两角和与差的余弦[下学期]
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文档简介
两角和与差的余弦
主讲人：陈家英
教学内容：两角和与差的余弦
教学目的：(1)启发学生自己动手证明两角和与差的余弦公式 ，从而培养推导公式的能力。
(2)使学生充分认识加法定理的重要意义；掌握公式，并能正确运用它们化简三角函数，求某些角的三角函数值，为含后的证明三角恒等式与其他问题打好基础。
(3)培养学生用归知识推导论证新知识的能力，明确特殊与一般的相互关系。
教学重点：两角和余弦公式的推导，关键是寻找推导的方法。
教学方法：启发式教学法。
教学过程：
1 引入
前面我们已经学习了如何求出一个角的三角函数？其步骤是将大角化成小角，再把小角化成00－900的三角函数，然后再查找表求值。
现在我们能不能不查表求出Cos750＝？也就是说在通常情况下，已知、如何求出=
2 新课讲授
为了研究 = 我们先作一个铺垫工作。
1 两点间的距离公式
1. 请大家回忆初中学过的数轴上的两点间的距离是如何求得的？
|AB|=| X2-X1|
(数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的两个数的差的绝对值)
2. 那么平面内任意两点之间的距离是否通过这两点的坐标来求出呢？我们一起来研究。
已知坐标平面内任意两点P1（X1，Y1），P2（X2，Y2），求P1P2
从P1、P2分别作力轴的垂线P1M1、P2M2与力轴交于点M（X1，0），M2（X2，0），再从P1、P2分别作Y轴的垂线P1N1、P2N2，与Y轴交于点N1（0，Y1），N2（0，Y2），直线P1N1与P2M2相交与Q点
所以P1Q＝M1M2＝|X2-X2|
QP2＝N1N2＝|Y2-Y1|，于是由勾股定理可得：
P1P22＝P1Q2＝QP22=|X2-X1|2＋|Y2-Y1|2
＝（X2-X1）2＋（Y2-Y1）2
由此得到平面内P1（X1，Y1），P2（X2，Y2）两点间的距离公式：
4. 练习：已知平面内有A（3，5. -1），6. B（-3，7. -9），8. 求AB
3 已知,的三角函数值，求
师：首先我们回忆一下任意角的三角函数是怎样定义的？
生：已知角终边上任一点P的坐标，可求出它的六个三角函数值。
师：这里又涉及到、，的三角函数值，因此我们需要把、，的终边作出来。
首先，在直角坐标系中作出单位圆,设单位圆与X轴的正半轴交于P1点，以OX轴为始边作，角，分别与单位圆交于P2、P3点，再以的终边OP2为始边作角，与单位圆交于P4，则它们的坐标分别是P1（1，0），P2（Cos，Sin），P3（Cos，Sin），P4（Cos（）,Sin（）），再在单位圆中作出一的终边与单位圆相交于点P5，点P5的坐标是P5（Cos（-），Sin（-））。
让学生观察、比较得出：
回忆正弦线、余弦线
X＝OM＝Cos，Y＝MP＝Sin
所以P（Cos，Sin）
由于在同一圆中，等角所对的弦相等
所以P1P4＝P2P5
即〔Cos（）-1〕2+Sin2（）＝〔Cos（-）-Cos〕2+〔Sin（-）-Sin 〕2
整理得：2-2Cos（）＝2-2（Cos Cos –Sin Sin ）
所以Cos（）＝Cos Cos –Sin Sin ()
则Cos750＝Cos(450+300)＝Cos450Cos300-Sin450Sin300
＝
＝
说明：①、为任意角
②Cos（）是两角与的和的余弦，它表示角，终边上的任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比，不能把它按分配律展开。
Cos（-）＝Cos〔+（-）〕
＝CosCos-Sin Sin（-）
所以Cos（-）＝CosCos+ SinSin
例1.求Cos（150）＝？
Cos（150）＝Cos（450 -300）
＝Cos450Cos300+Sin450Sin300
＝？
或Cos（150）＝Cos（600 -450）
＝Cos600Cos450-Sin600Sin450
思考：已知，的三角函数值，求Sin（）＝？，Sin（）＝？
例2.
