]　利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立向量与未知量的关系，然后求解并作出实际回答，解决时要注意作图的准确性．7．在日本“3·11”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏
东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
向量加法法则的应用
对于向量求和的三角形法则与平行四边形法则，要注意它们的应用条件．当两个向量不共线时，它们是一致的．但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义． 用三角形法则求两个向量和的步骤是：
第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；
第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和．点击下图进入
一、填空题
1．化简：＋＋＋＝________.
解析：＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
2．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是________(填序号)．
①＝，＝　②＋＝
③＋＝＋　④＋＋＝
解析：∵＋＝，＋＝，∴＋＝＋，③正确．
答案：③
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________．
①a∥b　②a＋b＝a　③a＋b＝b　④|a＋b|<|a|＋|b|　⑤|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：∵a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，
∴①③⑤正确．
答案：①③⑤
4．在边长为1的正三角形ABC中，若向量＝a，＝b，则|a＋b|＝________.
解析：如图，设AC的中点为D，由平行四边形法则知
|a＋b|＝||＝2||＝.
答案：
5．下列命题中正确命题的个数为________．
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
②△ABC中，必有＋＋＝0
③若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
解析：①假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②真命题；
③假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0；④假命题，只有当a与b同向时才相等．
答案：1
二、解答题
6．已知A、B、C是不共线的三点，G是△ABC内的一点，若＋＋＝0，求证：G是△ABC的重心．
证明：如图所示，
∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)，
以、为邻边作平行四边形BGCD，
则有＝＋，
∴＝－.
又因为在?BGCD中，BC交GD于点E，
∴＝，＝.
∴AE是△ABC的边BC的中线，且||＝2||.
∴G是△ABC的重心．
7．已知||＝||＝，且∠AOB＝120°，求|＋|的值．
解：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝＋.
因为||＝||＝，且∠AOB＝120°，
所以△OAC是正三角形．
所以|＋|＝||＝||＝.
8．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．
解：如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向的速度，表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，||＝5(km/h)．
因为四边形OACB为矩形，
所以||＝＝||×＝5≈8.7(km)，
||＝＝＝10(km)．
所以船的实际速度大小为10 km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.
课件31张PPT。第2章
平面向量2.2
向量的线性运算理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.2.2
向
量
的
减
法 问题1：我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，想一想，向量减法是否也有类似法则？ 问题2：已知向量a和b，如何作出a－b? 提示：有，向量a减去b相当于加上b的相反向量－b. 问题3：向量的减法是否也满足三角形法则和平行四边形法则？ 1．向量减法的定义
若 ，则向量x叫做a与b的差，记为 ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．b＋x＝aa－bb a 答案：①④
答案： ④答案：②③④[思路点拨]　可先作a－b，再与c求和． [一点通]　(1)作两个向量的差向量，起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点，即“统一起点，连结终点，指向被减”．
(2)对比两个向量的求和运算，掌握向量减法的运算法则．向量减法是加法的逆运算．作图一般要通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．4．保持例题条件不变，求作向量a＋b＋c，并求它的模．答案：a－b＋c 2．运用向量减法法则运算的常用方法
(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算；
(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点；
(3)引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一．3．用几个基本向量表示某个(些)向量的技巧
(1)首先，观察待表示向量的位置；
(2)其次，寻找(或作)相应的平行四边形和三角形；
(3)再次，运用法则找关系；
(4)最后，化简结果．点击下图进入
一、填空题
1. 如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：＝＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
2．化简下列向量式，结果为0的个数是________．
①－＋；②＋＋－；③－－；④＋－
解析：①－＋＝0
②＋＋－＝＋＝0
③－(＋)＝0
④＋－＝0.
答案：4
3．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．
解析：由于＝－，则有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13.
答案：[3,13]
4．下列命题中，正确的个数是________．
①在平行四边形中，＋－＝＋；
②a＋b＝a?b＝0；
③a－b＝b－a；
④－＋－的模为0.
解析：由向量的加法与减法法则知①④正确．由a＋b＝a?a＋b－a＝0?(a－a)＋b＝0?b＝0知，②正确．由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．
答案：3
5．向量a，b皆为非零向量，下列说法中不正确的是_______________________________
(填序号)．
①向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
②向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
③向量a与b反向，则向量a－b与a的方向相同
④向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同．
解析：∵a与b反向且|a|<|b|，
∴a＋b与b方向相同，与a方向相反．∴②不正确．
答案：②
二、解答题
6．任意画出两个向量a，b，a与b所在有向线段互相垂直，长分别是1,2.作出a＋b，a＋a＋b，a＋b＋b，并求|a＋b|，|a＋a＋b|，|a＋b＋b|的值．
解：先作出向量＝a，＝b，使a与b所在直线互相垂直，即OA⊥OB.
以，为邻边作平行四边形OBEA，
则＝a＋b.
作＝，
则＝a＋a.
以，为邻边作平行四边形OBFC，
则＝a＋a＋b.
作＝＝b，则＝b＋b.
以，为邻边作平行四边形ODGA，
则＝a＋b＋b.
因为OA⊥OB，所以OC⊥OB，OA⊥OD.
所以四边形OBEA，OBFC，ODGA均为矩形．
又已知||＝|a|＝1，||＝|b|＝2，
所以||＝2，||＝4.
所以|a＋b|＝||＝
＝＝，
|a＋a＋b|＝||＝＝2，
|a＋b＋b|＝||＝＝.
7．化简：(1)( －)－(－)；
(2)( ＋＋)－(－－)．
解：(1)( －)－(－)＝－＝.
(2)( ＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋
＝＋＋
＝＋＝0.
8.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1) ；(2) ；(3)＋＋.
解：(1) ＝－＝c－a.
(2) ＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3) ＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
课件35张PPT。第2章
平面向量2.2
向量的线性运算理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.2.3
向
量
的
数
乘
知识点一知识点二 问题3：－a＋(－a)等于－2a吗？其方向与a的方向有何关系？
提示：等于，方向相反．问题1：我们知道x＋x＝2x，那么a＋a是否等于2a?
提示：是．
问题2：2a方向与a方向是否相同？并给以说明．提示：方向相同，如图． 1．向量的数乘
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 .
它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λ>0时，λa与a方向 ；当λ<0时，λa与a方向 ；当a＝0时，λa＝ ；当λ＝0时，λa＝ .λa相同相反002．向量数乘的运算律
设a、b为任意向量，λ、μ为实数，则：
(1)λ(μa)＝ ；
(2)(λ＋μ)a＝ ；
(3)λ(a＋b)＝ .(λμ)aλa＋μaλa＋λb 问题1：我们知道，向量a、2a和－3a是共线向量，向量a和λa(λ∈R)是共线向量吗？
提示：共线．
问题2：若b＝2a(a≠0)，b与a共线吗？
提示：共线．
问题3：若向量a和向量b共线，且|b|＝2|a|，试想两向量有何等式关系？
提示：若a、b同向，则b＝2a，若a、b反向，则b＝－2a. 向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝ (a≠0)，那么b和a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝ .λaλa 1．关于实数与向量的积λa的理解
λa是一个向量，不是一个实数，我们可以把向量a的长度扩大(当|λ|>1时)，也可以缩小(当|λ|<1时)，同时，我们可以不改变a的方向(当λ>0时)，也可以改变a的方向(当λ<0时)．
2．向量共线定理
定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa. [一点通]　向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解． [一点通]　利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a＝λb”， 通过向量关系得到“三点共线”的结论．解析：对于②，b＝－2a；对于③，a＝4b，此时a与b共线．
答案：②③答案：等腰梯形
[一点通]　利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决． 1．向量数乘的基本运算应注意的问题
(1)实数与向量的积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算；
(2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的
运算；
(3)含向量的方程，一定要弄清未知量是实数还是向量． 2．向量共线定理的应用
向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行．证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线．证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满足某线性关系即可．这一切都建立在向量共线定理的基础之上．因此向量共线定理是解此类问题的根本．点击下图进入
一、填空题
1．若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则a＝________b.
