第十二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 学案（Word版无答案）

第十二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系1
知识点一：点、线、面的关系
一、点共线、线共点问题
例题1 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
例题2 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F. 求证：E，F，G，H四点必定共线.
跟踪训练1 若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
二、点、线共面问题
例题3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
方法二　(同一法)
跟踪训练1 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c和l共面.
证明　
跟踪训练2
如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
三、异面直线所成角
例题4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1 、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小
知识点二：线面平行
一、线面平行判定
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
跟踪训练1　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
二、直线与平面平行的性质定理的应用
例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
跟踪训练2　如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.
知识点三：面面平行
一、平面与平面平行的判定定理的应用
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，
求证：平面PAB∥平面EFG.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
跟踪训练2　如图，已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
1.(多选)以下四个命题中正确的有(　　)
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
3.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
4.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
5.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.