【解析版】江苏省泰州市2012-2013学年高一(上)期末数学试卷

江苏省泰州市2012-2013学年高一（上）期末数学试卷
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．（5分）sin960°的值为　　．
考点：
诱导公式的作用．
专题：
计算题．
分析：
利用诱导公式，先化为0°～360°的正弦，再转化为锐角的正弦，即可求得
解答：
解：由题意，sin960°=sin（720°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣
故答案为：
点评：
本题的考点是诱导公式的应用，解题的关键是正确选用诱导公式转化．
　
2．（5分）函数的定义域是　（﹣∞，1）　．
考点：
函数的定义域及其求法．
专题：
计算题．
分析：
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答：
解：依题意，得1﹣x＞0，解得x＜1，
∴函数的定义域是 （﹣∞，1）
故答案为：（﹣∞，1）．
点评：
本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
　
3．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（2）=　8　．
考点：
幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数的值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
设出幂函数的解析式，把点代入后求出幂指数的值，则解析式可求，从而求得f（2）的值．
解答：
解：设幂函数f（x）=xα，因为其图象过点，
所以，，解得：α=3．
所以，f（x）=x3．
则f（2）=23=8．
故答案为8．
点评：
本题考查了幂函数的概念，考查了代点求函数解析式，考查了函数值的求法，解答此题的关键是理解幂函数概念，此题是基础题．
　
4．（5分）若函数f（x）=x4+（m﹣1）x+1为偶函数，则实数m的值为　1　．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
由已知可得f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入即可求解m的值
解答：
解：∵f（x）=x4+（m﹣1）x+1为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立
即（﹣x）4﹣（m﹣1）x+1=x4+（m﹣1）x+1
∴2（m﹣1）x=0对于任意x都成立
∴m=1
故答案为：1
点评：
本题主要考查了偶函数的定义的简单应用，属于基础试题
　
5．（5分）已知扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为　π　．
考点：
扇形面积公式．
分析：
利用扇形的面积计算公式即可得出．
解答：
解：∵弧度，∴此扇形的面积S====π．
故答案为π．
点评：
熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．
　
6．（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为　y=sin（2x﹣）　．
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：
计算题．
分析：
左加右减上加下减的原则，直接求出将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式．
解答：
解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式：y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），
故答案为：y=sin（2x﹣）．
点评：
本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x前面的系数的应用．
　
7．（5分）=　6　．
考点：
对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用指数幂和对数的运算性质即可得出．
解答：
解：原式=lg（4×52）+=lg102+22=2+4=6．
故答案为6．
点评：
熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键．
　
8．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知以x轴为始边的角α、β的终边分别经过点（﹣4，3）、（3，4），则tan（α+β）=　　．
考点：
两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由三角函数的定义可得tanα=，tanβ=，代入两角和的正切公式计算可得答案．
解答：
解：由题意结合三角函数的定义可得
tanα==，tanβ=，
由两角和的正切公式可得
tan（α+β）===，
故答案为：
点评：
本题考查三角函数的定义，以及两角和的正切公式，属基础题．
　
9．（5分）函数f（x）=|x+2|+x2的单调增区间是　（也对）　．
考点：
函数单调性的判断与证明．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
去掉绝对值符号把f（x）转化为分段函数，把各段中的单调区间求出来，然后即可得到答案．
解答：
解：f（x）==，
当x＜﹣2时，f（x）=单调递减；
当x≥﹣2时，f（x）=在（﹣，+∞）上递增，在（﹣2，﹣）上递减，
综上知，f（x）的增区间为：（﹣，+∞）．
点评：
本题考查绝对值函数单调区间的求法，该类问题常见方法为：作出图象，用图象求解；去绝对值转化为分段函数解决．
　
10．（5分）如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量、、满足=x+y（x，y∈R），则4x+y的值为　7　．
考点：
简单线性规划．
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
将题中的4×4的方格放入如图坐标系，并设小方格边长是1，可得向量、、的坐标形式，根据=x+y建立关于x、y的方程组，解之即可得到4x+y的值．
解答：
解：作出如图直角坐标系，设方格正方形的边长为单位长度1，
可得=（1，3），=（3，﹣2），=（4，3）
∵=x+y（x，y∈R），
∴，将方程组中两式相加，可得4x+y=7
故答案为：7
点评：
本题给出4×4的方格纸中的向量量、、，在已知它们的线性关系情况下求4x+y之值，着重考查了平面向量线性运算的坐标表示的知识，属于基础题．
　
