人教A版2019选择性必修第三册6.2.3&6.2.4 组合和组合数 学案（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第三册6.2.3&6.2.4 组合和组合数 学案（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-29 15:47:41 | ||
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文档简介
6.2.3＆6.2.4 组合和组合数
【考点梳理】
知识点一 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
知识点二 排列与组合的关系
相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系 组合数C与排列数A间存在的关系A＝CA
知识点三 组合数公式
组合数公式 乘积形式 C＝，其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘形式 C＝
规定：C＝1.
知识点四 组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
【题型归纳】
题型一、组合概念的理解
1．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________.(填序号)
①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和；
②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；
③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动.
2．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
题型二、组合数的计算
3．若，则n的值是______．
4．若，则的取值集合是______．
5．计算：
(1)；(2)；(3)．
6．化简：．
7．用组合数公式证明：
(1)；(2)．
题型三、组合数的性质及应用
8．已知，那么________．
9．计算：
(1)；(2)．
10．解方程：．
题型四、实际问题中的组合计数问题
11．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种
13．将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）.
题型五、代数中的组合计数问题
14．甲、乙、丙三人值班，从周一到周六按每人分别值班2天排班，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有( )
A．15种 B．30种 C．45种 D．60种
15．（多选）将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.则下列说法正确的有（ ）
A．编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是360
B．编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36
C．恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40
D．恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30
16．现有0，1，2，3，4，5六个数字．
（1）用所给数字（可重复使用）能够组成多少个四位数？
（2）用所给数字组成没有重复数字的五位数中，比40000大的偶数有多少个？
题型六、几何组合计数问题
17．以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70 B．64 C．60 D．58
18．《九章算术·商功》指出“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”意为将一个正方体斜切，可以得到两个壍堵，将壍堵斜切，可得到一个阳马，一个鳖臑（四个面都是直角三角形的三棱锥），如果从正方体的8个顶点中选4个顶点得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖臑的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A． B．
C． D．
题型七、分组分配问题
20．某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（ ）
A．3180 B．3240 C．3600 D．3660
21．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
22．某旅行社有A、B、C、D、E共五条旅游线路可供旅客选择，其中A线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路.则他们报名的情况总共有（ ）
A．720种 B．360种 C．288种 D．240种
23．考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（ ）种．A．360 B．630 C．2520 D．15120
24．有4名男生和2名女生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有_______________种．（用数字表示）
25．某学校社会实践小组共有7名成员， 该小组计划前往该地区的三个红色教育基地进行“学党史， 颁党恩， 跟党走”的主題宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地， 每个基地至少有两名成员前往， 且甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基地， 则不同的服务方案共有_______种．
题型八、x+y+z=n的整数解的个数
26．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
27．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）
28．不定方程的非负整数解的个数为_______.
29．泗县一中举行“建党周年朗诵比赛”，学校给了高二个文科班个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.
题型九、其它组合计数问题
30．有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．168 B．260 C．840 D．560
31．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
32．学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
33．刘老师为学生购买纪念品，商店中有四种不同类型纪念品各10件（每种类型纪念品完全相同），刘老师计划购买24件纪念品，且每种纪念品至少购买一件．则共有________种不同的购买方案．
34．如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作答
【双基达标】
1．（多选）使不等式成立的n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．由a，b，c，d，e这5个字母排成一排（没有重复字母），且字母a，b都不与c相邻的排法有（ ）
A．36种 B．32种 C．28种 D．24种
5．2021年1月10日，是我国设立的第一个“中国人民警察节”，2020年，某省人民群众对公安机关的满意度测评居首位．为感谢公安干警的辛勤付出，6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者，每名学生只去1个值勤岗亭，且每个值勤岗亭均有志愿者值勤．若甲值勤岗亭安排3名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．96种 C．120种 D．240种
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成种重卦.
A．6 B．15 C．20 D．1
7．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（ ）
A．60 B．120 C．150 D．240
8．计算：______．
9．____________.
10．若采用简单随机抽样的方式，从某班级30名学生中抽取2位学生参加测试，则该班级中学甲被抽中的概率为___________.
11．2022年2月4日，冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行.某冬奥会场馆为安全起见，计划将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，至多有两个安保小组，则这样的安排方法共有______种.
