相似三角形复习课
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课件42张PPT。相似三角形1.相似图形 ——形状相同的图形回顾：相似多边形性质2．相似多边形的性质与判定：３.相似比——相似多边形对应边的比(顺序性)
判断题
（1）两个菱形一定相似 。 （ ）
（2）两个菱形，若最大角相等，则一定相似（ ）
（3）两个矩形一定相似 。 （ ）
（4）两个正方形一定相似。 （ ）
（5）两个正三角形一定相似。 （ ）
（6）有一个角相等的两个平行四边形 （ ）
（7）所有正六边形都相似。 （ )√ ××√ √ ×√ （8）所有的直角三角形都相似（ ） ×正n边形都是相似图形1、已知A4纸的宽度为21cm，如图将其对折后，所得的矩形都和原来的矩形相似，求A4纸的长度。21cmx0.5x21cm解：∵对折后矩形和原来的矩形相似∴解得：2、现有一长为30cm，宽为15cm的矩形奔马图，在其四周表上宽为2cm的木质边框。那么内外边缘所成的矩形相似吗？30cm15cm34cm19cm问题：现有一长为30cm，宽为15cm的矩形奔马图，请动手设计边框，使所得内外边缘所成的矩形相似。利用相似比，扩大相同的倍数相似三角形的———————, 各对应边——————。对应角相等 成比例1.三角形相似的判定方法有那些？AASASSSS2. 相似三角形的有哪些性质?还有哪些性质?预备定理:平行线构成的三角形与原三角形相似。定义:三个对应角相等，三条对应边的比相等。直角三角形特有：HL如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'从而C'得到：证明：∵⊿ABC～A′B′C′
∴∠B= ∠B′
又∵AD⊥BC, A′D′⊥B′C′
∴∠ADB= ∠A′D′B′=90°
∴⊿ABD～A′B′D′
∴已知：如图，△ABC∽ △A’B’C’, △ABC与△A’B’C’的相似比是k，AD、A’D’是对应高.
求证:如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边BC、B'C'上的中线，求证结论:相似三角形对应中线的比等于相似比结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比是多少？ABCA'B'C'D'D如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B'∴ △ABD∽△A'B'D'相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似多边形面积的比等于相似比的平方．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，
求△DEF的周长和面积．相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似比等于对应边的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方1.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍；
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。
（2）如图在等边三角形ABC中，点D、
E分别在AB、AC边上，且DE∥BC,
如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE
的周长等于_______cm。
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，
（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是—————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是__________。4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．经典例题1、已知：DE//BC,EF//DC,求证：2、已知： ，AD是∠A的角平分线，
求证： 如图，DE是△ABC的中位线， 表示△ADE的面积 ， 表示四边形DBCE的面积 ，则 = .面积问题如图，点E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE︰ED＝1︰2，CE与BD交于点O，则BO︰OD＝ ．相似比问题如图，DE//BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=16：25，则AD：DB= 。面积问题如图,E是矩形ABCD的边CD上的点,BE交AC于点O,已知△COE与△ BOC的面积分别为2和8,则四边形AOED的面积为?面积问题等高求底边比例点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．面积问题△ABC是一块锐角三角形余料BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。这个正方形零件的边长是多少？三角形内截图问题1.如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.你能画出几条符合条件的直线？
1EE2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.EEEE1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC．⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）
⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC
2.在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟?BPQ与?BAC相似？3.如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 设PD=x，则PB=14―x，
∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，
∴6： x =（14―x）: 4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp4.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？解:设高楼的高度为X米，则答:楼高36米.5.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?如图，已知：∠A＝∠BCD＝∠E＝90°，图中有无相似三角形？并说明理由． 中考热点：一线三等角如图，已知：∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，图中有无相似三角形？并说明理由． 如图，已知：∠A＝∠BCD＝∠E＝120°，图中有无相似三角形？并说明理由． 中考热点：一线三等角“K”型记住：一线三等角，等角容易找.中考热点：一线三等角1.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，
（1）试说明△ABD∽DCE
（2）求△ABC的边长. 3xx-32中考热点：一线三等角 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120 °，设AE=x，DF=y. 求y与x的函数表达式.6－xx6y中考热点：一线三等角3．等腰△ABC，AB＝AC，BC＝4,
∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转． （1）如图，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．试说明
①△BPE∽△CFP；
②若BE＝x,CF＝y,
