11.2.1 三角形的内角
知能演练提升
一、能力提升
1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为( )
A.50° B.75° C.100° D.125°
2.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E等于( )
A.40° B.60°
C.80° D.120°
3.(2020·辽宁锦州中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则∠A的度数是 .
5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度数是 .
6.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数是 .
7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的两倍,最大角又比另一个角大20°,则△ABC的三个角的度数分别是多少
8.如图,E是△ABC中边AC上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗 为什么
9.如图,在△ABC中,D是BC上一点,F是BA延长线上一点,连接DF交AC于点E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.
二、创新应用
★10.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D.
(1)若∠ABC+∠ACB=110°,则∠BDC= ;
(2)若∠A=100°,则∠BDC= ;
(3)若∠A=n°,求∠BDC的度数.
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 设∠C的度数为x°,则∠B的度数为x°+25°,则55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,则∠B=75°.
2.A ∵CD∥AB,∠1=120°,
∴∠CDB=∠1=120°,
∴∠EDC=60°.
∵∠2=80°,
∴∠E=180°-80°-60°=40°.
3.C ∵∠A=30°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ACB=50°.
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.
4.90° 5.54°
6.270° 由三角形三内角之间的关系,得∠3+∠4=90°,
所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.
7.解设∠C=x°,则∠A=2x°,∠B=2x°-20°,
根据三角形的内角和定理,有
2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.
所以2x=80,∠A=80°,
2x-20=60,∠B=60°.
故△ABC的三个角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.
8.解△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∴∠1+∠A=90°.
又∠1=∠2,
∴∠2+∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
9.解在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.
∴∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.
在△BDF中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-(42°+106°)=32°.
二、创新应用
10.解(1)125°
(2)140°
(3)∵∠A=n°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-n°.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB
=(∠ABC+∠ACB)
=×(180°-n°)=90°-.
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-=90°+.11．2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" \* MERGEFORMAT 必备知识·基础练 INCLUDEPICTURE "右J.TIF" INCLUDEPICTURE "右J.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "易错诊断JS.TIF" INCLUDEPICTURE "易错诊断JS.TIF" \* MERGEFORMAT (打“√”或“×”)
1．在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.(√)
2．直角三角形的两个锐角互余．(√)
3．有一个角是直角的三角形是直角三角形．(√)
4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝90°.(×)
INCLUDEPICTURE "对点达标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "对点达标JS.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点1 三角形内角和定理
1．(概念应用题)(2020·大连中考)如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( D )
A.50° B．60° C．70° D．80°
【解析】∵∠C＝180°－∠A－∠B，∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠C＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°.
2．(2020·沈阳中考)如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为( B )
A.65° B．55° C．45° D．35°
【解析】∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°－90°－∠BAC＝90°－35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°.
3．如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是( B )
A.5° B．10° C．30° D．70°
【解析】∠3＝∠2＝100°，
∴木条a，b所在直线所夹的锐角＝180°－100°－70°＝10°.
4．(教材P4练习T1拓展)如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，DE∥AC.
(1)求∠DEB的度数．
(2)求∠BDC的度数．
【解析】(1)在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°－80°－30°＝70°，
又∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝70°.
(2)∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠ACD＝∠ECD＝∠ACB＝35°，∴∠BDC＝180°－∠B－∠ECD＝180°－30°－35°＝115°.
知识点2 直角三角形的性质和判定
5．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( D )
A．必有一个内角等于30°
B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°
D．必有一个内角等于90°
【解析】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠C－∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
6．若△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶4，则△ABC一定是( B )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
【解析】设∠A，∠B，∠C分别为x，2x，4x，则x＋2x＋4x＝180°，解得，x＝
°，
则∠C＝4x＝°＞90°，
∴△ABC一定是钝角三角形
7．(2020·淄博中考)如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于( C )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，
∴∠CAB＝90°－∠B＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝40°.