12．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
（3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
【高分突破】
1．某学校计划从包含甲 乙 丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲 乙 丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）
A．21种 B．231种 C．238种 D．252种
2．《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（ ）
A．108 B．36 C．50 D．86
4．2021年10月我市组织全体在校高中生集中观看电影《冰雪长津湖》，某电影院为了做好防疫工作组织了5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管理小组，每个服务管理小组只能在1个影厅进行服务和管理，则不同的分配方法种数为（ ）
A．125 B．150 C．240 D．300
5．若从编号为的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连续，则不同的取法共有（ ）
A．8种
B．36种
C．56种
D．64种
6．用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
8．（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
9．（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的个同方法数为
B．每个人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲，乙不会开车但能从事其他三项工作，丙，丁，戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
10．中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号个系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力.其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”.年间，长征三号系列火箭用次成功发射的优异表现，将颗北斗导航卫星送入预定轨道.现假设长征三号系列火箭某次成功发射共运送颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送颗或颗卫星，则这颗卫星的不同运送方式共有_________种.
11．2021年两会期间，在等技术的支持下﹐新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将技术引人新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访，云访谈，云直播等云端对话成为报道的新常态，为两会采访营造出“天涯若比邻”和“人在画中游”的视觉效果，现有名新闻媒体记者，分别采用云采访，云访谈，云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为____________.
12．有本不同的书.
(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人本，有几种分法？
(2)若堆依次为本，本，本，本，有几种分法？
(3)若平均分成堆，有几种方法（只要求列出算式）？
13．把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
14．有6个人分成两排就座，每排3人：
(1)共有多少种不同的坐法？
(2)如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，共有多少种不同的坐法？
(3)如果甲和乙必须在同一排且相邻，共有多少种不同的坐法？
(4)如果甲和乙必须在同一排且不相邻，共有多少种不同的坐法？
15．将封信全部投入个邮筒：
(1)不加任何限制，有多少种不同的投法？
(2)每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？
【答案详解】
【题型归纳】
1． ①② ③
【详解】对于①，两个数的和与顺序无关，故是组合问题；
对于②，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题；
对于③，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题.
故答案为：①②，③
2．AB
3．10
【详解】根据组合数的性质，且，
所以.
故答案为：10
4．
【详解】因为，所以
所以，解得：，
因为，所以．
所以的取值集合为，
故答案为：.
5．(1)1225
(2)161700
(3)20
【详解】(1)
(2)
(3)
6．
【详解】.
7．【详解】(1)∵，
，
∴.
(2)∵
∴.
8．
【详解】因为
所以
所以，解得
故答案为：
9．(1)330
(2)32
【详解】(1)根据组合数的性质，
则有；
(2)根据组合数的性质，
则有.
10．或
【详解】因为，所以或，
解得或，经检验都符合题意，
所以方程的解是或.
11．A
【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.
故选：A
12．AC
【详解】
A：显然种选法，正确；
B：在物理、化学中选一门，其它选两门，有种；物理、化学都选，其它选一门，有种，总共有种选法，错误；
C：任选3门的种选法中，排除物理、历史同时选的种选法，正确；
D：应分三种情况：
①只选物理，则有种选法；
②只选化学，则有种选法；
③若物理与化学都选，则有种选法.
即共有种选法，错误；
故选：AC.
13．30
【详解】6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，共有种方法，
减掉1号球放A盒子中的放法：
减掉2号球放B盒子中的放法：
减掉3号球放B盒子中的放法：
加回1号球放A盒子中且2号球放B盒子的放法：
加回1号球放A盒子中且3号球放B盒子的放法：
加回2号和3号球都放B盒子中的放法：
即共有放法总数为=30
故答案为：30
14．D
【详解】甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；
乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；
丙选剩下的2天即可，有种选法．
故不同的排班方案共有(种)，
故选：D﹒
15．ABCD
【详解】对于选项A，先放编号为1号的小球，有3种方法，再放另外5个小球，有种方法，所以共有种方法，选项A正确；
对于选项B，先放编号为奇数的小球，有种方法，再放另外3个小球，有种方法，所以共有种方法，选项B正确；
对于选项C，先在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有种放法，用枚举法放剩下的3个小球，共有2种放法，所以不同的放法总数是20×2＝40种，选项C正确；
对于选项D，先在编号为1~5的五个盒子中任选3个，有种，不妨设选了编号为1，2，3的3个盒子，分别放入标号为2，3，4的3个小球，则编号为4，5，6的盒子放入的小球编号依次可以是1，5，6、6，1，5和6，5，1，共3种，所以不同的放法总数是10×3＝30种，选项D正确.
故选：ABCD.
16．（1）1080个；（2）120个.
