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广西河池市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·河池期末）解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
2．（2022高二下·河池期末）已知复数，则的实部是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2022高二下·河池期末）用反证法证明命题时，对结论：“自然数，，中至少有一个是奇数”正确的假设为（ ）
A．，，都是偶数
B．，，都是奇数
C．，，中至少有两个奇数
D．，，中至少有两个偶数或都是奇数
4．（2022高二下·河池期末）新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据：
月份代码 1 2 3 4 5
碳酸锂价格（万元/kg） 0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为，则（ ）
A．0.16 B．0.18 C．0.30 D．0.32
5．（2022高二下·河池期末）已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.75，在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.64，则感染该病毒且确诊的概率是（ ）
A．0.40 B．0.45 C．0.48 D．0.50
6．（2022高二下·河池期末）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（ ）
附：随机变量服从正态分布，则
A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%
7．（2022高二下·河池期末）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2022高二下·河池期末）设复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·河池期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位偶数共有（ ）
A．56个 B．60个 C．66个 D．72个
10．（2022高二下·河池期末）“”是“函数为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2022高二下·河池期末）在某独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高二下·河池期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则实数所在的区间为（，）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二下·河池期末）已知为虚数单位，复数，则 .
14．（2022高二下·河池期末）定积分的值为 .
15．（2022高二下·河池期末）观察如图的数阵，根据数阵排列的规律，则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是 .
16．（2022高二下·河池期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
三、解答题
17．（2022高二下·河池期末）在的展开式中，求：
（1）含的项；
（2）展开式中的常数项.
18．（2022高二下·河池期末）为调查学生近视情况，某教育主管部门从甲、乙两所学校各抽取200名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表：
近视人数 非近似人数 合计
甲校 80 120 200
乙校 60 140 200
合计 140 260 400
附：，其中.
0.050 0.10 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）分别估计甲，乙两所学校学生近视的概率；
（2）能否有95%的把握认为近视人数与不同的学校有关？
19．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
20．（2022高二下·河池期末）某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：“在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3．每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券．然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖．”
（1）记随机变量为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由．
21．（2022高二下·河池期末）设为实数，函数，.
（1）若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；
（2）对于，，都有，试求实数的取值范围.
22．（2022高二下·河池期末）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为.
（1）求直线的一般式方程和椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆上的任意一点，求点到直线的距离的最小值.
23．（2022高二下·河池期末）已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集包含集合，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）.
故答案为：B.
【分析】由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由，可得复数的实部为-1.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用反证法，则需假设“自然数，，都不是奇数”，即“自然数，，都是偶数”，
故答案为：A.
【分析】利用反证法，结合数的性质分析即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表中数据可得，，
则其样本点的中心为，代入线性回归方程得，解之得，
故答案为：A.
【分析】首先由线性回归方程代入数值计算出样本中心点的坐标，再把结果代入到线性回归方程，由此计算出结果即可。
5．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“感染该病毒”为事件，“确诊“为事件，则，，所以.即感染该病毒且确诊的概率是0.48.
故答案为：C.
【分析】首先由已知条件即可得出概率的取值，并代入到条件概率公式由此计算出结果。
6．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由正态分布的定义，为期望值，为方差，
A：该校学生成绩的均值为70.判断错误；
B：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
C：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
D：该校学生成绩及格率，判断正确.
故答案为：D.
【分析】首先由正态分布的数据代入数值，由平均值和标准差公式，代入数值计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，，，解得，
，
.
故答案为：C.
【分析】首先由概率公式计算出c的取值，再由期望和方差公式，代入数值计算出结果即可。
8．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，A不符合题意；，C不符合题意；.B符合题意，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，结合共轭复数的定义整理化简，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】①末位是0时，满足条件的偶数有个；
②末位不是0时，满足条件的偶数有个.
满足条件的四位偶数的个数为，
故答案为：B.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
10．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】若函数单调递增，有恒成立，
可得，解得：，
因为，但，
所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】首先度函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出a的取值范围，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
11．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，，所以.A不符合题意；
因为，，.B不符合题意；
因为，独立，所以，所以.C符合题意；
因为，，所以.D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意由期望和方差的性质，结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由求导得：，有，而，因此切线的方程为，
设与曲线相切的切点为，求导得，则，解得，
而，于是有，即，显然，有，
令，，，即函数在上单调递增，
，因此，，使得，显然a是的零点，
所以实数所在的区间为.
