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广东省茂名市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·茂名期末）已知复数z的共轭复数满足，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
2．（2022高二下·茂名期末）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高二下·茂名期末）储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．11
4．（2022高二下·茂名期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·茂名期末）若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图像，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·茂名期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．480种 B．336种 C．144种 D．96种
7．（2022高二下·茂名期末）若直线将圆C：的面积分为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·茂名期末）已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·茂名期末）冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会.自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则（ ）
A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数
B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差
C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数
D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差
10．（2022高二下·茂名期末）在三角形中，若，，边上的高为h，满足条件的三角形的个数为n，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．（2022高二下·茂名期末）若等差数列的前n项之和为，公差为d，等比数列的前n项之和为，公比为q（），若，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·茂名期末）已知点P为正方体内及表面一点，若，则（ ）
A．若平面时，则点P位于正方体的表面
B．若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变
C．存在点P，使得平面
D．，的夹角
三、填空题
13．（2022高二下·茂名期末）已知向量，，当时， .
14．（2022高二下·茂名期末）已知，且，则的最小值为 .
15．（2022高二下·茂名期末）记（k，b为实常数），若，，则 .
16．（2022高二下·茂名期末）已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高二下·茂名期末）已知在正项等比数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和.
18．（2022高二下·茂名期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求C；
（2）若，，在角C的平分线上取点D，且，则点D是否在线段上？请说明理由.
19．（2022高二下·茂名期末）刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A，B，C三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A，B，C三类题出现“优秀”的概率依次分别为，，.
（1）记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率.
20．（2022高二下·茂名期末）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
21．（2022高二下·茂名期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.
22．（2022高二下·茂名期末）已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【解答】设，则，
又因为，即，
所以，所以，
故答案为：D.
【分析】 根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数相等的条件，复数模公式，即可求解出答案.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】依题意，，解得，即，
所以.
故答案为：B
【分析】 求出集合A，利用交集、补集定义求出答案.
3．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，
所以圆锥的母线长为2，底面半径为，
所以一个“钢板仓”的体积为
，
因为
所以要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个，
故答案为：C
【分析】 先求出圆锥与圆柱的底面圆的半径，再计算一个“钢板仓”的体积，最后由总的储存体积得所需的“钢板仓”的个数.
4．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：A
【分析】利用空间向量求点到平面的距离，即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，将函数的图象向右平移个单位得的图象，
所以函数的解析式为.
故答案为：B.
【分析】 由条件利用函数y=A sin(x + φ )的图象变换规律，得出答案.
6．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：，
“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：，
所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，求出数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中“礼”和“乐”相邻的不同次序数，计算可得答案.
7．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆C圆心，半径，设直线交圆C于点A，B，过C作于D，如图，
依题意，直线不过圆心，令劣弧所对圆心角，则优弧所对圆心角大小为，
，直线分圆所得较小部分的面积为，所得较大部分面积为，
依题意，，即，整理得，
令函数，求导得，即函数在上单调递增，
而，于是得，即是等腰直角三角形，，
因此，圆心C到直线AB的距离，解得，
所以m的值为.
故答案为：D
【分析】设出直线 分圆C所成劣弧所对圆心角，表示出两部分的面积并列式构造函数，再利用函数单调性求解出 m的值 .
8．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；抛物线的定义
【解析】【解答】设点，，，其中
，
当时，；
当时，，
因为，，当，即时，等号成立，当时，取得最大值，此时；
根据椭圆的定义可知，
即，
椭圆的离心率
故答案为：A.
【分析】首先利用坐标表示，再利用基本不等式求最值取得时的y值，再结合椭圆的定义求a，即可求出该椭圆的离心率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】观察每天宣传的次数频数分布折线图，
甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2，3，A符合题意；
甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3，2，B符合题意；
甲社团宣传次数的平均数，乙社团宣传次数的平均数，C不正确；
甲社团宣传次数的方差，
乙社团宣传次数的方差，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据众数、极差、平均数、方差的定义计算可得答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】圆方程的综合应用；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】作出外接圆如图所示，
为外接圆的圆心，.因为，，故，所以的外接圆半径为
又， 所以当时，最大为.对A，当时，由圆的对称性可知，此时，A符合题意；
对B，当时，是唯一的，B符合题意；
对C，当时，，C不符合题意；
对D，当时，，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】 根据正弦定理可得△ABC外接圆，再分析高的取值范围与三角形解的个数关系，即可得答案.
11．【答案】A,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】依题意，，，
，
而，
于是得，且，即，整理得：，即B，C不满足，A，D满足.
故答案为：AD
【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式表示出Sn，Tn，再求出Sn . Tn并与已知等式比对即可分析计算得答案.