【详解】（1）能够组成四位数的个数为：个，
（2）首位是4，末尾是0或2的偶数有个；
首位是5，末尾是0或2或4的偶数有个；
在组成的五位数中比40000大的偶数个数为个；
17．D
【详解】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，
可得不同的三棱锥有个.
故选：D.
18．C
【详解】
从正方体的8个顶点中任选4个顶点，共有（种）情况，
其中4点在同一平面的情况共有两种，
第一种是当取正方体的一个面上的4个点时，共有6种情况；
第二种是当取上下 左右 前后斜切面的4个点时，共有6种情况，
所以从正方体的8个顶点选4个顶点得到三棱锥共有（种）.
因为鳖臑是四个面都是直角三角形的三棱锥，
所以以为例，与下底面组成的鳖臑有和，
与上底面构成的鳖臑也有两个，鳖臑共有（个）.
又与侧面组成的4个鳖臑有两个与前面得到的重复，有2个不重合，
故有（个），所以一共有24个鳖臑，
所以得到的三棱锥是鳖臑的概率为，
故选：C.
19．B
【详解】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为.
故选：B.
20．B
【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2
把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；
把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；
把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为
综上，分配方案总数为
故选：B
21．D
【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；
选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；
选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；
选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.
故选：D.
22．C
【详解】分两种情况讨论：
（1）不选路线A，从B、C、D、E选3条，则,四人中有2人选择同1条路线，其余2人各自选1条路线，则，故报名的情况有种；
（2）1人选路线A，则，再从B、C、D、E选2条路线，则,其余3人中选1人去一条路线，其余2人同选另1条路线，则,故报名的情况有种.
所以他们报名的情况总共有种.
故选：C.
23．C
【详解】第步，门科目选门，安排节课，方法数有种，
第步，安排其余科目，每门科目节课，方法数有种，
所以不同的复习安排方法有种.
故选：C
24．28
【详解】女生的分配方法有2种，男生的分配方法有，
故不同的分配方法总数为28.
故答案为：28
25．
【详解】甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基地则分配方法为，
剩下四人分成三组人数为2，1，1，故不同的分配方案有，
所以不同的分配方案有，所以共计216种.
故答案为：216.
26．D
【详解】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法.
故选：D.
27．10
【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，
故答案为：10
28．
【详解】根据已知条件
，且、、，
，，，当，确定后值也确定，其中
列出所有的可能：
当时，，则可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，共8种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，共7种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，共6种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4共5种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，共4种情况；
当时，，可以取0，1，2，共3种情况；
当时，，可以取0，1，共2种情况；
当时，，可以取0，共1种情况；
所以共有组．
故答案为：91
29．
【详解】问题等价于将个相同的小球放入个盒子，每个盒子至少一球，
由隔板法可知，只需在中间个空中插入块板即可，
因此，不同的方案种数为种.
故答案为：.
30．C
【详解】从后排8人中抽2人有种方法；
将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变有种，
由分步乘法计数原理可得：共有种，
故选：C.
31．C
【详解】根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法．
故选：C．
32．B
【详解】根据题意，先在编号为 的个班级中分别分配 个名额，
编号为的班级里不分配；再将剩下的个名额分配个班级里，每个班级里至少一个，
由隔板法可得共种放法，即可得符合题目要求的方法共种.
故选：B.
33．633
【详解】只需计算中的系数
而
又由幂级数展开式可得，
故，
故的系数为．
故答案为：．
34．180
【详解】将图形中四个板块分别记为，如图：
当、不同色时，有种涂色方案；
当、同色时，有种涂色方案，
根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案.
故答案为：.
【双基达标】
1．ABC
【解析】
【分析】
根据给定条件结合组合的意义、组合数公式列式解不等式作答.
【详解】
在中，，在中，，即有，
因，则有，即，解得，因此有，，
所以n的取值可以是3或4或5.
故选：ABC
2．C
【解析】
【分析】
根据排列数和组合数的公式和性质可判断.
【详解】
根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，故C选项错误；
，故D选项正确．
综上，错误的选项为C.
故选：C.
3．B
【解析】
将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.
【详解】
问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.
故选：B.
4．A
【详解】当在最左端或者最右端，
有（种）
当不在两端时，（种）
没有重复字母，字母a，b都不与c相邻的排法有.
故选：A
5．C
【详解】依题意，完成安排方法这件事需要两步：先从6人中任取3人去甲值勤岗亭，有种方法，
再将余下3人分别安排到另外3个值勤岗亭，每个值勤岗亭1人，有种方法，
由分步乘法计数原理得：(种)，
所以不同的安排方法共有120种.