解析：∵|a|＝3，|b|＝2，∴|a|＝|b|.
又∵b与a反向，∴a＝－b.
答案：－
2.[(2a＋8b)－(4a－2b)]＝________.
解析：[(2a＋8b)－(4a－2b)]＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝－a＋2b.
答案：－a＋2b
3．设a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则实数λ的值等于________．
解析：∵a＋λb与－(b－2a)共线，
∴存在实数k，使a＋λb＝k[－(b－2a)]成立，
即a＋λb＝－kb＋2ka.
∴(k＋λ)b＝(2k－1)a.
又∵a与b不共线，
∴∴
答案：－
4．已知梯形ABCD中，∥，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点为E，F，则向量＝________.
解析：∵在四边形ABCD中延长EF交AD于点M，则M为AD的中点，
∴ME为△ACD的中位线，
MF为△DAB的中位线，
故＝－＝－＝(＋)＝[(a－2c)＋(5a＋6b－8c)]＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝________.
解析：＝＋，又＋＝a， －＝b，
∴＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
二、解答题
6．已知|e|＝2，试求a、b的模，并指出a、b的线性关系．
(1)a＝3e，b＝4e；
(2)a＝2e，b＝－e.
解：(1)|a|＝3|e|＝6，|b|＝4|e|＝8.
∵e＝a，b＝4e，
∴b＝a.
(2)|a|＝2|e|＝4，|b|＝|e|＝1，∵e＝a，
∴b＝－a.
7．已知任意两非零向量a，b，且＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.证明：A，B，C三点共线．
证明：∵＝－＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，
又＝－＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，
∴＝2，又与有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
8.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上一点，且＝＝，若＝a，＝b，试用a、b表示.
解：法一：分别取AE、BF的中点G、H，
则有＋＝＋＝0，
又＝＋＋，且＝＋＋，
两式相加，得＝(b＋)，
即＝2－b，
同理＝(＋a)．
所以2－b＝(＋a)，
解得＝a＋b.
法二：＝＋＋， ①
＝＋＋. ②
由＝＝，知＝－2；＝－2.
②×2，得2＝2＋2＋2， ③
①＋③，得3＝＋2＝a＋2b，
∴＝a＋b.
课件33张PPT。应用创新演练第2章
平面向量2.3
向量的坐标表示理解教材新知把握热点考向考点一考点二考点三2.3.1
平
面
向
量
基
本
定
理 问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
提示：可以．
问题2：如图，以a为平行四边形一
条对角线作平行四边形，四边形确定吗？
提示：不确定． 问题3：如图，已知向量e1、e2、a，仍以a为平行四边形一条对角线且平行四边形相邻边所在直线平行于e1和e2，这样的平行四边形唯一吗？你能作出来吗？问题4：根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a? 1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内两个 的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
2．基底
的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线不共线λ1e1＋λ2e2 3．正交分解
一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的 ．当e1、e2互相 时，就称为向量的正交分解．分解垂直 (1)定理中，要求作为基底的两个向量e1，e2不共线，即作为基底的向量一定是非零向量．因此，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．
(2)平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的． [例1]　若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
[思路点拨]　要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
[精解详析]　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底． [一点通]　基底具备两个主要特征：
(1)基底是两个不共线向量；
(2)基底的选择是不唯一的．答案：②⑤2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实
数，则下列说法正确的有________．
①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．答案：①③ [一点通]　(1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．
(2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后再寻找所求向量与基底的关系． [一点通]　利用平面向量基本定理和共线向量定理，引入参数解决问题是常考的热点题型，要注意合理地选择基底及构造向量共线，从而结合方程思想解决问题． 7．已知向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，且a＝e1
＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，试求λ，μ的值． 1．理解平面向量基本定理应注意以下几点
(1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；
(2)基底的选取不唯一；
(3)该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的．即：若a可用基底e1、e2分别表示为a＝λ1e1＋μ1e2，a＝λ2e1＋μ2e2，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. 2．应用平面向量基本定理解题的一般步骤
(1)选定基底；
(2)进行向量间的运算；
(3)结合有关向量定理、推论对(2)中结果进行分析、对比，从而得出问题的结论．点击下图进入
一、填空题
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．
解析：如图所示，与为不共线向量，可以作为基底．与为不共线向量，可以作为基底．与，与均为共线向量，不能作为基底．
答案：①③
2．已知向量a和b不共线，实数x，y满足向量等式(2x－y)a＋4b＝5a＋(x－2y)b，则x＋y的值等于________．
解析：由平面向量基本定理得解得
∴x＋y＝1.
答案：1
3．已知?ABCD中，＝，若＝a，＝b，则＝________.
解析：如图所示，
＝＋＝＋＝b－＝b－a.
答案：b－a
4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析：由已知a≠mb?e1＋2e2≠2me1＋mλe2，
∴2m≠1，mλ≠2，∴λ≠即λ≠4.
答案：{x|λ∈R且λ≠4}
5．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝________.
解析：如图，＝＋，
＝＋.
∵＝2，∴3＝＋2，
∴＝＋.
∴m＝，n＝，∴＝.
答案：
二、解答题
6．△ABC中，＝，EF∥BC，交AC于点F.设＝a，＝b，试用a，b表示.
解：依题意作图，如右图．
因为＝，EF∥BC，
所以＝.
所以＝＋＝＋＝－＋(－)＝－＋＝－a＋b.
7．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2为基底，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
由得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
8.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，F使BF＝BC，以a，b为基底分解向量与.
解：由H，M，F所在位置有：
＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝＋－＝＋－＝a－b.
课件34张PPT。应用创新演练第2章
平面向量2.3
向量的坐标表示理解教材新知把握热点考向考点一考点二考点三2.3.2
第
一
课
时
平面向量的坐标表示及运算知识点二知识点一 问题1：在平面向量基本定理中，若e1⊥e2，定理还适
用吗？
提示：适用．
问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理，我们知道a表示为xi＋yj，试想数对(x，y)唯一吗？能理解为点坐标吗？
提示：唯一，能．
问题3：已知一点A的坐标(x，y)，则向量 确定吗？ 提示：唯一确定，即 ＝xi＋yj. 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝ .我们把有序实数对 称为向量a的(直角)坐标，记作a＝ .相同(x，y)xi＋yj(x，y)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
问题1：试用单位向量i和j表示a和b.
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
问题2：试求a＋b.
提示：a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j.
问题3：向量a＋b的坐标是什么？
提示：(x1＋x2，y1＋y2) 平面向量的坐标运算
　　(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
　　①a＋b＝ ；
　　②a－b＝ ；
　　③λa＝ ．
　　(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ － ＝
．
这就是说，一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标．(x2－x1，y2－y1)终点起点(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1) (1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量 ＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．
(2)符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
(3)平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等． [一点通]　求任意一个向量的坐标，需要求出这个向量在x轴，y轴上的坐标，即将向量沿x轴，y轴作正交分解，在求解相应点的坐标时，可能会用到三角函数的定义． [一点通]　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，条件中如果知道的是起始点的坐标，那么向量的坐标就等于终点的坐标减去起点的坐标．3．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b－a的坐标为
________．
解析：2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)．
答案：(－3，－4)5．平面内给定三个向量a＝(1,3)，b＝(2，－1)，c＝(2,4)，
求满足a＝mb＋nc的实数m，n. [一点通]　对于探究存在性问题的求解策略：一般先假设存在满足题意的参数，然后根据条件建立方程或方程组，若方程或方程组有解，说明这样的参数存在，若方程或方程组无解，说明不存在．6．已知a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)且c＝xa＋yb，
则x＝________，y＝________.答案：1　－2
7．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(
－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．答案：{(1,1)}点击下图进入
一、填空题
1．已知平面向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，则向量a－b＝________.