11．（5分）若函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的定义域与值域都是[1，a]，则实数b=　5　．
考点：
函数的值域；函数的定义域及其求法．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
首先求出函数的对称轴方程，由此判断函数在给定的定义域[1，a]内是减函数，再根据函数的值域也是[1，a]，联立，可求b的值．
解答：
解：函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的对称轴方程为x=，
所以函数f（x）=x2﹣2ax+b在[1，a]上为减函数，
又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，
则，即，
由①得：b=3a﹣1，代入②得：a2﹣3a+2=0，解得：a=1（舍），a=2．
把a=2代入b=3a﹣1得：b=5．
故答案为5．
点评：
本题考查了二次函数的单调性，考查了函数的值域的求法，考查了方程思想，解答此题的关键是判断函数在给定定义域内的单调性，此题是基础题．
　
12．（5分）已知直线与函数f（x）=cosx，g（x）=sin2x和h（x）=sinx的图象及x轴依次交于点P，M，N，Q，则PN2+MQ2的最小值为　　．
考点：
二倍角的正弦；函数的值域；正弦函数的单调性．
分析：
正确画出三角函数的图象，进而由图象可列出式子表达已知条件，利用三角函数的单调性、有界性和二次函数的单调性即可得出最小值．
解答：
解：如图所示，
则PN2+MQ2=（cosx﹣sinx）2+sin22x=sin22x﹣sin2x+1=，
因此当时，则PN2+MQ2的最小值为．
故答案为．
点评：
熟练掌握数形结合的思想方法、三角函数的单调性、有界性和二次函数的单调性是解题的关键．
　
13．（5分）已知点G、H分别为△ABC的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若，则的值为　　．
考点：
平面向量数量积的运算；三角形五心．
专题：
平面向量及应用．
分析：
利用三角形的重心和垂心的性质、向量的运算法则、数量积的定义即可得出．
解答：
解：如图所示：
设AE、AD分别为BC边上的中线、高，则，．
∴==
====﹣．
故答案为．
点评：
熟练掌握三角形的重心和垂心的性质、向量的运算法则、数量积的定义是解题的关键．
　
14．（5分）已知函数f（x）=mx﹣1，g（x）=x2﹣（m+1）x﹣1，若对任意的x0＞0，f（x0）与g（x0）的值不异号，则实数m的值为　　．
考点：
其他不等式的解法；函数单调性的性质；二次函数的性质；函数的零点．
专题：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：
通过m大于0，等于0，小于0，分别判断对任意的x0＞0，f（x0）与g（x0）的值不异号，是否成立，求出m的值即可．
解答：
解：当m=0时，不满足条件（可知（x）=mx﹣1与X Y轴都有交点）
当m＞0时，画出两函数图象需满足g（）=0且＜得出m=；
当m＜0时，因为一次函数f（x）=mx﹣1在x趋近于正无穷大时候为负无穷大，
而二次函数g（x）=x2﹣（m+1）x﹣1，在x趋近于正无穷大时为正无穷大，不满足要求．
综上：m=．
故答案为：．
点评：
本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，函数的单调性，对称性，考查分析问题解决问题的能力．
　
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（14分）已知集合A={x|2≤x≤6，x∈R}，B={x|﹣1＜x＜5，x∈R}，全集U=R．
（1）求A∩（CUB）；
（2）若集合C={x|x＜a，x∈R}，A∩C=?，求实数a的取值范围．
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
（1）本题为集合的运算问题，结合数轴依据集合运算的定义即可求出集合A∩（CUB）；
（2）利用数轴通过A∩C=?，直接求a的取值范围．
解答：
解：（1）∵B={x|﹣1＜x＜5，x∈R}，
∴CUB={x|x≤﹣1或x≥5}，…（4分）
∴A∩（CUB）={x|5≤x≤6}． …（8分）
（2）∵A={x|2≤x≤6，x∈R}，
C={x|x＜a，x∈R}，A∩C=?，如图，
∴a的取值范围是a≤2． …（14分）
（不写等号扣2分）
点评：
本题考查集合的运算问题，考查数形结合思想解题，属基本运算的考查．
　
16．（14分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求A，ω的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
考点：
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
专题：
计算题；三角函数的图像与性质．
分析：
（1）通过函数的图象直接求A，利用函数的周期即可求出ω的值；
（2）根据函数的单调增区间，直接求f（x）的单调增区间即可；
（3）通过x∈，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解f（x）的最大值和最小值．
解答：
解：（1）由图象知A=1，…（2分）
由图象得函数的最小正周期为，
则由得ω=2．…（4分）
（2）∵，
∴．
∴．
所以f（x）的单调递增区间为．…（9分）
（3）∵，∵，
∴．
∴．…（12分）
当，即时，f（x）取得最大值1；
当，即时，f（x）取得最小值．…（14分）
点评：
本题考查函数解析式的求法，正弦函数的单调性的应用，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．
　
17．（14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示．
（1）求函数y1、y2的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
考点：
根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数y1、y2的解析式；
（2）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（4﹣x）（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．
解答：
解：（1）由题意，解得，…（4分）
又由题意得（x≥0）…（7分）
（不写定义域扣一分）
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元
由（1）得，（0≤x≤4）…（10分）
令，则有=，，
当t=2即x=3时，y取最大值1．
答：该商场所获利润的最大值为1万元．…（14分）