故选：C
6．C
【详解】要满足题意，则只需从个位置中选取个位置放置阳爻即可，
故满足题意的重卦有种.
故选：C.
7．C
【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，
当分组为1人，2人，2人时有种，
所以共有种排法.
故选：C
8．16
【详解】
故答案为：16.
9．21
【详解】因为，
所以.
故答案为：21
10．
【详解】由题意，甲被抽中的概率.
故答案为：.
11．90
【详解】先将保安小组进行分组，然后安排到三个区域，
所以不同的安排方法数有种.
故答案为：
12．（1）5400种；（2）3360种；（3）360种.
【详解】（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种，
共（种）.
（2）先选后排，但先安排该男生，有（种）.
（3）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）.
【高分突破】
1．B
【详解】10人中选5人有种选法，其中，甲 乙 丙三位教师均不选的选法有种，
则甲 乙 丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.
故选：B
2．C
【详解】数学专业的学生从这7章里面任选3章共有 种选法；
数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章共有选法种，
故张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为 ,
故选：C.
3．C
【详解】当3楼不要烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；
当3楼需要1个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；
当3楼需要2个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：，
所以分发烤火炉的方法总数为：，
故选：C
4．B
【详解】5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，3个影厅的小组的数目为：2,2,1或1,1,3.
若3个影厅的小组的数目为2,2,1，则不同的分配方法种数为；
若3个影厅的小组的数目为1,1,3，则不同的分配方法种数为；
故不同的分配方法总数为150，
故选：B.
5．C
【详解】依题意得，取出小球的总的可能有种，
排除这种依次连续的情况;
再排除三个数恰好两个连续的情况：共组情况，
其中两组可以和个数组成不完全连续的情况，共种；
共组，每组都能和6个数组合成为不完全连续的情况，共种；
于是符合题意的情况有种.
故选：C.
6．D
【详解】分以下几种情况讨论：
①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，
然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，
此时共有种；
②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，
然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，
若点与点同色，则点只有一种颜色可选，
若点与点同色，则点有两种颜色可选，
此时共有种；
③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，
点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，
此时共有.
由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.
故选：D.
7．C
【详解】若有人参加“演讲团”，则从 人选人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况： 和 ，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 ，故选C.
8．BD
【详解】若任意选科，选法总数为，A错误；
若化学必选，选法总数为，B正确；
若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误；
若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．
故选：BD.
9．AD
【详解】
A：每人都安排一项工作，则每人都有4种安排，则共种，故A正确；
B：先将5人分成4组，再将4组安排到四项工作，共有种，故B错误；
C：先将5人分成3组，有种， 再将分好的三组安排三项工作，则有种，共有种，故C错误；
D：分2类：一是从丙丁戊中选出2人开车，二是从丙丁戊中选出1人开车，则有种，故D正确；
故选：AD.
10．
【详解】
由题知，有次运送颗、有次运送颗，而卫星无区别，
故只需确定次中是哪次运送颗，共有种情况.
故答案为：.
11．
【详解】依题将名新闻媒体记者分成三组，共有种方法﹐
再将其进行全排列共有种方法﹐
由分步乘法原理得共有种.
故答案为：36.
12．(1)；
(2)；
(3).
【详解】(1)根据题意，分步分析：
①在本书中取出本，分给甲，有种取法，
②在剩下的本书中取出本，分给乙，有种取法，
③在剩下的本书中取出本，分给丙，有种取法，
④将最后的本书交给丁，有种情况，
则一共有种分法.
(2)根据题意，分步分析：
①在本书中取出本，作为第一堆，有种取法，
②在剩下的本书中取出本，作为第二堆，有种取法，
③在剩下的本书中取出本，作为第三堆，剩下的本作为第四堆，有种分法；
则一共有种分法；
(3)根据题意，将本不同的书，平均分成堆，每堆有本，
则有种不同的分法.
13．(1)10
(2)40
(3)30
【详解】(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有（种）方法．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，故共有（种）方法．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，
如，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如，有种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如，有种插法．故共有（种）方法．
14．(1)720
(2)216
(3)192
(4)96
【详解】(1)分成两排就座，前排3人，后排3人，有种方法；
(2)若甲不能坐在第一排有种坐法，乙不能坐在第二排有种坐法，剩余4人全排列，根据乘法原理，共有种不同坐法；
(3)当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，
当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，由加法原理，共有种.
(4)当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，
当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，
由加法原理，共有种.
15．(1)种
(2)种
【详解】(1)不加任何限制，每封信均有种投法，
由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.