解析：a－b＝(2,1)－(1，－2)
＝(1，)－(，－3)
＝(1－，＋3)＝(－，)．
答案：(－，)
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x，y)，
∴(x，y)－(3，－2)＝[(－5，－1)－(3，－2)]
即(x，y)＝(3，－2)＋(－4，)，
∴(x，y)＝(－1，－)．
答案：(－1，－)
3．已知平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(5,0)，D(2,4)，对角线AC、BD相交于点M，则的坐标是________．
解析：＝＝[(5,0)－(2,4)]＝ (3，－4)
＝(，－2)．
答案：(，－2)
4．已知O是坐标原点，A(2，－1)，B(－4,8)，且＋3＝0，则的坐标为________．
解析：＝(－4,8)－(2，－1)＝(－6,9)．
设C(x，y)，则＝(x＋4，y－8)．
∴(－6,9)＋3(x＋4，y－8)＝(0,0)，
即(3x＋6,3y－15)＝(0,0)．
∴则
答案：(－2,5)
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)， c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d＝________.
解析：四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＝－d，
又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＝6a＋4b－4c＝(2,6)，
所以d＝(－2，－6)．
答案：(－2，－6)
二、解答题
6．已知三点A (2，－1)、B(3,4)、C(－2,0)，求：
(1)3＋；(2) －2.
解：＝(3－2,4＋1)＝(1,5)，
＝(－2－3，－4)＝(－5，－4)．
＝(2＋2，－1－0)＝(4，－1)．
(1)3＋＝3(1,5)＋(4，－1)＝.
(2) －2＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．
7．如图，已知A(－1,2)，B(3,4)，连结A，B并延长至P，使AP＝3BP，求P点的坐标．
解：设P点坐标为(x，y)，
则＝(x＋1，y－2)，＝(x－3，y－4)．
由、同向共线，得＝3，
即(x＋1，y－2)＝3(x－3，y－4)．
∴解得
∴点P的坐标为(5,5)．
8．已知△ABC的顶点A(2,4)， B(－2，－2)，C(4,2)，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，且DE交AF于G点，求的坐标．
解：∵A(2,4)，B(－2，－2)，C(4,2)，
∴＝(4＋2,2＋2)＝(6,4)，
∴＝(2－4,4－2)＝(－2,2)．
又∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴＝，＝，
∴＝＝(＋)
＝(＋)＝＋
＝(6,4)＋(－2,2)＝(，2)．
课件31张PPT。应用创新演练第2章
平面向量2.3
向量的坐标表示理解教材新知把握热点考向考点一考点二考点三2.3.2
第
二
课
时
向量平行的坐标表示 问题：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，试想若a∥b，它们的坐标有何关系？ 向量平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么 ；反过来，如果 ，那么a∥b.x1y2－x2y1＝0x1y2－x2y1＝0 [一点通]　判定用坐标表示的两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是否平行，即判断x1y2－x2y1＝0是否成立，若成立，则平行；否则，不平行．1．已知a＝(－1,3)，c＝(x，－1)，且a∥c，则x＝________.2．已知平面向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋
kc)∥(b－2a)，求实数k.
解：∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，b－2a＝(－7，－2)，
(a＋kc)∥(b－2a)，
∴－2×(3＋4k)－(－7)(2＋k)＝0，∴k＝8. [一点通]　证明三点共线方法很多，可利用两条较短的线段之和等于第三条线段的长度，以及利用斜率或直线方程．4．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x＝_______.答案：3 [例3]　如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标． [一点通]　求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．答案：(5,18)7．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点
B在坐标轴上，则点B的坐标为____________．8. 已知等腰梯形ABCD，如图所示，其中
AB∥CD，且DC＝ 2AB，三个顶点A(1,2)，
B(2，1)，C(4,2)，求D点的坐标．
1．与坐标轴平行的向量的特点
与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
2．判断两个平行向量是同向还是反向的方法
(1)若b＝λa(a≠0)，则当λ>0时，同向；当λ<0时，反向．
(2)当两个向量的对应坐标同号时，同向；当两个向量的对应坐标异号时，反向． 3．向量平行的应用
用坐标表示向量共线的条件，可以解决有关平行的问题，应用比较广泛，利用该条件除判定平行、证明三点共线外，还可以由三点共线设出坐标；在解析几何中，可利用该条件求与已知向量平行的直线．点击下图进入
一、填空题
1．若向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①a与b共线且方向相同　②a与b共线且方向相反　③a与b是相反向量　④a与b不共线
解析：∵a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，∴a＝－b.
又∵－<0，∴a与b共线且方向相反．
答案：②
2．已知点A、B的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值是________．
解析：∵A(2，－2)，B(4,3)，∴＝(2,5)．
又p∥，∴2×7－5(2k－1)＝0.
∴k＝.
答案：
3．(2011·北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.
解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c，
得×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
解析：＝(a－2，－2)，＝(－a，b)．
∵A、B、C三点共线，
∴2a＝b(a－2)，即2a＋2b＝ab.
∴＋＝1，即＋＝.
答案：
5．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(－1,1)可能平行的向量是________．
①(k，k)　②(－k，－k)　③(k2＋1， k2＋1)
④(k2－1，k2－1)
解析：当k＝0时，(k，k)与(－k，－k)均为零向量，
故与a＝(－1,1)平行；
当k＝±1时，k2－1＝0，(k2－1，k2－1)为零向量，
与a＝(－1,1)平行．
由(－1)×(k2＋1)－(k2＋1)＝－2k2－2，
当k∈R时，－2k2－2≠0恒成立．
所以(k2＋1，k2＋1)不与(－1,1)平行，故填①②④.
答案：①②④
二、解答题
6．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得m＝，n＝.
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，
2b－a＝(－5,2)，∴＝.∴k＝－.
7．a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴－4(k－3)－10(2k＋2)＝0.
解得k＝－.
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，
∴ka＋b与a－3b反向．
8．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，是否存在实数x，m，使(ma－b)∥(a＋b)？若存在，求实数x，m的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数x，m满足题意．
因为ma－b＝(mx＋3,3m－x)，a＋b＝(x－3,3＋x)，
所以由(ma－b)∥(a＋b)，
得(mx＋3)(x＋3)－(3m－x)(x－3)＝0，
化简得(m＋1)·(x2＋9)＝0，∴m＝－1，x∈R.
即存在m＝－1，x∈R，使(ma－b)∥(a＋b)．
课件35张PPT。应用创新演练第2章
平面向量2.4
向量的数量积理解教材新知把握热点考向考点一考点二考点三第
一
课
时
向量数量积的概念及运算律知识点一知识点二知识点三 问题：一个物体在力F的作用下位移为s，则力F所做功W＝|F||s|cos θ，θ为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？
提示：不是． 1．数量积的定义
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量
叫做a与b的 (或 )，记作 ，即a·b＝ .
