北师大版八年级数学上册教案第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理(第1课时） 教学详案

第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形的内角和定理
教学目标 1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用. 2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题. 3.通过动手探究，使学生体验学习数学的乐趣，养成良好的学习习惯，寻找有效的学习方法. 教学重难点 重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 难点：应用三角形的内角和定理解决相关问题. 教学过程 导入新课 三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 直角三角形：我的形状最大，那我的内角和最大. 钝角三角形：不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 锐角三角形：我的形状最小，那我的内角和最小. 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢 探究新知 探究:在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 首先让学生自己动手探究,体会数学研究的乐趣.然后老师通过多媒体动画演示，验证这个结论是不是正确的.我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明.这就是我们这节课所要研究的内容. 验证:三角形三个内角的和等于180°. 已知：△ABC，求证∠A+∠B+∠C＝180°. 方法一：过A点作PQ∥BC， ∵ PQ∥BC， ∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）. ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°. 方法二：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA． ∵ CE∥BA， ∴ ∠A=∠ACE ,∠B=∠DCE . 又∵∠ACE+∠DCE+∠ACB=180°， ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°. 方法三：在BC边上任取一点P，作PF∥AB，PE∥AC. ∴ ∠B=∠FPC,∠C=∠EPB (两直线平行，同位角相等)， ∵ ∠A+∠AEP=180°,∠AEP+∠EPF=180°(两直线平行，同旁内角相补)， ∴ ∠A=∠EPF. ∵ ∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°， ∴ ∠A+∠B+∠C=180°. 想一想:同学们还有其他的方法吗？多种方法证明的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 例1　如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 【解】在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）. ∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知）， ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）. ∵ AD平分∠BAC（已知）, ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=×80°=40° （角平分线的定义）. 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°. ∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证）， ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）. 例2　如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D的度数. 【解】∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°-∠FEA-∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°-∠CFD-∠FCD＝40°. 例3　 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 【解】设∠B=x°，则∠A=(3x)°，∠C=(x + 15)°， 从而有3x + x+(x+15)＝ 180. 解得x＝33. 所以3x＝99，x+15＝48. 则∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°. 课堂练习 1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A.75° B.65° C.165° D.155° 3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（　　） A.35° B.5° C.15° D.25° 4.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（　　） A.100° B.110° C.115° D.120° 5.如图所示， B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数. 参考答案 1.A 2.C 3.B 4.B 5.解：∵ AE，DB是正南正北方向， ∴ BD∥AE. ∵ ∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°. ∵∠EAC=15°， ∴ ∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°. 又∵∠DBC=80°，∴ ∠ABC=80°﹣45°=35°, ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°﹣35°-60°=85°． 课堂小结 （学生总结，老师点评） 三角形内角和定理 布置作业 习题7.6第2，3题 板书设计 第七章 平行线的证明 5 三角形内角和定理 第1课时 三角形的内角和定理 1.三角形的内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°. 2.为了证明三角形三个内角的和等于180°,常通过作辅助线，将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补.