广东省清远市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·清远期末）从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．8
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法．
故答案为：D.
【分析】由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
2．（2022高二下·清远期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：，A不符合题意；，B符合题意；，C不符合题意；，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意由导数的运算性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．（2022高二下·清远期末）袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】．
故答案为：D．
【分析】首先由排列组合以及计数原理计算出事件的个数，并代入到概率公式由此计算出结果。
4．（2022高二下·清远期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.
故答案为：C
【分析】根据题意由已知条件结合图象，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可比较出大小，从而得出答案。
5．（2022高二下·清远期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25 B．20 C．30 D．36
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，
由1个数字组成的4位回文数有5个，
由2个数字组成的4位回文数有个，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.
故答案为：A
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
6．（2022高二下·清远期末）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，故，故，因为，解得.故，故
故答案为：B
【分析】根据题意由期望和方差公式，结合对立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
7．（2022高二下·清远期末）已知函数在上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意得
因为函数在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以，即实数的最小值为-2.
故答案为：A
【分析】首先对函数求导，由导数的性质即可得出函数的单调性，再由分离参数法结合函数的单调性即可得出a的取值范围，从而得出a的最小值。
8．（2022高二下·清远期末）函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递增
D．在区间上不存在极小值
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】当时，，而，故；
当时，，而，故；
当时，，而，故；
所以上递减；上递增，
则、分别是的极小值点、极大值点.
A、C、D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B
【分析】首先由已知的图象即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数极值的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
9．（2022高二下·清远期末）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（ ）
A．数据的平均数为0
B．若变量的经验回归方程为，则实数
C．变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强
D．变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好
【答案】B,D
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，所以.
对于A，的平均数为，A不符合题意；
对于B，若变量的经验回归方程是，则，B符合题意；
对于C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于-1），C不符合题意；
对于D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据题意由参考公式代入数值，结合平均数公式、线性回归方程的性质以及线性相关系数的性质、独立检测试验的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高二下·清远期末）已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ ）
A．n＝5 B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由，得n＝5，A符合题意．令x＝0，得，B符合题意．因为n＝5，所以，C不符合题意．令x＝－1，得，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合已知条件计算出n的取值，然后由二项式系数的性质，结合组合数公式计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022高二下·清远期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】A,B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A符合题意；
对于B，由A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B符合题意；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C不符合题意；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D不符合题意．
故答案为：AB.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2022高二下·清远期末）已知函数和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，
将与联立求得交点为，则，即，A符合题意．
易知为单调递增函数，因为，，由零点存在性定理可知，B符合题意．
易知为单调递减函数，，，由零点存在性定理可知．
因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C不符合题意．
因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】根据题意由反函数的定义和性质，结合对数函数和指数函数的图象和性质，由韦达定理以及对数的运算性质，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．（2022高二下·清远期末）展开式中的常数项为 ．
【答案】24
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式中的常数项为．
故答案为：24.
【分析】由已知条件结合二项展开式的通项公式，结合组合数公式，代入数值计算出结果即可。
14．（2022高二下·清远期末）函数的图象在点处的切线方程为 .
【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，
所以，
所以，又，
所以所求切线方程为，即y=2x.
故答案为：y=2x
【分析】根据题意对函数求导，把点的坐标代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。
15．（2022高二下·清远期末）某学校高一 高二 高三的学生人数之比为，这三个年级分别有的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件为该学生是高二年级学生，
，
，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意由概率乘法公式计算出各个事件的概率，再由条件概率公式代入数值计算出结果即可。
16．（2022高二下·清远期末）为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取包食盐，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一包食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差.已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食盐中质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为 .附：若随机变量服从正态分布，则.
【答案】12
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】质量在之外的概率为，
所以，则，则，又，故的最小值为12.
故答案为：12
【分析】由已知条件结合正态分布的数据，计算出结果然后与标准值进行比较，由此得出满足题意的k的取值范围，从而得出k的最小值。
17．（2022高二下·清远期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：在中，内角的对边分别为，且满足____.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：若选①，，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，因为，所以，所以.
若选②因为，由正弦定理可得，
整理得，
又，
所以.
又因为，可得，所以，
又，所以.
若选③，由，
得，
由正弦定理得，整理得，
所以，又，所以.
（2）解：因为，由余弦定理得，
又，所以，即，解得，
则的面积.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选① ，首先由正弦定理整理化简已知条件结合两角和的余弦公式，代入数值计算出coaA的取值，从而得出角A的大小。 若选② ，由正弦定理整理化简原式然后由两角和的余弦公式，计算出cosA的取值，由此得出角A的取值。 若选③ 首先整理化简原式再由正弦定理，计算出a、b、c之间的关系，并代入到余弦定理由此计算出cosA的取值，从而得出角A的大小。
(2)由(1)的结论结合余弦定理代入数值计算出bc的取值，并代入到三角形面积公式由此计算出结果。
18．（2022高二下·清远期末）已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，所以，
当时，，
由于满足，所以的通项公式为，
因为数列是公差为的等差数列，，
所以，所以；
（2）解：因为，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式整理化简即可得出数列从而求出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得出数列前n项和。
19．（2022高二下·清远期末）为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.010
2.072 2.706 3.841 6.635
（1）若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 300
女生 195
合计 20 500
请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：列联表如下：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 285 300
女生 5 195 200
合计 20 480 500
零假设为
：选拔赛成绩与性别无关．
根据列联表，
得，
所以没有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）解：该学生参加选拔赛次数的可能取值为2，3，4．
，
，
．
故的分布列为
2 3 4
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合列联表的数据关系，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)由题意可得，该学生参加选拔赛次数ξ的可能取值为2， 3， 4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及数学期望．
20．（2022高二下·清远期末）如图，在三棱锥中，平面，点分别是的中点，且.
