第1章 全等三角形单元测试卷（困难）（含答案）

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青岛版初中数学八年级上册第一单元《全等三角形》测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，，则下列结论：其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
下列说法正确的是( )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形周长和面积都一样
C. 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
D. 全等三角形的边都相等
如图所示，≌，≌，，，在一条直线上．下列结论：是的平分线；；；线段是的中线； 其中正确的有个．( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形的周长和面积都一样
C. 全等三角形是指形状相同的两个三角形
D. 全等三角形的边都相等
我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，，垂足分别为、，、交于点，且下列四个结论：；；；是等腰直角三角形你认为正确的序号是( )
A. B. C. D.
如图所示，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽，那么判定≌的理由是( )
A. B. C. D.
如图，在和中，，，连接，连接并延长交，于点，若恰好平分，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为平面直角坐标系内一点，，，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，即的依据是( )
A. B. C. ． D. ．
已知中，，，过点任作直线，过点、点分别作的垂线、，垂足分别为、若，，则的长是( )
A. B. C. 或 D. 或
下列说法：
画一条长为的直线；
若，则为线段的中点；
线段是点到点的距离；
，为的三等分线，则．
其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图所示，，，，结论：；；；≌其中正确的有______ ．
如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，且、满足，点在直线的右侧，且；当为直角三角形，则点的坐标为 ．
如图，已知，≌，、交于点，，则
已知在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是原点，以，，为顶点的三角形与全等，点与点不重合，写出所有符合条件的点的坐标：________________________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，点在上，≌，求证：平分．
国昌实验中学八年级合作学习小组的同学学习了全等三角形的概念后，聪明的正宇同学代表本小组给其他小组内的同学出了这样一个问题：在直角坐标系中，点，，，若有一个直角三角形与全等，且它们只有一条公共直角边，这样的直角三角形有几个若有，请写出第三个顶点的坐标．
如图，、相交于点，≌，且，，，，求的度数和的长度．
如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点为的中点，
【观察猜想】图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
【探究证明】把绕点逆时针旋转到图的位置，中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
【拓展延伸】把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段长度的最大值和最小值．
如图，在中，，，点为平面内一点，且，与交于点，过作交边于点．
如图，过作交于，
求证：；
求证：；
过作交于，连接，若，，求的长．
在平面直角坐标系中，已知点
对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
在图中画出点；
连接交线段于点求证：
的半径为，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差用含的式子表示
如图，已知线段、、．
请用尺规按下列要求作图：不要求写作法，但要保留作图痕迹
延长线段到，使；
反向延长线段到，使．
在的条件下，如果，，，且点为的中点，求线段的长度．
尺规作图
已知：线段，．
求作：，使斜边，请在作图区域内完成
回答问题
【初步探索】
如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
如图，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
如图，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】如图，延长交于点，延长交于点．
由，得，，，
又，

和都是等腰直角三角形

，即，故正确
，
．
又由得，

，即，故正确
，，且，
，故正确．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质，注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A错误；
B.两个三角形全等，它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
C.两边和第三边上的高对应相等，不能判定两个三角形全等，故C错误；
D.全等三角形的对应边相等，故选项D错误．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．
根据全等三角形的对应角相等得出，即可判断；先由全等三角形的对应边相等得出，，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，则，再根据全等三角形的对应角相等得出，即可判断；根据全等三角形的对应角相等得出，，从而可判断，即可判断；根据全等三角形的对应边相等得出，再根据三角形中线的定义即可判断；根据全等三角形的对应边相等得出，但、、可能不在同一直线上，所以可能不等于，据此判断
【解答】
解：≌，
，
是的平分线，故正确；
≌，
，，
，
，
≌，
，
，
、、可能不在同一直线上
可能不垂直于，故不正确；
≌，≌，
，，
若、、不在同一直线上，则，
，故不正确；
≌，
，
线段是的中线，故正确；
≌，
，
若、、不在同一直线上，则，
，故不正确．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质；注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键．认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A、C错误；
两个三角形全等，它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
全等三角形的对应边相等，故选项D错误；
故选B．

5.【答案】
【解析】解：根据伞的结构，，伞骨，是公共边，
在和中，
，
≌，
，
即平分．
故选：．
根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定；证明≌是解题的关键根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定对各选项进行判断即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，，
，
，故是等腰直角三角形正确；
在和中，
≌，
，故正确；
，，
，
即，故正确；
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，故不正确．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、，，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．由是、的中点，可得，，再有，可以根据全等三角形的判定方法，判定≌．
【解答】
解：是、的中点，
，，
在和中，
≌，
因此判定≌的理由是．
故选A．

