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广东省潮州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·潮州期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
【答案】A
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为服从正态分布可知：方差为4，故标准差为2，
故答案为：A
【分析】根据题意由正态分布的数据，结合方差和标准差公式，代入数值计算出结果即可。
2．（2022高二下·潮州期末）若，则（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．7
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由组合数性质，可知或.
故答案为：C
【分析】由组合数公式，代入数值计算出结果即可。
3．（2022高二下·潮州期末）若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可知，，
则，
故，
故答案为：A
【分析】由已知条件结合期望和方程公式，代入数值计算出结果即可。
4．（2022高二下·潮州期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上
故该双曲线的渐近线方程为 ，
故答案为：C
【分析】由已知条件结合双曲线的简单性质，计算出a与b的取值，代入渐近线方程计算出结果即可。
5．（2022高二下·潮州期末）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（ ）
A．30 B．54 C．63 D．72
【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有.
故答案为：D
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
6．（2022·南充模拟）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果.
故答案为：B．
【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项.
7．（2022高二下·潮州期末）若，则（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．129
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令，得.
故答案为：C
【分析】由特殊值代入法，计算出系数之和即可。
8．（2022高二下·潮州期末）英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中为自然数的底数，），其拉格朗日余项是.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的的近似值也就越精确.若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余项，不超过时，正整数的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；拉格朗日插值法和孙子定理
【解析】【解答】由题意，可得的，即，
当时，；
当时，，
所以n的最小值是6．
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件即可得出关于n的不等式，由阶乘的性质即可得出n的最小值。
二、多选题
9．（2022高二下·潮州期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】由图形特征可知都是负相关，都是负数，比的相关系数更强，所以，，都是正相关，比的相关系数更强，所以，
所以AC符合题意.
故答案为：AC
【分析】结合散点图中的数据，结合线性相关系数的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022·广州模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，
即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；
显然有，
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：
，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B符合题意；
显然，，C，D都正确.
故答案为：BCD
【分析】利用对立事件的意义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A，B的概率计算判断C，D作答.
11．（2022高二下·潮州期末）已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线是的图象，曲线是的图象
B．曲线是的图象，曲线是的图象
C．不等式组的解集为
D．不等式组的解集为
【答案】B,C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】对于AB，若是的图象，则当时，，则在上递减，与曲线在上不单调相矛盾，所以是的图象，是的图象，所以A不符合题意，B符合题意，
对于CD，由，得，解得，所以不等式组的解集为，所以C符合题意，D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】由已知条件结合图象的性质，利用导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2020高三上·镇江期中）已知由样本数据点集合 ，求得的回归直线方程为 ，且 ，现发现两个数据点 和 误差较大，去除后重新求得的回归直线 的斜率为 ，则（ ）
A．变量 与 具有正相关关系
B．去除后 的估计值增加速度变快
C．去除后与去除前均值 ， 不变
D．去除后的回归方程为
【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为回归直线方程为 ， ，所以变量x与y具有正相关关系.A符合题意.
因为 ，所以去除后y的估计值增加速度变慢，B不符合题意.
当 时， ，所以样本点为 ，
又因为 ， ，所以去掉两个数据点 和 后，样本点还是 ，C符合题意；
又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，所以 ，解得 ，
所以去除后的回归方程为 ，D符合题意.
故答案为：ACD．
【分析】A根据回归直线方程的x系数的正负判断，B根据去除前后x的系数大小判断，C根据去除前后样本点不变判断，D根据回归直线方程求解方法可判断。
三、填空题
13．（2022高二下·潮州期末）随机变量，满足，且，则 .
【答案】7
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
故答案为：7
【分析】由已知条件把数值代入到期望公式，计算出结果即可。
14．（2022高二下·潮州期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第 项.
【答案】5
【知识点】函数的最值及其几何意义；数列的函数特性
【解析】【解答】因为，所以，由于，所以当时，最大，此时
故答案为：5
【分析】由已知条件结合二次函数的图象和性质，整理化简数列的通项公式，由此得出数列最大值的项。
15．（2022高二下·潮州期末）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】表示前两次都没有击中，故，
故答案为：
【分析】根据题意把数值代入到随机变量概率公式，代入数值计算出结果即可。
16．（2022高二下·潮州期末）某医院分配6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测，要求每个小区至少一名护士共有 种分配方案（请用数字作答）.