（1）证明：平面.
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：由平面，平面，则.
又，点为的中点，所以.
由为的中点，则，即，
所以，即，又，面，
所以平面.
（2）解：由（1）得：，以点为坐标原点，以为轴，轴的正方向，以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为，所以，
故，，，，
设平面的法向量为，则，令，故.
设平面的法向量为，则，令，故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，利用平行的传递性即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值 。
21．（2022高二下·清远期末）已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，
所以，
因为直线与椭圆相交于和两点，且，
所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，
联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：设，
若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，
消去得，则，
又，所以，且，即，则，
因为，
所以，整理得，
则，且恒成立，
所以，
又，且，
所以，即；
当直线的斜率不存在时，，又，解得，
所以
综上，的取值范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合椭圆的简单性质，把点的坐标代入到椭圆的方程整理化简即可得出关于a与b的方程求解出a与b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，并联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，再由韦达定理即可得出两根之和与两根之积的关于t和k的代数式，并代入到数量积的坐标公式整理化简结合二次函数的图象和性质即可得出数量积的取值范围，结合数量积的坐标公式由整体思想即可得出结果。
22．（2022高二下·清远期末）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设m，n为正数，且当时，，证明：．
【答案】（1）解：的定义域为，
（）．
①当时，，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
②当时，因为的判别式，
所以有两正根，，且．
令，得或；
令，得．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：因为，所以（）．
设，
则．
当时，因为，，
令，
则．
令，因为，则，所以在上单调递增，
又，所以，则，所以在上单调递增，
又，所以，则在上单调递增．
又，所以，则．
因为，，所以．
又，
所以在上单调递减，所以，整理得．
又当时，令，则，
所以在上单调递增，，则在上单调递增，所以．
故．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意整理化简函数的解析式，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合函数的单调性即可得出结果。
1 / 1广东省清远市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·清远期末）从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．8
2．（2022高二下·清远期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高二下·清远期末）袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·清远期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2022高二下·清远期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25 B．20 C．30 D．36
6．（2022高二下·清远期末）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·清远期末）已知函数在上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．（2022高二下·清远期末）函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递增
D．在区间上不存在极小值
9．（2022高二下·清远期末）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（ ）
A．数据的平均数为0
B．若变量的经验回归方程为，则实数
C．变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强
D．变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好
10．（2022高二下·清远期末）已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ ）
A．n＝5 B．
C． D．
11．（2022高二下·清远期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
12．（2022高二下·清远期末）已知函数和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022高二下·清远期末）展开式中的常数项为 ．
14．（2022高二下·清远期末）函数的图象在点处的切线方程为 .
15．（2022高二下·清远期末）某学校高一 高二 高三的学生人数之比为，这三个年级分别有的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为 .
16．（2022高二下·清远期末）为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取包食盐，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一包食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差.已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食盐中质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为 .附：若随机变量服从正态分布，则.
17．（2022高二下·清远期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：在中，内角的对边分别为，且满足____.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（2022高二下·清远期末）已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（2022高二下·清远期末）为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.010
2.072 2.706 3.841 6.635
（1）若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 300
女生 195
合计 20 500
请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为，求的分布列及数学期望．
20．（2022高二下·清远期末）如图，在三棱锥中，平面，点分别是的中点，且.
（1）证明：平面.
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21．（2022高二下·清远期末）已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
22．（2022高二下·清远期末）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设m，n为正数，且当时，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法．
故答案为：D.
【分析】由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
2．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：，A不符合题意；，B符合题意；，C不符合题意；，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意由导数的运算性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】．
故答案为：D．
【分析】首先由排列组合以及计数原理计算出事件的个数，并代入到概率公式由此计算出结果。
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.
故答案为：C
【分析】根据题意由已知条件结合图象，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可比较出大小，从而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，
由1个数字组成的4位回文数有5个，
由2个数字组成的4位回文数有个，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.
故答案为：A
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
6．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，故，故，因为，解得.故，故
故答案为：B
【分析】根据题意由期望和方差公式，结合对立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意得
因为函数在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以，即实数的最小值为-2.
故答案为：A
【分析】首先对函数求导，由导数的性质即可得出函数的单调性，再由分离参数法结合函数的单调性即可得出a的取值范围，从而得出a的最小值。
8．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】当时，，而，故；
当时，，而，故；
当时，，而，故；
所以上递减；上递增，
则、分别是的极小值点、极大值点.