故答案为：C
【分析】由已知条件结合导函数与切线的关系，对函数求导并把点的坐标代入计算出切线的斜率，结合题意构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数零点存在性定理代入数值计算出结果，由此得出答案。
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
14．【答案】2
【知识点】定积分
【解析】【解答】.
故答案为：2
【分析】由定积分的运算性质，结合题意计算出结果即可。
15．【答案】1041
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】该数阵是由从1开始的正奇数构成的，
第1行有个数，第2行有个数，第3行有个数，
第4行有个数，故第行有个数，故第1行到第9行共有（个）数，
则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是从1开始的第个奇数，
故该数为.
故答案为：1041
【分析】由已知条件结合数阵的排列规律，结合题意由数列的定义整理化简计算出结果，再由等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式
【解析】【解答】解：依题意可得在上恒成立，
令，，则，
令，，即在定义域上单调递增，
又，，所以存在使得，即，
所以当时，当时，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，可得，
故实数的取值范围为.
故答案为：
【分析】利用分离参数法即可得出关于a的不等式，再构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，由此得出a的取值范围。
17．【答案】（1）解：展开式中的第项为，
其中，令，可得，
故含的项为；
（2）解：令，可得，
故展开式中常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)首先根据题意求出二项展开式的通项公式，再由已知条件计算出r的取值，并把结果代入通项公式计算出结果即可。
(2)由已知条件计算出r的取值，再把结果代入到通项公式计算出结果，从而得出答案。
18．【答案】（1）解：由表格数据得，甲校学生近视的概率是，
乙校学生近视的概率是；
（2）解：由题意可得的观测值为，
所以有95%的把握认为近似人数与不同的学校有关.
【知识点】独立性检验；概率的基本性质
【解析】【分析】(1)根据题意把图表中的数值代入到概率公式，由此计算出结果。
(2)由已知条件把数值代入到 参考公式，由此计算出结果再与标准值进行比较即可得出结论。
19．【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【知识点】数学归纳法；数学归纳法的证明步骤
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
20．【答案】（1）解：由题意可知随机变量的可能取值为、、，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
（2）解：由（1）可得，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动；
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
(2)由(1)的结论再与标准值进行比较，由此即可得出答案。
21．【答案】（1）解：，
由，解得或；由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
若函数与轴有三个不同交点，则，解得，
所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为；
（2）解：对于，，都有，则，
由（1）知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，又，，
故当时，
因为，且，则，
故函数在上单调递减，故，
由题意可得，故.
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，然后由函数单调性即可得出函数的最值，结合题意即可得出满足题意的答案。
(2)结合题意由已知条件即可得出函数的最值，然后由函数的单调性结合已知条件即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得出a的取值范围。
22．【答案】（1）解：在直线的参数方程中消去参数，可得，可化为，
椭圆的极坐标方程可化为，将，代入上面的极坐标方程，可得，可化为，
故直线的一般式方程为，椭圆的标准方程为；
（2）解：设椭圆的参数方程为（为参数），点对应的参数为，
可得点的坐标为，
点到直线的距离为
，其中
可得当时，，
故点到直线的距离的最小值为.
【知识点】点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)首先整理直线的方程，再由极坐标和普通方程互化关系，整理化简即可得出椭圆的方程。
(2)根据题意把点的坐标代入到点到直线的距离公式，整理化简由两角和的正弦公式，由正弦函数的单调性即可得出距离的最小值。
23．【答案】（1）解：①当时，不等式可化为，可得；
②当时，不等式可化为，可得，舍去；
③当时，不等式可化为，可得.
由上知，关于的不等式的解集为；
（2）解：若关于的不等式的解集包含集合，
可知当时，关于的不等式恒成立，
即当时，恒成立，
则当时，或恒成立，
则当时，或恒成立，则有或，
故实数的取值范围为或.
【知识点】不等式；绝对值不等式
【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后由不等式的解法求解出x的取值范围，从而得出不等式的解集。
(2)结合x的取值范围由绝对值的几何意义，整理化简即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，然后由已知条件把各种情况下的a的取值范围并起来即可得出答案。
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广西河池市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·河池期末）解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）.