12．【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在正方体中，，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又，所以点在平面上（包括边界），
又，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以，即位于正方体的表面，A符合题意；
对于B，设到平面的距离为，则
显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，B不符合题意；
如图建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为1，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
，平面，
所以平面，
若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，C不符合题意；
因为设，，，所以，即，
又，所以，，，
设
所以，的夹角为，则，
当时，，
当时，因为，所以，
所以，所以，因为，所以，
综上可得，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】首先可证平面，即可得点在平面上（包括边界），通过证明平面平面判断A；利用特殊位置判断B；先证明平面，即可判断C；利用空间向量法判断D.
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由可得，，得，
故答案为：.
【分析】 根据题意，由向量平行的坐标表示可得，变形可得答案.
14．【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵，
∴，当且仅当时取等号，
，
，即，
∴的最小值为8.
故答案为：8．
【分析】由，，求解可得答案.
15．【答案】-3或3
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.
故答案为-3或3.
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，结合期望与方差的线性公式，即可求解出答案.
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：依题意如图建立平面直角坐标系，
则，，，，所以直线的方程为，直线的方程为，
设，关于对称点，
则，解得，即，
所以，，
当，则，，
此时，此时不成立，
所以，
所以，即，
所以，
又、在的同侧，所以，
即，即，所以，
即点到直线的距离的取值范围为；
故答案为：
【分析】 依题意建立平面直角坐标系，即可得到直线AC、BD的方程，设，根据点关于直线对称的计算方法求出N点坐标，再根据AM⊥CN，则，即可得到x0、y0的关系，最后根据M、N在BD的同侧得到不等式，求出x0的取值范围，即可求解出点到直线的距离的取值范围.
17．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，由，，
于是，解得，
所以，，；
（2）解：即，.
所以，，.
于是，，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)根据等比数列通项公式列出关于首项和公比的方程组，解方程组即可得 的通项公式；
(2)先求出bn ，然后运用裂项相消法求出Sn.
18．【答案】（1）解：在中，，
即，
有，即，
由正弦定理得：，即，而，
所以.
（2）解：在中，由（1）知，，因，，由余弦定理得：
，
，，
令角C的平分线交AB于E，则，
在中，，
由正弦定理得：，显然，
所以点D不在线段上.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用二倍角的正弦、和角的正弦公式化简给定等式，再利用正弦定理边角互化即可求解出 C的值；
(2)利用(1)的结论及已知，借助余弦定理、正弦定理、三角恒等变换求出角平分线长并判断出点D不在线段上.
19．【答案】（1）解：依题意，X的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为.
（2）解：由（1）知，小张每次获得200分的概率为，设小张获得200分的次数为Y，
于是得，
所以4次中至少有2次获得200分的概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出X的所有可能值，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算各个取值的概率，列出分布列并计算 数学期望；
（2）由（1）利用对立事件概率，独立重复实验的概率列式，计算可得 4次中至少有2次获得200分的概率.
20．【答案】（1）证明：在四棱锥中，底面为矩形，有，因平面平面，
平面平面，平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）解：在平面内过V作于，而平面平面，平面平面，
则平面，在平面内过O作，有两两垂直，
以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，又，设，于是有，，
因此有，，，而，直线的方向向量，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，
则有，由于，，，
则，当且仅当，即时取“=”，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)根据给定条件，利用面面垂直的性质、判定推理出平面平面；
(2) 在平面内过V作于 ，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量 ，借助空间向量求解出平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
21．【答案】（1）解：椭圆E：的离心率e，则，即，又，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）解：由（1）知，，设直线l的方程为，，
由消去x并整理得：，则，，
，
线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，
令，得，即点，，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取得最小值24，此时直线l的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意可得 ， 又 解得a，b ，可得椭圆E的方程；
(2) 由（1）知，，设直线l的方程为，， 联立椭圆的方程，结合韦达定理可得 ，， 进而可得弦长|MN|，写出线段MN的垂直平分线的方程为， 进而可得T点的坐标，再计算 ，利用基本不等式，即可得出 （O为原点）的最小值 ， 此时直线l的方程 .
22．【答案】（1）解：函数，切点为，
，∴，
∴的图象在处的切线方程为：，即.
（2）解：令，.
，设，，
∵，∴，在上单调递增，
即在上单调递增，，
当时，，∴在上单调递增，
∴，
∴当时，恒成立.
当时，，
∵函数在上存在唯一的零点，
∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上可得：的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)函数 ，求出f'(x)，可得f'(0)，利用点斜式可得 的图象在处的切线方程；
(2) 令， ， ，对a分类讨论，利用函数 在上存在唯一的零点， 即可求出 的取值范围.
