11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
知能演练提升
一、能力提升
1.若一个三角形中仅有一条高在三角形的内部,则该三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.直角三角形或钝角三角形
2.如图,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,CD⊥AB于点D.在△ABC中,边AC上的高是线段( )
A.AE B.CD C.BF D.AF
3.如图,线段AE是△ABC的中线,已知EC=6,DE=2,则线段BD的长为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是( )
A.线段BC是△ABE的高
B.线段BE是△ABD的中线
C.线段BD是△EBC的角平分线
D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
5.如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,△CEF的面积为2.5,则△ABC的面积为 ( )
A.6 B.7
C.8 D.10
6.如图,BD和CE是△ABC的两条角平分线,且∠DBC=∠ECB=31°,则∠ABC= 度,∠ACB= 度.
7.如图,线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是 .
8.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是△ABC的中线,△ABC的周长为34 cm,△ABD的周长为30 cm,求AD的长.
★9.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,若腰AC上的中线BD将等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分,求三角形ABC的腰长及底边长.
★10.如图,AD是△CAB的角平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:DO是△EDF的角平分线吗 如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
二、创新应用
★11.有一块三角形优良品种试验基地,如图,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图即可)
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 直角三角形和钝角三角形都只有一条高在三角形的内部.
2.C 3.C 4.D
5.D ∵F为AC的中点,
∴线段EF为△AEC的中线,
∴S△AEC=2S△CEF=5.
∵E为AB的中点,
∴线段CE为△ABC的中线,
∴S△ABC=2S△AEC=10.
6.62 62
7.10.8 S△ABC=BC·AD=AB·CE,
则BC===10.8.
8.解∵线段AD是△ABC的中线,∴BC=2BD.
∵AB=AC,△ABC的周长为34cm,∴2AB+2BD=34cm,
即AB+BD=17cm.
又△ABD的周长为30cm,即AB+BD+AD=30cm,
∴AD=13cm.
9.解设AB=AC=2x,则AD=CD=x.
当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以x=5,AB=AC=2x=10,BC=6-5=1.
当BC+CD=15,AB+AD=6时,有2x+x=6,所以x=2,AB=AC=2x=4,BC=13.因为4+4<13,所以不能组成三角形.
故三角形ABC的腰长为10,底边长为1.
10.解DO是△EDF的角平分线.
证明如下:
∵AD是△CAB的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD.
∴∠EDA=∠FDA,
即DO是△EDF的角平分线.
二、创新应用
11.解如图(答案不唯一).11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" \* MERGEFORMAT 必备知识·基础练 INCLUDEPICTURE "右J.TIF" INCLUDEPICTURE "右J.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "易错诊断JS.TIF" INCLUDEPICTURE "易错诊断JS.TIF" \* MERGEFORMAT (打“√”或“×”)
1．三角形的三条高都在三角形的内部．(×)
2．三角形的高线、中线、角平分线都是线段．(×)
3．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点．(√)
4．三角形的中线可将三角形分成两个面积相等的三角形．(√)
5．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．(√)
6．三角形没有稳定性．(×)
INCLUDEPICTURE "对点达标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "对点达标JS.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点1 三角形的高
1．(概念应用题)(2021·北京质检)下列说法错误的是( B )
A.锐角三角形的三条高交于一点
B．直角三角形只有一条高线
C．钝角三角形有两条高线在三角形的外部
D．任意三角形都有三条高线
【解析】A.锐角三角形的三条高线交于一点，正确，故本选项不符合题意；
B．直角三角形有三条高线，有两条是直角边，故本选项符合题意；
C．钝角三角形有两条高线在三角形的外部，正确，故本选项不符合题意；
D．任意三角形都有三条高线，正确，故本选项不符合题意．
2．(教材P8习题11.1T3改编)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( A )
【解析】因为过△ABC的顶点A，作BC边上的高是指过点A作边BC所在直线的垂线段．
3．(2021·宜兴期中)如图，在△ABC中，BC边上的高为( A )
A.AD B．BE C．BF D．CG
【解析】由题图可知，△ABC中，BC边上的高为AD.
知识点2 三角形的中线
4．(2021·重庆质检)如图，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，若△ABC的面积等于8，则△ABD的面积等于( C )
A.2 B．3
C．4 D．5
【解析】∵点D是BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD＝S△ABC＝4.
5．如图，在△ABC中，AB＝2 022， AD为△ABC的中线，若AC＝2 010，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是__12__．
【解析】因为AD为△ABC的中线，
所以BD＝CD，
所以△ABD的周长－△ACD的周长＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD) ＝AB＋AD＋BD－AC－AD－CD＝AB－AC＝2 022－2 010＝12.
