高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第一节 不等关系与不等式

高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第一节 不等关系与不等式
一、单选题
1．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一上·迁安期中）已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一上·湖州期中）命题“ ”的一个充要条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·金台期中）如果 满足 且 ，那么下列选项中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一上·黑龙江期中）下列说法中，错误的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
6．（2021高一下·四川期末）若 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高一下·深圳期末）已知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高一上·吉林期末）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 克糖水中含有 克糖( )，再添加 克糖( )(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（　　）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·永安月考）已知 ， ，令 t= ，则t的取值范围为（　　）
A．-210．（2020高一下·成都期中）若 ，则一定有（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ， ；② ， ；③ ；④ ；正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2020高二上·黄陵期末）若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是(　　)
A． B． C．a2＜b2 D．ab＜a＋b
二、多选题
13．（2022高二下·罗山期中）已知实数x，y满足，，则（　　）
A． B．
C． D．
14．（2021高三上·普宁月考）已知 且 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
15．（2020高一上·浙江月考）已知a，b，c满足 ，且 ，则下列不等式中恒成立的有（　　）
A． B． C． D．
16．（2020高一上·湖州月考）下列命题中为真命题的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
17．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是　 　．
18．已知实数a＞b，当a、b满足　 　 条件时，不等式＜成立．
19．已知﹣1＜a+b＜3且2＜a﹣b＜4，求2a+3b的取值范围　 　 ．
20．（人教新课标A版选修4-5数学1.1不等式同步检测）若a、b、c、d均为正实数，且 a>b ，那么四个数 、 、 ， 由小到大的顺序是　 　
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
2．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】当 时， ，A不一定成立；
当 时B不成立
由 可得 ，C一定成立
当 时 ，D不一定成立
故答案为：C
【分析】考查不等式的性质，可以直接用特殊值进行排除。
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A. 当时，满足a2B. 当时，满足 ，推不出bC. 当c=0时，bD. 因 ，故充要，
故选：D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合不等式的基本性质求解即可.
4．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵c∴当a>0时，ab>ac，故A可能成立
∵c∴b-a<0
∴当c<0时，c(b-a)>0，故B可能成立
当b=0时，cb2∵c∴a-c>0
∴ac(a-c)<0，故D成立.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质，结合分类讨论思想求解即可.
5．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A，取a=-3，b=-2，所以 ，故错误；
对B，由c2>0， ，所以 a>b，故正确；
对C， ，
由 b>a>0，m>0 ，所以 ，所以 ，故正确；
对D，由c-d ，又a>b ，所以
故选：A
【分析】利用特殊值法可判断A，根据不等式的性质可判断B，利用作差法可判断C，根据不等式的性质可判断D.
6．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，取a=-2，b=-1，有，故A错误；
对于B，取a=-2，b=-1，有ab对于C，取a=-2，b=-1，有|a|>|b|，故C错误；
对于D，∵
∴
∴
当且仅当，即a=b时取等号，而a故
故D正确.
故答案为：D
【分析】利用反例可判断ABC，根据基本不等式可判断D.
7．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，∵a>b>0>c
∴，
∴ ，
故A不成立；
对于B，∵a>b>0>c
∴0<2a+b<3a，a+2b>3b>0
∴
∴
故B成立；
对于C，∵c<0
∴-c>0
又∵a>b>0
∴a-c>b-c>0
∴
∴
故C不成立；
对于D，∵a>b>0
∴
又∵c<0
∴
∴
故D不成立.
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
8．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：根据不等式中两个重要不等式判定得 ， ，
糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有 符合.
故答案为：B.
【分析】根据不等式中两个重要不等式判定即可。
9．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，又因为 ，
所以 。
故答案为：B
【分析】 令 t= ， 利用已知条件结合不等式的基本性质，从而求出x-y的取值范围，进而求出实数t的取值范围。
10．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由题可得 ,则 ,
因为 , 则 , ,则有 ,
所以 ,即
故答案为：C
【分析】由题,可得 ,且 ,即 ,整理后即可得到作出判断.
11．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】① ， 由不等式的加法得 ，所以该命题正确；
② ， 是错误的，如： ，满足已知，但是 不满足 ，所以该命题错误；
③ ，所以 ，所以该命题正确；
④ 所以 ，所以该命题正确.
故答案为：C
【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.
12．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】当 时满足a＜1，b＞1，但 ，即A，B，C不符合题意；
，又a＜1，b＞1，
所以 ，
故答案为：D
【分析】举反例说明ABC不符合题意，利用不等式性质证明D符合题意.