（不答扣一分）
点评：
本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．
　
18．（16分）已知向量=（1，cosα），=（1，sinβ），=（3，1），且（+）∥．
（1）若，求cos2β的值；
（2）证明：不存在角α，使得等式|+|=|﹣|成立；
（3）求?﹣2的最小值．
考点：
平行向量与共线向量；二次函数在闭区间上的最值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）由题意可得当可得sinβ，由二倍角公式可得cos2β；
（2）假设成立，由数量积的运算可得，即cosα=﹣3，矛盾；
（3）由（1）可得，代入可得所求式子为关于cosα的二次函数，进而可得最值．
解答：
解：∵，=（3，1），且（）∥．∴…（3分）
（1）∵，∴，∴，∴…（6分）
（2）假设存在角α使得等式成立则有
∴，∴cosα=﹣3，不成立，∴不存在角α使得等式成立．…（11分）
（3）∵∴，
∴，又﹣1≤cosα≤1，∴，…（13分）
∴当cosα=1时，． …（16分）
点评：
本题考查平行向量，以及二次函数在闭区间的最值，属基础题．
　
19．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=ax+3（a∈R）．
（1）记函数F（x）=f（x）﹣g（x），
（i）判断函数F（x）的零点个数；
（ii）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
（2）设．若对于函数y=G（x）图象上异于原点O的任意一点P，在函数y=G（x）图象上总存在另一点Q，使得，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．
考点：
平面向量数量积的运算；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．
专题：
计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用．
分析：
（1）利用函数F（x）=f（x）﹣g（x）求出表达式，
（i）利用判别式的符号，直接判断函数F（x）的零点个数；
（ii）通过函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，化简函数的表达式，利用函数的对称轴，以及1处的函数值，列出不等式组，求实数a的取值范围．
（2）通过．求出函数y=G（x）的表达式，设出点P的坐标、Q的坐标，通过，且PQ的中点在y轴上，求出a的取值范围．
解答：
解：（1）（i）F（x）=x2﹣ax﹣3
∵∴函数F（x）有2个零点． …（4分）
（ii） ，当a≤0时，图象为：
当a＞0时，图象为：
由题意．解得﹣2≤a≤0…（8分）
（2），
由题意易知P，Q两点在y轴的两侧，不妨设P点坐标在y轴的左侧，设，
当﹣1＜x1＜0，则，恒成立，…（12分）
当x1≤﹣1，则设点Q（﹣x1，﹣ax1+3），恒成立，
∴ax1＞2恒成立，∵x1≤﹣1，
∴恒成立，只要∴，…（14分）
∵x1≤﹣1，∴，
∴a＜﹣2． …（16分）
点评：
本题考查函数的零点，函数与方程的关系的应用，恒成立问题的应用，平面向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．
　
20．（16分）已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A?[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i） 问函数y=sinx+cosx是否是区间上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．
考点：
奇偶性与单调性的综合．
专题：
新定义；函数的性质及应用．
分析：
（1）（i）记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，根据偏增函数的定义及正余弦函数的性质可作出判断；（ii）f（x）=（sinx﹣cosx）+cosx，记，根据偏增函数的定义可证明；
（2）分情况讨论：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=﹣x+b，取D=（0，b）；②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x﹣c，f2（x）=﹣x+b+c，D=（0，b+c），根据偏增函数定义即可证明；
解答：
（1）解：（i） y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，显然f1（x）=sinx在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，
且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），
又在上单调递增，
故y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
（ii）证明：，
记，
显然在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，
且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），
又y=f（x）=f1（x）+f2（x）=sinx在上单调递增，
故y=sinx是区间上的“偏增函数”．
（2）证明：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=﹣x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）?[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f2（x）=﹣x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f2（x）＞f2（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x﹣c，f2（x）=﹣x+b+c，D=（0，b+c）?[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x﹣c在（0，b+c）上单调递增，f2（x）=﹣x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f2（x）＞f2（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．
点评：
本题考查函数的单调性、正余弦函数的性质，考查分类讨论思想，考查学生灵活运用知识分析问题解决新问题的能力，综合性强，难度大．