高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第二节 基本不等式
一、单选题
1．（2022高一上·杭州期末）若为正实数，且，则a+2b的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为为正实数，，所以，
当且仅当，即，时取等号.
所以a+2b的最小值为.
故答案为：D
【分析】 利用已知条件以及基本不等式即可求解.
2．（2022高一上·南阳期末）函数取最小值时的值为（ ）
A．6 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
当且仅当且，即时等号成立.
故答案为：B
【分析】 ，利用基本不等式求解函数的最小值，即可求得答案.
3．（2022高一上·吉林期末）已知，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.
故答案为：D.
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值.
4．（2022高一上·岳阳期末）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由于，可知a与b同号，显然当，时，A，B中的不等式不成立，所以A，B不符合题意；
由，得，，所以，C不符合题意；
显然，，，，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各项即可判断.
5．（2022高一上·南山期末）已知，则的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故答案为：C
【分析】利用基本不等式即可求解.
6．（2021高二上·郑州期中）设 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；等比数列的性质
【解析】【解答】由于 是 与 的等比中项，故 ，故 .
故答案为：B.
【分析】利用已知条件等比中项，从而得到2x+y=1，再结合不等式求最值。
7．（2021高一上·丰台期中）已知 均为正实数，且 ，那么 的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
故答案为：C
【分析】利用基本不等式，即可求出答案。
8．（2020高一上·淄博期末）已知实数 ，则 的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是24.
故答案为：A.
【分析】 ，利用基本不等式的性质，即可求得最小值.
9．（2020高一上·南通月考）函数 （ ）的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】
当且仅当 即 时，上式取等号
（ ）的最小值为
故答案为：C.
【分析】函数可变形成，再整体利用基本不等式即可得出答案。
二、多选题
10．（2022高一上·广东期末）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A选项，当时，满足，但是，A不正确；
对于B选项，根据不等式的性质可知准确，B符合题意；
对于C选项，当时，满足，但是，C不正确；
对于D选项，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】 根据已知条件结合特殊值、基本不等式公式以及不等式的性质，即可得答案.
11．（2021高一上·容县期中）已知函数 ，则该函数（ ）
A．最小值为3 B．最大值为
C．没有最小值 D．在区间 上是增函数
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【解答】 当且仅当 是等号成立，
若 ，有 ， ，
当 时，有 ，故 ，即 在 上递减且值域为 ；
当 时，有 ，故 ，即 在 上递增且值域为 .∴最大值为 .
故答案为：AD
【分析】根据基本不等式，即可判断A，B，C的正误；根据单调性的定义进行判断，可判断D选项的正误。
12．（2021高一上·辽宁月考）下列不等式不一定成立的是（ ）
A．x＋ ≥2 B． ≥
C． D．2－3x－ ≥2
【答案】A,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：当x<0时， ，A不一定成立，符合题意；
对于B： ＝ ≥ ，B一定成立，不符合题意；
对于C： ，C一定成立，不符合题意；
对于D：变形为 ，当x取正数时不成立，D不一定成立，符合题意．
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式及不等式的基本性质逐项进行检验，可得答案。
13．（2021高一下·阳江期末）在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，若 ，则最小值不为2，A不符合题意；
对于B， ，
，当且仅当 时等号成立，B符合题意；
对于C，当 时， ，
，
但等号成立需 ，在定义域内方程无解，C不符合题意；
对于D， ，当 时取等号，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】 结合基本不等式的一正，二定三相等的条件分别检验选项ABC，结合二次函数的性质可求D.
三、填空题
14．（2021高一上·景德镇期中）函数 的最小值为 ，此时的x的取值为 .
【答案】6；1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以由基本不等式 得：
，当且仅当 ，即 时取到等号
故答案为：6，1
【分析】 根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可.
15．（2021高一上·福田期中）若 ，则 的最小值是 .
【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为8，故答案为8.
