2021-2022学年贵州省黔西南州高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年贵州省黔西南州高二（下）期末数学试卷（文科）
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
已知集合，，则( )
A. B.
C. D. ，
若，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
已知向量，均为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
从甲、乙等五人中任选两人参加某公司的剪彩仪式，则甲、乙恰有一人未入选的概率为( )
A. B. C. D.
在四面体中，平面平面，，，则( )
A. B. C. D.
已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
若函数在区间内有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
设，，，则( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列判断错误的是( )
A. 与异面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 与所成角的正切值为
已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
若，满足约束条件，则的最大值为______．
若一个长方体的长、宽，高分别为，，，则这个长方体外接球的表面积为______．
方程表示的曲线的周长为______．
北京大兴国际机场如图所示位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东方向上，在天安门北偏东的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为______结果精确到整数
参考数据：，，
三、解答题（本大题共7小题，共82分）
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设数列的前项和为，证明：．
如图，在正方体中，，分别为，的中点．
证明：平面；
若，求四棱锥的体积．
已知甲工厂生产一种内径为的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的件零件中抽出件，测得其内径尺寸如下单位：：
注：表示有件尺寸为的零件．
求这件零件内径尺寸的平均数；
设这件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂件零件中其内径尺寸单位：在内的件数；
若乙工厂也生产同种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的件零件中抽出件，测得其内径单位：的方差为，试比较甲、乙两工厂抽检的件零件内径尺寸的稳定性．
已知函数．
从，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
若______，求曲线在点处的切线方程
讨论函数的单调性．
已知双曲线的焦点在轴，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点
求的方程；
若斜率为的直线与交于，两点，且，求．
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
求曲线的极坐标方程；
若射线与曲线和曲线分别交于，两点异于点，求．
已知函数．
若，求不等式的解集；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知集合表示直线，集合表示直线，
又表示两条直线的交点组成的集合，
故有：，得，
所以，
故选：．
由题意可知表示直线，表示直线，表示两条直线的交点．
本题考查了点集求交集的相关知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则的共轭复数．
故选：．
由复数的运算法则先求出，由此能求出的共轭复数．
本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数最小正周期为．
故答案为：．
利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期．
本题考查函数的最小正周期的求法，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为向量均为单位向量，且，
所以，
则．
故选：．
根据题意可得，再根据数量积的运算律即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：记五人分别为，，，甲，乙．
任选两人共有，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙共个样本点．
其中甲、乙恰有一人未入选的情况有，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙共个样本点．
则所求概率为．
故选：．
利用列举法得到所有的基本事件个数，然后根据古典概型直接计算即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，设的中点为，连接，，
因为，，故A，，
即为二面角的平面角，
因为平面平面，故，
又，
故．
故选：．
设的中点为，连接，，根据题意可说明，，即可证明，根据勾股定理即可求得答案．
本题考查了面面垂直的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为椭圆的离心率为，
所以，解得，
则椭圆的离心率．
故选：．
根据椭圆的离心率求得，再根据椭圆离心率的公式及可得解．
本题考查了椭圆离心率的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，则，
可得在上单调递减，则在上单调递减，
要使在区间内有零点，
则，解得．
的取值范围是．
故选：．
利用导数判断在上单调递减，把问题转化为，求解得答案．
本题考查函数零点的判定及应用，考查利用导数研究函数的单调性，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由，，，故，
