2021-2022学年云南省临沧市云县高二（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年云南省临沧市云县高二（下）期中数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
双曲线：的实轴长为( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
下面是离散型随机变量的是( )
A. 电灯泡的使用寿命
B. 小明射击次，击中目标的环数
C. 测量一批电阻两端的电压，在之间的电压值
D. 一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
将封不同的电子邮件发送到个电子信箱中，则不同的发送方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
若直线与曲线相切，则( )
A. B. C. D.
已知函数，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
从有个红球和个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．则第次摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
若，则正整数的值是______．
已知直线：与：相交于点，则______．
把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现反面”为事件，则______．
如图为我国数学家赵爽约世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
在中，角，，的对边分别为，，，向量，，，且．
求；
若，，求的大小．
已知单调递减的等比数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
求满足的所有正整数的值．
已知双曲线的右焦点与抛物线：的焦点重合，且双曲线的一条渐近线为：．
求双曲线的方程；
若过点且与平行的直线交抛物线于，两点，求线段的长．
如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
每年的月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值；
为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望．
已知函数．
讨论函数的单调性；
若，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由双曲线的方程可知，即，
且焦点在轴上，所以实轴长，
故选：．
由双曲线的方程可知的值，从而可得实轴长．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，，
则，
故选C．
根据题意，由方差的性质计算可得答案．
本题考查数据的期望和方差，注意方差的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查复数的运算，属容易题．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】
解：因为，
所以．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：对于，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于，小明射击次，击中目标的环数是变量，且其取值为，，，，，故为离散型随机变量，故B符合题意；
对于，测量一批电阻两端的电压，在之间的电压值是变量，但无法一一列举出的所有取值，
故不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，
故不是离散型随机变量，故D不符题意．
故选：．
变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可．
本题考查随机事件，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为每封电子邮件都有种发送方法，
根据分布乘法计数原理，将封不同的电子邮件发送到个电子信箱中，则不同的发送方法共有种，
故选：．
利用分布乘法计数原理求解．
本题主要考查了分布乘法计数原理，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
对求导，再计算的值即可．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
7.【答案】
【解析】解：由“方程表示焦点在轴上的椭圆”可知“”，
由“”可知“方程表示焦点在轴上的椭圆”，
“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”充要条件．
故选：．
根据椭圆的标准方程可解决此题．
本题考查椭圆标准方程，考查数学逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设切点坐标为，
，，
直线的斜率为，
则过切点的直线方程为，
即，
，则．
故选：．
设切点坐标为，求出过求得的切线方程，与已知直线方程比较可得值，即可求得值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦函数的性质，属于基础题．
由题意，利用正弦函数的性质，求得的最小值即可．
【解答】
解：函数，若，，
，，即，，
故令，可得的最小值为，
故选：．

10.【答案】
【解析】解：，
则，
故选：．
由，利用，即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：从有个红球和个黑球的盒子中，
每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回，
用表示第一次摸到红球，表示第二次摸到红球，
表示第一次摸到黑球，表示第二次摸到黑球．
则由全概率公式得第次摸到红球的概率为：
．
故选：．
用表示第一次摸到红球，表示第二次摸到红球，表示第一次摸到黑球，表示第二次摸到黑球，由全概率公式能求出第次摸到红球的概率．
本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：的展开式中的系数为
，
故选：．
反复利用二项式系数的性质即可求得答案．
本题考查二项式定理的应用，着重考查二项式系数的性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：，
或，解得或，
经检验，或均符合题意．
故答案为：或．
根据已知条件，结合组合数公式，即可求解．
本题主要考查组合数公式，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：把分别代入直线和直线的方程，
有，
所以，，
所以．
故答案为：．
把分别代入直线和直线的方程，可得和的值，从而得解．
本题考查两条直线的交点问题，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：法一：；
法二：包括的基本事件为正，正，正，反，包括的基本事件为正，反，
．
根据条件概率计算公式即可计算．
本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：先确定，有种方法，因为共有四种颜色，故A与，与至少有一对同色，
则它们的涂色方法共有：种方法，
故共有种方法．
故答案为：．
利用计数原理，先确定中间的颜色，然后按照与，与是否同色，以及同色的对数确定涂色方法数，最后按乘法计数原理求解．
本题考查计数原理的应用，同时考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，，且，
则，即，
又，则；
由，，
则，即，
由正弦定理可得：，则，则，
又，则．
【解析】本题考查了平面向量垂直、平行的坐标运算，重点考查了正弦定理，属基础题．
由平面向量垂直、平行的坐标运算结合三角函数求值即可得解；
结合题意由正弦定理求即可．
18.【答案】解：根据题意，设等比数列的公比为，，
又由，，则有，
解可得，，
故；
根据题意，由的结论，，则，
若，即，变形可得，
又由，则，即可取的值为、、、、、、、、．
【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，求出，的值，计算可得答案；
根据题意，求出的表达式，由此可得关于的不等式，解可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式和性质，属于基础题．
19.【答案】解：抛物线：的焦点为，
设双曲线的标准方程为，
则，
又双曲线的一条渐近线为：，
所以，解得，，
故双曲线的方程为；
过点且与平行的直线的方程为，
联立方程组，可得，
所以，
由弦长公式可得，．
【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用待定系数法设出双曲线的标准方程，由渐近线方程以及焦点坐标，求解即可；
求出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用弦长公式求解即可．
本题考查了双曲线标准方程的求解，抛物线标准方程的应用，直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
20.【答案】解：证明：连结，
正方体中，为的中点，为的中点，
，，，
平面，平面，
平面．
以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
令，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
直线与平面所成的角的正弦值为：
．
直线与平面所成的角的正弦值为．
【解析】连结，推导出，由此能证明平面．
以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向理法能求职直线与平面所成的角的正弦值．
本题考查线面平行的证明，考查线面角和正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：由频率分布直方图得：，
解得．
由频率分布直方图得：
这名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为：：，
若采用分层抽样的方法抽取了人，
则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，
在日平均阅读时间在内的学生中抽取人，
现从这人中随机拍取人，则的可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
故E．
【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义可得，两个区间分别抽取的人数，现从这人中随机拍取人，则的可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式，属于基础题．
22.【答案】解：的定义域为，，
当时，令，，则在单调递增，在单调递减，
当时，，
当时，即时，在单调递增，
当时，或，
此时方程有两个实根，，
，，
当时，，，
则在单调递增，在单调递减，
当时，，，
则在单调递增，在单调递减，在单调递增，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减，
当时，在单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
证明：当时，不等式等价于．
令，，
由，可得在单调递减，在单调递增，，
由，可得在单调递增，在单调递减，，
又，
恒成立．
即得证．
【解析】求得的导数，讨论当，，结合二次不等式的解法，可得单调性；
当时，不等式等价于令，，利用导数可得，结合，即可证明．
本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造法和分类讨论思想、化简运算能力、推理能力，属于难题．
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