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广东省茂名市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·茂名期末）已知复数z的共轭复数满足，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【解答】设，则，
又因为，即，
所以，所以，
故答案为：D.
【分析】 根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数相等的条件，复数模公式，即可求解出答案.
2．（2022高二下·茂名期末）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】依题意，，解得，即，
所以.
故答案为：B
【分析】 求出集合A，利用交集、补集定义求出答案.
3．（2022高二下·茂名期末）储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，
所以圆锥的母线长为2，底面半径为，
所以一个“钢板仓”的体积为
，
因为
所以要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个，
故答案为：C
【分析】 先求出圆锥与圆柱的底面圆的半径，再计算一个“钢板仓”的体积，最后由总的储存体积得所需的“钢板仓”的个数.
4．（2022高二下·茂名期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：A
【分析】利用空间向量求点到平面的距离，即可求出答案.
5．（2022高二下·茂名期末）若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图像，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，将函数的图象向右平移个单位得的图象，
所以函数的解析式为.
故答案为：B.
【分析】 由条件利用函数y=A sin(x + φ )的图象变换规律，得出答案.
6．（2022高二下·茂名期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．480种 B．336种 C．144种 D．96种
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：，
“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：，
所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，求出数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中“礼”和“乐”相邻的不同次序数，计算可得答案.
7．（2022高二下·茂名期末）若直线将圆C：的面积分为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆C圆心，半径，设直线交圆C于点A，B，过C作于D，如图，
依题意，直线不过圆心，令劣弧所对圆心角，则优弧所对圆心角大小为，
，直线分圆所得较小部分的面积为，所得较大部分面积为，
依题意，，即，整理得，
令函数，求导得，即函数在上单调递增，
而，于是得，即是等腰直角三角形，，
因此，圆心C到直线AB的距离，解得，
所以m的值为.
故答案为：D
【分析】设出直线 分圆C所成劣弧所对圆心角，表示出两部分的面积并列式构造函数，再利用函数单调性求解出 m的值 .
8．（2022高二下·茂名期末）已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；抛物线的定义
【解析】【解答】设点，，，其中
，
当时，；
当时，，
因为，，当，即时，等号成立，当时，取得最大值，此时；
根据椭圆的定义可知，
即，
椭圆的离心率
故答案为：A.
【分析】首先利用坐标表示，再利用基本不等式求最值取得时的y值，再结合椭圆的定义求a，即可求出该椭圆的离心率.
二、多选题
9．（2022高二下·茂名期末）冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会.自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则（ ）
A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数
B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差
C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数
D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差
【答案】A,B,D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】观察每天宣传的次数频数分布折线图，
甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2，3，A符合题意；
甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3，2，B符合题意；
甲社团宣传次数的平均数，乙社团宣传次数的平均数，C不正确；
甲社团宣传次数的方差，
乙社团宣传次数的方差，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据众数、极差、平均数、方差的定义计算可得答案.
10．（2022高二下·茂名期末）在三角形中，若，，边上的高为h，满足条件的三角形的个数为n，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】圆方程的综合应用；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】作出外接圆如图所示，
为外接圆的圆心，.因为，，故，所以的外接圆半径为
又， 所以当时，最大为.对A，当时，由圆的对称性可知，此时，A符合题意；
对B，当时，是唯一的，B符合题意；
对C，当时，，C不符合题意；
对D，当时，，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】 根据正弦定理可得△ABC外接圆，再分析高的取值范围与三角形解的个数关系，即可得答案.
11．（2022高二下·茂名期末）若等差数列的前n项之和为，公差为d，等比数列的前n项之和为，公比为q（），若，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】依题意，，，
，
而，
于是得，且，即，整理得：，即B，C不满足，A，D满足.
故答案为：AD
【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式表示出Sn，Tn，再求出Sn . Tn并与已知等式比对即可分析计算得答案.
12．（2022高二下·茂名期末）已知点P为正方体内及表面一点，若，则（ ）
A．若平面时，则点P位于正方体的表面
B．若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变
C．存在点P，使得平面
D．，的夹角
【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在正方体中，，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又，所以点在平面上（包括边界），
又，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以，即位于正方体的表面，A符合题意；
对于B，设到平面的距离为，则
显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，B不符合题意；
如图建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为1，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
，平面，
所以平面，
若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，C不符合题意；
因为设，，，所以，即，
又，所以，，，
设
所以，的夹角为，则，
当时，，
当时，因为，所以，
所以，所以，因为，所以，
综上可得，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】首先可证平面，即可得点在平面上（包括边界），通过证明平面平面判断A；利用特殊位置判断B；先证明平面，即可判断C；利用空间向量法判断D.
