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第二章 一元二次函数、方程和不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·双鸭山期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
2．（2022高二下·咸阳期末）若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·揭阳期末）设集合，集合，则（ ）
A． B． C．(－1，4) D．
4．（2022高二下·杭州期末）正实数a，b满足ab=1，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
5．（2022高二下·宁波期末）已知正实数、和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·温州期末）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
7．（2022·惠州模拟）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
8．（2022·浙江模拟）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2022·张家口模拟）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（ ）
A．若的最小值为，则
B．若的最大值为4，则
C．若的最大值为m，则
D．若，则的最小值为2
10．（2022高二下·湖州期末）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高一下·深圳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C． ，则
D．若 ，则
12．（2022高一下·湖北期中）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题
13．（2022·吉林模拟）已知，则的最小值是 ．
14．（2022·黄浦模拟）不等式的解集为 .
15．（2022高二下·自贡期末）若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为 .
16．（2022·天津市模拟）已知正实数，满足，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2021高一上·淮安期中）
（1）若实数，求的最小值，并求此时的值；
（2）解不等式（）．
18．（2021高一上·容县期中）已知集合 ， .
（1）求集合B；
（2）求 .
19．（2021高一上·龙江期中）设 ：实数 满足 ，其中 ． ：实数 满足 ．
（1）当 时，求满足 ， 条件的实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
20．（2022高二下·浙江开学考）为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
（Ⅰ）要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（Ⅱ）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由.
21．（2021高一上·徐州期中）已知函数.
（1）求解不等式的解集；
（2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值.
22．（2021高一上·麻城期中）已知不等式 的解为 或 .
（1）求 ， 的值；
（2）解关于 的不等式： ，其中 是实数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
2．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】由，可得，，A、D成立，不符合题意；
由结合的单调递增知，B不成立，符合题意；
，则，C成立，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由不等式的性质及对数函数单调性依次判断即可.
3．【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为集合，集合，
所以，
故答案为：D.
【分析】首先由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集再由并集的定义结合不等式即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意得：， ，故，
当且仅当时取等号，
故答案为：B
【分析】利用基本不等式，可直接求得答案.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正实数、和实数满足，
当时，则，此时的最大值为；
当时，即当时，
，
可得，即，不合乎题意；
当时，即当时，
，
若存在最小值，则，可得，即时，
则，，此时存在最大值.
综上所述，若存在最大值，则的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】 由已知结合基本不等式对t进行分类讨论，然后结合不等式的性质可求出 的取值范围 .
6．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正数满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：C
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出 的最小值 .
7．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故答案为：D
【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断．
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小
【解析】【解答】解：当a=-4，b=-3时，
a+|a|=b+|b|=0，满足a+|a|≥b+|b|，但a当a>b时，①若a>b>0，则|a|>|b|，则a+|a|≥b+|b|，
②若0>a>b，则a+|a|=b+|b|= 0，则a+|a|≥b+|b|，
③若a>0>b，则则a+|a|>0，
b+|b|=0，则a+|a|≥b+|b|，则必要性成立，
故a+|a|≥b+|b|是a≥b的必要不充分条件，
故选：B
【分析】利用特殊值法可判断充分性，利用不等式的性质，分a>b>0，0>a>b，a>0>b三种情况可判断必要性，从而可得结论.
9．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由已知得，
，解得，当时取等号，A不符合题意；
，，当时取等号，B符合题意；
，，当时取等号，C符合题意；
对于D，
，当时取等号，又，且，所以等号取不到，D不符合题意，
故答案为：BC.
【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，所以，，
所以，所以，A不正确；
，所以，B符合题意；
，C符合题意；
当，时，满足，但是，D不正确.
故答案为：BC
【分析】作差比较可知A不正确；BC正确；举特值可知D不正确.
11．【答案】A,B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】对于A，当a>b>0时， ，则，故A正确；
对于B，当a>b>0，m>0时， ，则 ，故B正确；
对于C，当a>b>0时， 则，则 ，故C正确；
对于D，当c=0时，不等式显然不成立.
故选：ABC
【分析】根据各选项中的条件，利用作差法，即可判断ABC，利用特殊值法即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，且，则，可得，故，A对；
，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，B对；
利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，C不符合题意；
，
故当时，取得最小值，且，D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用基本不等式的性质逐一分析即可.
13．【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值是6.
故答案为：6
【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出最小值。
14．【答案】(-1，2)
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，解得，故解集为(-1，2)，
故答案为(-1，2).
【分析】首先对不等式进行变形，然后结合一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
15．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】当时，不满足题意；
∴，，则且，解得.
