第1章 勾股定理【挑战满分】2022-2023学年数学八上阶段性复习精选精练（北师大版 含解析）

第1章勾股定理【挑战满分】2022-2023学年八年级数学上册阶段性复习精选精练（北师大版 含解析）
一、单选题
1．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（　　）
A．13米 B．12米 C．5米 D．米
2．下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，
3．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A．29 B．32 C．36 D．45
5．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
6．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，5
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
9．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（　　）
A．9 B．13 C．14 D．25
10．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连接MD，若，则的值为______．
12．如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是_______．
14．如图，在四边形ABCD中，，，，，，那么四边形ABCD的面积是___________．
15．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
16．若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为_____．
17．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
三、解答题
18．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
(1)出发3s后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
19．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．
20．如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：．
21．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
22．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
23．如图，中，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点处．
若，求的面积；
求证：．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.
【详解】
如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,
∵AB=13，CD=8，
又∵BE=CD，DE=BC，
∴AE=AB BE=AB CD=13 8=5,
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,
∴
∴AD=13（负值舍去）,
故小鸟飞行的最短路程为13m,
故选A.
【点睛】
考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.
2．A
【解析】
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
3．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】
设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
4．D
【解析】
【分析】
在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2 AD2，CD2＝AC2 AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2）
＝AC2 AB2
＝45．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
5．C
【解析】
【分析】
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】
解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【点睛】
本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
7．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.
【详解】
A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；
B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；
C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
D、52+122=132，故能构成直角三角形，
故选D．
【点睛】
本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．
8．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可．
【详解】
解：A、∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A＝∠B＋∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
B、如果a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；
C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，
设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，
解得：x=30°，则3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．B
【解析】
【分析】
画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，然后根据勾股定理求出AB即可求出结论．
【详解】
解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，
AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，
即长为24÷2=12，
宽为5，
∴AB==13，
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理与最短路径问题，解题的关键是掌握勾股定理和两点之间线段最短．
10．C
【解析】
【分析】
把各图中每一部分的面积和整体的面积分别列式表示，根据每一部分的面积之和等于整体的面积，分别化简，再根据化简结果即可解答.
【详解】
解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4× +c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
11．
【解析】
【分析】
延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【详解】
延长DM交CB的延长线于点H，
四边形ABCD是菱形，
，，
，
，，
≌，
，
，
，设，
，
，
，
，
，
或舍弃，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键．
12．20m．
【解析】
【分析】
试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，
∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm，
∴x2=（1×8+4）2+162=400，
∴登梯至少=20m
故答案为：20m
【点睛】
本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键．
13．
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求出直角边BC的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离
【详解】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2=AB2
∵AC=9，BC=12，
∴AB=在Rt△ABC中,∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，
∵AC=9，AB=15，
∴BC==12，
∵S△ABC=AC BC=AB h，
∴h==
故答案为
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键
14．+24
【解析】
【分析】
连结BD，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，两个三角形面积相加即可．
【详解】
解：连结BD，
∵，
∴，
∵，，
∴BD=6，
∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，
BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
S△ABD=，
S△BDC=，
四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24
故答案为：+24．
【点睛】
本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．m2+1
【解析】
【分析】
2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点睛】
本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】
首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【详解】
∵，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为h，由三角形面积得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
17． 11cm 12cm
【解析】
【分析】
根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
18．(1)PQ＝cm
(2)出发秒后△PQB能形成等腰三角形
(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
(1)
当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．
(2)
由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
(3)
①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
19．（1）证明见解析；（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【详解】
解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；
（2）由图可知：
（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，
∴2ab＝10，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．
【点睛】
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
20．证明见解析．
【解析】
【分析】
连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90 ，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的．
【详解】
证明：如图，连结BD ，
∵，
∴．
∴在△EAC和△DBC中，，
∴．
∴ ．
又∵，
∴ ．
∴ 在中，，
∴．
∵ 在中，，
∴ ．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键．
21．这棵树在离地面6米处被折断
【解析】
【分析】
设，利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】
解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．
22．26cm
【解析】
【分析】
设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
【详解】
解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为20cm，
∴杯子半径为10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍长26cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．
23．（1）126；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理容易求出AD长；进而求出BD，从而得到BC长，再由三角形面积公式即可求解；
（2）利用勾股定理易得，再利用平方差公式分解因式可得，根据折叠性质和线段和差关系即可得出结论．
【详解】
（1）解：是边上的高，
，
在中，
，
在中，
，
(平方单位)．
（2）证明：沿所在的直线翻折得到
在中，由勾股定理，得
在中，由勾股定理，得，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，利用由勾股定理求解是解决问题的关键．
试卷第1页，共3页
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