第1章 图形的相似单元测试卷（困难）（含答案）

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青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“”之间的变换是( )
A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 位似
已知中，，用尺规过作一条直线，使其将分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，在中，点在边上，，与边交于点，连结记，的面积分别为，( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点给出下列结论：≌；∽；四边形的面积为正方形面积的其中正确的是( )
A. B. C. D.
如图，两个全等的矩形，矩形如图所示放置所在直线与，分别交于点，若，，则线段的长度是( )
A. B. C. D.
两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形，其中∽，≌，≌若：：，：：，则矩形与矩形的面积之比为( )
A. B. C. D.
如图，，是平行四边形对角线上两点，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，四边形是正方形，以为底边向正方形外部作等腰直角三角形，连接，分别交，于点，则下列结论：∽；∽；；，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为( )
A. B. C. 或 D.
如图，在中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是( )
A.
B.
C.
D.
用放大镜将图形放大，应该属于( )
A. 平移变换 B. 位似变换 C. 旋转变换 D. 相似变换
如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得，则下列说法正确的个数是( )
与是位似图形与是相似图形与的周长比为若的面积为，则的面积为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在矩形中，截去一个正方形后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中 ．
如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论：≌，，，中，正确的是______．
如图，在等腰中，，，于点，点是边上的一个动点，以为边向右作∽，连接，则的最小值为______．
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，已知与位似，位似中心为原点，且相似比为：，点，都在格点上，则点的坐标为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，是正方形对角线上一点，作，，垂足分别为点，求证：四边形与四边形相似．
如图，是某学校的矩形草坪，长米，宽米，沿草坪四周外围有米宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？请说明理由．
如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．
若于点，且，求证：四边形是菱形；
若，求的值；
设、、四边形的面积分别为、、，求证：
．
如图，已知平行四边形，过作，分别交、于点、，过作，分别交、于点、，连接、．
求证：四边形为平行四边形；
当四边形为菱形时，当点为的中点时，求：的值．
如图，四边形中，对角线，有交点，且点与点在同侧，连接，，，若∽．
求证：；
若，，，求的面积．
如图，在矩形中，，，点是对角线上一点上，连接，，且，连接．
当时，求的长．
四边形可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形的面积．
如图，作，垂足为，当点从点运动到点时，直接写出点运动的距离．
如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中，已知点及的顶点均为网格线的交点．
将绕着点顺时针旋转，得到，请在网格中画出；
以点为位似中心，将放大为原来的三倍，得到，请在网格中画出．
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
将绕点逆时针旋转到，画出图形并直接写出和的坐标分别为_________________．
若的两个顶点的坐标为，，第三个顶点在格点上，与位似，则画出图形并直接写出的第三个顶点坐标为_________________．
如图所示，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为：，点，，在轴上．
若点的坐标为，直接写出点和点的坐标；
若正方形的边长为，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故选：．
开口向下的两个“”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．
2.【答案】
【解析】解：、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
D、无法判断∽，故本选项符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】
【分析】
考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
根据题意判定∽，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
【解答】
解：如图，在中，，
∽，
，
若，即时，，
此时但是不能确定与的大小，
故选项A，不符合题意．
若，即时，，
此时△BDE，
因为2，
所以
所以若，则
故选项C不符合题意，符合题意。
故选答案为．
4.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
故正确；
，
点、、、四点共圆，
，，
∽，
故正确；
≌，
，
，
故正确；
≌，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
∽，
：：，
，
，，
，
，，
，
又中，，
，
，
故错误，
故选：．
本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例．
由正方形证明，，，便可得结论；
证明点、、、四点共圆，得，，进而得∽便可；
先证明，得到便可；
证明∽，得，再证明，再证明，得便可．
5.【答案】
【解析】解：作于则四边形是矩形．
，，
，
，，
≌，
，
，
，设，
在中，，
解得，
，
故选：．
作于则四边形是矩形．利用全等三角形的寻找证明，设，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可以假设，，，．
，，
∽，
，
，
解得，，
，
，，
矩形与矩形的面积之比：，
故选：．
由题意可以假设，，，利用相似三角形的性质构建方程组，求出，用表示，再利用勾股定理求出，用表示即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
7.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形
，，
，
≌，
，
，，，
：：：，：：：，
：：：，
，
∽，
，
，
，
故选：．
首先证明：：：，推出，推出∽，可得，，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．由四边形是正方形，是等腰直角三角形，得到，根据平行线的性质得到，推出，得到∽；故正确；由，，得到，于是得到与不相似，故错误；过作，则，，根据相似三角形的性质得到，设，，得到，故错误；设，，求得，得到，推出，故正确．
【解答】
解：四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
∽；故正确；
，
，
，
，
与不相似，故错误；
过作，
则，，
∽，
，
设，，
，
，
，故错误；
∽，
，
设，，
，
∽，
，
，
，
，故正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查角平分线的性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的性质，分类讨论的数学思想关键是添加辅助线，构造直角三角形，通过解直角三角形即可解答．
过点作于，于，于，先利用勾股定理求得的长，根据角平分线的性质得，再利用面积法求得、、的长，再分两种情况，根据相似三角形的对应角相等，等角的三角函数值相等分别求得和的长即可解答．
【解答】
解；过点作于，于，于，连接，
平分，平分，
，
，，，
，
△DAC
，
当∽时，，，
，，
，
即，
，，
；
当∽时，，，
，，
，
即，，
，，
．
综上所述：与相似，线段的长为．
故选B．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据位似变换的性质得出的边长放大到原来的倍，，，，进而得出点的横坐标．
【解答】
解：如图，过作轴，过作轴，
点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，点的对应点的横坐标是，
，，
，
点的横坐标是：．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似图形的定义，形状相同的平面图形叫相似形根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】
根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选D．

