内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版含解析）

满洲里市2021-2022学年高二下学期期末考试
数学（理科）
一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．用系统抽样的方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生编号为至，按编号顺序分组，若在第组抽出的号码为50，则在第一组抽出的号码为（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数是奇函数，当时，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B．2 C．8 D．4
7．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85 C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
10．若的展开式中x3的系数为20，则a＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
11. 已知正三棱柱，底面正三角形的边长为1，侧棱长为2，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知函数，则________
14．设函数在区间上为偶函数，则的值为________
15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______
16．在四面体中，平面，AB=AC=2，BC=PC=，则该四面体外接球的表面积为________
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）为抗击新冠肺炎，某单位组织中 老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为.
(1)甲 乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？
(2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.
18.（本题满分12分）如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.
(1)求证：平面；
(2)若平面，求二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）已知函数（）．
(1)，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.
请考生在第20、21两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值.
21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设，，均为正数，且1．
(1)求的最小值； (2)证明：．
满洲里市2021-2022学年高二下学期期末考试
数学（理科） 答案
一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）
1．集合，则（ C ）
A． B． C． D．
2．用系统抽样的方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生编号为至，按编号顺序分组，若在第组抽出的号码为50，则在第一组抽出的号码为（ A ）
A． B． C． D．
【详解】组距：;则第一组抽出来的应该为号.
3．“”是“”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为，所以或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A
4．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ D ）
A． B． C． D．
∵ 函数为偶函数，A错，
∵ ，∴ 函数为偶函数，C错，
∵ ，∴ 函数为奇函数，
∵ 当时，，时，，
∴ 函数在定义域上不是单调递增函数，B错，
∵ ，又函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，∴ 函数既是奇函数，又在定义域上单调递增，D对，故选：D.
5．若函数是奇函数，当时，，则（ A ）
A．1 B． C．2 D．
解：因为为奇函数，所以，
当时，，所以，所以；故选：A
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ B ）
A． B．2 C．8 D．4
根据三视图还原，得到四棱锥，其底面ABCD为直角梯形，高为PD，体积为，故选：B．
7．函数在区间的图象大致为（ A ）
A． B．
C． D．
令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.故选：A.
8．函数的值域是（ B ）
A． B． C． D．
令，则，而，所以.
9．某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ C ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
A：由直方图知：内的学生有人，正确；
B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；
C：全校学生成绩的平均分数为，错误；
D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.故选：C
10．若(x－a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝(　B　)
A．－ B. C．－ D.
11.已知正三棱柱，底面正三角形的边长为1，侧棱长为2，则点到平面的距离为（ C ）
A． B． C． D．
设到平面的距离为到面的距离为，取的中点为连接，因为，所以，
在正三棱柱中，在中，同理，
所以，又，
在正三角形中，为中点，
则，平面平面，平面平面，
所以面，即，
∴，即，
解得.故选：C.
12．已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是， 故选：A
二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知函数，则_________9
14．设函数在区间上为偶函数，则的值为__________1
因为函数在区间上为偶函数，所以，解得.
又为偶函数，所以，即，解得：a=-1.所以.
15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______
由题设，，所以上恒成立，即恒成立，
而在上递增，故.
16．在四面体中，平面，AB=AC=2，BC=PC=，则该四面体外接球的表面积为________.
因为AB=AC=2，BC=，所以，又平面，如图所示：
所以四面体的外接球即为长方体GFEP-ABCD的外接球，
则外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，故答案为：
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）为抗击新冠肺炎，某单位组织中 老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为.
(1)甲 乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？
(2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.
(1)解：记中年员工甲接种成功的事件为，老年员工乙接种成功的事件为B，
则，
，故中年员工甲接种成功的概率更大.
(2)法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C，
则
法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为，
则，
两人中至少有一人接种成功的概率为.
18.（本题满分12分）如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.
(1)求证：平面；
(2)若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.
(1)因为平面平面且交线为，
又平面且，所以平面，
又平面，所以.
因为是边长为2正方形，所以，又，
所以，即，
又因为，平面，所以平面.
(2)因为平面，平面，平面平面，
所以，因为为的中点，所以为的中点，
以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则有，
易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
则 ，取，则，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
19.（本题满分12分）已知函数（）．
(1)，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
解:(1),
切线的斜率，则切线方程为
(2)函数的定义域为(0,+∞),且
①当时,,由,得;由,得.
则函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
②当,即时,由,得或;由,得.
则函数的单调递增区间为,,
函数的单调递减区间为.
③当,即时,恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
④当,即时,由,得0;
由,得,
则函数的单调递增区间为(0,1),,
函数的单调递减区间为.
综上所述,当时,函数在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减;
当时,函数在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在(0,+∞)上单调递增;
当时,函数在(0,1)和上单调递增,在上单调递减.
请考生在第20、21两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值.
(1)由曲线知，.
直线，则，即.
(2)直线l的标准参数方程为：（其中t为参数），设A，B两点分别对应的参数为，，将直线l的参数方程代入圆C的方程可得：，
即，所以，，
所以，所以的值为.
21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设，，均为正数，且1．
(1)求的最小值；(2)证明：．
(1)，均为正数，且，
，
当且仅当，即 时等号成立，
故的最小值为．
(2)法一：由柯西不等式得，，
即，
故不等式成立，当且仅当等号成立．
法二：要证明只需证明
只需证明只需证明
因为，当且仅当，即时等号成立.
综上所述：.