第七章 平行线的证明【挑战满分】2022-2023学年数学八上阶段性复习精选精练（北师大版 含解析）

第七章 平行线的证明
一、单选题
1．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
2．给出下列命题，正确的有（ ）个①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等，邻补角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，与交于点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（　　）
A．90°n° B．90°n° C．45°+n° D．180°﹣n°
7．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
8．如图，在和中，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
二、填空题
11．如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．
12．把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式____________________________________________．
13．如图，当∠ABC，∠C，∠D满足条件______________时，AB∥ED．
14．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．
15．在△ABC中，将∠B、∠C按如图方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE＝_____°．
16．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
17．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果ab，a⊥c，那么b⊥c；②如果ba，ca，那么bc；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么bc．其中是假命题的是__________．(填序号)
三、解答题
18．如图，在中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
19．如图，在△ABC和△BDE中，，为锐角，，，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)△ABE与△CBD全等吗？为什么？
(2)AE与CD有何特殊的位置关系，并说明理由．
20．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
21．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，∠1＝∠2，请将证明∠ADG＝∠C过程填写完整．
证明：BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠BDC＝∠EFC＝90°　 　
∴BD∥　 　
∠2＝∠3　 　
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴DG∥　 　
∴∠ADG＝∠C　 　
22．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
23．（1）如图（a），BD平分，CD平分．试确定和的数量关系．
（2）如图（b），BE平分，CE平分外角．试确定和的数量关系．
（3）如图（c），BF平分外角，CF平分外角．试确定和的数量关系．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A ∠D，代入即可求出∠P．
法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可．
【详解】
解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD ∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A ∠D＋∠ABF＋∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A ∠D
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
∴∠P＝19°．
法二：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，
∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，
整理得∠ACD ∠ABD＝58°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，
即∠P＝48° （∠ACD ∠ABD）＝19°．
故选A.
【点睛】
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
2．B
【解析】
【详解】
解：①等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故本选项错误；
②等腰三角形两腰上的高相等，本选项正确；
③等腰三角形最小边不一定底边，故本选项错误；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，本选项正确；
⑤等腰三角形可以是钝角三角形，故本选项错误，
故选B
3．A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质及基本事实，对顶角及邻补角的性质进行判断．
【详解】
两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故①是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
对顶角相等，邻补角互补，故④是真命题．
故选A．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，熟练掌握平行线的性质，对顶角及邻补角的性质是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数．
【详解】
解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，
∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2=360°-180°=180°，
∵∠1=40°，
∴∠2=140°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键．
5．A
【解析】
【分析】
先根据三角形的内角和定理可求出，再根据平行线的性质即可得．
【详解】
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟记平行线的性质是解题关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据BD、CE分别是△ABC的角平分线和三角形的外角，得到，再利用三角形的内角和，得到，代入数据即可求解．
【详解】
解：∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴．
故答案选：A．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理和外角的性质．涉及角平分线的性质．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
7．B
【解析】
【分析】
连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】
解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
8．D
【解析】
【分析】
由题意可证，有，由三角形内角和定理得，计算求解即可．
【详解】
解：∵
∴△ABC和△ADC均为直角三角形
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．
9．C
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
【详解】
∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=50°，
故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
【详解】
∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
11．AB∥CD
【解析】
【详解】
∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
故答案为AB∥CD.
12．如果两个角是对顶角，那么它们相等
【解析】
【分析】
先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式．
【详解】
解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【点睛】
本题考查了命题的条件和结论的叙述，注意确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式．
13．∠ABC＝∠C＋∠D
【解析】
【分析】
延长CB交DE于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFB=∠C+∠D，再根据同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】
如图，延长CB交DE于F，
则∠EFB=∠C+∠D，
当∠ABC=∠EFB时，AB∥ED，
所以，当∠ABC=∠C+∠D时，AB∥ED．
故答案为∠ABC=∠C+∠D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，作辅助线，把∠C、∠D转化为一个角的度数是解题的关键．
14．40°
【解析】
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
【详解】
如图所示：
∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．
故答案为40°．
【点睛】
主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
15．80
【解析】
【分析】
由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B＋∠C的度数，进而得到∠MGB＋∠EGC的度数，问题得解．
【详解】
解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝80°，
∴∠B＋∠C＝180°﹣80°＝100°，
∴∠MGB＋∠EGC＝∠B＋∠C＝100°，
∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB＋∠EGC的度数．
16．34°##34度
【解析】
【分析】
根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．
【详解】
解：∵∠B=46°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠B+∠C=76°，
∵∠EFC=70°，
∴∠AFD=70°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，
故答案为：34°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
17．③
【解析】
【分析】
根据平行线的性质，判定及基本事实进行判断．
【详解】
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，则原命题是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题．
故答案为：③．
【点睛】
本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行线的基本事实及判定是解题的关键．
18．(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理求出，再利用折叠和角平分线的性质证明，即可证明；
（2）利用三角形内角和定理求出，再利用对顶角相等证明，再利用三角形内角和定理即可求出．
(1)
证明：∵，，
∴,
∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
(2)
解：，
∴，
∵，且，
∴．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，对顶角相等，（1）的关键是求出，证明；（2）的关键是求出．
19．(1)全等，见解析
(2)AE与CD互相垂直，见解析
【解析】
【分析】
(1)利用“SAS”可判断△ABE≌△CBD；
(2)利用△ABE≌△CBD得到∠BAE=∠BCD，再根据三角形内角和得到∠NMC=∠ABN=90°，即可判断AE⊥CD
（1）解：△ABE与△CBD全等；理由如下：，，即，在和△CBD中， ；
（2）解：AE与CD互相垂直；理由如下：，，，，．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；
（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；
（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．
【详解】
（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
21．垂直的定义；EF；两直线平行，同位角相等；BC；两直线平行，同位角相等.
【解析】
【分析】
根据垂直求出∠BDC=∠EFC=90°，根据平行线的判定得出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠2=∠3，求出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥BC即可．
【详解】
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC=∠EFC=90°，垂直的定义
∴BD∥EF，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠C．两直线平行，同位角相等
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
22．见解析．
【解析】
【分析】
假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，不妨设，则，这与三角形内角和为相矛盾，不成立，由此即可证明．
【详解】
证明：假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，
不妨设，则，
这与三角形内角和为相矛盾，不成立，
所以一个三角形中不能有两个直角．
【点睛】
本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．
23．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可确定和的数量关系；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得，进而可得和的数量关系；
（3）根据三角形的内角和定理可得，，结合角平分线的定义，根据即可确定和的数量关系．
【详解】
（1）在中，．
在中，．
∵，，
∴
；
（2）在中，．
在中，．
∵，，
∴．
（3）在中，．
在中，．
∵，．
，，
∴
．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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