(2)将封信分为三组，每组的信的数量分别为、、，共有种分组方法，
由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.
【考点梳理】
知识点一 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
知识点二 排列与组合的关系
相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系 组合数C与排列数A间存在的关系A＝CA
知识点三 组合数公式
组合数公式 乘积形式 C＝，其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘形式 C＝
规定：C＝1.
知识点四 组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
【题型归纳】
题型一、组合概念的理解
1．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________.(填序号)
①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和；
②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；
③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动.
2．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
题型二、组合数的计算
3．若，则n的值是______．
4．若，则的取值集合是______．
5．计算：
(1)；(2)；(3)．
6．化简：．
7．用组合数公式证明：
(1)；(2)．
题型三、组合数的性质及应用
8．已知，那么________．
9．计算：
(1)；(2)．
10．解方程：．
题型四、实际问题中的组合计数问题
11．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种
13．将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）.
题型五、代数中的组合计数问题
14．甲、乙、丙三人值班，从周一到周六按每人分别值班2天排班，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有( )
A．15种 B．30种 C．45种 D．60种
15．（多选）将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.则下列说法正确的有（ ）
A．编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是360
B．编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36
C．恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40
D．恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30
16．现有0，1，2，3，4，5六个数字．
（1）用所给数字（可重复使用）能够组成多少个四位数？
（2）用所给数字组成没有重复数字的五位数中，比40000大的偶数有多少个？
题型六、几何组合计数问题
17．以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70 B．64 C．60 D．58
18．《九章算术·商功》指出“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”意为将一个正方体斜切，可以得到两个壍堵，将壍堵斜切，可得到一个阳马，一个鳖臑（四个面都是直角三角形的三棱锥），如果从正方体的8个顶点中选4个顶点得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖臑的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A． B．
C． D．
题型七、分组分配问题
20．某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（ ）
A．3180 B．3240 C．3600 D．3660
21．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
22．某旅行社有A、B、C、D、E共五条旅游线路可供旅客选择，其中A线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路.则他们报名的情况总共有（ ）
A．720种 B．360种 C．288种 D．240种
23．考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（ ）种．A．360 B．630 C．2520 D．15120
24．有4名男生和2名女生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有_______________种．（用数字表示）
25．某学校社会实践小组共有7名成员， 该小组计划前往该地区的三个红色教育基地进行“学党史， 颁党恩， 跟党走”的主題宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地， 每个基地至少有两名成员前往， 且甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基地， 则不同的服务方案共有_______种．
题型八、x+y+z=n的整数解的个数
26．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
27．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）
28．不定方程的非负整数解的个数为_______.
29．泗县一中举行“建党周年朗诵比赛”，学校给了高二个文科班个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.
题型九、其它组合计数问题
30．有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．168 B．260 C．840 D．560
31．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
32．学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
33．刘老师为学生购买纪念品，商店中有四种不同类型纪念品各10件（每种类型纪念品完全相同），刘老师计划购买24件纪念品，且每种纪念品至少购买一件．则共有________种不同的购买方案．
34．如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作答
【双基达标】
1．（多选）使不等式成立的n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．由a，b，c，d，e这5个字母排成一排（没有重复字母），且字母a，b都不与c相邻的排法有（ ）
A．36种 B．32种 C．28种 D．24种
5．2021年1月10日，是我国设立的第一个“中国人民警察节”，2020年，某省人民群众对公安机关的满意度测评居首位．为感谢公安干警的辛勤付出，6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者，每名学生只去1个值勤岗亭，且每个值勤岗亭均有志愿者值勤．若甲值勤岗亭安排3名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．96种 C．120种 D．240种
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成种重卦.
A．6 B．15 C．20 D．1
7．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（ ）
A．60 B．120 C．150 D．240
8．计算：______．
9．____________.
10．若采用简单随机抽样的方式，从某班级30名学生中抽取2位学生参加测试，则该班级中学甲被抽中的概率为___________.
11．2022年2月4日，冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行.某冬奥会场馆为安全起见，计划将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，至多有两个安保小组，则这样的安排方法共有______种.