故答案为：[，+∞）.
【分析】根据二次不等式恒成立进行求解即可.
16．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】；
（当且仅当时取等号），解得：；
在上单调递减，.
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】 先变形得到 ，再利用基本不等式求最值即可.
17．【答案】（1）解：因实数，则 =x-3++3+3=5，
当且仅当 时取“=”，
由且解得：x=4，
所以的最小值是5，此时x=4.
（2）不等式可化为，
不等式对应方程的两根为和，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或．
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由取得最值时，x的取值。
(2)首先整理化简不等式得出，然后由一元二次不等式的解法，对a分情况讨论，即可求出不等式的解集。
18．【答案】（1）解：由题意，
（2）解：由交集的定义，
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可求出集合 B；
（2）根据交集的定义，即可求出 .
19．【答案】（1）解： 时， ： ， ： ，所以满足 ， 条件的实数 ．
（2）解： 时， ： ， ： ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以 ，则 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】 (1)由已知条件求出当a=1时的不等式，由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此分别求出p，q成立的等价条件，进而得出答案。
(2)利用p是的充分不必要条件，结合不等式之间的关系，即可求实数出a的取值范围.
20．【答案】解：（Ⅰ）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
则 ，
解得 ，
∵ ，所以调整后的技术人员的人数最多150人；
（Ⅱ）①由技术人员年人均投入不减少有 ，解得 .
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以 得 ，
整理得 ，
故有 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
又因为 ，当 时， 取得最大值7，所以 ，
∴ ，即存在这样的m满足条件，使得其范围为
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得x的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.
（2）根据条件①②列不等式，化简得 ，结合基本不等式求得m的范围.
21．【答案】（1）解：，即，解得，
所以不等式的解集为；
（2）解：，
当且仅当，即时，取等号，
所以当时，取得最大值.
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式
【解析】【分析】(1)令 ， 然后根据一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；
(2)先求出函数 的解析式，然后利用基本不等式即可求出 取得最大值时的值.
22．【答案】（1）解：依题意 ，
（2）原不等式为： ，即
①当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
②当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
③当 ，即 时，原不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，再利用根与系数的关系建立方程，解出m，n；
（2）解含参的一元二次不等式，根的大小关系不确定，分根的大小进行分类讨论。
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第二章 一元二次函数、方程和不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）
一、单选题
1．（2022高二下·双鸭山期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
2．（2022高二下·咸阳期末）若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】由，可得，，A、D成立，不符合题意；
由结合的单调递增知，B不成立，符合题意；
，则，C成立，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由不等式的性质及对数函数单调性依次判断即可.
3．（2022高二下·揭阳期末）设集合，集合，则（ ）
A． B． C．(－1，4) D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为集合，集合，
所以，
故答案为：D.
【分析】首先由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集再由并集的定义结合不等式即可得出答案。
4．（2022高二下·杭州期末）正实数a，b满足ab=1，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意得：， ，故，
当且仅当时取等号，
故答案为：B
【分析】利用基本不等式，可直接求得答案.
5．（2022高二下·宁波期末）已知正实数、和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正实数、和实数满足，
当时，则，此时的最大值为；
当时，即当时，
，
可得，即，不合乎题意；
当时，即当时，
，
若存在最小值，则，可得，即时，
则，，此时存在最大值.
综上所述，若存在最大值，则的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】 由已知结合基本不等式对t进行分类讨论，然后结合不等式的性质可求出 的取值范围 .
6．（2022高二下·温州期末）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正数满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：C
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出 的最小值 .
7．（2022·惠州模拟）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故答案为：D
【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断．
8．（2022·浙江模拟）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式比较大小
【解析】【解答】解：当a=-4，b=-3时，
a+|a|=b+|b|=0，满足a+|a|≥b+|b|，但a当a>b时，①若a>b>0，则|a|>|b|，则a+|a|≥b+|b|，
②若0>a>b，则a+|a|=b+|b|= 0，则a+|a|≥b+|b|，
③若a>0>b，则则a+|a|>0，
b+|b|=0，则a+|a|≥b+|b|，则必要性成立，
故a+|a|≥b+|b|是a≥b的必要不充分条件，
故选：B
【分析】利用特殊值法可判断充分性，利用不等式的性质，分a>b>0，0>a>b，a>0>b三种情况可判断必要性，从而可得结论.
二、多选题
9．（2022·张家口模拟）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（ ）
A．若的最小值为，则
B．若的最大值为4，则
C．若的最大值为m，则
D．若，则的最小值为2
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由已知得，
，解得，当时取等号，A不符合题意；
，，当时取等号，B符合题意；
，，当时取等号，C符合题意；
对于D，
，当时取等号，又，且，所以等号取不到，D不符合题意，
故答案为：BC.
