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广东省广州市七区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·广州期末）用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法，
因此共有种排法，
故答案为：B.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
2．（2022高二下·广州期末）一质点A沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点A在s时的瞬时速度为（ ）
A．m/s B．5 m/s C．6 m/s D．8 m/s
【答案】C
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
即质点A在s时的瞬时速度为6 m/s.
故答案为：C.
【分析】首先对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式没计算出结果，从而得出答案。
3．（2022高二下·广州期末）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.8
【答案】B
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因随机变量服从正态分布，.
所以，.
所以.
故答案为：B.
【分析】结合题意由正态分布中的数据，代入数值计算出结果即可。
4．（2022高二下·广州期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以抛物线准线为
又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2
由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以
故答案为：C.
【分析】由抛物线的方程求出准线的方程，再由圆的方程求出圆心坐标以及半径的取值，结合点到直线的距离公式计算出P的值。
5．（2022高二下·广州期末）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、体育5节课，现要安排该班上午的课程表，要求体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是（ ）
A．36 B．32 C．24 D．18
【答案】A
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】体育课排在第二节时，语文课数学课可以排在第三四节或第四五节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第三节时，语文课数学课可以排在第一二节或第四五节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第四节时，语文课数学课可以排在第一二节或第二三节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第五节时，语文课数学课可以排在第一二节或第二三节或第三四节，余下2门课的没有限制的排法有种；
所以一共有.
故答案为：A.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，分情况讨论由此计算出结果即可。
6．（2022高二下·广州期末）函数的导函数为，函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．是的极大值点
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】对A，是的零点，不一定为的零点，A不符合题意；
对B，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故两侧，故不是的极大值点，B不符合题意；
对C，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极小值点，C不符合题意；
对D，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极大值点，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意对函数求导结合已知的图象的性质，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的极值与零点的定义，由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2022高二下·广州期末）如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途径处的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率的基本性质；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：由题意，小明从处出发到达处，最短需要走四横三纵共七段路，共有条不同的路；小明从处到处，最短需要走两横两纵共四段路，共有条不同的路，从处到处，最短需要走两横一纵共三段路，共有条不同的路.
所以小明从处到达处的过程中，途径处的概率.
故答案为：.
【分析】首先由排列组合以及计数原理，结合题意计算出事件的个数，并把结果代入到概率公式计算出结果即可。
8．（2022高二下·广州期末）若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意，存在实数，对任意，恒成立，即在上恒成立.设，则，故当时，，当时，，故在处取得最小值，故，所以的取值范围是
故答案为：B
【分析】由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值结合 倍函数 的定义，由此得出K的取值范围
二、多选题
9．（2022高二下·广州期末）某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：
该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的有（ ）
A．变量与正相关
B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C．若选择模型二，的图象一定经过点
D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1
【答案】A,D
【知识点】散点图；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】对A，根据散点图易得变量与正相关，A符合题意；
对B，由散点图可得与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，B不符合题意；
对C，若选择模型二，，令，则图象经过点，C不符合题意；
对D，当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由已知条件结合散点图中的数据，结合线性回归方程以及线性相关系、残差公式，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高二下·广州期末）已知离散型随机变量的分布列为
-1 0 1
则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由分布列的性质，得，A对；
，B不符合题意；
，C对；
，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】根据题意由分布列图表中的数据，计算出a的取值然后由期望和方差公式，代入数值计算出结果即可。由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022高二下·广州期末）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（ ）
A．
B．图5中最小正方形的边长为
C．
D．若，则图中所有正方形的面积之和为8
【答案】B,C,D
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和
【解析】【解答】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前项和可知.
A：，A不符合题意.
B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也称等比数列，且公比为，所以每“层”正方形边长，所以，B符合题意.
C：
，C符合题意.