【答案】540
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由条件可知，分配方案可以是2，2，2或1，2，3或1，1，4，
当分配方案是2，2，2时，有，当分配方案时1，2，3时，有，当分配方案是1，1，4时，有，所以每个小区至少一名护士共有种.
故答案为：540
【分析】由已知条件结合排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
四、解答题
17．（2022高二下·潮州期末）已知正项数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为
所以
又因为为正项数列，所以，所以
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
（2）解：由（1）知
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简已知的数列的递推公式，由此得出数列为等差数列，结合题意即可求出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由等差、比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
18．（2022高二下·潮州期末）在某次期中考试中，光明中学统计4位同学的物理成绩与数学成绩如下表：
物理成绩 77 74 63 54
数学成绩 112 111 102 91
若数学成绩关于物理成绩的经验回归方程为：，
（参考公式：），其中，临界值表如下：）
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）求出的值，并由此预计当小华同学此次考试的物理成绩为70分，数学成绩大概是多少分（精确到整数）.
（2）对此次考试中的200位同学的数学成绩进行分析可知：120位男同学中有45位数学成绩优秀，而另外的80位女同学中则有25位数学成绩优秀，请完成答卷中的2×2列联表，并据此判断：能否依据小概率值的独立性检验下认为“数学成绩是否优秀与性别有关”.
【答案】（1）解：由题意可得： ，
故，解得，
则当时，，
即预计当小华同学此次考试的物理成绩为70分，数学成绩大概是107分.
（2）解：由题意可得列联表如下：
优秀 不优秀 合计
男 45 75 120
女 25 55 80
合计 70 130 200
故，
故不能依据小概率值的独立性检验下认为“数学成绩是否优秀与性别有关”.
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入到参数公式，由此计算出结果然后把结果代入到线性回归方程计算出答案。
(2)由已知条件把数值代入到观测值公式计算出结果，然后由标准值进行比较即可得出结论。
19．（2022高二下·潮州期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，
、分别为、的中点，
是三角形的中位线，即；
又平面，平面，
所以平面
（2）解：以D为坐标原点， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
故 ，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
故 ，
由图可知平面和平面的夹角为锐角，故其余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面和平面的夹角的余弦值。
20．（2022高二下·潮州期末）在核酸检测中， “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束：如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】解：（I）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列：
所以；
（II）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 （I）① 根据题意由已知条件，即可得出答案。
② 根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 X的分布列， 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
（II） 由已知条件把数值代入到概率公式，计算出结果再把结果代入到期望公式计算出结果即可。
21．（2020高二上·新乡期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为2．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， 若 的面积为 （ 为坐标原点），求直线 的方程．
【答案】（1）解：由题意可得 ，解得：
故椭圆C的标准方程为
（2）解：由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立 ，整理得
，
则 ，故 ，
因为 的面积为 ，所以 ，
设 ，则 整理得 ，解得 或 （舍去），即 .
故直线的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系，即可求出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式以及三角形的面积公式整理即可得到，令整理得到求解出t的值从而得到m的取值，由此即可求出直线的方程。
22．（2022高二下·潮州期末）已知函数，；，.
（1）求函数在区间上的极值；
（2）判断曲线与曲线有几条公切线并给予证明.