2．规定
零向量与任一向量的数量积为 .数量积内积0a·b|a||b|·cos θ|a||b|cos θ 如图，△ABC为等边三角形．
问题1：向量 与向量 的
夹角的大小是多少？
提示：60°.
问题2：向量 与向量 的夹角的大小是多少？
提示：120°.[0，π]同向反向垂直a⊥b　　已知向量a和b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
　　问题1：若θ＝90°，求a·b；若a·b＝0，求θ.
　　提示：若θ＝90°，则a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0；
　　若a·b＝0，则|a|·|b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.
　　又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.
　 问题2：若θ＝0°，求a·b；若θ＝180°，求a·b.
　提示：若θ＝0°，则a·b＝|a|·|b|cos 0°＝|a|·|b|；
若θ＝180°，则a·b＝|a|·|b|cos 180°＝－|a|·|b|.|a||b||a||b|(λb)λ(a·b)λa·ba·c＋b·c (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．
(2)向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数． (3)数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等． [例1]　已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
[思路点拨]　根据向量数量积的性质及运算律，用|a|、|b|以及a·b表示(a＋2b)·(a－3b)即可求解．
[精解详析]　(a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－3a·b＋2b·a－6b2
＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝62－6×4×cos 60°－6×42
＝36－12－96＝－72. [一点通]　求平面向量的数量积时，常用到以下结论：
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c. 1．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)＝
________.答案：－16
[一点通]　关系式a2＝|a|2可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方．4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝
________.6．已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.7．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹
角为________．8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与向量b的
夹角θ为________．答案：120°9．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，
b＝e2－2e1的夹角．2．求向量夹角的一般步骤
(1)求两向量的模；
(2)计算两向量的数量积；
(3)计算夹角的余弦值；
(4)结合夹角的范围[0，π]确定所求的夹角．点击下图进入
一、填空题
1．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos 30°＝2××＝3.
答案：3
2．已知△ABC是等腰直角三角形，C＝90°，AB＝2，则·等于________．
解析：由题意知||＝2×＝2.
∴·＝||·||cos 135°＝2×2×(－)＝－4.
答案：－4
3．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，
所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.
答案：－6
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角θ为________．
解析：∵(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
又|a|＝|b|≠0.
∴cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
5．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝________.
解析：依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×(－)＝3，则|a＋2b|＝.
答案：
二、解答题
6．已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°；(4)a与b的夹角为150°时．分别求a与b的数量积．
解：令a与b的夹角为θ.
(1)因为a∥b，则当a与b同向时，θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝20；
当a与b反向时，θ＝180°，
a·b＝|a||b|cos 180°＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当θ＝60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝4×5×＝10.
7．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角为θ；
(2)求|a＋b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝，|a|＝1，
∴b2＝a2－＝1－＝，∴|b|＝.
∴cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，
∴θ＝.
故a与b的夹角为.
(2)|a＋b|＝＝＝.
8．已知|a|＝5，|b|＝12，当且仅当m为何值时，向量a＋mb与a－mb互相垂直？
解：若向量a＋mb与a－mb互相垂直，
则有(a＋mb)·(a－mb)＝0.
∴a2－m2b2＝0.∵|a|＝5，|b|＝12，
∴a2＝25，b2＝144.∴25－144m2＝0.∴m＝±.
∴当且仅当m＝±时，
向量a＋mb与a－mb互相垂直．
课件30张PPT。知识点二应用创新演练第2章
平面向量2.4
向量的数量积理解教材新知把握热点考向考点一考点二考点三第
二
课
时
平面向量数量积的坐标表示知识点一 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
问题1：你认为a·b＝(x1x2，y1y2)对吗？为什么？
提示：不对．因为两个向量的数量积a·b是一个实数，而不是一个向量．
问题2：如何用坐标表示a·b呢？
提示：a·b＝x1x2＋y1y2.平面向量数量积的坐标表示
若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .x1x2＋y1y2提示：能．
问题2：你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？
提示：能．x1x2＋y1y2＝0a⊥b (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，该公式可简记为：“对应相乘来求和．”
(2)两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x1x2＋y1y2＝0是判定两个非零向量垂直的非常好用的条件． [例1]　(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．
(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．
[思路点拨]　直接利用平面向量数量积的坐标表示求解即可．
[精解详析]　(1)a·b＝(－1,2)·(3,2)
＝(－1)×3＋2×2＝1，
a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]
＝(－1,2)·(－4,0)＝4.
(2)∵a·b＝(2，－3)·(x,2x)＝2x－6x＝4，
∴x＝－1. [一点通]　进行平面向量数量积的运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，则(3a＋2b)·(2a＋5b)的值为
________．
解析：∵a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，
∴3a＋2b＝(3,9)＋(－4，－2)＝(－1,7)，
2a＋5b＝(2,6)＋(－10，－5)＝(－8,1)，
∴(3a＋2b)·(2a＋5b)＝(－1,7)·(－8,1)＝8＋7＝15.
答案：152．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.3．已知a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a 与b的夹角为________．4．已知a＝(－2,2)，b＝(1，y)，若a与b的夹角α为钝角，求
y的取值范围．
解：由a·b<0得－2×1＋2y<0，
∴y<1，又设a＝λb，λ<0，则(－2,2)＝λ(1，y)＝(λ，λy)，
∴λ＝－2且λy＝2，∴y＝－1，
∴y∈(－∞，－1)∪(－1,1). [一点通]
(1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法．
(2)已知向量垂直求参数问题，即由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可．5．已知a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与－b垂直，
则λ的值为________．6．(2012·安徽高考)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，
m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________. 1．两向量平行、垂直的坐标表示的区别
(1)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a与b垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0；向量a与b平行?存在λ∈R，使b＝λa?x1y2－x2y1＝0.
(2)向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反． 2．向量的坐标运算的应用
利用向量的坐标运算有助于解决平面几何中的长度问题、角度大小以及直线的平行与垂直等位置关系的判断．其求解过程就是首先将平面图形放置到坐标系中，正确地写出有关点的坐标，然后利用向量的模长公式、夹角公式以及向量共线、垂直的条件进行求解，实现数与形的结合．点击下图进入
一、填空题
1．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________.
解析：∵b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，
∴b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．
又∵a＝(2,3)，
∴a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6
＝－6＋18＝12.
答案：12
2．已知a＝(2,4)，b＝(1,3)，则|3a－2b|＝________.
解析：a＝(2,4)，b＝(1,3)，
则3a－2b＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)．
∴|3a－2b|＝＝＝2.
答案：2
3．已知a＝ (1，－1)，b＝(－2,1)，如果(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
解析：λa＋b＝(λ－2,1－λ)，a－λb＝(1＋2λ，－1－λ)，
由(λa＋b)⊥(a－λb)，
得(λ－2)(1＋2λ)＋(1－λ)(－1－λ)＝0，
∴λ＝.
答案：
4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．
解析：由a＝(1,2)，b＝(1，－1)得2a＋b＝(3,3)，
a－b＝(0,3)，设2a＋b与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：
5．已知a＝，b＝，c＝a＋kb，d＝a－b，c与d的夹角为，则k等于________．
解析：由条件得c＝(1，－k)，d＝(1,1)，从而c·d＝1＋－k＝··cos，
解得k＝1.
答案：1
二、解答题
6．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b，按下列条件求实数λ的值：
(1)m⊥n；(2)m∥n；(3)|m|＝5.
解：m＝a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，n＝2a＋b＝(7,8)，
∴(1)m⊥n?(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0?λ＝；
(2)m∥n?(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0?λ＝－；
(3)|m|＝5?＝5?5λ2－4λ＝0
?λ＝0或.
