第2章 有理数单元测试卷（困难）（含答案）

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青岛版初中数学七年级上册第二单元《有理数》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列说法中：
是最小的整数；有理数不是正数就是负数；
正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；非负数就是正数；
不仅是有理数，而且是分数；是无限不循环小数，所以不是有理数；
无限小数不都是有理数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列各组量中，具有相反意义的量是( )
A. 向东行千米与向南行千米 B. 队伍前进与队伍后退
C. 身高 与身高 D. 增长与减少
水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天上升，今天的水位为，那么天前的水位用算式表示正确的是( )
A. B. C. D.
如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字、、、，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上重合的点表示的数字为( )
A. B. C. D.
如图，正方形的周长为个单位．在该正方形的个顶点处分别标上，，，，先让正方形上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示的点与正方形上的数字对应的是( )
A. B. C. D.
如图，在数轴上有、、、四个整数点即各点均表示整数且，若、两点表示的数分别为和，且的中点为，的中点为，之间距点的距离为的点为，则该数轴的原点为( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、、、若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是( )
A. B. C. D.
小调皮写作业时，将两滴墨水滴在一条数轴上如图所示，根据图中标出的数值可判定墨迹盖住的整数共个．( )
A. B. C. D.
如图数轴上一个单位长度表示，点离原点半个单位长度，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
数轴上：原点左边有一点，从对应着数，有如下说法：
表示的数一定是正数：
若，则；
在，，，中，最大的数是或；
式子的最小值为．
其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列说法：平方等于的数是；若，互为相反数，则；若，则是一个正数；若，则的取值在，，，这四个数中，不可取的值是 四舍五入得到近似数万，它精确到十分位。正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
若，则，，的大小关系是________．
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
循环小数．可化分数为______．
在下列各数中：，，，，，，，，，，非负整数的个数是______．
将数轴按如图所示从点开始折出一等边，设表示的数为，表示的数为，表示的数为，则__________．
的相反数是 ，绝对值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
已知、在数轴上分别表示、
对照数轴填写下表：
A、两点的距离 ______ ______ ______ ______ ______ ______
若、两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？
在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到和的距离之和为，并求所有这些整数的和．
若点表示的数为，当点在什么位置时，取得的值最小？
某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如表．单位：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
填空：在第______次记录时距地最远？
求收工时距地多远？
若每耗油升，问共耗油多少升？
足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练设计了折返跑训练．教练在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下单位：米：，，，，，，，，，．
球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
球员训练过程中，最远处离出发点多远？
球员在一组练习过程中，跑了多少米？
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：
操作：折叠纸带，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示数的点与表示数_____的点重合．
操作：折叠纸带，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示数_____的点重合．
操作：如图，在数轴上剪下个单位长度从到的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为：：，则折痕处对应的点表示的数可能是几？
在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点对于数轴上任意一点不与点，点重合，将线段与线段的长度之比定义为点的特征值，记作，即例如：当点是线段的中点时，因为，所以．
如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称．
__________；
比较，，的大小_______________用“”连接；
数轴上的点满足，求；
数轴上的点表示有理数，已知且为整数，则所有满足条件的的倒数之和为__________．
已知点，，，是同一数轴上的不同四点，且点为线段的中点，点为线段的中点如图，设数轴上点表示的数为，点表示的数为．
若数轴上点，表示的数分别是，，
若点表示的数是，求线段的长．
若，请结合数轴，求线段的长．
若点，，均在点的右侧，且始终满足，求点在数轴上所表示的数．
【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则即表示为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】
点，表示的数分别为，，则______，在数轴上可以理解为______．
若，则______，若，则______．
【应用】
如图，数轴上表示点的点位于和之间，求的值．
由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时的值；如果没有，说明理由．
已知：关于、的方程组的解为非负数．
求的取值范围；
化简；
在的取值范围内，为何整数时，使得解集为．
对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如：．
填空：____________，______；
若，都是整数，且和互为相反数，求的值；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数．
有理数的分类：有理数，依此即可作出判断．
【解答】
解：、没有最小的整数，故错误；
、有理数包括正数、和负数，故错误；
、正整数、负整数、、正分数、负分数统称为有理数，故错误；
、非负数就是正数和，故错误；
、是无理数，故错误；
、是无限循环小数，所以是有理数，故错误；
、无限小数不都是有理数是正确的；
、正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的；
故其中错误的说法的个数为个．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是正负数有关知识，利用正负数的意义对各个选项逐一判定即可解答．
【解答】
解：项错，没有规定哪个方向为正，
项错，没有规定哪个方向为正，
项错误，没有比较的标准，
D正确．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了正数与负数，弄清题意是解本题的关键．
根据题意列出算式即可．
【解答】
解：根据题意得：天前的水位用算式表示为，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为与之间的距离是个单位长度，而，所以数轴上表示数的点与圆周上表示数字的点重合，故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数轴．找出正方形的周长与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键根据从点到点共个单位长度，正方形的周长为个单位长度，，由结果可推出结论．
【解答】
解：从点到点共个单位长度，
正方形的周长为个单位长度，
，
故数轴上表示的点与正方形上表示数字的点重合，
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数轴、比较线段的长短．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．根据、两点在数轴上所表示的数，求得的长度，然后根据，求得、，的长度，从而找到，，所表示的数．
【解答】
解：如图所示：
，
设，则，，
、两点表示的数分别为和，
，
解得：，故CD，，，
的中点为，的中点为，
，，
则点对应的数字是，对应的数字为，
之间距点的距离为的点为，
，故A，则正好是原点．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查数轴的应用、数字的规律等．
【解答】
解：结合题意得：，
，
，
，
所以数字的排列为个一周期，
，
所以，
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被被墨水盖住的整数即可．
【解答】
解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、、、、共个，
到之间的整数有、、、、、、共个，
所以被墨迹盖住的整数有个．
故答案为．