【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高二下·湖州期末）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为，所以，，
所以，所以，A不正确；
，所以，B符合题意；
，C符合题意；
当，时，满足，但是，D不正确.
故答案为：BC
【分析】作差比较可知A不正确；BC正确；举特值可知D不正确.
11．（2022高一下·深圳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C． ，则
D．若 ，则
【答案】A,B,C
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】对于A，当a>b>0时， ，则，故A正确；
对于B，当a>b>0，m>0时， ，则 ，故B正确；
对于C，当a>b>0时， 则，则 ，故C正确；
对于D，当c=0时，不等式显然不成立.
故选：ABC
【分析】根据各选项中的条件，利用作差法，即可判断ABC，利用特殊值法即可判断D.
12．（2022高一下·湖北期中）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，且，则，可得，故，A对；
，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，B对；
利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，C不符合题意；
，
故当时，取得最小值，且，D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用基本不等式的性质逐一分析即可.
三、填空题
13．（2022·吉林模拟）已知，则的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值是6.
故答案为：6
【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式即可求出最小值。
14．（2022·黄浦模拟）不等式的解集为 .
【答案】(-1，2)
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，解得，故解集为(-1，2)，
故答案为(-1，2).
【分析】首先对不等式进行变形，然后结合一元二次不等式的解法求解出不等式的解集即可。
15．（2022高二下·自贡期末）若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】当时，不满足题意；
∴，，则且，解得.
故答案为：[，+∞）.
【分析】根据二次不等式恒成立进行求解即可.
16．（2022·天津市模拟）已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】；
（当且仅当时取等号），解得：；
在上单调递减，.
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】 先变形得到 ，再利用基本不等式求最值即可.
四、解答题
17．（2021高一上·淮安期中）
（1）若实数，求的最小值，并求此时的值；
（2）解不等式（）．
【答案】（1）解：因实数，则 =x-3++3+3=5，
当且仅当 时取“=”，
由且解得：x=4，
所以的最小值是5，此时x=4.
（2）不等式可化为，
不等式对应方程的两根为和，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或．
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值，由取得最值时，x的取值。
(2)首先整理化简不等式得出，然后由一元二次不等式的解法，对a分情况讨论，即可求出不等式的解集。
18．（2021高一上·容县期中）已知集合 ， .
（1）求集合B；
（2）求 .
【答案】（1）解：由题意，
（2）解：由交集的定义，
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可求出集合 B；
（2）根据交集的定义，即可求出 .
19．（2021高一上·龙江期中）设 ：实数 满足 ，其中 ． ：实数 满足 ．
（1）当 时，求满足 ， 条件的实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解： 时， ： ， ： ，所以满足 ， 条件的实数 ．
（2）解： 时， ： ， ： ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以 ，则 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】 (1)由已知条件求出当a=1时的不等式，由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此分别求出p，q成立的等价条件，进而得出答案。
(2)利用p是的充分不必要条件，结合不等式之间的关系，即可求实数出a的取值范围.
20．（2022高二下·浙江开学考）为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
（Ⅰ）要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（Ⅱ）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
则 ，
解得 ，
∵ ，所以调整后的技术人员的人数最多150人；
（Ⅱ）①由技术人员年人均投入不减少有 ，解得 .
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以 得 ，
整理得 ，
故有 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
又因为 ，当 时， 取得最大值7，所以 ，
∴ ，即存在这样的m满足条件，使得其范围为
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得x的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.
（2）根据条件①②列不等式，化简得 ，结合基本不等式求得m的范围.
21．（2021高一上·徐州期中）已知函数.
（1）求解不等式的解集；
（2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值.
【答案】（1）解：，即，解得，
所以不等式的解集为；
（2）解：，
当且仅当，即时，取等号，
所以当时，取得最大值.
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式
【解析】【分析】(1)令 ， 然后根据一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；
(2)先求出函数 的解析式，然后利用基本不等式即可求出 取得最大值时的值.
22．（2021高一上·麻城期中）已知不等式 的解为 或 .
（1）求 ， 的值；
（2）解关于 的不等式： ，其中 是实数．
【答案】（1）解：依题意 ，
（2）原不等式为： ，即
①当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
②当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
③当 ，即 时，原不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，再利用根与系数的关系建立方程，解出m，n；
（2）解含参的一元二次不等式，根的大小关系不确定，分根的大小进行分类讨论。
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