写出y与x的函数关系式. 中考热点：一线三等角1.如图，在正方形ABCD中，E为AB边上的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF=90°，求GF的长. xx12中考热点：一线三等角
判断题
（1）两个菱形一定相似 。 （ ）
（2）两个菱形，若最大角相等，则一定相似（ ）
（3）两个矩形一定相似 。 （ ）
（4）两个正方形一定相似。 （ ）
（5）两个正三角形一定相似。 （ ）
（6）有一个角相等的两个平行四边形 （ ）
（7）所有正六边形都相似。 （ )√ ××√ √ ×√ （8）所有的直角三角形都相似（ ） ×正n边形都是相似图形1、已知A4纸的宽度为21cm，如图将其对折后，所得的矩形都和原来的矩形相似，求A4纸的长度。21cmx0.5x21cm解：∵对折后矩形和原来的矩形相似∴解得：2、现有一长为30cm，宽为15cm的矩形奔马图，在其四周表上宽为2cm的木质边框。那么内外边缘所成的矩形相似吗？30cm15cm34cm19cm问题：现有一长为30cm，宽为15cm的矩形奔马图，请动手设计边框，使所得内外边缘所成的矩形相似。利用相似比，扩大相同的倍数相似三角形的———————, 各对应边——————。对应角相等 成比例1.三角形相似的判定方法有那些？AASASSSS2. 相似三角形的有哪些性质?还有哪些性质?预备定理:平行线构成的三角形与原三角形相似。定义:三个对应角相等，三条对应边的比相等。直角三角形特有：HL如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'从而C'得到：证明：∵⊿ABC～A′B′C′
∴∠B= ∠B′
又∵AD⊥BC, A′D′⊥B′C′
∴∠ADB= ∠A′D′B′=90°
∴⊿ABD～A′B′D′
∴已知：如图，△ABC∽ △A’B’C’, △ABC与△A’B’C’的相似比是k，AD、A’D’是对应高.
求证:如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边BC、B'C'上的中线，求证结论:相似三角形对应中线的比等于相似比结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比是多少？ABCA'B'C'D'D如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B'∴ △ABD∽△A'B'D'相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似多边形面积的比等于相似比的平方．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，
求△DEF的周长和面积．相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似比等于对应边的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方1.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍；
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。
（2）如图在等边三角形ABC中，点D、
E分别在AB、AC边上，且DE∥BC,
如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE
的周长等于_______cm。
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，
（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是—————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是__________。4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．经典例题1、已知：DE//BC,EF//DC,求证：2、已知： ，AD是∠A的角平分线，
求证： 如图，DE是△ABC的中位线， 表示△ADE的面积 ， 表示四边形DBCE的面积 ，则 = .面积问题如图，点E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE︰ED＝1︰2，CE与BD交于点O，则BO︰OD＝ ．相似比问题如图，DE//BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=16：25，则AD：DB= 。面积问题如图,E是矩形ABCD的边CD上的点,BE交AC于点O,已知△COE与△ BOC的面积分别为2和8,则四边形AOED的面积为?面积问题等高求底边比例点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．面积问题△ABC是一块锐角三角形余料BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。这个正方形零件的边长是多少？三角形内截图问题1.如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.你能画出几条符合条件的直线？
1EE2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.EEEE1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC．⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）
⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC
2.在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟?BPQ与?BAC相似？3.如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 设PD=x，则PB=14―x，
∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，
∴6： x =（14―x）: 4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp4.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？解:设高楼的高度为X米，则答:楼高36米.5.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?如图，已知：∠A＝∠BCD＝∠E＝90°，图中有无相似三角形？并说明理由． 中考热点：一线三等角如图，已知：∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，图中有无相似三角形？并说明理由． 如图，已知：∠A＝∠BCD＝∠E＝120°，图中有无相似三角形？并说明理由． 中考热点：一线三等角“K”型记住：一线三等角，等角容易找.中考热点：一线三等角1.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，
（1）试说明△ABD∽DCE
（2）求△ABC的边长. 3xx-32中考热点：一线三等角 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120 °，设AE=x，DF=y. 求y与x的函数表达式.6－xx6y中考热点：一线三等角3．等腰△ABC，AB＝AC，BC＝4,
∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转． （1）如图，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．试说明
①△BPE∽△CFP；
②若BE＝x,CF＝y,
写出y与x的函数关系式. 中考热点：一线三等角1.如图，在正方形ABCD中，E为AB边上的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF=90°，求GF的长. xx12中考热点：一线三等角