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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·揭阳期末）设集合，集合，则（ ）
A． B． C．(－1，4) D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为集合，集合，
所以，
故答案为：D.
【分析】首先由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集再由并集的定义结合不等式即可得出答案。
2．（2022·新昌模拟）设x是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，即，
所以或，解得或，
因为或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】解不等式，再根据充分条件、必要条件的可得答案。
3．（2022·河东模拟）已知命题，命题，则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解不等式，可得，
又，
所以命题是命题成立的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
4．（2022·长兴模拟）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由得且，
得，所以，
所以.
故答案为：A
【分析】首先把不等式等价变形，再由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合P，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。
5．（2022·浙江模拟）已知集合，则（ ）
A．{0} B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为，又
则，
故答案为：A．
【分析】根据题意一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合B再由交集的定义即可得出答案。
6．（2022·玉林模拟）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此得出集合A，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。
7．（2022高三下·浙江竞赛）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得A={1，2}，B={x|x>2}，则CRB={x|x≤2}，则 .
故答案为：C
【分析】根据不等式的解法，结合补集与交集的运算求解即可.
8．（2021高二上·湖南期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，，
，
故答案为：A
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，从而即可得出集合B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
二、多选题
9．（2021高一上·湖州期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式 的解集为
【答案】A,C,D
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】解：因为的不等式 的解集为 ，
所以a>0，且0和1是的两根，
所以c=0，a+b=0，故A正确，B错误；
由a+b=0得：b=-a，所以a+2b+4c=a+b+b=b<0，故C正确；
关于x的不等式 可化为-ax+a>0，因为a>0，所以x-1<0，解得x<1， 故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合三个二次的关系求解即可.
10．（2021高一上·广东期中）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由 解得， 或 ，由题意可知， ， ．
故答案为：CD．
【分析】根据不等式的关系以及充分不必要条件的定义进行求解即可.
11．（2021高一上·黑龙江期中）命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】子集与真子集；存在量词命题；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：因为命题“ ”是真命题，
所以 ，即m2-3m≤0 ，解得0≤m≤3 .
要求命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件，
只需找[0，3]的一个真子集，
对照四个选项，只有BC符合.
故答案为：BC
【分析】根据存在量词命题的真假判断，结合一元二次不等式的解法以及真子集的定义求解即可.
12．（2021高三上·福建月考）已知 ：关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是( )
A． 的必要不充分条件是
B． 的充分不必要条件是
C． 是 的充要条件
D． 是 的既不充分也不必要条件
【答案】A,B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由题意易知，当 时，不等式不成立；
因为当 时， 的解集为 ，
所以 且判别式 ，解得， ，
根据充分条件和必要条件的定义知，ABCD均正确.
故答案为：ABCD.
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，由二次函数根的情况即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围，然后由充分和必要条件的定义即可得出答案。
三、填空题
13．（2022高二下·自贡期末）若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】当时，不满足题意；
∴，，则且，解得.
故答案为：[，+∞）.
【分析】根据二次不等式恒成立进行求解即可.
14．（2022·怀化模拟）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
【答案】[2，+∞)
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：[2，+∞)．
【分析】 先解一元二次不等式求出x的范围，再利用充分不必要条件的定义求解出 a的取值范围 .
15．（2022高一下·深圳期中）若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】[-2，8]
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：根据题意先求 的最小值，
由x>0 ，y>0，
得
当且仅当又 ，即x=24，时，等号成立，
所以若要不等式 恒成立，
只要，即 ，
解得-2≤m≤8 ，
所以m∈[-2，8] .
故答案为：[-2，8]
【分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“1 ”的妙用，求得 ，解不等式即可得解.
16．（2022·黄浦模拟）不等式的解集为 .
【答案】(-1，2)
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，解得，故解集为(-1，2)，
故答案为(-1，2).
【分析】首先对不等式进行变形，然后结合一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
四、解答题
17．（2022高一下·巴中期末）已知函数，的解集为或．
（1）求实数、的值；
（2）若时，求函数的最小值．
【答案】（1）解：因为关于的不等式的解集为或，
所以，-1、是方程的两个根，所以，，解得
（2）解：由题意知，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立
故函数的最小值为
【知识点】一元二次不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）分析可知 -1、 是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得 、的值；
（2）求得，利用基本不等式可求得在上的最小值.
18．（2022高一上·泰安期末）已知关于x的不等式，.
（1）若，解不等式；
（2）若不等式的解集为，且.求a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，，则不等式的解集为.
（2）解：由题意，，而，则，所以，于是，则.
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）代入，利用一元二次不等式的解法即可求解；
（2） 由题意，，而，则 ， 所以 ， 于是，求出a的取值范围即可.
19．（2022高一上·海淀期末）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由得或.
所以.
