苏教版 高一下数学3.1.1两角和与差的余弦教案[下学期]

南京师范大学附属扬子中学教案 高一数学 苏教版必修4
3.1.1 两角和与差的余弦
教学目标:
1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；
2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；
3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
教学重点:余弦的差角公式的推导和应用.
教学难点:余弦的差角公式的推导.
教学过程:
一、问题情境：
[问题一]：我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，不查表如何求诸如cos75°、cos15°的值呢？
　　设问（1）cos75°＝cos（45°＋30°）与cos45°＋cos30°是否相等？
　　　　（2）cosl5°＝cos（45°－30°）与cos45°－cos30°是否相等？
cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，那么cos（45°±30°）＝？，今天我们就来研究这个问题。（板书课题）
[问题二]：一般地, , 那么能否用的三角函数与的三角函数来表示 如何表示
我们可以把看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。
在直角坐标系中,以轴为始边分别作角,其终边分别与单位圆交于,,则 ,
设向量 ；
；
则
= ；
= ；
二、建构数学：
1、两角差的余弦公式
〖思考〗在直角坐标系中,单位圆与轴交于,以为始边分别作出角,其终边分别和单位圆交于,由,你能否导出两角差的余弦公式
因为中可以是任意角，所以在用代可以得公式：
2、两角和的余弦公式
对两角和与差的余弦公式的几点说明：
（1）这两个公式告诉我们：利用任意角、的正弦和余弦可以求出或的余弦；
　　（2）公式中出现的、以及、都是任意角；
　　（3）公式的结构特征：左边是复角(或)的余弦，右边是关于单角的余弦积与正弦积的和（或差），公式两边在符号上正好相异。
三、数学应用：
例1：利用两角和(差)的余弦公式证明诱导公式:
问题：以代替上述诱导公式的,得到何种形式的公式呢
得到：
例2：利用两角和与差的余弦公式，求cos15°，cos75°的值.
公式的正用：直接套用公式，将非特殊角转化为特殊角的和差进行求值，重在一题多解，灵活多变。
练习：求sin15°，的值。
例3：已知,求.
提问:能否再求的值呢
例4: 求值：cosl8°cos42°－sinl8°sin42°.
解：cosl8°cos42°－sinl8°sin42°＝cos（18°＋42°）＝cos60°＝
公式的逆用：注意观察，通过动脑、动手练习，加深对公式的理解和自然记忆，明确公式逆用的好处在于简化运算。
例5:
分析：，；
。
？
分析：
，。（练习）
答案：
例6: .
提示：
例7:
提示：
四、当堂反馈：
练习：化简下列各式:
（1）　　 （2）
（3）cos（80°＋2）cos（5°＋2）＋sin（80°＋2）sin（5°＋2）
（4）－cos100°cos10°－sin80°sin10°
(5) 己知，，
　　 求、、
(6)已知,,,求的值.
五、回顾反思：
本节课，我们利用已学过的知识构造图形，并运用数形结合的思想，推导了两角差的余弦公式，用代换思想推导了两角和的余弦公式，并对公式进行了初步的应用,在以后的学习中我们将对公式的应用进行更深入的探讨。
六、课后研学：
书本P96第1,2,3,4,5题