第2章 解直角三角形单元测试卷（困难）（含答案）

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青岛版初中数学九年级上册第二单元《解直角三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在中，，，动点从点出发沿射线运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的面积变化情况是( )
A. 先变大再变小 B. 先变小再变大 C. 逐渐变大 D. 不变
如图，绕点逆时针旋转，在此过程中、、的对应点依次为、、，连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图象如图，当时，的值为( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，，则折痕的长为( )
A.
B.
C.
D.
在矩形中，，如图，分别以点，为圆心，以和为半径作弧，两弧交于点，连接，则的最大值为( )
A. B. C. D.
如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点，若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点给出下列结论：∽；∽；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
计算( )
A. B. C. D.
在的正方形网格中，和的顶点都在边长为的正方形的顶点上，则图中的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在四边形中，，，，，点，分别在，边上，若：：：，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线过点作，交射线于点，过点作，交于点若，，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
为了测量重庆有名的观景点南山大金鹰的大致高度，小南同学使用的无人机进行观察，当无人机与大金鹰侧面在同一平面，且距离水平面垂直高度为米时，小南调整摄像头方向，当俯角为时，恰好可以拍摄到金鹰的头顶点；当俯角为时，恰好可以拍摄到金鹰底座点已知大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面长米，坡度为：，石台上方长米，头部点位于中点正上方则金鹰自身高度约米结果保留一位小数，，，( )
B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，，，，四点均在边长为的正方形网格的格点上，线段，相交于点，则的正切值为 ．
如图，中，，，，，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于．
___
当和相似时，___．
如图，直尺垂直竖立在水平面上，将一个含角的直角三角板的斜边靠在直尺的一边上，使点与点重合，当点沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点滑动到点时，点运动的路径长为______．
如图，将 绕点逆时针旋转到 的位置，使点落在上，与交于点若，，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在等边中，，为边上一点，以为边向右构造等边，过点作于点，并延长交于点，连结．
求证：．
当时，求的长．
已知，为边的中点，为线段上一点，当直线将的面积分成两部分时，求的值．
在 中，，平分，交对角线于点，交射线于点，将线段绕点顺时针旋转得线段．
如图，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；
如图，当时，过点作于点，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
当时，连接，若，请直接写出与面积的比值．
如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，点是的中点，连接．
求证：；
如图所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的长．
如图，中，，点是边上一点，且点不与、重合，于点．
当时，

当绕点旋转到如图的位置时，上述结论是否仍然成立若成立，请给出证明若不成立，请说明理由．
当时，将绕点旋转，使得，若，，请直接写出线段的长．
如图，已知四边形中，的延长线与的延长线交于点．注意：本题中的计算过程和结果均保留根号
若，求的长；
若，求的长．
如图，在中，，，点为边上的动点点不与点，重合以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
求证：∽；
当时如图，求的长；
点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是含如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．结果精确到，参考数据：，
校车安全是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为米的点处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．
求、之间的路程；参考数据：，
请判断此校车是否超过了白田路每小时千米的限制速度？
已知，如图，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为：的斜坡攀行了米，在坡顶处又测得该塔的塔顶的仰角为求：
坡顶到地面的距离；
古塔的高度结果精确到米．
参考数据：，，
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，解题关键是证明的边上高是定值解题时，作射线，垂足为点，作，垂足为点，先证明≌，得出，在中，求出，则，根据三角形面积公式即可求出的面积，由于在动点从点出发沿射线运动的过程中，即和始终保持不变，因此的面积也保持不变．
【解答】
解：作射线，垂足为点，作，垂足为点，则，
，，
，
由旋转可知：，
≌，
，
在中，
，
，
由于在动点从点出发沿射线运动的过程中，即和的长度始终保持不变，
因此的面积也保持不变．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查图像旋转问题，做题的关键要读懂题，看懂图形所给的信息，充分利用所给的信息解题，同时考查了勾股定理的应用和锐角三角函数的知识，基本三角形的边角关系．
首先由题知，当时，利用旋转性质和勾股定理，从而求出；然后当时，过点作于点，利用锐角三角函数知识和勾股定理求解即可．
【解答】：
解：由题知，
当，如下图，根据旋转性质知，，
根据图可知，此时，则，设，
在中，，
即：，
解得，舍去，
即，
则，
当时，过点作于点，如下图，
由题意，
，
，
，
在中，．
故选：
3.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，掌握好基本性质是解题的关键先得出，，然后得出，判断是等边三角形，得出，设，则，作，交于点，则四边形是矩形，得出，求出即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，．
由折叠知，．
，
．
，
，，
是等边三角形，．
设，则．
作，交于点，则四边形是矩形，
，，
，
，，
解得或不符合题意，舍去，
，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义，三角形三边关系．
过点作，使得，则，说明∽，根据相似三角形的性质可得，故可知当最大时，最大，在中，根据三角形三边关系可知当，，三点共线时，最大，最大值为，即可求解．
【解答】
解：过点作，使得，则，
在中，，即，
，即，
又，
，
∽，
，
，
故当最大时，最大，
在中，，故当，，三点共线时，最大，最大值为，
此时，的最大值为．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
首先，需要证明线段就是点运动的路径或轨迹，如答图所示．利用相似三角形可以证明；其次，如答图所示，利用相似三角形∽，求出线段的长度，即点运动的路径长．
【解答】
解：由题意可知，，点在直线上，轴于点，
则为等腰直角三角形，．
如答图所示，设动点在点起点时，点的位置为，动点在点终点时，点的位置为，连接．
，，
，
又，，
：：此处也可用角的三边长的关系来求得，
∽，且相似比为，
．
现在来证明线段就是点运动的路径或轨迹．
如答图所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，，．
，，
，
又，，
：：，
∽，
．
又∽，
，
，
点在线段上，即线段就是点运动的路径或轨迹．
综上所述，点运动的路径或轨迹是线段，其长度为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的锐角三角函数值，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长．利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质和特殊角的锐角三角函数值等知识，逐一判断，即可得出结论．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
在正方形中，
，
，
，
，
，
，
，
∽．
故正确；
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
故正确；
在中，
，
，
，
，
，
∽，
，
故正确；
如图，过作，，
设正方形的边长是，为正三角形，
，，

