【解析版】广东省江门市开平市开侨中学2012-2013学年高二（下）入学数学试卷（理科）

2012-2013学年广东省江门市开平市开侨中学高二（下）入学数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）不等式的解集是（　　）
　
A．
（﹣3，2）
B．
（2，+∞）
C．
（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）
D．
（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）
考点：
其他不等式的解法．
分析：
直接求解或转化为二次不等式求解．
解答：
解：不等式?（x﹣2）（x+3）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），
故选C．
点评：
本题为解简单的分式不等式，较简单．
　
2．（5分）（2010?广东模拟）使不等式x2﹣3x＜0成立的必要不充分条件是（　　）
　
A．
0＜x＜4
B．
0＜x＜3
C．
0＜x＜2
D．
x＜0或x＞3
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
计算题．
分析：
由题意解不等式x2﹣3x＜0，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件．
解答：
解：∵x2﹣3x＜0，
∴x（x﹣3）＜0，
∴解不等式得0＜x＜3，
∴0＜x＜4是不等式x2﹣3x＜0成立的必要不充分条件，
但B选项是充要条件，只有A才满足条件，
故选A．
点评：
首先正确解不等式，再判断选项是否为必要条件，但不是充分条件．
　
3．（5分）（2013?沈阳二模）已知{an}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（3，a3），Q（4，a4）的直线斜率为（　　）
　
A．
4
B．
C．
﹣4
D．
﹣
考点：
等差数列的性质；直线的斜率．
专题：
综合题．
分析：
由S5=55，求出a3的值，即可求出a4﹣a3的值，利用两点求斜率的方法表示出直线的斜率，然后把a4﹣a3的值代入即可求出直线的斜率．
解答：
解：∵{an}是等差数列，
∴S5=5a3=55，∴a3=11．
∴a4﹣a3=15﹣11=4，
∴kPQ===4．
故选A
点评：
此题考查学生运用等差数列的性质化简求值，会根据两点的坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．
　
4．（5分）（2006?湖北）若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
同角三角函数间的基本关系．
分析：
根据（sinA+cosA）2=1+sin2A，即得答案．
解答：
解：由sin2A=2sinAcosA＞0，可知A这锐角，
所以sinA+cosA＞0，
又，
故选A．
点评：
考查同角三角函数间的基本关系．
　
5．（5分）（2006?安徽）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（　　）
　
A．
﹣2
B．
2
C．
﹣4
D．
4
考点：
抛物线的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p的值．
解答：
解：椭圆的右焦点为（2，0），
所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4，
故选D．
点评：
本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的标准方程．
　
6．（5分）已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（　　）
　
A．
15
B．
21
C．
19
D．
17
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
由题意可得 =1，求得 a1 的值，代入前八项之和公式可得 =（28﹣1）．
解答：
解：由题意可得 =1，∴a1=，
故 前八项之和等于 =（28﹣1）=17，
故选 D．
点评：
本题考查等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，求出 a1 的值，是解题的关键．
　
7．（5分）p：?x∈R*，y=递减，q：在R上，函数y=||递减．则下列命题正确的是（　　）
　
A．
p∨q
B．
p∧q
C．
?p∧q
D．
q
考点：
复合命题的真假．
分析：
利用函数的性质首先判断命题p与命题q的真假性，再结合复合命题的真值表判断出复合命题的真假，进而得到正确的答案．
解答：
解：由题意得y=所以y′=所以函数在（0，+∞）上递减．
所以命题p是真命题．
由题意得函数y=||函数在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．
所以命题q是假命题．
由真值表p∨q是真命题．
故选A．
点评：
解决此类问题的关键是熟悉判断简单命题与复合命题的方法，以及熟练的掌握函数的一个性质．
　
8．（5分）（2010?密云县一模）如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（　　）
　
A．
y2=x
B．
y2=9x
C．
y2=x
D．
y2=3x
考点：
抛物线的标准方程．
专题：
计算题；压轴题；数形结合．
分析：
分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．
解答：
解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，
从而得a=1，
∵BD∥FG，
∴=求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x．
故选D．
点评：
本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．
　
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2009?苏州模拟）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是
　6　．
考点：
基本不等式．
专题：
计算题．
分析：
根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．
解答：
解：∵a+b=2
∴3a+3b≥2=2=6
当且仅当a=b=1时等号成立
故答案为：6
点评：
本题主要考查基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”，为要满足的条件．
　
10．（5分）在等差数列{an}中，a1=120，d=﹣4，若Sn≤an（n≥2），则n的最小值为　62　．
考点：