9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：数轴上点对应着数，在原点左边，因此，
，即是正数，因此正确；
若，则；又，因此，故正确；
，
，，，，
当时，，当时，，因此正确；
，
，因此正确；
故选：．
根据点在数轴上的位置，判断，，，的符号，求出当时的值，从而对各个选项进行判断，得出答案即可．
考查数轴表示数的意义，相反数、不等式的意义，理解点的取值，得出相应代数式的符号或值是解决问题的前提．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平方，相反数，绝对值及分式的化简求值平方相等的两个数相等或互为相反数，据此进行判断；只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得出结论；根据负数的绝对值等于它的相反数即可判断，再根据乘方的性质进行判断；先根据已知条件判断异号，再根据绝对值的性质进行判断．
【解答】
解：平方等于的数是，故错误；
没考虑等于的情况，故错误；
若，则是一个正数；可以为，所以的值不一定为正数，故错误；
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
故能得到，故错误，
四舍五入得到近似数万，它精确到十分位，是正确的；
综上正确．
故选A．

12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．首先根据，判断出；然后根据，可得，所以，据此判断出，，的大小关系即可．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：设，则．，
．，
解得．
故答案为：．
根据小数之间的关系先设，等式两边都扩大倍得新的方程，然后根据它们之间的关系进行等量代换，列出一元一次方程，左后求出结果．
本题考查循环小数转化为分数，掌握解题中巧妙的设出未知数，列出有关的一元一次方程，是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：非负整数就是正整数和，当时正数时，就是负数，是无限不循环小数．
非负整数有：：，共个．
故答案为：
根据实数数的分类，对各数判断并得结论．
本题考查实数的分类，解题的关键是正确理解实数的分类，本题属于基础题型．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，根据等边三角形的边长相等得出，求出即可．
【解答】
解：为等边三角形，设表示的数为，表示的数为，表示的数为，
，
解得：，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查相反数和绝对值的意义根据相反数的概念和绝对值的性质进行解答即可．
【解答】
解：的相反数是，
绝对值是
故答案为

17.【答案】解：所填表格如下：
A、两点的距离间
由可得：或；
只要在和之间的整数均满足到和的距离之和为，有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所有满足条件的整数之和为：；
根据数轴的几何意义可得和之间的任何一点均能使取得的值最小．
故可得：点的范围在：时，能满足题意．
【解析】根据数轴的知识，结合表格中的数即可得出答案．
由所填写的数字，即可得出结论．
由数轴的知识，可得出只要在和之间的整数均满足题意．
根据绝对值的几何意义，可得出和之间的任何一点均满足题意．
此题考查了绝对值函数的最值、数轴及两点间的距离，解答本题的关键是理解绝对值的几何意义，难度一般，不理解的地方可以借助坐标轴演示．
18.【答案】五
【解析】解：第一次距地千米；
第二次：千米；
第三次：千米；
第四次：千米；
第五次：千米；
第六次：千米；
第七次：千米．
所以距地最远的是第五次；
，
收工时距地是；
升．
答：共耗油升．
故答案为：五．
分别计算出每次检修后所处位置即可求解；
计算出最后一次所处位置即可；
将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量．
本题主要考查正数和负数，掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．
19.【答案】解：米；
答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点；
第一段，，
第二段，，
第三段，，
第四段，，
第五段，，
第六段，，
第七段，，
第八段，，
第九段，，
第十段，，
在最远处离出发点；
米，
答：球员在一组练习过程中，跑了米．
【解析】根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果；
求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果；
利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可．
本题考查了有理数的加减混合运算以及绝对值的性质，关键是熟练利用加法的运算法则进行运算．
20.【答案】解：；
；
如图，当：：：：时，
设，，，
，
，
，，，
折痕处对应的点所表示的数是：，
如图，当：：：：时，
设，，，
，
，
，，，
折痕处对应的点所表示的数是：，
如图，当：：：：时，
设，，，
，
，
，，
折痕处对应的点所表示的数是：，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．

