11.3.2 多边形的内角和 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
人教版八年级数学上册
11.3.2 多边形的内角和
【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？
导入新知
1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
2. 能运用多边形的内角和公式与外角和公式解决问题.
素养目标
你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
三角形内角和是多少度？
三角形内角和是180°.
都是360°.
猜想任意四边形的内角和是多少度？
多边形的内角和
探究新知
知识点 1
问题1：
问题2：
问题3：
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
解法一：如图，连接AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
猜想与证明
问题4：
探究新知
解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3–180°
=360°.
A
B
C
D
E
探究新知
解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.
A
B
C
D
E
探究新知
A
B
C
D
P
解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论： 四边形的内角和为360°.
探究新知
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C）
= 360°– 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
素养考点 1
运用四边形内角和定理进行证明或计算
探究新知
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
巩固练习
解：连接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D，
∠DOB＝∠CBE＋∠DEB，
∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F
＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F.
∵在四边形ABEF中，
∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°.
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五
边形和六边形内角和吗
内角和为180°×3 = 540°.
内角和为180°×4 = 720°.
问题5：
探究新知
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
······
0
n –3
1
2
3
1
2
3
4
n –2
（ n –2 ）·180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
由特殊到一般
探究新知
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n–2)×180 °.
注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
归纳总结
探究新知
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则
（n–2） 180=360+720，
解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等，
（8–2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
素养考点 2
利用多边形内角和公式求角度或边数
探究新知
根据多边形的内角和完成下列题目.
(1) 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(　　)
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
(2) 若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是(　　)
A．900° B．540° C．1080° D．360°
(3) 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和(　　)
A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变
C
C
A
巩固练习
例3 已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
解：∵ 360°÷180°=2，
630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
故甲同学说的边数n是4；
探究新知
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有
（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
探究新知
如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．
巩固练习
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.
∵AP平分∠EAB，
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA
=180° (∠EAB+∠ABC)=180° ×230°=65°．
巩固练习
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？
探究新知
多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180°=900°
知识点 2
探究新知
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
=360 °
=5个平角
–五边形内角和
=5×180°
–(5–2) × 180°
结论：五边形的外角和等于360°.
这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
探究新知
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
–(n–2) × 180°
=360 °
=n个平角–n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
【思考】n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
探究新知
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练：
(1)若一个正多边形的内角是120 °，那么这是正____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是 ______边形.
六
正八
探究新知
例1 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n–2) 180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n–2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
素养考点 3
多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用
探究新知
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°，
根据题意得
7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
探究新知
解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得
解得 n=9.
答：这个多边形是九边形.
探究新知
如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．
解：由题意得
AB=AE，所以∠AEB= (180°–∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°.
巩固练习
1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
D
连接中考
2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_____．
解析：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n–2） 180=3×360，
解得 n=8．
则这个多边形的边数是8．
8
连接中考
1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（　　）
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（　　）
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. （　　）
2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是　　．
10
课堂检测
3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
150
课堂检测
4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ ）
A. 360° B. 540 °
C. 720 ° D. 900 °
B
课堂检测
多边形的内角和
内角和计算公式
(n–2) × 180 °(n ≥3的整数）① 边数增加1，内角和增加180°；②内角和是180°的整倍数.
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
课堂小结
谢 谢