【分析】由基本不等式即可求出 的最小值 。
16．（2021高一上·大兴期中）已知 ，则当 时， 取得最小值，且最小值为 .
【答案】0；1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：0；1
【分析】 变形可得，再由基本不等式，得解.
17．（2020高一上·萍乡月考）已知 ，则 的最大值为 ；
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】当 时， ， ，当且仅当 即 时等号成立.
故答案为： .
【分析】利用基本不等式即可求出 的最大值 。
18．（2021高一上·河南月考）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】m＞-6
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵ ，不等式 可化为 ，
而当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴实数 的取值范围是m＞-6．
故答案为：m＞-6．
【分析】 ，不等式 可化为 ，利用基本不等式可求得 ，进而求出实数 的取值范围。
19．（2020高一上·湛江期末）已知正数 、 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 且 ，所以 ，即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 .
故答案为： .
【分析】利用基本不等式的性质进行求解，即可求出 的最大值。
20．（2020高二上·白水期末）已知 ，则函数 的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取最小值3.
故答案为：3.
【分析】利用基本不等式的性质即可求出函数 的最小值 。
四、解答题
21．（2021高二上·郑州期中）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）当 时，求 的最小值及相应x的值．
【答案】（1）解： ，即
不等式的解集为
（2）解：当 时，令 （ ），
则 ，
， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
，此时 .
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）先移项通分，然后将分式不等式转化为整式不等式进行求解即可；（2）换元，分离常数，利用基本不等式可求得 的最小值。
22．（2020高一上·吉林期末）已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）解：因为 ，
(当且仅当 ，即x=20,y=5时等号成立)
所以 ，
因此 的最大值为
（2）解：因为 ，即
所以
(当且仅当 ，即 时等号成立)
所以 的最小值为
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）由基本不等式变形后求得最大值；
（2）利用“1”代换得定值后，由基本不等式得最小值。
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第二节 基本不等式
一、单选题
1．（2022高一上·杭州期末）若为正实数，且，则a+2b的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2022高一上·南阳期末）函数取最小值时的值为（ ）
A．6 B．2 C． D．
3．（2022高一上·吉林期末）已知，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022高一上·岳阳期末）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一上·南山期末）已知，则的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
6．（2021高二上·郑州期中）设 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高一上·丰台期中）已知 均为正实数，且 ，那么 的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
8．（2020高一上·淄博期末）已知实数 ，则 的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
9．（2020高一上·南通月考）函数 （ ）的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．5
二、多选题
10．（2022高一上·广东期末）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2021高一上·容县期中）已知函数 ，则该函数（ ）
A．最小值为3 B．最大值为
C．没有最小值 D．在区间 上是增函数
12．（2021高一上·辽宁月考）下列不等式不一定成立的是（ ）
A．x＋ ≥2 B． ≥
C． D．2－3x－ ≥2
13．（2021高一下·阳江期末）在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．（2021高一上·景德镇期中）函数 的最小值为 ，此时的x的取值为 .
15．（2021高一上·福田期中）若 ，则 的最小值是 .
16．（2021高一上·大兴期中）已知 ，则当 时， 取得最小值，且最小值为 .
17．（2020高一上·萍乡月考）已知 ，则 的最大值为 ；
18．（2021高一上·河南月考）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
19．（2020高一上·湛江期末）已知正数 、 满足 ，则 的最大值为 ．
20．（2020高二上·白水期末）已知 ，则函数 的最小值为 ．
四、解答题
21．（2021高二上·郑州期中）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）当 时，求 的最小值及相应x的值．
22．（2020高一上·吉林期末）已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为为正实数，，所以，
当且仅当，即，时取等号.
所以a+2b的最小值为.
故答案为：D
【分析】 利用已知条件以及基本不等式即可求解.
2．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
当且仅当且，即时等号成立.
故答案为：B
【分析】 ，利用基本不等式求解函数的最小值，即可求得答案.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.
故答案为：D.
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值.
