数学人教A版2019必修第一册4.5 函数的应用（二）（共34张ppt）

(共34张PPT)
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的根
函数y=f(x) 方程f(x)=0的根 函数f(x)的零点 函数f(x)的图象与x轴的交点
y=x2-3x+2 x1=1, x2=2 1和2 (1,0) (2,0)
y=x+1 x1=x2=1 1 (1,0)
y=x2-2x+3 无实数根 无零点 无
y=2x-4 x=2 2 (2,0)
y=lg x x=1 1 (1,0)
y=3x-1 x=0 0 (0,0)
方程x2－4=0的根是2和-2
函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标是2和-2
函数f(x)=x2－4的零点是2和-2
1.函数零点的定义：方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点。
注：①零点是数，不是点。
如：函数f(x)=x2-2x-3的零点是-1和3；
函数f(x)=lgx的零点是1.
②
1.函数零点的定义
方程f(x)=0的根
函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标
函数f(x)的零点
(根的个数)
(零点个数)
(交点个数)
探究：常见函数的零点的共性
在端点a,b的函数值异号，即f (a)·f (b)<0
函数在区间[a,b]上有零点：
零点附近的区间[a,b]上的函数图象连续不断且“穿过”x轴(一上一下)
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，
且f (a)·f (b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有1个零点.
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0；此时c是方程f(x)=0的根.
2.函数零点存在定理
[判断1]对于函数y=x﹣1,在区间(-1,1)上,有f(-1)·f(1)<0,故函数在(-1,1)内有零点.( )
×
f(x)在(-1,1)上不连续
[判断2]若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
×
[判断3]若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a,b)内有1个零点.( )
×
【函数零点存在定理】
条件：①f(x)在[a,b]连续，②f (a)·f (b)<0
结论：函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点.
2.函数零点存在定理
①两个条件缺一不可；
若二缺一，则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点.
②其逆定理不成立.
即:若f(x)在(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0不一定成立.
在(a,b)上单调递增(减)
在(a,b)上只有1个零点
函数零点存在定理的运用1——判断零点所在区间
①已知函数y＝f(x),x∈R的图象连续不断，若f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定区间__________必有零点.
(1.25,1.5)
②据表中数据，可判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　)
A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
f(-1)=0.37-1<0
f(0)=1-2<0
f(1)=2.72-3<0
f(2)=7.39-4>0
f(3)=20.09-5>0
C
设f(x)=ex－(x+2)
函数零点存在定理的运用1——判断零点所在区间
[例1]方程ex－x－2＝0的根所在区间为( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
(法1)令f(x)=ex－x－2，
f(0)=e0－0－2=-1<0，
f(1)=e1－1－2=e－3<0，
f(2)=e2－2－2=e2－4>0.
(法2)ex－x－2＝0的根
ex=x－2的根
y=ex和y=x－2的交点横坐标
f(-2)=e-2+2－2=e-2>0，
f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0，
AD
画图
检验f(-2)·f(-1)<0
及f(1)·f(2)<0
函数零点存在定理的运用1——判断零点所在区间(画图法)
B
C
C
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
[例2]函数f(x)=ex+ln|x|的零点个数为______个.
2
1个
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
3
f(x)为偶函数
先画x>0的图象
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
[例3.1]若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间(－1,1)上存在1个零点，则a的取值范围是____.
[变式]若函数f(x)＝3ax2－2x＋1在区间(－1,1)上存在2个零点，
则a的取值范围是____.
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
一元二次方程
根的分布问题
一元二次方程根的分布问题①
两根与0比较(a>0)：
两个负根 两个正根 一正根一负根
两个负根 两个正根 一正根一负根
两根与0比较(a<0)：
开口系数±、△、
对称轴、临界点函数值±
一元二次方程根的分布问题②
两根与k比较(a>0)：
两根都 小于k 两根都 大于k 一根大于k
一根小于k
两根都 小于k 两根都 大于k 一根大于k
一根小于k
两根与k比较(a<0)：
开口系数±、△、
对称轴、临界点函数值±
一元二次方程根的分布问题③
两根在区间上的分布(a>0)：
两根都在(m,n)内 两根仅有一根在(m,n)内 一根在(m,n)内 一根在(p,q)内 x1n
开口系数±、△、
对称轴、临界点函数值±
检验另一根是否在(m,n)内
CD
>-1
>1
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
思考1：你能确定下列方程的解的个数及解所在区间吗？
思考2：你能求出上述函数f(x)的零点的准确值吗？
在24枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币？
“假币”的发现
第一次
假
假
第二次
第三次
第四次
思想:一分为二,逐步缩小范围,逼近准确值
思考1：你能确定下列方程的解的个数及解所在区间吗？
对于不能用代数运算求解的高次方程、对数方程、指数方程等，其数值解法随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，我们通常只能求其近似解.
思考2：你能求出上述函数f(x)的零点的准确值吗？
二分法：零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。
二分法求函数零点近似值
二分法求函数f(x)=lnx+2x-6的零点近似值
区间的一个端点
区间内任意一点
区间精确度为ε：
[练习1]用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0,72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4
B
[练习2]用二分法求方程2x+3x－7＝0在区间(1,3)内的实根,取区间中点x0＝2,则下一个有根区间是______.
(1,2)
二分法求函数零点近似值
区间左端点 函数值f(a) 区间右端点 函数值f(b) 零点所在区间 零点近似值
(约定区间端点)
f(2)<0 f(3)>0
区间中点
函数值f(c)
f(2.5)<0
f(2.5)<0
f(3)>0
f(2.75)>0
f(2.5)<0
f(2.75)>0
f(2.625)>0
2.5
2.75
2.625
f(2.5)<0
f(2.625)>0
f(2.5625)>0
2.5625
零点
所在
范围
越来
越小
通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
区间精确度为ε：
二分法求函数f(x)=lnx+2x-6的零点近似值
区间的一个端点
区间内任意一点
区间精确度为ε：
零点x∈(2.5,3)
初始区间(2,3)
取区间中点2.5
计算f(2.5)
f(2.5)f(3)<0
|2.5-3|<
零点近似值为3
是
初始区间(2.5,3)
零点x∈(2.5,2.75)
取区间中点2.75
计算f(2.75)
f(2.5)f(2.75)<0
|2.5-2.75|<
零点近似值为2.75
是
否
[练习1]用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4
B
[练习2]用二分法求方程2x+3x－7＝0在区间(1,3)内的实根,取区间中点x0＝2,则下一个有根区间是______.
(1,2)
二分法求函数零点近似值
析：由f(0.68)f(0.72)<0得函数的零点所在区间为(0.68,0.72)
析：令f(x)=2x+3x－7＝0，∵f(1)=﹣2<0，f(2)=3>0，f(3)=10>0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2)
[练习3]下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是(　　)
并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
“①在区间[a,b]上连续不断；②f(a)·f(b)＜0.”两个条件的函数，才可采用二分法求得零点近似值.
即：有变号零点的函数才可用二分法求零点近似值.
AC
±4
FIGHTING