【解析】
【分析】
此题主要考查数轴，线段的和差，是一个实践操作问题
先找到折痕表示的数，再求解
先找到使表示的点与表示的点重合，中心点表示的数为，再求解
利用分类讨论法当：：：：时，当：：：：时，当：：：：时，分别求解．
【解答】
解：由题意得：对折中心点表示的数为，因此表示的点与表示的点重合；
故答案为：；
折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，中心点表示的数为，
与之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：；
见答案．

21.【答案】解：；
；
，，
，
表示的数是：，
当表示的数是：，，；
当表示的数是：，，；
．
【解析】
【分析】
本题是新定义综合题，考查数轴上两点间距离表示方式及分析推理能力，综合性较强。
直接按照新定义代入计算即可；
分别计算出，，，再判断即可；
根据，进行分类讨论，分别求出表示的两个数，再代入计算即可；
根据题意进行分析，得出满足条件的所有，再求出倒数和即可。
【解答】
解：点表示的数是，点与关于原点对称，
点表示的数是，
此时，，，
；
，，，
；
见答案；
点表示有理数，已知且为整数，，
为整数，
，且为的倍数，，
由题意可得，
当为中点时，，此时，；
当时，可得或；
当时，可得或；
时，可得或；
则所有满足条件的的倒数之和为
22.【答案】解：数轴上点、、、表示的数分别是、、，，点是线段的中点，点是线段的中点， 如图：
点所表示的数为，点所表示的数为，
线段的长为：；
点表示的数为，且，
第一种情况：当点位于点左侧时，如图：
此时点表示的数为，
又点、表示的数分别是、，
点所表示的数为，点所表示的数为，
此时线段的长为，
第二种情况：当点位于点右侧时，如图：
此时点所表示的数为，
又点、表示的数分别是、，
点所表示的数为，点所表示的数为，
此时线段的长为，
综上，的长为或；
点、、均在点的右侧，
设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，，
，，，
，
点是线段的中点，点是线段的中点，
点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示，
，
，
，
整理，得，
当时，
解得不符合题意，舍去，
当时，
解得：，
点在数轴上表示的数为，
综上，点在数轴上所对应的数为．
【解析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的中点及线段的和差，理解线段中点的概念，掌握数轴上两点间的距离公式两数之差的绝对值是解题关键．
根据数轴上两点间的距离及线段中点的定义求得点和点在数轴上表示的数，然后根据数轴上两点间距离的求法进行解答，即可求解；
首先分两种情况，第一种情况是点位于点的左侧，第二种情况是点位于点的右侧，然后结合线段中点的定义及数轴上两点间的距离公式，列式计算即可；
设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，结合数轴上两点间的距离和线段的和差关系进行解答，即可求解．
23.【答案】解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，
，即可表示为到的距离，
故答案为：；与的距离．
，
到的距离为，
，，
或；
，
到的距离和到的距离相同，
．
故答案为：或；．
可表示到的距离加上到的距离且位于和之间，
原式可看作与之间的距离，
．
可表示为到的距离加上到的距离加上到的距离，
当时，该式取得最小值，此时．
【解析】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论；
结合数轴分析，根据数轴上与相距个单位的点为或，数轴上表示的点和到表示的点距离相等的点所表示的数为；
根据题意，表示到的距离加上到的距离，由于位于和之间，即和的两点距离之和，即可得到结论；
结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可．
24.【答案】解：由得，，
方程组的解为非负数，
解得；
，
；
，
则，
的解集为，
，
，
若为整数，则，
即在的取值范围内，时，使得解集为．
【解析】本题考查一元一次不等式的整数解、绝对值、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
先解方程组，根据解为非负数，得出的取值范围；
根据的取值范围及绝对值的性质化简即可；
根据解集为，得出，求出的值即可．
25.【答案】解：；； ；
，都是整数，
，
而和互为相反数，
，即，
因此，
答：代数式的值为；
当原点在大数的右侧时，有，此时，，
当原点在小数的左侧时，有，此时，，
故的取值范围为或．
【解析】
【分析】
本题考查绝对值、相反数的意义，理解的意义是正确解答的关键．
根据表示的意义，进行计算即可；
根据，都是整数，且和互为相反数，得到，进而求值即可；
分原点在表示数的点的右侧和在表示数的左侧两种情况进行解答．
【解答】
解：根据表示的意义得，，
故答案为：，，；
见答案
见答案
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