12．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
（3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
【高分突破】
1．某学校计划从包含甲 乙 丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲 乙 丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）
A．21种 B．231种 C．238种 D．252种
2．《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（ ）
A．108 B．36 C．50 D．86
4．2021年10月我市组织全体在校高中生集中观看电影《冰雪长津湖》，某电影院为了做好防疫工作组织了5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管理小组，每个服务管理小组只能在1个影厅进行服务和管理，则不同的分配方法种数为（ ）
A．125 B．150 C．240 D．300
5．若从编号为的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连续，则不同的取法共有（ ）
A．8种
B．36种
C．56种
D．64种
6．用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
8．（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
9．（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的个同方法数为
B．每个人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲，乙不会开车但能从事其他三项工作，丙，丁，戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
10．中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号个系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力.其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”.年间，长征三号系列火箭用次成功发射的优异表现，将颗北斗导航卫星送入预定轨道.现假设长征三号系列火箭某次成功发射共运送颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送颗或颗卫星，则这颗卫星的不同运送方式共有_________种.
11．2021年两会期间，在等技术的支持下﹐新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将技术引人新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访，云访谈，云直播等云端对话成为报道的新常态，为两会采访营造出“天涯若比邻”和“人在画中游”的视觉效果，现有名新闻媒体记者，分别采用云采访，云访谈，云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为____________.
12．有本不同的书.
(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人本，有几种分法？
(2)若堆依次为本，本，本，本，有几种分法？
(3)若平均分成堆，有几种方法（只要求列出算式）？
13．把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
14．有6个人分成两排就座，每排3人：
(1)共有多少种不同的坐法？
(2)如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，共有多少种不同的坐法？
(3)如果甲和乙必须在同一排且相邻，共有多少种不同的坐法？
(4)如果甲和乙必须在同一排且不相邻，共有多少种不同的坐法？
15．将封信全部投入个邮筒：
(1)不加任何限制，有多少种不同的投法？
(2)每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？
【答案详解】
【题型归纳】
1． ①② ③
【详解】对于①，两个数的和与顺序无关，故是组合问题；
对于②，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题；
对于③，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题.
故答案为：①②，③
2．AB
3．10
【详解】根据组合数的性质，且，
所以.
故答案为：10
4．
【详解】因为，所以
所以，解得：，
因为，所以．
所以的取值集合为，
故答案为：.
5．(1)1225
(2)161700
(3)20
【详解】(1)
(2)
(3)
6．
【详解】.
7．【详解】(1)∵，
，
∴.
(2)∵
∴.
8．
【详解】因为
所以
所以，解得
故答案为：
9．(1)330
(2)32
【详解】(1)根据组合数的性质，
则有；
(2)根据组合数的性质，
则有.
10．或
【详解】因为，所以或，
解得或，经检验都符合题意，
所以方程的解是或.
11．A
【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.
故选：A
12．AC
【详解】
A：显然种选法，正确；
B：在物理、化学中选一门，其它选两门，有种；物理、化学都选，其它选一门，有种，总共有种选法，错误；
C：任选3门的种选法中，排除物理、历史同时选的种选法，正确；
D：应分三种情况：
①只选物理，则有种选法；
②只选化学，则有种选法；
③若物理与化学都选，则有种选法.
即共有种选法，错误；
故选：AC.
13．30
【详解】6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，共有种方法，
减掉1号球放A盒子中的放法：
减掉2号球放B盒子中的放法：
减掉3号球放B盒子中的放法：
加回1号球放A盒子中且2号球放B盒子的放法：
加回1号球放A盒子中且3号球放B盒子的放法：
加回2号和3号球都放B盒子中的放法：
即共有放法总数为=30
故答案为：30
14．D
【详解】甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；
乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；
丙选剩下的2天即可，有种选法．
故不同的排班方案共有(种)，
故选：D﹒
15．ABCD
【详解】对于选项A，先放编号为1号的小球，有3种方法，再放另外5个小球，有种方法，所以共有种方法，选项A正确；
对于选项B，先放编号为奇数的小球，有种方法，再放另外3个小球，有种方法，所以共有种方法，选项B正确；
对于选项C，先在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有种放法，用枚举法放剩下的3个小球，共有2种放法，所以不同的放法总数是20×2＝40种，选项C正确；
对于选项D，先在编号为1~5的五个盒子中任选3个，有种，不妨设选了编号为1，2，3的3个盒子，分别放入标号为2，3，4的3个小球，则编号为4，5，6的盒子放入的小球编号依次可以是1，5，6、6，1，5和6，5，1，共3种，所以不同的放法总数是10×3＝30种，选项D正确.
故选：ABCD.
16．（1）1080个；（2）120个.
【详解】（1）能够组成四位数的个数为：个，
（2）首位是4，末尾是0或2的偶数有个；
首位是5，末尾是0或2或4的偶数有个；
在组成的五位数中比40000大的偶数个数为个；
17．D
【详解】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，
可得不同的三棱锥有个.