13．【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由，，知，，A、C符合题意；
，故，B不符合题意；，故，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由x，y的范围，结合不等式的性质，逐项判断即可。
14．【答案】A,D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对于A，∵a>b，∴a+c>b+c，故A正确；
对于B，令a=-1，b=-2时，显然满足a>b，但，故B错误；
对于C，令c=0时，显然 不成立，故C错误；
对于D，考察幂函数y=x3在R上单调递增，∵a>b，∴a3>b3，故D正确.
故答案为：AD
【分析】根据不等式的性质可判断ABC，根据幂函数的性质可判断D.
15．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵ac<0, a>c，∴a>0, c<0, b不能确定正负，
A、∵b>c，∴，符合题意；
B、∵a>b, ∴b-a<0，∴ , 符合题意；
C、∵a>b，但b的正负无法确定，∴a2和b2的大小无法确定，∴ 和的大小也无法确定，不符合题意；
D、∵a>0，c<0，∴ ，符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】首先根据条件判断a、b、c的正负，再根据不等式的性质逐一分析选项，即可得出答案.
16．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、若 >0，则 ,不符合题意；
B、若 ，∵这里c2>0，则 ，符合题意；
C、 若 ，则a>b, ∵c>a, ∴0, 则 , 符合题意；
D、 若 ，则 ，符合题意；
故答案为：BCD.
【分析】分别根据不等式的性质推导即可判断，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向改变.
17．【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
18．【答案】ab＞0
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解 ： 当ab＞0时，∵a＞b，
∴
当ab＜0时，∵a＞b，
∴
综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．
故答案为：ab＞0．
【分析】分ab＞0，和ab＜0，讨论并根据不等式的性质化简即可．
19．【答案】﹣＜2a+3b＜　
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：2a+3b=m（a+b）+n（a﹣b），
∴∴m=，n=﹣．∴2a+3b=（a+b）﹣（a﹣b）．
∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，∴﹣＜（a+b）＜，﹣2＜﹣（a﹣b）＜﹣1，
∴﹣＜（a+b）﹣（a﹣b）＜即﹣＜2a+3b＜．
故答案为：﹣＜2a+3b＜．
【分析】把2a+3b设为m（a+b）+n（a﹣b），解出m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出2a+3b的取值范围．
20．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】 ，则 ，即 ， ，即 ，所以由小到大的顺序是 、 、 、 .
【分析】本题主要考查了不等关系与不等式，解决问题的关键是根据不等式性质分析计算即可
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一、单选题
1．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
2．（2021高一上·迁安期中）已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】当 时， ，A不一定成立；
当 时B不成立
由 可得 ，C一定成立
当 时 ，D不一定成立
故答案为：C
【分析】考查不等式的性质，可以直接用特殊值进行排除。
3．（2021高一上·湖州期中）命题“ ”的一个充要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A. 当时，满足a2B. 当时，满足 ，推不出bC. 当c=0时，bD. 因 ，故充要，
故选：D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合不等式的基本性质求解即可.
4．（2021高二上·金台期中）如果 满足 且 ，那么下列选项中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵c∴当a>0时，ab>ac，故A可能成立
∵c∴b-a<0
∴当c<0时，c(b-a)>0，故B可能成立
当b=0时，cb2∵c∴a-c>0
∴ac(a-c)<0，故D成立.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质，结合分类讨论思想求解即可.
5．（2021高一上·黑龙江期中）下列说法中，错误的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A，取a=-3，b=-2，所以 ，故错误；
对B，由c2>0， ，所以 a>b，故正确；
对C， ，
由 b>a>0，m>0 ，所以 ，所以 ，故正确；
对D，由c-d ，又a>b ，所以
故选：A
【分析】利用特殊值法可判断A，根据不等式的性质可判断B，利用作差法可判断C，根据不等式的性质可判断D.
6．（2021高一下·四川期末）若 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，取a=-2，b=-1，有，故A错误；
对于B，取a=-2，b=-1，有ab对于C，取a=-2，b=-1，有|a|>|b|，故C错误；
对于D，∵
∴
∴
当且仅当，即a=b时取等号，而a故
故D正确.
故答案为：D
【分析】利用反例可判断ABC，根据基本不等式可判断D.
7．（2021高一下·深圳期末）已知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，∵a>b>0>c
∴，
∴ ，
故A不成立；
对于B，∵a>b>0>c
∴0<2a+b<3a，a+2b>3b>0
∴
∴
故B成立；
对于C，∵c<0
∴-c>0
又∵a>b>0
∴a-c>b-c>0
∴
∴
故C不成立；
对于D，∵a>b>0
∴
又∵c<0
∴
∴
故D不成立.