D：解得，每一“层”的面积和，
所以当时所有正方形的面积之和为8，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据题意由已知条件结合图象的性质，即可得出边之间的等比关系，结合等比数列的前n项和公式以及等比数列的通项公式，代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2022高二下·广州期末）正方形，的棱长为1，，分别为，的中点，下列说法正确的有（ ）
A．直线与平面垂直
B．平面截正方体所得的截面周长为
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是30°
D．在棱上存在点，使得点和点到平面的距离相等
【答案】B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对A，由正方体的性质，体对角线与平面垂直，又平面不平行于平面，故直线与平面不垂直，A不符合题意；
对B，，分别为，的中点，，故平面截正方体所得的截面为，
，故，，故平面截正方体所得的截面周长为，B对；
对C，，异面直线与所成的角为，又平面，所以，在等腰直角上，易得，即，，即，命题不成立，C不符合题意；
对D，若点和点到平面的距离相等，则，即，即，MN是的中位线，故上的点与C到MN的距离相等，，故G在点时，，命题成立，D对，
故答案为：BD
【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论，从而判断出选项A错误；由已知条件结合已知的边的大小计算出结果即可，由此判断出选项B正确；结合异面直线所成角的定义，由三角形中的几何计算关系计算出结果由此判断出选项C错误；由点到平面的距离的定义结合正方体的几何性质，利用等体积法计算出结果即可，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
三、填空题
13．（2022高二下·广州期末）函数在点处的切线方程为 ．
【答案】2x-y-1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数
则
由导数几何意义可知
根据点斜式可得直线方程为
化简可得2x-y-1=0
故答案为：2x-y-1=0
【分析】由已知条件对函数求导，并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，结合点斜式即可得出直线的方程。
14．（2019高三上·抚州月考） 展开式中的常数项为 .
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中常数项为 .
【分析】利用二项展开式的通项公式，解得 即可求出结果.
15．（2022高二下·广州期末）已知甲盒中有3个白球，1个红球，乙盒中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．先从甲盒中任取2个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球．计算从乙盒中取出的是红球的概率为 ．
【答案】
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】记“从乙盒中取出的是红球”为事件，“从甲盒中任取2个球”为事件，事件为“从甲盒中任取2个球均为白球”，事件为“从甲盒中任取2个球为一白一红”，，且互斥，
所以
，
故答案为：
【分析】由已知条件结合排列组合以及计数原理，即可得出各个事件的个数，再把结果代入到概率公式计算出结果即可。
16．（2022高二下·广州期末）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与双曲线的左支和右支分别交于两点，．若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，
即有，根据相似关系可得，设，则，在双曲线的左支，则，在双曲线的右支，则，又，列出勾股定理方程：，解得.在中，，，列勾股定理可得，于是，.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合线线平行的性质以及双曲线的简单性质，整理化简即可得出边之间的关系，结合三角形中的几何计算关系由勾股定理计算出a与c的关系，由离心率公式结合整体思想计算出结果即可。
四、解答题
17．（2022高二下·广州期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，得，即，由，，成等比数列，得，即，又得，所以，，故数列的通项公式为．
（2）解：由，得，所以，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合等差数列的通项公式以及等比数列项的性质，由此计算出首项和公差的取值，从而得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由裂项相消法即可计算出结果即可。
18．（2022高二下·广州期末）推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占．
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，．
（1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？
性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性
女性
合计
（2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下：
周次 1 2 3 4 5
对垃圾不分类处理的人数 120 105 100 95 80
请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数．
【答案】（1）解：由题意，
则联列表为：
性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性 80 80 160
女性 80 160 240
合计 160 240 400
零假设为：对垃圾处理与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005．
（2）解：，，
，，
，
所以，
即所求的经验回归方程为；
令，得，
所以预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数为37．
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】(1)由已知条件计算出a的取值，由此补完全图表，计算出结果再与标准值进行比较由此得出结论。
(2)把数值代入到参考公式由此计算出结果，并代入到线性回归方程由此计算出结果即可。
19．（2022高二下·广州期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，．
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接．
因为平面平面，平面平面，，所以平面，
因为面，所以，
因为四边形是边长为2的菱形，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以．
（2）解：思路一：如图，设的中点为，
在菱形中，，所以，所以．
又平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
思路二：如图，将四棱锥补全为三棱柱，
平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角．
设，的中点，，连接，，，
由（1）得平面，则，
平面平面，
又平面平面，
且，平面，
所以面，，
又，所以，
因为，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，，所以，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，从而得证出结论。
(2) 根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值．
20．（2022高二下·广州期末）某网购平台为提高销售额，组织该平台的网店开展“优惠券”抽奖活动，网店只提供“10元优惠券”，每位顾客有三次抽奖机会，每次抽中的概率为；网店提供“10元优惠券”和“5元优惠券”两种优惠券，每位顾客有两次抽奖机会，每次抽奖获得“10元优惠券”，“5元优惠券”的概率分别为，．
（1）若小李参与网店的“优惠券”抽奖活动，求三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的概率．
（2）以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店，哪家的优惠力度更大？请说明理由．
【答案】（1）解：设小李获得网店的“10元优惠券”的张数为，则
三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的事件为“”，
，
所以小李至少获得一张“10元优惠券”的概率为．
（2）解：思路一：设网店的优惠金额为，则，
因为，所以，．
思路二：设网店的优惠金额为，则的可能取值为0，10，20，30，
；；
；；
所以．
设“第次抽奖获得网店的10元优惠券”，则，
“第次抽奖获得网店的5元优惠券”，则，
设网店的优惠金额为，则的可能取值为10，15，20，
；
；
；
所以．
因为，