当时，.
所以.
（2）解：由题意知].又，
因为，
所以.
所以.
所以实数的取值范围是
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据题意首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合A和B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
(2)由已知条件结合题意由不等式的性质即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，由此即可得出答案。
20．（2021高一上·南京月考）已知全集U=R，集合.
（1）若a=1，求A∩(UB)；
（2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）当a=1时，A=(2，5)，B=(1，3)
所以，
所以A∩(UB)；
（2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以BA，
又A=(2，5)，B=(a，a+2)，
所以有，解得2≤a≤3，
所以实数a的取值范围是[2，3].
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据题意由a的取值即可得出不等式，然后由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此即可得出集合B，再由补集和交集的定义结合不等式，即可得出答案。
(2)由已知条件即可得出集合之间的关系，然后由集合之间的关系，对边界点进行限制，由此即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
21．（2021高一上·淮安期中）二次函数.
（1）当，时，求此函数的零点；
（2）若不等式的解集为，求实数，的值；
（3）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值集合.
【答案】（1）当，时，y=，
令y=0，则=0，，
所以，此函数的零点是-1和-3；
（2）依题意，不等式的解集为，
则是方程的二根，且，
由韦达定理得：，
解得，
所以实数，的值分别为；
（3）当时，不等式化为：，
依题意，不等式在上恒成立，
因，则，
解得，
所以实数的取值集合是.
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据题意由a与b的取值即可求出函数的解析式，然后由零点的定义即可。
(2)由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，由韦达定理计算出a与b的值即可。
(3)由已知条件即可得出不等式 在上恒成立 ，结合二次函数的图象和性质，即可求出关于a的取值范围。
22．（2021高二上·开封期中）已知命题 ， 是假命题.
（1）求实数 的取值集合 ；
（2）设不等式 的解集为 .若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，命题 ， 是真命题，
所以， ，故 ；
（2）解：由题意可知，A B且 .
①若 ，即当 时， ，所以 ，解得 ，此时 ；
②若 ，即当 时， ，所以 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式与二次函数
【解析】【分析】(1)由复合命题的真假判断，结合一元二次函数的图象和性质即可求出函数的最值，从而得出m的取值范围以及集合B。
(2)根据题意由集合之间的关系，对a分情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，然后由充分和必要条件的定义即可得出a的取值范围。
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·揭阳期末）设集合，集合，则（ ）
A． B． C．(－1，4) D．
2．（2022·新昌模拟）设x是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·河东模拟）已知命题，命题，则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·长兴模拟）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江模拟）已知集合，则（ ）
A．{0} B．
C． D．
6．（2022·玉林模拟）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高三下·浙江竞赛）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2021高二上·湖南期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021高一上·湖州期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式 的解集为
10．（2021高一上·广东期中）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2021高一上·黑龙江期中）命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．
12．（2021高三上·福建月考）已知 ：关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是( )
A． 的必要不充分条件是
B． 的充分不必要条件是
C． 是 的充要条件
D． 是 的既不充分也不必要条件
三、填空题
13．（2022高二下·自贡期末）若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为 .
14．（2022·怀化模拟）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
15．（2022高一下·深圳期中）若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
16．（2022·黄浦模拟）不等式的解集为 .
四、解答题
17．（2022高一下·巴中期末）已知函数，的解集为或．
（1）求实数、的值；
（2）若时，求函数的最小值．
18．（2022高一上·泰安期末）已知关于x的不等式，.
（1）若，解不等式；
（2）若不等式的解集为，且.求a的取值范围.
19．（2022高一上·海淀期末）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
20．（2021高一上·南京月考）已知全集U=R，集合.
（1）若a=1，求A∩(UB)；
（2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围.
21．（2021高一上·淮安期中）二次函数.
（1）当，时，求此函数的零点；
（2）若不等式的解集为，求实数，的值；
（3）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值集合.
22．（2021高二上·开封期中）已知命题 ， 是假命题.
（1）求实数 的取值集合 ；
（2）设不等式 的解集为 .若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为集合，集合，
所以，
故答案为：D.
【分析】首先由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集再由并集的定义结合不等式即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，即，
所以或，解得或，
因为或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】解不等式，再根据充分条件、必要条件的可得答案。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解不等式，可得，
又，
所以命题是命题成立的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由得且，
得，所以，
所以.
故答案为：A
【分析】首先把不等式等价变形，再由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合P，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为，又
则，
故答案为：A．
【分析】根据题意一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合B再由交集的定义即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此得出集合A，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得A={1，2}，B={x|x>2}，则CRB={x|x≤2}，则 .
故答案为：C
【分析】根据不等式的解法，结合补集与交集的运算求解即可.
