广西百色市2021-2022学年高二下学期理数期末教学质量调研测试试卷

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广西百色市2021-2022学年高二下学期理数期末教学质量调研测试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·百色期末）在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，它所对应的复平面内的点为.
故答案为：A.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的概念即可得出答案。
2．（2022高二下·百色期末）某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲 乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（　　）
A．16 B．24 C．12 D．36
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】甲先从4门课程选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲 乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为种.
故答案为：B.
【分析】由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
3．（2020高二下·赣县月考）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】当 时， ，即点 在曲线 上． 则 在点 处的切线方程为 ，即 ．故选C．
【分析】先判定点 是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
4．（2022·咸阳模拟）飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，
，
甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：
．
故答案为：D．
【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.
5．（2022高二下·赣州期中）《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：按照规律，若具有“穿墙术”，则n的值为（　　）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【知识点】算法思想的历程
【解析】【解答】∵，
，
，
，
则，
故答案为：B．
【分析】根据题意由 “穿墙术” 的定义，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
6．（2019高二下·宜春期中）计算 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】定积分；定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】 ，
由 的几何意义表示以原点为圆心，以2为半径的圆面积的 ，
∴
故答案为：B．
【分析】由定积分的运算，得到 ，根据定积分的几何意义，即可求得答案．
7．（2022高二下·百色期末）关于的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（　　）
A．展开式中二项式系数之和为32
B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第3项
D．展开式中系数最大的项为第4项
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中共有7项，所以，
A：所有项的二项式系数和为，A不正确；
B：令，则，所以所有项的系数的和为1，B符合题意；
C：二项式系数最大的项为第4项，C不正确；
D：二项式的展开式的通项为，
故系数为，系数的最大项只从中选择，
当时，当时，当时，当时，
故当时系数最大，所以展开式中系数最大的项为第3项，D不正确.
故答案为：B
【分析】首先由二项展开式的通项公式求出通项公式，再由二项式的系数的性质结合组合公式，代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
8．（2022高二下·百色期末）已知随机变量X服从，若，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】根据题意由正态分布的公式，代入数值计算出结果即可。
9．（2021高二下·重庆月考）给出下列说法：
①回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于①中，回归直线 恒过样本点的中心 ，但不一定过一个样本点，所以不正确；
对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1，所以是正确的；
对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；
对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位，所以是正确的.
故答案为：B.
【分析】 由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；进而得出答案。
10．（2022高二下·百色期末）某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（　　）
A．24种 B．14种 C．12种 D．8种
【答案】C
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先把4名数学教师平均分为2组，有种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.
故答案为：C.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
11．（2019高二下·珠海期中）如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则 ．类比以上性质，体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】解：面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，
此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，
所以由等面积法得， ，
因为 ，
，
所以 ，
即 ，
故在平面凸四边形中，求解此结论的过程中运用了等面积法求解，
类比上述性质，在三棱锥中，则应使用等体积法求解，
三棱锥的体积为 ，
因为体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，
由等体积法有， ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故选D.
【分析】平面凸四边形中的结论是根据等面积法得到，类比以上性质，在三棱锥中根据等体积法求解 的值.
12．（2022高二下·百色期末）设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，函数单调递增；当时，，则时，，
所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图：
因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时
函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据题意由对数函数和指数函数的图象和性质，即可得出函数的f(x)的图象然后由数形结合法以及函数零点的定义，即可得出b的取值范围。
二、填空题
13．（2020高三上·上海期中） 的展开式中的常数项是：　 　．(请用数字作答)
【答案】-20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 ，
令 ，则 ，
所以常数项为 ．
【分析】根据题意由二项式定理的通项公式，令x的次数为零即可求出r的值并代入到通项公式计算出结果即可。
14．（2022高二下·百色期末）随机变量，若，则　 　.
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】 首先由分布中的数据计算出P的取值，再由方差公式代入数值计算出结果即可。
15．（2022高二下·百色期末）2020年初，我国派出医疗小组援助相关国家，现有四个医疗小组甲 乙 丙 丁，有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件“小组甲独自去一个国家”，则　 　.
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：依题意，，
所以.
故答案为：
【分析】首先由已知条件结合排列组合数公式计算出各个事件的个数以及对应的概率取值，并代入到条件概率公式由此计算出结果。
16．（2022高二下·百色期末）已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，故，在上单调递增，
又为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
所以在单调递减，
又，则，；
要解不等式，
则①当时，即，，所以；
②当时，即，，所以；
综上所述.
故答案为：
【分析】根据题意对函数求导，由已知条件结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合不等式的解法求解出x的取值范围，从而得到不等式的解集。
三、解答题
17．（2022高二下·百色期末）已知复数，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）解：由题可得：，
所以
（2）解：因为
所以.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
(2)根据题意由复数代数形式的运算性质整理，由此即可得出答案。
18．（2022高二下·百色期末）已知函数.
（1）求的极大值；
（2）若在上的最大值为28，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以的定义域为，，由解或，
由解得，∴变化时，的变化情况如下表：
-3 1
+ 0 0 +
单调递增 28 单调递减 -4 单调递增
所以当时，有极大值.
