人教A版2019选择性必修第三册7.1.2 全概率公式 学案（Word版含答案）

7.1.2　全概率公式
【考点梳理】
知识点一．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，
则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．
【题型归纳】
题型一、两个事件的全概率问题
1．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
（1）求任意取出的零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
2．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
题型二、多个事件的全概率问题
3．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：
（1）从乙盒取出2个红球的概率；
（2）已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．
4．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
题型三、条件概率在生产生活中的应用
5．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）
6．在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率.
【双基达标】
1．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ）
A．0.01245 B．0.05786 C．0.02865 D．0.03745
2．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02
3．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
5．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ）
A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5
8．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为（ ）
A．0.85 B．0.65 C．0.145 D．0.075
9．（多选）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
11．有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2台车床加工的次品率为6%，加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%，55%，则任取一个零件是次品的概率为___.
12．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________．
13．今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
14．2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
【高分突破】
1．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（ ）
A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575
2．设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等)
A． B． C． D．
6．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件
C． D．
8．（多选）若，，则下列等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是、、、、、），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率____.
10．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．
11．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)分别求，，和的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
12．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球．
(1)求第一次取出的球为红球的概率；
(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
【答案详解】
【题型归纳】
1．（1）0.973；（2）0.25.
【详解】设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i＝1，2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
（1）P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)
＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973.
（2）P(A2|B)
2．
【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
3．（1）；（2）．
【详解】（1）设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝．
（2）．
4．0.013
【详解】设事件B为“任取一件为次品”，Ai为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3.
A1∪A2∪A3＝Ω， ，i，j＝1，2，3.
由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).
P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2，
P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01，
故P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)
＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
故从这批产品中任取一件是次品的概率是0.013.
5．(1)0.0345；(2)0.36.
【详解】(1)设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.
易知，，两两互斥，根据全概率公式，
可得．
故取到次品的概率为0.0345．
(2)．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
6．（1）；（2）.
【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
；
（2）由条件概率公式可得.
【双基达标】
1．D
【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故
故选：D
2．C
【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248．
故选：C．
3．B
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故选：B.
4．C
【详解】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故选：C．
5．C
【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件，
事件表示提出的一台是第车间生产的，，，
由题意可得，，，，
由全概率公式得
．
所以该产品合格的概率为，
故选：C.
6．A
【详解】设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则，
由全概率公式知，
由题意，，，，
所以.
故选：A．
7．C
【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
8．C
【详解】设A1＝“他乘火车来”，A2＝“他乘船来”，A3＝“他乘汽车来”，A4＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”.则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
9．AD
【详解】，A正确；
，
由全概率公式可知：
所以BC错误，D正确.
故选：AD
10．BD
【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，
A：任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故错误；
B：任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正确；
C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)＝＝＝＝，故错误；
D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)＝＝＝＝，故正确；
故选：BD．
11．5.55%
【详解】依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为
.
故答案为：5.55%.
12．
【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得：
故答案为：
13．(1)(2)
【详解】(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件
由题意可知，，，
解得，.
所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为.
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则
，，，，，，
则
这个问题回答正确的概率为.
14．(1) (2)
【详解】(1)设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则；
设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则；
设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则.
(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校.
，，，.
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：
【高分突破】
1．B
【详解】设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，
则，，，，，，
所以．
故选：B
2．A
【详解】设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
故选：A
3．C
【详解】设事件Ai表示取出数字i，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
事件B表示取到y＝2，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，
∴P(B)＝＝×＝.
故选：C
4．C
【详解】设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式．
由题意，，，，
所以．
故选：C
5．B
【详解】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，
则,
可得.
故选：B.
6．B
【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，
，，，
由全概率公式可得.
故选：B.
7．ABD
【详解】对于A，由题意可知，事件发生与否影响事件的发生，故事件与事件不相互独立，故A正确;
对于B，、、两两不可能同时发生，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有个球，其中红球有个，
因此，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，故D正确.
故选：ABD.
8．BCD
【详解】由条件概率公式可知A错误，B正确；
由条件概率公式变形可知，故C正确；
由全概率公式可知，故D正确．
故选：BCD．
9．
【详解】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，
事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，
所以，，
因此，.
故答案为：.
10．
【详解】设A＝“第二次取出的均为新球”,
Bi＝“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i＝0，1，2，3)．
由全概率公式可得
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝＋＋＋＝．
故答案为：.
11．(1)，，，.
(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.
【详解】(1)由已知可得,
,
∴，
，
，
∴.
(2)，，，
最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.
12．(1)
(2)
【详解】(1)设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，则，由全概率公式可得：
(2)设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得：
，
所以