故答案为：B.
【分析】由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
2．（2022高二下·河池期末）已知复数，则的实部是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由，可得复数的实部为-1.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
3．（2022高二下·河池期末）用反证法证明命题时，对结论：“自然数，，中至少有一个是奇数”正确的假设为（ ）
A．，，都是偶数
B．，，都是奇数
C．，，中至少有两个奇数
D．，，中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用反证法，则需假设“自然数，，都不是奇数”，即“自然数，，都是偶数”，
故答案为：A.
【分析】利用反证法，结合数的性质分析即可得出答案。
4．（2022高二下·河池期末）新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据：
月份代码 1 2 3 4 5
碳酸锂价格（万元/kg） 0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为，则（ ）
A．0.16 B．0.18 C．0.30 D．0.32
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表中数据可得，，
则其样本点的中心为，代入线性回归方程得，解之得，
故答案为：A.
【分析】首先由线性回归方程代入数值计算出样本中心点的坐标，再把结果代入到线性回归方程，由此计算出结果即可。
5．（2022高二下·河池期末）已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.75，在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.64，则感染该病毒且确诊的概率是（ ）
A．0.40 B．0.45 C．0.48 D．0.50
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“感染该病毒”为事件，“确诊“为事件，则，，所以.即感染该病毒且确诊的概率是0.48.
故答案为：C.
【分析】首先由已知条件即可得出概率的取值，并代入到条件概率公式由此计算出结果。
6．（2022高二下·河池期末）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（ ）
附：随机变量服从正态分布，则
A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由正态分布的定义，为期望值，为方差，
A：该校学生成绩的均值为70.判断错误；
B：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
C：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
D：该校学生成绩及格率，判断正确.
故答案为：D.
【分析】首先由正态分布的数据代入数值，由平均值和标准差公式，代入数值计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2022高二下·河池期末）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，，，解得，
，
.
故答案为：C.
【分析】首先由概率公式计算出c的取值，再由期望和方差公式，代入数值计算出结果即可。
8．（2022高二下·河池期末）设复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，A不符合题意；，C不符合题意；.B符合题意，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，结合共轭复数的定义整理化简，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．（2022高二下·河池期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位偶数共有（ ）
A．56个 B．60个 C．66个 D．72个
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】①末位是0时，满足条件的偶数有个；
②末位不是0时，满足条件的偶数有个.
满足条件的四位偶数的个数为，
故答案为：B.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
10．（2022高二下·河池期末）“”是“函数为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】若函数单调递增，有恒成立，
可得，解得：，
因为，但，
所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】首先度函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出a的取值范围，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
11．（2022高二下·河池期末）在某独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，，所以.A不符合题意；
因为，，.B不符合题意；
因为，独立，所以，所以.C符合题意；
因为，，所以.D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意由期望和方差的性质，结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2022高二下·河池期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则实数所在的区间为（，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由求导得：，有，而，因此切线的方程为，
设与曲线相切的切点为，求导得，则，解得，
而，于是有，即，显然，有，
令，，，即函数在上单调递增，
，因此，，使得，显然a是的零点，
所以实数所在的区间为.
故答案为：C
【分析】由已知条件结合导函数与切线的关系，对函数求导并把点的坐标代入计算出切线的斜率，结合题意构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数零点存在性定理代入数值计算出结果，由此得出答案。
二、填空题
13．（2022高二下·河池期末）已知为虚数单位，复数，则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
14．（2022高二下·河池期末）定积分的值为 .
【答案】2
【知识点】定积分
【解析】【解答】.
故答案为：2
【分析】由定积分的运算性质，结合题意计算出结果即可。
15．（2022高二下·河池期末）观察如图的数阵，根据数阵排列的规律，则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是 .
【答案】1041
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】该数阵是由从1开始的正奇数构成的，
第1行有个数，第2行有个数，第3行有个数，
第4行有个数，故第行有个数，故第1行到第9行共有（个）数，
则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是从1开始的第个奇数，
故该数为.