，
，
，
，
，
故正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：由勾股定理可求出：，，，，
，，
，
∽，
，
，
故选：．
根据勾股定理即可求出、、、的长度，然后证明∽，推出，由此即可解决问题．
本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
连接，通过三角形全等，求得，从而求得的长，然后根据勾股定理求得的长，连接，过点作于，则是等边三角形，求得，设，表示出，根据勾股定理即可求得，然后求得的值即可．
【解答】
解：，：：：，
，，
连接，，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，即，
，
，
在中，，
，，
是等边三角形，
，
过点作于，设，则，
，即，
解得：，
，
由勾股定理得：，
，
故选B．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作于．
由作图可知，，，
，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，过点作于首先证明四边形是菱形，解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11.【答案】
【解析】解：根据折叠，可知：≌，
，．
在和中，，
≌，
，．
设，则，，
又，，
．
在中，，即，
解得：，
，
．
故选：．
根据折叠的性质可得出、，由、、可得出≌，根据全等三角形的性质可得出、，设，则、、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的值，再利用余弦的定义即可求出的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合，求出的长度是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了解直角三角形仰角与俯角问题、以及锐角三角函数的应用，得出与的长是解题关键．
作于，于，则，，在中，由三角函数求出，由石台侧面坡度为：，求出石台侧面宽度为，高度为，求出，得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出米，即可得出答案．
【解答】
解：作于，于，如图所示：
则，，
在中，，
，，
石台侧面长米，坡度为：，
石台侧面宽度为，高度为，
石台上方长米，头部点位于中点正上方，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
米，
金鹰自身高度约为米；
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理、平行线的判定和性质性质、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
连接并延长到，连接，则，由平行线的性质得出，由勾股定理求出和，由三角函数的定义即可得出答案．
【解答】
解：连接并延长到，连接．
则，，，，
，．
，
根据勾股定理可得：，，
，
．
14.【答案】；
或．
【解析】
【分析】
本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，分类讨论思想，掌握相似三角形的判定和性质，分类讨论思想是关键．
先根据三角形中位线定理证明，，得和的对应高的比为，然后利用面积法求得边上的高即可解答；
分两种情况讨论：当时，则点在上，故H点和点重合和当时，根据锐角三角函数的定义得方程，解方程即可解答．
【解答】
解：中，，，，
由勾股定理得：，
，分别是边，的中点，
，，
∽，
和的对应高的比为：，
边上高为，
所以
，
C.
若和相似，则再有一个角为直角即可，
当时，则点在上，故H点和点重合，如图所示，
C.
，
解得
当时，如图所示，
，
解得，
或．
15.【答案】
【解析】解：当点沿方向下滑时，得，过点作于点，作于点．
，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
点在射线上运动，
当时，的值最大，最大值为，
当点滑动到点时，点运动的路径长为．
故答案为：
当点沿方向下滑时，得，过点作于点，作于点证明，推出平分，推出点在射线上运动，当时，的值最大，最大值为，当点滑动到点时，点运动的路径长为．
本题考查点的运动轨迹，熟练掌握直角三角形、正方形的性质，能够根据点的运动确定点的运动轨迹是线段是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点．
由旋转可知，，，
，
，，
，
，
，
，则，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
，
又，
，
，
∽，
，
，，
，，
，解得．
，，
．
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，由勾股定理可得，，由等面积法可得，，由勾股定理可得，，由题可得，∽，∽，则，，设，则，，则，解得最后由勾股定理可得，．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．
17.【答案】证明：等边和等边，
，，，
，
即，
，
；
解：等边和等边，
，
，
，
．
作于点，
设，则，，
．
．
即，．
；
交于点，连结．
：，
：，
为的中点，
，
为中点，
，
；
交于，于点．
同理可得，
，
，，
，．
，．
，，
，
由得，
，
．
，
综上所述，或
【解析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义有关知识．
根据等边三角形的性质得出，，，然后证明即可解答；
根据等边三角形的性质得出，利用锐角三角函数的定义得出，最后再进行解答；
根据题意进行分类讨论，然后再结合平行线分线段对应成比例解答即可
18.【答案】解：如图，延长交于点，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，即，
，
，
，
四边形和四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
≌，
；
，
理由：如图，连接，
在 中，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在中，，