12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解答】
解：根据位似性质得出与是位似图形，
与是相似图形，故正确，
将的三边缩小的原来的，
与的周长比为：，
故选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
与的面积比为：，
若的面积为，则的面积为，故正确．
故选C．

13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．用和表示出，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】
解：四边形是正方形，
，
剩下的矩形对开后与原矩形相似，
，
即，
整理得，，
解得，舍去，
：，
或，
整理得，
：，
综上所述，：或．
故答案为：或．

14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
即是等边三角形，
同理：是等边三角形
，
在和中，
，
≌；
故正确；
由得，
，
；
故正确；
在上截取，连接，
，
点，，，四点共圆，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故正确；
，，
∽，
：：，
．
故正确．
故答案为：．
由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得≌；
由则可得，利用三角形外角的性质，即可求得；
在上截取，连接，易得点，，，四点共圆，则可证得是等边三角形，然后由即可证得≌，则可证得；
根据已知条件易证得∽，由相似三角形的对应边成比例，即可得．
此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15.【答案】
【解析】解：连接，过点作，垂足为，如图所示：
∽，
，：：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，．
的最小值即为．
故答案为：．
先证≌，易得恒为，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知的最小值即为，进行求解即可．
本题考查了最小值问题，在运动过程中找出的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意得：与位似，位似中心为原点，且相似比为：，
又
的坐标是，即的坐标是；
故答案为：
把的横纵坐标分别乘以得到的坐标．
本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．
17.【答案】证明；，
四边形为矩形．
四边形为正方形，
平分．
又，，
．
四边形为正方形．
四边形与四边形相似．
【解析】由正方形的性质可知；平分，然后由角平分线的性质可知，从而可证明四边形为正方形，故此四边形与四边形相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形为正方形是解题的关键．
18.【答案】解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似理由：
由题意得，小路外边缘矩形的长和宽分别为和，
则两个矩形的长比：，宽的比：，
，
故小路内外边缘形成的两个矩形不相似．

【解析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可．
19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：，
∽，
，
，
∽，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
证明：设的边上的高为，长为，的边上的高为，
，
，，
，，
∽，
，
解得：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【解析】根据，，可得四边形是平行四边形，然后证明是的垂直平分线，可得，证明，进而可以解决问题；
证明∽，可得，证明∽，可得，所以，然后根据，即可解决问题；
设的边上的高为，长为，的边上的高为，由∽，可得，得，然后根据三角形的面积即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
；
，
，
；
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形；
解：如图，连接交于点，
当四边形为菱形时，
则与互相垂直平分，
，
与互相垂直平分，
是菱形，
，
是的中点，，
，
为等边三角形，
，，
，
：，
：：．
【解析】本题菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点．
由可证≌可得，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
先证为等边三角形，可得，由直角三角形的性质即可解决问题．
21.【答案】证明：，
，
∽，
，
，
，
；
解：过点作于，
，
，
设，则，
∽，
，
，
在中，，
，
，
，
十，
，
∽，
，
，
，
，
，
过点作于，
在中，，
，
，
，
．

【解析】根据四边形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质证得，可得，再根据周角即可证明；
过点作于，过点作于，设，则，通过证明∽，求得，解直角三角形得，再根据相似三角形的性质得出的长和的度数，由勾股定理得，则答案可解．
本题考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三边形解决问题．
22.【答案】解：四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
四边形可能为矩形。
由得∽，
，
，
当 时，

四边形为矩形，
这时，由勾股定理得，
， ，
；
如图，作，垂足为，作，垂足为，
易证∽，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
点在直线上运动，
当点与点重合时，如图，
不难证明四边形是矩形，
．
【解析】本题主要考查矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质等相关知识，熟练掌握矩形的性质与相似三角形的判定方法是解题的关键。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”可证得∽， 再根据相似三角形的对应边成比例，即可求出的长；
根据“三个角是直角的四边形是矩形”可证当 时，四边形为矩形，由勾股定理求出的长后，利用面积求出，进而求出的长，最后代入矩形的面积公式，计算即可；
作，垂足为，作，垂足为，
由已知条件易证∽，从而，分别利用“两角分别相等的两个三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证∽与∽，得出与、 与 的关系后，即可判断点运动的路径，最后根据点与点重合时，由矩形的对角线相等即可得出点运动的距离。
23.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求．

【解析】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．
24.【答案】【解答】解：如图所示，、．
设直线的解析式为：，
的顶点坐标分别为，，．
解得：．
直线 的解析式为：．
同理可得：直线的解析式为：，直线的解析式为：，
的两个顶点的坐标为、．
过这两点的直线为．
这两点的直线与平行．
若的对应点为，的对应点为
则，
的解析式为，的解析式为．
，．
，．
的解析式为，的解析式为：．
与的交点为．
若的对应点为，的对应点为．
，．
直线的解析式为，直线的解析式为．
，．
，．
直线的解析式为，直线的解析式为．
直线与直线的交点为．
的第三个顶点的坐标为或．
故答案为：、．
或．

【解析】见答案
25.【答案】解：点坐标为，点坐标为；
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
正方形的边长为，则正方形的边长为，：：，
：：，解得，
点的坐标为．
【解析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以即可得到点坐标，然后利用正方形的性质写出点坐标；
先利用位似的性质得到正方形的边长为，再利用相似比求出，从而可得到点坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
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