故选：D.
18．C
【详解】
从正方体的8个顶点中任选4个顶点，共有（种）情况，
其中4点在同一平面的情况共有两种，
第一种是当取正方体的一个面上的4个点时，共有6种情况；
第二种是当取上下 左右 前后斜切面的4个点时，共有6种情况，
所以从正方体的8个顶点选4个顶点得到三棱锥共有（种）.
因为鳖臑是四个面都是直角三角形的三棱锥，
所以以为例，与下底面组成的鳖臑有和，
与上底面构成的鳖臑也有两个，鳖臑共有（个）.
又与侧面组成的4个鳖臑有两个与前面得到的重复，有2个不重合，
故有（个），所以一共有24个鳖臑，
所以得到的三棱锥是鳖臑的概率为，
故选：C.
19．B
【详解】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为.
故选：B.
20．B
【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2
把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；
把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；
把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为
综上，分配方案总数为
故选：B
21．D
【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；
选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；
选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；
选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.
故选：D.
22．C
【详解】分两种情况讨论：
（1）不选路线A，从B、C、D、E选3条，则,四人中有2人选择同1条路线，其余2人各自选1条路线，则，故报名的情况有种；
（2）1人选路线A，则，再从B、C、D、E选2条路线，则,其余3人中选1人去一条路线，其余2人同选另1条路线，则,故报名的情况有种.
所以他们报名的情况总共有种.
故选：C.
23．C
【详解】第步，门科目选门，安排节课，方法数有种，
第步，安排其余科目，每门科目节课，方法数有种，
所以不同的复习安排方法有种.
故选：C
24．28
【详解】女生的分配方法有2种，男生的分配方法有，
故不同的分配方法总数为28.
故答案为：28
25．
【详解】甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基地则分配方法为，
剩下四人分成三组人数为2，1，1，故不同的分配方案有，
所以不同的分配方案有，所以共计216种.
故答案为：216.
26．D
【详解】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法.
故选：D.
27．10
【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，
故答案为：10
28．
【详解】根据已知条件
，且、、，
，，，当，确定后值也确定，其中
列出所有的可能：
当时，，则可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，共8种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，共7种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，共6种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4共5种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，共4种情况；
当时，，可以取0，1，2，共3种情况；
当时，，可以取0，1，共2种情况；
当时，，可以取0，共1种情况；
所以共有组．
故答案为：91
29．
【详解】问题等价于将个相同的小球放入个盒子，每个盒子至少一球，
由隔板法可知，只需在中间个空中插入块板即可，
因此，不同的方案种数为种.
故答案为：.
30．C
【详解】从后排8人中抽2人有种方法；
将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变有种，
由分步乘法计数原理可得：共有种，
故选：C.
31．C
【详解】根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法．
故选：C．
32．B
【详解】根据题意，先在编号为 的个班级中分别分配 个名额，
编号为的班级里不分配；再将剩下的个名额分配个班级里，每个班级里至少一个，
由隔板法可得共种放法，即可得符合题目要求的方法共种.
故选：B.
33．633
【详解】只需计算中的系数
而
又由幂级数展开式可得，
故，
故的系数为．
故答案为：．
34．180
【详解】将图形中四个板块分别记为，如图：
当、不同色时，有种涂色方案；
当、同色时，有种涂色方案，
根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案.
故答案为：.
【双基达标】
1．ABC
【解析】
【分析】
根据给定条件结合组合的意义、组合数公式列式解不等式作答.
【详解】
在中，，在中，，即有，
因，则有，即，解得，因此有，，
所以n的取值可以是3或4或5.
故选：ABC
2．C
【解析】
【分析】
根据排列数和组合数的公式和性质可判断.
【详解】
根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，故C选项错误；
，故D选项正确．
综上，错误的选项为C.
故选：C.
3．B
【解析】
将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.
【详解】
问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.
故选：B.
4．A
【详解】当在最左端或者最右端，
有（种）
当不在两端时，（种）
没有重复字母，字母a，b都不与c相邻的排法有.
故选：A
5．C
【详解】依题意，完成安排方法这件事需要两步：先从6人中任取3人去甲值勤岗亭，有种方法，
再将余下3人分别安排到另外3个值勤岗亭，每个值勤岗亭1人，有种方法，
由分步乘法计数原理得：(种)，
所以不同的安排方法共有120种.
故选：C
6．C
【详解】要满足题意，则只需从个位置中选取个位置放置阳爻即可，
故满足题意的重卦有种.