（2）解：由（1）知在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
且，，因为在上的最大值为28，所以的取值范围.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值结合后函数极值的定义，即可得出答案。
(2)由(1)的结论，由函数的单调性即可得出函数的最值，由已知条件利用分离参数法，整理化简即可得出k的取值范围。
19．（2022高二下·百色期末）对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成的人数如下表.
月收入
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
附：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）若以月收入45百元为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为赞成“楼市限购政策”与月收入有关；
月收入低于45百元的人数 月收入不低于45百元的人数 合计
赞成 　 　 　
不赞成 　 　 　
合计 　 　 　
（2）若从月收入在和内的被调查人群中按照分层随机抽样的方法选取6人进行追踪调查，并从中选取3人作问卷调查，求3人中至少有1人月收入在内的概率.
【答案】（1）解：根据条件得2×2列联表：
月收入低于45百元的人数 月收入不低于45百元的人数 合计
赞成 27 10 37
不赞成 3 10 13
合计 30 20 50
所以，所以有97.5%的把握认为赞成“楼市限购政策”与月收入有关.
（2）解：按照分层随机抽样的方法可知从月收入在和内的被调查人群中应抽取的人数分别为，.
从6人中任取3人的情况有（种），其中3人中至少有1人月收入在内的情况有（种）.
记“3人中至少有1人月收入在内”为事件，则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；概率的基本性质
【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。
(2)根据题意由频率的定义结合已知条件计算出结果，然后由已知条件并代入到概率公式由此计算出结果。
20．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【知识点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
21．（2022·河南三模）某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关.
（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；
（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.
【答案】（1）解：由题意可知，的可能取值有2000、20000、70000，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
2000 20000 70000
0.4 0.36 0.24
（2）解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，
甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，
由题意可知，随机变量的可能取值有：2000、50000、70000，
则，，
，
所以，（元），
（元），
所以，，
所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可得X的可能取值，再由独立事件同时发生计算概率即可求解；
（2） 记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，同（1）求得期望即可比较大小。
22．（2022高二下·百色期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）解：因为，故，即，
即故，
设，，由（1）可知不妨设，.
设，则，
则即，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立.
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的单调区间。
(2)首先整理化简原式，结合函数单调性的定义由对数的运算性质整理化简，并构造函数再对函数求导由导函数的性质，即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得证出函数的最值，结合题意由函数的单调性即可得出不等式，整理化简由此即可得证出结论。
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广西百色市2021-2022学年高二下学期理数期末教学质量调研测试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·百色期末）在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·百色期末）某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲 乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（　　）
A．16 B．24 C．12 D．36
3．（2020高二下·赣县月考）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·咸阳模拟）飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·赣州期中）《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：按照规律，若具有“穿墙术”，则n的值为（　　）
A．62 B．63 C．64 D．65
6．（2019高二下·宜春期中）计算 （　　）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·百色期末）关于的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（　　）
A．展开式中二项式系数之和为32
B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第3项
D．展开式中系数最大的项为第4项
8．（2022高二下·百色期末）已知随机变量X服从，若，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
9．（2021高二下·重庆月考）给出下列说法：
①回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④
10．（2022高二下·百色期末）某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（　　）
A．24种 B．14种 C．12种 D．8种
11．（2019高二下·珠海期中）如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则 ．类比以上性质，体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·百色期末）设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020高三上·上海期中） 的展开式中的常数项是：　 　．(请用数字作答)
14．（2022高二下·百色期末）随机变量，若，则　 　.
15．（2022高二下·百色期末）2020年初，我国派出医疗小组援助相关国家，现有四个医疗小组甲 乙 丙 丁，有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件“小组甲独自去一个国家”，则　 　.
16．（2022高二下·百色期末）已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是　 　.
三、解答题
17．（2022高二下·百色期末）已知复数，.
（1）求；
（2）求.
18．（2022高二下·百色期末）已知函数.
（1）求的极大值；
（2）若在上的最大值为28，求的取值范围.
19．（2022高二下·百色期末）对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成的人数如下表.
月收入
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
附：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）若以月收入45百元为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为赞成“楼市限购政策”与月收入有关；
月收入低于45百元的人数 月收入不低于45百元的人数 合计
赞成 　 　 　
不赞成 　 　 　
合计 　 　 　
（2）若从月收入在和内的被调查人群中按照分层随机抽样的方法选取6人进行追踪调查，并从中选取3人作问卷调查，求3人中至少有1人月收入在内的概率.
20．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
21．（2022·河南三模）某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为0.6、0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关.
（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；
（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.
22．（2022高二下·百色期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，它所对应的复平面内的点为.
故答案为：A.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的概念即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】甲先从4门课程选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲 乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为种.
故答案为：B.
【分析】由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】当 时， ，即点 在曲线 上． 则 在点 处的切线方程为 ，即 ．故选C．
【分析】先判定点 是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
4．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，
，
甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：
．
故答案为：D．
【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.