【答案】（1）解：，，
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，无极小值；
（2）解：设直线分别切，的图象于点，，
由，，
所以直线的方程为，
即直线，
由，得，
所以直线的方程为，
即，
比较的方程可得，消去可得，
令，
所以，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
因为，
所以在上有一个零点，
由，得，
所以在上有一个零点，故函数在区间有2个零点，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，然后由由函数极值的定义即可得出答案。
(2)首先由题意求出函数的导函数，结合切线的性质计算出切线的方程，然后由联立方程并构造函数结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合零点的定义由已知条件即可得出答案。
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广东省潮州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·潮州期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
2．（2022高二下·潮州期末）若，则（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．7
3．（2022高二下·潮州期末）若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·潮州期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·潮州期末）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（ ）
A．30 B．54 C．63 D．72
6．（2022·南充模拟）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
7．（2022高二下·潮州期末）若，则（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．129
8．（2022高二下·潮州期末）英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中为自然数的底数，），其拉格朗日余项是.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的的近似值也就越精确.若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余项，不超过时，正整数的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．（2022高二下·潮州期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广州模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
11．（2022高二下·潮州期末）已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线是的图象，曲线是的图象
B．曲线是的图象，曲线是的图象
C．不等式组的解集为
D．不等式组的解集为
12．（2020高三上·镇江期中）已知由样本数据点集合 ，求得的回归直线方程为 ，且 ，现发现两个数据点 和 误差较大，去除后重新求得的回归直线 的斜率为 ，则（ ）
A．变量 与 具有正相关关系
B．去除后 的估计值增加速度变快
C．去除后与去除前均值 ， 不变
D．去除后的回归方程为
三、填空题
13．（2022高二下·潮州期末）随机变量，满足，且，则 .
14．（2022高二下·潮州期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第 项.
15．（2022高二下·潮州期末）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则 .
16．（2022高二下·潮州期末）某医院分配6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测，要求每个小区至少一名护士共有 种分配方案（请用数字作答）.
四、解答题
17．（2022高二下·潮州期末）已知正项数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和.
18．（2022高二下·潮州期末）在某次期中考试中，光明中学统计4位同学的物理成绩与数学成绩如下表：
物理成绩 77 74 63 54
数学成绩 112 111 102 91
若数学成绩关于物理成绩的经验回归方程为：，
（参考公式：），其中，临界值表如下：）
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）求出的值，并由此预计当小华同学此次考试的物理成绩为70分，数学成绩大概是多少分（精确到整数）.
（2）对此次考试中的200位同学的数学成绩进行分析可知：120位男同学中有45位数学成绩优秀，而另外的80位女同学中则有25位数学成绩优秀，请完成答卷中的2×2列联表，并据此判断：能否依据小概率值的独立性检验下认为“数学成绩是否优秀与性别有关”.
19．（2022高二下·潮州期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
20．（2022高二下·潮州期末）在核酸检测中， “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束：如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
21．（2020高二上·新乡期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为2．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， 若 的面积为 （ 为坐标原点），求直线 的方程．
22．（2022高二下·潮州期末）已知函数，；，.
（1）求函数在区间上的极值；
（2）判断曲线与曲线有几条公切线并给予证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为服从正态分布可知：方差为4，故标准差为2，
故答案为：A
【分析】根据题意由正态分布的数据，结合方差和标准差公式，代入数值计算出结果即可。
2．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由组合数性质，可知或.
故答案为：C
【分析】由组合数公式，代入数值计算出结果即可。
3．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可知，，
则，
故，
故答案为：A
【分析】由已知条件结合期望和方程公式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上
故该双曲线的渐近线方程为 ，
故答案为：C
【分析】由已知条件结合双曲线的简单性质，计算出a与b的取值，代入渐近线方程计算出结果即可。
5．【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有.
故答案为：D
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
6．【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果.
故答案为：B．
【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项.
7．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令，得.
故答案为：C
【分析】由特殊值代入法，计算出系数之和即可。
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；拉格朗日插值法和孙子定理
【解析】【解答】由题意，可得的，即，
当时，；
当时，，
所以n的最小值是6．
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件即可得出关于n的不等式，由阶乘的性质即可得出n的最小值。
9．【答案】A,C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】由图形特征可知都是负相关，都是负数，比的相关系数更强，所以，，都是正相关，比的相关系数更强，所以，
所以AC符合题意.
故答案为：AC
【分析】结合散点图中的数据，结合线性相关系数的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，
即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；
显然有，
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：
，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B符合题意；
显然，，C，D都正确.
故答案为：BCD
【分析】利用对立事件的意义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A，B的概率计算判断C，D作答.