7．已知m＝(1,1)，向量n与m的夹角为，且m·n＝－1，求向量n.
解：设n＝(x，y)．
由m·n＝－1得x＋y＝－1. (1)
因为向量n与m的夹角为，
有m·n＝|m||n|cos＝－1，
所以|n|＝1，即x2＋y2＝1. (2)
由(1)(2)得x＝－1，y＝0，或x＝0，y＝－1，
所以n＝(－1,0)，或n＝(0，－1)．
8．已知点A(2,2)、B(4,1)，O为坐标原点，P为x轴上一动点，当·取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．
解：设点P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
∴·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
∴当x＝3时，·取最小值1.
此时，＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)．
＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)，
∴||＝，||＝，
∴cos∠APB＝＝
课件24张PPT。应用创新演练第2章
平面向量2.5
向量的应用把握热点考向考点一考点二考点三 [例1]　如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小． [思路点拨]　解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则． [一点通]　在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决．因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法．1．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P
的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为______．
解析：5秒后点P的坐标为
(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
答案：(10，－5)2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)
的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________． [一点通]　(1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算；
(2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的．答案：高
4．已知正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的
中点，试求∠DOE的余弦值． [一点通]　(1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．答案： 3x－2y＝05．过点M(2,3)且平行于向量a＝(2,3)的直线方程为________．1．向量法解决物理问题的步骤
(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题． 2．利用向量研究平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系． 3．向量在解析几何中的应用
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l：Ax＋By＋C＝0，则向量a＝(A，B)即为直线l的法向量，b＝(1，k)或c＝(－B，A)为直线l的方向向量．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋c2＝0是否垂直，均可由向量解决．由于n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，则n1·n2＝0?n1⊥n2?l1⊥l2.点击下图进入
一、填空题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．
解析：由a·b<0?∠A>90°，故为钝角三角形．
答案：钝角三角形
2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．
解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，
则⊥a，∴·a＝0.
又∵＝(x－2，y－3)．
∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.
又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.
答案：2x＋y－7＝0
3．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，则力F对物体做的功为________．
解析：∵＝(－4,3)，
∴做功W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.
答案：1
4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力都为|F|，夹角为θ，若|F|＝|G|，则θ的值为________．
解析：作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
答案：120°
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则·＝__________.
解析：如图，取D为AB的中点，
∵OA＝1，AB＝，∴∠AOD＝.
∴∠AOB＝.
∴·＝1×1×cos＝－.
答案：－
二、解答题
6.如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，由已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2.
则(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，
则1－2a·b＋4＝4，所以a·b＝.
所以|a＋b|2＝(a＋b) 2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋4＝6，即|a＋b|＝.
故||＝，即对角线AC的长为.
7．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，R(x0，y0)，则y0＝2x0－6.①
由＝(1－x0，－y0)，＝(x－1，y)，
又＝2，∴1－x0＝2x－2，－y0＝2y，
∴x0＝3－2x，y0＝－2y，代入①式得
y＝2x，即为所求．
8.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
解：由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角，
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，
则有
解得|Fa|＝150－50，
故A处受力的大小为(150－50)N.
课件19张PPT。章末小结
知
识
整
合
与
阶
段
检
测核心要点归纳阶段质量检测第2章
平面向量 6．平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．
7．相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
[说明]　向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． 二、平面向量的线性运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．
(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
2．向量的减法
(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)法则：三角形法则． [说明]　要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”． 3．实数与向量的积
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．
(2)运算律：
λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、两个定理
1．向量共线定理
(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量基本定理
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．
[说明]　零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．
[说明]　b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0. [说明]　
(1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.
(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
[说明]　数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)． [说明]　x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的条件，后者是它们垂直的条件． 点击下图进入
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．在平行四边形ABCD中，＋＋＝________.
解析： ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
2．已知向量a＝(1,3x)，b＝(－1,9)，若a与b共线，则实数x的值为________．
解析：∵a与b共线，∴9＋3x＝0，∴x＝－3.
答案：－3
3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值为________．
解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴24＋2m＝0，即m＝－12.
答案：－12
4．在△ABC中，下述命题正确的有________．
①－＝　②＋＋＝0　③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
④若·>0，则△ABC为锐角三角形
解析：－＝，故①错误；＋＋＝＋＝0，故②正确；(＋)·(－)＝0，即|AB|＝|AC|，故③正确；·>0，则∠A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故④错误．
答案：②③
5．如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且＝λ(－)成立，则λ＝________.
解析：∵M，N分别是AB，AC的一个三等分点，
∴＝，即＝.
又＝λ(－)＝λ，
∴λ＝.
答案：
6．若|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－3，则|a＋b|等于________．
解析：∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4－6＋36＝34，
∴|a＋b|＝.
答案：
7．已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(－1，－3)，则和的夹角为________．
解析：由题意，得＝＋＝(1，－1)，
则||＝，||＝2，·＝2，
∴cos〈，〉＝＝.
又0≤〈，〉≤π，∴〈，〉＝.
答案：
8．在梯形ABCD中，＝2，AC与BD相交于O点．若＝a，＝b，则＝________.
解析：依题意得AB∥CD，且AB＝2CD，＝＝，＝，又＝＋＝b＋a，
因此＝b＋a.
答案：b＋a
9．(2012·湖南高考)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
解析：设AC与BD的交点为O，则·＝·2＝22＋2·＝2×32＋0＝18.
答案：18
10．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A，B，C，D四点中一定共线的三点是________．
解析： ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2.
答案：A，B，D
11． 下列5个说法：
①共线的单位向量是相等向量；②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤(a＋b)·c＝a·c＋b·c.其中正确的是________．
解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a|＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．
答案：③⑤
12．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a||b|sin θ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|＝________.
解析：cos θ＝＝＝－，∴sin θ＝.
∴|a×b|＝2×2×＝2.
答案：2
13．(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_______________；·的最大值为________．
解析：法一：以，为基向量，
设＝λ (0≤λ≤1)，
则＝－＝λ－，＝－
所以·＝ (λ－) · (－)
＝－λ·＋2
＝－λ×0＋1＝1.
又＝，
所以·＝ (λ－) ·－
＝－λ2··
＝即·的最大值为1.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
令E点坐标为?t, 0???0≤t≤1?可得·＝?t，－1?·?0，－1?＝1，
·＝?t，－1?·?1，0?＝t≤1，
∴·＝1，·最大值为1.
答案：1　1
14．已知a＝，b＝(1，)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值等于________．
解析：∵a＋tb＝(－＋t，＋t)，
∴|a＋tb|2＝(－＋t)2＋(＋t)2＝4t2＋2t＋1＝4(t＋)2＋，
∴当t＝－时，|a＋tb|2取得最小值，即|a＋tb|取得最小值.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A、B、C、D顺时针排列)中，＝(6,1)，＝(－2，－3)，若有∥，又有⊥，求的坐标．
解：设＝(x，y)，则＝＋＝(6＋x,1＋y)，
＝＋＝(4＋x，y－2)，
＝－＝(－x－4,2－y)，
＝＋＝(x－2，y－3)．
又∥及⊥，
∴x(2－y)－(－x－4)y＝0， ①
(6＋x)(x－2)＋(1＋y)(y－3)＝0. ②
解得或
∴＝(－6,3)或(2，－1)．
16．(本小题满分14分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且(a＋2b)·(2a－b)＝0，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
即x2＋y2＝20.①
∵c∥a，a＝(1,2)，∴2x－y＝0，即y＝2x. ②
联立①②，得或
∴c＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0,2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0. ③
∵|a|2＝5，|b|2＝，代入③式，得a·b＝－，
∴cos θ＝＝＝－1.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
17．(本小题满分14分)向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2的值．
解：由(a－b)⊥c知(a－b)·c＝0.