5．【答案】B
【知识点】算法思想的历程
【解析】【解答】∵，
，
，
，
则，
故答案为：B．
【分析】根据题意由 “穿墙术” 的定义，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
6．【答案】B
【知识点】定积分；定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】 ，
由 的几何意义表示以原点为圆心，以2为半径的圆面积的 ，
∴
故答案为：B．
【分析】由定积分的运算，得到 ，根据定积分的几何意义，即可求得答案．
7．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中共有7项，所以，
A：所有项的二项式系数和为，A不正确；
B：令，则，所以所有项的系数的和为1，B符合题意；
C：二项式系数最大的项为第4项，C不正确；
D：二项式的展开式的通项为，
故系数为，系数的最大项只从中选择，
当时，当时，当时，当时，
故当时系数最大，所以展开式中系数最大的项为第3项，D不正确.
故答案为：B
【分析】首先由二项展开式的通项公式求出通项公式，再由二项式的系数的性质结合组合公式，代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】根据题意由正态分布的公式，代入数值计算出结果即可。
9．【答案】B
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于①中，回归直线 恒过样本点的中心 ，但不一定过一个样本点，所以不正确；
对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1，所以是正确的；
对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；
对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位，所以是正确的.
故答案为：B.
【分析】 由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；进而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先把4名数学教师平均分为2组，有种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.
故答案为：C.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
11．【答案】D
【知识点】类比推理
【解析】【解答】解：面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，
此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，
所以由等面积法得， ，
因为 ，
，
所以 ，
即 ，
故在平面凸四边形中，求解此结论的过程中运用了等面积法求解，
类比上述性质，在三棱锥中，则应使用等体积法求解，
三棱锥的体积为 ，
因为体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，
由等体积法有， ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故选D.
【分析】平面凸四边形中的结论是根据等面积法得到，类比以上性质，在三棱锥中根据等体积法求解 的值.
12．【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，函数单调递增；当时，，则时，，
所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图：
因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时
函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据题意由对数函数和指数函数的图象和性质，即可得出函数的f(x)的图象然后由数形结合法以及函数零点的定义，即可得出b的取值范围。
13．【答案】-20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 ，
令 ，则 ，
所以常数项为 ．
【分析】根据题意由二项式定理的通项公式，令x的次数为零即可求出r的值并代入到通项公式计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】 首先由分布中的数据计算出P的取值，再由方差公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：依题意，，
所以.
故答案为：
【分析】首先由已知条件结合排列组合数公式计算出各个事件的个数以及对应的概率取值，并代入到条件概率公式由此计算出结果。
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，故，在上单调递增，
又为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
所以在单调递减，
又，则，；
要解不等式，
则①当时，即，，所以；
②当时，即，，所以；
综上所述.
故答案为：
【分析】根据题意对函数求导，由已知条件结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合不等式的解法求解出x的取值范围，从而得到不等式的解集。
17．【答案】（1）解：由题可得：，
所以
（2）解：因为
所以.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
(2)根据题意由复数代数形式的运算性质整理，由此即可得出答案。
18．【答案】（1）解：因为，所以的定义域为，，由解或，
由解得，∴变化时，的变化情况如下表：
-3 1
+ 0 0 +
单调递增 28 单调递减 -4 单调递增
所以当时，有极大值.
（2）解：由（1）知在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
且，，因为在上的最大值为28，所以的取值范围.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值结合后函数极值的定义，即可得出答案。
(2)由(1)的结论，由函数的单调性即可得出函数的最值，由已知条件利用分离参数法，整理化简即可得出k的取值范围。
19．【答案】（1）解：根据条件得2×2列联表：
月收入低于45百元的人数 月收入不低于45百元的人数 合计
赞成 27 10 37
不赞成 3 10 13
合计 30 20 50
所以，所以有97.5%的把握认为赞成“楼市限购政策”与月收入有关.
（2）解：按照分层随机抽样的方法可知从月收入在和内的被调查人群中应抽取的人数分别为，.
从6人中任取3人的情况有（种），其中3人中至少有1人月收入在内的情况有（种）.
记“3人中至少有1人月收入在内”为事件，则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；概率的基本性质
【解析】【分析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。
(2)根据题意由频率的定义结合已知条件计算出结果，然后由已知条件并代入到概率公式由此计算出结果。
20．【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【知识点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
21．【答案】（1）解：由题意可知，的可能取值有2000、20000、70000，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
2000 20000 70000
0.4 0.36 0.24
（2）解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，
甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，
由题意可知，随机变量的可能取值有：2000、50000、70000，
则，，
，
所以，（元），
（元），
所以，，
所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可得X的可能取值，再由独立事件同时发生计算概率即可求解；
（2） 记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，同（1）求得期望即可比较大小。
22．【答案】（1）解：函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）解：因为，故，即，
即故，
设，，由（1）可知不妨设，.
设，则，
则即，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立.
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的单调区间。
(2)首先整理化简原式，结合函数单调性的定义由对数的运算性质整理化简，并构造函数再对函数求导由导函数的性质，即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得证出函数的最值，结合题意由函数的单调性即可得出不等式，整理化简由此即可得证出结论。
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