等差数列的通项公式；数列的函数特性．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由等差数列的首项和公差求出通项和前n项和，代入不等式Sn≤an后求解关于n的二次不等式即可得到答案．
解答：
解：在等差数列{an}中，由a1=120，d=﹣4，
得：an=a1+（n﹣1）d=120﹣4（n﹣1）=124﹣4n，
=122n﹣2n2
由Sn≤an，得：122n﹣2n2≤124﹣4n．
即n2﹣63n+62≥0．解得：n≤1或n≥62．
因为n≥2，所以n≥62．
所以n的最小值为62．
故答案为62．
点评：
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的计算题．
　
11．（5分）（2006?江苏）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为
　18　．
考点：
简单线性规划．
分析：
本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值．
解答：
解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，
目标函数z最大值为18
故答案为18．
点评：
本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．
　
12．（5分）下列命题：①?x∈R，x2≥x；②?x∈R，x2≥x； ③4≥3；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠﹣1”．中，其中正确命题的序号是　②③　．
考点：
命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
阅读型．
分析：
①?x∈R，x2≥x，可找出反例，证明①不正确；②?x∈R，x2≥x，找出一个使②成立的x即可；③4≥3，成立；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠﹣1”，不成立．x2≠1的充要条件是x≠1且x≠﹣1．
解答：
解：当x=0.1时x2≥x不成立，故①不正确；
显然②正确；
③是“4＞3或4=3”，正确；
④x2≠1的充要条件是x≠1且x≠﹣1，故④不正确．
故答案为：②③．
点评：
本题考查四种命题的真假关系，解题时要认真分析，仔细思考，全面考虑，不要出现错解．
　
13．（5分）△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2=ac，2b=a+c，则此三角形形状是　等边三角形　．
考点：
三角形的形状判断．
专题：
解三角形．
分析：
把2b=a+c两边平方后，将b2=ac代入即可得到a与c相等，将a=c代入2b=a+c中得到b与c也相等，根据等量代换得到
三角形的三边相等，从而得出结论．
解答：
解：由于△ABC的三边分别为a，b，c且满足 2b=a+c，∴4b2=（a+c）2 ．
又∵b2=ac，∴（a﹣c）2 =0，∴a=c．
∴2b=a+c=2a，∴b=a，即a=b=c，故此三角形形状是 等边三角形，
故答案为 等边三角形．
点评：
此题考查学生灵活运用和与差的完全平方公式化简求值，掌握等边三角形的判别方法，属于中档题．
　
14．（5分）（2011?惠州模拟）已知双曲线中心在原点，右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为　　．
考点：
圆锥曲线的共同特征．
专题：
计算题．
分析：
先求出抛物线y2=16x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．
解答：
解：∵抛物线y2=16x的焦点是（4，0），
∴c=4，a2=16﹣9=7，
∴e==．
故答案为：．
点评：
本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力．解题时要抛物线的性质进行求解．
　
三、解答题（6题共80分）
15．（12分）已知p：|1﹣|≤2，q：（x﹣1）2﹣m2≤0，且?p是?q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
利用二次不等式与绝对值不等式，分别求解p，q，推出￢p，￢q．利用￢p是￢q的充分而不必要条件，列出关系式，求实数m的取值范围．
解答：
解：由：|1﹣|≤2可得：﹣2≤x≤10，
由（x﹣1）2﹣m2≤0可得：1﹣|m|≤x≤1+|m|，（6分）
∵?p是?q的充分不必要条件，
∴p是q的必要不充分条件
∴即﹣3≤m≤3
∴实数m的取值范围是[﹣3，3]（12分）
点评：
本题考查绝对值不等式，命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力．
　
16．（12分）已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．
考点：
圆与圆锥曲线的综合．
专题：
综合题．
分析：
（1）由题意，应该先设出点M的坐标及圆的半径，利用题中的条件建立方程求解即可；
（2）由题意利用所给的条件信息及（1）中的圆的半径与a，b的关系和离心率进而求解出椭圆的方程．
解答：
解：（1）设M（x0，y0），圆M的半径为r．
因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，
所以MF⊥x轴，所以x0=c，r=|y0|①
因为点M在椭圆上，所以
将上式代入上式得，
因为a2﹣c2=b2所以即：②
又因为圆M与y轴相切，所以M到y轴的距离等于半径r，即：r=|x0|③
由①，②，③得即：b2=ac从而得c2+ac﹣a2=0
两边同除以a2，得：（，，e2+e﹣1=0
解得：因为e∈（0，1）
故：．
（2）因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，
M到圆y轴的距离又由（1）知：，d=c
所以，，又因为a2﹣b2=c2
从而有a2﹣2a﹣3=0解得：a=3或a=﹣1（舍去）b2=2a=6
所求椭圆方程是：
点评：
（1）此问重点考查了利用方程的思想先设出变量在利用条件进行建立方程求解，还考查了椭圆的基本性质和学生的运算能力；
（2）此问重点考查了利用所给信息先简化变量，还考查了一元二次方程的求解方法．
　
17．（14分）已知A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求b的长．
考点：
解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：
计算题．
分析：
（Ⅰ）根据 可得 =0，化简得到sin（A﹣）=．再由 0＜A＜π 可得﹣＜A﹣＜，从而得到 A﹣=，由此求得 A的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求出 sinB 的值，由正弦定理，得 ，运算求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）∵，∴=（，cosA+1）?（sinA，﹣1）=sinA+（cosA+1）?（﹣1）=0，