又c＝－(a＋b)，∴(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝0.
故|a|＝|b|＝1，
又c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
18．(本小题满分16分)已知向量a＝(，－1)，b＝.
(1)求证：a⊥b；
(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：a·b＝(，－1)·(，)＝－＝0，∴a⊥b.
(2)假设存在非零实数k，t使x⊥y，
则[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.
又a·b＝0，a2＝4，b2＝1.
∴－4k＋t(t2－3)＝0，即k＝(t3－3t)(t≠0)，
故存在非零实数k，t，使x⊥y成立，
其关系为k＝(t3－3t)(t≠0)．
19．(本小题满分16分)如下图，E为正方形ABCD的对角线BD上一点，且DE＝DB，求cos∠BEC的值．
解：建立如图所示的示直角坐标系，设正方形的边长为1，
则A(0,1)，B(1,1)，C(1,0)，D(0,0)，E(，)．
所以＝(，－)，＝(，)，
则cos∠BEC＝
＝＝.
20． (本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
所以＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin θ＋16.
又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k(sin θ－)2＋，
当k>4时，1>>0，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.
课件33张PPT。第3章
三角恒等变换3.1
两角和与差的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.1.1
两
角
和
与
差
的
余
弦 如图，在平面直角坐标系xOy内作
单位圆O，以Ox轴为始边作角α，β，
它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．
问题1：求A，B两点的坐标．
提示：A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β) 问题4：θ与α、β之间有什么关系？能否用α、β的正、余弦值表示cos(α－β)?
提示：θ＝α－β；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.两角和与差的余弦公式
(1)cos(α－β)＝ ；
(2)cos(α＋β)＝ .cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β (1)公式中的角α、β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)、cos(α＋β)是一个整体．
(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式． [一点通]　对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式．1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝
________.2．cos 105°＝________.3．求下列各式的值：
(1)sin 123°sin(－12°)＋sin 213°sin 78°；
(2)cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)；
(3)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°.
[一点通]　(1)解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
(2)在将所求角分解成某两角的和差时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)等．[一点通]　解决给值求角型题目，一般分三个步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角． 2．解决给值(或)求值问题的方法
对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数的值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”．一般地
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
3．解决给值求角问题的方法
先求出所求角的一个三角函数值，再根据所求的范围确定所求角的具体值．点击下图进入
一、填空题
1．cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.
解析：原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos 45°＝.
答案：
2．若sin α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sin α＝且α∈(，π)，
∴cos α＝－，
∴cos(－α)＝coscos α＋sinsin α＝－.
答案：－
3．sin 75°cos 45°＋sin 15°sin 45°的值为________．
解析：sin 75°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋
sin 15°sin 45°＝cos (45°－15°)＝cos 30°＝.
答案：
4．在△ABC中，若sin A·sin B解析：由cos Acos B>sin Asin B，
得cos Acos B－sin Asin B>0，即cos(A＋B)>0.
∵0∴C＝π－(A＋B)∈(，π)．∴△ABC为钝角三角形．
答案：钝角
5．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos(α－β)＝________.
解析：将两条件等式平方后相加得
(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2
＝2－2cos(α－β)＝＋＝，
∴cos(α－β)＝.
答案：
二、解答题
6．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β.
解：∵α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)．
∴sin α＝.
sin(α＋β)＝＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝.
7．已知0＜α＜β＜，且cos α＝，sin β＝，求β－α.
解：∵0＜α＜β＜，
且，cos α＝，sin β＝
∴sin α＝，cos β＝.
∴cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
∵0＜β－α＜ ∴β－α＝.
8．(2012·广东高考)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)∵f(x)＝2cos(ωx＋)，ω>0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(x＋)，
而α，β∈[0，]，f(5α＋)＝－，f(5β－)＝，
∴2cos[(5α＋)＋]＝－，
2cos[(5β－)＋]＝，
即cos(α＋)＝－，cos β＝，
于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
课件34张PPT。第3章
三角恒等变换3.1
两角和与差的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.1.2
两
角
和
与
差
的
正
弦 提示：正弦、余弦的互化．
问题2：你能把sin(α＋β)，sin(α－β)表示为余弦的形式吗？问题3：你能推导一下两角和与差的正弦公式吗？两角和与差的正弦公式sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin βα，β∈Rα，β∈R (1)与两角和与差的余弦公式一样，公式中的角α、β是任意角，其特点也是用单角的三角函数表示复角的三角函数，其中sin(α－β)、sin(α＋β)是一个整体．
(2)公式的特点：公式右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相同，可记为“和角正弦异名积 之和，差角正弦异名积之差”． [一点通]　解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
　　(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．(2)证明：∵2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，
∴sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
而5sin β＝5sin[(α＋β)－α]
＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α.
由已知得sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α.
∴2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α，
等式两边都除以cos(α＋β)cos α，
得2tan(α＋β)＝3tan α. [一点通]
(1)化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求：
①能求出值的应求出值；
②使三角函数的种数最少；
③使项数尽量少；
④尽量使分母不含有三角函数；
⑤尽量使被开方数不含有三角函数．
(2)证明三角恒等式时，要注意分析等式两边函数名及角之间的关系，以便确定证明方向．答案：2π
点击下图进入
一、填空题
1．若M＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°，N＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°，则M＋N＝________.
解析：M＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°
＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－.
N＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°＝cos(10°－55°)
＝cos(－45°)＝
∴M＋N＝0.
答案：0
2．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.
∴cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)．
又α、β均为锐角，∴cos β＋sin β≠0.
∴cos α＝sin α.∴tan α＝1.
答案：1
3．已知sin α－cos β＝，cos α－sin β＝，则sin(α＋β)＝________.
解析：将条件等式两边平方相加得
sin2 α＋cos2 β－2sin αcos β＋cos2 α＋sin2 β－2cos αsin β＝＋，
即2－2·sin(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝.
答案：
4．若sin α＝，sin β＝，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
解析：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)
＝(sin αcos β)2－(cos αsin β)2
＝sin2 αcos2 β－cos2 αsin2 β
＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2 α)sin2β
＝×(1－)－(1－)×
＝.
答案：
5.＝________.
解析：原式＝＝
－＝－＝－＝－2＋.
答案：－2＋
二、解答题
6．化简：sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
解：原式＝sin(α＋β)cos α－{sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋β)－α]}
＝sin(α＋β)cos α－·2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.
7．已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵<α<，∴<＋α<π.
又∵cos(＋α)＝－，
∴sin(＋α)＝ ＝.
∵0<β<，
∴<＋β<π.又∵sin(＋β)＝，
∴cos(＋β)＝－ ＝－.
∴sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]
＝－sin[(＋α)＋(＋β)]
＝－[sin(＋α)cos(＋β)＋cos(＋α)·sin(＋β)]
＝－[×(－)－×]＝.
8．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝(1＋tan x)·cos x
＝cos x＋··cos x
＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)
＝2(sincos x＋cossin x)
＝2 sin(x＋)．
(2)∵0≤x<，∴≤x＋<，
由x＋≤，得x≤.
∴f(x)在[0，]上是单调增函数，
在(，)上是单调减函数．
∴当x＝时，f(x)有最大值为2.