＝
课堂练习：
求下列三角函数的值:
课堂小结:
1. 平面内两点间的距离公式：
若P1(x1,y1), P2 (x2,y2)，则
2. 两角和与差的余弦公式：
3. 以上两公式的推导及应用。
思考：
已知，的三角函数值，求Sin（）＝？，Sin（）＝？
主讲人：陈家英
教学内容：两角和与差的余弦
教学目的：(1)启发学生自己动手证明两角和与差的余弦公式 ，从而培养推导公式的能力。
(2)使学生充分认识加法定理的重要意义；掌握公式，并能正确运用它们化简三角函数，求某些角的三角函数值，为含后的证明三角恒等式与其他问题打好基础。
(3)培养学生用归知识推导论证新知识的能力，明确特殊与一般的相互关系。
教学重点：两角和余弦公式的推导，关键是寻找推导的方法。
教学方法：启发式教学法。
教学过程：
1 引入
前面我们已经学习了如何求出一个角的三角函数？其步骤是将大角化成小角，再把小角化成00－900的三角函数，然后再查找表求值。
现在我们能不能不查表求出Cos750＝？也就是说在通常情况下，已知、如何求出=
2 新课讲授
为了研究 = 我们先作一个铺垫工作。
1 两点间的距离公式
1. 请大家回忆初中学过的数轴上的两点间的距离是如何求得的？
|AB|=| X2-X1|
(数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的两个数的差的绝对值)
2. 那么平面内任意两点之间的距离是否通过这两点的坐标来求出呢？我们一起来研究。
已知坐标平面内任意两点P1（X1，Y1），P2（X2，Y2），求P1P2
从P1、P2分别作力轴的垂线P1M1、P2M2与力轴交于点M（X1，0），M2（X2，0），再从P1、P2分别作Y轴的垂线P1N1、P2N2，与Y轴交于点N1（0，Y1），N2（0，Y2），直线P1N1与P2M2相交与Q点
所以P1Q＝M1M2＝|X2-X2|
QP2＝N1N2＝|Y2-Y1|，于是由勾股定理可得：
P1P22＝P1Q2＝QP22=|X2-X1|2＋|Y2-Y1|2
＝（X2-X1）2＋（Y2-Y1）2
由此得到平面内P1（X1，Y1），P2（X2，Y2）两点间的距离公式：
4. 练习：已知平面内有A（3，5. -1），6. B（-3，7. -9），8. 求AB
3 已知,的三角函数值，求
师：首先我们回忆一下任意角的三角函数是怎样定义的？
生：已知角终边上任一点P的坐标，可求出它的六个三角函数值。
师：这里又涉及到、，的三角函数值，因此我们需要把、，的终边作出来。
首先，在直角坐标系中作出单位圆,设单位圆与X轴的正半轴交于P1点，以OX轴为始边作，角，分别与单位圆交于P2、P3点，再以的终边OP2为始边作角，与单位圆交于P4，则它们的坐标分别是P1（1，0），P2（Cos，Sin），P3（Cos，Sin），P4（Cos（）,Sin（）），再在单位圆中作出一的终边与单位圆相交于点P5，点P5的坐标是P5（Cos（-），Sin（-））。
让学生观察、比较得出：
回忆正弦线、余弦线
X＝OM＝Cos，Y＝MP＝Sin
所以P（Cos，Sin）
由于在同一圆中，等角所对的弦相等
所以P1P4＝P2P5
即〔Cos（）-1〕2+Sin2（）＝〔Cos（-）-Cos〕2+〔Sin（-）-Sin 〕2
整理得：2-2Cos（）＝2-2（Cos Cos –Sin Sin ）
所以Cos（）＝Cos Cos –Sin Sin ()
则Cos750＝Cos(450+300)＝Cos450Cos300-Sin450Sin300
＝
＝
说明：①、为任意角
②Cos（）是两角与的和的余弦，它表示角，终边上的任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比，不能把它按分配律展开。
Cos（-）＝Cos〔+（-）〕
＝CosCos-Sin Sin（-）
所以Cos（-）＝CosCos+ SinSin
例1.求Cos（150）＝？
Cos（150）＝Cos（450 -300）
＝Cos450Cos300+Sin450Sin300
＝？
或Cos（150）＝Cos（600 -450）
＝Cos600Cos450-Sin600Sin450
思考：已知，的三角函数值，求Sin（）＝？，Sin（）＝？
例2.
＝
课堂练习：
求下列三角函数的值:
课堂小结:
1. 平面内两点间的距离公式：
若P1(x1,y1), P2 (x2,y2)，则
2. 两角和与差的余弦公式：
3. 以上两公式的推导及应用。
思考：
已知，的三角函数值，求Sin（）＝？，Sin（）＝？