即 sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣）=．
由于 0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，
∴A﹣=，A=．
（Ⅱ）在△ABC中，，a=2，，∴sinB=．
由正弦定理知：，
∴=．
点评：
本题主要考查正弦定理的应用，解三角形，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
　
18．（14分）（2012?惠州一模）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．
考点：
由三视图求面积、体积；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：
作图题；综合题；转化思想．
分析：
（1）依据三视图的数据，以及位置关系，直接求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）连接AC，证明BD⊥平面PAC，说明不论点E在何位置，都有BD⊥AE；
（3）点E为PC的中点，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF，说明∠DFB为二面角D﹣AE﹣B的平面角，解三角形DFB，求二面角D﹣AE﹣B的大小．
解答：
解：（1）由三视图可知，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，
即四棱锥P﹣ABCD的体积为．（5分）
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．（2分）
∴，（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（7分）
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．（9分）
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．（10分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．（11分）
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（12分）（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF．
∵AD=AB=1，，，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D﹣AE﹣B的平面角．（15分）
在Rt△ADE中，，
又，在△DFB中，由余弦定理得
，（18分）
∴∠DGB=120°，即二面角D﹣AE﹣B的大小为120°．（20分）
点评：
本题考查由三视图求面积、体积，二面角及其度量，考查知识的灵活运用能力，计算能力，转化思想，是中档题．
　
19．（14分）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）=，f（x）的最大值为．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式．
考点：
复合函数的单调性；二次函数的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）由f（2+x）=f（2﹣x）可知f（x）图象关于x=2对称，即=2，由最大值为得f（2）=，即4a+2b+c=，由f（1）=，得a+b+c=，联立方程组解出即可；
（2）由（1）可求出f（x）的单调区间，根据单调性可去掉不等式中符号“f”，转化为二次不等式组，解出即可，注意对数函数的定义域；
解答：
解：（1）∵f（2+x）=f（2﹣x）
∴二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．
∴f（2）=4a+2b+c=①且f（1）=a+b+c=②，③，联立①②③解得：
a=﹣1，b=4，c=．
（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=．
∴，，
由原不等式得：，故原不等式的解集是．
点评：
本题考查二次函数的性质及复合函数的单调性，考查学生的计算能力及灵活运用知识解决问题的能力，属中档题．
　
20．（14分）（2009?天河区一模）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2008；y1，y2，…，yn，…，y2008．
（1）求数列xn的通项公式；
（2）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn的一个通项公式，并证明你的结论；
（3）求zn=x1y1+x2y2+…+xnyn（x∈N*，n≤2008）．
考点：
数列递推式；数列的求和；循环结构．
专题：
证明题；综合题．
分析：
（1）由框图，知数列xn中，x1=1，xn+1=xn+2，由此能导出xn．
（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80．由此，猜想yn=3n﹣1（n∈N*，n≤2008）．然后构造成等比数列进行证明．
（3）zn=x1y1+x2y2++xnyn=1×（3﹣1）+3×（32﹣1）+5×（33﹣1）++（2n﹣1）×（3n﹣1）=1×3+3×32+5×33++（2n﹣1）×3n﹣（1+3+5++2n﹣1）然后用错位相减法进行求解．
解答：
解：（1）由框图，知数列xn中，x1=1，xn+1=xn+2
∴xn=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*，n≤2008）（4分）
（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80
由此，猜想yn=3n﹣1（n∈N*，n≤2008）．
证明：由框图，知数列yn中，yn+1=3yn+2，
∴yn+1+1=3（yn+1）
∴
∴数列yn+1是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴yn+1=3n，
∴yn=3n﹣1（n∈N*，n≤2008）；（9分）
（3）zn=x1y1+x2y2++xnyn=1×（3﹣1）+3×（32﹣1）+5×（33﹣1）++（2n﹣1）×（3n﹣1）
=1×3+3×32+5×33++（2n﹣1）×3n﹣（1+3+5++2n﹣1）
记Sn=1×3+3×32+5×33++（2n﹣1）×3n①
则3Sn=1×32+3×33+5×34++（2n﹣1）×3n+1②
①﹣②，得﹣2Sn=3+2×32+2×33+2×34++2×3n﹣（2n﹣1）×3n+1
∴Sn=（n﹣1）?3n+1+3，
又1+3+5++2n﹣1=n2∴zn=（n﹣1）?3n+1+3﹣n2（n∈N*，n≤2008）．（14分）
点评：
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意错位相减法和构造成法的灵活运用．