课件32张PPT。第3章
三角恒等变换3.1
两角和与差的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.1.3
两
角
和
与
差
的
正
切 问题1：我们学会了两角和与差的正弦、余弦公式，很自然地想到正切，能否用tan α和tan β的值表示tan(α＋β)和tan(α－β)的值？问题2：公式中α、β、α＋β、α－β是任意实数吗？两角和与差的正切公式α，β，α＋β≠kπ＋α，β，α－β≠kπ＋ [一点通]　(1)要熟记两角和与差的正切公式的结构特征，灵活应用公式化简求值．
(2)注意公式的变形应用，当化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． [一点通]　在求两角和与差的正切值时，若已知的是α、β的正、余弦的值，此时求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正、余弦而后应用商数关系；②是先求tan α、tan β，而后应用α±β的正切公式，若已知的是α、β的正切，则直接应用正切公式求解即可． [一点通]　若条件中已知角的正切值求与之有关的角时，一般先求所求角的正切值，但在求解的过程中要注意结合已知角的三角函数值压缩角的取值范围． 2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式的关系
两角和(差)的余弦：余余、正正、符号异(即公式右端分别是α与β的余弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反)；两角和(差)的正弦：正余、余正、符号同；两角和(差)的正切：分子同、分母异．它们的内在联系如下：点击下图进入
一、填空题
1．若＝，则tan(＋A)＝________.
解析：tan(＋A)＝＝＝＝.
答案：
2．tan 3°＋tan 42°＋tan 3°tan 42°＝________.
解析：由tan 45°＝tan(3°＋42°)＝得tan 3°＋tan 42°＝tan 45°(1－tan 3°tan 42°)，
∴原式＝1－tan 3°tan 42°＋tan 3°tan 42°＝1.
答案：1
3．若α＋β＝ π，则(1－tan α)(1－tan β)＝________.
解析：(1－tan α)(1－tan β)
＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β
＝1＋tan αtan β－tan(α＋β)(1－tan αtan β)
＝1＋tan αtan β－tanπ(1－tan αtan β)
＝1＋tanαtan β＋(1－tan αtan β)
＝2.
答案：2
4.＝________.
解析：原式＝
＝
＝tan(55°－25°)＝tan 30°＝.
答案：
5．在△ABC中，tan A＝，tan B＝，则∠C＝________.
解析：tan C＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－1.
又∵0答案：135°
二、解答题
6．已知sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝，且α∈，求tan的值．
解：sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝sin[(α－β)＋β]＝sin α＝.
∵α∈(，π)，
∴cos α＝－ ＝－ ＝－.
∴tan α＝＝－.
∴tan(α－)＝
＝＝.
7．已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，
∴cos θ＝－＝－，
∴tan θ＝＝－，又tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝＝＝－2.
8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求：
(1)tan(α＋β)的值；
(2)α＋2β的值．
解：由已知得cos α＝，cos β＝，
又α，β是锐角．
则sin α＝ ＝，sin β＝ ＝.
所以tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝.
课件33张PPT。考点三第3章
三角恒等变换3.2
二倍角的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二 问题1：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若α＝β，则公式可变形为何种形式？ 问题2：能否只用cos α或sinα来表示cos 2α？其公式又为何种形式？
提示：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2sin α cos αcos2 α－sin2 α2cos2 α－11－2sin2 α [一点通]　解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．2．cos 105°cos 15°＝________.答案：－2 [一点通]　利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍半关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明． 2．证明三角恒等式的常用方法
(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；
(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；
(3)把要证的等式进行等价变形；
(4)两边作差，证明其差为0. 点击下图进入
一、填空题
1．已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝________.
解析：∵α为第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－.
∴tan 2α＝＝＝＝－.
答案：－
2．函数y＝2cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝2cos2x＝cos 2x＋1，
∴T＝＝π.
答案：π
3.－的值是________．
解析：－＝－
＝＝＝4.
答案：4
4．8sincoscoscos＝________.
解析：8sincoscoscos＝4sincoscos＝2sin·cos＝sin＝.
答案：
5．cos2－sin2的化简结果是________．
解析：原式＝－
＝[cos(x－)＋cos(x＋)]
＝[cos(x＋)＋cos(x－)]
＝[(cos x－sin x)＋(cos x＋sin x)]
＝cos x.
答案：cos x
二、解答题
6．化简：.
解：∵1＋tan 10°＝＝
＝.
∴原式＝＝
＝＝ .
7．已知cos 2θ＝，＜θ＜π，
(1)求tan θ；(2)求.
解：(1)由cos 2θ＝，得1－2sin2θ＝，sin2θ＝，
∵<θ<π，∴sin θ＝，cos θ＝－，
∴tan θ＝＝－.
(2)＝＝2.
8．已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，函数f(x)＝a·b＋|b|2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当≤x≤时，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝a·b＋|b|2
＝5sin xcos x＋2cos2x＋sin2x＋4cos2x
＝5sin xcos x＋5cos2x＋1
＝sin 2x＋5×＋1
＝5sin(2x＋)＋.
∴T＝＝π.
(2)由≤x≤，得≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[1，]．
课件37张PPT。考点三第3章
三角恒等变换3.3
几个三角恒等式理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点二知识点一 问题1：我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S(α＋β)＋S(α－β)，S(α＋β)－S(α－β)，C(α＋β)＋C(α－β)，C(α＋β)－C(α－β)会得到怎样的结论？ 提示：(1) sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β)
＝2sin αcos β；
(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)－(sin αcos β－cos αsin β)＝2cos αsin β；
(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(cos αcos β＋sin αsin β)＝2cos αcos β；
(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)－(cos αcos β＋sin αsin β)＝－2sin αsin β. 问题2：将问题1得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？ [例1]　求下列各式的值．
(1)sin 37.5°cos 7.5°；
(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
[思路点拨]　利用积化和差公式对所给式子进行变形，然后利用特殊角进行求解． [一点通]　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．答案：π2．化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． [一点通]　通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容，一般对同名异角三角函数的和或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．3．求sin2 20°＋cos2 50°＋sin 20°cos 50°的值． 1．应用积化和差、和差化积公式应从以下几个方面考虑；
(1)运用公式之后，能否出现特殊角；
(2)运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
(3)运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件． 2．积化和差、和差化积公式的应用
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
(2)对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化简结果可能在形式上不一致．不论使用哪套公式，只要正确使用公式，结果一般会殊途同归．有时为回避使用积与和差互化，可凑角后使用诱导公式、倍角、半角、和差角公式等．点击下图进入
一、填空题
1．有下列关系式：
①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；
②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；
③sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ；
⑤sin xsin y＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．
其中正确等式的个数是________．
解析：只有⑤正确．
答案：1
2．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.
解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)
＝[(2cos2 α－1)＋(1－2sin2β)]
＝cos2 α－sin2 β.
∴cos2 α－sin2 β＝.
答案：
3．若tan θ＋＝m，则sin 2θ＝________.
解析：∵tan θ＋＝m，即＝m，
∴sin 2θ＝＝.
答案：
4．直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为________．
解析：∵A＋B＝，
sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝cos(A－B)．
又－∴sin Asin B有最大值.
答案：
5．函数y＝sin(x－)cos x的最小值是________．
解析：y＝sin(x－)cos x
＝[sin(2x－)＋sin(－)]
＝[sin(2x－)－]
＝sin(2x－)－，
当sin(2x－)＝－1时，y取得最小值为－.
答案：－
二、解答题
6．求值：cos＋cos＋cos.
解：cos＋cos＋cos
＝(2sin·cos＋2sin·cos＋2sin·cos)
＝[sin＋sin＋sin(－)＋sin＋sin(－)]
＝(sin＋sin－sin－sin－sin)
＝·(－sin)＝－.
