人教A版2019选择性必修第三册7.4.1 二项分布 学案（Word版含答案）

7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
【知识梳理】
知识点一　n重伯努利试验及其特征
1．n重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验的共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次．
(2)各次试验的结果相互独立．
知识点二　二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
知识点三　二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【题型归纳】
n重伯努利试验的判断
1．独立重复试验满足的条件是___________.（填序号）
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的.
2．判断下列试验是不是重伯努利试验.
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，次正面向上；
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次，其中次击中；
（3）口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球，恰好抽出个白球．
n重伯努利试验的概率
3．一只不透明的口袋中有形状、大小完全相同的10个球，其中有两个球的编号为1，三个球的编号为2，三个球编号为3，两个球编号为4.
(1)甲有放回地从袋子中取3次，每次取一个球，求恰有两次取到2号球的概率；
(2)甲从袋子口一次取出三个球，以表示取出的三个球中的最小号码，写出的分布列及数学期望.
4．已知某种节能灯的使用寿命至少为的概率为0.9，求在20只此种节能灯中，
(1)有18只使用寿命至少为的概率；
(2)至少有15只使用寿命至少为的概率；
(3)至少有2只达不到使用寿命至少为的概率．
三、二项分布的应用
5．甲 乙二人进行定点投篮比赛，已知甲 乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮.
(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；
(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望.
6．接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．
（1）求这四个人中恰有一个人接种A种疫苗的概率；
（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种A种疫苗的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【双基达标】
1．将一枚均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现两次点数为3的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（ ）
A． B． C． D．
3．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：
甲 乙 丙 丁
甲获胜概率
乙获胜概率
丙获胜概率
丁获胜概率
则甲最终获得冠军的概率是（ ）
A．0.165 B．0.24 C．0.275 D．0.36
4．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
5．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立．设为该工厂生产的件商品中合格的数量，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
8．(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（ ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
9．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.
10．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布（1000，）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.
11．一个箱子中装有4个红球和3个白球，那么
（1）一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的慨率；
（2）一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球个数X的期望与方差．
12．某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后，有，两条巷道通往作业区（如图），巷道有，，三个易堵塞点，两点被堵塞的概率都是，巷道有，两个易堵塞点，两点被堵塞的概率分别为，．
（1）求巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
（2）若巷道中堵塞点的个数为，求的分布列及均值；
（3）请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
【高分突破】
1．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A． B． C． D．
2．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5,10] （10,15] （15,20] （10,15]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
3．设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．设随机变量，记.在研究的最大值时，某数学兴趣小组的同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的股子并实时记录点数1出现的次数.当投郑到第30次时，记录到此时点数1出现7次，若继续再进行70次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为（ ）的概率最大
A．16 B．17 C．18 D．19
5．（多选）一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
6．（多选）为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为 B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则； D．
7．甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取局胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为．现甲，乙进行局比赛，设甲胜的局数为则________________．
8．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.
9．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:
配置 甲 乙 丙 丁
频数 25 40 15 20
(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；
(2)该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为，将样本频率视为概率，求的概率分布列及期望.
10．某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中．
（注：收益率）
等级 一等品 二等品 三等品
指标值
产品收益率
(1)求的值；
(2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．
①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大．
【答案详解】
【题型归纳】
1．①②③
【详解】在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，每次试验只有发生和不发生两种情况，每次试验中发生的机会是均等的，那么一般就称它们为次独立重复试验，所以①②③正确，④不正确，
故答案为：①②③.
2．（1）不是；（2）是；（3）不是.
【详解】（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是重伯努利试验；
（2）某人射击且击中的概率是稳定的，因此是重伯努利试验；
（3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验．
3．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】(1)由题意，每次取一个球，取到编号为2的概率为，
所以恰有两次取到2号球的概率为
(2)由题意可得，
则；
；
；
所以的分布列如下：


所以
4．【详解】(1)根据题意，有18只使用寿命至少为的概率.
(2)至少有15只使用寿命至少为的概率.
(3)至少有2只达不到使用寿命至少为的概率.
5．(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【详解】(1)设“乙在前3次投篮中，恰好投进2个球”为事件，
则.