以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店A优惠力度更大．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件结合二项分布中的数据，代入计算出概率的取值即可。
(2) 思路一： 由二项式分布的数据，代入公式计算出结果即可。
思路二：根据题意即可得出Y的取值，再由概率的公式求出对应的Y的概率由此得到Y的分布列，结合数学期望公式计算出答案，然后进行对比，即可得出结论。
21．（2022高二下·广州期末）已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
故椭圆方程为．
（2）解：设直线为，设，，
因为直线，，的斜率依次成等比数列，
所以．
联立直线与椭圆的方程，得，
所以，
，，
，
所以，得．
存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：
四边形为平行四边形，则点，
点在椭圆上，则
因为，
，
所以，即，
当，时，满足，
所以直线的方程为或或或．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质即可得出关于a与b的方程组，求解出a与b的值从而得出椭圆的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线u椭圆的方程结合中点坐标以及斜率的坐标公式，计算出斜率的取值，然后由韦达定理整理化简把点的坐标代入到椭圆的方程，由此计算出m与k的取值，从而得出直线的方程。
22．（2022高二下·广州期末）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）求函数的最小值；
（2）设函数，当时，求证．
【答案】（1）解：，
令，解得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的最小值为．
（2）证明：函数，其定义域为，
要证，只需证明．
设，则．
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且．
因为时，所以，即．
当时，；当时，．
所以当时，取得最小值．
故．
因为，所以，
又，所以，故，
综上可知，当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最小值。
(2)首先整理化简已知条件由分析法再构造函数，然后对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性得出函数的最值结合函数零点的定义，即可得出不等式，由此即可得出结论。
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广东省广州市七区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·广州期末）用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
2．（2022高二下·广州期末）一质点A沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点A在s时的瞬时速度为（ ）
A．m/s B．5 m/s C．6 m/s D．8 m/s
3．（2022高二下·广州期末）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.8
4．（2022高二下·广州期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2022高二下·广州期末）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、体育5节课，现要安排该班上午的课程表，要求体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是（ ）
A．36 B．32 C．24 D．18
6．（2022高二下·广州期末）函数的导函数为，函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．是的极大值点
7．（2022高二下·广州期末）如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途径处的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·广州期末）若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·广州期末）某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：
该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的有（ ）
A．变量与正相关
B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C．若选择模型二，的图象一定经过点
D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1
10．（2022高二下·广州期末）已知离散型随机变量的分布列为
-1 0 1
则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二下·广州期末）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（ ）
A．
B．图5中最小正方形的边长为
C．
D．若，则图中所有正方形的面积之和为8
12．（2022高二下·广州期末）正方形，的棱长为1，，分别为，的中点，下列说法正确的有（ ）
A．直线与平面垂直
B．平面截正方体所得的截面周长为
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是30°
D．在棱上存在点，使得点和点到平面的距离相等
三、填空题
13．（2022高二下·广州期末）函数在点处的切线方程为 ．
14．（2019高三上·抚州月考） 展开式中的常数项为 .
15．（2022高二下·广州期末）已知甲盒中有3个白球，1个红球，乙盒中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．先从甲盒中任取2个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球．计算从乙盒中取出的是红球的概率为 ．
16．（2022高二下·广州期末）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与双曲线的左支和右支分别交于两点，．若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．（2022高二下·广州期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（2022高二下·广州期末）推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占．
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，．
（1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？
性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性
女性
合计
（2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下：
周次 1 2 3 4 5
对垃圾不分类处理的人数 120 105 100 95 80
请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数．
19．（2022高二下·广州期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，．
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（2022高二下·广州期末）某网购平台为提高销售额，组织该平台的网店开展“优惠券”抽奖活动，网店只提供“10元优惠券”，每位顾客有三次抽奖机会，每次抽中的概率为；网店提供“10元优惠券”和“5元优惠券”两种优惠券，每位顾客有两次抽奖机会，每次抽奖获得“10元优惠券”，“5元优惠券”的概率分别为，．
（1）若小李参与网店的“优惠券”抽奖活动，求三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的概率．
（2）以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店，哪家的优惠力度更大？请说明理由．
21．（2022高二下·广州期末）已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．（2022高二下·广州期末）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）求函数的最小值；
（2）设函数，当时，求证．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法，
因此共有种排法，
故答案为：B.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
2．【答案】C
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
即质点A在s时的瞬时速度为6 m/s.