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
8．（2020高一上·吉林期末）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 克糖水中含有 克糖( )，再添加 克糖( )(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：根据不等式中两个重要不等式判定得 ， ，
糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有 符合.
故答案为：B.
【分析】根据不等式中两个重要不等式判定即可。
9．（2020高一上·永安月考）已知 ， ，令 t= ，则t的取值范围为（　　）
A．-2【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，又因为 ，
所以 。
故答案为：B
【分析】 令 t= ， 利用已知条件结合不等式的基本性质，从而求出x-y的取值范围，进而求出实数t的取值范围。
10．（2020高一下·成都期中）若 ，则一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由题可得 ,则 ,
因为 , 则 , ,则有 ,
所以 ,即
故答案为：C
【分析】由题,可得 ,且 ,即 ,整理后即可得到作出判断.
11．（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ， ；② ， ；③ ；④ ；正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】① ， 由不等式的加法得 ，所以该命题正确；
② ， 是错误的，如： ，满足已知，但是 不满足 ，所以该命题错误；
③ ，所以 ，所以该命题正确；
④ 所以 ，所以该命题正确.
故答案为：C
【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.
12．（2020高二上·黄陵期末）若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是(　　)
A． B． C．a2＜b2 D．ab＜a＋b
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】当 时满足a＜1，b＞1，但 ，即A，B，C不符合题意；
，又a＜1，b＞1，
所以 ，
故答案为：D
【分析】举反例说明ABC不符合题意，利用不等式性质证明D符合题意.
二、多选题
13．（2022高二下·罗山期中）已知实数x，y满足，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由，，知，，A、C符合题意；
，故，B不符合题意；，故，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由x，y的范围，结合不等式的性质，逐项判断即可。
14．（2021高三上·普宁月考）已知 且 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对于A，∵a>b，∴a+c>b+c，故A正确；
对于B，令a=-1，b=-2时，显然满足a>b，但，故B错误；
对于C，令c=0时，显然 不成立，故C错误；
对于D，考察幂函数y=x3在R上单调递增，∵a>b，∴a3>b3，故D正确.
故答案为：AD
【分析】根据不等式的性质可判断ABC，根据幂函数的性质可判断D.
15．（2020高一上·浙江月考）已知a，b，c满足 ，且 ，则下列不等式中恒成立的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵ac<0, a>c，∴a>0, c<0, b不能确定正负，
A、∵b>c，∴，符合题意；
B、∵a>b, ∴b-a<0，∴ , 符合题意；
C、∵a>b，但b的正负无法确定，∴a2和b2的大小无法确定，∴ 和的大小也无法确定，不符合题意；
D、∵a>0，c<0，∴ ，符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】首先根据条件判断a、b、c的正负，再根据不等式的性质逐一分析选项，即可得出答案.
16．（2020高一上·湖州月考）下列命题中为真命题的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、若 >0，则 ,不符合题意；
B、若 ，∵这里c2>0，则 ，符合题意；
C、 若 ，则a>b, ∵c>a, ∴0, 则 , 符合题意；
D、 若 ，则 ，符合题意；
故答案为：BCD.
【分析】分别根据不等式的性质推导即可判断，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向改变.
三、填空题
17．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是　 　．
【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
18．已知实数a＞b，当a、b满足　 　 条件时，不等式＜成立．
【答案】ab＞0
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解 ： 当ab＞0时，∵a＞b，
∴
当ab＜0时，∵a＞b，
∴
综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．
故答案为：ab＞0．
【分析】分ab＞0，和ab＜0，讨论并根据不等式的性质化简即可．
19．已知﹣1＜a+b＜3且2＜a﹣b＜4，求2a+3b的取值范围　 　 ．
【答案】﹣＜2a+3b＜　
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：2a+3b=m（a+b）+n（a﹣b），
∴∴m=，n=﹣．∴2a+3b=（a+b）﹣（a﹣b）．
∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，∴﹣＜（a+b）＜，﹣2＜﹣（a﹣b）＜﹣1，
∴﹣＜（a+b）﹣（a﹣b）＜即﹣＜2a+3b＜．
故答案为：﹣＜2a+3b＜．
【分析】把2a+3b设为m（a+b）+n（a﹣b），解出m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出2a+3b的取值范围．
20．（人教新课标A版选修4-5数学1.1不等式同步检测）若a、b、c、d均为正实数，且 a>b ，那么四个数 、 、 ， 由小到大的顺序是　 　
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】 ，则 ，即 ， ，即 ，所以由小到大的顺序是 、 、 、 .
【分析】本题主要考查了不等关系与不等式，解决问题的关键是根据不等式性质分析计算即可
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