人教A版2019选择性必修第三册7.4.2 超几何分布 学案（Word版含答案）

7.4.2　超几何分布
【知识梳理】
知识点　超几何分布
1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．均值：E(X)＝.
【题型归纳】
题型一、超几何分布的辨析
1．分别指出下列随机变量服从什么分布，并用合适的符号表示：
(1)某班级共有30名学生，其中有10名学生戴眼镜，随机从这个班级中抽取5人，设抽到的不戴眼镜的人数为X；
(2)已知女性患色盲的概率为，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X；
(3)学校要从3名男教师和4名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中男教师的人数为X．
2．下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；
（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；
（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．
题型二、超几何分布的概率
3．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；
(2)他能过关的概率．
4．已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20，15，10．现采用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？
(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望．
题型三、超几何分布与二项分布间的关系
5．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为，方法二抽取的不合格产品数为.
（1）求，的分布列；
（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.
6．为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.
（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【双基达标】
1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（ ）
A． B．
C． D．
2．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是（ ）
A．至少有1个5A级景区 B．有1个或2个5A级景区
C．有2个或3个5A级景区 D．恰有2个5A级景区
4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
5．已知某10件产品中含有次品，且次品率不超过40%，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为，若，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10% B．20%
C．30% D．40%
6．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
7．有件产品，其中件是次品，从中任取件，若表示取得次品的件数，则
A． B． C． D．
8．（多选）一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（ ）
A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布
C． D．
9．已知盒中装有个红球和3个黄球，从中任取2个球（取到每个球是等可能的），随机变量X表示取到黄球的个数，且X的分布列为则________.
X 0 1 2
P a b
10．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.
11．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A，B，C的10人中选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门A，B，C可选派的人数分别为3，3，4，且每个人被选派的可能性一样.
(1)求选派的4人中至少有1人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A，B，C的人数分别为x，y，z，记x，y，z中最大的数为X，求X的分布列和数学期望.
12．某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标
(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；
(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的分布列和数学期望．
【高分突破】
1．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼，6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（ ）
A．至少有个深度贫困村 B．有个或个深度贫困村
C．有个或个深度贫困村 D．恰有个深度贫困村
4．新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（多选）为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．的取值范围为 B．
C． D．
6．（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布 D．
7．“2020武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是___________．
8．从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,其中满足1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X,则P(X=2)=_____.(结果用式子表示即可)
9．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就,习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求.为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A、B、C的10人中随机选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关工作.其中部门A、B、C可选派的人数分别为3、3、4.
(1)求选派的4人中恰有2人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A、B、C的人数分别为x，y，z，记，求的分布列和数学期望.
注：
10．为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中、、成公比为的等比数列．
(1)若从得分在分以上的样本中随机选取人，用表示得分高于分的人数，求的分布列及期望；
(2)若学校打算从这名学生中依次抽取名学生进行调查分析，求在第一次抽出名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的名学生分数在同一分组区间的概率．
【答案详解】
【题型归纳】
1．(1)
(2)
(3)
【详解】(1)依题意不戴眼镜的人数为服从参数为30，5，20的超几何分布，即
(2)依题意每次抽到患色盲的概率为，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为，则
(3)抽取的人中男教师的人数为服从参数为，，的超几何分布，即
2．【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．
3．(1)分布列见解析， (2)
【详解】(1)记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3
，，，，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望
(2)他能过关的概率为
4．(1)分别抽取人，人，人
(2)分布列见解析，
【详解】(1)由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为，
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取的人数为，，，
∴，解得，
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取人，人，人；
(2)随机变量的所有可能取值为，
则，，
，，
∴随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
5．（1）答案见解析；（2）均值相等，理由见解析.
【详解】（1）随机变量的可能取值为0，1，2，且，
，，
.
因此的分布列为
0 1 2
随机变量的可能取值为0，1，2，且服从参数为10，3，2的超几何分布，
，，.
因此的分布列为
0 1 2
（2）由（1）知，方法一中，方法二中，因此，
所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.
6．（1），；（2）选择学生，理由见解析.
【详解】（1）由题意，知恰好答对2个问题的概率为，恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，3，
则；；.
所以，.
易知，
所以，.
因为，，
所以与答题的平均水平相当，但比更稳定.所以选择学生.
【双基达标】
1．D
【详解】
故选：D
2．D
【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为．
故选：D
3．B
【详解】用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，
且，，
，，
所以，
即有1个或2个5A级景区的概率为．
故选：B．
4．B
【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.
5．B
【详解】设这10件产品中有件次品，则，即，解得或.
又该产品的次品率不超过40%，所以，所以，
所以这10件产品的次品率为.
故选：B.
6．B
【详解】由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
7．B
【详解】根据题意，
故选：B.
8．BCD
【详解】由题意，知随机变量服从参数为10，4，4的超几何分布，即，故A错误，B正确；
随机变量的取值范围为，
，，，
，，
故，故C，D正确．
故选：BCD．
9．1
【详解】由题意知：，解得：或(舍去)；
由，知，，
所以；
故答案为：1
10．
【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，
则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件；女生得2分男生得4分，设为事件；女生得4分男生得2分，设为事件，
则：，
，
，
.
故答案为：
11．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】(1)记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D.
则，故.
(2)由题意可知X的所有可能取值为2，3，4.
，
，
，
则X的分布列为
X 2 3 4
P
故.
12．(1)中位数为，众数等于25
(2)分布列见解析，0.9
【详解】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．
由频率分布直方图可得，在上的频率为0.08，在上的频率为0.16，在上的频率为0.32，，则中位数在区间上．
设中位数为，则，，即样本中位数为．
(2)根据题意，在，，，上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在上抽取的人数为3，则，1，2，3．，
．
从而得到随机变量的分布列如下表：
0 1 2 3
P
随机变量的期望
【高分突破】
1．D
【详解】设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B，“在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼”为事件
，
所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为
故选：D
2．C
【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
若任取个数中有个阳数，则，
若任取个数中有个阳数，则，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C.
3．B
【详解】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，
故，
所以，
，
，
，
.
故选：B
4．B
【详解】设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3．
；
；
．
∴．
故选：B．
另解：设小王正确完成的面试题数为，则，∴．
故选：B．
5．BC
【详解】的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，，，，所以.
故选：BC.
6．ACD
【详解】由题意知随机变量服从超几何分布，故错误，正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故，正确．
故选：．
7．
【详解】由题意，选出的2名医生中至少有1名男医生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种情况，
则所求概率为.
故答案为：.
8．
【详解】“由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数”的方法数有种.如果都不相邻的位偶数有种，即先排好个偶数，然后奇数在前面的个空位中任排.如果相邻，与不相邻，即捆绑起来，方法数有种，即先将捆绑起来，然后排好个偶数，接着将与插空到前面个空位中.由此求得“1,3都不与5相邻的六位偶数”的方法数有种，其它情况有种.根据超几何分布概率计算公式有.
9．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】(1)记“选派的4人中恰有2人来自部门C”为事件A，则；
(2)由题设的所有可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
，
所以的分布列为
1 2 3 4
P
则.
10．(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【详解】(1)由题意得，，因为，所以．
由分层抽样，抽出的名学生中得分位于区间内有人，
位于内有人，位于内有人，
位于内有人，位于区间学生有人，
这样，得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，
所以的可能取值有、、，，，，
所以的分布列为：
所以.
(2)记事件第一次抽出名学生分数在区间内，
记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，
则，，
由条件概率公式可得.