答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为.
(2)的所有可能取值为0，1，2，3.
设前3轮投篮中，甲进球个数为，乙进球个数为，
则，的取值均为0，1，2，3，
，
，
，
.
所以，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3
数学期望为.
6．（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【详解】（1）记四个人中恰有一个人接种A疫苗的事件为M，
则，
所以四个人中恰有一个人接种A疫苗的概率为．
（2）由题意可知，的取值依次为0，1，2，3，4．
且，
故随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
．
【双基达标】
1．D
【详解】将一枚均匀的筛子先后抛掷3次，每次出现点数为3的概率都是
至少出现两次点数为3的概率为：
故选：D
2．D
【详解】∵随机变量X服从二项分布X~B(4，)，
∴.
故选：D.
3．B
【详解】甲最终获得冠军的概率，
故选：B.
4．B
【详解】，
则，得，
所以当时，，当时，，
从而时，取得最大值．
故选：B．
5．C
【详解】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以．
故选：C．
6．B
【详解】由已知X服从与参数为5，p的二项分布，
∴ ，，，
又，，
∴ ，，
∴ ，
故选：B.
7．ABD
【详解】选项A. 该产品能销售的概率为,故选项A正确.
选项B. 由A 可得每件产品能销售的概率为
一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则，故选项B正确.
选项C. 由题意，不选项C不正确.
选项D. 由题意，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售.
所以,故选项D正确.
故选：ABD
8．ABC
【详解】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验；
B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同，因此不是独立重复试验；
D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验
故选：ABC
9．
【详解】某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布，
所以
故答案为：
10．375
【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，
则部件正常工作超过10000小时的概率为，
又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.
故答案为：375.
11．（1） （2）
【详解】（1）在已知它们颜色相同的情况下，该颜色是红色的慨率为
（2）由题意可知，一次取出1个球，取得红球的概率为
取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），
所以E（X）＝np＝3×＝，
D（X）＝np（1﹣p）＝3×．
12．（1）；（2）分布列见解析，均值为；（3）选择巷道为抢险路线较好，理由见解析．
【详解】（1）设“巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件，
则．
（2）依题意，知的所有可能取值为0，1，2．
，，
．所以随机变量的分布列为
0 1 2
．
（3）设巷道中堵塞点的个数为，则，所以．
因为，所以选择巷道为抢险路线较好．
【高分突破】
1．B
【详解】由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，
所以，，
，
故，
，
故选：B．
2．C
【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，其中，，
当时，由，
得，化简得，
解得，又，所以，所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4．
故选：C．
3．C
【详解】由于随机变量满足： ，，
，
解得：，即
，
又随机变量，满足：，
，
故选：C.
4．C
【详解】由题意出现1点次数，由已知理论得次时(表示的整数部分)，概率最大，又前30次中出现了7次，
所以当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为时概率最大．
故选：C．
5．ABD
【详解】对选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；
对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，
则取到白球的个数，
故恰好有两个白球的概率为；
对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，
B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误。
对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，
至少有一次取到红球的概率为，故D正确。
故选：ABD
6．ABD
【详解】选项A. 该产品能销售的概率为,故选项A正确;
选项B. 由A 可得每件产品能销售的概率为
一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则，故选项B正确;
选项C. 由题意，故选项C不正确;
选项D. 由题意，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,
所以,故选项D正确.
故选：ABD.
7．.
【详解】由题意知： ，所以，
所以每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，
由题意知：随机变量，
所以.
故答案为：.
8．18
【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，
由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.
故答案为：18.
9．(1)475
(2)分布列见解析，
【详解】(1)依题意，，
所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.
(2)该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为，
由题意，甲配置型号手机售出的数量为服从二项分布，即，
则所有可能取值为，
，
故的分布列为：
由二项分布的期望公式：.
10．(1)；
(2)①分布列见解析，；②投资产品的收益更大.
【详解】(1)由题可得，解得.
(2)①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，
由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，1，2，3，且，，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
∴.
②由题可得，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品的收益：,
产品的收益：,
∴，
因为，
所以，即，
故投资产品的收益更大．