A、C、D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B
【分析】首先由已知的图象即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数极值的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】B,D
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，所以.
对于A，的平均数为，A不符合题意；
对于B，若变量的经验回归方程是，则，B符合题意；
对于C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于-1），C不符合题意；
对于D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据题意由参考公式代入数值，结合平均数公式、线性回归方程的性质以及线性相关系数的性质、独立检测试验的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由，得n＝5，A符合题意．令x＝0，得，B符合题意．因为n＝5，所以，C不符合题意．令x＝－1，得，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合已知条件计算出n的取值，然后由二项式系数的性质，结合组合数公式计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A符合题意；
对于B，由A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B符合题意；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C不符合题意；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D不符合题意．
故答案为：AB.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,B,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，
将与联立求得交点为，则，即，A符合题意．
易知为单调递增函数，因为，，由零点存在性定理可知，B符合题意．
易知为单调递减函数，，，由零点存在性定理可知．
因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C不符合题意．
因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】根据题意由反函数的定义和性质，结合对数函数和指数函数的图象和性质，由韦达定理以及对数的运算性质，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】24
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式中的常数项为．
故答案为：24.
【分析】由已知条件结合二项展开式的通项公式，结合组合数公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，
所以，
所以，又，
所以所求切线方程为，即y=2x.
故答案为：y=2x
【分析】根据题意对函数求导，把点的坐标代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程。
15．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件为该学生是高二年级学生，
，
，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意由概率乘法公式计算出各个事件的概率，再由条件概率公式代入数值计算出结果即可。
16．【答案】12
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】质量在之外的概率为，
所以，则，则，又，故的最小值为12.
故答案为：12
【分析】由已知条件结合正态分布的数据，计算出结果然后与标准值进行比较，由此得出满足题意的k的取值范围，从而得出k的最小值。
17．【答案】（1）解：若选①，，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，因为，所以，所以.
若选②因为，由正弦定理可得，
整理得，
又，
所以.
又因为，可得，所以，
又，所以.
若选③，由，
得，
由正弦定理得，整理得，
所以，又，所以.
（2）解：因为，由余弦定理得，
又，所以，即，解得，
则的面积.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选① ，首先由正弦定理整理化简已知条件结合两角和的余弦公式，代入数值计算出coaA的取值，从而得出角A的大小。 若选② ，由正弦定理整理化简原式然后由两角和的余弦公式，计算出cosA的取值，由此得出角A的取值。 若选③ 首先整理化简原式再由正弦定理，计算出a、b、c之间的关系，并代入到余弦定理由此计算出cosA的取值，从而得出角A的大小。
(2)由(1)的结论结合余弦定理代入数值计算出bc的取值，并代入到三角形面积公式由此计算出结果。
18．【答案】（1）解：因为，所以，
当时，，
由于满足，所以的通项公式为，
因为数列是公差为的等差数列，，
所以，所以；
（2）解：因为，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式整理化简即可得出数列从而求出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得出数列前n项和。
19．【答案】（1）解：列联表如下：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 285 300
女生 5 195 200
合计 20 480 500
零假设为
：选拔赛成绩与性别无关．
根据列联表，
得，
所以没有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）解：该学生参加选拔赛次数的可能取值为2，3，4．
，
，
．
故的分布列为
2 3 4
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合列联表的数据关系，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)由题意可得，该学生参加选拔赛次数ξ的可能取值为2， 3， 4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及数学期望．
20．【答案】（1）证明：由平面，平面，则.
又，点为的中点，所以.
由为的中点，则，即，
所以，即，又，面，
所以平面.
（2）解：由（1）得：，以点为坐标原点，以为轴，轴的正方向，以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为，所以，
故，，，，
设平面的法向量为，则，令，故.
设平面的法向量为，则，令，故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，利用平行的传递性即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值 。
21．【答案】（1）解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，
所以，
因为直线与椭圆相交于和两点，且，
所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，
联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：设，
若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，
消去得，则，
又，所以，且，即，则，
因为，
所以，整理得，
则，且恒成立，
所以，
又，且，
所以，即；
当直线的斜率不存在时，，又，解得，
所以
综上，的取值范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合椭圆的简单性质，把点的坐标代入到椭圆的方程整理化简即可得出关于a与b的方程求解出a与b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，并联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，再由韦达定理即可得出两根之和与两根之积的关于t和k的代数式，并代入到数量积的坐标公式整理化简结合二次函数的图象和性质即可得出数量积的取值范围，结合数量积的坐标公式由整体思想即可得出结果。
22．【答案】（1）解：的定义域为，
（）．
①当时，，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
②当时，因为的判别式，
所以有两正根，，且．
令，得或；
令，得．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：因为，所以（）．
设，
则．
当时，因为，，
令，
则．
令，因为，则，所以在上单调递增，
又，所以，则，所以在上单调递增，
又，所以，则在上单调递增．
又，所以，则．
因为，，所以．
又，
所以在上单调递减，所以，整理得．
又当时，令，则，
所以在上单调递增，，则在上单调递增，所以．
故．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意整理化简函数的解析式，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合函数的单调性即可得出结果。
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