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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第二节 基本不等式的应用
一、单选题
1．（2022高二下·双鸭山期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
2．（2022高二下·温州期末）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
3．（2022高一下·十堰期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
4．（2022高二下·濮阳期末）若，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．4
5．（2022·保定模拟）已知a，，且，则a+2b的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2022·武昌模拟）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．（2022·泰安模拟）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
8．（2022·鞍山模拟）已知正实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．9
二、填空题
9．（2022·天津市模拟）若，则的最小值是 .
10．（2022·天津市模拟）已知，为正实数，且，则的最小值为 .
11．（2022·南开模拟）已知，，，则的最小值为 ．
12．（2022·河东模拟）设正实数满足，则的最小值为 ．
13．（2022·河西模拟）已知，为正实数，且，则的最小值为 .
14．（2022·日照模拟）已知第一象限的点 在直线 上，则 的最小值是 .
15．（2022·安阳模拟）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为 ．
16．（2022·湘潭三模）已知正数a，b满足，则的最小值为 .
17．（2022·南开一模）若，，，，则的最小值为 ．
三、解答题
18．（2022高一下·达州期末）
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
2．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正数满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：C
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出 的最小值 .
3．【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和一元二次不等式求解集的方法，进而得出ab的最小值。
4．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】，
，即，，
，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：D
【分析】 由已知结合对数运算性质及基本不等式即可求解出答案.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以a+2b的最大值为.
故答案为：C
【分析】由即可求解。
6．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，，
当时等式不成立，∴a≠1，∴，
∴，
当且仅当时取等号，
故答案为：A．
【分析】根据得，代入化简利用基本不等式即可求其最小值．
7．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由，得，
即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，可得，利用基本不等式求出 的最小值 .
8．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，当且仅当时等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，再利用基本不等式求出 的最小值 。
9．【答案】2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
所以，
解得或（舍去），
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是2.
故答案为：2.
【分析】利用基本不等式即可求出 的最小值 .
10．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由为正实数，且，可化为，
则
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】由条件可得可得，运用基本不等式即可得到 的最小值 .
11．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由可得，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】 直接利用基本不等式的应用和关系式的变换的应用求出答案.
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由，
则
故的最小值为
【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。
13．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，为正实数，且，可知，
，
.
当且仅当时取等号.
的最小值为8.
故答案为：8.
【分析】由，为正实数，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出结果.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为第一象限的点 在直线 上，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故答案为： .
【分析】由第一象限的点 在直线 上，可知 ，，利用基本不等式可求出 的最小值 。
15．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 、 且 ，
所以
当仅当 时取等号，
即 解得 或 （舍去），当且仅当 、 时取等号；
故答案为：8
【分析】依题意可得，再将右边利用基本不等式计算得到，最后解一元二次不等式即可得解.
16．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【分析】 由已知得，然后利用基本不等式可求出 的最小值 .
17．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案.
18．【答案】（1）解：因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8
（2）证明：因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意和基本不等式求出 的最小值；
（2）由，结合基本不等式即可证得 ．
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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第二节 基本不等式的应用
一、单选题
1．（2022高二下·双鸭山期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
2．（2022高二下·温州期末）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正数满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：C
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出 的最小值 .
3．（2022高一下·十堰期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和一元二次不等式求解集的方法，进而得出ab的最小值。
4．（2022高二下·濮阳期末）若，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．4
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】，
，即，，
，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：D
【分析】 由已知结合对数运算性质及基本不等式即可求解出答案.
5．（2022·保定模拟）已知a，，且，则a+2b的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以a+2b的最大值为.
故答案为：C
【分析】由即可求解。
6．（2022·武昌模拟）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，，
当时等式不成立，∴a≠1，∴，
∴，
当且仅当时取等号，
故答案为：A．
【分析】根据得，代入化简利用基本不等式即可求其最小值．
7．（2022·泰安模拟）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由，得，
即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，可得，利用基本不等式求出 的最小值 .
8．（2022·鞍山模拟）已知正实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，当且仅当时等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，再利用基本不等式求出 的最小值 。
二、填空题
9．（2022·天津市模拟）若，则的最小值是 .
【答案】2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
所以，
解得或（舍去），
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是2.
故答案为：2.
【分析】利用基本不等式即可求出 的最小值 .
10．（2022·天津市模拟）已知，为正实数，且，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由为正实数，且，可化为，
则
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】由条件可得可得，运用基本不等式即可得到 的最小值 .
11．（2022·南开模拟）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由可得，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】 直接利用基本不等式的应用和关系式的变换的应用求出答案.
12．（2022·河东模拟）设正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由，
则
故的最小值为
【分析】根据题意整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。
13．（2022·河西模拟）已知，为正实数，且，则的最小值为 .
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，为正实数，且，可知，
，
.
当且仅当时取等号.
的最小值为8.
故答案为：8.
【分析】由，为正实数，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出结果.
14．（2022·日照模拟）已知第一象限的点 在直线 上，则 的最小值是 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为第一象限的点 在直线 上，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故答案为： .
【分析】由第一象限的点 在直线 上，可知 ，，利用基本不等式可求出 的最小值 。
15．（2022·安阳模拟）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 、 且 ，
所以
当仅当 时取等号，
即 解得 或 （舍去），当且仅当 、 时取等号；
故答案为：8
【分析】依题意可得，再将右边利用基本不等式计算得到，最后解一元二次不等式即可得解.
16．（2022·湘潭三模）已知正数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【分析】 由已知得，然后利用基本不等式可求出 的最小值 .
17．（2022·南开一模）若，，，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案.
三、解答题
18．（2022高一下·达州期末）
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
【答案】（1）解：因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8
（2）证明：因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意和基本不等式求出 的最小值；
（2）由，结合基本不等式即可证得 ．
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