6．如图，已知AD，AE分别是△ABC的中线和高，证明：△ABD和△ACD的面积相等．
【证明】因为AD是△ABC的中线，
所以BD ＝BC，DC＝BC.
又因为S△ABD＝BD·AE ＝BC·AE，S△ACD＝DC·AE＝BC·AE.
所以S△ABD ＝S△ACD.
知识点3 三角形的角平分线
7.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( C )
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【解析】∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF.
8．如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则__AE__是△ABD的角平分线；__AF__是△ADC的角平分线；AD是△__ABC__的角平分线．
【解析】因为∠1＝∠2，
所以AE是△ABD的角平分线；
因为∠3＝∠4，
所以AF是△ADC的角平分线；
因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
所以∠BAD＝∠CAD，
所以AD是△ABC的角平分线．
知识点4 三角形的稳定性
9．下列图形具有稳定性的是( A )
【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
10．在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是( C )
【解析】A.利用了四边形的不稳定性，故错误；B.利用了四边形的不稳定性，故错误；C.利用了三角形的稳定性，正确；D.四边形不具有稳定性，故错误．
INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" \* MERGEFORMAT 关键能力·综合练 INCLUDEPICTURE "右J.TIF" INCLUDEPICTURE "右J.TIF" \* MERGEFORMAT
11．(生活情境题)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？( B )
A.0根 B．1根 C．2根 D．3根
【解析】加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，这种做法根据的是三角形的稳定性．
12．(2021·北京模拟)如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( B )
【解析】根据三角形高的作法，可知选项A，C，D中三角板的摆放位置都不是△ABC的边AB上的高．
13．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，则线段AC具有的性质是( D )
A．边BB′上的中线 B．边BB′上的高
C．∠BAB′的平分线 D．以上三种性质都具备
【解析】∵∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，
∴∠ACB′＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠B′AC，BC＝B′C，
∴AC是△ABB′的边BB′上的高，AC平分∠BAB′，线段AC是△ABB′的边BB′上的中线．
14．(2021·东营期中)如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，已知S△ABE＝7 cm2，则△ABC的面积是( B )
A.18 cm2 B．28 cm2
C．36 cm2 D．45 cm2
【解析】∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△DBE，而S△ABE＝7 cm2，
∴S△ABC＝4×7＝28 cm2.
15．(易错警示题)如图，以AD为高的三角形共有__6__个．
【解析】∵AD⊥BC于点D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，分别是△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC，∴以AD为高的三角形有6个．
16．如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号表示：
(1)∠ABC的平分线；
(2)AC边上的中线；
(3)AC边上的高．
【解析】如图所示：
(1)BE为∠ABC的平分线，可表示为∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，或∠ABC＝2∠ABE＝2∠CBE.
(2)BD为AC边上的中线， 可表示为AD＝CD＝AC.
(3)BF为AC边上的高．可表示为BF⊥AC于F，或∠AFB＝90°.
17．(1)工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架、输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是________.
(2)下列图形具有稳定性的有________个：正方形、长方形、直角三角形、平行四边形．
(3)已知四边形的四边长分别为2，3，4，5，这个四边形的四个内角的大小能否确定？
(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形，工人
准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是：________．
(5)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，如果要使一个n边形木架不变形，至少需要加________根木条固定．
【解析】(1)工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是三角形的稳定性．
(2)正方形、长方形、直角三角形、平行四边形中具有稳定性的是直角三角形，共一个．
(3)因为四边形具有不稳定性，所以这个四边形的四个内角的大小不能确定．
(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形，工人准备再钉上两根木条，两种钉法中正确的是：方法一．
(5)过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．
18．(素养提升题)如图，请你在△ABC上画三条线段，把这个三角形分成面积相等的四部分，看谁的方法多？
【解析】因为“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”，所以可以从三角形的中线入手，利用“三角形等底等高必等积”进行分析．如图所示：
INCLUDEPICTURE "解题模型J.TIF" INCLUDEPICTURE "解题模型J.TIF" \* MERGEFORMAT
模型 三角形的中线分成的两个三角形的周长及面积的关系
(1)周长关系：如图1所示，AD是△ABC的中线，△ABD的周长＝AB＋BD＋AD，△ACD的周长＝AC＋CD＋AD，所以△ABD的周长－△ACD的周长＝(AB＋BD＋AD)－(AC＋CD＋AD)＝AB－AC.即△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差．
(2)面积关系：如图2所示，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．则S△ABD＝BD·AE，S△ACD＝CD·AE，因为BD＝CD，所以BD·AE＝CD·AE，所以S△ABD＝S△ACD.
即三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．
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