北师大版九年级下册2.2二次函数的图象与性质 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
北师大版 九年级下册
二次函数的图象与性质
抛物线y=ax2与y=－ax2的关系
问题：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
回顾知识
问题：形如y=2x2、y=x2、 y = x2、 y =- x2 、y=x2的二次函数的图象之间会存在什么关系呢？下面我们一起要探究它们之间的关系.
什么关系
思考问题
活动一：在直角坐标系中，画出二函数 y=2x2的图象．
解：（1）列表：
x ··· －2 －1 0 1 2 ···
y =2 x2 ··· ···
8
2
0
2
8
（2）画出 y = 2x2 的图象．
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2
二次函数y=ax2的图象及系数a对图象的影响
一
活动探究
问题：二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？它与二 次函数 y = x2 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2
y = x2
①二次函数 y = 2x2 的图象：抛物线
②相同：形状相同、顶点(0,0)相同、开口都向上、 对称轴相同(y轴)
不同：开口大小不一样
活动探究
活动二：在图中画出 y = x2的图象，观察它与y = x2 、y = 2x2图象有什么相同和不同？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2
y = x2
解：（1）列表：
x ··· －4 －2 0 2 4 ···
··· ···
8
0
8
（2）画出 y = x2 的图象．
y =x2
相同：形状相同、顶点(0,0)相同、开口都向上、对称轴相同(y轴)
不同：开口大小不一样
活动探究
1.图象：抛物线；
2.当a>0时，抛物线开口向上；
3.抛物线的顶点为（0，0）；
4.抛物线的对称轴：y轴；
二次函数y=ax2 的图象性质
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2
y = x2
y =x2
讲解知识
活动三：在图中画出 y =- x2、y = -x2 、y =-2x2图象有什么相同和不同？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
－2
y = 2x2
y = x2
y =x2
结论：
1.二次函数y =- x2图象与 y = x2图象关于x轴对称；
2.对于二次函数y=ax ：
①当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
②当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
y =x2
y =-x2
y =-2x2
例题讲解
1.当a>0时，抛物线开口向上；
2.当a<0时，抛物线开口向下；
3.抛物线开口的大小取决于a的大小：
①|a|越大，抛物线开口越小；
②|a|越小，抛物线开口越大.
二次函数y=ax2 的中a对图象的影响
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
－2
y = 2x2
y = x2
y =x2
y =x2
y =-x2
y =-2x2
讲解知识
问题：形如y=ax2，y=ax2+c的二次函数的图象之间会存在什么关系呢？下面我们一起要探究它们之间的关系.
什么关系
思考问题
活动四:(1)画二次函数 y = 2x2+1 、 y =2x2-1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y =2x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
二次函数y=ax2+c的图象及平移
三
y = 2x2呢？
活动探究
(2)抛物线y =2 x2,y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
y =2 x2 向上 (0,0) y轴
y =2 x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
活动探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(3) 抛物线 y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
抛物线 y=2x2+1的顶点坐标为：（0,1）
抛物线 y=2x2-1的顶点坐标为：（0,-1）
抛物线 y=2x2的顶点坐标为：（0,0）
下
y=2x2+1
上
活动探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
二次函数y=2x2，y =2x2 + 1，y=2x2 - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是顶点不同，位置不同．
将二次函数 y =2x2的图象向上平移 1 个单位，就得到 函数 y = 2x2+ 1 的图象；
将二次函数 y = 2x2的图象向下平移 1 个单位，就得 到函数 y = 2x2 - 1 的图象．
二次函数y=ax2+c的图象及平移
三
活动结果
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = ax2＋c
y = ax2－c
c决定顶点的纵坐标.
讲解知识
【例1】把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？
x
y
O
　－2
2
2
4
6
4
－4
8
－2
－4
例题讲解
【例2】在图中画出 y =- x2、y =-2x2的图象.
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
－2
y =x2
y =-2x2
例题讲解
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 两者关系
y=ax2 当a>0时,向上 当a<0时,向下 y轴 （0,0） 当c>0时，y=ax2图象向上平移c个单位长度得到y=ax2+c的图象；
当c<0时，y=ax2图象向下平移|c|个单位长度得到y=ax2+c的图象；
y=ax2+c 当a>0时,向上 当a<0时,向下 y轴 （0,c）
二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的特点
知识小结
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
2、填表：
y = 2x2－４
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
课堂练习
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
课堂练习
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
课堂练习
（2019 嘉定区）将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣2x
B．y＝x2﹣2x﹣2
C．y＝x2﹣x﹣1
D．y＝x2﹣3x﹣1
A
解：∵将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，
∴平移后抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣1+1，
即y＝x2﹣2x．
故选：A．
中考链接
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
课堂总结
作业布置
教材第36页习题2.3第1、2、3题.
谢谢观看！