故答案为：1041
【分析】由已知条件结合数阵的排列规律，结合题意由数列的定义整理化简计算出结果，再由等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
16．（2022高二下·河池期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式
【解析】【解答】解：依题意可得在上恒成立，
令，，则，
令，，即在定义域上单调递增，
又，，所以存在使得，即，
所以当时，当时，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，可得，
故实数的取值范围为.
故答案为：
【分析】利用分离参数法即可得出关于a的不等式，再构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，由此得出a的取值范围。
三、解答题
17．（2022高二下·河池期末）在的展开式中，求：
（1）含的项；
（2）展开式中的常数项.
【答案】（1）解：展开式中的第项为，
其中，令，可得，
故含的项为；
（2）解：令，可得，
故展开式中常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)首先根据题意求出二项展开式的通项公式，再由已知条件计算出r的取值，并把结果代入通项公式计算出结果即可。
(2)由已知条件计算出r的取值，再把结果代入到通项公式计算出结果，从而得出答案。
18．（2022高二下·河池期末）为调查学生近视情况，某教育主管部门从甲、乙两所学校各抽取200名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表：
近视人数 非近似人数 合计
甲校 80 120 200
乙校 60 140 200
合计 140 260 400
附：，其中.
0.050 0.10 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）分别估计甲，乙两所学校学生近视的概率；
（2）能否有95%的把握认为近视人数与不同的学校有关？
【答案】（1）解：由表格数据得，甲校学生近视的概率是，
乙校学生近视的概率是；
（2）解：由题意可得的观测值为，
所以有95%的把握认为近似人数与不同的学校有关.
【知识点】独立性检验；概率的基本性质
【解析】【分析】(1)根据题意把图表中的数值代入到概率公式，由此计算出结果。
(2)由已知条件把数值代入到 参考公式，由此计算出结果再与标准值进行比较即可得出结论。
19．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【知识点】数学归纳法；数学归纳法的证明步骤
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
20．（2022高二下·河池期末）某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：“在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3．每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券．然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖．”
（1）记随机变量为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知随机变量的可能取值为、、，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
所以；
（2）解：由（1）可得，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动；
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
(2)由(1)的结论再与标准值进行比较，由此即可得出答案。
21．（2022高二下·河池期末）设为实数，函数，.
（1）若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围；
（2）对于，，都有，试求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，
由，解得或；由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
若函数与轴有三个不同交点，则，解得，
所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为；
（2）解：对于，，都有，则，
由（1）知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，又，，
故当时，
因为，且，则，
故函数在上单调递减，故，
由题意可得，故.
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，然后由函数单调性即可得出函数的最值，结合题意即可得出满足题意的答案。
(2)结合题意由已知条件即可得出函数的最值，然后由函数的单调性结合已知条件即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，从而得出a的取值范围。
22．（2022高二下·河池期末）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为.
（1）求直线的一般式方程和椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆上的任意一点，求点到直线的距离的最小值.
【答案】（1）解：在直线的参数方程中消去参数，可得，可化为，
椭圆的极坐标方程可化为，将，代入上面的极坐标方程，可得，可化为，
故直线的一般式方程为，椭圆的标准方程为；
（2）解：设椭圆的参数方程为（为参数），点对应的参数为，
可得点的坐标为，
点到直线的距离为
，其中
可得当时，，
故点到直线的距离的最小值为.
【知识点】点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)首先整理直线的方程，再由极坐标和普通方程互化关系，整理化简即可得出椭圆的方程。
(2)根据题意把点的坐标代入到点到直线的距离公式，整理化简由两角和的正弦公式，由正弦函数的单调性即可得出距离的最小值。
23．（2022高二下·河池期末）已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集包含集合，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：①当时，不等式可化为，可得；
②当时，不等式可化为，可得，舍去；
③当时，不等式可化为，可得.
由上知，关于的不等式的解集为；
（2）解：若关于的不等式的解集包含集合，
可知当时，关于的不等式恒成立，
即当时，恒成立，
则当时，或恒成立，
则当时，或恒成立，则有或，
故实数的取值范围为或.
【知识点】不等式；绝对值不等式
【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，然后由不等式的解法求解出x的取值范围，从而得出不等式的解集。
(2)结合x的取值范围由绝对值的几何意义，整理化简即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，然后由已知条件把各种情况下的a的取值范围并起来即可得出答案。
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