11．【答案】B,C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】对于AB，若是的图象，则当时，，则在上递减，与曲线在上不单调相矛盾，所以是的图象，是的图象，所以A不符合题意，B符合题意，
对于CD，由，得，解得，所以不等式组的解集为，所以C符合题意，D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】由已知条件结合图象的性质，利用导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为回归直线方程为 ， ，所以变量x与y具有正相关关系.A符合题意.
因为 ，所以去除后y的估计值增加速度变慢，B不符合题意.
当 时， ，所以样本点为 ，
又因为 ， ，所以去掉两个数据点 和 后，样本点还是 ，C符合题意；
又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，所以 ，解得 ，
所以去除后的回归方程为 ，D符合题意.
故答案为：ACD．
【分析】A根据回归直线方程的x系数的正负判断，B根据去除前后x的系数大小判断，C根据去除前后样本点不变判断，D根据回归直线方程求解方法可判断。
13．【答案】7
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
故答案为：7
【分析】由已知条件把数值代入到期望公式，计算出结果即可。
14．【答案】5
【知识点】函数的最值及其几何意义；数列的函数特性
【解析】【解答】因为，所以，由于，所以当时，最大，此时
故答案为：5
【分析】由已知条件结合二次函数的图象和性质，整理化简数列的通项公式，由此得出数列最大值的项。
15．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】表示前两次都没有击中，故，
故答案为：
【分析】根据题意把数值代入到随机变量概率公式，代入数值计算出结果即可。
16．【答案】540
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由条件可知，分配方案可以是2，2，2或1，2，3或1，1，4，
当分配方案是2，2，2时，有，当分配方案时1，2，3时，有，当分配方案是1，1，4时，有，所以每个小区至少一名护士共有种.
故答案为：540
【分析】由已知条件结合排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：因为
所以
又因为为正项数列，所以，所以
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
（2）解：由（1）知
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简已知的数列的递推公式，由此得出数列为等差数列，结合题意即可求出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由等差、比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：由题意可得： ，
故，解得，
则当时，，
即预计当小华同学此次考试的物理成绩为70分，数学成绩大概是107分.
（2）解：由题意可得列联表如下：
优秀 不优秀 合计
男 45 75 120
女 25 55 80
合计 70 130 200
故，
故不能依据小概率值的独立性检验下认为“数学成绩是否优秀与性别有关”.
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入到参数公式，由此计算出结果然后把结果代入到线性回归方程计算出答案。
(2)由已知条件把数值代入到观测值公式计算出结果，然后由标准值进行比较即可得出结论。
19．【答案】（1）证明：连接，
、分别为、的中点，
是三角形的中位线，即；
又平面，平面，
所以平面
（2）解：以D为坐标原点， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
故 ，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
故 ，
由图可知平面和平面的夹角为锐角，故其余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面和平面的夹角的余弦值。
20．【答案】解：（I）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列：
所以；
（II）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 （I）① 根据题意由已知条件，即可得出答案。
② 根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 X的分布列， 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
（II） 由已知条件把数值代入到概率公式，计算出结果再把结果代入到期望公式计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得：
故椭圆C的标准方程为
（2）解：由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立 ，整理得
，
则 ，故 ，
因为 的面积为 ，所以 ，
设 ，则 整理得 ，解得 或 （舍去），即 .
故直线的方程为 ，即 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系，即可求出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式以及三角形的面积公式整理即可得到，令整理得到求解出t的值从而得到m的取值，由此即可求出直线的方程。
22．【答案】（1）解：，，
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，无极小值；
（2）解：设直线分别切，的图象于点，，
由，，
所以直线的方程为，
即直线，
由，得，
所以直线的方程为，
即，
比较的方程可得，消去可得，
令，
所以，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
因为，
所以在上有一个零点，
由，得，
所以在上有一个零点，故函数在区间有2个零点，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，然后由由函数极值的定义即可得出答案。
(2)首先由题意求出函数的导函数，结合切线的性质计算出切线的方程，然后由联立方程并构造函数结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合零点的定义由已知条件即可得出答案。
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