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由于，可知a与b同号，显然当，时，A，B中的不等式不成立，所以A，B不符合题意；
由，得，，所以，C不符合题意；
显然，，，，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各项即可判断.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故答案为：C
【分析】利用基本不等式即可求解.
6．【答案】B
【知识点】基本不等式；等比数列的性质
【解析】【解答】由于 是 与 的等比中项，故 ，故 .
故答案为：B.
【分析】利用已知条件等比中项，从而得到2x+y=1，再结合不等式求最值。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
故答案为：C
【分析】利用基本不等式，即可求出答案。
8．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是24.
故答案为：A.
【分析】 ，利用基本不等式的性质，即可求得最小值.
9．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】
当且仅当 即 时，上式取等号
（ ）的最小值为
故答案为：C.
【分析】函数可变形成，再整体利用基本不等式即可得出答案。
10．【答案】B,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A选项，当时，满足，但是，A不正确；
对于B选项，根据不等式的性质可知准确，B符合题意；
对于C选项，当时，满足，但是，C不正确；
对于D选项，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】 根据已知条件结合特殊值、基本不等式公式以及不等式的性质，即可得答案.
11．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【解答】 当且仅当 是等号成立，
若 ，有 ， ，
当 时，有 ，故 ，即 在 上递减且值域为 ；
当 时，有 ，故 ，即 在 上递增且值域为 .∴最大值为 .
故答案为：AD
【分析】根据基本不等式，即可判断A，B，C的正误；根据单调性的定义进行判断，可判断D选项的正误。
12．【答案】A,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：当x<0时， ，A不一定成立，符合题意；
对于B： ＝ ≥ ，B一定成立，不符合题意；
对于C： ，C一定成立，不符合题意；
对于D：变形为 ，当x取正数时不成立，D不一定成立，符合题意．
故答案为：AD.
【分析】利用基本不等式及不等式的基本性质逐项进行检验，可得答案。
13．【答案】B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，若 ，则最小值不为2，A不符合题意；
对于B， ，
，当且仅当 时等号成立，B符合题意；
对于C，当 时， ，
，
但等号成立需 ，在定义域内方程无解，C不符合题意；
对于D， ，当 时取等号，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】 结合基本不等式的一正，二定三相等的条件分别检验选项ABC，结合二次函数的性质可求D.
14．【答案】6；1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以由基本不等式 得：
，当且仅当 ，即 时取到等号
故答案为：6，1
【分析】 根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可.
15．【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为8，故答案为8.
【分析】由基本不等式即可求出 的最小值 。
16．【答案】0；1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：0；1
【分析】 变形可得，再由基本不等式，得解.
17．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】当 时， ， ，当且仅当 即 时等号成立.
故答案为： .
【分析】利用基本不等式即可求出 的最大值 。
18．【答案】m＞-6
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵ ，不等式 可化为 ，
而当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴实数 的取值范围是m＞-6．
故答案为：m＞-6．
【分析】 ，不等式 可化为 ，利用基本不等式可求得 ，进而求出实数 的取值范围。
19．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 且 ，所以 ，即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 .
故答案为： .
【分析】利用基本不等式的性质进行求解，即可求出 的最大值。
20．【答案】3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取最小值3.
故答案为：3.
【分析】利用基本不等式的性质即可求出函数 的最小值 。
21．【答案】（1）解： ，即
不等式的解集为
（2）解：当 时，令 （ ），
则 ，
， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
，此时 .
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）先移项通分，然后将分式不等式转化为整式不等式进行求解即可；（2）换元，分离常数，利用基本不等式可求得 的最小值。
22．【答案】（1）解：因为 ，
(当且仅当 ，即x=20,y=5时等号成立)
所以 ，
因此 的最大值为
（2）解：因为 ，即
所以
(当且仅当 ，即 时等号成立)
所以 的最小值为
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）由基本不等式变形后求得最大值；
（2）利用“1”代换得定值后，由基本不等式得最小值。
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