7．求函数f(x)＝cos 4xcos 2x－cos2 3x的最大值和最小值．
解：f(x)＝[cos(4x＋2x)＋cos(4x－2x)]－
＝(cos 6x＋cos 2x)－－cos 6x
＝cos 2x－
＝－
＝－sin2 x.
∵0≤sin2 x≤1.
∴f(x)的最大值为0，最小值是－1.
8．求值：cos 10°·cos 30°·cos 50°·cos 70°.
解：原式＝cos 10°·cos 50°·cos 70°
＝·(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°
＝(cos 70°＋cos 70°cos 40°)
＝[cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)]
＝(cos 70°－cos 70°＋cos 30°)＝.
课件7张PPT。章末小结
知
识
整
合
与
阶
段
检
测核心要点归纳阶段质量检测第3章
三角恒等变换点击下图进入
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．sin 75° cos 30°－cos 75° sin 30°的值为________．
解析：sin 75° cos 30°－cos 75° sin 30°＝sin(75°－30°)
＝sin 45°＝.
答案：
2．若α为第三象限角，则＋的值为________．
解析：原式＝＋＝＋
＝－1－2＝－3.
答案：－3
3．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为________．
解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－＝－＝－.
答案：－
4．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
解析：a＝ sin 59°，b＝sin 61°，c＝sin 60°，
所以a答案：a5．已知sin＝，则sin 2x＝________.
解析：sin 2x＝cos(－2x)＝cos 2(－x)
＝1－2sin2(－x)＝.
答案：
6．f(sin x)＝cos 2x，则f＝________.
解析：f(sin x)＝cos 2x＝1－2sin2x
∴f(x)＝1－2x2
∴f()＝1－2×()2＝－.
答案：－
7．函数y＝sin xcos x＋cos2x－图象的对称轴方程为________．
解析：∵y＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)
∴由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)．
答案：x＝＋，k∈Z
8．化简＝________.
解析：原式＝
＝＝1.
答案：1
9．tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为________．
解析：tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)
＝－tan 19°tan 41°.
∴原式＝－tan 19°tan 41°＋tan 19°tan 41°＝.
答案：
10．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．
解析：依题意得sin α－cos α＝，
又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
即(sin α＋cos α)2＋()2＝2，
故(sin α＋cos α)2＝；
又α∈(0，)，
因此有sin α＋cos α＝，
所以＝
＝－(sin α＋cos α)＝－.
答案：－
11.＝________.
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝2×＝.
答案：
12．已知sin(α－β)＝，α－β是第一象限角，tan β＝，β是第三象限角，则cos α的值为________．
解析：∵sin (α－β)＝，α－β是第一象限角，
∴cos(α－β)＝.∵tan β＝，β是第三象限角，
∴sin β＝－，cos β＝－.
则cos α＝cos[β＋(α－β)]
＝cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)
＝－×＋×
＝－＝－.
答案：－
13．已知(sin x－2cos x)(3＋2sin x＋2cos x)＝0，则的值为________．
解析：∵3＋2sin x＋2cos x＝3＋2 sin(x＋)>0，
∴sin x－2cos x＝0.∴tan x＝2.
∴原式＝＝＝2cos2x＝1＋cos 2x＝1＋＝1＋＝.
答案：
14．已知α、β∈，＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为________．
解析：由＝得tan α＝，
由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]
可得tan(α＋β)＝2tan α＝1，
注意到α＋β∈(0，)，
所以α＋β＝.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知cos α－sin α＝，且π<α<π，求的值．
解：因为cos α－sin α＝，所以1－2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝.
又α∈(π，)，
故sin α＋cos α＝－＝－，
所以＝＝＝＝－.
16．(本小题满分14分)设x∈，求函数y＝cos＋2sin的最值．
解：y＝cos(2x－)＋2sin(x－)
＝cos 2(x－)＋2sin(x－)
＝1－2sin2(x－)＋2sin(x－)
＝－2[sin(x－)－]2＋.
∵x∈[0，]，
∴x－∈[－，]．∴sin(x－)∈[－，]，
∴ymax＝，ymin＝－.
17．(本小题满分14分)已知tan＋tan＝4，且－π<θ<－，求sin2θ－2sin θcos θ－cos2θ的值．
解：由tan(＋θ)＋tan(－θ)＝4，
得：
＋
＝
＝
＝＝4.
则cos2θ＝.
∵－π<θ<－，
∴cos θ＝－，sin θ＝－，
∴sin2θ－2sin θ·cos θ－cos2θ＝－.
18．(本小题满分16分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos；
(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<，
∴sin(α－)＝ ＝，
cos(－β)＝ ＝ .
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)·cos(－β)＋sin(α－)·sin(－β)
＝(－)×＋×
＝－.
(2)∵<<π，
∴sin＝＝，
∴tan＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
19．(本小题满分16分)(2012·四川高考)已知函数f(x)＝cos2－sin·cos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
解：(1)f(x)＝cos2－sincos－
＝(1＋cos x)－sin x－
＝cos (x＋)．
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为[－，]．
(2)由(1)知f(α)＝cos (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝.
所以sin 2α＝－cos(＋2α)＝－cos 2(α＋)
＝1－2cos2(α＋)＝1－＝.
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos＋cos，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小正周期为，求当x∈时，f(x)的单调递减区间．
解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2(sin ωx·＋cos ωx·)
＝2(sin ωx·cos＋cos ωx·sin)
＝2sin(ωx＋)．
∵x∈R，∴f(x)的值域为[－2,2]．
(2)∵f(x)的最小正周期为，
∴＝，即ω＝4.
∴f(x)＝2sin(4x＋)，
∴2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z.
即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵x∈[0，]，∴≤x≤.
∴f(x)的单调递减区间为[，]．
课件75张PPT。高
考
八
大
高
频
考
点
例
析考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七考点八[答案]　－1答案：2cos α答案：①②③[答案]　④答案：2答案：012．已知下列命题：①若k∈R，且kb＝0，则k＝0或b＝0；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③若不平行的两个非零向量a，b，满足|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0；④若a与b平行，则a·b＝|a|·|b|，其中正确的是________________ _____(填序号)．
解析：①是对的；②可得a⊥b，故②不正确；③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，是正确的；④平行时分两向量的夹角为0°和180°两种，a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，故④是错误的．
答案：①③[答案]　 1 [例10]　(2012·湖北高考)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．跟踪演练
13．(2011·广东高考改编)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝
(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.
14．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，若a＝λ1e1＋
λ2e2，则λ1＝________，λ2＝________. 考题印证
[例11]　(2012·江苏高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________. [例13]　(2012·安徽高考)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．跟踪演练
15．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k
＝________.
解析：因为a＝(2,1)，b＝(－1，k)，
所以2a－b＝(5,2－k)．
又a·(2a－b)＝0，
所以2×5＋1×(2－k)＝0，
得k＝12.
答案：1216．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
则|a＋b－c|的最大值为________．
解析：由(a－c)·(b－c)≤0，
得a·b－a·c－b·c＋c2≤0，
又a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，
得－a·c－b·c≤－1，
|a＋b－c|2＝(a＋b－c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b－a·c－b·c)
＝3＋2(－a·c－b·c)≤3－2＝1，
故|a＋b－c|的最大值为1.
答案：1跟踪演练20．求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值与
最小值．
解：y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin 2x＋sin22x
＝(1－sin 2x)2＋6.
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为
zmax＝(－1－1)2＋6＝10，
最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10；当sin 2x＝1时，y取得最小值6.