8．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，，
，
故答案为：A
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，从而即可得出集合B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
9．【答案】A,C,D
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【解答】解：因为的不等式 的解集为 ，
所以a>0，且0和1是的两根，
所以c=0，a+b=0，故A正确，B错误；
由a+b=0得：b=-a，所以a+2b+4c=a+b+b=b<0，故C正确；
关于x的不等式 可化为-ax+a>0，因为a>0，所以x-1<0，解得x<1， 故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合三个二次的关系求解即可.
10．【答案】C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由 解得， 或 ，由题意可知， ， ．
故答案为：CD．
【分析】根据不等式的关系以及充分不必要条件的定义进行求解即可.
11．【答案】B,C
【知识点】子集与真子集；存在量词命题；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：因为命题“ ”是真命题，
所以 ，即m2-3m≤0 ，解得0≤m≤3 .
要求命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件，
只需找[0，3]的一个真子集，
对照四个选项，只有BC符合.
故答案为：BC
【分析】根据存在量词命题的真假判断，结合一元二次不等式的解法以及真子集的定义求解即可.
12．【答案】A,B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由题意易知，当 时，不等式不成立；
因为当 时， 的解集为 ，
所以 且判别式 ，解得， ，
根据充分条件和必要条件的定义知，ABCD均正确.
故答案为：ABCD.
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，由二次函数根的情况即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围，然后由充分和必要条件的定义即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】当时，不满足题意；
∴，，则且，解得.
故答案为：[，+∞）.
【分析】根据二次不等式恒成立进行求解即可.
14．【答案】[2，+∞)
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：[2，+∞)．
【分析】 先解一元二次不等式求出x的范围，再利用充分不必要条件的定义求解出 a的取值范围 .
15．【答案】[-2，8]
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：根据题意先求 的最小值，
由x>0 ，y>0，
得
当且仅当又 ，即x=24，时，等号成立，
所以若要不等式 恒成立，
只要，即 ，
解得-2≤m≤8 ，
所以m∈[-2，8] .
故答案为：[-2，8]
【分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“1 ”的妙用，求得 ，解不等式即可得解.
16．【答案】(-1，2)
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，解得，故解集为(-1，2)，
故答案为(-1，2).
【分析】首先对不等式进行变形，然后结合一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
17．【答案】（1）解：因为关于的不等式的解集为或，
所以，-1、是方程的两个根，所以，，解得
（2）解：由题意知，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立
故函数的最小值为
【知识点】一元二次不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）分析可知 -1、 是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得 、的值；
（2）求得，利用基本不等式可求得在上的最小值.
18．【答案】（1）解：由题意，，则不等式的解集为.
（2）解：由题意，，而，则，所以，于是，则.
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）代入，利用一元二次不等式的解法即可求解；
（2） 由题意，，而，则 ， 所以 ， 于是，求出a的取值范围即可.
19．【答案】（1）解：由得或.
所以.
当时，.
所以.
（2）解：由题意知].又，
因为，
所以.
所以.
所以实数的取值范围是
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据题意首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，进而得出集合A和B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
(2)由已知条件结合题意由不等式的性质即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，由此即可得出答案。
20．【答案】（1）当a=1时，A=(2，5)，B=(1，3)
所以，
所以A∩(UB)；
（2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以BA，
又A=(2，5)，B=(a，a+2)，
所以有，解得2≤a≤3，
所以实数a的取值范围是[2，3].
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据题意由a的取值即可得出不等式，然后由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此即可得出集合B，再由补集和交集的定义结合不等式，即可得出答案。
(2)由已知条件即可得出集合之间的关系，然后由集合之间的关系，对边界点进行限制，由此即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
21．【答案】（1）当，时，y=，
令y=0，则=0，，
所以，此函数的零点是-1和-3；
（2）依题意，不等式的解集为，
则是方程的二根，且，
由韦达定理得：，
解得，
所以实数，的值分别为；
（3）当时，不等式化为：，
依题意，不等式在上恒成立，
因，则，
解得，
所以实数的取值集合是.
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据题意由a与b的取值即可求出函数的解析式，然后由零点的定义即可。
(2)由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，由韦达定理计算出a与b的值即可。
(3)由已知条件即可得出不等式 在上恒成立 ，结合二次函数的图象和性质，即可求出关于a的取值范围。
22．【答案】（1）解：由题意可知，命题 ， 是真命题，
所以， ，故 ；
（2）解：由题意可知，A B且 .
①若 ，即当 时， ，所以 ，解得 ，此时 ；
②若 ，即当 时， ，所以 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式与二次函数
【解析】【分析】(1)由复合命题的真假判断，结合一元二次函数的图象和性质即可求出函数的最值，从而得出m的取值范围以及集合B。
(2)根据题意由集合之间的关系，对a分情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，然后由充分和必要条件的定义即可得出a的取值范围。
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