14.3.2 公式法（第1课时）课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
人教版八年级数学上册
14.3.2 公式法
（第1课时）
a米
b米
b米
a米
(a–b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2– b2=(a+b)(a–b)
导入新知
1. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
素养目标
用平方差公式进行因式分解
多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a，b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
–
+
=
2
2
b
a
–
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
–
+
=
–
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
知识点
探索新知
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
(1)x2+y2
(2)x2–y2
(3)–x2–y2
–(x2+y2)
y2–x2
(4)–x2+y2
(5)x2–25y2
(x+5y)(x–5y)
(6)m2–1
(m+1)(m–1)
探索新知
例1 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
–
)
a2 – b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
素养考点 1
利用平方差公式分解因式的应用
探索新知
分解因式：
(1)(a＋b)2–4a2； (2)9(m＋n)2–(m–n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)
＝(b–a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
探索新知
例2 分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2
＝(x2+y2)(x2–y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.
＝(x2+y2)(x+y)(x–y);
(2)原式＝ab(a2–1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a–1).
素养考点 2
多次因式分解
探索新知
分解因式：
(1)5m2a4–5m2b4； (2)a2–4b2–a–2b.
＝(a＋2b)(a–2b–1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；
解：(1)原式＝5m2(a4–b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
巩固练习
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
∴x–y＝–2②.
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得：
素养考点 3
利用因式分解求整式的值
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
探索新知
已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.
解：由题意得：
(x+y)(x–y)=8，
x–y=2，
2(x+y)=8，
x+y=4.
巩固练习
例4 计算下列各题：
(1)1012–992； (2)53.52×4–46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52–46.52)
＝ 4× (53.5＋46.5)(53.5–46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
素养考点 4
利用因式分解进行简便运算
探索新知
用平方差公式进行简便计算:
(1)38 –37 (2)213 –87
(3)229 –171 (4)91×89
解：(1) 38 –37
=(38+37)(38–37)
=75
(2) 213 –87
=(213+87)(213–87)
=300×126=37800
(3) 229 –171
=(229+171)(229–171)
=400×58=23200
(4) 91×89
=(90+1)(90–1)
=90 –1=8100–1=8099
巩固练习
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
素养考点 5
利用因式分解进行证明
探索新知
若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式
a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.
解：∵a2–2bc=c2–2ab，
∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0，
∴(a–c)(a+c+2b)=0.
∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，
∴这个三角形是等腰三角形.
分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.
巩固练习
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是(　　)
A．a(4–a2) B．a(2–a)(2+a)
C．a(a–2)(a+2) D．a(2–a)2
2. 若a+b=4，a–b=1，则(a+1)2–(b–1)2的值为　 　．
解析：∵a+b=4，a–b=1，
∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2)
=4×(1+2)=12．
B
12
连接中考
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mn
C．–x2–y2 D．–x2＋9
D
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是(　　)
A．x(x2–1) B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1) D．x(1+x)(1–x)
D
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(　　)
A．–21 B．21 C．–10 D．10
A
课堂检测
4.把下列各式分解因式：
(1)16a2–9b2=_________________;
(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;
(3) 因式分解：2x2–8=_________________;
(4) –a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a–3b)
4ab
(4+a2)(2+a)(2–a)
5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.
4
2(x+2)(x–2)
课堂检测
6.已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．
原式= – 40×5= –200．
解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)
=(4m+n)(3n – 2m)
= –(4m+n)(2m – 3n)，
当4m+n=40，2m–3n=5时，
课堂检测
7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2
＝6.82–3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
(1)992–1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以，(2n+1)2–25能被4整除.
(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)
=(2n+6)(2n–4)
=2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
课堂检测
8.计算：
平方差公式分解因式
公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
课堂小结
谢 谢