故答案为：C.
【分析】首先对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式没计算出结果，从而得出答案。
3．【答案】B
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因随机变量服从正态分布，.
所以，.
所以.
故答案为：B.
【分析】结合题意由正态分布中的数据，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以抛物线准线为
又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2
由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以
故答案为：C.
【分析】由抛物线的方程求出准线的方程，再由圆的方程求出圆心坐标以及半径的取值，结合点到直线的距离公式计算出P的值。
5．【答案】A
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】体育课排在第二节时，语文课数学课可以排在第三四节或第四五节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第三节时，语文课数学课可以排在第一二节或第四五节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第四节时，语文课数学课可以排在第一二节或第二三节，余下2门课的没有限制的排法有种；
体育课排在第五节时，语文课数学课可以排在第一二节或第二三节或第三四节，余下2门课的没有限制的排法有种；
所以一共有.
故答案为：A.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，分情况讨论由此计算出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】对A，是的零点，不一定为的零点，A不符合题意；
对B，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故两侧，故不是的极大值点，B不符合题意；
对C，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极小值点，C不符合题意；
对D，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极大值点，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意对函数求导结合已知的图象的性质，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的极值与零点的定义，由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】概率的基本性质；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：由题意，小明从处出发到达处，最短需要走四横三纵共七段路，共有条不同的路；小明从处到处，最短需要走两横两纵共四段路，共有条不同的路，从处到处，最短需要走两横一纵共三段路，共有条不同的路.
所以小明从处到达处的过程中，途径处的概率.
故答案为：.
【分析】首先由排列组合以及计数原理，结合题意计算出事件的个数，并把结果代入到概率公式计算出结果即可。
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意，存在实数，对任意，恒成立，即在上恒成立.设，则，故当时，，当时，，故在处取得最小值，故，所以的取值范围是
故答案为：B
【分析】由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值结合 倍函数 的定义，由此得出K的取值范围
9．【答案】A,D
【知识点】散点图；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】对A，根据散点图易得变量与正相关，A符合题意；
对B，由散点图可得与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，B不符合题意；
对C，若选择模型二，，令，则图象经过点，C不符合题意；
对D，当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由已知条件结合散点图中的数据，结合线性回归方程以及线性相关系、残差公式，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由分布列的性质，得，A对；
，B不符合题意；
，C对；
，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】根据题意由分布列图表中的数据，计算出a的取值然后由期望和方差公式，代入数值计算出结果即可。由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,C,D
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和
【解析】【解答】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前项和可知.
A：，A不符合题意.
B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也称等比数列，且公比为，所以每“层”正方形边长，所以，B符合题意.
C：
，C符合题意.
D：解得，每一“层”的面积和，
所以当时所有正方形的面积之和为8，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据题意由已知条件结合图象的性质，即可得出边之间的等比关系，结合等比数列的前n项和公式以及等比数列的通项公式，代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对A，由正方体的性质，体对角线与平面垂直，又平面不平行于平面，故直线与平面不垂直，A不符合题意；
对B，，分别为，的中点，，故平面截正方体所得的截面为，
，故，，故平面截正方体所得的截面周长为，B对；
对C，，异面直线与所成的角为，又平面，所以，在等腰直角上，易得，即，，即，命题不成立，C不符合题意；
对D，若点和点到平面的距离相等，则，即，即，MN是的中位线，故上的点与C到MN的距离相等，，故G在点时，，命题成立，D对，
故答案为：BD
【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论，从而判断出选项A错误；由已知条件结合已知的边的大小计算出结果即可，由此判断出选项B正确；结合异面直线所成角的定义，由三角形中的几何计算关系计算出结果由此判断出选项C错误；由点到平面的距离的定义结合正方体的几何性质，利用等体积法计算出结果即可，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
13．【答案】2x-y-1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数
则
由导数几何意义可知
根据点斜式可得直线方程为
化简可得2x-y-1=0
故答案为：2x-y-1=0
【分析】由已知条件对函数求导，并把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出切线的斜率，结合点斜式即可得出直线的方程。
14．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中常数项为 .