8.【答案】
【解析】解：，
，即，
在和中，
，
≌，
，故A选项不符合题意；
，故D选项不符合题意；
B.≌，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
内错角相等，两直线平行，
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明，故C选项符合题意．
故选：．
利用证明≌可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明≌是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：当点在轴上方．如图，作轴，
点的坐标为，的坐标为，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，
；
当点在轴下方．如，作轴，
与证明方法一样可证得≌，
，，
，
点坐标为，
．
故选：．
讨论：当点在轴上方．作轴，，，由于，利用等角的余角相等得到，然后根据“”可判断≌，则，，于是点坐标为，得到；当点在轴下方．作轴，与证明方法一样可证得≌，得到，，则，所以点坐标为，得到．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
由作法易得，，，根据可得到三角形全等．
【解答】
解：由作法易得，，，依据可判定≌．
故选B．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
利用互余关系证明，又，，故可证≌，从而有，，利用线段的和差关系证明结论，进而得出答案；
类似于的方法，证明≌，从而有，，可推出、与之间的数量关系，进而得出答案．
【解答】
解：图中，，图中，．
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
故选D．
12.【答案】
【解析】解：直线没有长度，所以画一条长为的直线错误；
若且在线段上，则为线段的中点，此结论错误；
线段的长度是点到点的距离，此结论错误；
，为的三等分线，则或，此结论错误；
故选A．
根据直线的定义与性质、线段的中点的定义、线段长度的定义和角三等分线的定义逐一判断即可．
本题主要考查几何作图，解题的关键是掌握直线的定义与性质、线段的中点的定义、线段长度的定义和角三等分线的定义．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．只要证明≌，≌，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解答】
解：在和中，

≌，
，，，
，
即，故正确；
在和中，
≌，故正确；
，
，
，故正确，
与的大小无法确定，故错误．
故答案为．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查坐标与图形性质，绝对值的非负性，偶次方的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，
根据非负数的性质求出，，利用全等三角形的判定与性质结合等腰直角三角形分类讨论即可解答．
【解答】
解：，
，
，，
，．
当为直角时，过点作轴于点，
则，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
≌，
，，
当时，过点作轴于点，
则
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
≌
，
．
综上可知，点的坐标为或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质以及三角形外角的性质，熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键．先根据全等三角形的对应角相等得出，再根据三角形外角的性质求出．
【解答】
解：≌，
，
．
故答案为．

16.【答案】，和
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质，作出图形利用数形结合的思想求解更加简单．作出图形，根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】
解：如图所示，以、、为顶点的三角形与全等，
则点的坐标为或或．
故答案为：或或．

17.【答案】证明：≌，
，，
，
，
平分．
【解析】根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据角平分线的定义证明即可．
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
18.【答案】解：如图若以为公共边，则可以画个直角三角形：、和顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．
若以为公共边，则可以画个直角三角形：、和顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．
所以这样的直角三角形共有个．

【解析】略
19.【答案】解：≌，，，，
，，
，
，
即，的长度是．
【解析】根据三角形全等的性质和三角形内角和可以解答本题．
本题考查全等三角形的性质和三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】 ；
结论成立．
理由：如图中，延长到，使得，连接延长交于．
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
的最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图中，设交于点证明≌，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
结论成立．如图中，延长到，使得，连接延长交于证明≌，即可解决问题．
利用三角形的三边关系求出的取值范围，即可解决问题．
【解答】
解：如图中，设交于点．
，，，
≌，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
21.【答案】证明：方法一：过点作于点，
，，
∽，，
又，，
，
，
；
方法二：
，，
，
，
；
方法三：过作于点，证明≌，也可证明出；
证明：过作于点，连接，
，，，
≌，则，，
又，
，是等腰直角三角形，
，，
，
点、、、在同一个圆上，
，
是等腰直角三角形，，
；
过点作，
，，
∽，则，且，
，
，
，
，，
，则，
过作，则，
过作，则，
，
则．
【解析】方法一：过点作于点，由两角对应相等的两个三角形相似证出∽，从而得出，再根据等腰直角三角形中三线合一证得，从而证明结论；方法二：根据同角或等角的余角相等即可证明；
过作于点，连接，证明出≌，所以；再证、、、四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等证明，证出、是等腰直角三角形，就很容易证明结论；
过点作，易得∽，再过作，则，过作，则，最后得结果．
本题考查全等三角形的性质与判断、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，难度较大，解题关键是作出合适的辅助线．
22.【答案】解：点如下图所示．
点，
点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
，
点关于点的对称点为，，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
点，在坐标系内找出该点即可；
证明：如图，延长至点，连接，
，
，
在与中，
，
，
，，，
，，，
，
，
；
如图所示，
解法一：连接并延长至，使，延长至，使，
，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
，
点关于点的对称点为，
，
又，
，
为的中位线，
，，
，
，
，
在中，，
结合题意，，，
，
即长的最大值与最小值的差为．
解法二：由三角形中位线定理得
点在以为圆心，半径为的圆上运动，
则最大值为，最小值为
所以长的最大值与最小值的差为：
【解析】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第问难度较大，根据题意，画出点和点的轨迹是解题的关键．
先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点的坐标；
延长至点，连接，利用证明，得到，再计算出，，，即可求出；
连接并延长至，使，延长至，使，结合对称的性质得出为的中位线，推出，得出，则．
23.【答案】解：如图所示，线段即为所求，
如图所示，线段即为所求；
因为，，，
所以，
因为点为的中点，
因为，
所以．
【解析】根据题意画出图形即可；
根据线段的画出和线段的中点的定义即可得到结论．
本题考查了尺规作图、线段中点的性质和线段的和差．根据题目要求正确画出图是本题的解题关键
24.【答案】解：如图，为所作．

【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
先做，取，过作，即可解答．
25.【答案】解：，
理由：如图，延长到点，
使，连接，
根据可判定≌，
进而得出，，
再根据可判定≌，
可得出，
故；
仍成立，理由：
如图，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
≌，
，，
，，
≌，
；
，
证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
≌，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
即，
．
【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
延长到点，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；
延长到点，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；
在延长线上取一点，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
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