第21章 一元二次方程【挑战满分】2022-2023学年数学九上阶段性复习精选精练（人教版 含解析）

第二十一章 一元二次方程
一、单选题
1．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
3．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6 B．5和 C．和6 D．5和6
4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=0
5．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有两个实数根
8．若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
9．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
10．定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
二、填空题
11．已知关于的方程的一个根是，则____．
12．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
13．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝_____时，这个二次三项式的值等于﹣1．
14．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m ，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
15．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．
16．一元二次方程的解为__________．
17．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是 ___．
三、解答题
18．已知m是方程的一个根，试求的值.
19．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
【详解】
解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选A．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.
2．A
【解析】
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1 x2=．
4．D
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】
A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为： D.
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
5．B
【解析】
【分析】
由销售问题的数量关系总利润＝单件利润×数量建立方程求出其解即可．
【详解】
解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400，
故选：B.
【点睛】
本题考查了销售问题的数量关系：总利润＝单件利润×数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．
6．D
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤，移项，配方，配一次项系数一半的平方.
【详解】
∵x2 2x m=0，
∴x2 2x=m，
∴x2 2x+1=m+1，
∴(x 1)2=m+1．
故选D．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．
7．B
【解析】
【分析】
先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．
【详解】
解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0， b-6＜0，
∴(b+2)(b-6) ＞0，
所以，原方程有有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．
8．C
【解析】
【分析】
把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．A
【解析】
【分析】
通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【详解】
解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【详解】
解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】
本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
11．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．
【详解】
解：∵关于的方程的一个根是
∴
解得：a=-1
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．
12．且
【解析】
【分析】
若一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，还要使二次项系数不为0．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：，
又二次项系数
故答案为且
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
13．﹣1或﹣5
【解析】
【详解】
由时，代数式的值等于，可得，求解m的值，可得二次三项式，然后令二次三项式的值等于，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程即可．
【解答】
解：由时，代数式的值等于，可得，
解得：
∴二次三项式为
令二次三项式的值为得：
移项得：
∴
解得，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程．解题的关键在于求出的值，熟练运用因式分解解一元二次方程．
14．（12-x）（8-x）=77
【解析】
【分析】
道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】
道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为(12-x)(8-x)=77.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
15．9
【解析】
【分析】
根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】
解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
16．x=或x=2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
17．cm
【解析】
【分析】
设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．
【详解】
解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，
则较长直角边长为（x＋5）cm，
根据题意，得，
所以，
解得，，
因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，
所以x＝2，
当x＝2时，x＋5＝7，
由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．
故答案为：cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．
18．2015
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到，变形有或，再利用整体思想进行计算．
【详解】
解：∵m是方程的一个根，代入即得.
∴或.
∴
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是适当选择整体代入法，使得解答变得简单.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵，
∴
即，解得．
又由（1）知：，
∴．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．
20．（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵方程有两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
21．(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【详解】
解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
试卷第1页，共3页
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