三、填空题
13．（2022高二下·茂名期末）已知向量，，当时， .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由可得，，得，
故答案为：.
【分析】 根据题意，由向量平行的坐标表示可得，变形可得答案.
14．（2022高二下·茂名期末）已知，且，则的最小值为 .
【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵，
∴，当且仅当时取等号，
，
，即，
∴的最小值为8.
故答案为：8．
【分析】由，，求解可得答案.
15．（2022高二下·茂名期末）记（k，b为实常数），若，，则 .
【答案】-3或3
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.
故答案为-3或3.
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，结合期望与方差的线性公式，即可求解出答案.
16．（2022高二下·茂名期末）已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：依题意如图建立平面直角坐标系，
则，，，，所以直线的方程为，直线的方程为，
设，关于对称点，
则，解得，即，
所以，，
当，则，，
此时，此时不成立，
所以，
所以，即，
所以，
又、在的同侧，所以，
即，即，所以，
即点到直线的距离的取值范围为；
故答案为：
【分析】 依题意建立平面直角坐标系，即可得到直线AC、BD的方程，设，根据点关于直线对称的计算方法求出N点坐标，再根据AM⊥CN，则，即可得到x0、y0的关系，最后根据M、N在BD的同侧得到不等式，求出x0的取值范围，即可求解出点到直线的距离的取值范围.
四、解答题
17．（2022高二下·茂名期末）已知在正项等比数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，由，，
于是，解得，
所以，，；
（2）解：即，.
所以，，.
于是，，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)根据等比数列通项公式列出关于首项和公比的方程组，解方程组即可得 的通项公式；
(2)先求出bn ，然后运用裂项相消法求出Sn.
18．（2022高二下·茂名期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求C；
（2）若，，在角C的平分线上取点D，且，则点D是否在线段上？请说明理由.
【答案】（1）解：在中，，
即，
有，即，
由正弦定理得：，即，而，
所以.
（2）解：在中，由（1）知，，因，，由余弦定理得：
，
，，
令角C的平分线交AB于E，则，
在中，，
由正弦定理得：，显然，
所以点D不在线段上.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用二倍角的正弦、和角的正弦公式化简给定等式，再利用正弦定理边角互化即可求解出 C的值；
(2)利用(1)的结论及已知，借助余弦定理、正弦定理、三角恒等变换求出角平分线长并判断出点D不在线段上.
19．（2022高二下·茂名期末）刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A，B，C三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A，B，C三类题出现“优秀”的概率依次分别为，，.
（1）记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率.
【答案】（1）解：依题意，X的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为.
（2）解：由（1）知，小张每次获得200分的概率为，设小张获得200分的次数为Y，
于是得，
所以4次中至少有2次获得200分的概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出X的所有可能值，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算各个取值的概率，列出分布列并计算 数学期望；
（2）由（1）利用对立事件概率，独立重复实验的概率列式，计算可得 4次中至少有2次获得200分的概率.
20．（2022高二下·茂名期末）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明：在四棱锥中，底面为矩形，有，因平面平面，
平面平面，平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）解：在平面内过V作于，而平面平面，平面平面，
则平面，在平面内过O作，有两两垂直，
以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，又，设，于是有，，
因此有，，，而，直线的方向向量，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，
则有，由于，，，
则，当且仅当，即时取“=”，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)根据给定条件，利用面面垂直的性质、判定推理出平面平面；
(2) 在平面内过V作于 ，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量 ，借助空间向量求解出平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
21．（2022高二下·茂名期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.
【答案】（1）解：椭圆E：的离心率e，则，即，又，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）解：由（1）知，，设直线l的方程为，，
由消去x并整理得：，则，，
，
线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，
令，得，即点，，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取得最小值24，此时直线l的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意可得 ， 又 解得a，b ，可得椭圆E的方程；
(2) 由（1）知，，设直线l的方程为，， 联立椭圆的方程，结合韦达定理可得 ，， 进而可得弦长|MN|，写出线段MN的垂直平分线的方程为， 进而可得T点的坐标，再计算 ，利用基本不等式，即可得出 （O为原点）的最小值 ， 此时直线l的方程 .
22．（2022高二下·茂名期末）已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数，切点为，
，∴，
∴的图象在处的切线方程为：，即.
（2）解：令，.
，设，，
∵，∴，在上单调递增，
即在上单调递增，，
当时，，∴在上单调递增，
∴，
∴当时，恒成立.
当时，，
∵函数在上存在唯一的零点，
∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上可得：的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)函数 ，求出f'(x)，可得f'(0)，利用点斜式可得 的图象在处的切线方程；
(2) 令， ， ，对a分类讨论，利用函数 在上存在唯一的零点， 即可求出 的取值范围.
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