；
由知，，
，，
，
设，则，，
当点在上时，如图，过点作于点，作于点，
过点作于点，过点作的延长线于点，
当时，，
平分，，，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
，
，
．
如图，当点在延长线上时，
由同理可得：，
，
，
综上所述，与面积的比值为或．
【解析】如图，延长交于点，连接，根据平行四边形性质可证得四边形是菱形，进而得出是等边三角形，再证明≌，即可得出答案；
如图，连接，证明≌，进而得出，利用三角函数可得，再运用勾股定理即可；
设，则，，分两种情况：当点在上时，如图，过点作于点，作于点，过点作于点，过点作的延长线于点，利用角平分线性质得出，，即可得出答案；
如图，当点在延长线上时，同理可得出，，即可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形判定和性质，角平分线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键．
19.【答案】证明：，，
，
把绕点逆时针旋转，得到，
，，
，，
又，
≌，
，
，
点是的中点，
；
，
理由如下：如图，过点作于，
，
设，则，，
，，
，
由可知：≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，
此时，如图，连接，
将绕点顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，，
垂直平分，
，，
，
，，，
，
，
，
，
由可知：
【解析】由“”可证≌，可得，可求，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；
过点作于，设，可得，，，由全等三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，可求，可求的长，即可求；
将绕点顺时针旋转得到，连接，可得当点，点，点，点共线时，值最小，由旋转的性质可得是等边三角形，是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点的位置是本题的关键．
20.【答案】解：；
成立，
理由：和都是直角三角形，，
，
，
又，，
，
∽，
，
又中，，
；
．
【解析】
【分析】
此题是三角形综合题，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和旋转的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
由直角三角形的性质求出，再由矩形的性质得，然后由含角的直角三角形的性质即可得出结论；
证∽，得即可；
先求出，则，再由勾股定理得，则，然后证∽，即可求解；
同的方法即可求解．
【解答】
解：中，，，
，
如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，即，
在中，，
，
；
见答案；
，
，
，
，
，
，，
将绕点旋转使得，分两种情况：
如图所示，过作交的延长线于，则，
当时，，
又，
四边形是正方形，
，
，
根据勾股定理得，，
在中，，
，
又和都是直角三角形，
且，
，
，，
，
∽，
，即，
；
如图所示，过作于，则，
当时，，
又，
四边形是正方形，
，
又，
，
在中，，
，
又∽，
，即，
，
综上所述，线段的长为．
21.【答案】解：，，，，
，，
又，，，，
，
；
，，，
设，则，得，
，得，
，，
，
解得，，
，
即的长是．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．
要求的长，只要求出和的长即可，由题意可以得到和的长，本题得以解决；
要求的长，只要求出和的长即可，根据题意可以得到、的长，本题得以解决．
22.【答案】证明：，
，
，，
，
∽．
解：如图中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或舍弃，
，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于则，
四边形为矩形，
，，
，，，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
解直角三角形求出，由∽，推出，可得，由，推出，求出即可．
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得作于，于，于则，由∽，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
23.【答案】解：连接，作于点，
，，分别垂直平分踏步，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，，
该中学楼梯踏步的高度符合规定，
，，
该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得和的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24.【答案】解：在中，，
，，
．
在中， ，
，

米．
此车的速度米秒，
千米小时米秒，
米秒米秒，
此校车超过了白田路每小时千米的限制速度．

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．
分别在，中，求得、的长，从而求得的长
已知时间则可以根据路程公式求得其速度，并将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速此时注意单位的换算．
25.【答案】解：过点作，垂足为点，
斜坡的坡度为：，
，
设，则，由勾股定理，得，
，
解得，
，
答：坡顶到地面的距离为米．
延长交于点，
，，
，
四边形是矩形，，，
，
，
设，则，
，
在中，，即．
解得．
答：古塔的高度约为米．
【解析】先过点作，根据斜坡的坡度为：，得出，设，则，，求出的值即可．
先延长交于点，根据，，得出，四边形是矩形，再根据，得出，然后设，得出，最后根据在中，，列出方程，求出的值即可．
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
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