故选：C.
7．C
【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，
当分组为1人，2人，2人时有种，
所以共有种排法.
故选：C
8．16
【详解】
故答案为：16.
9．21
【详解】因为，
所以.
故答案为：21
10．
【详解】由题意，甲被抽中的概率.
故答案为：.
11．90
【详解】先将保安小组进行分组，然后安排到三个区域，
所以不同的安排方法数有种.
故答案为：
12．（1）5400种；（2）3360种；（3）360种.
【详解】（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种，
共（种）.
（2）先选后排，但先安排该男生，有（种）.
（3）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）.
【高分突破】
1．B
【详解】10人中选5人有种选法，其中，甲 乙 丙三位教师均不选的选法有种，
则甲 乙 丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.
故选：B
2．C
【详解】数学专业的学生从这7章里面任选3章共有 种选法；
数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章共有选法种，
故张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为 ,
故选：C.
3．C
【详解】当3楼不要烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；
当3楼需要1个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；
当3楼需要2个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：，
所以分发烤火炉的方法总数为：，
故选：C
4．B
【详解】5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，3个影厅的小组的数目为：2,2,1或1,1,3.
若3个影厅的小组的数目为2,2,1，则不同的分配方法种数为；
若3个影厅的小组的数目为1,1,3，则不同的分配方法种数为；
故不同的分配方法总数为150，
故选：B.
5．C
【详解】依题意得，取出小球的总的可能有种，
排除这种依次连续的情况;
再排除三个数恰好两个连续的情况：共组情况，
其中两组可以和个数组成不完全连续的情况，共种；
共组，每组都能和6个数组合成为不完全连续的情况，共种；
于是符合题意的情况有种.
故选：C.
6．D
【详解】分以下几种情况讨论：
①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，
然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，
此时共有种；
②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，
然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，
若点与点同色，则点只有一种颜色可选，
若点与点同色，则点有两种颜色可选，
此时共有种；
③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，
点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，
此时共有.
由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.
故选：D.
7．C
【详解】若有人参加“演讲团”，则从 人选人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况： 和 ，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 ，故选C.
8．BD
【详解】若任意选科，选法总数为，A错误；
若化学必选，选法总数为，B正确；
若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误；
若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．
故选：BD.
9．AD
【详解】
A：每人都安排一项工作，则每人都有4种安排，则共种，故A正确；
B：先将5人分成4组，再将4组安排到四项工作，共有种，故B错误；
C：先将5人分成3组，有种， 再将分好的三组安排三项工作，则有种，共有种，故C错误；
D：分2类：一是从丙丁戊中选出2人开车，二是从丙丁戊中选出1人开车，则有种，故D正确；
故选：AD.
10．
【详解】
由题知，有次运送颗、有次运送颗，而卫星无区别，
故只需确定次中是哪次运送颗，共有种情况.
故答案为：.
11．
【详解】依题将名新闻媒体记者分成三组，共有种方法﹐
再将其进行全排列共有种方法﹐
由分步乘法原理得共有种.
故答案为：36.
12．(1)；
(2)；
(3).
【详解】(1)根据题意，分步分析：
①在本书中取出本，分给甲，有种取法，
②在剩下的本书中取出本，分给乙，有种取法，
③在剩下的本书中取出本，分给丙，有种取法，
④将最后的本书交给丁，有种情况，
则一共有种分法.
(2)根据题意，分步分析：
①在本书中取出本，作为第一堆，有种取法，
②在剩下的本书中取出本，作为第二堆，有种取法，
③在剩下的本书中取出本，作为第三堆，剩下的本作为第四堆，有种分法；
则一共有种分法；
(3)根据题意，将本不同的书，平均分成堆，每堆有本，
则有种不同的分法.
13．(1)10
(2)40
(3)30
【详解】(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有（种）方法．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，故共有（种）方法．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，
如，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如，有种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如，有种插法．故共有（种）方法．
14．(1)720
(2)216
(3)192
(4)96
【详解】(1)分成两排就座，前排3人，后排3人，有种方法；
(2)若甲不能坐在第一排有种坐法，乙不能坐在第二排有种坐法，剩余4人全排列，根据乘法原理，共有种不同坐法；
(3)当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，
当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，由加法原理，共有种.
(4)当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，
当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，
由加法原理，共有种.
15．(1)种
(2)种
【详解】(1)不加任何限制，每封信均有种投法，
由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.
(2)将封信分为三组，每组的信的数量分别为、、，共有种分组方法，
由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.