故有，
故选：．
可与特殊值比较，可利用对数运算公式计算得值．
本题考查了对数运算，与特殊值比较大小相关知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由已知结合两角差的正切公式先求出，然后结合二倍角的正切公式及诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的正切公式，二倍角的正切公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项，平面，平面，，根据异面直线的定义，与异面，选项正确；
选项，由于，平面，平面，于是平面，同理类似的可证平面，
又，，平面，根据面面平行的判定，平面平面，选项正确；
选项，显然侧棱平面，若假设有平面平面成立，则平面或者平面，
实际上和平面相交，假设不成立，故C选项错误；
选项，与所成角即与所成角，即，正切值是，选项正确．
故选：．
选项根据异面直线定义来判断，选项利用面面平行的判定来说明，选项利用反证法说明，选项可将两条线平移到一起来求解．
本题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系以及直线与直线所成的角的计算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
令，
因为，
所以，，
则在上单调递减，
由可得，
所以．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
13.【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，
所以，所以，
所以外接球的表面积．
故答案为：．
由题知长方体的体对角线即为外接球的直径，然后直接计算可得．
本题考查了长方体外接球的表面积计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题，，即或，
可化为，
当时，即，即为对应圆的右半部分，
当时，即，即为对应圆的左半部分，
综上，曲线的周长刚好为半径为的圆周，即．
故答案为：．
由确定的范围，可化为，对分类讨论，即可去绝对值，得出对应曲线，最后算得周长．
本题考查了曲线与方程的综合应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，由题意可得，，，
由正弦定理可得，
即，
解得．
故答案为：．
根据图形利用正弦定理运算求解．
本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：由题意，当时，，
当时，由得，
两式相减，得，又，
故数列的通项公式为；
证明：依题意，得，
则，
所以．
【解析】利用求通项公式，注意检验是否成立；
由表示数列的通项公式，再由裂项相消法求其前项和，即可证明．
本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．
18.【答案】证明：如图，连接，
因为，分别为，的中点，所以，
在正方体中，侧面为正方形，则，
又侧面，所以，
因为，
所以平面，
又，所以平面．
解：设，由知平面，
因为，分别为，的中点，所以，且是的中点，
所以，
又侧面，所以，
所以四边形的面积，
故四棱锥的体积．
【解析】连接，证明平面即可；
设，由可得平面再根据为高，为底求解体积即可
本题主要考查了直线与平面的垂直关系以及四棱锥体积的计算，属于中档题．
19.【答案】解：这件零件内径尺寸的平均数为：
．
，，
，，
，
，
，
件零件内径尺寸在的频率为．
估计该厂件零件中其内径尺寸单位：在内的件数为：
．
甲工厂抽检的个零件内径尺寸的方差，
乙工厂抽检的件零件内径尺寸的稳定性更好．
【解析】根据平均数的计算公式求解即可；
根据方差的公式求解可得，进而根据内的频率估计即可；
根据甲工厂抽检的个零件内径尺寸的方差与比较判断即可．
本题考查平均数、方差、标准差、频率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：若选，
，解得，
，，
故曲线在点处的切线方程为：
，即或，
若选，
，，
由，解得，
，又，
所以曲线在点处的切线方程为或．
的定义域为，
，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，则在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【解析】选或，得到关于的方程，求出的值，求出函数的导数，计算，求出切线方程即可，
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可．
本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是中档题．
21.【答案】解：双曲线的焦点在轴，焦距为，设，，
又双曲线过点，，
，，，，
的方程为；
设斜率为的直线的方程为，
由，得，
设，，
，，
，
，
由，可得，，
．
【解析】利用定义可求得，，进而可求，可求的方程；
设斜率为的直线的方程为，与双曲线联立方程组，结合，可求，进而由弦长公式可求．
本题考查求双曲线方程，考查方程思想，考查弦长公式的应用，属中档题．
22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
消去参数得，，
把，代入得，，
化简得，
曲线的极坐标方程为．
把代入得，，，
把代入得，，，
．
【解析】先消去参数，把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式即可得到曲线的极坐标方程．
把分别代入曲线和曲线的极坐标方程，求出点，的极坐标，即可求出的值．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题．
23.【答案】解：当时，，
当时，即为，解得；
当时，即为，解得；
当时，即为，解得；
综上，所求不等式的解集为；
即为，即，
而，当且仅当时等号成立，
，解得或．
实数的取值范围为．
【解析】将代入，分类讨论去掉绝对值符号，解不等式即可；
问题可转化为，进一步由绝对值不等式的性质转化可得，解该不等式即得答案．
本题考查绝对值不等式的性质及其解法，考查分类讨论思想及转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．
第4页，共15页
第3页，共15页