【分析】利用二项展开式的通项公式，解得 即可求出结果.
15．【答案】
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】记“从乙盒中取出的是红球”为事件，“从甲盒中任取2个球”为事件，事件为“从甲盒中任取2个球均为白球”，事件为“从甲盒中任取2个球为一白一红”，，且互斥，
所以
，
故答案为：
【分析】由已知条件结合排列组合以及计数原理，即可得出各个事件的个数，再把结果代入到概率公式计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，
即有，根据相似关系可得，设，则，在双曲线的左支，则，在双曲线的右支，则，又，列出勾股定理方程：，解得.在中，，，列勾股定理可得，于是，.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合线线平行的性质以及双曲线的简单性质，整理化简即可得出边之间的关系，结合三角形中的几何计算关系由勾股定理计算出a与c的关系，由离心率公式结合整体思想计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，得，即，由，，成等比数列，得，即，又得，所以，，故数列的通项公式为．
（2）解：由，得，所以，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合等差数列的通项公式以及等比数列项的性质，由此计算出首项和公差的取值，从而得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由裂项相消法即可计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：由题意，
则联列表为：
性别 垃圾处理 合计
不分类 分类
男性 80 80 160
女性 80 160 240
合计 160 240 400
零假设为：对垃圾处理与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005．
（2）解：，，
，，
，
所以，
即所求的经验回归方程为；
令，得，
所以预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数为37．
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】(1)由已知条件计算出a的取值，由此补完全图表，计算出结果再与标准值进行比较由此得出结论。
(2)把数值代入到参考公式由此计算出结果，并代入到线性回归方程由此计算出结果即可。
19．【答案】（1）证明：连接．
因为平面平面，平面平面，，所以平面，
因为面，所以，
因为四边形是边长为2的菱形，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以．
（2）解：思路一：如图，设的中点为，
在菱形中，，所以，所以．
又平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
思路二：如图，将四棱锥补全为三棱柱，
平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角．
设，的中点，，连接，，，
由（1）得平面，则，
平面平面，
又平面平面，
且，平面，
所以面，，
又，所以，
因为，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，，所以，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，从而得证出结论。
(2) 根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值．
20．【答案】（1）解：设小李获得网店的“10元优惠券”的张数为，则
三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的事件为“”，
，
所以小李至少获得一张“10元优惠券”的概率为．
（2）解：思路一：设网店的优惠金额为，则，
因为，所以，．
思路二：设网店的优惠金额为，则的可能取值为0，10，20，30，
；；
；；
所以．
设“第次抽奖获得网店的10元优惠券”，则，
“第次抽奖获得网店的5元优惠券”，则，
设网店的优惠金额为，则的可能取值为10，15，20，
；
；
；
所以．
因为，
以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店A优惠力度更大．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件结合二项分布中的数据，代入计算出概率的取值即可。
(2) 思路一： 由二项式分布的数据，代入公式计算出结果即可。
思路二：根据题意即可得出Y的取值，再由概率的公式求出对应的Y的概率由此得到Y的分布列，结合数学期望公式计算出答案，然后进行对比，即可得出结论。
21．【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
故椭圆方程为．
（2）解：设直线为，设，，
因为直线，，的斜率依次成等比数列，
所以．
联立直线与椭圆的方程，得，
所以，
，，
，
所以，得．
存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：
四边形为平行四边形，则点，
点在椭圆上，则
因为，
，
所以，即，
当，时，满足，
所以直线的方程为或或或．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质即可得出关于a与b的方程组，求解出a与b的值从而得出椭圆的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线u椭圆的方程结合中点坐标以及斜率的坐标公式，计算出斜率的取值，然后由韦达定理整理化简把点的坐标代入到椭圆的方程，由此计算出m与k的取值，从而得出直线的方程。
22．【答案】（1）解：，
令，解得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的最小值为．
（2）证明：函数，其定义域为，
要证，只需证明．
设，则．
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且．
因为时，所以，即．
当时，；当时，．
所以当时，取得最小值．
故．
因为，所以，
又，所以，故，
综上可知，当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最小值。
(2)首先整理化简已知条件由分析法再构造函数，然后对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性得出函数的最值结合函数零点的定义，即可得出不等式，由此即可得出结论。
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