8．(2021·临沂质检)在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】①因为∠A＋∠B＝∠C，
则2∠C＝180°，∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
设∠A＝x，则x＋2x＋3x＝180°，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°－∠B，
所以∠A＋∠B＝90°，
则∠C＝180°－90°＝90°，
所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B＝∠C，
所以∠A＋∠B＋∠C＝∠C＋∠C＋∠C＝180°，则∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形；
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A＋∠B＋∠C＝
∠A＋∠A＋∠A＝180°，∠A＝，
所以△ABC为钝角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个．
9．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为点D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
【解析】△ABC是直角三角形．理由如下：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形．
∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" INCLUDEPICTURE "左2J.TIF" \* MERGEFORMAT 关键能力·综合练 INCLUDEPICTURE "右J.TIF" INCLUDEPICTURE "右J.TIF" \* MERGEFORMAT
10．(2021·长沙质检)如图，在△ABC中，∠A＝45°，△ABC的高线BD，CE交于点O，则∠BOC的度数( C )
A.120° B．125° C．135° D．145°
【解析】∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝45°，∴∠ABC＋∠ACB＝135°，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABC＋∠BCE＝∠ACB＋∠CBD＝90°，
∴∠ABC＋∠BCE＋∠ACB＋∠CBD＝180°，
∴∠BCE＋∠CBD＝45°，
∵∠BOC＋∠BCE＋∠DBC＝180°，
∴∠BOC＝135°.
11．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是( B )
A.45° B．50° C．55° D．80°
【解析】连接AC并延长交EF于点M.
∵AB∥CF，∴∠3＝∠1，
∵AD∥CE，∴∠2＝∠4，
∴∠BAD＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2＝∠FCE，
∵∠FCE＝180°－∠E－∠F＝180°－80°－50°＝50°，
∴∠BAD＝∠FCE＝50°.
12．(2021·天津期中)在△ABC中，已知∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，则∠A＝__20°__，∠B＝__60°__，∠C＝__100°__．
【解析】设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝5x，根据题意得x＋3x＋5x＝180°，解得x＝20°，则3x＝60°，5x＝100°，所以∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°.
13．(教材P12例1改编)在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是__18°__.
【解析】设∠A＝x°，则∠C＝∠ABC＝2x°，所以x＋2x＋2x＝180°， 解得x＝36°，所以∠C＝72°.在Rt△BDC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C＝180°－90°－72°＝18°.
14．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__360__°.
【解析】因为∠A＋∠C＋∠E＝180°，∠B＋∠D＋∠F＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
15．(易错警示题)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为__60或10__度．
【解析】分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°－30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°－30°－50°＝100°，∴∠BCD＝100°－90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°.
16．(生活情境题)(教材P12例2变形题)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则∠A＝__45__°.
【解析】根据题意，得∠1＝∠2＝30°.
∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.
∵∠CBA＝75°－30°＝45°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA
＝180°－90°－45°＝45°.
17．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：∠ACD＝∠B.
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
【证明】(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
(2)在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.
又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.
18．(素养提升题)(教材P17习题11.2T9改编)
如图，△ABC的角平分线BO，CO相交于点O，
(1)若∠A＝120°，求∠BOC的度数；
(2)试探究∠BOC与∠A的关系．
【解析】(1)∵∠A＝120°，
∴∠ABC＋∠ACB＝60°，
∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC＋∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°－30°＝150°.
(2)∠BOC＝90°＋∠A.理由如下：如图，∠BOC＝180°－∠1－∠2＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A.
INCLUDEPICTURE "解题模型J.TIF" INCLUDEPICTURE "解题模型J.TIF" \* MERGEFORMAT
模型 证明三角形内角和定理的思路方法
主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个角，再说明这个角是平角即可．
(1)拼平角，利用平角的大小是180°，如图1.
(2)利用一组邻补角的和为180°，如图2.
(3)利用平行线的性质及平角的定义，如图3.
(4)问题转化桥梁：添作平行线．
其他证明方法，如图：
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